ies juan garcía valdemora ecuaciones departamento de...

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

1. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:

a) 2

54

96

316

26 xxxx −−−=+−−

9(1248

)3(8)26(3 −⋅=−+⋅−−⋅ xxx

)9(12)3(8)26(3 xxx −−⋅=+⋅−−⋅

⇒−=−⇒ 12123010 xx −1210 xx

Solución: 9−=x

b) 6

1235

342

1832 −−=−−− xxx

18

3)5(6

18

)42(6)32(1 −⋅=−−⋅−−⋅ xx

3)5(6)42(6)32(1 ⋅−⋅=−⋅−−⋅ xx

⇒+=+⇒ 1533626 xx ⇒= 4832x

Solución: 23=x

c) 320

3115

2310

3534 ++−−=−−− xxxx

3)23(460

)3(6)34(12 −−=−−− xxx

−−=−−− 3)23(4)3(6)34(12 xxx

⇒+−=+−⇒ 269136642 xx − 42x

Solución: 7−=x

d)

−+=

−+−−3

5

10

534

5

3

3

4 xx

xx

60

)4(6060)3(12)4(20 =⋅+−−− xxx

=⋅+−−− xxx )4(6060)3(12)4(20

=+−−−⇒ xxx 1824060368020

Departamento de Matemáticas

Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:

48)2,4,6,16.(.. 48

)5(24) =−⋅−mcm

xx

)5(24 x−⋅− −−=−−−⇒ xxx 12108248618

⇒+−= 3012x ⇒=− 182x 92

18 −=⇒−

= xx

18)6,3,18.(.. 18

)12(3 =−⋅mcm

x

)12( −x ⇒+−=+−−⇒ 3630241232 xxx

⇒2

3

32

48 =⇒= xx

3

60)20,15,10,5.(.. 60

(60)3)31(3 =⋅++mcm

x

⇒⋅++ )60(3)31(3 x −=+−− 921863648 xx

⇒−=+ 6626913xx ⇒=− 20329x29

203

−=x

−4

x

43

5

10

534

5

3

3

4 xxx

xx +−+=+−−−⇒

)4,10,5,3.(.. 60

15)5(20)53(6 +⋅−+= mcmxx

⇒+⋅−+= xx 15)5(20)53(6

⇒+−+ xx 1510030 ⇒−=+− 824516076 xx

ECUACIONES 3º ESO

1

⇒+− x24120

9

⇒+−=− 3361526 xx

⇒+−−− 180934 xx

729

203 −=⇒ x

60=

⇒


⇒−−=−−⇒ 160824576 xx −121

Solución: 2=x

e) ( ) (

25

4355

3225

47 −++=−+−

xxxx

)355(3

12

)5025(4)7(3 ++=−+− xxx

)355(3)5025(4)7(3 ++=−+− xxx

⇒−=−⇒ 10545221103 xx −103x

Solución: 2=x

f) 12

985

2472

84 x

xxx −−−=+−−−

=⋅+−−− 2424

)24(5)72(1)4(3 xx

=⋅+−−−⇒ xx 24)24(5)72(1)4(3

2621026115 −⇒−=+⇒ xxxx

Solución: 13=x

g) ( ) +−⇒

−=+−7

4224

37

222

xxxxx

⇒−=+−

⇒ 14 28

)3(728

)42(414 xxx

621716814 −⇒−=−−⇒ xxxx

Solución: 5=x

h) +−=+−−

6.(.. 12

83

16

165mcm

xxx

⇒−−=+−−⇒ 8)1(4)165(2 xxx

2873686 ⇒=⇒+−=+⇒ xxxx

Solución: 4=x


⇒−= 242121x 2121

242 =⇒−−= xx

)7−235

25

4355

35025

47 −++=−+−

⇒xxxx

12)2,3,4.(.. 12

)35(6)5(6 =⋅−+mcm

x

)35(6)5(6 ⋅−+ x =−+−⇒ 15200100213 xx

⇒+−=− 22110545x ⇒=11658x58

116⇒=x

⇒=−−⋅−24)12,24,8.(..

