Universidad Nacional Andrés BelloFacultad de Economía y Negocios

Microeconomía AvanzadaProf: C. Belmar

Guía Resumen de Cálculo

Ayudante: Mauricio Vargas

2 de septiembre de 2013

Nota: Recomiendo leer esta guía junto con cualquier texto de Cálculo (Piskunov, Apostol, Stewart, Larsson,etc.) en caso de que existan muchas dudas.

1. Funciones de una variable

Intuituivamente (y también de manera imprecisa), una función y = f (x) se re�ere a una “regla” de trasforma-ción. Una función corresponde a una relación entre un conjunto X (dominio) y un conjunto Y (imagen) que acada elemento de X, en caso de haber una asociación, asigna un único elemento de Y a un elemento de X. Sedenota

f ∶ X → Yx ↦ f (x)

Se hace la distinción de función inyectiva o sobreyectiva. Inyectividad se re�ere a que dos elementos del dominiono tienen la misma imagen. Sobreyectividad se re�ere a que todos los elementos del dominio tienen imagen.No hay que confundir la inyectividad con la diferencia de función o no función. Para �jar ideas, si trazamosuna recta vertical al grá�co de una función y efectivamente la recta y el grá�co de la función se intersectan enun único punto, entonces efectivamente se trata de una función. Por otra parte, si se traza una recta horizontalal grá�co de una función y esta intersecta al grá�co de la función en dos o más puntos, entonces la aplicaciónno es inyectiva.

x

f (x)

x0x

y0

f (x)

Figura 1: Un caso que no es función y otro que si lo es.

1

2. Valor absoluto

De�nición 1. Para todo número x ∈ R, el valor absoluto de x es la distancia desde x a 0 y se denota ∣x∣. Comofunción corresponde a

∣x∣ =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x si x > 00 si x = 0-x si x < 0

por lo tanto, si k es un número real, tenemos

∣x − k∣ =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x − k si x > k0 si x = kk − x si x < k

∣x − k∣ es la distancia de x a k.

Dos equivalencias que involucra el valor absoluto son

∣x − k∣ < δ ⇔ − δ < x − k < δ ⇔ k − δ < x < k + δ

en palabras: “x es menor que δ veces k si y sólo si la diferencia x − k está comprendida entre −δ y δ si y sólo six está en el intervalo (k − δ, k + δ)”.Tarea. Realizar un dibujo que represente claramente esta idea.

3. Intervalos abiertos y cerrados

De�nición 2. Un intervalo abierto de centro x0 ∈ R y radio r > 0 se de�ne como

A = {x ∈ R ∶ ∣x − x0∣ < r}

mientras que un intervalo cerrado de centro x0 ∈ R y radio r > 0 se de�ne como

B = {x ∈ R ∶ ∣x − x0∣ ≤ r}

Nótese que si x pertenece a un intervalo abierto se tendrá que

r − x0 < x < r + x0

mientras que si x pertenece a un intervalo cerrado se tendrá que

r − x0 ≤ x ≤ x + x0

De manera alternativa A = (r − x0, r + x0) y B = [r − x0, r + x0].

2

4. Sucesiones

De�nición 3. (Sucesión) Una sucesión en R es una función (cuyos términos no están todos de�nidos)

N → En ↦ xn

y se anota usualmente como {xn}n∈N. Una sucesión {xn}n∈N converge a x si

∀ε > 0, ∃n ∈ N tal que ∣xn − x∣ < ε, ∀n ≥ N

Ejemplo 1. Son sucesiones:

{xn}n∈N = 1, n ∈ N{xn}n∈N = (−1)n , n ∈ N

{xn}n∈N = 1n, n ∈ N

{xn}n∈N = n2, n ∈ N

{xn}n∈N = 1 + (−1)nn, n ∈ N

pero {xn}n∈N =√

(−1)n no es una sucesión ya que no tiene una cantidad �nita de términos que no estánde�nidos.

De�nición 4. La sucesión {xn}n∈N se dirá acotada (superior o inferiormente), si su recorrido es acotado, esdecir, si el conjunto de los xn es acotado.

Nota 1. En el ejemplo anterior, excepto para {xn}n∈N = n2, se tiene que todas las sucesiones son acotadas. Másaún, (−1)n es una sucesión acotada superior e inferiormente.

De�nición 5. (Convergencia) Sea {xn}n∈N una sucesión con valores en R y ℓ ∈ R. Diremos que {xn}n∈Nconverge a ℓ o bien que los términos de {xn}n∈N tienden a ℓ (se denota xn → ℓ) si se cumple que

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0) xn ∈ [ℓ − ε, ℓ + ε]

o equivalentemente(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0) ℓ − ε ≤ xn ≤ ℓ + ε

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0) ∣xn − ℓ∣ ≤ ε

donde ∣xn − ℓ∣ es la distancia entre xn y ℓ, entonces xn → ℓ es equivalente a decir que a partir de cierto n0 ladistancia entre xn y ℓ es menor o igual que ε. Como esto último debe cumplirse para todo ε, se concluye quecuando xn → ℓ, la distancia entre xn y ℓ puede tomar un valor arbitrariamente pequeño.

De�nición 6. La sucesión {xn}n∈N se dice que tiene límite o que converge a ℓ ∈ R, �nito, si para todo n ≈∞se tiene xn ≈ ℓ. Alternativamente, {xn}n≤m , m ≈∞ se dice que tiene límite o que converge a ℓ ∈ R, �nito, sipara todo n ≈∞, n ≤ m se tiene que xn ≈ ℓ. En caso contrario, se dice que la sucesión diverge.

Notación: xn → ℓ si n →∞, dada una sucesión convergente {xn}n∈N, se escribe

lımn→∞ xn = ℓ

3

Nota 2. En caso de que la sucesión tenga límite (no necesariamente una sucesión tiene límite), este límite esúnico. En el ejemplo anterior las sucesiones (−1)n y n2 no convergen mientras que la sucesión 1 converge a 1(obvio), 1/n converge a 0 y 1 + (−1)

n

n converge a 1.

Proposición 1. El límite de una sucesión, cuando existe, es único.

