factorizaci ciÓn de polinomios. soluc uciones · ies juan garcía valdemora departamento de...

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

FACTORIZACI

1. Factoriza los siguientes polinomio

a) )4(282 −=− xx }4{=Raíz

b) )3(5155 −−=+− xx }3{=Raíz

c) )5(5255 −=− xx }5{=Raíz

d)

+=+4

134134 aa

−=

4

13Raíz

e)

−=−3

113113 xx

=

3

11Raíz

f)

+=

+=+2

56

6

156156 xxx

g)

−−=

−−=+−3

89

9

249249 xxx

h)

+=+6

12

3

12 xx

−=

6

1Raíz

i)

−−=+−20

18

5

28 xx

=

20

1Raíz

j) )2(363 2 −=− xxxx 0{=Raíces

k) )4(282 2 −−=+− xxxx Raíces

l) )3(5155 223 −=− xxxx =Raíces

m)

−−=+−2

7272 2 xxxx Raíces

n)

−=−5

3535 334 xxxx =Raíces

o)

+=

+=+ 1414

714714 2 xxxxxx

p)

+=+6

7676 2 xxxx

=Raíces

q) )4(3123 223 −−=+− xxxx Raíc

r) )2(242 223 +−=−− xxxx Raíce

s) )2(3

1

3

2

3

1 334 +=+ xxxx Raíces

TEMA 3: POLINOMIOS Y

CIÓN DE POLINOMIOS . SOLUC

ios e indica las raíces en cada caso:

4

13

−=

2

5Raíz

3

8

=3

8Raíz

20

1

}2,0

}4,0{=

}3 , (doble) 0{=

=

2

7,0ces

=

5

3 (triple), 0

+2

1

−=

2

1 , 0Raíces

−

6

7,0

}4 , (doble) 0{=aíces

}2 , (doble) 0{ −=íces

} 2 (triple), 0 { −=ces

S Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B

1

UCIONES



a) 1072 +− xx

1º) Hallamos las raíces del polinomio

⋅−−±

=⇒=+−12

4)7(70107

22 xxx

2º) Factorización: 5(1072 −=+− xxx

b) 1872 −− xx


⋅−−±

=⇒=−−12

4)7(70187

22 xxx

2º) Factorización: 9(1872 −=−− xxx

c) 963 2 −− xx

1º) Extraemos factor común 33 2 −⇒ x

2º) Hallamos las raíces del polinomio (

)1)(3(32

12

14)2(2032

2

22

+−=−−⇒

⋅⋅−−±

=⇒=−−

xxxx

xxx

3º) Factorización: (3963 2 −=−− xxx

d) 253 2 +− xx


⋅−−±

=⇒=+−32

4)5(50253

22 xxx

2º) Factorización: −=+− 1(3253 2 xxx


ios e indica las raíces en cada caso:

=±=±=−±=⋅⋅

2

37

2

97

2

40497101

x

x

)2)(5 −x }2,5{=Raíces

±=±=+±=−⋅⋅

2

117

2

1217

2

72497)18(1

)2)(9 +x }2,9{ −=Raíces

)32(396 2 −−=−− xxx

)32( 2 −− xx

2

42

2

162

2

1242)3(1

=±=±=+±=−⋅

x

x

)1)(3 +x }1,3{ −=Raíces

=

==±=±=−±=

⋅⋅6

15

6

15

6

2425523

x

x

−3

2)1 x

=

3

2 , 1Raíces


2

=⇒−=

=⇒+=

22

37

52

37

x

x

−=⇒−=

=⇒+=

=2

2

117

92

11711

xx

xx

12

42

32

42

⇒

−=⇒−=

=⇒+=

xx

xx

=⇒=−=

=⇒+=

3

2

6

4

6

15

16

15

x

x


e) 32 2 ++ xx


22

)1(1032

22

⋅−±−

=⇒=++ xxx

2º) Factorización: )32( 2 ++ xx es irred

f) 202 −+ xx


⋅⋅−±−

=⇒=−+12

14)1(1020

22 xxx

2º) Factorización: )(4(202 −=−+ xxx

g) 16 2 −+ xx


⋅⋅−±−

=⇒=−+62

64)1(1016

22 xxx

2º) Factorización:

−=−+3

1616 2 xxx

h) 1572 2 −− xx


⋅−−±

=⇒=−−22

4)7(701572

22 xxx

2º) Factorización: −=−− (21572 2 xxx


tieno4

231

4

2411324=−±−=−±−=

⋅⋅−

reducible

±−=±−=+±−=−⋅

2

91

2

811

2

8011)20(1

)5)( +x }5,4{ −=Raíces

=±−=±−=+±−=−⋅

12

51

12

251

12

2411)1(6

+

2

1

3

1x

−=

2

1 ,

3

1Raíces

±=±=+±=−⋅⋅ 7

4

1697

4

120497

2

)15(24

+−2

3)5 x

−=

2

3 , 5Raíces


3

realsolución tiene

−=⇒−−=

=⇒+−=

=5

2

91

42

91

xx

xx

−=⇒−=

=⇒==

2

1

12

6

3

1

12

4

xx

xx

−=⇒−=

=⇒==±

2

3

4

6

54

20

4

13

xx

xx


i) 234 862 xxx ++−

1º) Extraemos factor común 22x−

2−

2º) Hallamos las raíces y factorizamos e

)1)(4(43

12

14)3(3043

2

22

+−=−−⇒

⋅⋅−−±

=⇒=−−

xxxx

xxx

3º) Factorización: 862 234 =++− xxx

j) xxx 4113 23 −−

1º) Extraemos factor común “x ”