24)9(2)24(824

mcmxx

++−−⇒−−⋅− xxxx 12072123)9(2)24(824

25325

32525115210 ⇒−−=⇒−=−⇒−−= xxx

⇒=−= 28)4,7,2.(.. 4

34mcm

x

⇒−=+− )3(7)42(414 xxx

516217621716 −=−⇒+−=−⇒−=− xxxx

⇒−−=+−−

⇒=12

812

)1(4)165(212)12,3,6

xxx

−−=−⇒−−=−−−⇒ 3668443210 xxxxx

4728 =⇒= xx

ECUACIONES 3º ESO

2

⇒−++ 2103010515 xx

2=⇒ x

⇒

⇒+−−= xx 21819224120

13=⇒ x

55 =⇒ x

⇒

⇒− 8


i) ( )( ) ( ) ⇒=−−+− xxxx 32343434 2

4534834548 ⇒=−⇒=−⇒ xxxx

Solución: 1=x

j) ( ) ( ) ( ) ⇒−−+=+ 231332 2xxxxx

693362 22 −+−+=+⇒ xxxxxx

Solución: 3=x

k) ( ) ( ) ( ) (−+=−−− 131532 2 xxxxx

1410

1014

3559124 22

=⇒−−=⇒−=−⇒

+=+−+−⇒

xxx

xxxxx

Solución: 7

5=x

l) ( )

5

1

525

82

5

1 22

+=−−+ xxx 21+⇒

x

2555

25)82(1)21(5 22 ⋅+=−−++ xxxx

55)82(1)21(5 22 ⋅+=−−++ xxxx

8

8881358

−=⇒−=⇒−=⇒ xxx

Solución: 1−=x

m) ( )( ) ( )

xxxx

⇒−+=+−12

143

4

1212 2

. 12

12)312(1

12

)14(3 22 −+=−cm

xxx

1212)312(1)14(3 22 ⇒−+=− xxxx

Solución: 2

1=x


−⇒=+−−−⇒ xxxxx 9163)4129(4)916( 222

14545

4545 =⇒=⇒=⇒ xxx

⇒+−−+=+ )69(3362 222 xxxxxx

99699262 222 −=−⇒−+=+⇒ xxxxxxx

) −+=+−+−⇒− 3355)9124(2 222 xxxxx

7

5

1797443 222 −+−=+−−⇒−+−+ xxxxxx

51

52582

5

22

+=−−+ xxxx

25)25,5.(.. )1( =⋅

mcm

)1( ⇒+=+−++⇒ 55825105 22 xxxx 5 2x

1−=⇒ x

xxx −+=−12

312

4

14 22

12)12,4.(.. =mc

123312123123 22 =⇒+=⇒−+=− xxxxx

ECUACIONES 3º ESO

3

⇒=−+− xxx 31648369 2

393 =⇒−=−⇒ xx

⇒+− )44( 2 xx

91771 ⇒−−=−−⇒ xx

⇒+=++ 55138 2xx

21

126

6 =⇒=⇒= xx


n) ( ) ( )( ) −⇒+−−=−− 33

2

13 2 xxxx

183318)33( ⇒=+−⇒=−−⇒ xx

Solución: 5−=x

o) ( ) ( )

