ies juan garcía valdemora tema 8. características de las...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

1

1. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) 12)( += xxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

b) 8)( 3 −−= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

c) 1)( 2 ++= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

d) 96)( 49 +−= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

e) 62)( 5 +−= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

f) 3)1()( −= xxf función polinómica ℜ=→ )( fDom

g) x

xf37

1)(

−= función racional

−ℜ==−−ℜ=→

3

7}037/{)( xxfDom

3

773037 =⇒−=−⇒=− xxx

h) 14

1)(

2 −=

xxf función racional

−−ℜ==−−ℜ=→

2

1,

2

1}01/{)( 2xxfDom

2

1 ò

2

1

4

114014 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

i) 34

2)(

2

7

+−−=xx

xxf función racional { }3,1}034/{)( 2 −ℜ==+−−ℜ=→ xxxfDom

==

=±=−±=⇔=+−1

3

2

24

2

121640342

x

xxxx

j) 3

1)(

xxf = función racional { }0}0/{)( 3 −ℜ==−ℜ=→ xxfDom

000 33 =⇔=⇔= xxx

k)

5

7)(

2 −=

xxf función racional { }5,5}05/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom

5505 22 ±=⇔=⇔=− xxx

l) 1

1)(

4 −=

xxf función racional { }1,1}01/{)( 4 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom

11101 444 ±=⇔±=⇔=⇔=− xxxx

m) 1

1)(

3 +=

xxf función racional { }1}01/{)( 3 −−ℜ==+−ℜ=→ xxfDom

11101 333 −=⇔−=⇔−=⇔=+ xxxx

n) 8

97)(

3 ++=

x

xxf función racional { }2}08/{)( 3 −−ℜ==+−ℜ=→ xxfDom

28808 333 −=⇔−=⇔−=⇔=+ xxxx

o) 22

3)(

xxf

−= función racional { }2,2}02/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom

2202 22 ±=⇔=⇔=− xxx


2

p) 43

1)(

24 −−−=xx

xxf función racional }043/{)( 24 =−−−ℜ=→ xxxfDom

� bicuadradaecuación 043 24 =−− xx � 043 variablede Cambio 22 =−−⇒= tttx

⇒−=⇒−=±=⇒=⇒=

=±=+±=⇔=−−realsolución tieneno11

244

2

53

2

1693043

2

22

xx

xxtttt

� Por tanto, { }2,2}043/{)( 24 −−ℜ==−−−ℜ= xxxfDom

q) 87

)(36 −−

=xx

xxf función racional }087/{)( 36 =−−−ℜ=→ xxxfDom

� 087 36 =−− xx � 087 variablede Cambio 23 =−−⇒= tttx

−=⇒−=⇒−=⇒−=

=⇒==⇒=⇒==±=+±=⇔=−−

1111

22888

2

97

2

32497087

33

332

xxxx

xxxtttt

� Por tanto, { }2,1}087/{)( 26 −−ℜ==−−−ℜ= xxxfDom

r) 99

846)(

23

23

+−−++−=

xxx

xxxxf función racional }099/{)( 23 =+−−−ℜ=→ xxxxfDom

� 09923 =+−− xxx

9 9 1 1 −− 9 0 1 −+ 0 9 0 1 −

±=⇒=−

=⇒=−⇔=−⋅−⇔=+−−

309

101

0)9()1(0992

223

xx

xx

xxxxx

� Por tanto, }3,1,3{}099/{)( 23 −−ℜ==+−−−ℜ=→ xxxxfDom

s) 22

3)(

23

2

+−−−=

xxx

xxf función racional }022/{)( 23 =+−−−ℜ=→ xxxxfDom

� 022 23 =+−− xxx

2 1 2 1 +−−

2 1 1 −−+ 0 2 1 1 −−

1

1


3

−==

=±=+±=⇒=−−

=⇒=−⇔=−−⋅−⇔=+−−

1

2

2

31

2

81102

101

0)2()1(022 2223

x

xxxx

xx

xxxxxx

� }2,1,1{}022/{)( Por tanto, 23 −−ℜ==+−−−ℜ= xxxxfDom

t) xxxx

xxf

33

13)(

234 −−++= función racional }033/{)( 234 =−−+−ℜ=→ xxxxxfDom

�

=−−+=

⇒=−−+⋅⇒=−−+033

00)33(033

23

23234

xxx

xxxxxxxxx

� 03323 =−−+ xxx

3 3 1 1 −−+

3 0 1 +− 0 3 0 1 −

±=⇒=−

−=⇒=+⇔=−⋅+⇔=−−+

303

101

0)3()1(0332

223

xx

xx

xxxxx

� }3,3,1,0{}033/{)( Por tanto, 234 −−−ℜ==−−+−ℜ= xxxxxfDom

u) 43

2)(

2

7

+−−=xx

xxf función racional }043/{)( 2 =+−−ℜ=→ xxxfDom

realsolución tieneno2

16930432 =−±=⇔=+− xxx

ℜ=)( Por tanto, fDom

v) 4

1)(

2 +−=

x

xxf función racional }04/{)( 2 =+−ℜ=→ xxfDom

realsolución tieneno4404 22 ⇒−=⇔−=⇔=+ xxx ℜ=)( Por tanto, fDom

w) 1681

97)(

4 −+=

x

xxf función racional }01681/{)( 4 =−−ℜ=→ xxfDom

3

2

81

16168101681 444 ±=±=⇔=⇔=− xxx

−−ℜ=

3

2,

3

2)( Por tanto, fDom

1−


4

x) 16

97)(

4 ++=

x

xxf función racional }016/{)( 4 =+−ℜ=→ xxfDom

realsolución tieneno1616016 444 ⇒−=⇔−=⇔=+ xxx


y) 5)1(

2)(

+−=

x

xxf función racional }1{}0)1/({)( 5 −−ℜ==+−ℜ=→ xxfDom

1010)1( 5 −=⇔=+⇔=+ xxx

z)

