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IES Juan García Valdemora TEMA 5: INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES Departamento de Matemáticas 4º ESO Matemáticas B

1

1. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) xxx 42)2(4)52(3 −≤−−−

2

3

6

996724242724284156 ≤⇒≤⇒≤⇒+≤+⇒−≤−⇒−≤+−− xxxxxxxxxx

Solución:

∞−∈2

3,x

b) 2

521

6

1

2

−−>−− xxx

⇒−⋅−⋅>−⋅−⇒−⋅−⋅>−⋅−

)52(3)1(6)1(136

)52(3)1(6

6

)1(13xxx

xxx

2

5

8

202081216221612156613 >⇒>⇒>⇒−>+⇒+−>+⇒+−>+−⇒ xxxxxxxxxx

Solución:

+∞∈ ,2

5x

c) 9

8

18

3

4

2

3

1 −−−≥+−+ xxx

⇒⋅−−⋅−≥+⋅−+⋅⇒⋅−−⋅−≥+⋅−+⋅

)4(8)3(2)2(9)1(1236

)8(4)3(2

36

)2(9)1(12xxx

xxx

4520

205626232626332621891212

−≥⇒

⇒−≥⇒−≥⇒+−≥+⇒−−≥−⇒−+−≥−−+⇒

x

xxxxxxxxx

Solución: ),4[ +∞−∈x

d) 2

15

3

26

3

12 −−<−− xx

⇒−⋅−<⋅−−⋅⇒−⋅−<⋅−−⋅

)15(3)26(2)12(26

)15(36

)26(2)12(2xx

xx

31957

57195431543155443155224 <⇒<⇒<⇒+<+⇒+−<−⇒+−<−−⇒ xxxxxxxxx

Solución: )3,(−∞∈x

e) 15

132

5

4

3

4 ++>−−+ xxx

⇒+⋅+⋅>−⋅−+⋅⇒+⋅+⋅>−⋅−+⋅

)13(1)15(2)4(3)4(515

)13(1)15(2

15

)4(3)4(5xxx

xxx

113231323133221330123205 <⇒−>−⇒−>−⇒+>+⇒++>+−+⇒ xxxxxxxxx Solución: )1,(−∞∈x


2

f) 22

14

4

8

3

25 −+>−−− xxx

⇒⋅−+⋅>−⋅−−⋅⇒⋅−+⋅>−⋅−−⋅

)12(2)14(6)8(3)25(412

)12(2)14(6

12

)8(3)25(4xxx

xxx

⇒>⇒>⇒−>−⇒+>+⇒−+>+−−⇒1144

44111660617606161724846243820 xxxxxxxxx

4>⇒ x Solución: ),4( +∞∈x


3

2. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 0122 ≥−+ xx

� Ceros:

−==

=±−=+±−=⇒=−+4

3

271

24811

0122

x

xxxx

� ∪⇒>= 01a

Solución: ),3[]4,( +∞∪−−∞∈x

b) 032 2 >+− xx

� Ceros:

=⇒=+−

=⇒=+−⋅⇒=+−

23

032

0

0)32(032 2

xx

x

xxxx

� ∩⇒<−= 02a

Solución:

∈2

3,0x

c) 014 2 <−x

� Ceros: 2

1

4

114014 222 ±=⇒=⇒=⇒=− xxxx

� ∪⇒>= 04a

Solución:

−∈2

1,

2

1x

d) 01616 22 <−+⇒<+ xxxx

� Ceros:

−=

==±−=+±−=⇒=−+

21

31

1251

122411

016 2

x

x

xxx

� ∪⇒>= 06a


4

Solución:

−∈3

1,

2

1x

e) 045081028102 2)2(:22 <++ →>−−−⇒>−− − xxxxxx ¡Cuidado al dividir por un número negativo

cambia el sentido de la desigualdad!

� Ceros:

−=−=

=±−=−±−=⇒=++4

1

235

216255

0452

x

xxxx

� ∪⇒>= 01a

Solución: ( )1,4−−∈x

f) 012 2 <++ xx

� Ceros: realsolución 2

811012 2 ∃/⇒

−±−=⇒=++ xxx

� ∪⇒>= 02a

Solución: La inecuación no tiene solución

g) 0932 >++ xx


36930932 ∃/⇒

−±−=⇒=++ xxx

� ∪⇒>= 01a

Solución: ℜ


5

h) 0962 ≤++ xx

� Ceros:

