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Introducción general
Condiciones y cronograma Mue
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l PROGRAMA Sintético
1. SeñalesUnidad I: Introducción a las señales.Unidad II: Espacio de señales.
2. TransformacionesUnidad III: Bases y transformaciones lineales.Unidad IV: Transformada de Fourier.
3. SistemasUnidad V: Introducción a los sistemas. Unidad VI: Convolución. Transformada Z
4. AplicacionesUnidad VII: Filtros digitales.Unidad VIII: Identificación de sistemas.Unidad IX: Procesamiento digital de la voz.Unidad X: Análisis tiempo-frecuencia.
Fundamentos
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l Condiciones
• Ver planificación…
• Grupo:– http://groups.yahoo.com/group/mpdfich/
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l Cronograma (tentativo)Sem. Fecha Descripción Sem. Fecha Descripción
1 10/03/08 TP: Unidad I (Introd. pract.) 9 05/05/08 TP: Unidad VII (Introd. pract.). 13/03/08 Introducción. Unidad I. 08/05/08 Unidad VII.
2 17/03/08 TP: Unidad I (cont.). 10 12/05/08
Descrip. trabajo final y selección artículos. Eval: Unidad VI. Recup. eval. (I al V).
20/03/08 Feriado: Semana Santa 15/05/08 Feriado: Docente universitario.
3 24/03/08 Feriado: Memoria 11 19/05/08 TP: Unidad VIII (+Introd. pract.). Eval.: Unidad VII.
27/03/08 TP: Unidades II y III. 22/05/08 Parcial 1 (I al VI).
4 31/03/08 TP: Unidad II y III. Eval: Unidad I 12 26/05/08 TP: Unidad VIII (cont.).
03/04/08 Unidad IV 29/05/08 Unidad VIII y IX. 5 07/04/08 TP: Unidad IV. 13 02/06/08 TP: Unidad IX. 10/04/08 Unidad V. 05/06/08 Unidad X (primera parte).
6 14/04/08 TP: Unidad V. 14 09/06/08 TP: Unidad X. Consultas del trabajo final. Eval: Unidad VIII.
17/04/08 Unidad VI (1era parte) 12/06/08 Unidad X (segunda parte). Repaso y consultas Parcial 2.
7 21/04/08 TP: Unidad VI (1era parte). Eval: Unidad II, III y IV. 15 16/06/08 Feriado: Belgrano
24/04/08 Unidad VI (2da parte). 19/06/08 Parcial 2 (VII al X)
8 28/04/08 TP: Unidad VI (2da parte). Eval: Unidad V. 16 23/06/08 Entrega del trabajo final.
Eval. : Unidad IX y X.
01/05/08 Feriado: Dia del trabajador. 26/06/08 Recup. eval. semanales (VI al X). Recup. evaluaciones parciales.
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Introducción a las Señales
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l Temas a tratar
• Definiciones básicas de señales.• Clasificación de las señales.• Operaciones elementales sobre y entre señales.
• Contexto de la teoría de la señal.• Tipos de procesamientos más usuales.
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l Objetivos
• Operar con señales discretas y reconocer las características y propiedades generales de las mismas.
• Aprender a aplicar en ejemplos sencillos las herramientas y conceptos en estudio.
• Motivar el interés mediante ejemplos concretos de aplicación.
• Generar y manipular señales digitales en forma de vectores por medio de un lenguaje de programación.
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l Definiciones
• La palabra señal tiene distintas significados según el contexto:– De uso común– De uso técnico
• Ambos significados están relacionados…
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• “Una gran señal apareció en el cielo: una Mujer, vestida de sol, con la luna bajo sus pies, y una corona de doce estrellas sobre su cabeza;” (Apocalipsis 12,1)
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l Señal: Definiciones comunes
• Del latín “signale”.• Marca que se pone o hay en una cosa para
darla a conocer o distinguirla de otras.• Signo, imagen o representación de una cosa.• Otro concepto relacionado: Símbolo.
Señales marítimasSeñales de tránsito Símbolos alfabéticos
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l Conceptos relacionados: Signo y símbolo
Se utilizan para comunicar ideas o mensajes.
• Signo: específico de un cometido o circunstancia (más “físico”).• Símbolo: tiene un significado más amplio y menos concreto (más
“abstracto”. Derivado de Symbolum.
Los signos pueden ser comprendidos por humanos y animales; los símbolos no.
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l Señal: Definiciones técnicas
• Es una variable física, de la naturaleza que sea, que proporciona información sobre el estado o evolución de un sistema.
• Es la representación física de la información que transporta desde su fuente hasta su destino.
H(a, t)
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SeSeññalesalesque transportanque transportan
InformaciInformacióón n y son transformadas pory son transformadas por
SistemasSistemas
Podemos ver el mundo como…
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l Podemos ver el mundo como…
SistemaSeñal de entrada
Señal de salida
TransformaciónFunción Función
Información de entrada
Información de salida
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l Observaciones
• Aunque las señales pueden ser representadas de muchas maneras, en cualquier señal la información está contenida en un patrón de variaciones de alguna magnitud.
• Las señales son representadas matemáticamente como funciones de una o mas variables independientes.
• Generalmente se toma como variable independiente al tiempo.