8

1

4

13

8

12

2

1 2

⇒−+=−−+ xxxx

8

13(2

8

)144(1)(4 22 +=+−−+ xxxxx

+=+−−+ 13(2)144(1)(4 22 xxxxx

22

221168 ⇒=⇒=⇒+=− xxxx

p) 5

6(

3

)2(

15

)43)(23( 2 xxxx −=+−−−

3

44

15

86129 22 xxxxxx =++−+−−

15

)44(5)8189(1 22

=++⋅−+−⋅ xxxx

)44(5)8189(1 22 xxxx =++⋅−+−⋅222 3202058189 xxxxx =−−−+−

10837412384 22 ⇒+−=−− xxxx

Solución: 120−=x


+−=−−⇒−−=−9

2

33)9(

2

33 2222 xxx

xxx

53

15153 −=⇒

−=⇒=−⇒ xxx

8

1

4

13

8

144

2

22

−+=+−−+ xxxxx

8)8,4,2.(.. 1)1 =−

mcm

⇒−+=−+−+⇒− 126144441)1 22 xxxxx

1=⇒ x

15

)1()6 2 xx −−

155

3612 22 xxxx −−+−

3,15.(.. 15

)(1)3612(3 22 −⋅−+−⋅= mcmxxxx

)(1)3612(3 22 xxxx −⋅−+−⋅=

22 10836 xxx +−+−

1200120 −=⇒=−− xx

ECUACIONES 3º ESO

4

⇒=−−⇒ 92

339

x

⇒+=−⇒ 1618 xx

15)5,3, =



a) −⇒−=+− 1262104 2222 xxxxxx

b) +⇒−=++ 18611374 222 xxxxxx

c) −⇒+−=−+− 3765 222 xxxxxx

d) ⇒−+=+− 2147659 222 xxxxxx

e) ⇒++−=−− 114873 2222 xxxxxx

f) ⇒=−⋅⇒=− 0)2(3063 223 xxxx

g) ⇒+−=+−− 542435 22 xxxxxx

h) 676175 222 −=+−⇒−=+− xxx

i) 3451649 222 =+−⇒−−=−− xxx

j) 31102639 2222 ⇒−=+−− xxxx



=⇒=−

=⇒=⇒=−⋅⇒=

026

006

0)2(6012xx

xxxxx

=⇒=+

=⇒=⇒=+⋅⇒=

036

006

0)3(6018xx

xxxxx

=−

=−⇒=−⋅−⇒=+−

32

030)32(3096 2

x

xxxxx

=−=

⇒=−⋅⇒=−⇒010

00)10(0102

x

xxxxx

+

−⇒=+⋅−⇒=−−⇒

9

20)9(20182 2

x

xxxxx

=⇒=−

=⇒=⇒=⇒=⇒

202

(doble) 003

003 222

xx

xxxx

⇒=⇒=−⇒−=−− 4042442 2222 xxxxx

06

0066 2222 ⇒=⇒

−=⇒=−⇒+− xxxxx

40415 222 ±=⇒−=⇒=+⇒−−= xxxx

70

071101 2222 =⇒−

=⇒=−⇒−=− xxxx

ECUACIONES 3º ESO

5

=

=⇒

2

0x

−

=⇒

3

0x

=⇒=

=⇒−

=⇒

23

0

03

00

x

xx

=⇒ 100 x

−=⇒=

=⇒−

=⇒=

909

02

00

x

xx

(doble)

