1. resuelve las siguientes...

IES Juan García Valdemora TEMA 5: INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES Departamento de Matemáticas 4º ESO Matemáticas B

1

1. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) xxx 42)2(4)52(3 −≤−−−

2

3

6

996724242724284156 ≤⇒≤⇒≤⇒+≤+⇒−≤−⇒−≤+−− xxxxxxxxxx

Solución:

∞−∈2

3,x

b) 2

521

6

1

2

−−>−− xxx

⇒−⋅−⋅>−⋅−⇒−⋅−⋅>−⋅−

)52(3)1(6)1(136

)52(3)1(6

6

)1(13xxx

xxx

2

5

8

202081216221612156613 >⇒>⇒>⇒−>+⇒+−>+⇒+−>+−⇒ xxxxxxxxxx

Solución:

+∞∈ ,2

5x

c) 9

8

18

3

4

2

3

1 −−−≥+−+ xxx

⇒⋅−−⋅−≥+⋅−+⋅⇒⋅−−⋅−≥+⋅−+⋅

)4(8)3(2)2(9)1(1236

)8(4)3(2

36

)2(9)1(12xxx

xxx

4520

205626232626332621891212

−≥⇒

⇒−≥⇒−≥⇒+−≥+⇒−−≥−⇒−+−≥−−+⇒

x

xxxxxxxxx

Solución: ),4[ +∞−∈x

d) 2

15

3

26

3

12 −−<−− xx

⇒−⋅−<⋅−−⋅⇒−⋅−<⋅−−⋅

)15(3)26(2)12(26

)15(36

)26(2)12(2xx

xx

31957

57195431543155443155224 <⇒<⇒<⇒+<+⇒+−<−⇒+−<−−⇒ xxxxxxxxx

Solución: )3,(−∞∈x

e) 15

132

5

4

3

4 ++>−−+ xxx

⇒+⋅+⋅>−⋅−+⋅⇒+⋅+⋅>−⋅−+⋅

)13(1)15(2)4(3)4(515

)13(1)15(2

15

)4(3)4(5xxx

xxx

113231323133221330123205 <⇒−>−⇒−>−⇒+>+⇒++>+−+⇒ xxxxxxxxx Solución: )1,(−∞∈x


2

f) 22

14

4

8

3

25 −+>−−− xxx

⇒⋅−+⋅>−⋅−−⋅⇒⋅−+⋅>−⋅−−⋅

)12(2)14(6)8(3)25(412

)12(2)14(6

12

)8(3)25(4xxx

xxx

⇒>⇒>⇒−>−⇒+>+⇒−+>+−−⇒1144

44111660617606161724846243820 xxxxxxxxx

4>⇒ x Solución: ),4( +∞∈x


3

2. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 0122 ≥−+ xx

� Ceros:

−==

=±−=+±−=⇒=−+4

3

271

24811

0122

x

xxxx

� ∪⇒>= 01a

Solución: ),3[]4,( +∞∪−−∞∈x

b) 032 2 >+− xx

� Ceros:

=⇒=+−

=⇒=+−⋅⇒=+−

23

032

0

0)32(032 2

xx

x

xxxx

� ∩⇒<−= 02a

Solución:

∈2

3,0x

c) 014 2 <−x

� Ceros: 2

1

4

114014 222 ±=⇒=⇒=⇒=− xxxx

� ∪⇒>= 04a

Solución:

−∈2

1,

2

1x

d) 01616 22 <−+⇒<+ xxxx

� Ceros:

−=

==±−=+±−=⇒=−+

21

31

1251

122411

016 2

x

x

xxx

� ∪⇒>= 06a


4

Solución:

−∈3

1,

2

1x

e) 045081028102 2)2(:22 <++ →>−−−⇒>−− − xxxxxx ¡Cuidado al dividir por un número negativo

cambia el sentido de la desigualdad!

� Ceros:

−=−=

=±−=−±−=⇒=++4

1

235

216255

0452

x

xxxx

� ∪⇒>= 01a

Solución: ( )1,4−−∈x

f) 012 2 <++ xx

� Ceros: realsolución 2

811012 2 ∃/⇒

−±−=⇒=++ xxx

� ∪⇒>= 02a

Solución: La inecuación no tiene solución

g) 0932 >++ xx


36930932 ∃/⇒

−±−=⇒=++ xxx

� ∪⇒>= 01a

Solución: ℜ


5

h) 0962 ≤++ xx

� Ceros:

−=−=

=±−=−±−=⇒=++3

3

206

236366

0962

x

xxxx

� ∪⇒>= 01a

Solución: 3−=x

i) 03737 22 >−⇒> xxxx

� Ceros:

=⇒=−

=⇒=−⋅⇒=−

7

3037

0

0)37(037 2

xx

x

xxxx

� ∪⇒>= 07a

Solución:

+∞∪−∞∈ ,7

3)0,(x

j) 06565 22 >−+−⇒>+− xxxx

� Ceros:

==

=−

±−=−

−±−=⇒=−+−3

2

215

224255

0652

x

xxxx

� ∩⇒<−= 01a

Solución: )3,2(∈x

k) 0740254425)2( 222 ≤+−⇒≤−++−⇒≤+− xxxxx


281640742 ∃/⇒

−±=⇒=+− xxx

� ∪⇒>= 01a

Solución: La inecuación no tiene solución


6

l) ⇒−<−⇒−<−

⇒−<−

⇒−<− 2

222

2412610

2410

12610

2410

)63(210

245

63xxx

xxxxxxxxx

0601222 22 :2 <−+→<−+⇒ xxxx

� Ceros:

−==

=±−=+±−=⇒=−+3

2

251

22411

062

x

xxxx

� ∪⇒>= 01a

Solución: )2,3(−∈x

m) ⇒−+−−−≥++−⇒−+−−≥+− )842(1344)2)(4(13)2( 222 xxxxxxxxxx

03272484214 22222 ≥−+⇒+−−≥+−⇒+−+−−≥+−⇒ xxxxxxxxxxx

� Ceros:

−=

==±−=+±−=⇒=−+

23

1

451

42411

032 2

x

x

xxx

� ∪⇒>= 02a

Solución: [ )+∞∪

−∞−∈ ,12

3,x

n) ⇒>++−−⇒>+−−−

⇒>+−−−1020

101026105

1020

1010)13(2)2(5

25

132

2 222 xxxxxxx

xx

028452084510

20

10

845 222

>−+⇒>−+⇒>−+⇒ xxxx

xx

� Ceros:

−=

==±−=+±−=⇒=−+

5

14

2

10

244

10

56016402845 2

x

x

xxx

� ∪⇒>= 05a

Solución: ( )+∞∪

−∞−∈ ,25

14,x


7

2

3. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que 3:

a) 043 >− xx

� Ceros:

∗=−=

⇒=−⋅⇒=−)( 04

00)4(04

2

23

x

xxxxx

=−=

⇒±=⇒=⇒=−∗2

24404 )( 22

x

xxxx

� Luego, factorizando, tenemos: 0)2)(2(043 >+−⇔>− xxxxx

−=−−−⇒−= ))()((3x

+=+−−⇒−= ))()((1x

−=+−+⇒= ))()((1x

+=+++⇒= ))()((3x

Solución: ),2()0,2( +∞∪−∈x

b) 0233 ≤−− xx

� Ceros: 0233 =−− xx Posibles raíces = {divisores de 2− }= }2 ,1{ ±±

2 3 0 1 −−

2 4 2 +++

0 1 2 1 ++ 2

notable Identidad

23 )1)(2()12()2(23 +−=++−=−−⇒ xxxxxxx43421

−=⇒=+

=⇒=−⇔=+−⇔=++−

(doble) 10)1(

2020)1)(2(025159

2

223

xx

xxxxxxx

Por tanto, los ceros del polinomio son:

(doble) 1y 2 −== xx

� Luego, factorizando, tenemos: 0)1)(2(023 23 ≤+−⇔≤−− xxxx


8

−=+−⇒−= ))((2x −=+−⇒= ))((0x +=++⇒= ))((3x

Solución: ]2,(−∞∈x

c) 014 ≥−x

� Ceros:

−=⇒=+=⇒=−

⇔=++−⇔=+−⇔=− 101

1010)1)(1)(1(0)1)(1(01 2224

xx

xxxxxxxx


1y 1 =−= xx

� Luego, factorizando, tenemos: 0)1)(1)(1(01 24 ≥++−⇔≥− xxxx

+=+−−⇒−= ))()((2x −=++−⇒= ))()((0x +=+++⇒= ))()((2x

Solución: ),1[]1,( +∞∪−−∞∈x

d) 0623 >−− xxx

� Ceros:

∗=−−=

⇒=−−⋅⇒=−−)( 06

00)6(06

2

223

xx

xxxxxxx

−==

=±=+±=⇒=−−∗2

3

251

22411

06 )( 2

x

xxxx

� Luego, factorizando, tenemos: 0)2)(3(0623 >+−⇔>−− xxxxxx

−=−−−⇒−= ))()((3x

+=+−−⇒−= ))()((1x

−=+−+⇒= ))()((1x

+=+++⇒= ))()((4x


9

1− 3+

Solución: ),3()0,2( +∞∪−∈x

e) 0365365 2424 ≥−−⇒≥− xxxx

� Ceros: 0365 24 =−− xx

1) Hacemos el cambio de variable tx =2 y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:

03652 =−− tt

2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:

−==

=±=+±=⇔=−−4

9

2315

2144255

03652

t

tttt

3) Deshacemos el cambio de variable

3999 2 ±=⇒=⇒=⇒=• xxxt

realsolución existe no444 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt


3y 3 =−= xx

� Luego, factorizando, tenemos: 0)4)(3)(3(0365 224 ≥+−+⇔≥−− xxxxx

36 0 5 0 1 −−

36 12 9 3 ++++ 0 12 4 3 1 +++ 12 0 3 −−

0 4 0 1 + )4)(3)(3(365 224 ++−=−−⇒ xxxxx

Es decir, tenemos que resolver la inecuación: 0)4)(3)(3( 2 ≥+−+ xxx

+=+−−⇒−= ))()((4x −=+−+⇒= ))()((0x +=+++⇒= ))()((4x

Solución: ),3[]3,( +∞∪−−∞∈x

3−


10

21

f) 0122021

21 23)2(23 ≤−+−→≤−+− ⋅ xxxxxx

� Ceros: 01223 =−+− xxx Posibles raíces enteras = {divisores de 1− }= }1{±

Posibles raíces fraccionarias =

±=

−

2

1

2 de divisores

1 de divisores

1 2 1 2 −+− 1 0 1 ++

0 2 0 2 + )22(21

122 223 +

−=−+−⇒ xxxxx

∃/⇒−=⇒=+

=⇒=−⇔=+

−⇔=−+−realsolución 1022

21

021

0)22(21

012222

223

xx

xxxxxxx

Por tanto, el cero del polinomio es:

2

1=x

� Luego, factorizando, tenemos: 0)22(2

10122 223 ≤+

−⇔≤−+− xxxxx

−=+−⇒= ))((0x +=++⇒= ))((1x

Solución:

∞−∈21

,x

g) 03520332233)1(2 23432243222 <+−−+⇒<−++−−⇒+−−<−− xxxxxxxxxxxxxx

Tenemos que resolver la inecuación: 0352 234 <+−−+ xxxx

� Ceros: 0352 234 =+−−+ xxxx


11

1−

3 1 5 1 2 +−−+

3 4 1 2 −++−

0 3 4 1 2 +−− )342)(1( 23 +−−+⇒ xxxx

3 1 2 −++

0 3 1 2 −+ )32)(1)(1( 2 −+−+⇒ xxxx

∗=−+=⇒=−

−=⇒=+⇔=−+−+⇔=+−−+

)( 032

101

101

0)32)(1)(1(03522

2234

xx

xx

xx

xxxxxxxx

−=⇒−=

=⇒==±−=+±−=⇒=−+∗

2

3

4

6

14

4

4

51

4

2411032 )( 2

xx

xxxxx

Por tanto, los ceros del polinomio son:23

y 1 )doble(1 −=−== xxx

� Luego, factorizando, tenemos:

02

3)1()1( 0

2

3)1()1(20352 2

2 :

2234 <

++−⇔<

++−⇔<+−−+ xxxxxxxxxx

+=−−+⇒−= ))()((2x

−=+−+⇒−= ))()((25,1x

+=+++⇒= ))()((0x

+=+++⇒= ))()((4x

Solución:

−−∈ 1,2

3x

h) 025159 2345 ≤++− xxxx

� Ceros:

∗=++−

=⇒=⇔=++−⋅⇔=++−

)( 025159

(doble) 00

0)25159(02515923

2

2322345

xxx

xx

xxxxxxxx

025159 )( 23 =++−∗ xxx Posibles raíces = {divisores de 25}= }25,5 ,1{ ±±±

1+


12

5

1−

25 15 9 1 ++− 25 20 5 −−+

0 5 4 1 −− )54)(5(25159 223 −−−=++−⇒ xxxxxx

∗∗=−−

=⇒=−⇔=−−−⇔=++−

)( 054

505

0)54)(5(0251592

223

xx

xx

xxxxxx

−==

=±=+±=⇒=−−∗∗1

5

264

220164

054 )( 2

x

xxxx


1y (doble) 5 (doble) 0 −=== xxx

� Luego, factorizando, tenemos: 0)1()5(025159 222245 ≤+−⇔≤++− xxxxxxx

−=−++⇒−= ))()((2x

+=+++⇒−= ))()((5,0x

+=+++⇒= ))()((1x

+=+++⇒= ))()((4x

Solución: }5,0{]1,( ∪−−∞∈x

i) 03452035523)1(52 23233 ≤+−−⇒≤++−−⇒−−≤+− xxxxxxxxxxx

Tenemos que resolver la inecuación: 03452 23 ≤+−− xxx

� Ceros

3 4 5 2 +−− 3 7 2 −+−

0 3 7 2 +− )372)(1(3452 223 +−+=+−−⇒ xxxxxx

∗=+−

−=⇒=+⇔=+−+⇔=+−−

)( 0372

1010)372)(1(03452

2

223

xx

xxxxxxxx


13

=

==±=−±=⇒=+−∗

2

1

3

457

424497

0372 )( 2

x

x

xxx


21

y 3 , 1 ==−= xxx

� Luego, factorizando, tenemos:

02

1)3)(1(0

2

1)3)(1(203452

)2(:

23 ≤

−−+⇔≤

−−+⇔≤+−− xxxxxxxxx

−=−−−⇒−= ))()((2x

+=−−+⇒= ))()((0x

−=+−+⇒= ))()((2x

+=+++⇒= ))()((4x

Solución:

∪−−∞∈ 3,2

1]1,(x

1. resuelve las siguientes...

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