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IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

ECUACIONES

1. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:

a) 2

54

96

316

26 xxxx −−−=+−−

9(12

48

)3(8)26(3 −⋅=−+⋅−−⋅ xxx

)9(12)3(8)26(3 xxx −−⋅=+⋅−−⋅

⇒−=−⇒ 12123010 xx −1210 xx

Solución: 9−=x

b) 6

1235

342

1832 −−=−−− xxx

18

3)5(6

18

)42(6)32(1 −⋅=−−⋅−−⋅ xx

3)5(6)42(6)32(1 ⋅−⋅=−⋅−−⋅ xx

⇒+=+⇒ 1533626 xx ⇒= 4832x

Solución: 2

3=x

c) 320

3115

2310

3534 ++−−=−−− xxxx

3)23(460

)3(6)34(12 −−=−−− xxx

−−=−−− 3)23(4)3(6)34(12 xxx

⇒+−=+−⇒ 269136642 xx − 42x

Solución: 7−=x

d)

−−+=

−+−−3

5

10

534

5

3

3

4 xx

xx

60)4(6060)3(12)4(20 =⋅+−−− xxx

IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas

ECUACIONES. SOLUCIONES

Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:

48)2,4,6,16.(.. 48

)5(24) =−⋅−mcm

x

)5(24 x−⋅− −−=−−−⇒ xxx 12108248618

⇒+−= 3012x ⇒=− 182x 92

18 −=⇒−

= xx

18)6,3,18.(.. 18

)12(3 =−⋅mcm

x

)12( −⋅ x ⇒+−=+−−⇒ 3630241232 xxx

⇒2

3

32

48 =⇒= xx

60)20,15,10,5.(.. 60

(60)3)31(3 =⋅++mcm

x

⇒⋅++ )60(3)31(3 x −=+−− 921863648 xx

⇒−=+ 6626913xx ⇒=− 20329x29

203−

=x

−4

x

435

1053

453

34 xx

xxx +−+=+−−−

⇒

)4,10,5,3.(.. 60

15)5(20)53(6 +⋅−+= mcmxx

TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B

1

⇒+− x24120

9

⇒+−=− 3361526 xx

⇒+−−− 180934 xx

729

203 −=⇒ x

60=


=⋅+−−− xxx )4(6060)3(12)4(20

=+−−−⇒ xxx 1824060368020

⇒−−=−−⇒ 160824576 xx −121

Solución: 2=x

e) ( ) (

25

4355

3225

47 −++=−+−

xxxx

)355(3

12

)5025(4)7(3 ++=−+− xxx

)355(3)5025(4)7(3 ++=−+− xxx

⇒−=−⇒ 10545221103 xx −103x

Solución: 2=x

f) )2()1(32)2)(4( −−+−=−+ xxxx

(332842 22 −−−−=−+− xxxxx

⇒−+−=−+⇒ 582 22 xxxx 2 2x

Soluciones: 2

3 1 −== xyx

g) 2)1(9

11 −−= xx

⇒+−−= )12(911 2 xxx −=

911 2xx

927911 2 −+−=⇒ xx −⇒ 279 2 xx

Soluciones: 3

4

3

5 == xyx


⇒+⋅−+= xx 15)5(20)53(6

⇒+−+ xx 1510030 ⇒−=+− 824516076 xx

⇒−= 242121x 2121

242 =⇒−−= xx

)7235

25

4355

35025

47 −++=−+−

⇒xxxx

12)2,3,4.(.. 12

)35(6)5(6 =⋅−+mcm

x

)35(6)5(6 ⋅−+ x =−+−⇒ 15200100213 xx

⇒+−=− 22110545x ⇒=11658x58

116⇒=x

2)

)44 +− x −+−−−=−+⇒ 433282 22 xxxxx

=±−=+±−=⇒=−+

451

42411

03x

xxx

⇒−+−=⇒−+ 13911

12 22 xxx+−=9

9911 2x

⇒=+ 020x

=±=−±=18

327

18

72072927x


2

⇒

⇒−++ 2103010515 xx

2=⇒ x

⇒− 4

−=

=

23

1

x

x

⇒−+

9

927x

=

=

3

43

5

x

x


h) 2)1(102 −−= xx

⇒+−−= )12(102 2 xxx −=102x3±=⇒ x

Soluciones: 3 3 =−= xyx

i) 083)2(2 2 =++−− xx

⇒=+++−− 083)44(2 2 xxx − 2x

=⇒=+−

=⇒

211

0112

0

xx

x

Soluciones: 2

11 0 == xyx

j) ( )

5

1

525

82

5

1 22

+=−−+ xxx

521+

⇒x

2555

25)82(1)21(5 22 ⋅+=−−++ xxxx

55)82(1)21(5 22 ⋅+=−−++ xxxx

8

8881358

−=⇒−=⇒−=⇒ xxx

Solución: 1−=x

k) ( )( ) ( )

xxxx

⇒−+=+− 4

12

143

4

1212 2

. 12

12)312(1

12

)14(3 22 −+=−cm

xxx

1212)312(1)14(3 22 ⇒−+=− xxxx

Solución: 2

1=x


⇒++−=⇒−+ 92212 22 xxxxx =− 092x

⇒=++−+ 083882 xxx ⇒=+− (0112 2 xxx

51

52582 22

+=−−+ xxx

25)25,5.(.. )1( =⋅

mcm

)1( ⇒+=+−++⇒ 55825105 22 xxxx 5 2x

1−=⇒ x

xxx −+=−12

312

4

14 22

12)12,4.(.. =mc

123312123123 22 =⇒+=⇒−+=− xxxxx


3

⇒=⇒=⇒ 990 2 xx

⇒=+− 0)112( x

⇒+=++ 55138 2xx

21

126

6 =⇒=⇒= xx


l) ( )( ) ( ) −⇒+−=+− 92

1333 22 xx

xxx

53

15153 −=⇒

−=⇒=− xxx

Solución: 5−=x

m) ( ) ( )

8

1

4

13

8

12

2

1 2

⇒−+=−−+ xxxxx

8

13(2

8

)144(1)(4 22 +=+−−+ xxxxx

+=+−−+ 13(2)144(1)(4 22 xxxxx

2

2221168 ⇒=⇒=⇒+=− xxxx

Solución: 1=x

n) 5

)6(

3

)2(

15

)43)(23( 2 xxxx −=+−−−

3

44

15

86129 22 xxxxxx =++−+−−

15

)44(5)8189(1 22

=++⋅−+−⋅ xxxx

)44(5)8189(1 22 xxxx =++⋅−+−⋅222 3202058189 xxxxx =−−−+−

10837412384 22 ⇒+−=−− xxxx

Solución: 120−=x


−=−⇒−=−⇒+−= 33182

339

2

339 2 x

xx

x

8

1

4

13

8

144

2

22

−+=+−−+ xxxxx

8)8,4,2.(.. 1)1 =−

mcm

⇒−+=−+−+⇒− 126144441)1 22 xxxxx

1=⇒ x

15

)1()2 xx −−

155

3612 22 xxxx −−+−

,15.(.. 15

)(1)3612(3 22 −⋅−+−⋅= mcmxxxx

)(1)3612(3 22 xxxx −⋅−+−⋅=

22 10836 xxx +−+−

1200120 −=⇒=−− xx


4

⇒+−=−⇒ 1833x

⇒+=−⇒ 1618 xx

15)5,3, =



Para resolver este ejercicio aplicamos que “

es decir,

A continuación, se resuelve cada una de las ecuaciones

a)

⇔=+⋅+⋅−

5

20)75()32()4(

x

xxx

Soluciones: 5

7

2

3 ;4 −=−== xyxx

b) ⇔=+−⋅−⋅− 0)714()34()54( xxx

Soluciones: 2

1

4

3 ;

5

4 === xyxx

c) =−⋅+⋅−⋅− 0)88()33()46(4 xxxx

Soluciones: 1 ;2

3 ; 0 −=== xyxxx



Para resolver este ejercicio aplicamos que “un producto es nulo si y sólo si alguno de los factores es nulo

=

==

⇔=⋅⋅⋅⋅

0

0

0

0... 2

1

321

n

n

A

A

A

AAAAM

continuación, se resuelve cada una de las ecuaciones niAi ,...,2,1con 0 == de forma independiente.