⇒

−=⇒−=

=⇒+=

=±=

⋅−−±

=⇒=−−

3

3

1

6

1311

46

1311

6

1311

32

)11(1104113

22

xx

xx

xxx

3º) Factorización: =−− (4113 23 xxxx

−=

3

1 , 0,4Raíces

k) 345 45396 xxx −−−

1º) Extraemos factor común “ 33x− ”

6 5− x


)43(2862 22234 −−−=++ xxxxxx

s el polinomio )43( 2 −− xx

2

53

2

253

2

1693)4(1

=±=±=+±=−⋅

x

x

)1)(4(2)43(2 222 +−−=−−− xxxxxx R

)4113(4113 223 −−=−− xxxxxx

s el polinomio )4113( 2 −− xx

+−=−−

=±=+±=−⋅⋅−

3

1)4(34113

6

16911

6

4812111

3

)4(34

2 xxxx

−=

+−⋅⋅=−− (33

1)4(3)4113( 2 xxxxxxx

)15132(34539 23345 ++−=−− xxxxx


4

12

53

42

53

⇒

−=⇒−=

=⇒+=

x

x

}1,4 (doble), 0{ −=Raíces

+−3

1)4 x



⇒

−=⇒−−=

−=⇒+−=

=±−=

±−=⇒=++

54

713

2

3

4

713

4

713

2

)13(13015132

22

xx

xx

xxx

3º) Factorización: −−− 45396 345 xxx

−−=

2

3 , 5 (triple), 0Raíces

l) xxx7

6

7

1

7

1 23 −+

1º) Extraemos factor común “x7

1”


)3)(2(6

12

14)1(106

2

22

+−=−+⇒

⋅⋅⋅−±−

=⇒=−+

xxxx

xxx

3º) Factorización: 7

1

7

6

7

1

7

1 23 =−+ xxx


s el polinomio )15132( 2 ++ xx

++=++⇒

±−=−±−=⋅

⋅⋅−

2

3)5(215132

4

13

4

12016913

22

)15()2(4

2

2

xxxx

+⋅⋅−=++−= )5(23)15132(3 323 xxxxxx

)6(7

1

7

6

7

1

7

1 223 −+=−+ xxxxxx

s el polinomio )6( 2 −+ xx

2

51

2

251

2

2411)6(=±−=±−=+±−=

−⋅

)3)(2(7

1)6(

7

1 2 +−=−+ xxxxxx


5

=49

++−=

+2

3)5(6

2

3 3 xxx

32

51

22

51

⇒

−=⇒−−=

=⇒+−=

xx

xx

}3,2 ,0{ −=Raíces


2−

1−


a) 863 23 +−− xxx

Posibles raíces enteras = {divisores

8 6 3 1 +−− 8 10 2 −+−

0 4 5 1 +− ⇒

Finalmente, para buscar las raíces y f

irreducible) resolvemos la ecuación de 2

2

2550452 −±=⇒=+− xxx

Luego, el proceso que hemos seguido h

45()2(863 223 +−⋅+=+−− xxxxxx

SOLUCIÓN

)1)(4)(2()( −−+= xxxxP

}1,4,2{−=Raíces

b) 1256 23 ++− xxx


12 5 6 1 ++− 12 7 1 −+−

0 12 7 1 +− ⇒




ios:

res de 8} = }8,4,2 ,1{ ±±±±

yfactor es )2( raíz es 2 +⇒−⇒ x ()( = xxP

y factorizar )45( 2 +− xx (en caso de que la

e 2º grado:

45

12

2

42

8

2

3516 2 =+−⇒

==

===±=−

xx

x

x

o ha sido,

)1()4()2()4 −⋅−⋅+= xxx

res de 12} = }12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±

factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ x ()(y += xxP


e 2º grado:


6

grado 2º de polinomio

2 )45()2 +−⋅+ xx

las tenga, porque podría ser

)1)(4( −−= xx


2 )127()1 +−⋅+ xx



2

2

49701272 ±=⇒=+− xxx


7()1(1256 223 +−⋅+=++− xxxxxx

SOLUCIÓN

)3)(4)(1()( −−+= xxxxP

}3,4,1{−=Raíces

c) 1834 23 −−+ xxx


18 3 4 1 −−+ 18 12 2 +++

0 9 6 1 ++ ⇒



2

2

366096

±−=⇒=++ xxx

Para factorizar )96( 2 ++ xx también po


223 6()2(1834 ++⋅−=−−+ xxxxxx

SOLUCIÓN

2)3)(2()( +−= xxxP

} (doble) 3,2{ −=Raíces


127

32

6

42

8

2

174849 2 +−⇒

==

===±=−

xx

x

x

o ha sido,

)3()4()1()12 −⋅−⋅+= xxx

res de – 18} = }18,9,6,3,2 ,1{ ±±±±±±

factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x )2()(y −= xxP

y factorizar )96( 2 ++ xx (en caso de que la

e 2º grado:

2

32

6

32

6

2

063636 +⇒

−=−=

−=−==±−=−

x

x

x

podemos utilizar las identidades notables: 2x

o ha sido,

2)3()2()9 +⋅−=+ xx


7

)3)(4(12 −−= xx


2 )96() ++⋅ xx


2)3(96 +=+ xx

2)3(96 +=++ xx


2

2

d) 61132 23 −−+ xxx


6 11 3 2 −−+ 6 14 4 +++

0 3 7 2 ++ ⇒



−±−=⇒=++4

244970372 2 xxx


+⋅−=−−+ 72()2(61132 223 xxxxxx

SOLUCIÓN

++−=2

1)3)(2(2)( xxxxP

−−=

2

1,3,2Raíces

e) 1243 23 −−+ xxx

Posibles raíces enteras = {divisores de

12 4 3 1 −−+ 12 10 2 +++

0 6 5 1 ++ ⇒




res de 6− } = }6,3,2 ,1{ ±±±±

factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x 2()(y −= xxP


e 2º grado:

++⇒

−=−=

−=−==±−= 72

34

122

1

4

2

4

57 2 xx

x

x

ha sido,

+−=

++⋅−=+ )(2(22

1)3(2)2()3 xxxxxx

de – 12}= }12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±



e 2º grado:


8


2 )372()2 ++⋅ xx


++=+2

1)3(23 xx

++2

1)3 x


2 )65()2 ++⋅ xx



3−

2

242550652 =−±−=⇒=++ xxx


5()2(1243 223 ++⋅−=−−+ xxxxxx

SOLUCIÓN

)3)(2)(2()( ++−= xxxxP

}3,2,2{ −−=Raíces

f) 18693 23 −−+ xxx

Sacamos factor común “3” 3(3 3 +→ xx

Ahora continuamos factorizando el poli


6 2 3 1 −−+ 6 0 3 +−

0 2 0 1 − ⇒

Finalmente, para factorizar )2( 2 −x uti


23(318663 2323 −−+=−−+ xxxxxx

SOLUCIÓN

)2)(2)(3(3)( +−+= xxxxP

}2,2,3{ −−=Raíces


65

32

6

22

4

2

15 2 =++⇒

−=−=

−=−==±−= xx

x

x

o ha sido,

)3)(2)(2()6 ++−=+ xxx

)622 −− xx

olinomio 623)( 23 −−+= xxxxP

e – 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±


utilizamos las identidades notables, en concreto

)2)(2()2( 2 +−=− xxx

o ha sido,

)(2)(3(3)2)(3(3)6 2 +−+=−+=− xxxxx


9

)3)(2( ++= xx


2 )2()3 −⋅+ x

eto, 22))(( BABABA −=+−

)2


3−

5−

g) 122332 23 +−− xxx


12 23 3 2 +−− 12 27 6 −+−

0 4 9 2 +− ⇒



=−±=⇒=+−4

328190492 2 xxx


−⋅+=+−− 92()3(122332 223 xxxxx

SOLUCIÓN

−−+=2

1)4)(3(2)( xxxxP

−=

2

1,4,3Raíces

h) 1538236 23 −−+ xxx


15 38 23 6 −−+ 15 35 30 ++− 0 3 7 6 −− ⇒



=+±=⇒=−−12

724970376 2 xxx


e 12} = }12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±



e 2º grado:

=+−⇒

==

===±

(2492

2

1

4

2

44

16

4

79 2 xxx

x

x

ha sido,

+=

−−⋅+=+ )(3(22

1)4(2)3()49 xxxxxx

e – 15} = }15,5,3,1{ ±±±±


y factorizar )376( 2 −− xx (en caso de que la

e 2º grado:

−⇒

−=−=

===±=±= 6

3

1

12

42

3

12

18

12

117

12

1217 2x

x

x


10


2 )492()3 +−⋅+ xx


−−2

1)4 xx

−−2

1)4 xx


2 )376()5 −−⋅+ xx


+

−=−−3

1

2

3637 xxx


1−


−⋅+=−−+ 6()5(1538236 223 xxxxx

SOLUCIÓN

+

−+=3

1

2

3)5(6)( xxxxP

−−=

3

1,

2

3,5Raíces

i) 65 234 −−++ xxxx


6 1 5 1 1 −−++

6 7 2 1 ++++

0 6 7 2 1 +++

6 1 1 −−−

0 6 1 1 ++ −⇒

Finalmente, para buscar las raíces y


2

2411062 −=−±−=⇒=++ xxx


2()1(65 3234 +⋅−=−−++ xxxxxxx

SOLUCIÓN

)6)(1)(1()( 2 +++−= xxxxxP

}1,1{ −=Raíces

1


ha sido,

+=

+

−⋅+=−− 5(63

1

2

36)5()37 xxxxx

e – 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±


factor es )1( raíz es 1 +⇒− x )1()(y −= xxP

y factorizar )6( 2 ++ xx (en caso de que las

e 2º grado:

( realsolución tieneno 2

231 2 +⇒⇒−±

xx

ha sido,

)6)(1)(1()67 22 +++−=++ xxxxxx


11

+

−3

1

2

3)5 xx

)672()1 23 +++⋅ xxx


2 )6()1( ++⋅+⋅ xxx


)6+x es irreducible


2

3−

j) 18911 234 ++−− xxxx

Posibles raíces enteras = {divisores de 1

18 9 11 1 1 ++−−

18 9 2 1 −++−

0 18 9 2 1 +−−

18 0 2 −+

0 9 0 1 − ⇒

Finalmente, para factorizar )9( 2 −x uti


()1(18911 3234 −⋅+=++−− xxxxxx

SOLUCIÓN

)3)(3)(2)(1()( +−−+= xxxxxP

}3,3,2,1{ −−=Raíces

k) 65 234 −+−+ xxxx


6 1 5 1 1 −+−+

6 2 6 2 ++++

0 3 1 3 1 +++ ⇒

3 0 3 −−

0 1 0 1 +

Finalmente, para buscar las raíces y fac

resolvemos la ecuación de 2º grado:

101 22 ⇒−=⇒=+ xx

1−

2


e 18} = }18,9,6,3,2 ,1{ ±±±±±±

factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ x ()(y = xxP

factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x 1()(y += xxP

utilizamos las identidades notables, en concreto

)3)(3()9( 2 +−=− xxx

o ha sido,

()9)(2)(1()1892 22 +=−−+=+−− xxxxxx

e – 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±


factor es )3( raíz es 3 +⇒−⇒ x ()(y = xxP

factorizar )1( 2 +x (en caso de que las tenga, po

)1( realsolución tieneno 1 2 +⇒⇒−= xx


12

)1892()1 23 +−−⋅+ xxx

grado 2º depolinomio

2 )9()2()1 −⋅−⋅ xx

eto, 22))(( BABABA −=+−

)3)(3)(2)(1 +−−+ xxx

)33()2 23 +++⋅ xxx


2 )1()3()2 ++⋅− xxx

porque podría ser irreducible)

es irreducible


4−


)(3)(2(65 234 +−=−+−+ xxxxxxx

SOLUCIÓN

l) 4119 234 −+−+ xxxx


4 11 9 1 1 −+−+

4 7 2 1 +−++

0 4 7 2 1 +−+ ⇒

4 8 4 −+−

0 1 2 1 +− ⇒



20122 ±=⇒=+− xxx

Para factorizar )12( 2 +− xx también po


)4()1(

2)(1(41193

3234

+−=+−=−+−+

xx

xxxxxx

SOLUCIÓN

)4()1()( 3 +−= xxxP

}4,(triple) 1{ −=Raíces

)1)(3)(2()( 2 ++−= xxxxP

}3,2{ −=Raíces

1


o ha sido,

)12 +

e – 4} = }4,2 ,1{ ±±±


factor es )4( raíz es 4 +⇒−⇒ x ()(y −= xxP


e 2º grado:

2

1

1

2

02

2

02

2

44 2 −⇒

=

==±=±=−±

xx

x

x

podemos utilizar las identidades notables: 2 −x

o ha sido,

()12)(4)(1()472 22 =+−+−=+− xxxxxxx


13

)472()1 23 +−+⋅ xxx


2 )12()4()1 +−⋅+⋅− xxx


)1(1 2−=+ xx

2)1(12 −=+− xx

)1)(4)(1 2 =−+− xx


5

m) xxxx 206122 234 ++−

1º) Extraemos “2x” factor común y tene

2º) Ahora tenemos que factorizar el pol

Posibles raíces enteras = {divisores d

10 3 6 1 ++− 10 5 5 −−+

0 2 1 1 −− ⇒



2

1

2

811022 ±=+±=⇒=−− xxx

Luego, ()1036()( 23 =++−= xxxxQ

3º) Por tanto,

6(2206122 23234 −=++− xxxxxxx

SOLUCIÓN

)1)(2)(5(2)( +−−= xxxxxP

}1,2,5,0{ −=Raíces

n) 2345 2222 xxxx ++−−

1º) Extraemos “ 22x− ” factor común y




enemos: (2206122)( 234 ⋅=++−= xxxxxxxP

olinomio )1036()( 23 ++−= xxxxQ

s de 10}= }10,5,2 ,1{ ±±±±

factor es )5( raíz es 5 −⇒⇒ x 5()(y −= xxQ

y factorizar )2( 2 −− xx (en caso de que las

e 2º grado:

(2

12

2

22

4

2

319 2 −=−−⇒

−=−=

===±= xxx

x

x

)1)(2)(5( +−− xxx

)1)(2)(5(2)103 +−−=++ xxxxx

y tenemos: 2222)( 2345 −=++−−= xxxxxP

olinomio )1()( 23 −−+= xxxxQ .

s de – 1}= }1{±


14

)1036 23 ++− xxx


2 )2()5 −−⋅ xx


)1)(2 +− x

)1(2 232 −−+⋅− xxxx


1

1 1 1 1 −−+ 1 2 1 +++ 0 1 2 1 ++ ⇒



2

2

442012

−=−±−=⇒=++ xxx

Otra forma de factorizar )12( 2 ++ xx e

Luego, 23 1()1()( −=−−+= xxxxxQ

3º) Por tanto,

322345 (22222 +−=++−− xxxxxxx

SOLUCIÓN

22 )1)(1(2)( +−−= xxxxP

} (doble) 1 1, (doble), 0{ −=Raíces

o) xxxx5

6

5

11

5

6

5

1 234 −−−−

1º) Extraemos “ x5

1− ” factor común y

5

1)( 4−= xxP




factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x )1()(y ⋅−= xxQ


e 2º grado:

2 2

12

2

12

2

2

02

2

02 +⇒

−=−=

−=−==±−=±−

xx

x

x

es darnos cuenta que es una identidad notable

2)1)(1 +x

222 )1)(1(2)1 +−−=−− xxxxx

y tenemos:

116(5

1

5

6

5

11

5

6 2323 +++⋅−=−−− xxxxxxx

olinomio )6116()( 23 +++= xxxxQ .

e 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±


15


2 )12( ++⋅ xx


2)1()1)(1(1 +=++=+ xxxx

le 22 )1(12 +=++ xxx

)6+


1−

5

6 11 6 1 +++ 6 5 1 −−−

0 6 5 1 ++ ⇒



2

242550652 =−±−=⇒=++ xxx

Luego, ()6116()( 23 =+++= xxxxQ

3º) Por tanto,

(5

1

5

6

5

11

5

6

5

1 3234 +−=−−−− xxxxxx

SOLUCIÓN

)3)(2)(1(5

1)( +++−= xxxxxP

}3,2,1,0{ −−−=Raíces

p) 2345 303110 xxxx −+−

1º) Extraemos “ 2x ” factor común y ten



30 31 0 1 1 −+− 30 25 5 +−+

0 6 5 1 +− ⇒




factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ x ()(y += xxQ


e 2º grado:

5

32

6

22

4

2

15

2

15 2 +⇒

−=−=

−=−==±−=±−= x

x

x

)3)(2)(1( +++ xxx

)3)(2)(1(5

1)6116 2 +++−=+++ xxxxxx

tenemos: 303110)( 22345 ⋅=−+−= xxxxxxP

olinomio )303110()( 23 −+−= xxxxQ

s de – 30}= }30,15,10,6,5,3,2,1{ ±±±±±±±±

factor es )5( raíz es 5 −⇒⇒ x 5()(y −= xxQ


e 2º grado:


16


2 )65()1 ++⋅+ xx


)3)(2(65 ++=+ xxx

)303110( 23 −+− xxx


2 )65()5 +−⋅ xx



4−

5

2

242550652 =−±=⇒=+− xxx

Luego, )303110()( 23 =−+−= xxxxQ

3º) Por tanto,

10(303110 322345 −=−+− xxxxxxx

SOLUCIÓN

)3)(2)(5()( 2 −−−= xxxxxP

}3 ,2 ,5 , (doble) 0{=Raíces

q) 23456 2414132 xxxxx +−−+

1º) Extraemos “ 2x ” factor común y ten

132)( 56 −+= xxxP



24 14 13 2 1 +−−+

24 10 3 1 −−++

0 24 10 3 1 −−+

24 4 4 ++−

0 6 1 1 −− ⇒



2

1

2

2411062 ±=+±=⇒=−− xxx

1


(65 2

2

4

32

6

2

15

2

15 2 =+−⇒

==

===±=±

xx

x

x

)3)(2)(5( −−−= xxx

)3)(2)(5()3031 22 −−−=−+ xxxxx

tenemos:

14132(241413 2342234 −−+⋅=+− xxxxxxx

olinomio )2414132()( 234 +−−+= xxxxxQ

s de 24}= }24,12,8,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±±±

factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x ()(y −= xxQ

factor es )4( raíz es 4 +⇒− x 1()(y −= xxQ


e 2º grado:

)(3(6

2

3

2

51

2

25 2 −=−−⇒

−=

==±= xxx

x

x


17

)3)(2( −− xx

)2414 +x

)24103()1 23 −−+⋅− xxx


2 )6()4()1 −−⋅+⋅ xxx


)2)( +x


2−


1()6)(4)(1(

(2414132222

4223456

−=−−+−==+−−+

xxxxxxx

xxxxxxx

SOLUCIÓN

)2)(3)(4)(1()( 2 +−+−= xxxxxxP

}2,3 ,4,1, (doble) 0{ −−=Raíces

r) xxxxx 164163284 23456 −−+++

1º) Extraemos “x ” factor común y tene

63284)( 456 +++= xxxxP



16 41 63 28 4 −+++

10 46 40 8 +−−−

6 5 23 20 4 −−++

6 2 24 8 ++−− 0 3 1 12 4 −−+

3 0 12 +−

0 1 0 4 −

grad 2º depolinomi

22 4()3()2()( Luego, −⋅+⋅+= xxxxQ



⇒=− 014 2x

2

14)3()2()(Luego, 2

−⋅+⋅+= xxxxQ

3−

2−


o ha sido,

)2)(3)(4)(1

3)(1()2414132 32234

+−++−=+−−+

xxx

xxxxxxx

x12−

enemos:

63284(121641 34523 +++⋅=−−+ xxxxxxx

olinomio 4163284()( 2345 −+++= xxxxxQ

s de – 12}= }12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±

12 −

12 10 +

0

radomio

)1−

y factorizar )14( 2 −x (en caso de que las

e 2º grado:

+

−=−⇒±=⇒=2

1414

2

1

4

1 22 xxxxx

)3()2(2

1

2

14

2

1

2

1 2 ++

+

−=

+

xxxxx


18

)24102 =−− xx

)121641 2 −−+ xx

)1216 −x


+2

1


1−

3º) Por tanto,

()( ⋅= QxxP

SOLUCIÓN

3()2(2

1

2

14)( 2 ++

+

−= xxxxxxP

−−−= 3doble),(2,

2

1,

2

1,0Raíces

s) 47655017 23456 −−−−+ xxxxxx


65 50 17 1 1 −−−+

33 17 0 1 ++−

32 33 17 0 1 −−−

17 16 1 1 +++− 15 17 16 1 1 −−−−

15 20 20 5 ++++

0 3 4 4 1 +++

3 3 3 −−−

0 1 1 1 ++

2 )3()5()1()( Luego, +⋅−⋅+= xxxxP



1

2

411012 −=−±−=⇒=++ xxx

SOLUCIÓN

)1)(3)(5()1()( 22 +++−+= xxxxxxP

}3,5, (doble) 1{ −−=Raíces

3−

5

1−


)3()2(2

1

2

14)( 2 ++

+

−= xxxxxx

)3

15−x

e 15− } = }15,5,3 ,1{ ±±±±

15 47 −−

15 32 ++

0 15 −

15 + 0


2 )1( ++ xx

y factorizar )1( 2 ++ xx (en caso de que las

e 2º grado:

1x( realsolución tieneno2

3 2 ++⇒⇒−±

x

)


19


eirreducibl es 1)


