MicronataciMicronatacióón subcelularn subcelular
José S. González GarcíaDepartamento de Matemáticas UAM-I
Octubre 2006
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ResumenResumen
Se presentan algunos resultados de dos delas investigaciones realizadas hasta ahorapara evaluar teóricamente a lamicronatación como mecanismo demovimiento subcelular.
También se comenta sobre resultadospreliminares de nuevas investigaciones.
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IndiceIndice
Introducción. Eficiencia deformable vs. rígido. Eficiencia entre deformables. Conclusiones. Perspectivas: Efecto de pared sobre
movimiento paralelo.
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IntroducciIntroduccióónn
Los organelos dentro de la célula realizanmovimientos vectoriales (no azarosos).
Las mitocondrias se dirigen a lugares de altademanda energética dentro de la célula.
Las vesículas de transporte carganmateriales en el aparato de Golgi y losdescargan en sitios específicos de lamembrana celular.
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Movimiento de mitocondrias.Movimiento de mitocondrias.
Célula epidérmica embrionaria de pez.
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HipHipóótesis principalestesis principales
Fuerzas brownianas. Actividades metabólicas. Natación. Proteínas motoras. Cauda de cometa.
ACTIVAS
PASIVAS
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StatusStatus
La hipótesis de las proteínas motoras tieneuna aceptación mas amplia.
La otra hipótesis con actualidad es la caudade cometa.
Ninguna de las hipótesis citadas ha sidototalmente descartada al presente.
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Problemas proteProblemas proteíínas motorasnas motoras
Existen numerosos experimentos en los cualesel movimiento vectorial de los organeloscontinúa aún después de la destrucción de losmicrotúbulos.
En este caso se ha invocado la acción de lasfuerzas brownianas para explicar lapersistencia del transporte dirigido, [Verhey,KJ (2003)].
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Evidencia experimentalEvidencia experimental
Se han observado organelos que cambian deforma durante su movimiento de traslación.
Bereiter-Hahn J. (1978) describiódeformaciones periódicas de la mitocondriain vivo y propuso que el organelo avanzabanadando.
Nakata T. (1998) observó cambios de formade las vesículas de transporte en axones.
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HipHipóótesistesis
El organelo se encuentra en flotación libre yes capaz de auto-propulsarse activamente.
El flujo producido por las actividadesmetabólicas o la natación del organelo,puede obtenerse por las oscilacionesperiódicas de una capa envolvente.
Las oscilaciones de la envolvente sepostulan a priori.
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NNúúmero de Reynoldsmero de Reynolds
a) Vesículas:
b) Mitocondrias:
Re = 4 x 10-6 - 8 x 10-8
c) Ribosomas:
Re = 9 x 10-10
lvRe ρµ
= Velocidad
Viscosidad Dinámica.
LongitudDensidad
410Re ≈
510Re −≈
( )( ) 82 2
50 1 /5 10
10 /nm m s
Recm sµ −
−= = ⋅
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EcuaciEcuacióón de Stokesn de Stokes
DvDt
ρ ρ= ∇ ⋅Π +r
f
2Dv p vDt
ρ µ ρ= −∇ + ∇r
r + f
2v pµ∇ = ∇r
Tasa de cambio delmomento total porunidad de volumen.
Esfuerzos sobrela superficie delelemento.
Fuerzas devolumen sobreel elemento.
Tensor de esfuerzo para fluidosnewtonianos incompresibles.
• Campo estacionario.
•Despreciando términos inerciales.
• Ausencia de fuerzas de volumen.
Balance del momento lineal
Ec. de campo: Navier-Stokes
Ec. constitutiva: Stokes
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Se busca resolver laecuación de Stokes cuandoel nadador se mueve en ladirección del eje y, en elanillo excéntricobidimensional, concondiciones de frontera deno-resbalamiento en C1 yhomogenidad en C2:
Modelo 2DModelo 2D
x
Pared celular
Nadador
C2
C1
R2
R1
y
1 2
2 ; 0;
C C
pµ∇ = ∇ ∇ ⋅ =
= = 0v v
v U v
Ω
Ω
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Coordenadas bipolaresCoordenadas bipolares
x
y
r2r1
a
1
2
1 2
ln rr
α
β θ θ
=
= −
1α
2αeβ
eαβ
2θ 1θ
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Deformaciones periDeformaciones perióódicasdicas
Las distintas formas S0(t) que un nadador vaadoptando en cada instante de tiempo t durante unciclo de deformaciones (brazada) se especifican engeneral como:
En el caso pequeñas deformaciones se tiene que:
S0(t) = S0 + s(t)Forma básica inicial
Secuencia de deformaciones
Coeficientes periódicosDeformaciones básicas fijas
( ) ( ) ˆi is t a t wε= ∑
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Teorema de la OstraTeorema de la Ostra
Con para que exista laposibilidad de movimiento.
De lo contrario, si se tiene unaestrategia recíproca, que no producemovimiento neto a bajo Re.
ˆ0 # 1iRe w≈ ⇒ >
ˆ# 1iw =
θ
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EficienciaEficiencia ““naivenaive””
VE
η =Independiente dereparametrizaciones deltiempo y cambios de tamaño. Energía disipada por ciclo
Velocidad de traslación
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Deformable vs. RDeformable vs. Ríígidogido
Comparar la eficiencia de traslación de unaestrategia activa contra una pasiva.
Estrategia activa: Deformaciones tangencialesperiódicas de la superficie del nadador.
Estrategia pasiva: Arrastre del organelo porun motor molecular. Modelado como unmovimiento rígido.
