inecuaciones teoria

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Colegio Sagrado Corazón Matemáticas 4º ESO, opción BOlivenza, Curso 2010/11 UD04: Inecuaciones

1

Colegio Sagrado Corazón de Olivenza Matemáticas, opción B

D. José L. Muñoz Expósito UD04: INECUACIONES

Criterios De Evaluación de la Unidad

1. Resolver inecuaciones de primer grado mediante la obtención deinecuaciones equivalentes al sumar o restar expresiones algebraicas a los miembros de lainecuación o al multiplicar o dividir por números positivos o negativos conservando ocambiando, según los casos, el sentido de la desigualdad.

2. Resolver inecuaciones de segundo grado mediante el estudio de los signosde los factores, obtenidos en la descomposición del correspondiente polinomio desegundo grado, y del estudio de los signos del producto de dichos factores.

3. Resolver, utilizando el mismo método, inecuaciones que puedan reducirse a

productos y cocientes de binomios de primer grado.4. Aplicar las inecuaciones a la resolución de problemas que se puedanplantear en la vida real.

Esquema en relación con los criterios de evaluación

1.- Desigualdades e inecuaciones.2.- Inecuaciones Lineales con una incógnita (C1)3.- Inecuaciones Cuadráticas con una incógnita (C2, C3)4.- Problemas (C4)

Desarrollo de los Contenidos

1.- Desigualdades e inecuaciones.

DEFINICIÓN: Una desigualdad numérica es una comparación entre dos números a y b ,utilizando los símbolos de desigualdad: “>”, “mayor que”; “<” menor que”; “ ≥ ”, “mayoro igual que”; “ ≤ ”, “menor o igual que”.

Ejs.: 5<7, 7>2, -4 ≤ 2

Las desigualdades numéricas satisfacen las siguientes propiedades:

PROPIEDAD 1: Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentidode la misma.

Ej.: 3 6 6 3< ⇔ >

PROPIEDAD 2: Al sumar o restar un mismo número a los dos miembros de unadesigualdad se obtiene otra de igual sentido.

Ej.: 3 5 3 4 5 4 7 9< ⇔ + < + ⇔ <




2

PROPIEDAD 3: Al multiplicar los dos miembros de una desigualdad por un mismonúmero distinto de cero, se obtiene otra que será de igual sentido si el número es positivo,y de distinto sentido si es negativo.

Ejs.:4 3 2 4 2 ( 3) 8 6

4 3 2 4 2 ( 3) 8 6

> − ⇔ ⋅ > ⋅ − ⇔ > −

> − ⇔ − ⋅ < − ⋅ − ⇔ − <

DEFINICIÓN: Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas,llamadas miembros de la inecuación, que está condicionada a los valores numéricos que seasignen a las incógnitas.

Ej.: 21 0 x − >

DEFINICIÓN: Las soluciones de una inecuación son los valores de las incógnitas quehacen cierta la desigualdad.

Ej.: x=0 no es solución de 21 0 x − > , x=3 sí.

DEFINICIÓN: Una inecuación es compatible si tiene alguna solución, incompatible si notiene ninguna.

Ej.: 21 0 x − > es compatible, 2

1 x < − no.

1.- Clasifica las siguientes inecuaciones en compatibles o incompatibles:2 2 2 2 2 2 2 2) 0 ) 0 ) 0 ) 0a x y b x y c x y d x y+ < + > − < − >

Solución: a) incompatible, b) compatible, c) compatible, d) compatible.

2.- Inecuaciones lineales con una incógnita.

DEFINICIÓN: Una inecuación lineal con una incógnita es aquella que se puedetransformar en otra equivalente que tenga una de las siguientes formas:

0, 0, 0, 0ax b ax b ax b ax b+ < + > + ≤ + ≥ .

REGLA: Para resolver una inecuación lineal con una incógnita se siguen las mismas reglasque para las ecuaciones lineales con una incógnita, pero teniendo en cuenta que por laspropiedades de las desigualdades, puede cambiar el sentido de la inecuación. Tras acabar deresolver la inecuación, se suele representar gráficamente el resultado. También se expresa lasolución en forma de intervalo.