Demostración. Supongamos que {xn}n∈N → α y también {xn}n∈N → β, se tendrá que

{xn}n∈N → α ⇔ ε > 0 ∃n1 ∈ N ∶ ∀n ≥ n1, ∣xn − α∣ ≤ ε2

{xn}n∈N → β ⇔ ε > 0 ∃n1 ∈ N ∶ ∀n ≥ n1, ∣xn − β∣ ≤ ε2

y entonces∀n > n0 = max{n1, n2} ∣xn − α∣ ≤ ε

2, ∣xn − β∣ ≤ ε

2Además, si tomamos la de�nición de desigualdad triangular

∣x + y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y∣

tenemos que∣α − β∣ = ∣α − xn + xn − β∣ ≤ ∣xn − α∣ + ∣xn − β∣ ≤ ε

y se concluye que, dado un valor arbitrario de ε tan pequeño como se desee, α = β ∎

Teorema 1. Sean {an}n∈N, {bn}n∈N y {cn}n∈N sucesiones tales que

1. an ≤ bn ≤ cn, para n ∈ N con n ≥ m, para m �nito.

2. {an}n∈N y {bn}n∈N convergen a ℓ.

Entonces {bn}n∈N también converge a ℓ.

Demostración. Si tomamos n ≈∞ se tendrá que an ≈ ℓ ≈ cn. Entonces bn ≈ ℓ. ∎

Proposición 2. (álgebra de sucesiones) Sean {an}n∈N y {bn}n∈N sucesiones tales que an → a y bn → b.Entonces:

1. an + bn → a + b

2. Dado λ ∈ R, λan → λa

3. anbn → ab

4. Dado bn ≠ 0, anbn →ab

5. Si an ≤ bn, entonces a ≤ b

De�nición 7. la sucesión {xn}n∈N se dirá:

1. (Estrictamente) creciente si xn ≤ xn+1 (xn < xn+1)

2. (Estrictamente) decreciente si xn ≥ xn+1 (xn > xn+1)

4

3. (Estrictamente) monotona si es (estrictamente) creciente o decreciente.

De�nición 8. (Subsucesión) Sea {xn}n∈N una sucesión en (R. Consideremos una función f ∶ N → Nestrictamente creciente, es decir, n < m ⇒ f (n) < f (m). Entonces, la nueva sucesión {x f (k)}k∈N se llamasubsucesión de {xn}. A menudo se anota nk = f (k) y así la subsucesión se anota como {xnk}k∈N.

Ejemplo 2. Las sucesiones siguientes:

{(− 12)2n}n∈N

, {(− 12)2n+1

}n∈N

y {(− 12)8n+7

}n∈N,

son subsucesiones de {(− 12)n}n∈N

Teorema 2. Sea {xn}n∈N una sucesión en un espacio normado. Entonces {xn}n∈N converge a x si y sólo sitoda subsucesión {xnk}k∈N de {xn}n∈N converge a x

Demostración. linea en blanco(⇐): Directo pues {xn}n∈N es una subsucesión de si misma.(⇒): {xn}n∈N converge a x, entonces ∀ε > 0 ∃N ∈ N tal que

∣xn − x∣ < ε ∀n ≥ N

Sea {xnk}k∈N una subsucesión de {xn}n∈N entonces ∃k ∈ N tal que

n1 < n2 < . . . < nk < nk+1 < nk+2 < . . . < nk+m

Entonces∣xnk − x∣ < ε ∀k ≥ K

Por lo tanto {xnk}k∈N converge a x. ∎

5. Límite

De�nición 9. (De�nición Informal de Límite) Si f es una función de�nida para todos los valores de x cercanosa x = k, sin que necesariamente f (k) esté de�nida, y si ℓ es un número real tal que los valores de f se acercansucesivamente a ℓ en la medida que los valores de x sean más cercanos a k, entonces decimos que ℓ es el límitede f cuando x se aproxima a k y escribimos

lımx→k

f (x) = ℓ

Cuando decimos que los valores de f se acercan cada vez más a ℓ en la medida que los valores de x sean máscercanos a k, estamos dando una idea intuitiva. Necesitamos precisar qué es lo que quiere decir esta frase. Sidos cantidades se van acercando entre si, entonces la distancia entre ellas será cada vez más pequeña. Esto es,la distancia puede tomar un valor tan pequeño como se desee y más pequeño que cualquier número positivoespeci�cado.Si tomamos x cada vez más cercano a k tendremos que f (x) tendrá un valor cada vez más cercano a ℓ. Másadelante veremos que al escribir una demostración, buscamos que al tomar x su�cientemente cercano a k,hacemos que f (x) tome un valor arbitrariamente cercano a ℓ. Sin embargo, necesitamos precisar cuán cercanoa k es su�cientemente cerca, esto signi�ca que necesitamos encontrar un valor para δ.Teniendo estas ideas en mente podemos dar la de�nición precisa.

5

De�nición 10. (De�nición Formal de Límite) Sean x y k dos números reales y f una función de�nida en unintervalo abierto que contiene a k, aunque no necesariamente de�nida para x = k. Si para cualquier númeropositivo ε > 0, existe un número positivo δ > 0 (que depende de ε) tal que

0 < ∣x − k∣ < δ ⇒ ∣ f (x) − k∣ < ε

entonces decimos que ℓ es el límite de f cuando x se aproxima a k y escribimos

lımx→k

f (x) = ℓ

Ejemplo 3. Calcular los siguientes límites:

1. lımn→∞ nn+1

2. lımn→∞ n−1n+1

3. lımn→∞ n2+1n3+3n2−2

Solución

lımn→∞

nn + 1 = lımn→∞

11 + 1

n= 1

lımn→∞

n − 1n + 1 = lımn→∞

1 − 1n

1 + 1n= 1

lımn→∞

n2 + 1n3 + 3n2 − 2 = lımn→∞

1n +

1n3

1 + 3n −

2n3

= 0

Ejemplo 4. Demostrar que lımx→2(3x − 5) = 1.

Demostración. Sea ε > 0 y de�namos δ = ε/3. Entonces si 0 < ∣x − 2∣ < δ, tenemos

∣(3x − 5) − 1∣ = ∣3x − 6∣= 3∣x − 2∣

< 3 ⋅ ε3

= ε

Por lo tanto,0 < ∣x − 2∣ < δ ⇒ ∣(3x − 5) − 1∣ < ε

entonces por de�niciónlımx→2(3x − 5) = 1

∎

Ejemplo 5. Demostrar que lımx→4(7x − 1) = 27.

