factorizaci´on de polinomios con coeﬁcientes...

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Tabla de Contenido, objetivos y PrepruebaFactorizacion de Trinomios Monicos cuadraticos

Factorizacion de Trinomios No MonicosEjercicios de practica y Post-prueba

Solucion de la Pre y Post-prueba, Solucion problemas de practica

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Factorizacion de Polinomios con Coeficientes EnterosMetodo de Tanteo

Mate 141: Algebra y Trigonometra I

Preparado por: Departamento de Matematicas

Pontificia Universidad Catolica de Puerto RicoColegio de Ciencias

Programa Ttulo V - TSI

2011

Ttulo V-TSI (PUCPR) Metodo de Tanteo





Instrucciones para utilizar el moduloTabla de ContenidoObjetivos InstruccionalesPreprueba

Instrucciones para utilizar el modulo

1 Marque Ctrl+l para comenzar la presentacion en formato de pantalla completa.

2 Marque Esc para salir del formato en pantalla completa.

3 Hacer la Pre-prueba.

4 Estudiar el contenido del modulo: Definiciones, formulas y hacer lo problemas de practica.

5 Hacer la Post-prueba







Tabla Contenido

1 Tabla de Contenido, objetivos y PrepruebaInstrucciones para utilizar el moduloTabla de ContenidoObjetivos InstruccionalesPreprueba

2 Factorizacion de Trinomios Monicos cuadraticosIntroduccion a la factorizacion de polinomios de la forma ax2 + bx+ cForma x2 + bx+ cForma x2 + bx cForma x2 bx+ cForma x2 bx c

3 Factorizacion de Trinomios No MonicosForma ax2 bx+ c, (a > 0)

4 Ejercicios de practica y Post-pruebaEjercicios de Practica (Polinomios Monicos)Ejercicios de Practica (Polinomio No Monico)Post-prueba

5 Solucion de la Pre y Post-prueba, Solucion problemas de practicaSolucion de la Pre-pruebaSolucion problemas de practica







Objetivos Instruccionales

Objetivo general

El objetivo de este modulo es presentar los conceptos y las destrezas que se requieren parafactorizar un polinomio con coeficientes enteros utilizando la tecnica de tanteo.

Objetivos especficos

Al finalizar el estudio de este modulo las personas usuarias podran:

Definir y dar ejemplos de polinomios monicos y no monicos.

Factorizar polinomios monicos de la forma: x2 + bx+ c, x2 + bx c, x2 bx+ c yx2 bx c donde b y c son numeros enteros positivos.Factorizar un polinomio de la forma: ax2 + bx+ c donde a, b, c son numeros reales cona 6= 0.Identificar cuando un trinomio de grado 2, factoriza tanteando.







Pre-prueba

Instrucciones: Factorice completamente los siguientes polinomios.

Factorice completamente los siguientes polinomios.

1 x2 + 3x+ 2

2 x2 10x+ 163 x2 + 9x 364 x2 2x 85 x2 + 3x+ 2

6 2y3 + 12y2 + 18y

7 10x2 + 11x+ 3

8 7w2 + 20w 39 6 x 15x2

10 33x2 39xy + 6y2

11 24t4 246t3 63t2

12 (x+ 3)2 + 3(x+ 3) 4 Solucion de la Pre-prueba







Pre-prueba



1 x2 + 3x+ 2

2 x2 10x+ 163 x2 + 9x 364 x2 2x 85 x2 + 3x+ 2

6 2y3 + 12y2 + 18y

7 10x2 + 11x+ 3

8 7w2 + 20w 39 6 x 15x2

10 33x2 39xy + 6y2

11 24t4 246t3 63t2

12 (x+ 3)2 + 3(x+ 3) 4 Solucion de la Pre-prueba






Introduccion a la factorizacion de polinomios de la forma ax2 + bx + cForma x2 + bx + cForma x2 + bx cForma x2 bx + cForma x2 bx c

Factorizacion de polinomios de la forma ax2 + bx+ c

En este modulo se presentara la tecnica de tanteo para factorizar polinomios de la formaax2 + bx+ c donde a, b y c son numeros enteros diferentes de cero. A este trinomio se le da elnombre de trinomio cuadratico. Cuando a = 1, se le llama Monico y cuando a 6= 1 se le llama NoMonico.

