MicronataciMicronatacióón subcelularn subcelular

José S. González GarcíaDepartamento de Matemáticas UAM-I

Octubre 2006

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ResumenResumen

Se presentan algunos resultados de dos delas investigaciones realizadas hasta ahorapara evaluar teóricamente a lamicronatación como mecanismo demovimiento subcelular.

También se comenta sobre resultadospreliminares de nuevas investigaciones.

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IndiceIndice

Introducción. Eficiencia deformable vs. rígido. Eficiencia entre deformables. Conclusiones. Perspectivas: Efecto de pared sobre

movimiento paralelo.

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IntroducciIntroduccióónn

Los organelos dentro de la célula realizanmovimientos vectoriales (no azarosos).

Las mitocondrias se dirigen a lugares de altademanda energética dentro de la célula.

Las vesículas de transporte carganmateriales en el aparato de Golgi y losdescargan en sitios específicos de lamembrana celular.

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Movimiento de mitocondrias.Movimiento de mitocondrias.

Célula epidérmica embrionaria de pez.

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HipHipóótesis principalestesis principales

Fuerzas brownianas. Actividades metabólicas. Natación. Proteínas motoras. Cauda de cometa.

ACTIVAS

PASIVAS

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StatusStatus

La hipótesis de las proteínas motoras tieneuna aceptación mas amplia.

La otra hipótesis con actualidad es la caudade cometa.

Ninguna de las hipótesis citadas ha sidototalmente descartada al presente.

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Problemas proteProblemas proteíínas motorasnas motoras

Existen numerosos experimentos en los cualesel movimiento vectorial de los organeloscontinúa aún después de la destrucción de losmicrotúbulos.

En este caso se ha invocado la acción de lasfuerzas brownianas para explicar lapersistencia del transporte dirigido, [Verhey,KJ (2003)].

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Evidencia experimentalEvidencia experimental

Se han observado organelos que cambian deforma durante su movimiento de traslación.

Bereiter-Hahn J. (1978) describiódeformaciones periódicas de la mitocondriain vivo y propuso que el organelo avanzabanadando.

Nakata T. (1998) observó cambios de formade las vesículas de transporte en axones.

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HipHipóótesistesis

El organelo se encuentra en flotación libre yes capaz de auto-propulsarse activamente.

El flujo producido por las actividadesmetabólicas o la natación del organelo,puede obtenerse por las oscilacionesperiódicas de una capa envolvente.

Las oscilaciones de la envolvente sepostulan a priori.

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NNúúmero de Reynoldsmero de Reynolds

a) Vesículas:

b) Mitocondrias:

Re = 4 x 10-6 - 8 x 10-8

c) Ribosomas:

Re = 9 x 10-10

lvRe ρµ

= Velocidad

Viscosidad Dinámica.

LongitudDensidad

410Re ≈

510Re −≈

( )( ) 82 2

50 1 /5 10

10 /nm m s

Recm sµ −

−= = ⋅

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EcuaciEcuacióón de Stokesn de Stokes

DvDt

ρ ρ= ∇ ⋅Π +r

f

2Dv p vDt

ρ µ ρ= −∇ + ∇r

r + f

2v pµ∇ = ∇r

Tasa de cambio delmomento total porunidad de volumen.

Esfuerzos sobrela superficie delelemento.

Fuerzas devolumen sobreel elemento.

Tensor de esfuerzo para fluidosnewtonianos incompresibles.

• Campo estacionario.

•Despreciando términos inerciales.

• Ausencia de fuerzas de volumen.

Balance del momento lineal

Ec. de campo: Navier-Stokes

Ec. constitutiva: Stokes

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Se busca resolver laecuación de Stokes cuandoel nadador se mueve en ladirección del eje y, en elanillo excéntricobidimensional, concondiciones de frontera deno-resbalamiento en C1 yhomogenidad en C2:

Modelo 2DModelo 2D

x

Pared celular

Nadador

C2

C1

R2

R1

y

1 2

2 ; 0;

C C

pµ∇ = ∇ ∇ ⋅ =

= = 0v v

v U v

Ω

Ω

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Coordenadas bipolaresCoordenadas bipolares

x

y

r2r1

a

1

2

1 2

ln rr

α

β θ θ

=

= −

1α

2αeβ

eαβ

2θ 1θ

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Deformaciones periDeformaciones perióódicasdicas

Las distintas formas S0(t) que un nadador vaadoptando en cada instante de tiempo t durante unciclo de deformaciones (brazada) se especifican engeneral como:

En el caso pequeñas deformaciones se tiene que:

S0(t) = S0 + s(t)Forma básica inicial

Secuencia de deformaciones

Coeficientes periódicosDeformaciones básicas fijas

( ) ( ) ˆi is t a t wε= ∑

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Teorema de la OstraTeorema de la Ostra

Con para que exista laposibilidad de movimiento.

De lo contrario, si se tiene unaestrategia recíproca, que no producemovimiento neto a bajo Re.

ˆ0 # 1iRe w≈ ⇒ >

ˆ# 1iw =

θ

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EficienciaEficiencia ““naivenaive””

VE

η =Independiente dereparametrizaciones deltiempo y cambios de tamaño. Energía disipada por ciclo

Velocidad de traslación

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Deformable vs. RDeformable vs. Ríígidogido

Comparar la eficiencia de traslación de unaestrategia activa contra una pasiva.

Estrategia activa: Deformaciones tangencialesperiódicas de la superficie del nadador.

Estrategia pasiva: Arrastre del organelo porun motor molecular. Modelado como unmovimiento rígido.