=−=

⇒±=⇒2

24

x

xx

(doble) 0=x

realsolución 4 ∃/⇒−

(doble) 00 =⇒= x


k) 3212533 2222 +⇒−=++− xxxx

multiplica que númeroningún existe (no

l) −⇒−−=−+− 510853 22 xxxxx

m) ⇒+++=−+ 4442565 22 xxxxx

n) −⇒−+−=−− 216334 22 xxxxxx

=

−=⇒±=⇒

22

228

x

xx

o) ⇒+−=−−− 6143644 2222 xxxx

p) −⇒−−=+−− 25494255 2 xxxxx

q) −⇒+−=−+ 785223 222 xxxxxx

r) −⇒+−=−+− 2396 222 xxxxxx

s) +=+++− 136487548 222 xxxxx

±=⇒=⇒−

−=⇒ 1616348 22 xxx


solución 0

440123 222 ∃/⇒

−=⇒−=⇒−= xxx

)4 de 0por domultiplica −

⇒±=⇒=⇒−=−⇒=+ 115505 222 xxxx

⇒±=⇒=⇒=⇒=−49

49

94094 222 xxxx

⇒−−=⇒−=−⇒=+

2

16162016 2222 xxxx

⇒±=⇒=⇒=⇒=− 44246024 222 xxx

=⇒=⇒−=−⇒=+2549

4925049 222 xxxx

⇒=−

⇒=−⇒=−⋅−⇒=+

01

070)1(7072

x

xxxxx

=⇒=−

=⇒=⇒=−⋅⇒=−

0920

020)9(2018

xx

xxxxx

+−⇒+=++⇒ 4831364813313 222 xxxxxx

=−=

⇒4

416

x

x

ECUACIONES 3º ESO

6

solución

=−=

⇒1

1

x

x

=

−=⇒

23

23

x

x

⇒= 8

=−=

⇒2

2

x

x

=

−=⇒±=

57

57

2549

x

x

=

=⇒−

=

1

07

0

x

xx

=

=⇒

9

020

x

⇒−=−⇒= 483048 2x


t) ⇒−−=−−− 1242325 222 xxxxxx

=⇒=−

=⇒−

=⇒=−⇒

202

04

004

xx

xxx

u) 792767 222 −+−=++− xxxxxx

v) =+−⋅⇒=+− )7(70749 232 xxxx

w) =+−⋅⇒=+− )12(2024 223 xxxx

x) ⇒=−⋅⇒=− 0)14(2028 334 xxxx

y) ⇒=−⋅⇒=− 0)4(40164 223 xxxx

z) =+−⋅⇒=+− )9(90981 232 xxxx


⇒=+−⇒−−=−−⇒ 08410428 222 xxxxxx

15515775157 222 ⇒=⇒+=+⇒+ xxxxxx

=⇒=+−

=⇒=⇒=⇒=⇒=

707

(doble) 007

007

0222

xx

xxxx

=⇒−=−⇒=+−

=⇒=⇒=⇒=⇒=

21

12012

(doble) 0020

020

222

xxx

xxxx

=⇒=−

=⇒=⇒=⇒=⇒

41

014

(triple) 0020

02 333

xx

xxxx

=⇒=−

=⇒=⇒=⇒=⇒

404

(doble) 0040

04 222

xx

xxxx

=⇒=+−

=⇒=⇒=⇒=⇒=

909

(doble) 009

009

0222

xx

xxxx

ECUACIONES 3º ESO

7

⇒=−⋅−⇒ 0)2(4 xx

332 ±=⇒= xx

(doble)

(doble)

(triple)

(doble)

(doble)



a) 22 (2)3(5)2(3)1( +−−=−−− xxxx

(5)44(3)12( 22 −=+−−+− xxxxx

1551212312 22 −=−+−+− xxxxx

233211102 22 −−−=−+− xxxx

1312

121301213 −=⇒−=⇒=+ xxx

b) 222 )2()2()1()1( −−+=+−− xxxx

4()12()12( 222 +=++−+− xxxxx

41212 222 ++=−−−+− xxxxxx

xx 84 =−

0120

012 =⇒−

=⇒=− xxx

c) 22 (2)3(3)2(5)1(3 −−=+−− xxxx

(3)44(5)12(3 22 =++−+− xxxxx

320205363 22 −=−−−+− xxxxx

11217262 22 −−−=−−− xxxx 0625 =−− x

256

256

625 −=⇒−

=⇒=− xxx

d) 222 ()1(4)5()3(2 +−−=−+− xxxx

(4)2510()96(2 22 =+−++− xxxx

4251018122 222 =+−++− xxxxx

xxxx 12343223 22 −=+− 04310 =+− x

1043

1043

4310 =⇒−−=⇒−=− xxx


Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas: 2)2+

)44(2)3 2 ++−− xx

88215 2 −−− xx

1312

2)