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l Ejemplo: Evolución del índice MERVAL
Tiempo
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
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l Ejemplo: Precio PCs IBM
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l Ejemplo: Señal de ECG y Presión
06/12/96 - 12:00 19
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l Ejemplo: Señal de Voz
wavwavwav
txttxttxt
wrdwrdwrd
phnphnphn Mue
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l Ejemplo: Imágenes médicas
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l Ejemplo: Imágenes médicas
• TAC de cráneo• La reconstrucción da
una señal 3D
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l Ruido
• Llamamos ruido a cualquier fenómeno que perturba la percepción o interpretación de una señal.
• Comparte la misma denominación que los efectos acústicos análogos.
• Generalmente aditiva, pero puede ser también: multiplicativa, convolucional, etc
Ruido Aleatorio UniformeRuido Aleatorio Uniforme
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l Dicotomía Señal-Ruido
• La diferencia entre señal y ruido es artificial, y depende solamente del criterio del observador
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Relación señal-ruido
•La relación señal-ruido (S/N o SNR) es una medida de cuanto una señal está contaminada por ruido. •Puede ser expresada como la razón ξ entre la potencias de la señal Ps y la potencia del ruido Pr:
ξ = Ps / Pr
ξ dB = 10 log(Ps / Pr) dB
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l Procesamiento de señales con ruido
• Normalmente un sistema trata correctamente a una señal cuando el nivel útil de la misma es más alto que el nivel de ruido.
• Algunos métodos de procesamiento más elaborados permiten trabajar con pequeñas SNR, gracias a la información acerca de propiedades de la señal o del ruido conocidas a priori.
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l Ubicación de las fuentes de ruido
• Relacionadas con el sistema bajo estudio:– Intrínsecas.– Asociadas.
• Relacionadas con el sistema de procesamiento o medida:– Internas. – Externas.
Sistema Bajo estudio
Sistema De medida
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l Ejemplos: ruido acústico
• Automóvil
• Murmullo
• Turbina
• Máquina
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l Ejemplos: ruido acústico
• Espectrogramas de:• señal de habla
limpia (vocales /a/, /e/, /i/, /o/ y /u/)
• señal de habla con ruido (vocales /a/, /e/, /i/, /o/ y /u/ más murmullo de fondo) a una SNR de 0 dB.
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l Ejemplos: ruido acústico
• Porcentajes de reconocimiento de palabras aisladas (dígitos, vocales y consonantes) para ON a una SNR de -10 dB, producidas por hablantes femeninos y masculinos en forma normal y con reflejo Lombard y utilizándose dos tipos de ruido: murmullo y blanco
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l Ejemplo: ruido en imágenes
• “Sal y Pimienta”
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l Señales Físicas yModelos Teóricos (funciones)...
• Una señal experimental es la imagen de un proceso físico, y por lo tanto debe ser físicamente realizable.
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l Señales Físicas yModelos Teóricos (funciones)...
• Su energía debe ser finita• Su amplitud es necesariamente limitada• Esta amplitud es una función continua
(la inercia del sistema prohíbe discontinuidad).• El espectro de la señal es acotado
(tiende a cero cuando la frecuencia tiende a infinito).
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l Señales Físicas yModelos Teóricos (funciones)...
• Cuando se elige una función para representar en forma simplificada una señal física, no es necesario que el modelo cumpla con esas condiciones
Señal “física” f(t)
modelo
Mundo real Representación
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Clasificación de Señales
Criterios
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l Criterios de Clasificación de Señales
• Morfológico• Fenomenológico• Energético• Dimensional• Espectral
• Otros…
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l Clasificación Morfológica
• Basada en el carácter continuo o discreto de la amplitud de la señal o de la variable independiente.
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l Señales Discretas y Continuas en el dominio temporal
• El eje temporal es discreto si consiste en un conjunto finito o numerable de instantes de tiempo
• Una señal cuyo eje temporal es discreto (sólo está definida para esos instantes) se denomina señal de tiempo discreto.
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l Señales Discretas y Continuas en el dominio temporal
• El eje temporal es continuo si consiste en un intervalo Real o Complejo. Este intervalo puede ser además infinito o semi-infinito.
• Una señal cuyo eje temporal es continuo se denomina señal de tiempo continuo.
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EjemplosSeñal de Tiempo ContinuoSeñal de Tiempo Continuo
Señal de Tiempo DiscretoSeñal de Tiempo Discreto Mue
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l Clasificación Morfológica
• Señales Analógicas• Señales Muestreadas• Señales Cuantizadas• Señales Digitales
x
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l Clasificación Fenomenológica
• Basada en la posibilidad de predecir o no la evolución “exacta” de la señal a lo largo del tiempo.
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l Clasificación Fenomenológica
• Señales Determinísticas– Su evolución es perfectamente predecible por un modelo
matemático. – Los próximos valores de la señal pueden ser determinados
exactamente si son conocidas ciertas condiciones anteriores.
• Señales Aleatorias o Estocásticas– Su comportamiento es impredecible y sólo pueden
describirse mediante observaciones y modelos estadísticos
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l Clasificación Fenomenológica
Periódicas
Señales
Determinísticas Aleatorias
Aperiódicas No EstacionariasEstacionarias
Sinusoidales
Armónicas
PseudoAleatorias
CuasiPeriódicas
Transitorias
Ergódicas
No Ergódicas
Especiales
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l Señales Periódicas
• Una señal continua es periódica si y sólo si
• El menor valor positivo de T o N para el que se cumple cada una de las ecuaciones anteriores se llama período de la señal.