2−

t) 34567 18012025305 xxxxx −−++

1º) Extraemos “ 35x ” factor común y te

2305)( 67 ++= xxxP



36 24 5 6 1 −−++

36 42 16 2 ++++

0 18 21 8 1 +++

18 12 2 −−− 0 9 6 1 ++

gr 2º depolinom

2 6()2()2()( Luego, +⋅+⋅−= xxxxxQ

Finalmente, factorizamos )96( 2 ++ xx

2)3()2()2()(Luego, +⋅+⋅−= xxxxQ

3º) Por tanto,

35)( ⋅= xxP

SOLUCIÓN

23 )3)(2)(2(5)( ++−= xxxxxP

{ }doble)( 3,2,2, (triple) 0 −−=Raíces

u) xxxxx 16812102 2345 +−−+−

1º) Extraemos “ x2− ” factor común y t

102)( 5 +−= xxxP



2


3

tenemos:

56(518012025 2343345 −++⋅=−− xxxxxxx

olinomio )362456()( 234 −−++= xxxxxQ

s de –36}= }36,18,12;9,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±±±±

gradoomio

)9+x

) . Se trata de una identidad notable, 2 6( + xx

23 )3)(2)(2(5)( ++−=⋅ xxxxxQ

y tenemos:

65(216812 234234 ++−⋅−=+−− xxxxxxx

olinomio )8465()( 234 −++−= xxxxxQ

s de – 8}= }8,4,2 ,1{ ±±±±


20

)3624 −− x

2)3()9 +=+ x

)84 −+ x


2

8 4 6 5 1 −++−

8 0 6 2 +−+

0 4 0 3 1 +−

4 2 2 −−+

0 2 1 1 −− ⇒



2

11022 ±=⇒=−− xxx

3º) Luego, el proceso que hemos seguid

(2)2)(2)(2(2

(2168121022

2345

−=−−−−−=−=+−−+−

xxxxxxx

xxxxxx

SOLUCIÓN

)1()2(2)( 3 +−−= xxxxP

}1, (triple) 2,0{ −=Raíces

v) )44()4( 22 ++⋅− xxx

Los dos polinomios son identidades

� )2)(2(42 +−=− xxx

� 22 )2(44 +=++ xxx

Por tanto,

22 ()4( +⋅− xx

w) )76()2510( 22 −+⋅++ xxxx

� 22 )5(2510 +=++ xxx

� ±−

=⇒=−+6(6

0762 xxx

)7)(1(762 +−=−+⇒ xxxx

2





e 2º grado:

2

1

2

2

31

2

91

2

81 2 −−⇒

−=

==±=±=+

xx

x

x

uido ha sido,

)1()2(2)1)(2)(2)(2

3)(2(2)8465(3

3234

+−−=+−−−−−−=−++−

xxxxxxx

xxxxxxx

es notables.

2 )(2()2)(2)(2()44 +−=++−=++ xxxxxx

±−=+±−=⋅

−⋅⋅−2

646

2

28366

12

)7(14)6 2


21

)43()2 23 +−⋅− xx


2 )2()2()2 −−⋅−⋅− xxx


)1)(2( +−= xx

)1

)43 2 =+x

3)2+

⇒

−=

==±−=

7

1

2

86

x

x


Por tanto,

10( 2 + xx

x) )43()23( 22 +−⋅++ xxxx

� ±−

=⇒=++)3(3

0232 xxx

)2)(1(232 ++=++⇒ xxxx

� −±

=⇒=+−2

)3(30432 xxx

)43( 2 +−⇒ xx es irreducible

Por tanto,

3( 2 ++ xx

y) )1()36( 22 ++⋅+ xxx

Los dos polinomios son irreducible

z) )352()25()42( 22 −+⋅+⋅− xxxx

� )2(2)42( −=− xx

� )25( 2 +x es irreducible

� ±−

=⇒=−+5(5

0352 2 xxx

)3(2

12352 2 +

−=−+⇒ xxxx

Por tanto,

2)352()25()42( 22 =−+⋅+⋅− xxxx


)7)(1()5()76()25 22 +−+=−+⋅+ xxxxxx

−=±−=−±−=⋅

⋅⋅−2

3

2

13

2

893

12

)2(14)3 2

=−±−=⋅

⋅⋅−soluc tieneno

2

1693

12

)4(14)2

)43)(2)(1()43()2 22 +−++=+−⋅ xxxxxx

les

±−=+±−=⋅

−⋅⋅−4

495

4

24255

22

)3(24)5 2

(4)3(2

12)25()2(2 2 −=+⋅

−⋅⋅+⋅−⋅ xxxxx


22

⇒

−=

−==±

2

1

2

1

x

x

⇒reallución

⇒

−=

==±−=

3

2

1

4

7549

x

x

)25)(3(2

1)2 2 ++

−− xxx


4. Factoriza los siguientes polinom

notables:

a) 22 )8(6416 −=+− xxx

b) 223 168(580405 ++=++ xxxxxx

c)

−=

+

−=−10

4

10

4

100

162 xxxx

d)