−=−=

=±−=−±−=⇒=++3

3

206

236366

0962

x

xxxx

� ∪⇒>= 01a

Solución: 3−=x

i) 03737 22 >−⇒> xxxx

� Ceros:

=⇒=−

=⇒=−⋅⇒=−

7

3037

0

0)37(037 2

xx

x

xxxx

� ∪⇒>= 07a

Solución:

+∞∪−∞∈ ,7

3)0,(x

j) 06565 22 >−+−⇒>+− xxxx

� Ceros:

==

=−

±−=−

−±−=⇒=−+−3

2

215

224255

0652

x

xxxx

� ∩⇒<−= 01a

Solución: )3,2(∈x

k) 0740254425)2( 222 ≤+−⇒≤−++−⇒≤+− xxxxx


281640742 ∃/⇒

−±=⇒=+− xxx

� ∪⇒>= 01a

Solución: La inecuación no tiene solución


6

l) ⇒−<−⇒−<−

⇒−<−

⇒−<− 2

222

2412610

2410

12610

2410

)63(210

245

63xxx

xxxxxxxxx

0601222 22 :2 <−+→<−+⇒ xxxx

� Ceros:

−==

=±−=+±−=⇒=−+3

2

251

22411

062

x

xxxx

� ∪⇒>= 01a

Solución: )2,3(−∈x

m) ⇒−+−−−≥++−⇒−+−−≥+− )842(1344)2)(4(13)2( 222 xxxxxxxxxx

03272484214 22222 ≥−+⇒+−−≥+−⇒+−+−−≥+−⇒ xxxxxxxxxxx

� Ceros:

−=

==±−=+±−=⇒=−+

23

1

451

42411

032 2

x

x

xxx

� ∪⇒>= 02a

Solución: [ )+∞∪

−∞−∈ ,12

3,x

n) ⇒>++−−⇒>+−−−

⇒>+−−−1020

101026105

1020

1010)13(2)2(5

25

132

2 222 xxxxxxx

xx

028452084510

20

10

845 222

>−+⇒>−+⇒>−+⇒ xxxx

xx

� Ceros:

−=

==±−=+±−=⇒=−+

5

14

2

10

244

10

56016402845 2

x

x

xxx

� ∪⇒>= 05a

Solución: ( )+∞∪

−∞−∈ ,25

14,x


7

2

3. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que 3:

a) 043 >− xx

� Ceros:

∗=−=

⇒=−⋅⇒=−)( 04

00)4(04

2

23

x

xxxxx

=−=

⇒±=⇒=⇒=−∗2

24404 )( 22

x

xxxx

� Luego, factorizando, tenemos: 0)2)(2(043 >+−⇔>− xxxxx

−=−−−⇒−= ))()((3x

+=+−−⇒−= ))()((1x

−=+−+⇒= ))()((1x

+=+++⇒= ))()((3x

Solución: ),2()0,2( +∞∪−∈x

b) 0233 ≤−− xx

� Ceros: 0233 =−− xx Posibles raíces = {divisores de 2− }= }2 ,1{ ±±

2 3 0 1 −−

2 4 2 +++

0 1 2 1 ++ 2

notable Identidad

23 )1)(2()12()2(23 +−=++−=−−⇒ xxxxxxx43421

−=⇒=+

=⇒=−⇔=+−⇔=++−

(doble) 10)1(

2020)1)(2(025159

2

223

xx

xxxxxxx

Por tanto, los ceros del polinomio son:

(doble) 1y 2 −== xx

� Luego, factorizando, tenemos: 0)1)(2(023 23 ≤+−⇔≤−− xxxx


8

−=+−⇒−= ))((2x −=+−⇒= ))((0x +=++⇒= ))((3x

Solución: ]2,(−∞∈x

c) 014 ≥−x

� Ceros:

−=⇒=+=⇒=−

⇔=++−⇔=+−⇔=− 101

1010)1)(1)(1(0)1)(1(01 2224

xx

xxxxxxxx


1y 1 =−= xx

� Luego, factorizando, tenemos: 0)1)(1)(1(01 24 ≥++−⇔≥− xxxx

+=+−−⇒−= ))()((2x −=++−⇒= ))()((0x +=+++⇒= ))()((2x

Solución: ),1[]1,( +∞∪−−∞∈x

d) 0623 >−− xxx

� Ceros:

∗=−−=

⇒=−−⋅⇒=−−)( 06

00)6(06

2

223

xx

xxxxxxx

−==

=±=+±=⇒=−−∗2

3

251

22411

06 )( 2

x

xxxx

� Luego, factorizando, tenemos: 0)2)(3(0623 >+−⇔>−− xxxxxx

−=−−−⇒−= ))()((3x

+=+−−⇒−= ))()((1x

−=+−+⇒= ))()((1x

+=+++⇒= ))()((4x


9

1− 3+

Solución: ),3()0,2( +∞∪−∈x

e) 0365365 2424 ≥−−⇒≥− xxxx

� Ceros: 0365 24 =−− xx

1) Hacemos el cambio de variable tx =2 y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:

03652 =−− tt

2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:

−==

=±=+±=⇔=−−4

9

2315

2144255

03652

t

tttt

3) Deshacemos el cambio de variable

3999 2 ±=⇒=⇒=⇒=• xxxt

realsolución existe no444 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt


3y 3 =−= xx

� Luego, factorizando, tenemos: 0)4)(3)(3(0365 224 ≥+−+⇔≥−− xxxxx

36 0 5 0 1 −−

36 12 9 3 ++++ 0 12 4 3 1 +++ 12 0 3 −−

0 4 0 1 + )4)(3)(3(365 224 ++−=−−⇒ xxxxx

Es decir, tenemos que resolver la inecuación: 0)4)(3)(3( 2 ≥+−+ xxx

+=+−−⇒−= ))()((4x −=+−+⇒= ))()((0x +=+++⇒= ))()((4x

Solución: ),3[]3,( +∞∪−−∞∈x

3−


10

21

f) 0122021

21 23)2(23 ≤−+−→≤−+− ⋅ xxxxxx

� Ceros: 01223 =−+− xxx Posibles raíces enteras = {divisores de 1− }= }1{±

Posibles raíces fraccionarias =

±=

−

2

1

2 de divisores

1 de divisores

1 2 1 2 −+− 1 0 1 ++

0 2 0 2 + )22(21

122 223 +

−=−+−⇒ xxxxx

∃/⇒−=⇒=+

=⇒=−⇔=+

−⇔=−+−realsolución 1022

21

021

0)22(21

012222

223

xx

xxxxxxx

Por tanto, el cero del polinomio es:

2

1=x

� Luego, factorizando, tenemos: 0)22(2

10122 223 ≤+

−⇔≤−+− xxxxx

−=+−⇒= ))((0x +=++⇒= ))((1x

Solución:

∞−∈21

,x

g) 03520332233)1(2 23432243222 <+−−+⇒<−++−−⇒+−−<−− xxxxxxxxxxxxxx

Tenemos que resolver la inecuación: 0352 234 <+−−+ xxxx

� Ceros: 0352 234 =+−−+ xxxx


11

1−

3 1 5 1 2 +−−+

3 4 1 2 −++−

0 3 4 1 2 +−− )342)(1( 23 +−−+⇒ xxxx

3 1 2 −++

0 3 1 2 −+ )32)(1)(1( 2 −+−+⇒ xxxx

∗=−+=⇒=−

−=⇒=+⇔=−+−+⇔=+−−+

)( 032

101

101

0)32)(1)(1(03522

2234

xx

xx

xx

xxxxxxxx

−=⇒−=

=⇒==±−=+±−=⇒=−+∗

2

3

4

6

14

4

4

51

4

2411032 )( 2

xx

xxxxx

Por tanto, los ceros del polinomio son:23

y 1 )doble(1 −=−== xxx

� Luego, factorizando, tenemos:

02

3)1()1( 0

2

3)1()1(20352 2

2 :

2234 <

++−⇔<

++−⇔<+−−+ xxxxxxxxxx

+=−−+⇒−= ))()((2x

−=+−+⇒−= ))()((25,1x

+=+++⇒= ))()((0x

+=+++⇒= ))()((4x

Solución:

−−∈ 1,2

3x

h) 025159 2345 ≤++− xxxx

� Ceros:

∗=++−

=⇒=⇔=++−⋅⇔=++−

)( 025159

(doble) 00

0)25159(02515923

2

2322345

xxx

xx

xxxxxxxx

025159 )( 23 =++−∗ xxx Posibles raíces = {divisores de 25}= }25,5 ,1{ ±±±

1+


12

5

1−

25 15 9 1 ++− 25 20 5 −−+

0 5 4 1 −− )54)(5(25159 223 −−−=++−⇒ xxxxxx

∗∗=−−

=⇒=−⇔=−−−⇔=++−

)( 054

505

0)54)(5(0251592

223

xx

xx

xxxxxx

−==

=±=+±=⇒=−−∗∗1

5

264

220164

054 )( 2

x

xxxx


1y (doble) 5 (doble) 0 −=== xxx

� Luego, factorizando, tenemos: 0)1()5(025159 222245 ≤+−⇔≤++− xxxxxxx

−=−++⇒−= ))()((2x

+=+++⇒−= ))()((5,0x

+=+++⇒= ))()((1x

+=+++⇒= ))()((4x

Solución: }5,0{]1,( ∪−−∞∈x

i) 03452035523)1(52 23233 ≤+−−⇒≤++−−⇒−−≤+− xxxxxxxxxxx

Tenemos que resolver la inecuación: 03452 23 ≤+−− xxx

� Ceros

3 4 5 2 +−− 3 7 2 −+−

0 3 7 2 +− )372)(1(3452 223 +−+=+−−⇒ xxxxxx

∗=+−

−=⇒=+⇔=+−+⇔=+−−

)( 0372

1010)372)(1(03452

2

223

xx

xxxxxxxx


13

=

==±=−±=⇒=+−∗

2

1

3

457

424497

0372 )( 2

x

x

xxx


21

y 3 , 1 ==−= xxx

� Luego, factorizando, tenemos:

02

1)3)(1(0

2

1)3)(1(203452

)2(:

23 ≤

−−+⇔≤

−−+⇔≤+−− xxxxxxxxx

−=−−−⇒−= ))()((2x

+=−−+⇒= ))()((0x

−=+−+⇒= ))()((2x

+=+++⇒= ))()((4x

Solución:

∪−−∞∈ 3,2

1]1,(x


14

4. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:

a) 012

25 ≥+−

x

x

� Ceros

5

2025 =⇒=− xx

� Polos

21

012 −=⇒=+ xx

+=−−

⇒−=)(

)(1x −=

+−

⇒=)()(

0x +=++

⇒=)(

)(1x

Solución:

+∞∪

−∞−∈ ,5

2

2

1,x

b) 02

12

≤+−

x

x

� Ceros:

=−=

⇒=⇒=−1

1101 22

x

xxx

� Polos: 202 −=⇒=+ xx

� Luego, factorizando, tenemos: 0)2(

)1)(1(0

2

12

≤+

+−⇔<+−

x

xx

x

x

−=−

−−⇒−=

)(

))((3x

+=+

−−⇒−=

)(

))((5,1x

−=+

+−⇒=

)())((

0x

+=+

++⇒=

)())((

2x

Solución: ( ) [ ]1,12, −∪−∞−∈x


15

1

c) 065

452

2

≥+−+−

xx

xx

� Ceros:

==

=±=−±=⇒=+−1

4

235

216255

0452

x

xxxx

� Polos:

==

=±=−±=⇒=+−2

3

215

224255

0652

x

xxxx

� Luego, factorizando, tenemos: 0)2)(3(

)1)(4(0

65

452

2

≥−−−−⇔≥

+−+−

xx

xx

xx

xx

+=−−−−

⇒=))(())((

0x

−=−−+−

⇒=))((

))((5,1x

+=+−+−

⇒=))(())((

5,2x

−=+++−

⇒=))((

))((5,3x

+=++++

⇒=))((

))((4x

Solución: ( ] [ )+∞∪∪∞−∈ ,4)3,2(1,x

d) 093535

23

23

≤−+++−+

xxx

xxx

� Ceros: 03523 =+−+ xxx

Posibles raíces enteras = {divisores de 3} = }3 ,1{ ±±

3 5 1 1 +−+ 3 2 1 −++ 0 3 2 1 −+ )32)(1(35 223 −+−=+−+⇒ xxxxxx

Luego

∗=−+

=⇒=−⇔=−+−⇔=+−+

)( 032

1010)32)(1(035

2

223

xx

xxxxxxxx

−==

=±−=+±−=⇒=−+∗3

1

2

42

2

1242032 )( 2

x

xxxx


16

1

Por tanto, 3 (doble)1 −==→ xxCeros

� Polos: 0935 23 =−++ xxx

Posibles raíces enteras = {divisores de 9− } = }9,3 ,1{ ±±±

9 3 5 1 −++ 9 6 1 +++ 0 9 6 1 ++ )96)(1(935 223 ++−=−++⇒ xxxxxx

Luego

−=⇒=+⇒=++

=⇒=−⇔=++−⇔=−++

(doble) 30)3(096

1010)96)(1(0935

22

223

xxxx

xxxxxxxx

Por tanto, 1 (doble)3 =−=→ xxPolos

� Luego, factorizando, tenemos: 0)1()3(

)3()1(0

935

352

2

23

23

≤−++−⇔≤

−+++−+

xx

xx

xxx

xxx

+=−+−+

⇒−=))(())((

4x −=−+++

⇒=))(())((

0x +=++++

⇒=))(())((

2x

Solución: )1,3( −−∈x

e) 02

322

2

<−+−−

xx

xx

� Ceros:

−==

=±=+±=⇒=−−1

3

2

42

2

12420322

x

xxxx

� Polos:

−==

=±−=+±−=⇒=−+2

1

2

31

2

811022

x

xxxx


)1)(3(0

2

322

2

<+−+−⇔<

−+−−

xx

xx

xx

xx


17

+=−−−−

⇒−=))((

))((3x

−=+−−−

⇒−=))((

))((5,1x

+=+−+−

⇒=))((

))((0x

−=+++−

⇒=))((

))((2x

+=++++

⇒=))((

))((4x

Solución: )3,1()1,2( ∪−−∈x

f) 03

40

331

03

)3(1101

31 >

+−

⇒>+

−−−⇒>

++⋅−−

⇒>−+−

xx

xx

x

xx

x

x

� Ceros: No tiene

� Polos: 303 −=⇒=+ xx

+=−−

⇒−=)()(

4x

−=+−

⇒−=)()(

2x

Solución: )3,( −−∞∈x

g) 02

40

2

420

2

)2(202

22

2 2

2

2

22

2

22

2

2

2

2

≤−+−

⇒≤−

+−⇒≤

−−−

⇒≤−−

⇒≤− x

x

x

xx

x

xx

x

x

x

x

� Ceros:

=−=

⇒=⇒=+−2

2404 22

x

xxx

� Polos:

=

−=⇒=⇒=−

2

2202 22

x

xxx


18

1−


)2)(2(0

)2)(2(

)2)(2(10

24 )1(:

2

2

≥+−+− →≤

+−+−−⇔≤

−+− −

xx

xx

xx

xx

x

x

+=−−−−

⇒−=))(())((

3x

−=−−+−

⇒−=))(())((

5,1x

+=+−+−

⇒=))((

))((0x

−=+++−

⇒=))(())((

5,1x

+=++++

⇒=))(())((

3x

Solución: ( ] ( ) [ )+∞∪−∪−∞−∈ ,22,22,x

h) 03

530

3

350

3

)3(50

3

5

3

52

23

2

32

2

22

2

2

2

2

<+

−−+−⇒<

+−−−

⇒<+

+−−⇒<−

+−

⇒<+−

x

xxx

x

xxx

x

xxxx

x

xx

x

x

� Ceros: 05323 =−−+− xxx

Posibles raíces enteras = {divisores de 5− } = }5 ,1{ ±±

5 3 1 1 −−+− 5 2 1 +−+ 0 5 2 1 −+− )52)(1(53 223 −+−+=−−+−⇒ xxxxxx

Luego

=−+−

−=⇒=+⇔=−+−+⇔=−−+−

(*) 052

1010)52)(1(053

2

223

xx

xxxxxxxx

realsolución 2

2042052 )( 2 ∃/⇒

−−±−=⇒=−+−∗ xxx

Por tanto, 1−=→ xCeros

� Polos: realsolución 303 22 ∃/⇒−=⇒=+ xx

Por tanto, tieneNo→Polos


19

� Luego, factorizando, tenemos: 03

)52)(1(0

353

2

2

2

23

<+

−+−+⇔<+

−−+−x

xxx

x

xxx

+=+

−−⇒−=

)())((

2x

−=+

−+⇒=

)())((

0x

Solución: ( )+∞−∈ ,1x

i) 0)4)(1(

60

)4)(1(224

0)4)(1(

)1(2)4(10

42

11

42

11 <

+−−

⇒<+−+−+

⇒<+−

−−+⇒<

+−

−⇒

+<

− xx

x

xx

xx

xx

xx

xxxx

Por tanto, hay que resolver la inecuación: 0)4)(1(

6 <+−

−xx

x

� Ceros: 606 =⇒=− xx

� Polos:

−==

⇒=+−4

10)4)(1(

x

xxx

� 0)4)(1(

6 <+−

−xx

x

+=−−

+⇒−=

))((

)(5x

−=+−

+⇒=

))((

)(0x

+=++

+⇒=

))((

)(2x

−=++

−⇒=

))((

)(7x

Solución: ),6()1,4( +∞∪−∈x


20

j) ⇒≥+−

−−−+−−+−⇒≥

+−−−

−−

⇒+−≥−

−−

0)1)(1(

)1)(12()1)(1()1)(23(0

1

121

1

23

1

121

1

23

xx

xxxxxx

x

x

x

x

x

x

x

x

⇒≥+−

+−−−−−−−+⇒ 0

)1)(1(

)122()1()2233( 222

xx

xxxxxxx

0)1)(1(

240

)1)(1(

12212233 222

≥+−

−⇒≥

+−−++−+−−−+

⇒xx

x

xx

xxxxxxx


24 ≥+−

−xx

x

� Ceros: 2

1024 =⇒=− xx

� Polos:

−==

⇒=+−1

10)1)(1(

x

xxx

� 0)1)(1(

24 ≥+−

−xx

x

−=−−

−⇒−=

))((

)(2x

+=+−

−⇒=

))((

)(0x

−=+−

+⇒=

))((

)(75,0x

+=++

+⇒=

))((

)(2x

Solución: ),1(2

1,1 +∞∪

−∈x

k) 0)3)(3(

120

)3)(3(

3130

3

1

)3)(3(

1

3

1

3

1

9

1

3

12

≤+−

−⇒≤

+−++−−

⇒≤−

++−

−+

⇒−

−≤−

−+ xx

x

xx

xx

xxxxxxx


12 ≤+−

−xx

x

� Ceros: 2

1012 =⇒=− xx

� Polos:

−==

⇒=+−3

30)3)(3(

x

xxx

� 0)3)(3(

12 ≤+−

−xx

x


21

−=−−

−⇒−=

))((

)(4x

+=+−

−⇒=

))((

)(0x

−=+−

+⇒=

))((

)(1x

+=++

+⇒=

))(()(

4x

Solución:

∪−−∞∈ 3,2

1)3,(x

l) 4

16

2

1

2 2 −+−

++≤

−−

x

x

x

x

x

x⇒≤

−−

++−

+−+

⇒ 022

1

)2)(2(

16

x

x

x

x

xx

x

0)2)(2(

)2()1)(2(16 ≤+−

+−+−−+⇒

xx

xxxxx0

)2)(2(

22216 22

≤+−

−−+−+−+⇒

xx

xxxxxx0

)2)(2(

352 2

≤+−

++−⇒

xx

xx


352 2

≤+−

++−xx

xx

� Ceros: 0352 2 =++− xx

=

−==

−±−=

−+±−=

−⋅⋅−⋅−±−

=3

21

475

424255

)2(2

3)2(4)5(5 2

x

xx

� Polos:

−==

⇒=+−2

20)2)(2(

x

xxx


)3(2

12

0)2)(2(

352 2

≤+−

−

+−⇔≤

+−++−

xx

xx

xx

xx

−=−−

−−−⇒−=

))((

))()((3x

+=+−

−−−⇒−=

))((

))()((1x

−=+−

−+−⇒=

))((

))()((0x

+=++

−+−⇒=

))((

))()((5,2x

−=++

++−⇒=

))((

))()((4x


22

Solución: ),3[2,2

1)2,( +∞∪

−∪−−∞∈x

m) ⇒−≥− 1264

22

xx ⇒≥+− 012

642

2

xx 0

12642

24

≥+−x

xx0

64122

24

≥−+⇒

x

xx

Por tanto, hay que resolver la inecuación: 06412

2

24

≥−+x

xx

� Ceros: 06412 24 =−+ xx

1) Hacemos el cambio de variable tx =2 y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:

064122 =−+ tt 2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:

−==

=±−=+±−=⇔=−+16

4

22012

225614412

064122

t

tttt

3) Deshacemos el cambio de variable

2444 2 ±=⇒=⇒=⇒=• xxxt

realsolución tieneno161616 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt

� Polos: 002 =⇒= xx

� 06412

2

24

≥−+x

xx

+=++

⇒−=)(

)(3x

−=+−

⇒−=)(

)(1x

−=+−

⇒=)(

)(1x

+=++

⇒=)(

)(3x

Solución: ),2[]2,( +∞∪−−∞∈x


23

1−

n) ⇒++−

−+≤

−−

1

2

1

17

1

33 2

2 x

x

x

x

x

x

0)1)(1(

)1)(2()17()1)(33(0

1

2

)1)(1(

17

1

33 22

≤+−

−+++−+−⇒≤

+++

+−+−

−−

⇒xx

xxxxx

x

x

xx

x

x

x

0)1)(1(

6520

)1)(1(

22173333 23232

≤+−

−−+⇒≤

+−−+−+−−−−+

⇒xx

xxx

xx

xxxxxxx


652 23

≤+−

−−+xx

xxx

� Ceros: 0652 23 =−−+ xxx

6 5 2 1 −−+ 6 1 1 +−−

0 6 1 1 −+ )6)(1(652 223 −++=−−+⇒ xxxxxx

∗=−+

−=⇒=+⇔=−++⇔=−−+

)( 06

1010)6)(1(0652

2

223

xx

xxxxxxxx

−==

=±−=+±−=⇒=−+∗3

2

2

51

2

241106 )( 2

x

xxxx


3y 2 , 1 −==−= xxx

� Polos:

−==

⇒=+−1

10)1)(1(

x

xxx

� Luego, factorizando, tenemos: )1)(1(

0)3)(2)(1(0

)1)(1(

652 23

+−≤+−+⇔≤

+−−−+

xx

xxx

xx

xxx

−=−−

−−−⇒−=

))((

))()((4x

+=−−

+−−⇒−=

))((

))()((2x

+=+−

+−+⇒=

))((

))()((0x

−=++

+−+⇒=

))((

))()((5,1x


24

+=++

+++⇒=

))((

))()((3x

Solución: ]2,1(]3,( ∪−−∞∈x


1

5. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita:

a)

+≤+<−+623

7)1(32

xx

xx

� Primero resolvemos cada una de las inecuaciones del sistema de forma independiente:

I) 210573327)1(32 <⇒<⇒<−+⇒<−+ xxxxxx

Solución: )2,(−∞∈x

II) 242263623 ≤⇒≤⇒−≤−⇒+≤+ xxxxxx Solución: ]2,(−∞∈x

� Ahora hallamos la solución del sistema:

La solución del sistema es la intersección de las soluciones de las dos inecuaciones anteriores, es decir,

Solución del sistema: ( ) ( ][ ] ( )2,2,2, ∞−=∞−∩∞−∈x

b)

+>−+

<−

2)1(32

22

2

xxx

xx


I) 34

4324

24

22

2 <⇒<⇒<−⇒<− xx

xxxx

Solución:

∞−∈3

4,x

II) 45

5423322)1(32 >⇒>⇒+>−+⇒+>−+ xxxxxxxx

Solución:

+∞∈ ,4

5x




2

Solución del sistema:

=

+∞∩

∞−∈34

,45

,45

34

,x

c)

≥≤

+<−−≤−−−

0

5

332

32)3(3

x

x

xx

xx


I) 5

12125329332)3(3 ≥⇒−≤−⇒−≤−+−⇒−≤−−− xxxxxx

Solución:

+∞∈ ,5

12x

II) 6332332 <⇒+<−⇒+<− xxxxx Solución: ( )6,∞−∈x

III) 5≤x Solución: ( ]5,∞−∈x

IV) 0≥x Solución: [ )+∞∈ ,0x


La solución del sistema es la intersección de las soluciones de las cuatro inecuaciones anteriores, es decir,

Solución del sistema: ( ) ( ] [ )

=

+∞∩∞−∩∞−∩

+∞∈ 5,5

12,05,6,,

512

x


3

d)

>

<<−

1

332x

x


I) 33 <<− x Solución: ( )3,3−∈x

II) 011 22 >−⇒> xx

� Ceros:

=−=

⇒=−1

1012

x

xx

� ∪⇒>= 01a

Solución: ( ) ( )+∞∪−∞−∈ ,11,x



Solución del sistema: ( ) ( ) ( )[ ][ ] ( ) ( )3,11,3,11,3,3 ∪−−=+∞∪−∞−∩−∈x

e)

−≥−−≤+−

<−

1733

01

13

1

2

x

x

x


I) 03

40

3

3101

3

11

3

1 <−−

⇒<−

+−⇒<−

−⇒<

− x

x

x

x

xx

Por tanto, hay que resolver la inecuación: 03

4 <−−

x

x

� Ceros

404 =⇒=− xx

� Polos

303 =⇒=− xx


4

� 03

4 <−−

x

x

−=−+

⇒=)(

)(0x +=

++

⇒=)(

)(5,3x −=

+−

⇒=)(

)(5x

Solución: ),4()3,( +∞∪−∞∈x

II) 012 ≤+− x

� Ceros

11101 22 ±=⇒±=⇒=⇒=+− xxxx

� ∩⇒<−= 01a

Solución: ),1[]1,( +∞∪−−∞∈x

III) 3

143

1414331731733 ≤⇒

−−≤⇒−≥−⇒+−≥−⇒−≥−− xxxxx

Solución:

∞−∈3

14,x


La solución del sistema es la intersección de las soluciones de las tres inecuaciones anteriores, es decir,

Solución del sistema:

∪∪−−∞∈3

14,4)3,1[]1,(x


25

6. Una fábrica de Getafe paga a sus viajantes 10 euros por artículo vendido más una cantidad fija de 400 euros. Otra fábrica de la competencia paga 15 euros por artículo vendido más una cantidad fija de 300 euros. ¿Cuántos artículos debe vender el viajante de la competencia para ganar más dinero que el primero?

Solución: x = nº de artículos vendidos � Ganancias del viajante de la fábrica de Getafe = 40010 +⋅ x � Ganancias del viajante de la fábrica de la competencia = 30015 +⋅ x Queremos hallar el valor de “x” para qué:

Ganancias del viajante de la fábrica de la competencia > Ganancias del viajante de la fábrica de Getafe

205

100100530040010154001030015 >⇒>⇒>⇒−>−⇒+>+ xxxxxxx

Luego el viajante de la competencia ha de vender más de 20 artículos para ganar más que el viajante de la fábrica de Getafe.

7. Un padre y su hijo se llevan 22 años. Determina en qué período de sus vidas la edad del padre excede en más de 6 años al doble de la edad de su hijo.

Solución: Edad del hijo = x Edad del padre = x + 22 Queremos saber cuándo la diferencia entre la edad del padre y el doble de la edad de su hijo es mayor que 6, es decir,

62)22( >−+ xx

Resolvemos la inecuación: 1616622262)22( <⇒−>−⇒>−+⇒>−+ xxxxxx

Por tanto, la diferencia entre la edad del padre y el doble de la edad de su hijo es mayor que 6 cuando el hijo tiene menos de 16 años.


26

8. Halla los valores de m para que las dos raíces de la ecuación 0)5()12(2 =++⋅++ mxmmx sean reales.

Solución:

� Una ecuación de segundo grado tiene soluciones reales (dos distintas o una doble) 042 ≥−=∆⇔ acb

En nuestro caso: )5( )12( 0)5()12(2 +=+==⇒=++⋅++ mcmbmamxmmx

⇔≥−−++⇔≥+−+⇔≥−=∆ 02041440)5(4)12(04 2222 mmmmmmmacb161

116 ≤⇔−≥− mm

Por tanto,

La ecuación tiene solución real 16

1≤⇔ m

9. Halla la condición que tienen que verificar los coeficientes de la ecuación

0)10()2(22 =−−⋅+− mxmmx , para que tenga raíces reales.

Solución:

� Una ecuación de segundo grado tiene soluciones reales (dos distintas o una doble) 042 ≥−=∆⇔ acb

En nuestro caso: )10( )2(2 0)10()2(22 −−=+−==⇒=−−⋅+− mcmbmamxmmx

⇔≥−+++⇔≥−−⋅⋅−+−⇔≥−=∆ 0)10(4)44(40)]10([4)]2(2[04 222 mmmmmmmacb

023016248040416164 2

)8(:

222 ≥+−⇔≥+−⇔≥−+++⇔ mmmmmmmm

Tenemos que resolver la inecuación: 0232 ≥+− mm

Ceros:

==

=±=−±=⇒=+−1

2

213

2893

0232

m

mmmm

Por tanto,

La ecuación tiene solución real ),2[]1,( +∞∪−∞∈⇔ m


27

10. ¿Para qué valores de m, la ecuación de segundo grado 07)1(8 2 =−+⋅−− mxmx no tiene solución?

Solución:

� Una ecuación de segundo grado no tiene soluciones reales 042 <−=∆⇔ acb

En nuestros caso: )7( )1( 80)7()1(8 2 −=−−==⇒=−+⋅−− mcmbamxmx

⇔<+−+−⇔<−⋅⋅−−−⇔<−=∆ 022432120)7(84)]1([04 222 mmmmmacb 0225342 <+− mm

Tenemos que resolver la inecuación: 0225342 <+− mm

Ceros:

==

=±=−±=⇒=+−9

25

21634

2900115634

0225342

m

mmmm

Por tanto,

La ecuación no tiene solución real )25,9(∈⇔ m

ies juan garcía valdemora tema 5: …jgvaldemora.org/.../2014/02/soluciones-inecuaciones.pdfies...

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