Caso Continuo: x(t + T) = x(t) para todo t ∈ (-∞, ∞)
Caso Discreto: x(n + N) = x(n) para todo n ∈ (-∞, ∞)
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l Clasificación Fenomenológica
Periódicas
Sinusoidales
Armónicas
PseudoAleatorias
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l Señales Periódicas
• Pseudo-aleatorias:– “Parecen” aleatorias pero en realidad no lo son.– Por ejemplo: secuencia random de la computadora.
Generador Congruencial Multiplicativo
Período de repetición muy largo
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l Señales Aperiódicas
• Cualquier señal determinística que no es periódica se dice que es aperiódica.
• Algunas señales aperiódicas tienen propiedades únicas y son conocidas como funciones singulares.– Función escalón– Delta de Dirac
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l Cuasiperiódicas
• “Casi” periódicas: pequeñas variaciones entre “cuasiperiodos”.
• Por ejemplo: duración, amplitud, etc.
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l Señales Transitorias
• Son aquellas que agotan su energía dentro del período de observación.
• Esta clasificación no depende tanto de la señal en sí, como de la escala temporal desde la cual se observa a la misma.
• No confundir con período transitorio de una señal o respuesta de un sistema.
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Delta de Dirac Continuo
( )
( )
1
0, 0
t dt
t t
δ
δ
∞
−∞
=
= ≠
∫
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Delta de Dirac Discreto
[ ][ ] 0,0
0,1≠=δ==δ
nnnn
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ERGODICAS NO ERGODICAS
ESTACIONARIAS NO ESTACIONARIAS
ALEATORIASo ESTOCASTICAS
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l Proceso y Realización
• Una señal aleatoria es una realización o una muestra de un proceso.
• Una realización difiere de otra por su descripción temporal.
• El conjunto completo (infinito) de realizaciones definen el proceso.
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Sea que denota el valor de un experimento. Para cada valor suponemos que se asignauna forma de ondaLa colección de esas señales forman un proceso estocástico.El conjunto de y el índice temporal t pueden ser continuos o discretos.Para fijo (el conjunto de todos los valores experimentales),
es una función específica del tiempo.Para t fijo, es una variable aleatoria. El arreglo de todas esas realizaciones en el tiempo constituye elproceso aleatorio X(t).
ξ
),( ξtX
}{ kξ
Si ∈ξ
),( 11 itXX ξ=),( ξtX
t1
t2
t
),(n
tX ξ
),(k
tX ξ
),(2
ξtX
),(1
ξtX
M
M
M
Fig. 1
),( ξtX
0
),( ξtX
Definición formal
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l Ejemplo: EEG
• Proceso: EEG de niños entre 8 y 12 años, sanos, tomados en REM
EEG1
EEG2
EEG3
EEGn
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l Estacionaridad
• Un proceso en el que las propiedades estadísticas de la señal no dependen del tiempo es estacionario.
• Un proceso se dice que es estacionario cuando la fdp no depende del tiempo.
• Prácticamente: de un proceso estacionario se pueden extraer parámetros estadísticos.
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l Estacionaridad
t1 tm tnp(x)
x
p(x)
x
p(x)
x
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l Ergodicidad
• El promedio estadístico a lo largo de la muestra es igual el promedio temporal a lo largo del eje del tiempo para cualquier función muestra.
t1
t2
t
),(n
tX ξ
),(k
tX ξ
),(2
ξtX
),(1
ξtX
M
M
M
Fig. 1
),( ξtX
0
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•Ergodicidad ⇒ Estacionariedad
•Estacionariedad ⇒ Ergodicidad
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l Clasificación Energética
• De acuerdo a si la señal posee, o no:
– Energía finita– Potencia media finita
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l Clasificación Dimensional
• Basada en el número de variables independientes del modelo de la señal.
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l Clasificación Espectral
• Basada en la forma de la distribución de frecuencias del espectro de la señal.
– Baja Frecuencia– Alta Frecuencia– De banda Angosta– De Banda Ancha
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l Otras Clasificaciones
• Limitadas en duración• Limitadas en amplitud• ...
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Operaciones con señales
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l Operaciones básicas
• Operadores binarios– Adición – sustracción ...– Productos
• por un escalar• punto a punto• interno / externo
– ... • Operadores unarios
– Operaciones sobre el rango– Operaciones sobre el dominio– Interpolación y decimación
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l Operaciones sobre el rango
( ))()( txtx viejonuevo ρ=
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l Operaciones sobre el rango
• Amplificación• Rectificación• Cuantización• ...
( ))()( txtx viejonuevo ρ=
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l Operaciones sobre el dominio
( ))()( txtx viejonuevo τ=
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l Operaciones sobre el dominio
• Compresión• Expansión• Inversión• Traslación• ...
( ))()( txtx viejonuevo τ=
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l Interpolación y decimación
• Interpolación lineal• Interpolación polinómica• Interpolación sinc• Decimación (muestreo)• ...
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Interpolación• La interpolación aumenta la frecuencia de muestreo original de
una señal de tiempo discreto (puede ser hasta infinito).