−=⇔−=⇔=+

−=⇔−=⇔=+

=⇔=−

5

775075

2

332032

404

xxx

xxx

xx

⇔−−=⇔−=−⇔=+−

=⇔=⇔=−

=⇔−−=⇔−=−⇔=−

⇔

147

7140714

4

334034

54

45054

xxx

xxx

xxxx

⇔−−=⇔−=−⇔=−

=⇔−=⇔−=⇔=+

⇔−−=⇔−=−⇔=−

=⇔−

=⇔=−

⇔

88

88088

33

33033

46

64046

04

004

0

xxxx

xxxx

xxxx

xxx

1=


5

un producto es nulo si y sólo si alguno de los factores es nulo”,

de forma independiente.

=⇔21

54

x

=

−=

=

1

1

23

x


d) ⋅−−⋅−⋅− ()12()36()43( 222 xxxxx

Soluciones: 6 ;6 ;3

4 ; 0 =−=== xxxx

e) =−⋅+⋅−⋅− )31()3()3(7 223 xxxx

Soluciones: ;3 ; (triple) 0 =−== xxx

f) ⋅−+−⋅−⋅ 8()45()44(3 223 xxxxx

=⇔−=−⇔=−

−±−=⇔=−+−

⇔=−⇔=−

=⇔=⇔=

⇔

98

89098

2255

045

0)1(4044

(triple) 0003

222

2

2

33

xxx

xxx

xxxxx

xxx

Soluciones: (doble) 1 ;)(cuádruple 0 == xx

g) =+⋅+⋅− 0)32()4()54( 222 xxxxx

Soluciones: y 4

5 ; (doble) 0 == xxx


−⇔=+−

⇔=−⇔=−−

⇔=⇔=−

−⋅⇔=−

⇔=+−

)3(096

12012

36036

)43(043

0)96

22

22

2

2

xxx

xx

xx

xxxx

x

(doble) 3 2

1 ;6 =−= xyx

=⇔−=−⇔=−

∃/⇒−=⇔−=⇔=+

±=⇔=⇔=−

=⇔=⇔=−

⇔

31

13031

3303

3303

(triple) 0007

0 22

22

33

xxx

xxx

xxx

xxx

3

1 3 == xy

⇔=− 0)9 2x

±=⇔

==

=−

±−=−±−=−

==

38

98

4

1

235

29516

1 0

x

x

x

xò

38

4 ;(doble) ±== xyx

⇔−=⇔−=⇔=+

=⇔=+⇔=+

=⇔=−⇔=−

⇔

32

23032

00)4(04

00)54(054

0

222

2

2

xxxx

òxxxxx

xxxxx

4−=x


6

=⇔=

−=

±=

==⇔=

(doble) 3021

6

34

ò 00)

x

x

x

xx

realsolución

∃/⇒−=

−=

=

realsolución 32

4 45

x

x

xò


h) −⋅+−⋅+−⋅ 8()162()65(3 322 xxxx

⇔−=−⇔=−−=−⇔=+−

±=⇔=+−

=⇔=⇔=

⇔

82028

20162

5065

0003

22

33

2

22

xx

xx

xxx

xxx

Soluciones: (triple) 2 ;3 ; (doble) 0 === xxx

i) +⋅+−⋅− 81()16124()74( 22 xxxx

=⇔=⇔=−

−=⇔−=⇔=+

=+−⇔=+−

=⇔−=−⇔=−

⇔

75

57057

81081

43016124

74

47074

22

2

)4(:

2

xxx

xxx

xxxx

xxx

Soluciones: 7

5

7

4 == xyx

j) −⋅+⋅++⋅ 9()37()1(3

2 2223 xxxxx

=⇔=−⇔=−

⇔=⇔=⇔=−

−=⇔−=⇔=+

⇒−±−=⇔=++

=⇔=⇔=

⇔

0)35(035

9909

7

3

7

3037

2

41101

(triple) 0003

2

2

22

22

2

33

xxxxx

xxxx

xxx

xxx

xxx

Soluciones: ;3 ;)(cuádruple 0 −== xxx


⇔=− 0)2 2x

±=⇔=⇔=⇔=⇔=⇔−

==

=±=−

24

28816

2

3

215

22425

(doble) 0

2

33

xx

xxx

x

x

2 (triple) −=xy

⇔=−⋅ 0)57()81 x

∃/⇒

∃/⇒−±=⇔

realsolución 81

realsolución 2

16930 x

⇔=−⋅ 0)35()9 2 xx

==

±=

∃/⇒

∃/⇒

5

3 0

3

realsolución 7

3

realsolución

xò

x

5

3 3 == xyx


7


k) +⋅+⋅+⋅+− ()1()1()44( 322 xxxxx

=⇔=⇔=−

±=⇔=⇔=−

−=⇔=+⇔−=⇔−=⇔=+

⇒−=⇔−=⇔=+

⇔=−⇔=+−

⇔

9

252590259

5505

101

1101

1101

0)2(044

222

22

333

22

22

xxx

xxx

xx

xxx

xxx

xxxx

Soluciones: (doble) 1 ;(doble) 2 −== xx

l) ⋅++⋅−⋅ ()9124()54(5 24 xxxxx

=⇔−=⇔=+

−=⇔−=⇔=+

±−=⇔=++

=⇔−=−⇔=−

=⇔=⇔=

⇔

6420642

7707

814412

09124

54

45054

(cuádruple 0005

555

22

2

44

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

Soluciones: ;5

4 ;)(cuádruple 0 == xxx

m) )94()253(2 222 ++⋅+−⋅− xxxxx

−=⇔−=⇔=+

−±−=⇔=++

−±=⇔=+−

=⇔=⇔=−

⇔

333

2

2

22

7707

2164

094

624255

0253

(doble) 0002

xxx

xxx

xxx

xxx

Soluciones: 3

2 ;1 ;(doble) 0 === yxxx


⇔=−⋅−⋅+ 0)259()5()1 22 xx

±=⇔

−=⇔

∃/⇒

=

35

925

1

realsolución

(doble) 2

x

x

x

3

5 5 ;(doble) ±=±= xyx

⇔=+⋅+ 0)642()7 52 x

−=⇔−=⇔−=

∃/⇒

−=−−=

−=+−==±−=−

23232

realsolución

23

;8

01223

;8

012

8012

8144144

)(cuádruple

5 xx

xx

xx

2 (doble) 2

3 −=−= xyx

0)7() 3 =+⋅ x

∃/=⇒

=−=

=+==±=

realsolución 36

32

;6

15

1;6

15

61524

(doble)

xx

xx

7 3 −=xy


8



a) 0365 24 =++− xx

1) Hacemos el cambio de variable x =2

2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:

3) Deshacemos el cambio de variable

444 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt

999 2 =⇒=⇒=⇒=• xxxt

Soluciones: 3y 3 =−= xx

b) 04950 24 =+− xx




7499449 2 ±==⇒=⇒=• xxt

1111 2 ±=⇒=⇒=⇒=• xxxt

Soluciones: y 1 ;7 ;7 −==−= xxxx

c) 086 24 =++ xx




222 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt

444 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt

La ecuación no tiene solución



t= y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:

03652 =++− tt

2) Resolvemos la ecuación de segundo grado: −

+±−=⇔=++−2

14425503652 ttt

realsolución existe no⇒

3±


049502 =+− tt

2) Resolvemos la ecuación de segundo grado: −±=⇔=+−

2250050

049502 ttt

7

1 1=x


0862 =++ tt

2) Resolvemos la ecuación de segundo grado: −±−=⇔=++

232366

0862 ttt




9

y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:

=−=

=−±−=

9

4

2

315144

t

t


==

=±=−1

49

24850196

t

t


−=−=

=±−=4

2

226

t

t


d) 0274 24 =−+ xx




222 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt

21

41

41

41 2 ±==⇒=⇒=• xxt

Soluciones: 21

y 21 =−= xx

e) 04359 24 =−+ xx



⇔=−+ 04359 2 tt


444 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt

9

1

9

1

9

1 2 =⇒=⇒=⇒=• xxxt

Soluciones: 3

1y

3

1 =−= xx

f) 1690196 2442 =+−⇒=++− xxxx




0274 2 =−+ tt

2) Resolvemos la ecuación de segundo grado: +±−=⇔=−+

8

324970274 2 ttt



04359 2 =−+ tt


−=

==±−=+±−=⇔

18

182

18

373518

144122535

t

tt


3

1±=

0=


0169 2 =+− tt


10


−=

==±−=

24

1

8

9732

t

t


−=

=

41872

91

182




+− 169 2 tt


31

31

31 2 ±=⇒=⇒=⇒=• xxxt

Soluciones: 3

3y

3

3 =−= xx

g) 021619 36 =−− xx




272727 33 ⇒=⇒=⇒=• xxt

888 33 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt

Soluciones: 2y 3 −== xx

h) 3232)32( 510555 +⇒−−=+ xxxxx



=++ 032332 tt


111 55 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxxt

323232 55 −=⇒−=⇒−=• xxt

Soluciones: 2y 1 −=−= xx



==

===±=−±=⇔=

31

186

31

186

18

0618

363660

t

tt

33

3

1 ±= →± xandoracionaliz

t= y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado

0216192 =−− tt

2) Resolvemos la ecuación de segundo grado: +±=⇔=−−

236119

0216192 ttt

3=x 2−=x

03233032 51055 =++⇒=++ xxx

t= y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado

032332 =++ tt


==

=+−=−±−=⇔ 2

3133

2

1281089330

t

tt

1−=x

232 −=⇒ x


11

3131


−==

=±=+8

27

23519864

t

t


−=−=32

1


2

1−

i) 201623 −=+ xxx 1623 −+⇒ xxx

Posibles raíces enteras = {divisores de 2

20 16 1 1 +−+ 20 6 2 −++

0 10 3 1 −+

Luego ⇔=+−+ (0201623 xxx

±−=⇒=−+∗293

0103 )( 2 xxx

Soluciones:

5y (doble) 2 −== xx

j) 523)1(52 233 −⇒−−=+− xxxxxx


3 4 5 2 +−− 3 7 2 −+−

0 3 7 2 +−

Luego ⇔=+−− (03452 23 xxx

±=⇒=+−∗4497

0372 )( 2 xxx

Soluciones:

21

y 3 , 1 ==−= xxx


020=+

{divisores de 20} = }20,10,5,4,2 ,1{ ±±±±±±

103)(2(2016 223 −+−=+−+⇒ xxxxxx

=−+

=⇒=−⇔=−+−

0103

02

0)103)(2(2

2

xx

xx

xxx

−==

=±−=+5

2

27340

x

x

5

03452035 232 =+−−⇒=++− xxxxx

{divisores de 3} = }3 ,1{ ±±

372)(1(3452 223 +−+=+−−⇒ xxxxxx

=+−

−=⇒=+⇔=+−+

0372

01

0)372)(1(2

2

xx

xx

xxx

=

==±=−

21

3

45724

x

x


12

)10

∗)(

2

)3

∗

−

)(

1


5−

1−

k) 0524256 23 =+−+ xxx


5 24 25 6 +−+ 5 25 30 −+−

0 1 5 6 +−

Luego ⇔=+−+ 0524256 23 xxx

−±=⇒=+−∗12

2550156 )( 2 xxx

Soluciones:

31

y 21

, 5 ==−= xxx

l) 02773 2345 =+++−− xxxxx

1) Extraemos “x” factor común y tenemos:

−⋅⇔=+++−− (02773 2345 xxxxxx

2) Resolvemos la ecuación 73 34 −− xx


2 7 1 7 3 +++−−

2 5 4 3 −−++ 0 2 5 4 3 ++−− 2 7 3 −−−

0 2 7 3 −−−

+⇔=+++−− )(1(02773 234 xxxxx

1+


{divisores de 5} = }5 ,1{ ±±

56)(5(524256 223 −+=+−+⇒ xxxxxx

=+−

⇒=+⇔=+−+⇔

156

05

0)156)(5(2

2

xx

xx

xxx

=

=

=±=−

31

21

12

1524

x

x

factor común y tenemos:

−−

=⇔=+++−−

73

0

0)277334

234

xx

x

xxxx

)( 0272 ∗=+++ xx

{divisores de 2} = }2 ,1{ ±±

)2543)(1( 23 ++−−+⇒ xxxx

)273)(1)(1( 2 −−−−+⇒ xxxx

=−−−=⇒=−=⇒=+

⇔=−−−−273

101

01

0)273)(1)(2

2

xx

xx

xx

xxx


13

)1+x

∗=

−=

)( 0

5

∗=+++ )( 0272 xx

∗∗

−

)( 0

1

1


1−

Finalmente resolvemos la ecuación (**)

−−±=⇒=−−−

624497

0273 2 xxx

Soluciones: 1 1 0 =−== xxxx

m) 233)1(2 3222 ⇒+−−=−− xxxxxx


3 1 5 1 2 +−−+

3 4 1 2 −++− 0 3 4 1 2 +−− 3 1 2 −++

0 3 1 2 −+

−+⇔=+−−+ )(1(0352 234 xxxxxx

Finalmente resolvemos la ecuación (*)

−=+±−=⇒=−+4

2411032 2 xxx

Soluciones: y 1 )doble(1 −== xx

n) 025159 2345 =++− xxxx

1) Extraemos “x2” factor común y tenemos:

=++− 025159 2345 xxxx

2) Resolvemos la ecuación 159 23 +− xx

Posibles raíces enteras = {divisores de

1+


Finalmente resolvemos la ecuación (**)

−=

−==

−±=

31

2

657

x

x

3

1y 2 −=−= xx

520332 343224 −+⇒=−++−− xxxxxxxx

{divisores de 3} = }3 ,1{ ±±

)342)(1( 23 +−−+⇒ xxxx

)32)(1)(1( 2 −+−+⇒ xxxx

∗=−+=⇒=−

−=⇒=+⇔=−+−

)( 032

101

101

0)32)(12

2

xx

xx

xx

xx

)

−=⇒−=

=⇒==±−

23

46

144

451

xx

xx

2

3y −=x


−

⇒=⇔=++−⋅⇔

9

0

0)25159(023

2

232

xx

x

xxxx

)( 02515 ∗=+x

{divisores de 25} = }25,5 ,1{ ±±±


14

032 =+− xx

∗=++

=⇒

)( 02515

(doble) 0

2 x

x


5

1− 3+

25 15 9 1 ++− 25 20 5 −−+

0 5 4 1 −−

Luego ⇔=++− 025159 23 xxx

±=⇒=−−∗∗2164

054 )( 2 xxx

Soluciones:

(doble) 5 (doble) 0 == xx

o) 0152142 234 =−+−+ xxxx

Posibles raíces enteras = {divisores de

15 2 14 2 1 −+−+

15 3 15 3 ++++ 0 5 1 5 1 +++ 5 0 5 −−

0 1 0 1 +

−⇔=−+−+ )(3(0152142 234 xxxxx

Soluciones: 5y 3 −== xx

p) 0593 2345 =+++− xxxx

1) Extraemos “x2” factor común y tenemos:

=+++− 0593 2345 xxxx

2) Resolvemos la ecuación 3 23 ++− xx


5−


)54)(5(25159 223 −−−=++−⇒ xxxxxx

=−−

=⇒=−⇔=−−−⇔

( 054

505

0)54)(5(2

2

xx

xx

xxx

−==

=±=+1

5

26420

x

x

1y (doble) −=x

{divisores de 15− } = }15,5,3 ,1{ ±±±±

)55)(3( 23 +++−⇒ xxxx

)1)(5)(3( 2 ++−⇒ xxx

⇒−=⇒=+

−=⇒=+

=⇒=−

⇔=++

101

505

303

0)1)(5)(

22

2

xx

xx

xx

xx


+−

⇒=⇔=+++−⋅⇔

3

0

0)593(03

2

232

xx

x

xxxx

)( 059 ∗=++ x

{divisores de 5} = }5 ,1{ ±±


15

)

∗∗)(

5

⇒ realsolución tieneno

∗=++

=⇒

)( 059

(doble) 0

2 xx

x


5

5 9 3 1 +++−

5 10 5 −−− 0 1 2 1 −−−

Luego ⇔=+++− 0593 23 xxx

−±=⇔=−−−∗∗

242

012 )( 2 xxx

Soluciones:

(doble) 1 (doble) 0 −== xx

4. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales

a) 246

10

42

1

63

12

2

−−=

++−

−+

x

x

x

x

x

x

• Factorizamos los denominadores: (sacando factor común y utilizando identidades notables)

)2(363 −=− xx

)2(242 +=+ xx

2)(2(6)4(6246 22 +−=−=− xxxx

La ecuación queda:

• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:

(2 +x

• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:

(2 x

• Operamos y reducimos términos semejantes:

22 (3)22(2 xxxx +−+++

3


2)(5()593( 223 −−−−=+++−⇒ xxxxxx

=−−−

=⇒=−⇔=−−−−

012

05

0)12)(5(2

2

xx

xx

xxx

−=

−==

−±=−

1

1

202

244

x

x

5y (doble) =x

iguientes ecuaciones racionales:

(sacando factor común y utilizando identidades notables)

)2

Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:

)2)(2(610

)2)(2(6)1)(2(3)1)(2 2

+−−=

+−+−−++

xx

x

xx

xxx

Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:

210)1)(2(3)1)(2 xxxxx −=+−−++

Operamos y reducimos términos semejantes:

210)22 xxx −=−− 22 (3)23(2 xxx −−++⇒

)2)(2(6

10

)2(2

1

)2(3

1 2

−−−=

++−

−+

xx

x

x

x

x

x


16

)1−

∗)( 0

5

(sacando factor común y utilizando identidades notables)

210)2 xx −=−−


22 33462 xxxx +−++⇒

• Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida:

En las ecuaciones racionales no es necesario

comprobación de las posibles soluciones como ocurre en las ecuaciones radicales.