2

3

1

85)(

xx

xxf

++−= función racional }01/{)( 2 =++−ℜ=→ xxxfDom


4110101 22 =−±−=⇔=++⇔=++ xxxxx



a) 826)( +−= xxxf ),0[)()( +∞===→ xyDomfDom

b) xxxf −−+= 32)(

� ),2[}02/{Dominio2 +∞−=≥+=→+= xxxy

� ]3,(}03/{Dominio3 −∞=≥−=→−= xxxy Por tanto, ]3,2[]3,(),2[)( −=−∞∩+∞−=fDom

c) xxf 24)( −= función radical con índice par ]2,(}024/{)( −∞=≥−ℜ∈=→ xxfDom

22

442024 ≤⇒

−−≤⇒−≥−⇒≥− xxxx

d) 3 24)( xxf −= función radical con índice impar ℜ=−==→ )24()( xyDomfDom

e) x

xf24

1)(

−= función radical con índice par )2,(}024/{)( −∞=>−ℜ∈=→ xxfDom

Nota: El radical aparece en el denominador por eso el radicando ha de ser estrictamente mayor que 0.

22

442024 <⇒

−−<⇒−>−⇒>− xxxx

f) 3 24

1)(

xxf

−= función radical con índice impar }2{)( −ℜ=→ fDom

Nota: El denominador no puede ser 0 20240243 ≠⇔≠−⇔≠−⇒ xxx

g) 4 2 45)( +−= xxxf función radical con índice par }045/{)( 2 ≥+−ℜ∈=→ xxxfDom

045 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥+− xx

Ceros

==

=±=−±=⇔=+−1

4

2

35

2

162550452

x

xxxx


5

),4[]1,()( Por tanto, +∞∪−∞=fDom

h) 32)( 2 +−= xxxf función radical con índice par }032/{)( 2 ≥+−ℜ∈=→ xxxfDom


Ceros


12420322 ⇒

−±=⇔=+− xxx


i) 352)( 2 −+−= xxxf función radical con índice par }0352/{)( 2 ≥−+−ℜ∈=→ xxxfDom

0352 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥−+− xx

Ceros

=

==

−±−=

−−±−=⇔=−+−

2

3

1

4

15

4

242550352 2

x

xxxx

=2

3,1)( Por tanto, fDom

j) 43)( 2 +−= xxxf función radical con índice par }043/{)( 2 ≥+−ℜ∈=→ xxxfDom


6

043043 :inecuación laresolver que Tenemos 22 ≥++−⇒≥+− xxxx

Ceros

=−=

=−

±−=−

+±−=⇔=++−4

1

2

53

2

16930432

x

xxxx

]4,1[)( Por tanto, −=fDom

k) x

xf1

)( = función radical con índice par ),0(}0/{)( +∞=>ℜ∈=→ xxfDom


l) 3

1)(

xxf = función radical con índice impar }0{)( −ℜ=→ fDom

Nota: El denominador no puede ser 0 003 ≠⇔≠⇒ xx

m) 5 2 1)( −= xxf función radical con índice impar ℜ=−==→ )1()( 2xyDomfDom

n) 5 2 1

1)(

−=

xxf función radical con índice impar }1,1{)( −−ℜ=→ fDom

Nota: El denominador no puede ser 0 10101 25 2 ±≠⇔≠−⇔≠−⇒ xxx

o) 4 29

1)(

xxf

−= función radical con índice par }09/{)( 2 >−ℜ∈=→ xxfDom


� 0909 22 >+−⇒>− xx Ceros

3909 22 ±=⇔=⇔=+− xxx

� Por tanto, )3,3(}09/{)( 2 −=>−ℜ∈=→ xxfDom

p) x

xxf

1)(

−= función radical con índice par

≥−ℜ∈=→ 0

1/)(

x

xxfDom


7

01

:inecuación laresolver que Tenemos ≥−x

x

Ceros Polos

101 =⇔=− xx 0=x

),1[)0,()( Por tanto, +∞∪−∞=fDom

q) 31

)(x

xxf

−= función radical con índice impar }0{1

)( −ℜ=

−==→x

xyDomfDom

r) 2

3)(

−+=

x

xxf función radical con índice par

≥

−+ℜ∈=→ 0

2

3/)(

x

xxfDom

02

3 :inecuación laresolver que Tenemos ≥

−+

x

x

Ceros Polos 303 −=⇔=+ xx 202 =⇔=− xx

),2(]3,()( Por tanto, +∞∪−−∞=fDom

s) 1

)(2

−=

x


≥−

ℜ∈=→ 01

/)(2

x

xxfDom

01

:inecuación laresolver que Tenemos2

≥−x

x

Ceros Polos 002 =⇔= xx 101 =⇔=− xx

),1(}0{)( Por tanto, +∞∪=fDom

t) 32 23

2)(

+−−=

xx

xxf función radical con índice impar }2,1{

23

2)(

2−ℜ=

+−−==→

xx

xyDomfDom

==

=±=−±=⇔=+−1

2

2

13

2

8930232

x

xxxx


8

u) 23

2)(

2 +−−=

xx


≥

+−−ℜ∈=→ 0

23

2/)(

2 xx

xxfDom

0)1)(2(

)2(0

23

2 :inecuación laresolver que Tenemos

2≥

−−−

⇒≥+−

−xx

x

xx

x

Ceros 202 =⇔=− xx