)44()44 2 +−−+ xxx

444 2 −+−+ xx

2)1+

)12(2)3 2 ++−− xxx

2429 2 −−−− xx

2)2+

)44()12( 22 ++−+− xxxx

4448 22 −−−+− xxx

ECUACIONES 3º ESO

8


e) 22 (2)3(2)1(7)2(4 =−−−−− xxxx

69(2)1(7)44(4 2 +−−−−+− xxxx

12187716164 2 −+−+−+− xxxx

2425112 22 ++=+− xxxx 0315 =+− x

51

153

315 =⇒−−=⇒−=− xxx

f) 5)1(5)1()23( 222 −+−=−−−− xxx

)12()4129( 22 −=+−−+−− xxxx

5124129 222 −=−+−−+− xxxxx

1010510145 22 −−−=−+− xxxx

0240

024 =⇒=⇒= xxx

g) 222 )1()5(4)3(2 +−−=−− xxxx

()5(4)96(2 222 −−=+−− xxxxx

20418122 222 −−−=−+− xxxxx

2121812 22 −+−=−+− xxxx

⇒=+ 0310x10

3310

−=⇒−= xx

h) ()1(4)32(4)2(3 22 −+=−+− xxxx

2(4)32(4)44(3 22 +=−++− xxxx

xxxxx 8412812123 22 +=−++−

411320243 22 ++=+− xxxx

⇒=+− 01635x 1635 ⇒−=− xx


2)1+x

)12(2) 22 ++=+ xxx

2422 22 ++=− xxx

5

5)12(5 2 −++− xx

55102 −−− x

)12 ++ x

12 −− x

)3( −x

)3()12 −−+ xxx

xx 34 2 +−+

3516

3516 =⇒

−−= x

ECUACIONES 3º ESO

9


i) 222 ()1()4()4( ++−−=+−− xxxx

()168()168( 22 −=++−+− xxxxx

2168168 222 +−=−−−+− xxxxx

3616 +=− xx 0322 =−− x

223

223

322 −=⇒−

=⇒=− xxx

j) (7)2()3()1(2 222 −=−−+−− xxxx

()96()12(2 222 −−++−+− xxxxx

496242 222 +−−−−+− xxxxxx

217116 +−=−− xx

32032 =⇒=− xx

k) 222 (3)2()2()1( −−++=+− xxxx

()44()12( 222 +++=++− xxxxx

44412 222 −+++=−−− xxxxxx

5612 22 ++−=−−− xxxx 068 =−− x

43

86

68 −=⇒−

=⇒=− xxx

l) 22 (3)3(3)1()1(2 −−=−−+− xxxx

(3)12()12(2 22 =+−−++− xxxxx

9312242 22 −=−+−−−− xxxxx

1293323 22 −+−=−−− xxxx 0911 =+− x

119

119

911 =⇒−−=⇒−=− xxx


2)2

)44()12 22 ++++− xxxx

4412 2 +++− xxx

)3−x

)3(7)44 −−=+− xx

2174 +−=− xx

2)1−

)12(3)44 2 +−−+− xxx

3634 2 −+−+ xxx

2)1−x

)12(3)3 2 +−−− xxx

3639 2 −+− xx

ECUACIONES 3º ESO

10


m) 222 ()5()1(3)2(5 −+−=−−− xxxx

()12(3)44(5 222 =+−−+− xxxxx

36320205 222 −=−+−+− xxxxx

3416217142 22 +−=+− xxxx 0172 =−x

217

172 =⇒= xx

n) 22 (2)1(2)3(7)1(4 +−=−−− xxxx

21(2)3(7)12(4 2 +−=−−+− xxxx

242217484 2 +−=+−+− xxxxx

1012425154 22 +−=+− xxxx 0153 =+− x

53

15153 =⇒

−−=⇒−=− xxx

