introducción a la teoría clásica de matrices...

Introducción a la teoría clásicade matrices aleatorias

Primera Parte: ¿Qué es una matriz aleatoria?El GOE(2) como primer ejemplo

Eduardo Duéñez

Departmento de MatemáticasUniversidad de Texas en San Antonio

XXXIII Aniversario Físico-MatemáticasU. A. Sinaloa, 13–16 Octubre 2015

Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio) La familia GOE(2) 33 aniv.físico-matemática UAS 1 / 27

¿Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE2 El Conjunto Gaussiano Ortogonal GOE2

Variables Aleatorias Continuas

Considere una función y = p(x) (x real) que satisface:1 p es integrable.2 p(x) ≥ 0 para toda x .3∫R p(x)dx = 1.

Entonces p es la función de densidad de probabilidad (FDP) de unavariable aleatoria X . La probabilidad de que X tome un valor en ciertointervalo [a,b] es

Prob(a ≤ X ≤ b) =

∫ b

ap(x)dx .



Ejemplo: Variable Aleatoria Gaussiana

Figura : La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoriagaussiana, también conocida como la curva normal o de Bell.



El Conjunto Gaussiano Ortogonal GOE2:matrices 2× 2 reales simétricas

Sea

S =

(a bb c

)una matriz real simétrica de 2× 2. Sean sus entradas variablesaleatorias gaussianas independientes A,B,C, donde

fA(a) =1√2π

e−12 a2, fB(b) =

1√π

e−b2, fC(c) =

1√2π

e−12 c2.

La matriz S es una variable aleatoria que está completamentedeterminada por los valores a,b, c de las tres variables aleatoriasA,B,C. La FDP (conjunta) de la matriz S es:

fS(a,b, c) =1

2√π3

e−12 (a

2+2b2+c2) =1

2√π3

e−12 Tr(S2).


¿Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE2 La Probabilidad de Eigenvalores de GOE2

La FDP de los Eigenvalores de GOE2

La FDP fS(a,b, c) del GOE2 en principio permite encontrar larespuesta a preguntas como la siguiente:

Pregunta

¿Cuál es la probabilidad de que una matriz S ∈ GOE2 tenga uneigenvalor λ ∈ [p,q], y otro µ ∈ [r , s]?

Lo que efectivamente necesitamos es relacionar los eigenvalores λ, µcon las entradas a,b, c.Recordemos que S, siendo real y simétrica, debe tener doseigenvectores −→v 1,

−→v 2 ∈ R2. Podemos incluso suponerlosnormalizados para tener longitud 1.




Ejercicio

Demostrar que, para un cierto ángulo θ ∈ [0,2π) apropiado,podemos escribir los eigenvectores así: −→v 1 = (cos θ, sin θ) y−→v 2 = (− sin θ, cos θ).




Las columnas de la matriz de 2× 2

R = (−→v 1,−→v 2) =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)son vectores unitarios ortogonales (perpendiculares). A una tal matrizR de n × n se le llama matriz ortogonal. Se le puede caracterizar porla propiedad equivalente: R−1 = RT .




Recuerde que los eigenvalores λ, µ de una matriz real simétrica sonreales, así que se puede diagonalizar la matriz S usando la matrizortogonal R:(

a bb c

)=

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)(λ

µ

)(cos θ sin θ− sin θ cos θ

)S = R · Λ · R−1.




Es natural formular preguntas involucrando simultáneamente loseigenvalores de la matriz S y el ángulo θ.

Pregunta

¿Cuál es la probabilidad de que λ, µ sean positivos (mientras que θ esarbitrario, es decir, un ángulo cualquiera en [0,2π))?

La respuesta está dada por una integral:

Prob(λ > 0, µ > 0) =

∫∫∫R

fS(a,b, c)da db dc

donde R es cierta región complicada que consiste de los valores(a,b, c) para los cuales la matriz S tiene eigenvalores positivos.




DesafíoEvaluar la integral

1

2√π3

∫∫∫R

e−12 (a

2+2b2+c2) da db dc

sobre la región

R = {(a,b, c) | a > 0,ac − b2 > 0}.