Polos

==

=−±=⇔=+−1

2

2

8930232

x

xxxx

),2()2,1()( Por tanto, +∞∪=fDom

v) 33 5

1)(

xxxf

−= función radical con índice impar =

−==→

xxyDomfDom

5

1)(

3

}5,0{}05/{ 3 ±−ℜ==−−ℜ= xxx

±=⇔=−

=⇔=−⋅⇔=−

505

0

0)5(052

23

xx

x

xxxx

w) 32

6

44

15)(

+−+−=

xx

xxxf función radical con índice impar =

+−+−==→

44

15)(

2

6

xx

xxyDomfDom

}2{}044/{ 2 −ℜ==+−−ℜ= xxx

==

=±=−±=⇔=+−2

2

2

04

2

161640442

x

xxxx

x) 42 65

)7()(

+++=xx

xxxf función radical con índice par

≥

+++ℜ∈=→ 0

65

)7(/)(

2 xx

xxxfDom

0)3)(2(

)7(0

65

)7( :inecuación laresolver que Tenemos

2≥

+++⇔≥

+++

xx

xx

xx

xx

Ceros Polos

7 ò 00)7( −==⇔=+ xxxx 2 ò 30652 −=−=⇔=++ xxxx

),0[)2,3(]7,()( Por tanto, +∞∪−−∪−−∞=fDom


9

y) 4

1)(

−+=

x

xxf

}0)(/)({)]()([)()()(

)( Como =∈−∩=⇒= xhhDomxhDomgDomfDomxh

xgxf

(Valores de x en los que g

y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)

� ),1[}01/{Dominio1 +∞−=≥+ℜ∈=→+= xxxy

� ℜ=→−= Dominio4xy

404 ≠⇔≠− xx

),4()4,1[)( Por tanto, +∞∪−=fDom

z) xx

xxf

2

4)(

2

2

−−=

}0)(/)({)]()([)()()(


xgxf



� ),2[]2,(}04/{Dominio4 22 +∞∪−−∞=≥−ℜ∈=→−= xxxy

04 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥−x

Ceros

2404 22 ±=⇔=⇔=− xxx

� ℜ=→−= Dominio22 xxy

2y 00)2(022 ≠≠⇔≠−⇔≠− xxxxxx


10

),2(]2,()( Por tanto, +∞∪−−∞=fDom

aa) 1

65)(

4

2

−+−=

x

xxxf

}0)(/)({)]()([)()()(


xgxf



� ℜ=→+−= Dominio652 xxy

� ),1()1,(}01/{Dominio1 44 +∞∪−−∞=>−ℜ∈=→−= xxxy (La desigualdad es estricta porque el

denominador no puede ser 0)

01 :inecuación laresolver que Tenemos 4 >−x

Ceros

1 ò 11101 444 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

),1()1,()],1()1,([)( Por tanto, +∞∪−−∞=+∞∪−−∞∩ℜ=fDom

bb)27

4)(

3

2

+−=

x

xxf

}0)(/)({)]()([)()()(


xgxf



� ),2[]2,(}04/{Dominio4 22 +∞∪−−∞=≥−ℜ∈=→−= xxxy


Ceros

2404 22 ±=⇔=⇔=− xxx

� ℜ=→+= Dominio273xy

32727027 333 −≠⇔−≠⇔−≠⇔≠+ xxxx


11

),2[]2,3()3,()( Por tanto, +∞∪−−∪−−∞=fDom

cc) 3

2

6

4)(

−−=

x

xxf

}0)(/)({)]()([)()()(


xgxf



� ),2[]2,(}04/{Dominio4 22 +∞∪−−∞=≥−ℜ∈=→−= xxxy


Ceros

2 ò 24404 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

� ℜ=→−= Dominio63 xy

606063 ≠⇔≠−⇔≠− xxx

),6()6,2[]2,()( Por tanto, +∞∪∪−−∞=fDom

dd)3 9

72)(

x

xxf

−+=

}0)(/)({)]()([)()()(


xgxf




12



rdenominado al anula porque dominio elen está no 9 luego 9093 →≠⇔≠− xx

}9{)( Por tanto, −ℜ=fDom

ee) 6 9

72)(

x

xxf

−+=

}0)(/)({)]()([)()()(


xgxf




� )9,(}09/{Dominio96 −∞=>−ℜ∈=→−= xxxy (mayor estricto porque el radical está en el

denominador y, por tanto, no puede anularse)

)9,()( Por tanto, −∞=fDom


a) )23ln()( +−= xxf { }

∞−=>+−ℜ∈=→3

2,023/)( xxfDom

3

223023 <⇔−>−⇔>+− xxx

b) xxf 3log)( −= { } )0,(03/)( −∞=>−ℜ∈=→ xxfDom

03

00303 <⇔

−<⇔>−⇔>− xxxx

c) )5ln()( 2xxf −= { } )5,5(05/)( 2 −=>−ℜ∈=→ xxfDom

0505 :inecuación laresolver que Tenemos 22 >+−⇒>− xx

Ceros

5505 22 ±=⇔=⇔=+− xxx

d) 3 1ln)( −= xxf ),1(}1/{}01/{}01/{Dominio 3 +∞=>ℜ∈=>−ℜ∈=>−ℜ∈=→ xxxxxx


13

e) )23ln()( 2 +−= xxxf ),2()1,(}023/{Dominio 2 +∞∪−∞=>+−ℜ∈=→ xxx

023 :inecuación laresolver que Tenemos 2 >+− xx Ceros

1

2

2

13

2

8930232

==±=−±=⇔=+−

x

xxxx

),2()1,()( Por tanto +∞∪−∞=fDom f) )3log()( 2 −= xxf ),3()3,(}03/{Dominio 2 +∞∪−−∞=>−ℜ∈=→ xx


g)