Un polinomio de la forma ax2 + bx+ c donde a, b y c son numeros reales diferentes de cerofactoriza como un producto de dos polinomios lineales con coeficientes reales si y solo sib2 4ac es un numero real. De lo contrario decimos que es irreducible sobre el conjunto de los

numeros reales. La factorizacion tiene la forma:

ax2 + bx+ c = (mx+ t)(nx+ w) para m,n, t, w numeros reales

Formula para factorizar un polinomio de la forma ax2 + bx+ c (a 6= 0)

Sib2 4ac es un numero real, entonces

ax2 + bx+ c = a

(

x b+b2 4ac2a

)(

x bb2 4ac2a

)








Ejemplo: Factorice el polinomio 15x2 17x 4

Note que 15

a

x2 17

b

x 4

c

. Al sustituir a = 15, b = 17 y c = 4 en la formula de la pagina

anterior obtenemos: 15x2 17x 4 =

15

x (17) +

(17)2 4(15)(4)2(15)

4/3

x (17)

(17)2 4(15)(4)2(15)

1/5

15x2 17x 4 = 15(

x 43

)(

x 15

)

= (3)(5)

(

x 43

)(

x+1

5

)

= (3)

(

x 43

)

(5)

(

x+1

5

)

= (3x 4)(5x+ 1)








La formula de factorizacion utilizada en el ejemplo anterior se puede evitar y utilizar lo queconocemos como el Metodo de Tanteo.

Cuando puedo utilizar el Metodo de Tanteo?

Un polinomio de la forma ax2 + bx+ c donde a, b y c son enteros factoriza utilizando el metodode tanteo si y solo si

b2 4ac es un numero racional. En forma general el tanteo se efectuara

de la siguiente manera:ax2 + bx+ c = (mx+ t)(nx+ w)

donde a = mn, c = tw y b = mw + tn. Ademas, m, n, t y w tienen que ser numeros enteros.

Para facilitar este tipo de factorizacion dividimos el estudio en polinomios Monicos y No Monicos,es decir, en polinomios de la forma x2 + bx+ c o ax2 + bx+ c donde a 6= 0, b y c numeros enteros.

Antes de comenzar con los diferentes casos, veamos un ejemplo donde apliquemos la tecnica detanteo.







Ejemplo: Factorice el polinomio 6x2 19x 7

Solucion:

Note que

(19)2 4(6)(7) = 23, esto implica que el polinomio factoriza tanteando como unproducto de dos factores lineales, es decir,

6x2 19x 7 = (mx+ t)(nx+ w)

donde 6 = mn, 7 = tw y 19 = mw + tn.

En otras palabras necesitamos encontrar dos enteros m, n que su producto sea 6 y dos enteros ty w que su producto sea -7 de tal manera que 19 = mw + tn. Esta es la razon por la cual lellamamos el metodo de tanteo, ya que se requiere probar con diferentes valores.

Utilizando m = 3, t = 1, n = 2 y w = 7, note que

6

mn

x2 19

mw+nt

x 7

tw

= ( 3

m

x+ 1

t

)( 2

n

x 7

w

)

Por lo tanto, la factorizacion es: 6x2 19x 7 = (3x+ 1)(2x 7)







Polinomio de la Forma x2 + bx+ c

Como factorizar un polinomio de la forma x2 + bx + c donde b y c son enteros positivos?

Si el polinomio tiene la forma x2 + bx+ c donde b y c son enteros positivos, entoncesnecesitamos encontrar dos enteros positivos m y n tal que su producto sea c y la suma de ellosdos sea igual a b. Luego la factorizacion tendra la forma

x2 + bx+ c = (x+m)(x+ n)

Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios

Polinomio m n mn m+ n Factorizacion

x2 + 8x+ 15 5 3 15 8 (x+ 5)(x+ 3)

x2 + 13x+ 12 12 1 12 13 (x+ 12)(x+ 1)

t2 + 9t+ 18 6 3 18 9 (t+ 6)(t+ 3)

y2 + 36y + 288 24 12 288 36 (y + 24)(y + 12)







Polinomio de la Forma x2 + bx c

Como factorizar un polinomio de la forma x2 + bx c donde b y c son enteros positivos?