Sólo debéis aseguraros que no anulan los denominadores de la ecuación porque entonces no son solución ya

que no se puede dividir por cero.

En este caso 0=x no anulan los denominadores por eso es solución

Por tanto,

La solución de la ecuación es 0=x

b) 99

12

5

815 +

−=

−−

xx

• Reducimos las fracciones a mínimo

5(5(15 x−


)(5(15 x−


=+−+−− 60872)9545(15 2 xxxx

=+−+−⇒

−=+−+−⇒

6087267521015

60872)4514(152

2

xxx

xxx

126128210915 22 +++−−⇒ xxxxx

• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida:

±=⋅

⋅⋅−±= 102432

32

6934)32(32 2

x


2106 xx −=+ −++−++⇒ 633462 22 xxxx

09 =⇒ x

grado obtenida: 009 =⇒= xx ”Posible solución”

n las ecuaciones racionales no es necesario (salvo que lo indique el enunciado) hacer todo el desarrollo de la



enominadores por eso es solución de la ecuación.


)9)(5()9)(5(9)5(12

)9)(5)9(8)9)(

xx

xxx

xx

xxx

−−−−+−=

−−−−−


)9)(5(9)5(12)9(8)9)( xxxxx −−+−=−−−


⇒+−−+− )9545(912 2xxxx

⇒+−+−⇒+−+−

40512691260

)4514(9122

2

xxx

xxx

13864604056072675126 2 +−⇒=−−−+ xxx

Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 3069323 2 ==⇒=+− baxx

=

==±=±=−

36

18323

646

61432

619632

68281024


17

⇒=+ 010 2x

”Posible solución”

(salvo que lo indique el enunciado) hacer todo el desarrollo de la


de la ecuación.

)

0693230138 22: =+−→= xx

69 32 =−= c

323

”Posibles soluciones”


En las ecuaciones racionales no es necesario (salvo que lo indique el enunciado) hacer todo el desarrollo de la




En este caso 3

23y 3 == xx no anulan los denominadores

Por tanto,

Las soluciones de la ecuación son x

c) 22

1416

2 −+

++=

−+

x

x

x

x

x

x

• Factorizamos los denominadores:


(



xxxxx )22(16 2 +−−+=+


⋅−⋅⋅−−±

=22

)3(24)5(5 2

x





oluciones como ocurre en las ecuaciones radicales.


no anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.

3= y 323=x

221

)2)(2(16

−+

++=

+−+

x

x

x

x

xx

x

mínimo común denominador:

)2)(2()2()1)(2(

)2)(2(16

+−+++−=

+−+

xx

xxxx

xx

x


)2()1)(2(16 +++−=+ xxxxx


xx 22 + 22216 22 ⇒++−−+=+⇒ xxxxxx

Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 20352 2 −==⇒=−− baxx

−=−

==±=+±=

21

42

34

12

475

424255)



soluciones como ocurre en las ecuaciones radicales.


18



por eso los dos son soluciones de la ecuación.

0352 2 =−−⇒ xx

3 5 −=− c






En este caso 2

1y 3 −== xx no anulan los denominadores

Por tanto,


d) 12

1

13

23 2

−=++−

xxx

xx


x2


3(2x


6(1346 223 =++− xxxx

−⇒ 46 23 xx

• Resolvemos la ecuación de primer grado

5

1−=x no anula los denominadores por eso es solución

Por tanto,

La solución de la ecuación es 51−=x

e) 9

1

3

1

3

12 −

=−

++ xxx





3−= y 21−=x


xx

xxx

xx

xxxx

2)13()1(2)13(

2)13()13(1)23( 2

+−+=

+++−

los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:

)1(2)13()13(1)23 2 −+=++− xxxxxx


)1)(2 −+ xx −=++−⇒ xxxxx 661346 2323

⇒=+−+−++ 0226613 223 xxxxx 15 =+x

Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida: 15015 −=⇒−=⇒=+ xxx

enominadores por eso es solución de la ecuación.

51

)3)(3(1

)3(1

)3(1

+−=

−+

+ xxxx


19



⇒−+ xx 22 2

0

5

1−





• Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida:

2

1 =x no anula los denominadores por eso es solución

Por tanto,


f) 1

17

1

2

1

332

2

−+=

+++

−−

x

x

x

x

x

x



3( x


3(


23333 232 −+−+−−+⇒ xxxxxx

• Resolvemos la ecuación obtenida: x



)3)(3(1

)3)(3()3(1)3(1

+−=

+−++−

xxxx

xx


1)3(1)3(1 =++− xx


133 =++− xx 012 =−⇒ x

grado obtenida: 2

112012 =⇒=⇒=− xxx

no anula los denominadores por eso es solución de la ecuación.

)1)(1(17

)1(2

)1(33 2

+−+=

+++

−−

xx

x

x

x

x

x


)1)(1(17

)1)(1()1)(2()1)(3 2

+−+=

+−−+++−

xx

x

xx

xxxx


17)1)(2()1)(33 2 +=−+++− xxxxx


17522172 323 +⇒+=−++⇒+=− xxxxxx

0652 23 =−−+ xxx


20

0652 2 =−−+ xx


6 5 2 1 −−+

6 1 1 +−−

0 6 1 1 −+ ⇒

++⇒=−−+ )(1(0652 223 xxxxx

3−=x y 2=x no anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.

Por tanto,


g) xxxxxx

x

+=

++−

+++

322 2

1

12

1

23

2


� )2)(1(232 ++=++ xxxx

3 10232 ==⇒=++ baxx

293

12

214)3(3 2 −±−=⋅

⋅⋅−±−=x

� notable) (identidad )1(12 22 +=++ xxx

� ()12(2 223 +=++=++ xxxxxxxx

Luego la ecuación queda:

• Simplificamos la primera fracción:

1−


)6)(1(652 223 −++=−−+⇒ xxxxxx

+±−=⇒=−+

−=⇒=+

⇒=−+

2

1106

solución es (no 101

0)62 xxx

xx

x

anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.

3−= y 2=x

xx +2

1

2 =c

23 2

24

122

2138 2 =++⇒

−=−

−=−

=±−=−xx

notable)

notable) identidad ecomún factor (sacar )1 2+

22 )1(1

)1(1

)2)(1(2

+=

+−

+++

xxxxx

x

22 )1(1

)1(1

)1(1

+=

+−

+ xxxx


21

−=

==±−=+

3

2

2

5124

r)denominado al anula puessolución

x

x


)2)(1( ++ xx

notable)



• Eliminamos los denominadores (al ser iguales)


• Resolvemos la ecuación obtenida:

⇒=⇒=⇒=− 1101 22

x

xxxx

1=x no anula los denominadores por es

Por tanto,


h) 1264

22 −=−

xx





1) Hacemos el cambio de variable x



22 )1(1

)1()1(

+=

+−+

xxxx

xxx


1)1( =−+ xxx

Operamos y reducimos términos semejantes: 0101 22 =−⇒=−−+⇒ xxxx

=−=1

denominado al anula porquesolución es (no 1

enominadores por eso sí es solución de la ecuación.


2

2

2

4 1264x

x

x

x −=−


24 1264 xx −=−

Operamos y reducimos términos semejantes: 06412 24 =−+⇒ xx

a)(bicuadrad 06412 24 =−+ xx

tx =2 y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado

064122 =−+ tt


22

r)denominado




=−+ 64122 tt


444 2 ⇒=⇒=⇒=• xxxt

1616 2 −=⇒−=⇒−=• xxt

2−=x y 2=x no anulan los denominadores

Por tanto,

Las soluciones de la ecuación son =x

i) 24223

1

1

1

2

1

xxxxxx

x

−=

−+

+−−


� 223 )12(2 +−=+− xxxxxx

� )1)(1(12 +−=− xxx

� ()1( 22224 −=−=− xxxxxx

La ecuación queda:

(xx

x

• Simplificamos la primera fracción:

x


• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos



=±−=+±−=⇔= 2

20122

256144120

t

t

t


2±=x

realsolución tieneno16⇒−


2−= y 2=x

2)1() −= xx

)1)(1 +− x

)1)(1(1

)1)(1(1

)11

22 +−=

+−+

−−

xxxxxx

x

)1)(1(1

)1)(1(1

)1(1

2 +−=

+−+

− xxxxxxx


)1)(1(1

)1)(1()1(

22

2

+−=

+−++

xxxxxx

xxx


1)1( 2 =++ xxx


23

−=

=

16

4




• Resolvemos la ecuación obtenida: 2

=+±−=⇒=−+4

811012 2 xxx

21=x no anulan los denominadores por eso es solución de la ecuación.