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l Interpolación
∑ −=n
TnTtinTxtx )().()( *
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l Interpolación de orden 0
⎩⎨⎧ ≤
=caso otroen 01<t0 1
)(tistep
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l Interpolación de orden 1
⎪⎩
⎪⎨⎧ −
=caso otroen 0
1<t 1)(
ttilineal
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l El interpolador ideal
⎩⎨⎧
=≠
=0 10 /)sin(
)(tttt
tisinc
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l Interpolación ideal
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l Decimación
• La decimación reduce la frecuencia de muestreo original de una señal de tiempo discreto, es lo opuesto a la interpolación.
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l Digitalización de señales
• Conversión analógico/digital (A/D)– Ventaneo– Muestreo– Retención– Cuantización– Codificación (ej: binaria)
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l Conversión A/D
Señal analógica, de tiempo continuoy amplitud continua
Señal de tiempo discretoy amplitud continua
Señal de tiempo discretoy amplitud discreta
Muestreo(retención) Cuantizador Codificador
Señal digital
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Algunas observaciones...
• Muestreo:– Solo medimos a intervalos prefijados por lo cual
perdemos los cambios rápidos.– Dependemos de la fiabilidad del reloj del sistema.
• Ventaneo:– Solo medimos durante un intervalo finito de tiempo por
lo cual perdemos los cambios más lentos.– La forma de esta ventana también afecta el resultado.
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Algunas observaciones...
• Una señal continua
• ...medida contra un reloj...
• ...mantiene su valor entre cada pulso del reloj...
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Algunas observaciones...
• Un reloj preciso...
• .... conduce a valores precisos.
• Un error en el reloj...
• ... se traduce en error en los valores.
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Algunas observaciones...
• Una “evento” de la señal...
• que ocurre entre muestras...
• parece como...
• si no hubiese estado allí
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Algunas observaciones...
• Las componentes de alta frecuencia...
• ...pasadas por un filtro pasa bajos...
• ...desaparecen
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Algunas observaciones...
• Una señal periódica...
• muestreada dos veces por ciclo...
• tiene suficiente información como...
• para ser reconstruida
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Algunas observaciones...
• Una señal de alta frecuencia...
• ...muestreada suficientemente rápido...
• ...puede verse todavía mal...
• ...pero puede ser reconstruida.
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Algunas observaciones...
• Una señal muestreada...
• ...debe ser procesada por un filtro pasa-bajos...
• ...para reconstruir la señal original.
• La respuesta al impulso del filtro debe ser una sincrónica.
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Algunas observaciones...
• Una señal de alta frecuencia...
• muestreada a una tasa muy baja...
• parece como...
• una señal de menor frecuencia.
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Algunas observaciones...
• Un objeto que gira a de alta frecuencia y lo iluminamos a baja frecuencia.
• Una "cámara" acelera constantemente hacia la derecha a la misma velocidad que los objetos se desplazan hacia la izquierda.
Otros problemas de aliasing temporal: Efectos estroboscópicos o visuales
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l Muestreo de Imágenes
• Efecto de “Aliasing”
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l Muestreo y retención
• Muestreo Uniforme • Muestreo No uniforme
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l Cuantización
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
≥
≤
HN-x
HN-x<
x<
HNHxH
x
)1(
)1(0
0
)1( )/int(.
0)(ρ
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l Cuantización de Imágenes
• 16 bpp 1 bpp
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l Cuantización
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Algunas observaciones...
• Cuantización:– La precisión está limitada al número de bits disponible.– Depende también del rango dinámico de la señal.– Los errores introducidos en el proceso son no lineales y
dependientes de la señal.– También pueden cometerse errores aritméticos dentro
del procesador debido a la precisión.
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Algunas observaciones...
• La precisión limitada en la cuantización...
• ...conduce a errores...
• ... que dependen de la señal
Ruido de cuantización (± ½ LSB)
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Algunas observaciones...
• Por ello el espectro de un tono puro...
• ...se ensucia cuando lo cuantizamos.
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igita
l
Teoría de la Comunicación y Teoría de Señales
(2da parte)
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o D
igita
l Contexto
• El estudio de las señales se encuentra contenido en lo que se denomina
Teoría de la Comunicación
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o D
igita
l Ejemplo: la comunicación humana
(a)
Hablante Aire Oyente
Comprensión delmensaje
Transducciónneuronal
Decodificación
Movimientomembrana
basilar
Formulación delmensajeCodificación
Acciones neuro-musculares
Fuentedelsonido
Ondaacústica
Tractovocal
Ruidoambiente
IDEA IDEA
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igita
l Ejemplo: la comunicación por radio
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igita
l
MODULACION Y MUESTREO
ANALISIS ESPECTRAL
DETECCION Y ESTIMACION
RECONOCIMIENTO DE PATRONES
TEORIA DE LA SEÑAL
CODIFICACION DE LA FUENTE(REDUCCION DE REDUNDANCIA)
CODIFICACION DE CANAL(CORRECCION Y DETECCION
DE ERROR)
CRIPTOGRAFIA(PRIVACIDAD)
TEORIA DE LA CODIFICACION
TEORIA DE LA INFORMACION
TEORIA DE LA COMUNICACION
Mue
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o D
igita
l Teoría de la Información
• La teoría de la información se ocupa de la medición de la información, de la representación de la misma y de la capacidad de los sistemas de comunicación para transmitir y procesar información.