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Eficiencia relativaEficiencia relativa
Si se compara la eficiencia de un cuerporígido que se mueve a la misma velocidaddel nadador tangencial entonces:
tg rg
rg tg
EP
Eηη
= =Potencia rígida
Potencia tangencial
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Problema de StokesProblema de Stokes
1 2
2 ; 0;
C C
pµ∇ = ∇ ∇ ⋅ =
= = 0v v
v U v( ) ( )1 1 1 2 2
ˆ
tg
rg
R a t a t
j
ε= + =−
r r& &U v v
U
( )( )( )( )
2
2
1
2
ˆˆ
ˆˆ
L
L
Cos m eCos m e
Sin n eSin n e
β
β
β
β
ββ
ββ
=
=
r
r
v
vn = 30
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BiarmBiarmóónicanica
Resolver el problema de Stokes anterior esequivalente a encontrar la función de corriente Ψque satisface la ecuación biarmónica encoordenadas bipolares:
Una vez que se tiene a Ψ la extensión de Stokes seencuentra con:
4 0∇ Ψ =
1 2;v h v hβ α
∂Ψ ∂Ψ= = −
∂ ∂
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CCáálculoslculos
En general:
Cuerpo rígido:
( )1C
E v v nds= ⋅ ⋅∫ Π r
( )( ) ( ) ( )
1 2
1 2 1 2 1 2
4 coshcosh sinhrgE
πµ α αα α α α α α
−=
− − − −
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CCáálculoslculos
Nadador tangencial:
( )2
0
1 2T
tg m ndE Edt E E
T Tπ = = +
∫
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
31 2 1 2
2 21 2 1 2
1 2 1 2
1 2
8 cosh sinh
sinh 4 2 1 sinh 2
1 sinh 2 1 2 sinh 2
1 sinh 2 1
nE n n n
n n n
n n n n
n n
πµ α α α α
α α α α
α α α α
α α
= − − − −
+ − − + − −
+ − − − − −
+ − + −
(
( ) ( ) 22 21 2 1 2/ cosh 2 cosh 2 1n n nα α α α− − − + −
)
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ResultadosResultados
tg rg
rg tg
EP
Eηη
= =En términos de [ATP]:
Erg=10−4 M Motor molecular.Etg=10−8 M.
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1
Gráfica de P vs con R 10 cm,
0.01, 500 , 1 cPsγ
ε ν µ
−
−
=
= = =
≈
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Tangencial vs. TransversalTangencial vs. Transversal
Obtener la eficiencia naive calculando eldesplazamiento y la energía disipada por brazada,de un círculo que se deforma bajo la acción deondas periódicas de baja amplitud, ya seantangenciales o transversales.
( ) ( ) ( ) ( )1 ˆ ˆ, ,k mk
f cos m k e f sen m eα βα β β α β β = + + ∑rv
( ) ( ) ( ) ( )2 ˆ ˆ, ,k nk
g cos n k e g sen n eα βα β β α β β = + + ∑rv
n = 100
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Desplazamiento y holonomDesplazamiento y holonomííaa
SS0
Q
S0(t)
q(t)π–1(s0)
Proyección.π
Holonomía. .
Fibra en .π−1(S0)
Trayectoria del nadador.q(t)Ciclo de la brazada.S0(t)Forma básica.S0
Espacio de formas puras.S
Espacio de formaslocalizadas.
Q
Q, espacio fibrado con variedad base S, fibra típica π−1 y grupo de isometrías SE(d).
→π : Q S
( )0S SE d≅
( )SE d∈GG
G
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AproximaciAproximacióón de la holonomn de la holonomííaa
S0
AB
C
D
τ
t
τ
t
V1V2
W1
W2
S–
1(S0)
Hq
Vq
qLevantamiento
por fibras.
Q
[ ]0
,s
P t V Wδ τ≈ [ ]( ) ( )0
, ,s
t A V W F V Wτ≈ =G
GPδ ( )qA G
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AlgoritmoAlgoritmo
Resolver el problema deStokes para las
deformaciones dadas.
Calcular el Corchete deLie de dos extensiones
de Stokes.
Resolver el problema deStokes para el corchete
de Lie.
Encontrar el términocorrespondiente a la
traslación en la direccióndeseada.
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ResultadosResultados
En toda estación y para todo modo deoscilación: .
En el “plateau”: .
Tangencial. Transversal.
( )2mn
m n
FE E
ηπ
=+
tr tgη η>
( )9/5tr tgη η≈
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ResultadosResultados
El movimiento de traslación de losorganelos membranosos es bidireccional.
Por la antisimetría del tensor de curvatura,un cambio imperceptible en la estrategia denatación resultaría en un cambio dedirección.
Φ[Vm ,Vn] = – Φ[Vn ,Vm]
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ResultadosResultados
El movimiento saltatorioes una característica invivo del transportesubcelular, especialmenteen vesículas.
El organelo alterna largosepisodios de movimientodireccional con cortosepisodios of inmobilidado pequeños retrocesos.
Un pequeño cambio en los modosacoplados, produciría una notable
disminución en desplazamiento conun cambio de dirección o
inmobilidad.
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ConclusionesConclusiones
Al ser más eficiente se esperaría que laevolución celular seleccionara al nadadordeformable por sobre el movimiento rígido.
Los resultados sugieren que para serverdaderamente eficiente, un mecanismo detraslación subcelular requiere de agitar elfluido de una manera propulsiva notangencial.
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PerspectivasPerspectivas ¿ Para que le sirve el citoesqueleto a un
micro-nadador ? Se puede estudiar el efecto de una pared
cercana a un nadador que se desplazaen la dirección x, haciendo α2 = 0.
Resultado preliminar: La mayorcercanía del nadador a la pared aumentasu velocidad.
Este resultado es consistente con elobtenido para el acercamiento en ladirección y.
1α
2 0α =