Si el polinomio tiene la forma x2 + bx c donde b y c son enteros positivos, entoncesnecesitamos encontrar dos enteros positivos m y n con m > n tal que su producto sea c y ladiferencia (m n) de ellos dos sea igual a b. Luego la factorizacion tendra la forma

x2 + bx c = (x+m)(x n)


Polinomio m n mn m n Factorizacion

x2 + 10x 24 12 2 24 10 (x+ 12)(x 2)

x2 + 17x 60 20 3 60 17 (x+ 20)(x 3)

t2 + 4t 21 7 3 21 4 (x+ 7)(x 3)

y2 + 13y 30 15 2 30 13 (y + 15)(y 2)







Polinomio de la Forma x2 bx+ c

Como factorizar un polinomio de la forma x2 bx + c donde b y c son enteros positivos?

Si el polinomio tiene la forma x2 bx+ c donde b y c son enteros positivos, entoncesnecesitamos encontrar dos enteros positivos m y n tal que su producto sea c y la suma de ellosdos sea igual a b. Luego la factorizacion tendra la forma

x2 bx+ c = (xm)(x n)


Polinomio m n mn m+ n Factorizacion

x2 8x+ 15 5 3 15 8 (x 5)(x 3)

x2 13x+ 12 12 1 12 13 (x 12)(x 1)

t2 9t+ 18 6 3 18 9 (t 6)(t 3)

y2 36y + 288 24 12 288 36 (y 24)(y 12)







Polinomio de la Forma x2 bx c

Como factorizar un polinomio de la forma x2 bx c donde b y c son enteros positivos?

Si el polinomio tiene la forma x2 bx c donde b y c son enteros positivos, entoncesnecesitamos encontrar dos enteros positivos m y n con m > n tal que su producto sea c y ladiferencia (m n) de ellos dos sea igual a b. Luego la factorizacion tendra la forma

x2 bx c = (xm)(x+ n)


Polinomio m n mn m n Factorizacion

x2 10x 24 12 2 24 10 (x 12)(x+ 2)

x2 17x 60 20 3 60 17 (x 20)(x+ 3)

t2 4t 21 7 3 21 4 (x 7)(x+ 3)

y2 13y 30 15 2 30 13 (y 15)(y + 2)






Forma ax2 bx + c, (a > 0)Pasos para factorizar un polinomio de la forma ax2 + bx + cEjemplos

Polinomio de la Forma ax2 bx+ c donde a, b, c son numeros enteros

Como factorizar un polinomio de la forma ax2 + bx+ c donde a, b, c son numeros enteros?

El factorizar un polinomio No Monico de la forma ax2 + bx+ c requiere un poco mas de trabajo,especialmente, cuando los valores de a, b, c son numeros enteros grandes. Tenemos dos opcionespara factorizar un polinomio cuadratico No Monico.

Opcion 1: Utilizar la formula:

ax2 + bx+ c = a

(

x b+b2 4ac2a

)(

x bb2 4ac2a

)

Opcion 2: Metodo de Tanteo: Encontrar enteros m,n, t, w tal que mn = a, tw = c ymt+ nw = b. Luego la factorizacion tiene la forma:

ax2 + bx+ c = (mx+ t)(nx+ w)

Veamos algunos ejemplos utilizando la opcion 2: Metodo de Tanteo.







Ejemplos: Factorizacion de polinomios de la forma ax2 + bx+ c

Antes de presentar los ejemplos recordemos los pasos para factorizar un polinomio de la formaax2 + bx+ c donde a, b, c son numeros enteros.

Pasos para factorizar un polinomio de la forma ax2 + bx+ c donde a, b, c son numeros enteros

Pasos 1: Verificar si el polinomio tiene una constante como factor comun. De ser asi, se factorizay se le aplica el paso dos al polinomio cradratico que obtenemos de la factorizacion.

Pasos 2: Verificar queb2 4ac sea un numero racional. De no serlo se concluye que no se

puede factorizar utilizando coeficientes enteros, o sea, es irreducible sobre los numerosenteros.