• C. E. Shannon: “A Mathematical Theory ofCommunication” (1948). M
uest
reo
y Pr
oces
amie
nto
Dig
ital Procesamiento de la Señal
• Es la disciplina técnica que, basada en los métodos de la teoría de la información y la señal, se encarga de la elaboración o interpretación de señales que transportan información, con la ayuda de la electrónica, la computación y física aplicada.
Mue
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igita
l Procesamiento de Señales
• Principales objetivos – Extracción de la información útil que se encuentra
en las señales y presentación los resultados en forma apropiada para el hombre o la máquina.
– Generación de señales, que permiten el estudio del comportamiento de sistemas.
– Transmisión o almacenamiento de la información contenida en las señales
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igita
l Procesamiento Digital de Señales (DSP)
• Procesamiento– Realizar operaciones sobre datos de acuerdo con instrucciones programadas
• Digital – Operar mediante el uso de señales discretas para representar datos en forma de
números• Señal
– Una variable por medio de la cual se transmite información en un circuito electrónico
entrada A/D DSP D/A salida
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l Procesamiento Digital de Señales (DSP)
• Definición sencilla:
“Modificar o analizar señales representadas a partir de una secuencia discreta de números”
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l DSP: Ventajas
• Versatilidad:– Pueden ser reprogramados fácilmente– Pueden ser migrados a diferentes circuitos
• Repetibilidad:– Pueden ser fácilmente duplicados– No dependen de estrictas tolerancias de los coeficientes– Sus respuestas no varían con la temperatura
• Simplicidad:– Algunas cosas pueden ser hechas más fácilmente en forma
digital que con sistemas analógicos
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l DSP: Desventajas
• Trabaja con señales que provienen del mundo real.
• Utiliza “mucha” matemática (multiplicando y sumando señales) .
• Requiere un tiempo finito para dar una respuesta.
• Puede necesitar capacidades importantes de almacenamiento de datos.
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l DSP: Aplicaciones
• Se utiliza en una gran variedad de aplicaciones:
• Y extensamente en la tecnología actual...
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l
Síntesis
Análisis
Medidas
Filtrado
Regeneración
Detección
Identificación
Codificación
ModulaciónSESEÑÑALAL
Generación de la señal
Interpretación de la señal
Extracción de Información
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l
Técnicas de Procesamiento de Señales
• Amplificación– Consiste en aumentar la amplitud, o potencia, de
una señal eléctrica.– Es uno de los procesamientos más “sencillos”
Mue
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l
Técnicas de Procesamiento de Señales
• Análisis– Consiste en aislar los componentes del sistema
que tienen una forma compleja para tratar de comprender mejor su naturaleza u origen.
Ej: Análisis Espectral de Sonido Cardíacos.
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l Ejemplo: Análisis Autosimilar con Onditas
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l Análisis
• Muchas veces se utiliza como etapa previa a un sistema automático de clasificación...
Análisis y Extracción de
Características
Clasificador
Automáticoclaseseñal M
uest
reo
y Pr
oces
amie
nto
Dig
ital
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
had
hAd
hed
hEd
hid
hId
hod
hOd
hud
hUd
hYd
Ejemplo clasificación Vocales (Deterding)
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l
11 vocales de Ingles Británico hablado por 15 hablantes en un contexto h*d
528 de entrenamiento de 8 hablantes, 462 de prueba de los 7 restantes
Cada ejemplo en forma de un vector con 10 dimensiones
Clasificador # de unidad % correctoPerceptron - 33
PMC 88 51PMC 22 45PMC 11 44RBR 528 53RBR 88 481-NN - 56
Algunos Resultados
Ejemplo de Vocales de DeterdingM
uest
reo
y Pr
oces
amie
nto
Dig
ital Modulación
• La modulación consiste en variar la amplitud, la fase o la frecuencia de una señal portadora con referencia a una señal mensaje o moduladora.
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l Ejemplo modulación AM
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l Ejemplo modulación AM
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l Ejemplo modulación FM
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l Ejemplo modulación FM
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l
Técnicas de Procesamiento de Señales
• Medición• (especialmente en señales con componentes aleatorias)
– Se trata de estimar el valor de una variable característica de la señal, con un determinado nivel de confianza.
Ej: Medición de la temperatura corporal.
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l Medición: Precisión y Exactitud
• Diferentes situaciones para una medida, el valor real es el centro del blanco.
No precisaNo exacta
PrecisaNo exacta
No precisaExacta
PrecisaExacta
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l
Técnicas de Procesamiento de Señales
• Filtrado – Consiste en la eliminación de componentes
indeseadas de la señal, preservando las de interés.
Ej: Eliminación ruido 50 Hz ECG. Mue
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l Filtrado
• Tipos de filtros:– Pasa-bajos (Lowpass)
– Pasa-altos (Highpass)
– Pasa-banda (Bandpass)
– Rechaza-banda (Bandstop)
– Multibanda (Multiband)
Mue
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l Ejemplo Filtrado lineal 1D
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.5
0
0.5
1
Time (s econds)
Tim
e w
avef
orm
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
10
20
30
40
50
60
Frequenc y (Hz)
Ma
g. o
f F
ouri
er t
ran
sfor
m
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequenc y (Hz)
Mag
. of
freq
uen
cy
res
pon
se
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-3
-2
-1
0
1
2
3
Time (seconds)
Tim
e w
avef
orm
Mue
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l Ejemplo Filtrado no lineal 1D
• Limpieza de ruido con Onditas
Mue
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l Ejemplo Filtrado 2DM
uest
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y Pr
oces
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nto
Dig
ital
Técnicas de Procesamiento de Señales
• Regeneración – Su objetivo es retornar la señal a su forma inicial,
después que ésta haya sufrido algún tipo de distorsión.