−+++−=152

2log)(

2

2

xx

xxxf

>−+++−ℜ∈=→ 0152

2/)(

2

2

xx

xxxfDom

0)5)(3(

)2)(1(0

152

2 :inecuación laresolver que Tenemos

2

2

>+−−+−⇔>

−+++−

xx

xx

xx

xx

Ceros Polos

2 o 1022 =−=⇔=++− xxxx 5 o 301522 −==⇔=−+ xxxx

)3,2()1,5()( Por tanto, ∪−−=fDom

h) 1ln)( −= xxf ),[}1ln/{}01ln/{Dominio +∞=≥ℜ∈=≥−ℜ∈=→ exxxx

),[1ln 1ln +∞∈⇔≥⇔≥⇔≥ exexeex x


14

i) 3

ln)(

−=

x

xxf

� ),0(Dominioln +∞=→= xy

� ),3(}03/{Dominio3 +∞=>−ℜ∈=→−= xxxy (La desigualdad es estricta porque al estar el

radical en el denominador no puede ser 0)

El dominio de la función es la intersección de los dos intervalos anteriores,

Por tanto, ),3()( +∞=fDom

j) )1ln(

)(−

=x

xxf

� ℜ=→= Dominioxy

� ),1(}1/{}01/{Dominio)1ln( +∞=>ℜ∈=>−ℜ∈=→−= xxxxxy

2110)1ln( ≠⇔≠−⇔≠− xxx

),2()2,1()( Por tanto, +∞∪=fDom


15

k) 29log)( xxf −= )3,3(}09/{}09/{Dominio 22 −=>−ℜ∈=>−ℜ∈=→ xxxx

09 :inecuación laresolver que Tenemos 2 >− x

Ceros

3 ò 39909 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

l) 1

)3ln()(

2 −+=

x

xxf

� ),3(}03/{Dominio)3ln( +∞−=>+ℜ∈=→+= xxxy

� ),1()1,(}01/{Dominio1 22 +∞∪−−∞=>−ℜ∈=→−= xxxy (La desigualdad es estricta porque

al estar el radical en el denominador no puede ser 0)


Ceros

1 ò 11101 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

El dominio de la función es la intersección de los dos intervalos anteriores,

),1()1,3()( por tanto, +∞∪−−=fDom

m) x

xxf

)7log()(

+=

� ),7(}7/{}07/{Dominio)7log( +∞−=−>ℜ∈=>+ℜ∈=→+= xxxxxy

� }0{Dominio −ℜ=→= xy (eliminamos el 0 porque el denominador no puede anularse)

),0()0,7(})0{(),7()( Por tanto, +∞∪−=−ℜ∩+∞−=fDom


16

n)

+=x

xxf

7log)(

>+ℜ∈=→ 0

7/Dominio

x

xx

Ceros Polos

707 −=⇒=+ xx 0=x

),0()7,()( Por tanto, +∞∪−−∞=fDom

o) 3log

92)(

+−=x

xxf

� ℜ=→−= Dominio92xy

� ),3(}03/{Dominio3log +∞−=>+ℜ∈=→+= xxxy

2131303log −≠⇔≠+⇔≠+⇔≠+ xxxx

El dominio de la función es el conjunto de números reales que cumplen todas las condiciones anteriores,

),2()2,3(}2{)],3([)( por tanto, +∞−∪−−=−−+∞−∩ℜ=fDom

p) 25)( −= xxf ℜ=−==→ )2(Dominio xyDom

q) xxf −= 15)( =≥ℜ∈=≥−ℜ∈=−==→ }1/{}01/{)1(Dominio xxxxxyDom

]1,(}1/{ −∞=≤ℜ∈= xx

r) 22)( −= xxf ),0[)()2(Dominio +∞===−==→ xyDomxyDom

s) 22)( −= xxf ),2[}2/{}02/{)2(Dominio +∞=≥ℜ∈=≥−ℜ∈=−==→ xxxxxyDom

t) 132

2

1)(

+−

=xx

xf ℜ=+−==→ )13(Dominio 2 xxyDom

u) xxxf −−= 9)52()(

�

+∞∈→>⇒>⇒>− ,2

5

2

552052 xxxx


+∞=ℜ∩

+∞= ,2

5,

2

5)( Por tanto, fDom

v) 24)53()( xxxf −−=

�

+∞∈→>⇒>⇒>− ,3

5

3

553053 xxxx


17

� ]2,2[}04/{Dominio4 22 −=≥−ℜ∈=→−= xxxy

04 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥− x

Ceros

2 ò 24404 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx

=−∩

+∞= 2,3

5]2,2[,

3

5)( Por tanto, fDom

w) 1

)(+

=x

x

e

exf

� ℜ=→= Dominioxey

� ℜ=→+= Dominio1xey ) devalor cualquier para 0(solución tieneno101 xeee xxx >⇒−=⇒=+