Pasos 3: Encontrar enteros m,n, t, w tal que mn = a, tw = c y mw + nt = b. Luego lafactorizacion tiene la forma:

a

mn

x2 + b

mw+nt

x+ c

tw

= (mx+ t)(nx+ w)








Factorice los siguientes polinomios de la forma ax2 + bx+ c (a 6= 0)

Polinomio m n t w mn tw mw + tn (mx+ t)(nx+ w)

14x2 + 23x+ 3 2 7 3 1 14 3 23 (2x+ 3)(7x+ 1)

8x2 23x 36 1 8 -4 9 8 -36 -23 (x 4)(8x+ 9)

48x2 136x 65 12 4 5 -13 48 -65 -136 (12x+ 5)(4x 13)

42x2 + 187x 30 -6 7 1 -30 -42 -30 187 (6x+ 1)(7x 30)

9x2 + 6x+ 1 3 3 1 1 9 1 6 (3x+ 1)(3x+ 1)

22x2 + 37x 6 -11 2 2 -3 -22 -6 37 (11x+ 2)(2x 3)

16x2 72x+ 17 4 4 -1 -17 16 17 -72 (4x 1)(4x 17)

5x2 + 28x 15 -1 5 5 -3 -5 -15 28 (x+ 5)(5x 3)






Ejercicios de Practica (Polinomios Monicos)Ejercicios de Practica (Polinomio No Monico)Post-prueba

Ejercicios de Practica

Factorice los siguientes polinomios Monicos

Polinomio m n Factorizacion

x2 + 7x+ 6

x2 + 2x 15

t2 7t+ 12

y2 8y 33

x2 + 25x+ 100

x2 + 2x 35

t2 22t+ 21

y2 70y 144

Solucion de los problemas







Ejercicios de Practica



x2 + 7x+ 6

x2 + 2x 15

t2 7t+ 12

y2 8y 33

x2 + 25x+ 100

x2 + 2x 35

t2 22t+ 21

y2 70y 144

Solucion de los problemas







Ejercicios de Practica (Polinomio No Monico)



8x2 53x 21

7x2 + 10x 8

3x2 4x+ 2

6x2 + 7x 20

12x2 x 6

12x2 29x+ 15

21x2 + 41x+ 10

4x2 20x+ 25

Respuestas a los problemas







Post-prueba



1 x2 + 3x+ 2

2 x2 10x+ 163 x2 + 9x 364 x2 2x 85 x2 + 3x+ 2

6 2y3 + 12y2 + 18y

7 10x2 + 11x+ 3

8 7w2 + 20w 39 6 x 15x2

10 33x2 39xy + 6y2

11 24t4 246t3 63t2

12 (x+ 3)2 + 3(x+ 3) 4 Solucion de la Post-prueba






Solucion de la Pre-pruebaSolucion problemas de practica

Solucion de la Pre-prueba


(1) x2 + 3x+ 2 = (x+ 2)(x+ 1)

(2) x2 10x+ 16 = (x 8)(x 2)(3) x2 + 9x 36 = (x+ 12)(x 3)(4) x2 2x 8 = (x 4)(x+ 2)(5) x2 20x+ 100 = (x 10)(x 10) = (x 10)2(6) 2y3 + 12y2 + 18y = 2y(y + 3)(y + 3) = 2y(y + 3)2

(7) 10x2 + 11x+ 3 = (2x+ 1)(5x+ 3)

(8) 7w2 + 20w 3 = (w + 3)(7w 1)(9) 6 x 15x2 = (3 5x)(2 + 3x)

(10) 33x2 39xy + 6y2 = (11x 2y)(3x 3y) = 3(11x 2y)(x y)(11) 24t4 246t3 63t2 = 3t2(4t+ 1)(2t 21)(12) (x+ 3)2 + 3(x+ 3) 4 = ((x+ 3) + 4) ((x+ 3) 1) = (x+ 7)(x+ 2) Regresar a la Pre-prueba







Solucion de la Pre-prueba


(1) x2 + 3x+ 2 = (x+ 2)(x+ 1)


(7) 10x2 + 11x+ 3 = (2x+ 1)(5x+ 3)

(8) 7w2 + 20w 3 = (w + 3)(7w 1)(9) 6 x 15x2 = (3 5x)(2 + 3x)