o) )2(5)2()21( 222 −−−=−−−− xxx

5)44()441( 22 −=+−−+−− xxxx

2044441 22 +−=−+−−+− xxxx

23205585 22 −+−=−+− xxxx 01812 =+− x

23

1218

1812 =⇒−−=⇒−=− xxx

p) 222 )1()37(4)3(2 −−+−=+− xxxx

()37(4)96(2 22 −+−=++− xxxxx

122818122 222 −+−=−−− xxxxx

29141812 22 −+−=−−− xxxx

01126 =+− x 1126 =⇒−=−⇒ xx


2)3−

)96()2510 22 +−++− xxx

962510 2 +−++− xxx

2)2−x

)44(2) 22 +−++ xxx

882 22 +−+ xxx

3

3)44(5 2 −+− xx

3520 2 −−+ xx

2

)122 +− xx

122 −+ x

2611

2611 =⇒

−−= x

ECUACIONES 3º ESO

11


q) )34()1(5)2( 22 xxxx −−++−=−−

)12(5)44( 22 xxxxx +++−=+−−

xxxxx 4510544 222 +−−−=−+−

1344 22 −−−=−+− xxxx

095 =+x59

95 ⇒−=⇒−=⇒ xx

r) 222 (3)2()1()3( −=+−+−−− xxx

()12()69( 222 −++−+−− xxxxx

41269 222 −−−−−−+− xxxxxx

12123143 22 −+−=−− xxx 0212 =−− x

61

122

212 −=⇒−

=⇒=− xxx


)32(4 x−−

)32(4)34( xxx −−−

xx 12832 +−−

59−=⇒ x

2)2( −x

)44(3)44 2 +−−=++ xxx

121234 2 −+−=− xxx

ECUACIONES 3º ESO

12



a) 01072 =+− xx

==

=±=−±=2

5

237

240497

x

xx

Soluciones: 2 5 == xyx

b) 01872 =−− xx

−==

=±=+±=9

2117

272497

x

xx

Soluciones: 2 9 −== xyx

c) 032 2 =++ xx

realsolución 4

2411 ∃/⇒−±−=x

d) 320963 23:2 =−−→=−− xxxx

−==

=±=+±=1

3

242

21242

x

xx


e) 016 2 =−+ xx

−=

==±−=+±−= 12

4

1251

122411

x

xx

Soluciones: 21

31 −== xyx

f) 0253 2 =+− xx

→=

==±=−±=

64

1

6

15

6

24255

xx

xx



−2

real

0

−=→−

=→

21

126

31

124

x

x

=32

Soluciones: 32

1 == xyx

ECUACIONES 3º ESO

13

32


g) 0123 2 =−+− xx

realsolución 6

1242 ∃/⇒−

−±−=x

h) 0202 =−+ xx

−==

=±−=+±−=4

291

28011

x

xx


i) 01572 2 =−− xx

−=

==±=+±=

5

4

137

4

120497

x

xx

Soluciones: 23

5 −== xyx

j) 083)2(2 2 =++−− xx

⇒=+++−− 083)44(2 2 xxx − 2x

=⇒=+−

=⇒

211

0112

0

xx

x

Soluciones: 211

0 == xyx

k) )2()1(32)2)(4( −−+−=−+ xxxx

(332842 22 −−−−=−+− xxxxx

⇒−+−=−+⇒ 582 22 xxxx +2 2x

Soluciones: 23

1 −== xyx

IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas

real

−5

4

−=→−23

46

5

x

⇒=++−+ 083882 xxx ⇒=+− (0112 2 xxx

2)