(Nótese que R parametriza precisamente la región de matrices(

a bb c

)que tienen eigenvalores positivos.)




Necesitamos cambiar variables de a,b, c a λ, µ, θ. La factorizaciónS = RΛR−1 dice:

a = λ cos2 θ + µ sin2 θ

b = (λ− µ) cos θ sin θ

c = λ sin2 θ + µ cos2 θ.

Obsérvese, sin embargo, que la aplicación

(R,Λ) 7→ S := RΛR−1

no es uno a uno, sino (genéricamente) cuatro a uno.




Proposición

El jacobiano del cambio de variables de a,b, c a λ, µ, θ es |µ− λ|.

Demostración.

∂(a,b, c)

∂(λ, µ, θ)=

∣∣∣∣∣∣cos2 θ sin2 θ −2(λ− µ) sin θ cos θ

cos θ sin θ − cos θ sin θ (λ− µ)(cos2 θ − sin2 θ)

sin2 θ cos2 θ 2(λ− µ) sin θ cos θ

∣∣∣∣∣∣= (λ− µ)

∣∣∣∣∣∣cos2 θ sin2 θ −2 sin θ cos θ

cos θ sin θ − cos θ sin θ (cos2 θ − sin2 θ)

sin2 θ cos2 θ 2 sin θ cos θ

∣∣∣∣∣∣︸︷︷︸=(sin2 θ+cos2 θ)3=1 (ejercicio)

.




Observe que

S2 =

(a2 + b2 ab + bcab + bc b2 + c2

),

así que e−12 a2−b2− 1

2 c2= e−

12 (a

2+2b2+c2) = e−12 Tr S2

= e−12 (λ

2+µ2).En resumidas cuentas,

Prob(λ > 0, µ > 0) =

∫ 2π

0

∫ ∞0

∫ ∞0

|µ− λ|e−12 (λ

2+µ2)

8√π3

dλdµdθ

=

∫ 2π

0

∫ ∞0

∫ ∞0

|µ− λ|e−12 (λ

2+µ2)

4√π

dλdµdθ2π.




DefiniciónLa función

ε(λ, µ) =1

4√π|µ− λ|e−

12 (λ

2+µ2)

es la densidad de probabilidad (conjunta) de los eigenvalores deGOE2.

Ejercicio

ε(λ, µ) es una densidad de probabilidad conjunta:∫∫R2ε(λ, µ) =

14√π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞|µ− λ|e−

12 (λ

2+µ2)dµdλ = 1.




Ejercicio

Prob(λ > 0, µ > 0) =1

4√π

∫ ∞0

∫ ∞0|µ− λ|e−

12 (λ

2+µ2)dµdλ

=2−√

24

≈ 0,15).

Por tanto, la probabilidad de que ambos eigenvalores de una matrixGOE2 sean positivos es aproximadamente 15 %.




Figura : Densidad (conjunta) de eigenvalores de GOE2 en el plano λ-µ(amarillo = alta densidad).


¿Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE2 Repulsión de Eigenvalores en GOE2

Repulsión de Eigenvalores

Pregunta

Por qué es la probabilidad de que ambos eigenvalores de una matrizGOE2 sean positivos tan pequeña (cerca de 15 % en vez de 25 %)?

La respuesta la da el factor |µ− λ|: nos revela que a los eigenvaloresles choca juntarse.

EjercicioPruebe que la densidad de probabilidad de la distancia (“hueco”)s := |µ− λ| es p(s) = s

2e−s2/4 para s ≥ 0. (Hecho originalmentedescubierto por el físico E. Wigner.)


¿Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE2 Repulsión de Eigenvalores en GOE2

La Densidad de Probabilidad p(s) de los Huecos deGOE2.

Figura : La FDP p(s) = (s/2)exp(−s2/4) para la variable s = |µ− λ| que dala longitud del hueco entre eigenvalores de GOE2. El hueco promedio tienelongitud

∫∞0 s p(s)ds =

√π ≈ 1,77.


¿Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE2 La 1-Densidad de Eigenvalores de GOE2

1-Densidad de Eigenvalores en GOE2

Pregunta

¿Cuál es la distribución de un solo eigenvalor de matriz GOE2?