−=

−=−3

49

9

169169 22 xxx

e) (5)16(5805 22224 =−=− xxxxxx

f) 223 12(272242 +−=−−− xxxxxx

g) 23345 6(218122 +−=+− xxxxxx

h) 23345 6(7

1

7

9

7

6

7

1 −=+− xxxxxx

i) 2()2)(2(4 224 −=+−=− xxxx

j) (9)25(92259 24226 =−=− xxxxx

k) 22234 (15606015 −=−+− xxxxx

l) 22

4

5)12(

4

5

4

5

2

5

4

5 =+−=+− xxxx

m) 22 (3)12(3363 =+−=+− xxxxx

n) 223 8(348243 ++−=−−− xxxxxx

o) 5)81(54055 45 −=−−=+− xxxxx

p) )(2()4)(4(16 224 −=+−=− xxxx

q) )(2(5

3)4(

5

3

5

12

5

3 244 −=−=− xxx

r) 5)64(53205 45 −=−−=+− xxxxx

s) )(1()1)(1(1 224 −=+−=− xxxxx

t) ()16)(16(256 2448 =+−=− xxxx

u) (2)25(2502 22224 =−=− xxxxxx

v) 22234 (5125505 +−=−−− xxxxx

w) )16(2322 23 +=+ xxxx


omios extrayendo factor común y/o con a

2)4(5)16 += xx

+

−5

2

5

2x

+3

4x

)4)(4 +− xx

2)6(2)36 +−=+ xxx

23 )3(2)9 −=+ xx

23 )3(7

1)9 −=+ xx

)2)(2)(2 2 ++ xx

5)(5)(5(9)5)(5( 2222 ++−=+− xxxxxx

22 )2(15)44 −−=+− xxx

2)1(4

5 −x

2)1−

2)4(3)16 +−=+ xx

)9)(3)(3(5)9)(9( 222 ++−−=+− xxxxxxx

)4)(2)( 2 ++ xx

)2)(2)(2(5

3)2)( 22 ++−=+ xxxx

)(8)(8(5)8)(8( 222 ++−−=+− xxxxxxx

)1)(1 2 ++ x

4)(2)(2()16)(4)(4 2422 ++−=++− xxxxx

)5)(5 +− xx

22 )5(5)2510 +−=++ xxx


23

n ayuda de las identidades

)5

)8

)16)(4 4 +x


5. Factoriza completamente los sigui

a) )1()2510()16( 222 +⋅+−⋅− xxxx

Los dos primeros polinomios son id

b) =+−⋅+− )22()45( 32 xxxx

� ±

=⇒=+−2

)5(5045

22 xxx

)1)(4(452 −−=+−⇒ xxxx

� (2)1(222 23 −=−−=+− xxxxx

Por tanto,

)22()45( 32 +−⋅+− xxxx

c) =−⋅+−⋅− )25()168()1( 422 xxxx

)(5()4)(1)(1( 2 +−−+−= xxxxx

Para factorizar los tres polinomios u

d) =−+⋅+⋅− )87()4()4( 222 xxxx

� )2)(2(42 +−=− xxx

� 42 +x

Es irreducible

� ±−

=⇒=−+7(7

0872 xxx

)8)(1(872 +−=−+⇒ xxxx

Por tanto,

)4()4( 22 +⋅− xx

e) +−⋅+−⋅+ 96()56()1( 222 xxxxx

� )1( 2 +x

es irreducible

� −±

=⇒=+−2

)6(60562 xxx


guientes polinomios:

)1()5)(4)(4( 22 +−+−= xxxx

identidades notables y el tercero es irreducible

=±=±=−±=⋅

⋅⋅−2

35

2

95

2

16255

12

)4(14

)1)(1( +− xx

1(2)1)(1)(2)(1)(4() −−=+−−−−= xxxxxxx

=+−−+−= )5)(5()4)(1)(1( 222 xxxxx

)5)(5 2 ++ x

s utilizamos las identidades notables.