Ej: 2(2 1) 7 3(1 2 ) x x− ≤ − +

Solución: 3 3

, [ , )5 5

x ≤ −∞ y gráficamente:




3

2.- Resuelve las siguientes inecuaciones:

25 5 1) 2 4 5 )3(1 2 ) 0 ) )( 2) ( 1)( 2)

2 4

xa x x b x c x d x x x

−+ < − + − ≥ − ≤ − > + +

Solución: 3 3 1 1 2 2

) , , ) , , ) 9,[ 9, ) ) , ,5 5 2 2 7 7

a x b x c x d x

< −∞ ≤ −∞ ≥ − − ∞ < −∞

3.- Resuelve las siguientes inecuaciones:2( 5) 3 1

)2(2 1) 7 3(1 2 ) )2 3 2 ) 53 2 4

x xa x x b x x c x

− − ≥ − + + ≥ ≤ − −

Solución: ( )3 3 11 11

) , , ) , , ) , ,5 5 10 10

a x b x c x

≥ ∞ ∀ −∞ ∞ ≤ −∞ , y gráficamente:

4.- Resuelve las siguientes inecuaciones:)2(2)1(3)3(2))5)(1()3)(2()13)1()

2+>−+++−<++++>− x x xc x x x xb x x x xa

Soluciones : ( )1 1 1 1

) , , ) 11, , 11 ) , ,4 4 3 3

a x b x c x

< − −∞ − < − −∞ − > ∞

y

gráficamente:

5.- Resuelve: 27

1

2)

12

52

3

42)

65

23) −>

++

−<

−−>+ x

x xc

x xb

x x xa

Soluciones : ( ) ( )11 11

) 5, 5, ) , , ) 6 , , 66 6

a x b x c x

> ∞ < −∞ < −∞

, y gráficamente:

6.- Resuelve:

x

x x x

c

x x x

b

x x x

a 342

84

5

33

)15

13

25

4

3

4

)22

14

4

8

3

25

)−>

+−

−++>

−−

+−

+>

−−

−

Soluciones : ( ) ( )92 92

) 4, 4, ) 1, ,1 ) , ,27 27

a x b x c x

> ∞ < −∞ > ∞

, y gráficamente:

7.- Resuelve: 027

1

2)3

4

1

2

1)0

45

108

8

12

3) <+−

++−

−<−

−>

−−

+− x

x xc

x x

xb

x x xa

Soluciones : ( ) ( )109 109

) , , ) 9, 9, ) 6, 6,

110 110

a x b x c x

> ∞ > ∞ > ∞

, y gráficamente:

8.- Resuelve:




4

14

365

2

12

3

2)3

2

1

4

32)

12

37

3

13

4

234) −

−>

−−

−+

+>

++

−<

−−

x x xc

x xb

x x xa

Soluciones : ( ) ( )) 1, ,1 ) ) 8, ,8a x b solución c x< −∞ ∃ < −∞/

3.- Inecuaciones cuadráticas con una incógnita.

DEFINICIÓN: Una inecuación cuadrática con una incógnita es aquella que se puedetransformar en otra equivalente que tenga una de estas formas:

2 2 2 20, 0, 0, 0ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c+ + < + + > + + ≤ + + ≥

, con a distinto de cero.

REGLA: Para resolver una inecuación cuadrática, se factorizan sus polinomios y posteriormente se expresa la solución teniendo en cuenta la regla de los signos.

Ej.: Resuelve la inecuación 22 0 x x+ − < .

Solución: 2 2 0 ( 1) ( 2) 0 x x x x+ − < ⇔ − ⋅ + < , gráficamente entonces:

, luego ( 2,1) x ∈ − .

9.- Resuelve las siguientes inecuaciones:2 2 2 2

22 2 2

) 16 0 ) 16 0 )2 1 )(2 1) 1

3 2 2) 16 0 ) 16 0 ) )

5 25 3 3 4

a x b x c x x d x

x xe x f x g x x h

x

− < − ≥ − < + < −

++ < + ≥ ≤ − <

+

Solución:

( ) ( ) ( )1

) 4,4 ) , 4 4, ) ,1 )2

1 2 4) ) ) , )

5 5 5

a x b x c x d

e f x g x h x

∈ − ∈ −∞ − ∞ ∈ − ∃

∃ ∀ ∈ ∈ < −

U




5

10.- Resuelve las siguientes inecuaciones:2 2 2 2

) 5 6 0 ) 6 8 0 ) 7 3 0 ) 2 16 24 0a x x b x x c x x d x x− + > − + > − > − + >

Solución :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

) ,2 3, ) , 2 4, ) ,0 , ) , 2 6,7a x b x c x d x

∈ −∞ ∞ ∈ −∞ ∞ ∈ −∞ ∞ ∈ −∞ ∞ U U U U

11.- Resuelve las siguientes inecuaciones:

2 2 2

2 2

) ( 3) 2 4 4 ) ( 1) ( 2) 3 7 1

) ( ) ( 1)( 2) 4

a x x x x b x x x x

c x x x x x

+ − > + − − + + ≤ − +

+ − + − > −

Solución: ( ) ( )4

) , 1 4, ) ,1 ) 33

a x b x c x

∈ −∞ − ∞ ∈ − > −

U

4.- Problemas.

12.- Marta ha sacado en cuatro controles de matemáticas un 5.5, un 3.5, un 4 y un 4.75. Laprofesora va a sacar un quinto y último control para hacer la media de todas lascalificaciones. (a) ¿Qué nota debe al menos sacar Marta para aprobar? (b) ¿Puede sacarsobresaliente (9 de media)?

Solución: (a) Al menos un 7,25 (b) No.

13.- Dos compañías telefónicas, A y B, han lanzado una oferta para captar clientes. Lacompañía A ofrece cobrar un fijo de 10 € más 0’05 € por cada minuto de conversación,

mientras que la compañía B propone una cantidad fija de 20 € más 0’03 € por minuto deconversación. ¿Cuál es el número mínimo de minutos al mes que debe hablar Iván para quele interese la compañía B? ¿Cuánto dinero costaría al mes ese número de minutos?

Solución: 500 minutos. 35 €

14.- Una empresa de alquiler de coches cobra 30 € fijos más 25 céntimos por kilómetrorecorrido. Otra empresa de la competencia no tiene canon fijo, pero cobra 45 céntimos porkilómetro recorrido. ¿A partir de cuántos kilómetros es más económica la primera?

Solución : La primera opción es más económica para recorridos mayores de 150kilómetros.

15.- Una fábrica paga a cada agente comercial 1 € por artículo vendido más una cantidadfija de 1 000 €. Otra fábrica de la competencia paga 1’50 € por artículo y 400 € fijos.¿Cuántos artículos debe vender un agente comercial de la competencia para ganar másdinero que el primero?

Solución : Al menos 1200 artículos.

16.- Halla los números naturales cuyo triple menos seis unidades es mayor que su duplomás cinco unidades.

Solución : Todos los naturales mayores de 11.

17.- Un padre y su hijo se llevan 22 años. Determina en qué periodo de sus vidas la edad

del padre excede en más de seis años al doble de la edad del hijo.Solución : Cuando el hijo tiene entre 0 y 16 años




6

18.- ¿Cuáles son los números cuyo triple excede a su duplo en más de 30?Solución : Los mayores que 30.

19.- Una empresa de informática cobra por elaborar un programa de ordenador 1 000 €más 120 € por hora de programación. Otra empresa de la competencia cobra siempre 10

000 € cualquiera que sea el número de horas de programación. ¿En qué condicionesconviene elegir una u otra empresa?Solución : Si el número de horas es menor que 75 es preferible la primera.

20.- Un coche se desplaza por una carretera a una velocidad comprendida entre 100 y 120Km/h. ¿Entre qué valores oscila la distancia del coche al punto de partida al cabo de treshoras?

Solución : Km xKm 360300 ≤≤

21.- Un vendedor tiene un contrato con una editorial por el cual percibe 360 € de sueldofijo más 130 € por enciclopedia que venda. De otra editorial recibe otra oferta por la que le

ofrecen 160 € por enciclopedia que venda. Analiza la conveniencia de cada una de lasofertas según el número de enciclopedias que venda.Solución : Si el número de enciclopedias es menor que 12 le interesa la primera oferta.

22.- En la sociedad hindú existe el siguiente aforismo: “Para que una relación sentimentalsea satisfactoria, la edad de ella no debe sobrepasar la mitad más siete años de la edad deél”. Una pareja deseaba saber cuál es el período de tiempo más favorable para formalizardefinitivamente sus relaciones sentimentales según este aforismo. El caballero hindú tieneocho años más que la dama. ¿Les puedes ayudar?

Solución : El período de tiempo más favorable será cuando la dama tenga 22 años omenos y el hombre 30 años o menos. A partir de ahí empezarán los problemas.

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