)44 +− x −+−−−=−+⇒ 433282 22 xxxxx

=

==±−=+±−=⇒=−+

4

51

4

241103

x

xxx

TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B

14

⇒=+− 0)112( x

⇒− 4

−=

=

2

3

1


l) 2)1(9

11 −−= xx

⇒+−−= )12(9

11 2 xxx −=9

11 2xx

927911 2 −+−=⇒ xx −⇒ 279 2 xx

Soluciones: 3

4

3

5 == xyx

m) 2)1(102 −−= xx

⇒+−−= )12(102 2 xxx −=102x3±=⇒ x

Soluciones: 3 3 =−= xyx

n) −−⇒=++− (20862 22234 xxxxx

Soluciones: 4 (doble), 0 === xyxx

o) −⇒=−−− 2(3045396 3345 xxxxx

±−=⇒=++

=⇒=−

⇒ 13015132

(triple) 003

2

3

xxx

xx

Soluciones: 5 (triple), 0 −== xyxx


⇒−+−=⇒−+ 13911

12 22 xxx+−=9

9911 2x

⇒=+ 020x

=±=−±=18

327

18

72072927x

⇒++−=⇒−+ 92212 22 xxxxx =− 092x

+±=⇒=−−

=⇒=−⇒=−

293

043

(doble) 002

0)432

2

xxx

xx

x

1−=

⇒=++ 0)15132 xx

−=→−=

−=→−==±−=−±

5420

23

46

4713

4120169

xx

xx

23−=x


15

⇒−+

9927x

=

=

3

43

5

x

x

⇒±=⇒=⇒ 990 2 xx

−==

=±=+1

4

25316

x

x

5

23


p) ( +⋅⇒=−+71

076

71

71 223 xxxxxx

+±−=⇒=−+

=⇒=

⇒

211

06

0071

2 xxx

xx

Soluciones: 3 2 , 0 −=== xyxx

q) ( −⋅⇒=−− 11304113 223 xxxxxx

±=⇒=−−

=

⇒ 1211104113

0

2 xxx

x

Soluciones: 31

4 , 0 −=== xyxx


) ⇒=− 06x

−=→−−=

=→+−==±−=

32

51

22

51

25124

xx

xx

) ⇒=− 04

−=→−=

=→+==±=+

31

61311

46

1311

61311

648121

xx

xx


16



Para resolver este ejercicio aplicamos que “

es decir,

A continuación, se resuelve cada una de las ecuaciones

a)

⇔=+⋅+⋅−

5

20)75()32()4(

x

xxx

Soluciones: 5

7

2

3 ;4 −=−== xyxx

b) ⇔=+−⋅−⋅− 0)714()34()54( xxx

Soluciones: 21

43

;54 === xyxx

c) =−⋅+⋅−⋅− 0)88()33()46(4 xxxx

Soluciones: 1 ;23

; 0 −=== xyxxx



Para resolver este ejercicio aplicamos que “un producto es nulo si y sólo si alguno de los factores es nulo

=

==

⇔=⋅⋅⋅⋅

0

0

0

0... 2

1

321

n

n

A

A

A

AAAAM

continuación, se resuelve cada una de las ecuaciones niAi ,...,2,1con 0 == de forma independiente.

−=⇔−=⇔=+

−=⇔−=⇔=+

=⇔=−

5

775075

2

332032

404

xxx

xxx

xx

⇔−−=⇔−=−⇔=+−

=⇔=⇔=−

=⇔−−=⇔−=−⇔=−

⇔

147

7140714

43

34034

54

45054

xxx

xxx

xxxx

⇔−−=⇔−=−⇔=−

=⇔−=⇔−=⇔=+

⇔−−=⇔−=−⇔=−

=⇔−

=⇔=−

⇔

88

88088

33

33033

46

64046

04

004

0

xxxx

xxxx

xxxx

xxx

1=


17

un producto es nulo si y sólo si alguno de los factores es nulo”,

de forma independiente.

=⇔21

54

x

=

−=

=

1

1

23

x


d) ⋅−−⋅−⋅− ()12()36()43( 222 xxxxx

Soluciones: ;6 ;6 ;34

; 0 =−=== xxxx

e) =−⋅+⋅−⋅− )31()3()3(7 223 xxxx

Soluciones: ;3 ; (triple) 0 =−== xxx

f) ⋅−+−⋅−⋅ 8()45()44(3 223 xxxxx

=⇔−=−⇔=−

−±−=⇔=−+−

⇔=−⇔=−

=⇔=⇔=

⇔

98

89098

2255

045

0)1(4044

(triple) 0003

222

2

2

33

xxx

xxx

xxxxx

xxx

Soluciones: (doble) 1 ;)(cuádruple 0 == xx

g) =+⋅+⋅− 0)32()4()54( 222 xxxxx

Soluciones: y 45

; (doble) 0 == xxx


−⇔=+−

⇔=−⇔=−−

⇔=⇔=−

−⋅⇔=−

⇔=+−

)3(096

12012

36036

)43(043

0)96

22

22

2

2

xxx

xx

xx

xxxx

x

(doble) 3 21

;6 =−= xyx

=⇔−=−⇔=−

∃/⇒−=⇔−=⇔=+

±=⇔=⇔=−

=⇔=⇔=−

⇔

31

13031

3303

3303

(triple) 0007

0 22

22

33

xxx

xxx

xxx

xxx

31

3 == xy

⇔=− 0)9 2x

±=⇔

==

=−

±−=−±−=−

==

38

98

4

1

235

29516

1 0

x

x

x

xò

38

4 ;(doble) ±== xyx

⇔−=⇔−=⇔=+

=⇔=+⇔=+

=⇔=−⇔=−

⇔

32

23032

00)4(04

00)54(054

0

222

2

2

xxxx

òxxxxx

xxxxx

4−=x


18

=⇔=

−=

±=

==⇔=

(doble) 3021

6

34

ò 00)