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Eficiencia relativaEficiencia relativa

Si se compara la eficiencia de un cuerporígido que se mueve a la misma velocidaddel nadador tangencial entonces:

tg rg

rg tg

EP

Eηη

= =Potencia rígida

Potencia tangencial

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Problema de StokesProblema de Stokes

1 2

2 ; 0;

C C

pµ∇ = ∇ ∇ ⋅ =

= = 0v v

v U v( ) ( )1 1 1 2 2

ˆ

tg

rg

R a t a t

j

ε= + =−

r r& &U v v

U

( )( )( )( )

2

2

1

2

ˆˆ

ˆˆ

L

L

Cos m eCos m e

Sin n eSin n e

β

β

β

β

ββ

ββ

=

=

r

r

v

vn = 30

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BiarmBiarmóónicanica

Resolver el problema de Stokes anterior esequivalente a encontrar la función de corriente Ψque satisface la ecuación biarmónica encoordenadas bipolares:

Una vez que se tiene a Ψ la extensión de Stokes seencuentra con:

4 0∇ Ψ =

1 2;v h v hβ α

∂Ψ ∂Ψ= = −

∂ ∂

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CCáálculoslculos

En general:

Cuerpo rígido:

( )1C

E v v nds= ⋅ ⋅∫ Π r

( )( ) ( ) ( )

1 2

1 2 1 2 1 2

4 coshcosh sinhrgE

πµ α αα α α α α α

−=

− − − −

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CCáálculoslculos

Nadador tangencial:

( )2

0

1 2T

tg m ndE Edt E E

T Tπ = = +

∫

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

31 2 1 2

2 21 2 1 2

1 2 1 2

1 2

8 cosh sinh

sinh 4 2 1 sinh 2

1 sinh 2 1 2 sinh 2

1 sinh 2 1

nE n n n

n n n

n n n n

n n

πµ α α α α

α α α α

α α α α

α α

= − − − −

+ − − + − −

+ − − − − −

+ − + −

(

( ) ( ) 22 21 2 1 2/ cosh 2 cosh 2 1n n nα α α α− − − + −

)

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ResultadosResultados

tg rg

rg tg

EP

Eηη

= =En términos de [ATP]:

Erg=10−4 M Motor molecular.Etg=10−8 M.

51

1

Gráfica de P vs con R 10 cm,

0.01, 500 , 1 cPsγ

ε ν µ

−

−

=

= = =

≈

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Tangencial vs. TransversalTangencial vs. Transversal

Obtener la eficiencia naive calculando eldesplazamiento y la energía disipada por brazada,de un círculo que se deforma bajo la acción deondas periódicas de baja amplitud, ya seantangenciales o transversales.

( ) ( ) ( ) ( )1 ˆ ˆ, ,k mk

f cos m k e f sen m eα βα β β α β β = + + ∑rv

( ) ( ) ( ) ( )2 ˆ ˆ, ,k nk

g cos n k e g sen n eα βα β β α β β = + + ∑rv

n = 100

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Desplazamiento y holonomDesplazamiento y holonomííaa

SS0

Q

S0(t)

q(t)π–1(s0)

Proyección.π

Holonomía. .

Fibra en .π−1(S0)

Trayectoria del nadador.q(t)Ciclo de la brazada.S0(t)Forma básica.S0

Espacio de formas puras.S

Espacio de formaslocalizadas.

Q

Q, espacio fibrado con variedad base S, fibra típica π−1 y grupo de isometrías SE(d).

→π : Q S

( )0S SE d≅

( )SE d∈GG

G

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AproximaciAproximacióón de la holonomn de la holonomííaa

S0

AB

C

D

τ

t

τ

t

V1V2

W1

W2

S–

1(S0)

Hq

Vq

qLevantamiento

por fibras.

Q

[ ]0

,s

P t V Wδ τ≈ [ ]( ) ( )0

, ,s

t A V W F V Wτ≈ =G

GPδ ( )qA G

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AlgoritmoAlgoritmo

Resolver el problema deStokes para las

deformaciones dadas.

Calcular el Corchete deLie de dos extensiones

de Stokes.

Resolver el problema deStokes para el corchete

de Lie.

Encontrar el términocorrespondiente a la

traslación en la direccióndeseada.

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ResultadosResultados

En toda estación y para todo modo deoscilación: .

En el “plateau”: .

Tangencial. Transversal.

( )2mn

m n

FE E

ηπ

=+

tr tgη η>

( )9/5tr tgη η≈

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ResultadosResultados

El movimiento de traslación de losorganelos membranosos es bidireccional.

Por la antisimetría del tensor de curvatura,un cambio imperceptible en la estrategia denatación resultaría en un cambio dedirección.

Φ[Vm ,Vn] = – Φ[Vn ,Vm]

31

ResultadosResultados

El movimiento saltatorioes una característica invivo del transportesubcelular, especialmenteen vesículas.

El organelo alterna largosepisodios de movimientodireccional con cortosepisodios of inmobilidado pequeños retrocesos.

Un pequeño cambio en los modosacoplados, produciría una notable

disminución en desplazamiento conun cambio de dirección o

inmobilidad.

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ConclusionesConclusiones

Al ser más eficiente se esperaría que laevolución celular seleccionara al nadadordeformable por sobre el movimiento rígido.

Los resultados sugieren que para serverdaderamente eficiente, un mecanismo detraslación subcelular requiere de agitar elfluido de una manera propulsiva notangencial.

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PerspectivasPerspectivas ¿ Para que le sirve el citoesqueleto a un

micro-nadador ? Se puede estudiar el efecto de una pared

cercana a un nadador que se desplazaen la dirección x, haciendo α2 = 0.

Resultado preliminar: La mayorcercanía del nadador a la pared aumentasu velocidad.

Este resultado es consistente con elobtenido para el acercamiento en ladirección y.

1α

2 0α =