Por tanto,


j) xxxxx

x

51

231

10173)1(7

22 +=

+−

+++


� )5)(23(10173 2 ++=++ xxxx

3010173 2 =⇒=++ baxx

(32

310173

32

1034)17(17

2

2

+

+=++⇒

−=⋅

⋅⋅−±−=

xxxx

x

� común factor (sacar )5(52 xxxx +=+

Luego la ecuación queda:

(



Operamos y reducimos términos semejantes: 01201 222 =−+⇒=−++ xxxxx

012 2 =−+ xx

−=

=

=±−

anula porquesolución es (no 1

2

1

4

31

x

x

anulan los denominadores por eso es solución de la ecuación.

10 17 == cb

)5)(23)(5

5

630

32

64

61317

612028917

+++

−=−

−=−

=±−=−±−

xx

)""común x

)5(1

)23(1

)5)(23(77

+=

+−

+++

xxxxx

x


)5)(23(23

)5)(23()5()77(

+++=

+++−+

xxx

x

xxx

xxxx


24

0

res)denominado los anula





⋅−⋅⋅−−±

=62

2(64)1(1 2

x

32=x

y

21−=x no anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.

Por tanto,


5. Resuelve las siguientes ecuaciones radicales

a) xx 2323 =++

• Aislamos el radical en un miembro

• Elevamos al cuadrado los dos miembros:


⇒+−=+ 912432 2 xxx 4 2 −x

• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida

−±=

(7x

COMPROBACIÓN

• 3=x

23632

6333323 +⇒

=⋅=+=+⋅+



23)5()77( +=+−+ xxxxx

Operamos y reducimos términos semejantes: 623577 22 ⇒+=−−+⇒ xxxxxx

Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 1 6026 2 −==⇒=−− baxx

−=−

==±=+±=

21

126

32

128

1271

124811)2



32=x y

21−=x

iguientes ecuaciones radicales:

de la ecuación, pasando al otro los demás términos

3232 −=+ xx

Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )32()32( −=+ xx


06144032912 2(:2 =+−⇒=−−+− xxxx

la ecuación de 2º grado obtenida: 20372 2 −==⇒=+− baxx

=

==±=−±=

⋅⋅⋅−−

21

42

34

12

457

424497

22

324)7 2

solución es sí 33233 =⇒⋅=+⋅ x


25

022 =−− xx

2 1 −=c



términos:

0372 2)2 =+−→ xx

3 7 =− c

21

3


• 21=x

23

121

2

523321

23+⇒

=⋅

=+=+⋅+

Por tanto,


b) 66 =++ xx

• Aislamos uno de los radicales en un miembro



Ahora tenemos una ecuación como la del apartado a) y, por tanto,


12

• Simplificamos dividiendo en los dos miembros de la ecuación por 6:


• Finalmente:425=x

COMPROBACIÓN

• 425=x

425

3

27

25

6425

6

27

449

6425

++⇒

=−=−

==+

Por tanto,



solución es no 2

1

2

123

2

12 =⇒⋅≠+⋅ x

Aislamos uno de los radicales en un miembro de la ecuación, pasando al otro los

xx −=+ 66

Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )6()6( xx −=+

Operamos y reducimos términos semejantes: ⇒+⋅⋅−=+ 22 )(6266 xxx x

como la del apartado a) y, por tanto, repetimos los pasos


⇒++−−= xxx 36612 3012 =x

Simplificamos dividiendo en los dos miembros de la ecuación por 6: 52 ⇒=x

Elevamos al cuadrado los dos miembros:2

2

2

5)(

=x

solución es sí 425

425

66 =⇒−= x

25


26

s demás términos:

xx +−=+ 12366

repetimos los pasos.

términos:

2

5=⇒ x


c) 3123 =−+− xx




−=− 2 2323x

Ahora tenemos una ecuación como la del apartado a), luego repetimos los pasos


−16 x

• Simplificamos dividiendo en los dos miembros de la ecuación por 2:



1025)1(9 xx −=−


⋅−±

=12

)19(19 2

x

COMPROBACIÓN

• 17=x

311471172173 ≠=+=−+−⋅

• 2=x

311212223 ⇒==+=−+−⋅

Por tanto,


d) 3 2 11 −=+ xx

• Elevamos los dos miembros de la ecuación a


223 )1()1( −=+ xx ⇒


Aislamos uno de los radicales en un miembro de la ecuación, pasando al otro los

1323 −−=− xx

Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )13()23( −−=− xx


⇒−+−⋅⋅ 2)1(132 xx 16923 −−=− xx



⇒−+++−= 19231 xx xx 21016 −=−

Simplificamos dividiendo en los dos miembros de la ecuación por 2: x =− 513

Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )5()13( xx −=−


2xx+ 3419102599 22 +−⇒+−=−⇒ xxxxx

Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida 1034192 −==⇒=+− baxx

=±=−±=⋅⋅−

24234

21519

213636119

1

34142

solución es no 173 =⇒ x

solución es sí 2=x

de la ecuación a 6)3,2.(.. =mcm : 3 26 ()1( −=+ xx


512133 342423 −−⇒+−=+++ xxxxxxxx


27

s demás términinos:

11 −+ x


términos:

x−5

034 =

34 19 =− c

=

=

2

17234

6)1−

032 =− xx



−−⇒=−−− (035 23234 xxxxxxx

)( 03523 ∗=−−− xxx

3 5 1 1 −−−

3 2 1 ++−

0 3 2 1 −− 1−⇒

−+⇒=−−− 2)(1(035 223 xxxxx

COMPROBACIÓN

• 0=x

1010110

1103 2

3 2⇒−≠+⇒

−=−

=+

• 1−=x

)1(1101)1(

0113

3 2−=+−⇒

=−−

=+−

• 3=x

1)3(1321)3(

2133 2

3 2−=+⇒

=−

=+

Por tanto,


e) 2

11

1 xx

x=−+

−


1−


035 234 =−−− xxxx

∗=−−−

==−−

)( 035

0

0)3523 xxx

x

x

35factor es )1( raíz es 1 23 =−−−⇒+⇒ xxxx

+±=⇒=−−

−=⇒=+⇒=−

242

032

101

0)32 2 xxx

xx

x

solución es no 0=⇒ x

solución es sí 11)2 −=⇒− x

solución es sí 31 =⇒ x

1−= y 3=x

Reducimos las fracciones a mínimo común denominador: 212

)1(22 2

=−−+

x

xx

x

x


28

)32)(1( 2 −−+= xxx

−==

=±=+1

3

24212

x

x

1

1

−−







− 5 23 xx

COMPROBACIÓN

• 0=x

020

existe no1010

1

=⇒

=

=−+− x

• 5=x

5

1

25

25

221

1515

1

⇒

=+=−+−

Por tanto,


f) x

xx6

2 =++

• Reducimos las fracciones a mínimo







Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación: (22+

semejantes: 2221)1(22 −+⇒−=−+ xxxx

Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )1()2( −= xxx

Operamos y reducimos términos semejantes: )1(4 22 −= xxx 4 232 ⇒−=⇒ xxx

05 23 =− xx

=⇒=−=

⇒=−⇒=505

00)5(0 2

xx

xxx

solución es no 0

solución es sí 525

1515

1 =⇒=−+−

x

Reducimos las fracciones a mínimo común denominador: x

xxx 2)( 2

=+⋅+

Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación: )( 2 +x

Operamos y reducimos términos semejantes: 622 =++ xxx


Elevamos al cuadrado los dos miembros: 222 )6()2( xxx −=+

Operamos y reducimos términos semejantes: 22 12362 xxxx +−=+ 3614 −⇒ x


29

1)1 2 −=− xxx

121 −=⇒−= xxxxx

05 23 =−⇒ xx

x

6=

62 =+⋅+ xx

términos: xxx −=+ 622

0=



COMPROBACIÓNx

xx6

2 =++

• 718=x

====

=+=++

272

23

76

18

76

7

18

6

718

6

18732

7

182

718

718

solución es sí 718=⇒ x

Por tanto,


g) )3(4740 2 +=+− xxx


−40



2 7214440 xx +−=−


⋅−−±

=52

)36(36 2

x

COMPROBACIÓN

• 2=x

20)32(4

2014627240 2

⇒

=+=+=⋅+−


7

18

14

36361403614 =⇒=⇒=⇒=− xxxx

=

+=+⋅=+

142

7143

772

7732

7

327

718 52


⇒−+=− xxx 71242 xx 31240 2 −=−

Elevamos al cuadrado los dos miembros: 222 )312()40( xx −=−


29x+ 36501047210 2)2(:2 −→=+−⇒ xxxx

Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 5052365 2 ==⇒=+− baxx

=±=−±=⋅⋅−

10

2010

52

10

1636

10

10401296365254

solución es sí 2)32(427240 2 =⇒+=⋅+− x


30

⇒

= 14

144

términos:

052=+x

52 36 =−= c

=

=

210

205

26

10

52

solución


• 526=x

5

164

5

414

5

152643

5

264

25676

40526

7526

402

==

+=

+

−=⋅+

−

Por tanto,


h) xxx −+=+ 1223




(49189 2 =++ xx


⋅−±−=

92

)14(14 2

x

COMPROBACIÓN

• 1−=x

)1(231)1(112

1)1(23=−⋅+⇒

=−−+−

=−⋅+

• 95−=x

⋅=+=

−−+−

=−=

−⋅+

32

295

94

295

195

2

917

910

395

23

solución es sí 95−=⇒ x

Por tanto,



5

164

405

2005

1825

185

18225

3245

182

==+=+=+


Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )12()33( +=+ xx

semejantes:

)1( +x 149449189 22 ++⇒+=++⇒ xxxxx

Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 14 905149 2 ==⇒=++ baxx

−

−

=±−=−±−=⋅⋅−

1818

1810

18414

1818019614594

solución es sí 1)1(112 −=⇒−−+−= x

−=

−⋅+⇒

=+=+95

295

23

917

95

34

95

32

1−= y 95−=x


31

solución es no 5

26=⇒

x

términos: 1233 +=+ xx

05 =+

5 14 =c

−=

−=

11818

95

1810

⇒

−−+95

1


i) 523 =−++ xx




⋅⋅−=+ 2 5253x



−10 x

• Simplificamos dividiendo en los dos miembros de la ecuación entre 10



COMPROBACIÓN

• 6=x

175232636 =⇒=+=−++ x

Por tanto,


j) 47354 −=+−− xx




+=− )7(9)5(16 xx



−=+ 724 x




Aislamos uno de los radicales en un miembro de la ecuación, pasando al otro lo demás

253 −−=+ xx

Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )25()3( −−=+ xx


⇒−+−⋅ 2)2(2 xx 210253 +−−=+ xx



⇒−+++−=− 22532 xx 20210 =−x

os miembros de la ecuación entre 10: 2 =−x

Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )2()2( =−x

Operamos y reducimos términos semejantes: 42 =−x 6=⇒ x

solución es sí 17

de los radicales en un miembro de la ecuación, pasando al otro lo demás

47354 −+=− xx

Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )473()54( −+=− xx


⇒++− 16724 x 246398016 −+=− xxx



⇒++++− 166398016 xx x 7159724 −=+

Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )7159()724( xx −=+



32

, pasando al otro lo demás términos:

2−+ x


términos:

2=

, pasando al otro lo demás términos:

167 ++x


términos:

x7


249222625281)7(576 xxx +−=+ ⇒


49021249280249 2 =⇒=+− axx

⋅⋅−−±=

492

494)2802(2802 2

x

COMPROBACIÓN 7354 =+−− xx

• 49

2361=x

solución es no 49

2361

4749

236135

492361

4

=⇒

⋅=+⋅−−⋅

x

• 9=x

16344793594 ⋅−⋅=+⋅−−⋅

Por tanto,


k) 20

4020

−=+−

xxx




• Aislamos el radical en un miembro, pasando al otro lo demás:





49492226252814032576 2 ⇒+−=+⇒ xxx

Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida:

21249 2802 49 =−= cb

±=±=⋅98

1920280298368640028022124949

4−=

7156

7184

752

3746

449

27043

492116 −=⋅−⋅=⋅−

solución es sí 94128432416 =⇒−=−=⋅−⋅= x

Reducimos las fracciones a mínimo común denominador: 20

)20( 2

−−⋅+−

x

xxx

denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación: 20( −x

Operamos y reducimos términos semejantes: ⇒=−+− 40)20(20 xxx 20−x

en un miembro, pasando al otro lo demás: xx −=− 60202

Elevamos al cuadrado los dos miembros: 222 )60()20( xxx −=−

Operamos y reducimos términos semejantes: 22 120360020 xxxx +−=− 100⇒

100

360036001000360010 ⇒=⇒=⇒=− xxx


33

021249280249 2 =+− xx

=

==

998882

492361

984722

1920

44728156

⇒−≠==

solución

20

4020

−=−

x

4020)20 2 =−⋅+ xx

402020 2 =−+ xx

x−

03600100 =−x

36=⇒ x


COMPROBACIÓN 20 =+−x

xx

• 36=x

⇒

==−

=+=+−

10440

2036

40

106436203636=x

Por tanto,


l) 3

1

2

2

−+=

+−

x

x

x

x

• Multiplicamos en cruz y nos queda la ecuación:


623 +=+−− xxxxx



COMPROBACIÓN

• 41=x

+

−⇒

−=−

=−

+=

−

+

−=−

=+

−=

+

−

241

241

5

3

25

23

321

121

341

141

5

3

2523

221

221

241

241

Por tanto,



20

40

−x

solución es sí 36

y nos queda la ecuación: ()2()3()2( ⋅+=−⋅− xxx

términos semejantes:

22 ++ xx ⇒++=+−⇒ 2365 xxxx 4

Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22

)(2

1x=

Operamos y reducimos términos semejantes: x=4

1

4

1=⇒ x

⇒

−

+−=

341

141

2523

2

2solución es sí

41=x


34

)1+x

x84 = x=⇒21


6. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales

a) 10244 =x

102222)2( 102102 ⇒=⇒=⇒= xxx

b) 50054 =⋅ x

5512554

5005 3 ⇒=⇒=⇒= xxx

c) 250055 2 =⋅ x

25log500log

5log500log

5log50055

25005

2

222

=⇒=

⇒=⇒=

xx

xxx

d) 56737 1 =⋅ +x

338137

5673 4111 =⇒=⇒= +++ xxx

e) 81

221 =−x

43122 2231 2

=⇒−=−⇒= −− xxx

f) 12

1

3

13

−−−

=x

x

12133 121 −⇒+=−⇒= +− xxxxx

g) 17 652

=+− xx

06577 20652

=+−⇒=+− xxxx

==

=±=−±= 2

3

2

15

2

24255x

xx


iguientes ecuaciones exponenciales:

5=⇒ x

3=⇒ x

log2500log

500log5log2500log =⇒=⋅⇒= xxx

3414 =⇒=+⇒ xx

24 ±=⇒ x

22112 −=⇒=−⇒+=− xxx


35

5500

⇒


h) 22 442

=+− xx

14422 21442

⇒=+−⇒=+− xxxxx

==

=±=−±= 1

3

2

24

2

12164x

xx

i) 1213 8127 ++ = xx

33)3()3( 4839124133 ⇒=⇒= ++++ xxxx

j) 7222 11 =++ +− xxx

� 722222 =⋅++ xx

x

� Hacemos el cambio de variable

142

4272

2=++

⇒=++ ttttt

t

� Deshacemos el cambio de variable

1222 =⇒=⇒= xt x

k) 9602222 4321 =+++ −−−− xxxx

� 96022

22

22

22

432=+++

xxxx


48960

16842+

⇒=+++ ttttt


22102422 10=⇒=⇒=t xx

l) 117333 11 =++ +− xxx

� 11733333 =⋅++ xx

x


393

11733

=++⇒=++ ttt

ttt


0342 =+− xx

14839 =⇒+=+⇒ xxx

Hacemos el cambio de variable tx =2

21472

14 =⇒=⇒ tt

Deshacemos el cambio de variable


1024153601516

1536016

24 =⇒=⇒=++tt

ttt


1010 =⇒ x


27351133

351 =⇒=⇒= tt


36

1024



327327 =⇒=⇒= xt x

m) 198422222 423222122 =++++ −−−− xxxxx

� 198422

22

22

22

24

2

3

2

2

222 =++++

xxxxx


⇒=++++ 161984

16842tttt

t


2102421024 22 ⇒=⇒=t xx

n) 775555 21 =++ ++ xxx

� 77555555 2 =⋅+⋅+ xxx


77531775255 =⇒=++ tttt


5525525 2 ⇒=⇒=⇒=t xx

o) 081329 2 =+⋅− +xx

� 081332)3( 22 =+⋅⋅− xx

081318)3( 2 =+⋅− xx


081182 =+− tt

=⋅

⋅⋅−−±= 18

12

8114)18(18 2

t


2939 =⇒=⇒= xt x



1984

1984


⇒=++++16

3174416

24816 ttttt 3174431 ⇒=t


5102210 =⇒=⇒= xx


2531775

775 =⇒=⇒ tt


2=⇒ x


=±=−±9

9

2018

232432418



37

1024=⇒ t


p) 04254 =+⋅− xx

� 0425)2( 2 =+⋅− xx

0425)2( 2 =+⋅− xx


0452 =+− tt

±=⋅

⋅⋅−±= 5

12

414)5(5 2

t


2424 =⇒=⇒= xt x

0121 =⇒=⇒= xt x

q) 065975 42 =+⋅− xx

� 01296597)5( 2 =+⋅− xx


01296972 =+− tt

⋅⋅⋅−−±

=12

129614)97(97 2

t


log5log81581 =⇒=⇒=t xx


r) 0101616 1 =−+ −xx

� 0101616

16 =−+x

x


010161016 2 =−+⇒−+ ttt

t

=⋅

⋅⋅−−±= 10

12

1614)10(10 2

t



=±=−1

4

235

21625



=±=±=16

81

26597

2422597


5log

81log81log5log81log =⇒=⋅⇒ xx

5log



016100 2 =+−⇒ tt

=±=±=−±2

8

2610

23610

26410010


38



2)2(8168 34 =⇒=⇒=t xx

2)2(2162 14 =⇒=⇒=t xx

s) 012553052 =+⋅− xx

� 0125530)5( 2 =+⋅− xx


0125302 =+− tt

=⋅

⋅⋅−−±=

12

12514)30(30 2

t


5552525 2 ⇒=⇒=⇒=t xx

55555 1 ⇒=⇒=⇒= xt xx

t) 05136132 =+⋅− xx

� 05136)13( 2 =+⋅− xx


0562 =+− tt

±=⋅

⋅⋅−−±= 6

12

514)6(6 2

t



13131131 0 ⇒=⇒=⇒=t xx



43

3422 34 =⇒=⇒=⇒ xxx

41

1422 14 =⇒=⇒=⇒ xxx


=±=±=5

25

22030

240030

variable

2=⇒ x

1=x


=±=1

5

246

216


13log


0=⇒ x


39


u) 9502510 21 =⋅− −− xxx

� 95022

55

102

=⋅−xx

x

9502010

10 =−x

x


2019000

2020

95020

=−⇒=− ttt

t


101000101000 ⇒=⇒=t xx

v) 223324 +⋅=+ xx

� 22 22332)2( ⋅⋅=+ xx

xx 21232)2( 2 ⋅=+

032212)2( 2 =+⋅− xx


032122 =+− tt

=⋅

⋅⋅−−±= 12

12

3214)12(12 2

t


22828 3 ⇒=⇒=⇒= xt xx

22424 2 ⇒=⇒=⇒=t xx

w) 6551 =+− xx

� 6555 =+ xx


6565 22 −⇒=+⇒=+ ttttt

±=⋅

⋅⋅−−±=

26

12

514)6(6 2

t



1000190001920

19000 =⇒=⇒ tt


3103 =⇒= xx


=±=±4

8

2412

21612


3=x

2=x


056 =+− t

=±=1

5

246

216


40



55555 1 ⇒=⇒=⇒= xt xx

55151 0 ⇒=⇒=⇒= xt xx

x) 22282 22 −=+ +− xx

� 2222822 2

2−⋅=+ x

x


164112

24284

=+⇒−=+ t

tt


22828 3 ⇒=⇒=⇒= xt xx

y) 431

3 1 =+ −xx

� ⇒=+ − 433 1 xx 43

33 =+

xx


4343 22 −⇒=+⇒=+ tttt

t

±=⋅

⋅⋅−−±=

24

12

314)4(4 2

t


33333 1 ⇒=⇒=⇒= xt xx

33131 0 ⇒=⇒=⇒= xt xx

z) 2651

5 12 =+ −x

x

� ⇒=+ − 2655 12 xx

55

)5( 2 =+ xx


265265 32 ⇒=+⇒=+ ttt

t



1=x

0=x


1128168161124

816 −−=−⇒−=+⇒−

ttttt


3=x


034 =+− t

=±=1

3

224

24


1=x

0=x

26=


05263 =+− tt


41

812015112 =⇒−=−⇒ tt


5

5 26 0 1 +− 5 25 5 −++ 0 1 5 1 −+ ⇒

Luego −⇔=+− )(5(05263 tttt

+±−=⇒=−+∗2255

015 )( 2 ttt


55555 1 ⇒=⇒=⇒=• t xx

t x

2

55

2

295 −−=⇒−−=•

5log2log)529log(

25

52

295

−−=⇒

+−=⇒+−=•

x

t x


)15)(5()526( 23 −+−=+−⇒ ttttt

∗=−+

=⇒=−⇔=−+

)( 015

505

0)152

2

tt

tt

tt

+−=

−−=

=±−=+

2295

2295

22954

t

t


1=x

xax 0 que yasolución tieneno 2

29 ∀>⇒

5log2

295log5log

229 =⋅⇒

+−=⇒ xx


42

2log)529log( ⇒−−


1

7. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) 450loglog =+x

50

100001000050 ⇒=⇒=⋅⇒ xxx

b) 0100loglog =+x

1log)100log( =⋅x 1100 ⇒=⋅⇒ x

c) 10log2 2 =x

log2

10log10log2 22 ⇒=⇒= xx

d) 10loglog2log 3 =− xx

10logloglog 23 =− xx log 2

3

⇒

x

x

e) 0)12(loglog 52

5 =−+ xx

1log)]12([log 52

5 =−xx 2(2 −⇒ xx

1 0 1 2 −− 1 1 2 +++ 0 1 1 2 ++ ⇒

La solución de la ecuación es =x





Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

200=x

100

1=⇒ x

3225log 52 =⇒=⇒= xxx

1010loglog10log =⇒=⇒=

xx

0121)1 23 =−−⇒=− xx

)12)(1()12( 223 ++−=−−⇒ xxxxx

200=

1001=

32=

10=


43


Luego −⇔=−− 1(012 23 xxx

211

012 )( 2 ±−=⇒=++∗ txx

f) log(2log3)1log()1log( +=++− xx

log(2log)]1()1log[( 3 +=+⋅− xxx

1581681 22 =+−⇒−=−⇒ xxxx

±=⋅

⋅⋅−−±=

2648

12

1514)8(8 2

x

g) 2log)63log(21

)2log( =−−− xx

2log)63log()2log( 2

1

=−−− xx ⇒

6322263

2 −=−⇒=−

−⇒ xx

x

x

� Tenemos que resolver la ecuación radical:



=+− 3(4442 xxx


⋅⋅−−±

=12

14)16(16 2

x


Las soluciones de la ecuación son


∗=++=⇒=−

⇔=++)( 012

1010)12)(1

2

2

xx

xxxx

realsolución tieneno 81⇒

−

)2log( −x

)2−x −⇒−⋅=−⇒ 1()]2(8log[)1log( 22 xxx

0=

==

=±=−3

5

228

26064

x

x

−−

⇒=−−−3

2log2log63log)2log(

x

xxx

6

Tenemos que resolver la ecuación radical: 632)2( −=− xx

Elevamos al cuadrado los dos miembros: 22 )32()32( −=+ xx


⇒− )6x 16241244 22 +−⇒−=+− xxxxx

Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 1028162 =⇒=+− baxx

±=±=−±=⋅

2

1216

2

14416

2

1122561628

1=

es de la ecuación son 5=x y 3=x


44

⇒−⋅= )2(8)1 x

⇒=

2log

6

2

028 =+

28 16 =−= cb

=

==

22

4

142

2812


COMPROBACIÓN

14=x

21412626143 2

12214=−⇒

=⋅=−⋅

=−

2=x

222002623 2

022=−⇒

=⋅=−⋅

=−

� Ahora debemos comprobar si también son solución de la ecuación logarítmica:

2=x no es solución, porque al sustituir en la ecuación inicial aparece

0 existe log >⇔ xxa )