x

x

x

xx

realsolución

∃/⇒−=

−=

=

realsolución 32

4 45

x

x

xò


h) −⋅+−⋅+−⋅ 8()162()65(3 322 xxxx

⇔−=−⇔=−−=−⇔=+−

±=⇔=+−

=⇔=⇔=

⇔

82028

20162

5065

0003

22

33

2

22

xx

xx

xxx

xxx

Soluciones: (triple) 2 ;3 ; (doble) 0 === xxx

i) +⋅+−⋅− 81()16124()74( 22 xxxx

=⇔=⇔=−

−=⇔−=⇔=+

=+−⇔=+−

=⇔−=−⇔=−

⇔

75

57057

81081

43016124

74

47074

22

2

)4(:

2

xxx

xxx

xxxx

xxx

Soluciones: 75

74 == xyx

j) −⋅+⋅++⋅ 9()37()1(32 2223 xxxxx

=⇔=−⇔=−

⇔=⇔=⇔=−

−=⇔−=⇔=+

⇒−±−=⇔=++

=⇔=⇔=

⇔

0)35(035

9909

7

3

7

3037

2

41101

(triple) 0003

2

2

22

22

2

33

xxxxx

xxxx

xxx

xxx

xxx

Soluciones: ;3 ;)(cuádruple 0 −== xxx


⇔=− 0)2 2x

±=⇔=⇔

=⇔=⇔=⇔−

==

=±=−

24

28816

2

3

2

15

2

2425

(doble) 0

2

33

xx

xxx

x

x

2 (triple) −=xy

⇔=−⋅ 0)57()81 x

∃/⇒

∃/⇒−±=⇔

realsolución 81

realsolución 2

16930 x

⇔=−⋅ 0)35()9 2 xx

==

±=

∃/⇒

∃/⇒

5

3 0

3

realsolución 7

3

realsolución

xò

x

53

3 == xyx


19


k) +⋅+⋅+⋅+− ()1()1()44( 322 xxxxx

=⇔=⇔=−

±=⇔=⇔=−

−=⇔=+⇔−=⇔−=⇔=+

⇒−=⇔−=⇔=+

⇔=−⇔=+−

⇔

925

2590259

5505

101

1101

1101

0)2(044

222

22

333

22

22

xxx

xxx

xx

xxx

xxx

xxxx

Soluciones: (doble) 1 ;(doble) 2 −== xx

l) ⋅++⋅−⋅ ()9124()54(5 24 xxxxx

=⇔−=⇔=+

−=⇔−=⇔=+

±−=⇔=++

=⇔−=−⇔=−

=⇔=⇔=

⇔

6420642

7707

814412

09124

54

45054

(cuádruple 0005

555

22

2

44

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

Soluciones: ;54

;)(cuádruple 0 == xxx

m) )94()253(2 222 ++⋅+−⋅− xxxxx

−=⇔−=⇔=+

−±−=⇔=++

−±=⇔=+−

=⇔=⇔=−

⇔

333

2

2

22

7707

2164

094

624255

0253

(doble) 0002

xxx

xxx

xxx

xxx

Soluciones: 3

2 ;1 ;(doble) 0 === yxxx


⇔=−⋅−⋅+ 0)259()5()1 22 xx

±=⇔

−=⇔

∃/⇒

=

3

5

9

25

1

realsolución

(doble) 2

x

x

x

35

5 ;(doble) ±=±= xyx

⇔=+⋅+ 0)642()7 52 x

−=⇔−=⇔−=

∃/⇒

−=−−=

−=+−==±−=−

23232

realsolución

23

;8

0122

3;

8

012

8

012

8

144144

)(cuádruple

5 xx

xx

xx

2 (doble) 23 −=−= xyx

0)7() 3 =+⋅ x

∃/=⇒

=−=

=+==±=

realsolución 36

32

;6

15

1;6

15

61524

(doble)

xx

xx

7 3 −=xy


20

ies juan garcía valdemora ecuaciones departamento de...

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