6

Demostración. Sea ε > 0 y de�namos δ = ε/7. Entonces si 0 < ∣x − 4∣ < δ, tenemos

∣(7x − 1) − 27∣ = ∣7x − 28∣= 7∣x − 4∣

< 7 ⋅ ε7

= ε

Por lo tanto,0 < ∣x − 4∣ < δ ⇒ ∣(7x − 1) − 27∣ < ε

entonces por de�niciónlımx→4(7x − 1) = 27

∎Hasta ahora no hemos respondido cómo se pueden elegir los valores de δ. Analizaremos esto a continuación:Para el Ejemplo 1. deseamos que ∣(3x − 5) − 1∣ < ε cuando 0 < ∣x − 2∣ < δ. Resolviendo para ∣x − 2∣

∣(3x − 5) − 1∣ < ε ⇔ ∣3x − 6∣ < ε ⇔ 3∣x − 2∣ < ε ⇔ ∣x − 2∣ < ε3

la ultima desigualdad muestra que debemos tomar δ = ε/3 dado que cada paso para llegar a ∣x − 2∣ es reversible.Para el Ejemplo 2. deseamos que ∣(7x − 1) − 27∣ < ε cuando 0 < ∣x − 4∣ < δ. Resolviendo para ∣x − 7∣

∣(7x − 1) − 27∣ < ε ⇔ ∣7x − 28∣ < ε ⇔ 7∣x − 4∣ < ε ⇔ ∣x − 7∣ < ε7

la ultima desigualdad muestra que debemos tomar δ = ε/7 dado que cada paso para llegar a ∣x − 4∣ es reversible.Nota 3. En caso de que la función f sobre la cual estamos trabajando sea un polinomio de grado n > 1, esnecesario restringir el valor de x para acotar cualquier término extraño que pueda aparecer en las desigualdades.Restringir x es equivalente a mantener su valor a una cierta distancia de k, lo que es equivalente a elegir unvalor para δ.

Ejemplo 6. Demostrar que lımx→5 x2 = 25

Demostración. Sea ε > 0 y de�namos δ = mın{1, ε/11}. Entonces si 0 < ∣x − 5∣ < δ, tenemos

∣x2 − 25∣ = ∣x + 5∣∣x − 5∣= 11∣x − 5∣

< 11 ⋅ ε11

= ε

Por lo tanto,0 < ∣x − 5∣ < δ ⇒ ∣x2 − 25∣ < ε

entonces por de�niciónlımx→5 x

2 = 25

∎

7

Si queremos una explicación más detallada, lo que deseamos es que ∣x2 − 25∣ < ε cuando 0 < ∣x − 5∣ < δ.Resolviendo para ∣x − 5∣

∣x2 − 25∣ < ε ⇔ ∣x − 5∣∣x + 5∣ < ε ⇔ ∣x − 5∣ < ε∣x + 5∣

este caso di�ere de los ejemplos anteriores. En este caso δ no sólo depende de ε sino que también depende dex. Una forma de resolver este inconveniente es es reemplazar ∣x + 5∣ por un valor que cumpla ∣x + 5∣ ≤ µ. Seobtiene

∣x2 − 25∣ < ε ⇔ ∣x − 5∣∣x + 5∣ < ε ⇔ ∣x − 5∣ < εµ

y ahora se puede tomar δ = ε/µ. Sin embargo, µ no puede tomar cualquier valor real pero lo que nos interesason los valores de x cercanos a k = 5. Independientemente de cuán cercano sean x y k, lo que nos interesa esacotar ∣x + 5∣ restringiendo x cercano a 5. Por ejemplo, si deseamos que 0 < ∣x + 5∣ < 1 tendremos que δ = 1,entonces

∣x − 5∣ < 1 ⇔ − 1 < x − 5 < 1 ⇔ 9 < x + 5 < 11y podemos tomar µ = 11 y δ = ε/11. También necesitamos que ∣x − 5∣ < 1 tal que si de�nimos

δ = mın{1, ε11}

, entonces0 < ∣x − 5∣ < δ ⇒ ∣x − 5∣ < 1, ∣x − 5∣ < ε

11Ejemplo 7. Demostrar que lımx→3 1

x+1 =14

Demostración. Sea ε > 0 y de�namos δ = mın{1, 12ε}. Entonces si 0 < ∣x − 3∣ < δ, tenemos

∣ 1x + 1 −

14∣ = ∣4 − x − 1

4(x + 1) ∣

= ∣x − 3∣4∣x + 1∣

< 13⋅ ∣x − 3∣4

< 112⋅ 12ε

= ε

Por lo tanto,0 < ∣x − 3∣ < δ ⇒ ∣ 1

x + 1 −14∣ < ε

entonces por de�nición

lımx→3

1x + 1 =

14

∎Si queremos una explicación más detallada, lo que deseamos es que ∣1/(x + 1) − 4∣ < ε cuando 0 < ∣x − 3∣ < δ.Resolviendo para ∣x − 3∣

∣ 1x + 1 −

14∣ < ε ⇔ ∣4 − x − 1

4(x + 1) ∣ < ε ⇔ ∣ 3 − x4(x + 1)∣ < ε ⇔ ∣x − 3∣

∣x + 1∣ < 4ε

8

En este caso δ no sólo depende de ε sino que también depende de x. Una forma de resolver este inconvenientees es reemplazar 1/∣x + 1∣ por un valor que cumpla

1∣x + 1∣ ≤ µ

Se puede tomar δ = 4ε/µ. Sin embargo, µ no puede tomar cualquier valor real pero lo que nos interesa son losvalores de x cercanos a k = 3. Independientemente de cuán cercano sean x y k, lo que nos interesa es acotar1/∣x + 1∣ restringiendo x cercano a 3. Por ejemplo, si deseamos que 0 < ∣x − 3∣ < 1 tendremos que δ = 1, entonces

∣x − 3∣ < 1 ⇔ − 1 < x − 3 < 1 ⇔ 3 < x + 1 < 5 ⇔ 1∣x + 1∣ <

13

y podemos tomar µ = 1/3 y δ = mın{1, 12ε}. También necesitamos que ∣x − 3∣ < 1 tal que si de�nimosδ = mın{1, 12ε}, entonces

0 < ∣x − 3∣ < δ ⇒ ∣x − 3∣ < 1, ∣x − 3∣ < 12ε

El último límite que veremos es de suma importancia en todo lo que sigue, se trata de

lımx→∞(1 + 1

x)x

Proposición 3. La sucesión

{xn}n∈N =n∑k=0

1k!

es tal que su límite está dado por

lımn→∞

n∑k=0

1k!

=∞∑k=0

1k!

= e

donde e toma el valor 2, 718282 . . .

Demostración. No es difícil veri�car que la sucesión es creciente ya que xn ≤ xn+1, ∀n ∈ N. Luego,

xn = 1 + 1 +12+ 13!+ 14!+ . . . + 1

n!