Por tanto, ℜ=)( fDom

x) 2

)(−

=x

x

e

exf

�� ),0[Dominio +∞=→= xey

�� ℜ=→−= Dominio2xey 2ln2lnlne202 =⇒=⇒=⇒=− xee xxx

Por tanto, ( ) ),2(ln)2ln,0[2ln),0[)( +∞∪=−ℜ∩+∞=fDom

y) 42

2)(

−=

x

x

xf

�� ℜ=→= Dominio2xy

�� ℜ=→−= Dominio42xy 242042 ≠⇔≠⇔≠− xxx

Por tanto, }2{)( −ℜ=fDom

z) 1)( −= xexf función radical con índice par ),0[}01/{Dominio +∞=≥−=→ xex


18

),0[0101 +∞∈⇔≥⇔≥⇔≥− xxee xx

aa) 3 1)( −= xexf función radical con índice impar ℜ=−==→ )1(Dominio xeyDom


a) 32)( −+= xxf ℜ=→ )( fDom

b) 31

)(x

xxf

−= función radical con índice impar }1,1{

1)( −−ℜ=

−==→

x

xyDomfDom

}1,1{}01/{1

−−ℜ==−−ℜ=

−= xx

x

xyDom

1101 ±=⇔=⇔=− xxx

c) 2

2)(

−=

xxf }2{

2

2)( −ℜ=

−==→

xyDomfDom

d) 2

2)(

−=

xxf }2,2{}02/{)( −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom

2202 ±=⇔=⇔=− xxx

e) xx

xxf

−−=

2

1)( }1,0,1{}0/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxxfDom

==⇒≥=−

−==⇒<=+⇔=−

1 o 00 si 0

1 o 00 si 0

02

2

2

xxxxx

xxxxx

xx

f) 24

1)(

xx

xxf

−−= }4,0,4{}04/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxxfDom

==⇒≥=−

−==⇒<=−−=

≥=−

<=−−⇔=−

4 o 00 si 04

4 o 00 si 04

04 si 04

04 si 04

042

2

2

2

2

xxxxx

xxxxx

xxx

xxx

xx


19

g) 1ln)( −= xxf }1{}01/{Dominio −ℜ=>−ℜ∈=→ xx

h) 1ln

1)(

−=

xxf }2,0,1{}01ln/{}01/{Dominio −ℜ==−−>−ℜ∈=→ xxxx

}1{01 −ℜ∈⇔>− xx

0 ò 21101ln ==⇔=−⇔=− xxxx

i) 1ln

1)(

−=

xxf ),(),0(}{),0(}01ln/{)1ln(Dominio +∞∪=−+∞==−−−==→ eeexxxyDom

exxxx =⇔=⇔=−⇔=− 1ln01ln01ln

j) 1ln)( −= xxf ),0()1ln(Dominio +∞=−==→ xyDom

k) )7()( += xsenxf ℜ=+==→ )7(Dominio xyDom

l)

++=

9

72cos)(

2

3

x

xxf ℜ=

++==→

9

72Dominio

2

3

x

xyDom

realsolución tieneno 909 22 ⇒−=⇔=+ xx

m)

−=

2

2cos)(

2xxf }2{

2

2Dominio

2±−ℜ=

−==→

xyDom

2202 22 ±=⇔=⇔=− xxx

n) senx

xxf

52)(

−= } ;{}0/{)( Ζ∈−ℜ==−ℜ=→ kksenxxfDom π

o)

−=

xx

xxf

3cos)( }1,0,1{}0/{Dominio 3

3−−ℜ==−−ℜ=

−==→ xxx

xx

xyDom

1 ò 0 0)1(0 23 ±==⇒=−⇔=− xxxxxx

p) xx

xsenxf

−=

3)(

≥

−ℜ∈=

−==→ 0/Dominio

33 xx

xx

xx

xyDom

Ceros Polos

0=x 1 o 0 0)1(0 23 ±==⇒=−⇔=− xxxxxx

Por tanto, ),1()1,()( +∞∪−−∞=fDom


20


a)

≥−<<−

≤=

−

5 1

41 3

1 2

)(

xsi

xsix

xsi

xf

x

Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales

� )(]1,( Dominio2 fDomy x ∈−∞⇒ℜ=→= −

� )()4,1( Dominio3 fDomxy ∈⇒ℜ=→−=

� )(),5[ Dominio 1 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=

),5[)4,()( Por tanto, +∞∪−∞=fDom

b)

≤<−≤<

<+=

73 2

30 2

0 2

)(

xsix

xsi

xsix

xf


� )()0,( Dominio2 fDomxy ∈−∞⇒ℜ=→+=

� )(]3,0( Dominio2 fDomy ∈⇒ℜ=→=

� )(]7,3( Dominio 2 fDomxy ∈⇒ℜ=→−=

]7,0()0,()( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo ∪−∞=fDom

c)

≥−<<+−

−<

=3 2

30 32

3 2

)( 2

xsix

xsixx

xsi

xf


� )()3,( Dominio2 fDomy ∈−−∞⇒ℜ=→=

� )()3,0( Dominio322 fDomxxy ∈⇒ℜ=→+−=

� )(),3[ Dominio 2 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=


21

),0()3,()( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo +∞∪−−∞=fDom

d)

≥+

<<−

≤+

=

6 1

51 2

1

1 13

)(

2

xsix

xsix

xsix

xf


� )(]1,( Dominio13

2

fDomx

y ∈−∞⇒ℜ=→+=

� )()5,2()2,1( }2{Dominio2

1fDom

xy ∈∪⇒−ℜ=→

−=

� )(),6[ Dominio 1 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→+=

),6[)5,2()2,()( Por tanto, +∞∪∪−∞=fDom

e)

>−

≤=

0 2

1

0 1)(

3xsi

xx

xsixf


� )(]0,( Dominio1 fDomy ∈−∞⇒ℜ=→=

� )(),2()2,0( }2,2,0{Dominio2

13

fDomxx

y ∈+∞∪⇒−−ℜ=→−

=

}2{)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo −ℜ=fDom


22

f)

≤<−

≤<−

−<−

=

71 2

1

14 2

4 32

)(

xsix

xsi

xsix

xf x


� )()4,( Dominio32 fDomxy ∈−−∞⇒ℜ=→−=

� )(]1,4( Dominio2 fDomy x ∈−⇒ℜ=→=

� )(]7,2()2,1( }2{Dominio2

1fDom

xy ∈∪⇒−−ℜ=→

+=

]7,2()2,4()4,()( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo ∪−∪−−∞=fDom

g)

≤−

>−=

0 2

1

0 1)(

xsix

xsixxf


� )(),0( Dominio1 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=

� )(]0,( }2{Dominio2

1fDom

xy ∈−∞⇒−ℜ=→

−=


h)

−≤−

−>−=

1 9

1

1 1)(

2xsi

x

xsixxf


� )(),1( Dominio1 fDomxy ∈+∞−⇒ℜ=→−=


23

� )(]1,3()3,( }3,3{Dominio9

12

fDomx

y ∈−−∪−−∞⇒−−ℜ=→−

=

}3{)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo −−ℜ=fDom

i)