La respuesta está dada por la PDF marginal con respecto a cualquierade las variables de la PDF de los eigenvalores ε(λ, µ):

δ(λ) :=

∫ ∞−∞

ε(λ, µ) dµ.

Ejercicio

δ(λ) =λe−

12λ

2

2√

2· 1√

2π

∫ λ

−λe−

12µ

2dµ︸︷︷︸

erf(λ)

+1

2√π

e−λ2.


¿Qué es una Matriz Aleatoria? Ejemplo: GOE2 La 1-Densidad de Eigenvalores de GOE2

1-Densidad de Eigenvalores en GOE2

Figura : 1-densidad de eigenvalores de GOE2.


Matrices Aleatorias Gaussianas y Física Cuántica Mecánica Cuántica

Niveles de Energía de Sistemas CuánticosComplicados

Las matrices aleatorias fueron introducidas por el físico E. Wignerpara estudiar la distribución de los niveles de energía de sistemascuánticos complicados.El “hamiltoniano” del sistema cuántico (digamos, un átomo) es unoperador (similar a una matriz de tamaño infinito).Se obtiene una buena aproximación al comportamientoestadístico observado en los niveles de energía al remplazar alhamiltoniano por una matriz grande y a los niveles de energía porsus eigenvalores. siempre y cuando la matriz tenga las mismassimetrías que el hamiltoniano original.


Matrices Aleatorias Gaussianas y Física Cuántica Mecánica Cuántica

Histograma de Resonancias Neutrónicas

Figura : Líneas de resonancia de 232Th y 238U en el rango 400–1000 eV.


Matrices Aleatorias Gaussianas y Física Cuántica Familias Gaussianas

Familias de Matrices Aleatorias

{(SN ,PN)}N=1,2,3,... es una familia de matrices aleatorias si:Cada SN es un espacio de probabilidad con medida deprobabilidad PN .Los elementos (muestras) de SN son matrices del mismo tamañoque comparten alguna propiedad (misma estructura o simetría).El tamaño de las matrices en SN tiende a infinitoconforme N →∞.



Conjuntos Gaussianos de Matrices Aleatorias

Conjunto Gaussiano Ortogonal (GOE): Sistemas físicosinvariantes bajo inversión de la dirección del tiempo, espin totalentero.Conjunto Gaussiano Unitario (GUE): Sistemas no invariantes bajoinversión de la dirección del tiempo.Conjunto Gaussiano Simpléctico (GSE): Sistemas invariantesbajo inversión de la dirección del tiempo, espin total medio entero.



Un Poco de Historia

Datos experimentales de resonancias neutrónicas fueronobtenidos por físicos nucleares en los 1940’s y 1950’s. Elfenómeno de “repulsión de niveles de energía” fue observadoempíricamente (C. E. Moore, Harvey and Hughes, Rosen et al).En los 1950’s, E. P. Wigner introduce familias de matricesaleatorias reales simétricas así como complejas hermitianas deN × N con entradas estadísticamente independientes (incluyendolas familias gaussianas) como modelo teórico del comportamientoestadístico de niveles de energía.



Un Poco de Historia

Wigner prueba la “Ley del Semicírculo” (la cual describe ladensidad de eigenvalores cuando N →∞).Wigner conjetura la distribución de los huecos (aunque suconjetura no era realmente correcta), basado en un argumentoheurístico y en sus cálculos exactos con matrices pequeñas.En 1960, Porter y Rosenzweig analizan los datos experimentalesy generan matrices “tipo Wigner”, encontrando relativamentebuen acuerdo entre las estadísticas de los niveles de energía ylos eigenvalores de las matrices.


Apéndice Referencias

Referencias

P. J. Forrester.Log-gases and random matrices, volume 34 of LondonMathematical Society Monographs Series.Princeton University Press, Princeton, NJ, 2010.

Madan Lal Mehta.Random Matrices, Volume 142, Third Edition.Academic Press, 3 edition, Nov 2004.

F. Mezzadri and N. C. Snaith, editors.Recent perspectives in random matrix theory and number theory,volume 322 of London Mathematical Society Lecture Note Series.Cambridge University Press, Cambridge, 2005.


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