≤ 1 + 1 + 12+ 122+ . . . + 1

2n−1

= 1 +1 − 1

2n12

= 1 + 2 −1 − 1

2n

2n−1

= 3 − 12n−1

< 3

entonces la sucesión {xn}n∈N es creciente y acotada, por lo tanto converge. ∎Nos falta saber cuán menor a 3 es el valor al cual la sucesión converge. Para distintos valores de n obtenemos

9

n xn100 2101 2,59374246102 2,704813829103 2,716923932104 2,718145927105 2,718268237106 2,718280469107 2,718281694108 2,718281786109 2,7182820311010 2,718282053

Proposición 4.

lımn→∞(1 + 1

n)n= e

Demostración.

(1 + 1n)n= 1 + n ⋅ 1

n+ n(n − 1)

2⋅ 1n2

+ . . . + n(n − 1)(n − 2) ⋅ . . . ⋅ 1n!

⋅ 1nn

= 1 + 1 + 12⋅ (1 − 1

n) + . . . + 1

n!⋅ (1 − 1

n)(1 − 2

n) ⋅ . . . ⋅ 1

n

≤ 1 + 1 + 12+ . . . + 1

n!

=n∑k=0

1k!

< 3

∎

Proposición 5. (álgebra de límites)

1. lımn→n0(an + bn) = lımn→n0 an + lımn→n0 bn

2. Dado λ ∈ R, lımn→n0 λan = λ lımn→n0 an

3. lımn→n0 anbn = lımn→n0 an ⋅ lımn→n0 bn

4. Dado bn ≠ 0, lımn→n0anbn →

lımn→n0 anlımn→n0 bn

Tarea. Demostrar que

lımx→0

ex − 1x

= lımx→0ln(1 + x)

x= 1

teniendo en cuenta que

lımx→∞(1 + 1

x)x= e

10

6. Continuidad

De�nición 11. (Continuidad en un punto) Sea f ∶ D ⊂ R→ R diremos que f es continua en x0 si para todox ∈ D con x ≈ x0 se tiene que f (x) ≈ f (x0). Alternativamente, En x0 una función f ∶ D ⊂ R→ R es continuasi para todo ε > 0 ∃δ > 0 tal que para todo x ∈ dom( f ) se cumple que

0 < ∣x − x0∣ < δ ⇒ ∣ f (x) − f (x0)∣ < ε

lo cual signi�ca quelımx→x0x>x0

f (x) = lımx→x0x<x0

f (x) = f (x0)

x

f (x)

x0x

f (x)

x0

Figura 2: Caso discontinuo y caso continuo respectivamente.

La de�nición anterior nos dice que una función continua no presenta saltos en su grá�co.

Nota 4. f es continua si y sólo si esta de�nida en x0 y f (x)→ f (x0) si x → x0.

De�nición 12. Sean a, b �nitos con a ≠ b y tales que si x ∈ D con x ≈ x0 se tiene f (x) ≈ a, cuando x < x0 yf (x) = b, cuando x > x0. Entonces se dice que en x0 hay un salto �nito de f de tamaño ∣b − a∣.

Tenemos que en x0 hay un salto �nito de f de tamaño ∣b− a∣ si y sólo si f (x)→ a, cuando x → x−0 , y f (x)→ b,cuando x → x+0 .

f (x)

x0x

b

a

Figura 3: Caso de una discontinuidad (salto �nito).

Proposición 6. Sea f ∶ D ⊂ R → R. Diremos que f es continua en x0 si y sólo si f (x0) está de�nida y paratodo ε > 0 existe δ > 0 ta que ∣ f (x) − f (x0)∣ < ε, si x ∈ D con ∣x − x0∣ < δ

Proposición 7. (álgebra de funciones continuas) Si f y д son funciones continuas en x0 entonces también soncontinuas en x0

11

1. ( f + д)(x0)

2. ( f ⋅ д)(x0)

3. ( fд)(x0), д(x0) ≠ 0

4. ( f ○ д)(x0)

7. Derivadas

De�nición 13. La derivada de una función corresponde a la razón de cambio a lo largo de la “curva” quedescribe una función f (x). La notación es la siguiente

dydx

= f ′(x)

que es una razón instantánea de cambio, es decir

f ′(x0) = lımh→0

f (x0 + h) − f (x0)h

f (x)

x0 x1x

Figura 4: Idea geométrica de derivada.

si este límite queda bien de�nido cuando h → 0 independientemente de que si h > 0 o h < 0 se tiene que f esderivable en x0.

Es importante hacer énfasis en esta idea, en otras palabras estamos diciendo que una función f es derivable enx0 si existe a ∈ R tal que

lımh→0

f (x0 + h) − f (x0)h

= a

y más aún

lımh→0h>0

f (x0 + h) − f (x0)h

= a+

lımh→0h<0

f (x0 + h) − f (x0)h

= a−

de manera que a− = a+.

12

En caso de que los últimos dos límites sean distintos, se tendrá que la función f no es diferenciable en x0. Lasiguiente �gura nos da una idea geométrica de lo que ocurre.

f ′(x0)

f (x0)

f (x0 + h)

xx0 x0 + h

f (x) a−

xx0

f (x)

a+

Figura 5: Una función derivable y otra que no lo es en x0

Nota 5. Por de�nición, una función diferenciable es continua. No es correcto decir que una función continuaes siempre diferenciable.

f (x)

x0

f (x)

xx0

x

Figura 6: Una función diferenciable y otra que es continua no diferenciable.

La derivada, vista como otra función, puede cambiar de signo dependiendo de la pendiente que tome la funciónen determinados puntos. Por ejemplo, si tomamos el siguiente grá�co

13

f (x)

x

d f (x)

x

Figura 7: Idea geométrica de derivada.

En los puntos donde f (x) alcanza máximos o mínimos el valor de la derivada d f (x) es cero y en los grá�cosse observa que la derivada cambia de signo tras alcanzar un máximo o mínimo. Además observen que en lospuntos donde f (x) tiene valor cero, la función d f (x) alcanza un máximo o mínimo (¿Por qué?)Tarea. Analice detalladamente la relación entre la pendiente de la función f (x) y el signo de su derivada d f (x).Además realice el análisis a la inversa es decir, la relación entre la pendiente de la función f (x) y el signo de suderivada d f (x).