Ej: Deconvolución de una Imagen Médica.
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l Ejemplo: Regeneración
• Imagen con iluminación no uniforme:
Mue
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l
Técnicas de Procesamiento de Señales
• Detección – Determinación de la presencia o ausencia de una
señal– Extracción de una señal útil de un ruido de fondo
de grandes dimensiones.
Ej: Potenciales Evocados.
Mue
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l Detección y correlación...
• La correlación cruzada puede ser utilizada para detectar y localizar una señal conocida de referencia inmersa en ruido:– Una copia de la señal conocida de referencia se
correlaciona con la señal desconocida. – La correlación será alta cuando la referencia sea similar a la
señal desconocida. – Un valor grande de correlación muestra el grado de
confianza en la detección de la señal. – Este valor indica también cuando ocurre la señal de
referencia.
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l Detección y correlación...
•Una señal “chirrido” (chirp) de radar o sonar ...
•emitida por un objeto “blanco” puede estar “enterrada” en ruido...
•pero correlacionándola con la referencia...
•revela claramente el momento en que se ha producido el eco...
Otro ejemplo: detección del QRS
Mue
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l
Técnicas de Procesamiento de Señales• Identificación
– Es un proceso complementario, que permite clasificar la señal observada.
– Las técnicas de Correlación son frecuentemente usadas con este fin.
– En el caso paramétrico culmina en la obtención de un conjunto de parámetros que caracterizan a la señal.
Ej: Diagnóstico Automático de Patologías (para casos complejos puede requerir el uso de técnicas de Reconocimiento de Patrones e IA).
Mue
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l Identificación y correlación...
• La correlación cruzada puede ser utilizada para identificar una señal por comparación con una librería de señales conocidas de referencia:– La señal desconocida es correlacionada con un número de
señales conocidas de referencia. – La mayor correlación corresponde al patrón o referencia
más similar.
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l Identificación y correlación...
• Por ejemplo:
El canto de un ruiseñor...
se correlaciona fuertemente con otro ruiseñor...
pero débilmente con una paloma...
o un herón...
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l Identificación y correlación...
• La correlación cruzada es una de las formas en las cuales un sonar puede identificar distintos tipos de cuencas o lechos:– Cada cuenca tiene una “firma” de sonar única. – El sistema del sonar posee una librería de ecos pregrabados
desde diferentes cuencas. – Un eco de sonar desconocido se correlaciona con la librería
de ecos de referencia. – Cuando más grande es la correlación más probable es la
coincidencia.
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l
Técnicas de Procesamiento de Señales
• Síntesis – Es la operación opuesta al análisis, consiste en
crear una señal con una forma apropiada mediante la combinación, por ejemplo, de un número de señales elementales.
Ej: Sintetizador de Voz Artificial.
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l
G +
PredictorLineal
Parámetros an
Entonación
Generadorde
pulsos
Generadorde
ruido blanco
Emisiónsonora o sorda
nsnu
Ej: Sintetizador paramétrico de voz
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l
+
Señal sintetizada
Osciladores
Síntesis no paramétrica
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l
Técnicas de Procesamiento de Señales
• Codificación1) Reducción de redundancia en una señal.
• Es frecuentemente usada aprovechar el ancho de banda o el volúmen de memoria de una computadora. Ej: Compresión de ECG.
2) Reducción de los efectos del ruido• La modulación y traducción a frecuencias son las
formas principales de adaptar una señal a las características de una línea de transmisión, de un filtro analizador, o de un medio de registro. Ej: Transmisión de ECG por TE.
DSP
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l Ejemplo de Codificación (1)
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l Ejemplo de Codificación (2)
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igita
l Bibliografía para esta Unidad
En general se puede encontrar una introducción a señales en casi cualquier texto de “Señales y Sistemas”. Por ejemplo:
• Sinha: 2.1 a 2.5• Kwakernaak: 1.1 a 1.3, 2.1 a 2.3, 2.5• Oppenheim-Willsky: 2.1 a 2.4• Cohen: 1.2, 1.3, 3.3
(Las referencias completas se encuentran en el libro de la Cátedra)
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l
Espacios de Señales
Facultad de Ingeniería y Ciencias HídricasUNL
3
T1
T2
2
Mue
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l Temas a tratar
• Señales y vectores. • La relación entre el álgebra lineal y las señales. • Espacios de señales y espacios vectoriales. • Bases y transformaciones lineales.
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igita
l Introducción
• En general asociamos a las señales con “elementos aislados”.
• Ahora vamos a incorporar a las señales en un marco estructurado: el espacio vectorial.
• Considerando a las señales como vectores de unespacio n-dimensional, podemos:– aprovechar las propiedades de la estructura algebraica de
los espacios vectoriales.– interpretar el procesamiento de las señales desde una
perspectiva conceptual sencilla.
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igita
l Señales y vectores...
3
T1
T2
2
23
m
T
21
•Medimos la temperatura ambiente a intervalos de 1 minuto...
•Representamos en una gráfica en donde el eje de las ordenadas indica el tiempo y el de las abscisas la magnitud de la temperatura.