≤−

>−=

0 2

1

0 1)(

xsix

xsixxf


� )(),0( ),0[Dominio1 fDomxy ∈+∞⇒+∞=→−=

� )(]0,( }2{Dominio2

1fDom

xy ∈−∞⇒−ℜ=→

−=


j)

≤<−<<

≤≤−+

=71 2

10 ln

03 2

1

)(

xsix

xsix

xsix

xf


� )(]0,2()2,3[ }2{Dominio2

1fDom

xy ∈−∪−−⇒−−ℜ=→

+=

� ),0(Dominio)ln( +∞=→= xy )()1,0( fDom∈⇒

� )()7,1( Dominio 2 fDomxy ∈⇒ℜ=→−=

]7,1()1,2()2,3[)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo ∪−∪−−=fDom


24

k)

<−

<<−

≤−

=

xsix

xsix

xsixx

xf

6 2

61 )1ln(

1

1 2

1

)(

2


� )(]1,0()0,( }2,0{}02/{Dominio2

1 22

fDomxxxxx

y ∈∪−∞⇒−ℜ==−ℜ∈−ℜ=→−

=

2 ò 00)2(022 ==⇔=−⋅⇔=− xxxxxx

� ⇒+∞∪=−+∞==−−>−ℜ∈=→−

= ),2()2,1(}2{),1(}0)1ln(/{}01/{Dominio)1ln(

1xxxx

xy

)()6,2()2,1( fDom∈∪⇒

� )(),6( Dominio 2 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=

}6,2,0{)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo −ℜ=fDom


25

6. Dadas las siguientes funciones efectúa las operaciones que se indican, calculando en cada caso el dominio de la función resultante:

4

1)(

2 −=

xxf }2,2{)( −−ℜ=→ fDom

6)( 2 −= xxg ℜ=→ )( fDom

4

6)(

2 −=

x

xxh }2,2{)( −−ℜ=→ fDom

1)( += xxp ),1[}01/{)( +∞−=≥+ℜ∈=→ xxfDom

1

1)(

+−=

x

xxj }1{)( −−ℜ=→ fDom

1

2)(

2 −+=

x

xxk }1,1{)( −−ℜ=→ fDom

34)( 2 +−= xxxl ),3[]1,(}034/{)( 2 +∞∪−∞=≥+−ℜ∈=→ xxxfDom


Ceros

3 ò 10342 ==⇔=+− xxxx

4)( −= xxm ℜ=→ )( fDom

1

3)(

−−=

x

xxs }1{)( −ℜ=→ fDom

3

12)(

+−=

x

xxr }3{)( −−ℜ=→ fDom

a) =−

+−−+=−

−−+=−+−

=+=+4

24461

4

)6)(4(1)6(

4

1)()())((

2

224

2

222

2 x

xxx

x

xxx

xxgxfxgf

4

25102

24

−+−=

x

xx

• Por tanto, 4

2510))((

2

24

−+−=+

x

xxxgf

• }2,2{})2,2{()()()( −−ℜ=ℜ∩−−ℜ=∩=+ gDomfDomgfDom

b) =−

+++−=+=+

12

11

)()())((2x

x

x

xxkxjxkj =

−+++−=

+−++−=

+−++

+−

1212

)1)(1(2)1(

)1)(1(2

11

2

22

x

xxx

xx

xx

xx

x

x

x

13

2

2

−+−=

x

xx

• Por tanto, 1

3))(( 2

2

−+−=+

x

xxxkj

FUNCIONES ELEMENTALES

26

• }1,1{})1,1{(})1{()()()( −−ℜ=−−ℜ∩−−ℜ=∩=+ kDomjDomkjDom

c) =++

−+−−−−+=++

−+−+−=+−−

+−=−=−

)3)(1(

)122(33

)3)(1(

)12)(1()3)(1(

3

12

1

1)()())((

22

xx

xxxxxx

xx

xxxx

x

x

x

xxrxjxrj

34

2

)3)(1(

22

22

++−+−=

++−+−=

xx

xx

xx

xx

• Por tanto, 342

))(( 2

2

++−+−=−

xx

xxxrj

• }1,3{})3{(})1{()()()( −−−ℜ=−−ℜ∩−−ℜ=∩=− rDomjDomrjDom

d) =−

+−+−+−=−+

−+−−=−−−

+−=−=−

13312

)1)(1()3)(1()1(

13

11

)()())((2

222

x

xxxxx

xx

xxx

x

x

x

xxsxjxsj

1242

2

2

−−−=

x

xx

• Por tanto, 1

242))(( 2

2

−−−=−

x

xxxsj

• }1,1{})1{(})1{()()()( −−ℜ=−ℜ∩−−ℜ=∩=− sDomjDomsjDom

e) 22

6

)1)(2(

6

)1()2()2(

)2(6

1

2

4

6)()())((

232222 +−−=

−−=

−⋅−⋅++⋅=

−+⋅

−=⋅=⋅

xxx

x

xx

x

xxx

xx

x

x

x

xxkxhxkh

• Por tanto, 22

6))((

23 +−−=⋅

xxx

xxkh

• }2,1,1,2{)1,1{(})2,2{()()()( −−−ℜ=−−ℜ∩−−ℜ=∩=⋅ kDomhDomkhDom

f) 1

31

311

)()())((+−=

−−⋅

+−=⋅=⋅

x

x

x

x

x

xxsxjxsj

• Por tanto, 1

3))((

+−=⋅

x

xxsj

• }1,1{})1{(})1{()()()( −−ℜ=−ℜ∩−−ℜ=∩=⋅ sDomjDomsjDom

g) 32

233

2)3)(1(

2)3)(1)(1(

)1)(2(1

3:

12

)()(

))((222 ++−

+=−+−

+=−+

+=−+−

−+=−−

−+==

xx

x

xxx

x

xx

x

xxx

xx

x

x

x

x

xs

xkxsk

• Por tanto, 32

2))(/(

2 ++−+=

xx

xxsk

• }3,1,1{}3{}]1{}1,1{[}0)(/{)]()([)/( −−ℜ=−−ℜ∩−−ℜ==−∩= xsxsDomkDomskDom

}1,1{)( −−ℜ=kDom

}1{)( −ℜ=sDom

301

30)( =⇔=

−−⇔= x

x

xxs


27

h) 1

6

)(

)())((

2

−−==

x

x

xp

xgxpg

• Por tanto, 1

6))(/(

2

−−=

x

xxpg

• ),1(}1{)],1[[}0)(/{)]()([)/( +∞=−+∞∩ℜ==−∩= xpxpDomgDompgDom

ℜ=)(gDom

),1[)( +∞=pDom

1010)( =⇔=−⇔= xxxp

i) 1086)4(]4[)]([))(( 22 +−=−−=−== xxxxgxmgxmg o

ℜ=ℜ∈−ℜ∈=∈∈= }4/{)}()(/)({)( xxgDomxmmDomxmgDom o

j) 104)6(]6[)]([))(( 222 −=−−=−== xxxmxgmxgm o

ℜ=ℜ∈−ℜ∈=∈∈= })6/({)}()(/)({)( 2xxmDomxggDomxgmDom o

k) 128

1

4)4(

1]4[)]([))((

22 +−=

−−=−==

xxxxfxmfxmf o

}6,2{}}2,2{4/{)}()(/)({)( −ℜ=−−ℜ∈−ℜ∈=∈∈= xxfDomxmmDomxmfDom o

224 ≠⇔−≠− xx 624 ≠⇔≠− xx

l) 153

1441

411

11

)]([))((+−−=

+−−−=−

+−=

+−==

x

x

x

xx

x

x

x

xmxjmxjmo

}1{}11

/}1{{)}()(/)({)( −−ℜ=ℜ∈+−−−ℜ∈=∈∈=

x

xxmDomxjjDomxjmDom o

m) 3

23

3

3121

3

12

3

12)]([))((

++=

+++−=+

+−=

+−==

x

x

x

xx

x

x

x

xpxrpxrp o

+∞−∪−−∞=+∞−∈+−−−ℜ∈=∈∈= ,

32

)3,()},1[312

/}3{{)}()(/)({)(x

xxpDomxrrDomxrpDom o

0323

01312

1312 ≥

++⇔≥+

+−⇔−≥

+−

x

x

x

x

x

x

Ceros Polos

32

023 −=⇔=+ xx 303 −=⇔=+ xx


28

n) 1

2

1

111

1

1

1

1)]([))((

+=

+++−=+

+−=

+−==

x

x

x

xx

x

x

x

xpxjpxjp o

),0[)1,()},1[11

/}1{{)}()(/)({)( +∞∪−−∞=+∞−∈+−−−ℜ∈=∈∈=

x

xxpDomxjjDomxjpDom o

01

201

11

111 ≥

+⇔≥+

+−⇔−≥

+−

x

x

x

x

x

x

Ceros Polos

002 =⇒= xx 101 −=⇔=+ xx

o) 11

13]1[)]([))((

−++−=+==

x

xxsxpsxps o

),0()0,1[}}1{1/),1[{)}()(/)({)( +∞∪−=−ℜ∈++∞−∈=∈∈= xxsDomxppDomxpsDom o

01111 ≠⇔≠+⇔≠+ xxx

p) x

x

x

xx

xx

x

xxx

x

x

xx

x

x

xrxsrxsr

273

12

1126

1333

1126

31

3

11

32

13

)]([))((+−=

−

−+−−

=

−−+−

−−

−

=+

−−

−

−−

=

−−==o

}0,1{}}3{1

3/}1{{)}()(/)({)( −−ℜ=−−ℜ∈

−−−ℜ∈=∈∈=

x

xxrDomxssDomxsrDom o

002333)1(3331

3 ≠⇔≠⇔+−≠−⇔−⋅−≠−⇔−≠−−

xxxxxxx

x

q) 1−m

� Primero comprobaremos si 4)( −= xxm es inyectiva, es decir, ])()( si[ babmam =⇒=

bababmam =⇒−=−⇒= 44)()(

Por tanto, )(xm es inyectiva y existe )(1 xm−

� Ahora calculamos )(1 xm−

1) 44)( −=⇒−= xyxxm

2) 4−= yx

3) 4+= xy

4) 4)(1 +=− xxm

� COMPROBACIÓN


29

xxxmmxmm =−+== −− 4)4()]([))(( 11o

xxxmmxmm =+−== −− 4)4()]([))(( 11o

Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta xy = (bisectriz del primer y

tercer cuadrantes)

ℜ=)(mDom ℜ=)(Re mc

ℜ=− )( 1mDom ℜ=− )(Re 1mc

r) 1−j

� Primero comprobaremos si 1

1)(

+−=

x

xxj es inyectiva, es decir, ])()( si[ babjaj =⇒=

⇒−+−⋅=−−+⋅⇒−⋅+=+⋅−⇒+−=

+−

⇒= 11)1()1()1()1(11

11

)()( babababababab

b

a

abjaj

baba =⇒=⇒ 22

Por tanto, )(xj es inyectiva y existe )(1 xj−

� Ahora calculamos )(1 xj−

1) 1

1

1

1)(

+−=⇒

+−=

x

xy

x

xxj

2) 1

1

+−=

y

yx

3) x

xyxyxxyyxyxxyyyx

−+=⇒−⋅=+⇒−=+⇒−=+⇒−=+⋅

1

1)1(1111)1(

4) x

xxj

−+=−

1

1)(1

� COMPROBACIÓN


30

xx

x

xxx

xx

x

xx

x

x

xjxjjxjj ==

−−++

−+−+

=+

−+

−−+

=

−+== −−

22

111

1

11

11

1

11

1

11

)]([))(( 11o

xx

x

xxx

xx

x

xx

x

x

xjxjjxjj ==

++−+

+++−

=

+−−

++−

=

+−== −−−

22

111

111

11

1

111

11

)]([))(( 111o


tercer cuadrantes)