De�nición 14. Para las funciones de la forma f ∶ D ⊂ R → R la diferenciabilidad se tiene cuando la tasa decrecimiento es calculable mediante derivadas, es decir derivable es lo mismo que diferenciable en tal caso. Unafunción de variable real es diferenciable si existe

lımh→0

f (x0 + h) − f (x0)h

que implica

lımx→x0

∣ f (x0 + h) − f (x0) − f ′(x0)h∣∣h∣ = 0

de manera alternativa, podemos decir que f es diferenciable en x0 si y sólo si existe f ′(x0) ∈ R tal que

f (x0 + h) = f (x0) + f ′(x0)h + θ(h)

donde θ(h) = f (x0 + h) − f (x0) − f ′(x0)h que cumple

lımh→0

∣θ(h)∣∣h∣ = 0

Lo anterior da cuenta de que la función θ(h) en valor se acerca más rápido al valor 0 en comparación a lafunción f (h) = h. Esto último nos lleva nuevamente a la de�nición de derivada, ya que en caso de cumplirse

14

se obtiene

f (x0 + h) − f (x0) = f ′(x) ⋅ h + θ(h)f (x0 + h) − f (x0)

h= f ′(x) + θ(h)

h

y tomando límite con h → 0 se llega a la de�nición de derivada.

Ejemplo 8. Si C(x) es la función de costo de una empresa por producir x unidades de un producto. Alaumentar la producción de x0 a x1 el costo adicional es

∆C = C(x1) − C(x0)

y la tasa promedio del cambio del costo es

∆C∆x

= C(x1) − C(x0)x1 − x0

tomando ∆x = dx ≈ 0 se tiene la razón de cambio instantáneo del costo respecto a la cantidad producida, estoes el costo marginal. Supongamos que la función f es diferenciable, entonces

CMa(x) = C′(x) ≈ dCdx

tomando ∆x = 1 y n →∞, es razonable suponer que 1 es mucho más pequeño que n y por lo tanto

C′(n) ≈ C(n + 1) − C(n)1

= C(n + 1) − C(n)

en el caso en que asumimos ∆x = 1 se tiene que dC ≈ C′(n) entonces el costo marginal para producir nunidades es aproximadamente igual al costo para producir una unidad más (la unidad n + 1). En el caso en queel aumento es distinto de 1 unidad la expresión encontrada para el costo marginal nos dice que el cambio en elcosto está dado por

dC ≈ C′(x)dx

8. Cálculo de derivadas

Proposición 8. El cálculo de derivadas está dado por las siguientes propiedades:

1. f (x) = c⇒ f ′(x) = 0

2. f (x) = axb ⇒ f ′(x) = ab ⋅ xb−1, b ∈ R

f ′(x) = a ⋅ lımh→0

(x + h)n − xn

h

Primero veamos el caso b ∈ N. Si tomamos el Binomio de Newton

(x + h)b =b∑k=0

(bk)xb−khk

15

se obtiene

f ′(x) = a ⋅ lımh→0

(xb + bxb−1h + . . . + hb) − xb

h

= a ⋅⎛⎜⎜⎜⎜⎝lımh→0

bxb−1 + . . . + lımh→0

hb−1

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

= ab ⋅ xb−1

Para el caso b ∈ R

f ′(x) = a ⋅ lımh→0

eb ln(x+h) − eb ln(x)

h

= a ⋅ lımh→0

eb ln(x)(eb ln(1+h/x) − 1)h

= a ⋅ lımh→0

xb(eb ln(1+h/x) − 1)h

⋅ b ln(1 + h/x)b ln(1 + h/x) ⋅

xx

= a ⋅ lımh→0

bxb−1 ⋅ eb ln(1+h/x) − 1b ln(1 + h/x) ⋅ ln(1 + h/x)

h/x

= ab ⋅ xb−1 ⋅⎛⎜⎜⎜⎜⎝lımh→0

eb ln(1+h/x) − 1b ln(1 + h/x)

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶1

⋅ lımh→0ln(1 + h/x)

h/x´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

3. f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

f ′(x) = lımh→0

ex+h − ex

h

f ′(x) = lımh→0

ex(eh − 1)h

= ex ⋅ lımh→0

(eh − 1)h

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶1

16

4. f (x) = ln(x)⇒ f ′(x) = 1/x

f ′(x) = lımh→0ln(x + h) − ln(x)

h

= lımh→0ln ( x+h

h )h

= lımh→0ln (1 + h

x )h

= lımh→0

1x⋅ln (1 + h

x )h/x

= lımh→0

1x⋅ ln(1 + h

x)h/x

= 1x⋅ lımh→0ln(1 + h

x)h/x

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶1

5. f (x) = loga(x)⇒ f ′(x) = 1ln(a)⋅x

f ′(x) = lımh→0loga(x + h) − loga(x)

h

Si tomamos la fórmula de cambio de base

loga(x) =ln(x)ln(a)

bastará con aplicar que ln (a) es constante y la propiedad 4. permite concluir.

6. f (x) = ax ⇒ f ′(x) = ax ⋅ ln(a)

f ′(x) = lımh→0

ax+h − ax

h

= lımh→0

ax(ah − 1)h

= lımh→0

ax ⋅ eh ln(a) − 1

h

= lımh→0

ax ⋅ eh ln(a) − 1

h⋅ ln(a)ln(a)

= (ax ⋅ ln(a)) ⋅ lımh→0

eh ln(a) − 1h ln(a)

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶1

Además de las derivada de funciones tenemos algunas propiedades para las operaciones con funciones.

Proposición 9. (álgebra de Derivadas) Si f y д son dos funciones diferenciables entonces:

17

1. ( f ± д)′(x) = f ′(x) ± д′(x)

( f ± д)′(x) = ( f ± д)(x + h) − ( f ± д)(x)h

= lımh→0

f (x + h) − f (x)h

± lımh→0

д(x + h) − д(x)h

= f ′(x) ± д′(x)

2. (a f )′(x) = a f ′(x)

(a f )′(x) = lımh→0

(a f )(x + h) − (a f )(x)h

= lımh→0

a f (x + h) − a f (x)h

= a ⋅ lımh→0

f (x + h) − f (x)h

= a f ′(x)

3. ( f ⋅ д)′(x) = f ′(x) ⋅ д(x) + f (x) ⋅ д′(x)

( f ⋅ д)′(x) = lımh→0

( f ⋅ д)(x + h) − ( f ⋅ д)(x)h

= lımh→0

f (x + h)д(x + h) − f (x)д(x)h

= lımh→0

f (x + h)д(x + h) + f (x)д(x + h) − f (x)д(x + h) − f (x)д(x)h

= lımh→0

( f (x + h) − f (x)) ⋅ д(x + h) + f (x) ⋅ (д(x + h) − д(x))h

= д(x) ⋅ lımh→0

f (x + h) − f (x)h

+ f (x) ⋅ lımh→0

д(x + h) − д(x)h

= д(x) ⋅ f ′(x) + f (x) ⋅ д′(x)= f ′(x) ⋅ д(x) + f (x) ⋅ д′(x)