(10) 33x2 39xy + 6y2 = (11x 2y)(3x 3y) = 3(11x 2y)(x y)(11) 24t4 246t3 63t2 = 3t2(4t+ 1)(2t 21)(12) (x+ 3)2 + 3(x+ 3) 4 = ((x+ 3) + 4) ((x+ 3) 1) = (x+ 7)(x+ 2) Regresar a la Pre-prueba







Solucion Ejercicios de Practica



x2 + 7x+ 6 6 1 (x+ 6)(x+ 1)

x2 + 2x 15 5 3 (x+ 5)(x 3)

t2 7t+ 12 4 3 (t 4)(t 3)

y2 8y 33 11 3 (y 11)(y + 3)

x2 + 25x+ 100 20 5 (x+ 20)(x+ 5)

x2 + 2x 35 7 5 (x+ 7)(x 5)

t2 22t+ 21 21 1 (t 21)(t 1)

y2 70y 144 72 2 (y 72)(y + 2)

Regresar a los problemas de practica







Solucion de los ejercicios de practica


Polinomio m n t w mn tw mt+ nw (mx+ t)(nx+ w)

8x2 53x 21 8 1 3 -7 8 -21 -53 (8x+ 3)(x 7)

7x2 + 10x 8 7 1 -4 2 7 -8 10 (7x 4)(x+ 2)

3x2 4x+ 2 Irreducible

6x2 + 7x 20 3 2 -4 5 6 -20 7 (3x 4)(2x+ 5)

12x2 x 6 3 4 2 -3 12 -6 -1 (3x+ 2)(4x 3)

12x2 29x+ 15 3 4 -5 -3 12 15 -29 (3x 5)(4x 3)

21x2 + 41x+ 10 3 7 5 2 21 10 41 (3x+ 5)(7x+ 2)

4x2 20x+ 25 2 2 -5 -5 4 25 -20 (2x 5)(2x 5)

Regresar a los problemas







Solucion de la Post-Prueba


(1) x2 + 3x+ 2 = (x+ 2)(x+ 1)


(7) 10x2 + 11x+ 3 = (2x+ 1)(5x+ 3)

(8) 7w2 + 20w 3 = (w + 3)(7w 1)(9) 6 x 15x2 = (3 5x)(2 + 3x)

(10) 33x2 39xy + 6y2 = (11x 2y)(3x 3y) = 3(11x 2y)(x y)(11) 24t4 246t3 63t2 = 3t2(4t+ 1)(2t 21)(12) (x+ 3)2 + 3(x+ 3) 4 = ((x+ 3) + 4) ((x+ 3) 1) = (x+ 7)(x+ 2) Regresar a la Post-prueba







Solucion de la Post-Prueba


(1) x2 + 3x+ 2 = (x+ 2)(x+ 1)


(7) 10x2 + 11x+ 3 = (2x+ 1)(5x+ 3)

(8) 7w2 + 20w 3 = (w + 3)(7w 1)(9) 6 x 15x2 = (3 5x)(2 + 3x)

(10) 33x2 39xy + 6y2 = (11x 2y)(3x 3y) = 3(11x 2y)(x y)(11) 24t4 246t3 63t2 = 3t2(4t+ 1)(2t 21)(12) (x+ 3)2 + 3(x+ 3) 4 = ((x+ 3) + 4) ((x+ 3) 1) = (x+ 7)(x+ 2) Regresar a la Post-prueba


Tabla de Contenido, objetivos y PrepruebaInstrucciones para utilizar el mduloTabla de ContenidoObjetivos InstruccionalesPreprueba

Factorizacin de Trinomios Mnicos cuadrticosIntroduccin a la factorizacin de polinomios de la forma ax2+bx+cForma x2+bx+cForma x2+bx-cForma x2-bx+cForma x2-bx-c

Factorizacin de Trinomios No MnicosForma ax2-bx+c, (a>0)

Ejercicios de prctica y Post-pruebaEjercicios de Prctica (Polinomios Mnicos)Ejercicios de Prctica (Polinomio No Mnico)Post-prueba

Solucin de la Pre y Post-prueba, Solucin problemas de prcticaSolucin de la Pre-pruebaSolucin problemas de prctica

factorizaci´on de polinomios con coeﬁcientes...

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