14=x

sí es solución (al sustituir no hay problemas)

h) 1227log 59 −= x

Aplicamos la definición de logaritmo:

=⇒−= −91227log 512

)(

59 x x

Definición

2013

1320 =⇒=⇒ xx

i) 4,028

log5

−=x


28

4,028

log5

4,0

)(

5

=⇒−= −xDefinición

x





ecuación la desolución es sí 1461432 =⇒−⋅= x

ecuación la desolución es sí 2623 =⇒−⋅ x

Ahora debemos comprobar si también son solución de la ecuación logarítmica:

2log63log)2log( =−−− xx

no es solución, porque al sustituir en la ecuación inicial aparece 0log que no existe. (Recuerda que


Aplicamos la definición de logaritmo: )(log xayx ya =⇔=

=−⇒=⇒=⇒ −− 24333)3(27 5

3245 3122 xxx


222

22 1

5

3

5

2

1

5

3

5

25 310

4

⇒=⇒=⇒=⇒−−−−

xxxx

14=

2013=

2=


45

radicalecuación

radicalecuación

que no existe. (Recuerda que

⇒=−⇒= 3102053

x

22 5

2

5

2

=⇒=−−

xx


j) 73128log 32 +−= x


⇒+−= +−273128log 73

)(

32 x x

Definición

914

149 =⇒−=−⇒ xx

k) log1)2(log)2(log 777 −=+−− xx

)72(log7log2

2log 777 −−=

+−

xx

x

⇒+=−−⇒ 2)2(7)72)(2( xxxx

⇒=−⋅⇒=− 0)9(092

x

xxxxx

l) )13log(1)403log( 2 −+=++ xxx

+=++ 3log(10log)403log( 2 xxx

⇒−⋅=++⇒ )]13(10[)403( 2 xxx

=⋅

⋅⋅−−±=⇒

2712

5014)27(27 2

x

m) 5loglog3loglog 2 +=− xx

)5log(3

log2

⋅=

x

x⇒=⇒ 5

3

2

xx







−⇒=⇒=⇒= +−+− 32222128 3

7733 7733 xxx

)72( −x

) =

+−

⇒

−=

+−

⇒2

2

72

7log

2

2log 77 x

x

xx

x

=−⇒+=+−− (:22 01821471447 xxxxxx

==

9

comprueba seecuación laen sustituir (al 0

⇒− )1x ⇒−=++ )]13(10log[)403log( 2 xxx

⇒=+−⇒−=++⇒ 050271030403 22 xxxxx

==

=±=−±2

25

22327

220072927

x

x

⇒=−⇒=−⇒=⇒ 0)15(01515 22 xxxxxx

914=

9=


15=


46

⇒=+−⇒=+ 721937

7 xx

⇒

−=

72

7

x

→ )2(:

solución) es no que

⇒

=⇒=−

=

15015

vale)(no 0

xx

x


n) 2)53log(log =++ xx

100log)]53(log[ =+⋅ xx +⇒ 3( xx

=⋅

−⋅⋅−±−=⇒32

)100(34)5(5 2

x

o) 3ln)2ln(ln2 2 =++ xx

3ln)2ln(ln 22 =++ xx (ln[ 22⇒ xx

1) Hacemos el cambio de variable



333 2 −=⇒−=⇒−=• xxt

⇒=⇒=⇒=• 111 2

x

xxxt

p) 6loglog2 4 =+ xx

642 10logloglog =+ xx ⋅⇒ 2log(x

q) 2ln5lnln2 =− xx

2ln5lnln 2 =− xx =

⇒ 2ln

5ln

2

x

x






⇒=−+⇒=+ 010053100)5 2 xx

−=−

==±−=+±−=

320

640

5630

6355

61200255

323)2(3ln)]2 24222 =−+⇒=+⇒=+ xxxx

1) Hacemos el cambio de variable tx =2 y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:

0322 =−+ tt

2) Resolvemos la ecuación de segundo grado: +±−=⇔=−+

21242

0322 ttt



−==

vale)(no 1

1

x

x

⇒=⋅ 64 10log)x 101066 =⇒= xx

⇒2 1025

=⇒= xx

5=

1=

10=

10=


47

solución) es (no 20

)bicuadrada (ecuación 0=


−=

==±−=

3

1

2

4212

t

t


r)

+=10

log4log2x

x

+=10

log10000loglog 2 xx ⇒ log

⇒=−⇒=⇒ 010001000 22 xxxx

s) xx

log22

3log3 =

+

2log2

3log1000log x

x =

+ ⇒ log

⇒=−⇒=⇒ 015001500 22 xxxx

t) )3log(2log1)2log( −−+=− xx

log(2log10log)2log( −−+=− xx

⇒−

=−⇒)3(

20)2(

xx −− 3)(2( xx

==

=±=+±=⇒2

95

2

56255

x

xx


u) )7log(1log xx −−=

)7log(10loglog xx −−= =⇒ logx

⇒=+−⇒=−⇒ 0107107 22 xxxx





⇒

⋅=10

10000loglog 2 xx

=⇒=−=

⇒=−⇒100001000

vale)(no 00)1000(

xx

xxx

⇒=

⋅ 2log2

31000log x

x⇒= 2log1500log xx

=⇒=−=

⇒=−⇒150001500

00)1500(

xx

xxx

)3− ⇒

−⋅=−⇒

)3(

210log)2log(

xx

−−⇒=+−−⇒= 1452062320)3 22 xxxxx

−−==

existe) no )2log( porque vale(no 2

7

7=

=−⇒−

=⇒

−= 10)7(

)7(

10

)7(

10log xx

xx

x

⇒

==

=±=−±= 2

5

2

37

2

40497

x

xx

1000=

1500=

ecuación son 5=x y 2=x


48

1000

1500

⇒= 014

⇒10


v) 32log15log13log −+=++ xx

2log10log)513log( −+=⋅+ xx

3210)135 )5(:→−=+⇒ xx

� Tenemos que resolver la ecuación radical:



2(413 =+ xx

COMPROBACIÓN

513=x

5

1123

5

2623

5

1322

5

441

5

391

5

133

==−=−⋅

=+=+⋅

� Ahora debemos comprobar si también son solución de la ecuación logarítmica:

513=x


w) 4log20log5log)55( 2 =++− xx

20log4log5log )55( 2

−=+− xx ⇒ log

1)55( 5log5log2 −+− =⇒ xx 52 −⇒ xx




3

3− ⇒−=+⇒ )3210log()135log( xx

32213 −=+ xx

Tenemos que resolver la ecuación radical: 32213 −=+ xx

miembros: 22 )322()13( −=+ xx


1313512813)3 =⇒−=−⇒−=+⇒− xxxxx

ecuación la desolución es sí

5

44

5

1122

⇒

=⋅

Ahora debemos comprobar si también son solución de la ecuación logarítmica:

32log15log13log −+=++ xx


⇒

=+−

204

log5log )55( 2 xx

=+−

51

log5log )55( 2 xx

06515 2 =+−⇒−=+ xxx−±=⇒

224255

x

513=



49

513

radicalecuación

⇒

==

=±= 2

3

21524

x

x


x) 3125log2log)95( 2 =++− xx

1000log125log2log )95( 2

=++− xx ⇒

⇒=⇒ +− 8log2log )95( 2 xx −(2log2x

y) 2)43log()16log( 2

=−

−x

x

)43log(2)16log( 2 −=− xx ⇒ log(

=−⇒−=−⇒ 16)43()16( 222 xxx

=−⋅⇒=−⇒ )125(0125 2 xxxx


z) 3)4log()43log( 3

=−−

x

x

)4log(3)43log( 3 xx −=− ⇒ 43log(

43)4()43( 333 =−⇒−=−⇒ xxx

±=⋅

⋅⋅−−±= 1642

744)16(16 2

x




⇒−=⇒ +− 125log1000log2log )95( 2 xx 2log ( 2x

⇒=+− 3)95 2logx 65395 22 +−⇒=+− xxxx

==

=±=−±= 2

3

215

224255

x

xx

⇒−=− 22 )43log()16log( xx

→=−⇒+−= 50241016249 2)2(:22 xxxxx

=⇒=−

=⇒

512

0125

vale)(no 00

xx

x

5

12=

⇒−=− 33 )4log()43 xx

0214812124864 232 =+−⇒−+−= xxxxx

==

===±=−

21

84

27

828

81216

8112256

x

x


ecuación son 21=x y

27=x


50

⇒

=+−

1251000

log)95x

0=

⇒=− 0122 x

07164 2)3(: =+−→ xx

ecuaciones . soluciones - matesvaldemora | … · ies juan garcía valdemora departamento de...

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