18

4. ( fд)′(x) = f ′(x) ⋅ д(x) − f (x) ⋅ д′(x)

[д(x)]2 (con д(x) ≠ 0)

( fд)′(x) = lım

h→0

( fд) (x + h) − ( f

д) (x)h

= lımh→0

f (x+h)д(x+h) −

f (x)д(x)

h

= 1[д(x)]2 ⋅ lımh→0

f (x + h) ⋅ д(x) − f (x) ⋅ д(x + h)h

= 1[д(x)]2 ⋅ lımh→0

f (x + h) ⋅ д(x) − f (x)д(x) + f (x)д(x) − f (x)д(x + h)h

= 1[д(x)]2 ⋅ lımh→0

( f (x + h) − f (x)) ⋅ д(x) − f (x) ⋅ (д(x + h) − д(x))h

= 1[д(x)]2 ⋅ ( lımh→0

( f (x + h) − f (x)) ⋅ д(x)h

− lımh→0

f (x) ⋅ (д(x + h) − д(x))h

)

= 1[д(x)]2 ⋅ ( f

′(x) ⋅ д(x) − f (x) ⋅ д′(x))

Proposición 10. (Regla de la cadena) Si f ∶ D ⊂ R→ R y д ∶ E ⊂ R→ R son funciones diferenciables en x0 ey0 = f (x0) respectivamente, entonces д○ f es diferenciable en x0 y se cumple que ( f ○д)′(x) = f ′(д(x))⋅д′(x).Por de�nición, si д ○ f es diferenciable

(д ○ f )(x + h) = (д ○ f )(x) + (д ○ f )′(x) ⋅ ( f (x + h) − f (x)) + θ( f (x + h) − f (x))д( f (x + h)) = д( f (x)) + д′( f (x)) ⋅ ( f (x + h) − f (x)) + θ( f (x + h) − f (x))

entonces,

д( f (x + h)) − д( f (x)) = д′( f (x)) ⋅ ( f (x + h) − f (x)) + θ( f (x + h) − f (x))д( f (x + h)) − д( f (x))

h= д′( f (x)) ⋅ f (x + h) − f (x)

h+ θ( f (x + h) − f (x))

hEn la medida que h → 0 se tendrá que

lımh→0

д( f (x + h)) − д( f (x))h

= lımh→0

д′( f (x)) ⋅ f (x + h) − f (x)h

+ lımh→0

θ( f (x + h) − f (x))h

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶0

lımh→0

д( f (x + h)) − д( f (x))h

= д′( f (x)) ⋅ lımh→0

f (x + h) − f (x)h

lımh→0

д( f (x + h)) − д( f (x))h

= д′( f (x)) ⋅ f ′(x)

9. Teoremas importantes

Teorema 3. (Teorema de Bolzano-Weierstrass en R)Sean [a, b] un intervalo cerrado y acotado y f ∶ [a, b] → R continua tal que f (a) y f (b) tienen signoscontrarios, entonces existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = 0.

19

Demostración. Sin pérdida de generalidad supongamos que f (a) < 0 y f (b) > 0. Escojamos c ∈ (a, b) y deesto se tienen tres casos

1. f (c) < 0 y nos restringimos al intervalo [a1, b1] con a1 = c y b1 = b.

2. f (c) = 0 en este caso concluye la demostración.

3. f (c) > 0 y nos restringimos al intervalo [a1, b1] con a1 = a y b1 = c.

Para los casos 1. y 3. consideremos intervalos [an , bn] ⊂ [an−1, bn−1] ⊂ . . . ⊂ [a, b] tal que f (an) < 0 yf (bn) > 0. Escojamos para cada intervalo un c que es punto medio y así cada intervalo es la mitad del anterior.De esta forma, bn − an = b−a

2n y para n →∞ se tendrá que an − bn → 0 y lımn→∞ an = lımn→∞ bn.Sea c = lımn→∞ an, por ser f continua

f (c) = f ( lımn→∞ an) = lımn→∞ f (an)

como f (an) < 0 tenemos que lımn→∞ f (an) ≤ 0.Análogamente si tomamos

f (c) = f ( lımn→∞ bn) = lımn→∞ f (bn)

como f (bn) < 0 tenemos que lımn→∞ f (an) ≥ 0. Se concluye entonces que f (c) = 0. ∎

Teorema 4. (Teorema del valor intermedio en R)Sean [a, b] un intervalo cerrado y acotado y f ∶ [a, b] → R continua. Si f (a) ≠ f (b), entonces dadok ∈ ( f (a), f (b)) existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = k.

Demostración. Sin pérdida de generalidad supongamos que f (a) < f (b). De�namos д(x) = f (x) − k yentonces д(a) = f (a)− k < 0 y д(b) = f (b)− k > 0. De acuerdo al teorema 3 existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = k.

∎

Teorema 5. Sean [a, b] un intervalo cerrado y acotado y f ∶ [a, b] → R continua y diferenciable en (a, b).Entonces, f tiene un máximo (o mínimo) en al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

Demostración.Haremos la demostración para el caso de máximos. La demostración para el caso de un mínimoes análoga y queda de tarea.Si f tiene al menos un máximo en c entonces

f (c + h) ≤ f (c) ∀h tal que c + h ∈ [a, b]

De esta forma, f (c + h) − f (c) ≤ 0.Tomando h > 0 se tiene que

f (c + h) − f (c)h

≤ 0⇒ f ′(c) ≤ 0 (*)

Tomando h < 0 se tiene que

f (c + h) − f (c)h

≥ 0⇒ f ′(c) ≥ 0 (**)

De (*) y (**) se concluye que f ′(c) = 0. ∎

20

Teorema 6. (Teorema de Rolle en R)Sean [a, b] cerrado y acotado y f ∶ [a, b] → R continua y diferenciable. Si f (a) = f (b), entonces existe almenos un c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

Demostración. Tenemos tres casos posibles:

1. Si f (c) < f (a) para algún c ∈ (a, b). Entonces, existe c ∈ (a, b) donde f alcanza su valor mínimo. Deacuerdo al teorema 5 f ′(c) = 0.

2. Si f (a) = f (c) ∀c ∈ (a, b). Entonces, por ser f constante, su derivada es nula en (a, b) y se cumple elteorema.

3. Si f (c) > f (a) para algún c ∈ (a, b). Entonces, existe c ∈ (a, b) donde f alcanza su valor máximo. Deacuerdo al teorema 5 f ′(c) = 0.