2R
Mue
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igita
l
0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5 0 . 4 0 . 4 5 0 . 5- 1
- 0 . 8
- 0 . 6
- 0 . 4
- 0 . 2
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
Señales y vectores...
0 10 20 30 40 50 600
0.5
1
1.5
2
2.5
3
m
T
60REn 1 hora ...
Para señales continuas...
Ya no puedo representarlo gráficamente como un “vector”en el espacio “tradicional”, pero el concepto es el mismo ...
Es un solo elemento,
vector o punto∞R
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igita
l Ahora con varios elementos...
• Nos interesa estudiar a cada elemento en relación al resto:
– Conjuntos de señales– Espacios de señales– Espacios lineales o vectoriales– Espacios normados
31/03/2008 Espacios de Señales 152
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igita
l
Para ello debo primero definir un conjunto:
O el conjunto de las x, tal que p sea cierto, op es cierto, implica que x pertenece a S.
S
Otra forma es como solución de la ecuación diferencial:
{ ; ( ) Re[exp( )]} =2 - ,
CS x x t j tf t f
α ωω π α= = +
∞ ≤ ≤ ∞ ∈ R
{ ; 0}CdxS x xdt= + =
Ejemplo: conjunto de las señales sinusoidales (1)
Una “señal” es un elemento de un espacio S
{ ; } S x p p x S= ⇒ ∈
Mue
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o y
Proc
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o D
igita
l
{x; x(t) ≤ A1 v x(t) ≥ A2 }
{x; x(t) = 0, T1 > t v t > T2}
{ }1 2 1 2
( ) ( )
; ( ) 0, ,
j tX x t e dt
x x X
ωω
ω ω ω ω ω ω ω ω
∞−
−∞
=
= = ≤ ≥
∫
A1
A2
tT1 T2
Otros ejemplos...
Señales limitadas temporalmente (2)
Señales limitadas en amplitud (3) Señales de banda
limitada (4)( ) X ω
Mue
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Proc
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o D
igita
l Sin embargo...
• Un espacio es un conjunto de elementos que satisfacen una condición, pero además...
• Se requieren otras propiedades para poder llamar al conjunto “espacio”...
• En particular se debe dotar al conjunto de:– una estructura geométrica (espacio de señales).– una estructura algebraica (espacio vectorial).
Mue
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l
Estructura Geométrica
Mue
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l Espacio de Señales
• Si al conjunto de señales definido anteriormente le agregamos una métrica entonces estamos hablando de un espacio de señales.
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l Espacio de señales
Conjunto de señales+
Estructura geométrica Mue
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l Norma
• Nos proporciona información acerca del “tamaño” de un elemento del espacio:– Es un número real no negativo.– Es homogénea con respecto a la escala.– Satisface la Desigualdad Triangular.
• La norma se refiere a un solo elemento, mientras que la distancia a dos.
Mue
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igita
l Distancia
• La distancia es otro concepto muy importante asociado a un espacio.
• Nos permite dar sentido geométrico al espacio a través de una “métrica”.
• Una métrica puede derivarse a partir de una norma:
• Significados: “error”, “diferencia”o “grado de aproximación” entre dos señales.
( , )d X Y Y X= −Pueden existirmétricas que no deriven de normas
Mue
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o y
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igita
l Norma - p
• Secuencias temporales:
• Señales continuas
1/
1/
( )
( )
pp
pn
pp
p
x x n
x x t dt
∞
=−∞
∞
−∞
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
∫
1 p< < ∞
Mue
stre
o y
Proc
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o D
igita
l Cuando p es infinito
sup ( )
sup ( )
n
t
x x n
x x t
∞∈
∞∈
=
=
Z
R
Mue
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o y
Proc
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igita
l
2
2
1
x
x
x
∞ Se denomina AMPLITUD de la señal x
Se conoce como ENERGIA de la señal x
Suele llamarse ACCION de la señal x
Otros nombres...
Mue
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o y
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igita
l Amplitud y Energía
x1
E(x)1/2
A(x)x2
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o y
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igita
l ¿ Y cuando p es = 0 ?
{ }
00
0
lim
# : ( ) 0
p
ppx x
x n x n
→=
= ≠
Medida de “dispersión”
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igita
l ¿La norma-p es la única?
• Existen muchas normas, pero esta es la más utilizada porque permite diferentes comportamientos variando p.
• Otros ejemplos:– Norma del Volumen Mínimo (similar a ||x||0)– Norma de Cauchy– Norma Varimax– Otras dependiendo de la aplicación...
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l ¿Por qué hay diferentes normas?
Superficies para distintas normas del
vector bidimensional
S
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igita
l ¿Por qué hay diferentes normas?
Curvas de nivel para distintas
normas del vector
bidimensional S
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igita
l Potencia media de una señal
PN
x n
PT
x t dt
xn N
N
xT
T
=
=
=−
−
∑
∫
12
12
2
2
( )
( )
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igita
l Potencia media TOTAL de una señal
P limN N
x n
P limT T
x t dt
xn N
N
xT
T
=→∞
=→∞
=−
−
∑
∫
12
12
2
2
( )
( )
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o y
Proc
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o D
igita
l RMS
PxValor cuadrático medio
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igita
l Espacios de Señales
• Espacio de Secuencias Temporales• Espacio de Señales de Tiempo Continuo• En ambos casos se suele usar la métrica basada
en la norma 2.