}1{)( −−ℜ=jDom }1{)(Re −ℜ=jc

}1{)( 1 −ℜ=−jDom }1{)(Re 1 −−ℜ=−jc

s) 1−r


)(+−=

x

xxr es inyectiva, es decir, ])()( si[ babrar =⇒=

⇒−+−=−−+⇒−⋅+=+⋅−⇒+−=

+−

⇒= 362362)12()3()3()12(312

312

)()( baabbaabbabab

b

a

abrar

baba =⇒=⇒ 77

Por tanto, )(xr es inyectiva y existe )(1 xr−

� Ahora calculamos )(1 xr−


31

1) 312

312

)(+−=⇒

+−=

x

xy

x

xxr

2) 3

12

+−=

y

yx

3) x

xyxyxxyyxyxxyyyx

−+=⇒−⋅=+⇒−=+⇒−=+⇒−=+⋅

213

)2(1321312312)3(

4) x

xxr

−+=−

213

)(1

� COMPROBACIÓN

xxxx

x

xxx

x

x

xx

x

x

xrxrrxrr ==+−+=

−−++

−−+

=+

−+

−

−+⋅

=

−+== −−

77

7226

23613

12

26

32

13

12

132

213

)]([))(( 11o

xxxx

x

xxx

x

x

xx

x

x

xrxrrxrr ==++−=

++−+

++−

=

+−−

+

+−⋅

=

+−== −−−

77

7336

11262

1336

312

2

1312

3

312

)]([))(( 111o


tercer cuadrantes)

}3{)( −−ℜ=rDom }2{)(Re −ℜ=rc

}2{)( 1 −ℜ=−rDom }3{)(Re 1 −−ℜ=−rc

t) 1−s


32


3)(

−−=

x

xxs es inyectiva, es decir, ])()( si[ babsas =⇒=

⇒+−−=+−−⇒−⋅−=−⋅−⇒−−=

−−

⇒= babaaabbbabab

b

a

absas 3333)3()1()1()3(

13

13

)()(

baba =⇒−=−⇒ 22

Por tanto, )(xs es inyectiva y existe )(1 xs−

� Ahora calculamos )(1 xr−

1) 1

3

1

3)(

−−=⇒

−−=

x

xy

x

xxs

2) 1

3

−−=

y

yx

3) 1

33)1(333)1(

++=⇒+=+⋅⇒+=+⇒−=−⇒−=−⋅

x

xyxxyxyxyyxxyyyx

4) 1

3)(1

++=−

x

xxs

� COMPROBACIÓN

xx

x

xxx

xx

x

xx

x

x

xsxssxss ==

+−−+

+−−+

=−

++

++−

=

++== −−

2

2

1

131

333

11

31

33

1

3)]([))(( 11

o

xx

x

xxx

xx

x

xx

x

x

xsxssxss ===

−−+−

−−+−

=+

−−

−−+

=

−−== −−−

2

2

1

131

333

11

31

33

1

3)]([))(( 111

o


tercer cuadrantes)


33

}1{)( −ℜ=sDom }1{)(Re −−ℜ=sc

}1{)( 1 −−ℜ=−sDom }1{)(Re 1 −ℜ=−sc

u) 1−p

� Primero comprobaremos que 1)( += xxp es inyectiva, es decir, ])()( si[ babpap =⇒=

babababpap =⇒+=+⇒+=+⇒= 1111)()(

Por tanto, )(xp es inyectiva y existe )(1 xp−

� Ahora calculamos )(1 xp−

1) 11)( +=⇒+= xyxxp

2) 11 2 +=⇒+= yxyx

3) 12 += xy

4) 1)( 21 −=− xxp con ),0[ +∞∈x

� COMPROBACIÓN

xxxppxpp =+−== −− 11)]([))(( 211o

xxxppxpp =−+== −− 1)1()]([))(( 211o


tercer cuadrantes)

),1[)( +∞−=pDom ),0[)(Re +∞=pc

),0[)( 1 +∞=−pDom ),1[)(Re 1 +∞−=−pc

v) 1−g

� Primero comprobaremos si 6)( 2 −= xxg es inyectiva, es decir, ])()( si[ babgag =⇒=

babababgag ±=⇒=⇒−=−⇒= 2222 66)()(


34

Por tanto, )(xg NO es inyectiva

En consecuencia no existe la función )(1 xg − (aunque existe la correspondencia inversa )(1 xg − no es una función).

� Lo que haremos será restringuir el dominio de )(xg a un conjunto en el que sí sea una función inyectiva

y, por tanto, sí exista la función )(1 xg − .

6)( 2 −= xxg 1) ∪⇒>= 01a 2) Vértice )6,0( − 3) Tabla de valores

Restringuimos 6)( 2 −= xxg al conjunto ),0[ +∞

� Ahora calculamos )(1 xg −

1) 66)( 22 −=⇒−= xyxxg

2) 66 22 +=⇒−= xyyx

3) 6+= xy

4) 6)(1 +=− xxg con ),6[ +∞−∈x

� COMPROBACIÓN

x 3− 2− 1− 0 1 2 3 y 3 2− 5− 6− 5− 2− 3


35

xxxggxgg =−+== −− 6)6()]([))(( 211o

xxxggxgg =+−== −− 66)]([))(( 211o

Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta xy = (bisectriz del primer y tercer

cuadrantes)

),0[)( +∞=gDom ),6[)(Re +∞−=gc

),6[)( 1 +∞−=−gDom ),0[)(Re 1 +∞=−gc

ies juan garcía valdemora tema 8. características de las...

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