∎Nota 6. La interpretación geométrica del teorema es la siguiente: Si una función continua y derivable cruza dosveces una recta paralela al eje x, entonces existe entre los dos cruces consecutivos un punto donde la tangenteal grá�co de la función es paralela al eje x.

f (x)

x0x

f ′(x0) = 0

Figura 8: Teorema de Rolle.

Teorema 7. (Teorema del valor medio en R)Sean [a, b] un intervalo cerrado y acotado y f ∶ [a, b]→ R continua y derivable en (a, b). Entonces, existe unpunto c ∈ (a, b) tal que

f ′(c) = f (b) − f (a)b − a

Demostración. De�namosд(x) = f (x) − f (b) − f (a)

b − a(x − a)

se tiene que д es continua en [a, b] y derivable en (a, b).Observemos que

д(a) = f (a) д(b) = f (a)lo que implica д(a) = д(b) por lo tanto podemos aplicar el teorema 6. Entonces, existe c ∈ (a, b) tal queд′(x) = 0 y se tendrá que

f ′(c) = f (b) − f (a)b − a

∎

21

Nota 7. La interpretación geométrica del teorema es la siguiente: Si trazamos una secante que une dos puntosde una función continua y derivable, entonces existe un punto donde la tangente al grá�co de la función y lasecante ya de�nida son paralelas.

f (x)

x0x

f ′(x)

Figura 9: Teorema del valor medio.

10. Funciones cóncavas

Consideremos una función f (x) diferenciable. La primera derivada está dada por

f ′(x0) =f (x) − f (x0)

x − x0

reordenando esto obtenemosf (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0)

De acuerdo a esto, una función diferenciable es cóncava si dada una recta tangente l(x) a f (x) se tiene que

l(x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0)

y además la recta tangente indica que la función no toma valores mayores a los de la recta tangente, es decirl(x) ≥ f (x), lo cual geométricamente indica que la función es creciente a tasa decreciente por lo que f ′′(x) ≤ 0(si f ′′(x) < 0 entonces la función es estrictamente cóncava).Estos hechos nos llevan a que una función cóncava es tal que

f (x) ≤ f (x0) + f ′(x0)(x − x0)

geométricamente se tiene lo siguiente

x

y

x0 x1

l0

l1

Figura 10: Concavidad (curvatura)

22

Cuando f es diferenciable, en el caso de una variable basta con que f ′′(x) ≤ 0 para determinar que f escóncava y si f ′′(x) < 0 entonces f es estrictamente cóncava.

11. Funciones convexas

De manera contraria al concepto anterior, una función diferenciable es convexa si dada una recta tangentel(x) a f (x) se tiene que

l(x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0)y además la recta tangente indica que la función no toma valores menores a los de la recta tangente, es decirl(x) ≤ f (x), lo cual geométricamente indica que la función es creciente a tasa decreciente por lo que f ′′(x) ≥ 0(si f ′′(x) > 0 entonces la función es estrictamente cóncava).Estos hechos nos llevan a que una función cóncava es tal que

f (x) ≥ f (x0) + f ′(x0)(x − x0)

geométricamente se tiene lo siguiente

x

y

x0 x1

l0l1

Figura 11: Convexidad (curvatura)

Cuando f es diferenciable, en el caso de una variable basta con que f ′′(x) ≥ 0 para determinar que f esconvexa y si f ′′(x) > 0 entonces f es estrictamente convexa.

12. Comentarios �nales sobre derivadas

Momentáneamente tomaremos las funciones de dos variables f (x1, x2) = z. Ya conocemos las reglas dederivadas para funciones de una variable y veámos como estas se pueden aplicar al caso de 2 variables (sepodria extender fácilemente a n variables pero de momento no tiene utilidad)Volviendo al ejemplo (8) tenemos que el cambio en el costo está dado por

dC = ddx

C ⋅ dx = C′(x)dx

La magnitud de cambio dC corresponde al diferencial de la función de costo y la de�nición de diferencial sepuede extender a funciones de n variables pero nos quedaremos con el caso n = 2.Sea f ∶ A ⊆ R2 → R y x = (x1, x2) ∈ R2. Para j = {1, 2} �jo, de�nimos la función:

f ∶ R → R

h ↦ f (x + he j)

23

donde e j corresponde al vector (1, 0) si j = 1 y (0, 1) si j = 2. Notemos que x + he j = (x1 + h, x2) si j = 1. A estafunción, siendo deR enR, le podemos aplicar la diferenciabilidad que ya hemos visto. Si j = 1, la variable x2 semantiene �ja.

De�nición 15. Llamaremos derivada parcial de f con respecto a x j en x ∈ R2 a

∂ f∂x j

(x) = lımh→0

f (x + he j) − f (x)h

si dicho límite existe. Cuando la derivada parcial de f con respecto a x j existe en todo punto de A, entoncesella de�ne una función

∂ f∂x j

∶ A ⊆ Rn → R

Nota 8. Notemos que, como una derivada parcial es una derivada de una función de R en R, uno puede usartodas las reglas de derivación ya vistas.

Ejemplo 9. Calcular la derivada parcial de la función f con respecto a x1 para f (x1, x2) = x1x2√x21 +x22

.

SoluciónPara esto notamos que si (x1, x2) ≠ (0, 0) entonces

∂ f∂x1

= x32√x21 + x22

Si definimos f (0, 0) = 0 entonces podemos calcular también la derivada parcial de f con respecto a x1 en(0, 0). Aquí usamos la definición

∂ f∂x1

(0, 0) = lımh→0

f (h, 0) − f (0, 0)h

= lımh→00h= 0

De�nición 16. (Diferencial) Sea

f ∶ R2 → R(x1, x2)↦ z

donde z es un valor real, tenemos que el diferencial de la función esta dado por

d f = ∂ f∂x1

dx1 +∂ f∂x2

dx2

Ejemplo 10. (Teoria del consumidor) Si la función de utilidad es U(x1, x2) = x1/21 x1/22 , entonces el diferencialde la función corresponde a

dU = 12x−1/21 x1/22 dx1 +

12x1/21 x−1/22 dx2

En términos más generales, si las derivadas parciales de una función U(x1, x2) cualquiera existen, entonces sudiferencial esta dado por

dU = ∂U∂x1

dx1 +∂U∂x2

dx2

24

si nos mantenemos en la misma curva de indiferencia (combinación de valores que generan el mismo nivel deutilidad) se tendra que dU = 0 entonces

0 = ∂U∂x1

dx1 +∂U∂x2

dx2 (*)

La restricción de consumo dependerá del nivel de ingreso. Cuando se gasta todo el ingreso en consumir x1 y x2,sin posibilidades de contraer deudas, se tendrá que I = p1x1 + p2x2. Si gra�camos todas las combinaciones quese pueden adquirir gastando todo el ingreso se obtiene una recta y si nos mantenemos en dicha recta cambianlas combinaciones de x1 y x2 pero no el valor de I, entonces

dI = 0 = p1dx1 + p2dx2 (**)

Asumiendo que x2 ≠ 0 de la ecuacion (**) tenemos

dx2dx1

= − p1p2

Reordenando (*) y como la derivada parcial corresponde a la utilidad marginal se tiene

Umд(x2)Umд(x1)

= −dx2dx1

Si combinamos estos dos resultados llegamos a

Umд(x2)Umд(x1)

= p1p2

⇒ Umд(x1) ⋅ p1 = Umд(x2) ⋅ p2

que en palabras corresponde a: “la utilidad marginal del último peso gastado en el bien uno, en el óptimo, esigual a la utilidad marginal del último peso gastado en el bien dos”.