±−=+±−=⋅

−⋅⋅−2

817

2

32497

12

)8(14)7 2

)(1)(4)(2)(2()87() 22 −++−=−+⋅ xxxxxx

=)9

±=±=−±=⋅

⋅⋅−2

46

2

166

2

20366

12

514)2


24

ble

⇒

=−=

=+==

12

35

42

35

x

x

)1)(4()1 2 +− xx

⇒

−==

=±−=8

1

2

97

x

x

)8)( +x

⇒

==

=1

5

x

x


)5)(1(562 −−=+−⇒ xxxx

� 22 )3(96 −=+− xxx

Identidad

Por tanto,

22 6()1( −⋅+ xx

f) =−⋅+− )49()753( 435 xxx

� )25(3753 2335 =−−=+− xxxx

� ()7)(7(49 224 −=+−=− xxxx

Por tanto,

5(3)49)(753( 3435 −−=−+− xxxxx

g) =−⋅++⋅+− )25()1()84( 22 xxxx

� )2(484 −−=+− xx

� 12 ++ xx

Es irreducible

12

)1(101

22

⋅±−

=⇒=++ xxx

� 5()5)(5(25 2 −−=+−=− xxxx

Por tanto,

)25()1()84( 22 −=−⋅++⋅+− xxxx

h) =−⋅−⋅− )5()16()16( 242 xxx

� 4()4)(4(16 2 −−=+−=− xxxx

� ()4)(4(16 224 −=+−=− xxxx

� ()5)(5(5 2 −=+−=− xxxx

Por tanto,

2)(2)(4)(4(

5()16()16( 242

+−+−=

−⋅−⋅−

xxxx

xxx


ad notable

22 )(5)(1)(1()96()56 −−+=+−⋅+ xxxxxxx

)5)(5(3 3 +−− xxx

)7)(7)(7 2 ++− xx

)7)(7)(7)(5)(5 2 ++−+ xxxx

tienno 2

31

2

411

1

114⇒

−±−=−±−=⋅⋅−

)5)(5 +x

2(4)]5)(5()[1)(2(4 2 −=+−−++−− xxxxxx

)4)(4 +x

)4)(2)(2 2 ++− xx

)5)(5 +− x

)5)(5)(4)(2

()[4)(2)(2)(4)(4()2

2

+−+

−−++−+−−=

xxx

xxxxxx


25

2)3−

realsolución iene

)5)(5)(1)(2 2 +−++ xxxx

)]5)(5 =+− x


i) =−+−⋅+− )363()4914( 22 xxxx

� 22 )7(4914 −=+− xxx

� 22 )12(3363 +−−=−+− xxxx

Por tanto,

2 3()4914( −⋅+− xx

j) =+⋅++⋅− )66()1213()5( 22 xxxx

� )5)(5(52 +−=− xxx

� ±−

=⇒=++13

012132 xxx

)12)(1(12132 ++=++⇒ xxxx

� )1(666 +=+ xx

Por tanto,

()66()1213()5( 22 =+⋅++⋅− xxxxx

x

x3

3

k) )1)(1(1 23 ++−=− xxxx

l) )1)(1(1 23 +−+=+ xxxx

m) )42)(2(8 23 ++−=− xxxx

n) )42)(2(8 23 +−+=+ xxxx

o) )42)(2(2 33233 ++−=− xxxx

p) )255)(5(5 33233 +−+=+ xxxx

q) )(1()1)(1(1 2336 −=+−=− xxxxx

r) )(2()8)(8(64 336 −=+−=− xxxx

s) (2)125(22502 34 =+=+ xxxxxx


2)1(3 −−= x

222 7(3)1)(3()7()363 −−=−−−=−+ xxxxx

=

±−=−±−=⋅

⋅⋅−2

113

2

4816913

12

1214)13( 2

(6)1(6)12)(1)(5)(5 −=++++− xxxxxx

+ℜ∈+−+=+++−=−

aaaxxaxa

aaxxaxacon

))((

))((223

223

)

)1)(1)(1 22 +−+++ xxxx

)42)(2)(42)( 22 +−+++ xxxxx

)255)(5 2 +−+ xx


26

22 )1()7 −x

⇒

−=

−==

12

111

x

x

)12()1)(5)(5 2 +++ xxx


6. Halla el m.c.d. y el m.c.m. de:

a) )2()1()( 2 +−= xxxP

y )(xQ

)2)(1(... +−= xxdcm

)3)(2()1(... 2 −+−= xxxmcm

b) )2)(1()( +−= xxxP

y )( =xQ

)1(... −= xdcm

2)2)(2)(1(... −+−= xxxmcm

c) )1()3(6)( 22 ++= xxxP

y (xQ

2)3(2... += xdcm

)1)(1()3(30... 22 −++= xxxmcm

d) )3()5(2)( 2 ++−= xxxP )(xQ

)3()5(2... 2 ++= xxdcm

)2()3()5(24... 23 −++= xxxmcm

e) )3)(2()( −+= xxxP ()( = xxQ

1... =dcm

)3)(3)(2)(2(... +−−+= xxxxmcm

f) 1)( 2 −= xxP

y 5)( 2 += xxQ

� Factorizamos los polinomios:

)1)(1(1)( 2 +−=−= xxxxP

)6)(1(65)( 2 +−=−+= xxxxxQ

2

242550652 +±−=⇒=−+ xxx

� Por tanto,

)1(... −= xdcm

)6)(1)(1(... ++−= xxxmcm


)3)(2)(1( −+−= xxx

2)2)(1( −−= xx

)1()3(10) 2 −+= xxx

23 )3()5(8 ++= xx

y ()5(12)( 2 ++= xxxR

)3)(2 ++ xx

y )3)(2()( +−= xxxR

65 −x

)1(65

6

1

2

7524 2 −=−+⇒

−=

==±−= xxx

x

x


27

)2)(3 −+ x

)6)( +x


1

g) 87)( 2 −+= xxxP

y )( = xxQ


• 8)(1(87)( 2 +−=−+= xxxxxP

2

324970872 +±−=⇒=−+ xxx

• 1)(1(1)( 23 ++−=−= xxxxxQ

1 0 0 1 − 1 1 1 +++ 0 1 1 1 ++ es 1⇒

xxx2

411012 −=−±−=⇒=++

� Por tanto,

)1(... −= xdcm

)1)(8)(1(... 2 +++−= xxxxmcm

h) 16)( 4 −= xxP

y )( 2 −= xxQ


()4)(4(16)( 224 =+−=−= xxxxP

22 )2(44)( −=+−= xxxxQ

� Por tanto,

)2(... −= xdcm

)4)(2()2(... 22 ++−= xxxmcm

i) 1)( 3 += xxP

y 4)( 3 += xxQ


• 1)(1(1)( 23 +−+=+= xxxxxP


13 −x

)8

)1(87

8

1

2

9732 2 −=−+⇒

−=

==±−= xxx

x

x

)1

factor es )1( raíz es −⇒ x41

de po

2()1()(y ⋅−= xxxQ

xx realsolución tieneno 2

31 2 ++⇒⇒−±−

44 +− x

)4)(2)(2( 2 ++− xxx

544 2 +− xx

)1


28

)8)(1 +x

4342


)1++ x

eirreducibles 1+


1−

5−

1 0 0 1 + 1 1 1 −+− 0 1 1 1 +− e 1−⇒

xxx1

2

411012 ±=−±=⇒=+−

• 5(544)( 23 +=+−+= xxxxxQ

5 4 4 1 +−+ 5 5 5 −+− 0 1 1 1 +− −⇒

xxx1

2

411012 ±=−±=⇒=+−

� Por tanto,

1... 2 +−= xxdcm

)1)(1)(5(... 2 +−++= xxxxmcm


factor es )1( raíz es +⇒ x1

()1()(y ⋅+= xxxP

exx 1 realsolución tieneno 2

3 2 +−⇒⇒−±

)1)(5 2 +− xx

factor es )5( raíz es 5 +⇒− x )5()(y += xxQ

exx 1 realsolución tieneno 2

3 2 +−⇒⇒−±


29

43421


2 )1+− x

eirreducibles

43421


2 )1() +−⋅ xx

eirreducibles

factorizaci ciÓn de polinomios. soluc uciones · ies juan garcía valdemora departamento de...

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