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l
Estructura Algebraica
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l Ejemplo: Campo Escalar
• F campo escalar– Adición + : F x F → F – Producto . : F x F → F – Neutro aditivo: 0– Neutro multiplicativo: 1
• Ejemplos: Z, R, C
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l Espacio Lineal...
• Conjunto para el que están definidas las operaciones binarias (cerradas) de:– Multiplicación de cualquier elemento POR un
ESCALAR – Adición ENTRE cualesquiera de sus elementos
• Estas operaciones son conmutativas, asociativas y distributivas.
• Poseen elemento neutro y cancelativo
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igita
l
•Ejemplos: ZN, RN, CN(1) no es
un espacio vectorial.
Espacio Lineal...
• A los elementos de los espacios lineales los llamamos VECTORES y podemos referirnos al espacio como ESPACIO VECTORIAL
2 ( )L R1( )L R2 ( )l Z1( )l Z
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o y
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igita
l Espacios Normados
• Son aquellos espacios vectoriales en los que TODOS sus elementos poseen norma finita.
• Los subconjuntos de señales que poseen energía finita o acción finita son espacios normados.
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l
Analogías entre Señales y Vectores
Producto Interno
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l Producto interno
Medida de
similitudentre señales
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l Componente de un vector en otro
• Proyección de v1 sobre v2
• Menor error de modo que:v1 = c12 v2 + ve
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l
Pero no cumplen la condición de error mínimo
Otras alternativas podrían ser
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l ¿Cómo calculamos c12?
c12 |v2| = |v1| cos(θ)
La componente de la componente de v1 a lo largo de v2 será:
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o y
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l
Además, sabemos que:
¿Cómo calculamos c12?
c12 |v2| = |v1| cos(θ)
La componente de la componente de v1 a lo largo de v2 será:
< v1 , v2 > = |v1| |v2| cos(θ)
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l ¿Cómo calculamos c12?
Ahora podemos escribir:
22
2112 ,
,vvvv
=c
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l c12 mide el parecido entre v1 y v2
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l c12 mide el parecido entre v1 y v2
Si v2 tiene norma unitaria:
2112 , vv=c Mue
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Producto interno en ¿señales continuas?
Mue
stre
o y
Proc
esam
ient
o D
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l
• El concepto de proyección y ortogonalidadde vectores se puede extender a las señales.
• Se considerarán dos señales f1(t) y f2(t) donde se se desea aproximar f1(t) en términos de f2(t) en un cierto intervalo (t1, t2)
Producto interno …
Mue
stre
o y
Proc
esam
ient
o D
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l Se desea aproximar f1 mediante f2
f1(t) ≈ C12 f2(t) en (t1 < t < t2).
Se define la función error fe(t):
fe(t) = f1(t) - C12 f2(t).
Debemos encontrar un valor de C12 que minimice el error entre las dos funciones
Mue
stre
o y
Proc
esam
ient
o D
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l
2
1121 2
2 1
( ) ( )t
t t dttEM
t t
f fC⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦=
−
∫
2
1
2
2 1
( )e
tt dt
tECMt t
f=
−
∫
Mue
stre
o y
Proc
esam
ient
o D
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l
21 21
12 2 221
( ) ( )
( ( ))
t
tt
t
f t f t dtC
f t dt=
∫
∫
120
ECMC
∂=
∂
Mue
stre
o y
Proc
esam
ient
o D
igita
l
21 21
12 22 21
( ) ( )
( ) ( )
t
tt
t
f t f t dtC
f t f t dt=
∫
∫
120
ECMC
∂=
∂
Si nuestra señal puede tomar valores complejos
Mue
stre
o y
Proc
esam
ient
o D
igita
l
2
1
( ) ( ) 01 2tf t f t dt
t=∫
Ortogonalidad de Funciones
Mue
stre
o y
Proc
esam
ient
o D
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l
Iguales
Ortogonales
Opuestas
Vectores Señales Produto Productointerno
x, y > 0
x, y = 0
x, y < 0
Mue
stre
o y
Proc
esam
ient
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l Espacios con Producto Interno
• Debido a la importancia del producto interno para comparar señales aparece este tipo particular de espacios.
• Un espacio con producto interno I es un espacio vectorial con un producto interno definido en él.
• Ejemplos: los anteriores agregando el producto interno, o los espacios de Hilbert (EPI “completos”).
Mue
stre
o y
Proc
esam
ient
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l
0
( ) ( ) stX s x t e dt∞
−= ∫
( ) ( ) j tX x t e dtωω∞
−
−∞
= ∫
( ) ( ) . n
nX z x n z
+ ∞−
= − ∞= ∑
Transformaciones lineales...M
uest
reo
y Pr
oces
amie
nto
Dig
ital
( ) ( ) ( ) ( )x t y t x y t dτ τ τ∞
−∞
∗ = −∫
( ) ( ) ( )xyR t x y t dτ τ τ∞
−∞
= +∫
Otras operaciones lineales...
Mue
stre
o y
Proc
esam
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l Bibliografía
• L. Franks, Teoría de la señal, Reverté.
• F. De Coulon, Signal Theory and Processing, Artech-House.
• B. Lathi, Modern Digital and AnalogCommunication Systems, Holt, Rinehart & Winston.