De�nición 17. (Polinomio de Taylor) Sea f ∶ R→ R una función diferenciable con segunda derivada tambiéndiferenciable. Tenemos que el polinomio de Taylor de grado uno de f en x0 corresponde a

p(x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0)

mientras que el de grado dos corresponde a

p(x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + f ′′(x0)(x − x0)2

Esta de�nición nos sirve para dar un pocomás de justi�cación sobre las elasticidades. Sabemos que la elasticidadmide la variación porcentual como se ha visto en el curso.

Ejemplo 11. (Elasticidades) Digamos que las variables x1 y x2 son unidimensionales y que además se puedeescribir x2 en términos de x1, es decir, x2 = f (x1). Sobre esto se tiene que la elasticidad de x2 respecto de x1 es

εx2 ,x1 =∂x2∂x1

⋅ x1x2

que se interpreta como la variación porcentual en x2 cuando x1 aumenta en un 1%.

25

Si queremos determinar la diferencia en los valores de la función f cuando esta aumenta en un 1% tenemosf (1, 01x1) − f (x1), para determinar la variación porcentual tenemos

f (1, 01x1) − f (x1)f (x1)

⋅ 100

Si f es diferenciable, podemos aplicar el polinomio de Taylor de grado uno y tomar x0 = 0 para obtener

f (1, 01x1) − f (x1)f (x1)

⋅ 100 ≈ 0, 01x1∂ f (x1)∂x1

f (x1)⋅ 100

Como f (x1) = x2 tenemos quef (1, 01x1) − f (x1)

f (x1)⋅ 100 ≈ ∂x2

∂x1⋅ x1x2

También se tiene que la elasticidad puede expresarse

εx2 ,x1 =d ln(x2)d ln(x1)

Para probar esto de�namos x2 = f (x1) y entonces ln(x2) = ln( f (x1)). De�namos además д(x1) = ln( f (x1)).Se cumplirá que

ln(x2) = д(ln(x1))

y por lo tanto

д′(x1) =1

f (ex) f′(ex)ex

luego

д′(ln(x1)) =1

f (x1)f ′(x1)x

= dx2dx1

⋅ xy

= εx2 ,x1

13. Optimización en una variable

De�nición 18. Consideremos una función f ∶ D ⊂ R→ R diferenciable (y por ende, continua). Diremos que ftiene unmáximo local en x0 si f (x0) ≥ f (x) para valores comprendidos en un intervalo (x − ε, x + ε). Diremosque f tiene unmínimo local en x0 si f (x0) ≤ f (x) para valores comprendidos en un intervalo (x − ε, x + ε).

El caso que nos interesa es el de máximos y mínimos globales, es decir los casos en que en torno a x0 se tieneque f (x0) > f (x) para un máximo local y f (x0) < f (x) para un mínimo local. Este es el caso que vamos atrabajar para poder utilizar convenientemente los criterios de convexidad y concavidad de la sección anterior.Para �jar ideas, pensemos en una función f ∶ [0, 1] → [0, 1] que, independiente de su forma funcional, sugrá�co es el siguiente:

26

00

1

1x1 x3 x4 x6 00

1

1x2 x5 x7

Figura 12: Caso en que hay varios máximos y mínimos.

En este caso la función alcanza máximos locales en x1, [x3, x4], x6 y 1, estos valores corresponden a f (x1),f (αx3 + (1− α)x4) con α ∈ [0, 1], f (x6) y f (1). Los mínimos locales se alcanzan en 0, x2, x5 y x7, estos valorescorresponden a f (0), f (x2), f (x5) y f (x7).Los valores f (0) y f (1) corresponden a óptimos de esquina y los demás valores corresponden a óptimosinteriores, la diferencia está en que los óptimos de esquina no se pueden encontrar directamente utilizandoderivadas, la explicación la daremos de forma geométrica: Consideremos otra función f ∶ [0, 1]→ [0, 1] cuyográ�co es el siguiente

00

1

1x1x2

Figura 13: Óptimos interiores y de esquina.

En f (x1) la pendiente es única y está dada por f ′(x1) que por tratarse de un máximo local se tiene quef ′(x1) = 0 (en este caso el máximo también es global). En f (x2) la pendiente es única y está dada por f ′(x2)que por tratarse de un mínimo local se tiene que f ′(x2) = 0 (en este caso el mínimo también es global). Paraf (0) y f (1) se tiene que la tangente en esos puntos del grá�co, como que la función es diferenciable en [0, 1],toma valores bien de�nidos pero f ′(0) ≠ 0 y f ′(1) ≠ 0.No hay que confundir los valores del eje x, llamados argmax, que son los argumentos que maximizan f , conlos valores máximos.Veamos ahora un caso en que una función de la forma f ∶ [0, 1]→ [0, 1] es continua pero no es diferenciableen todo su dominio

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00

1

1x2x1 x3

Figura 14: Caso en que la derivada en un punto no es única.

En f (x1) la pendiente no es única pero sin embargo f (x1) es el máximo valor de f en su dominio y se tieneentonces un máximo global, pese a que no es posible aplicar el criterio de que f ′(x1) = 0. Un hecho que validaque f (x1) es máximo es que f ′(x1 − ε) > 0 y f ′(x1 + ε) < 0 con ε → 0, entonces si f fuera diferenciable en x1existiría f ′(x1) = 0.Para f (αx2 + (1 − α)x3) con α ∈ [0, 1] se tiene que f ′(αx2 + (1 − α)x3) = 0 y se tiene que cualquier punto de[αx2 + (1 − α)x3] es un mínimo local de la función.Ahora estamos en condiciones de dar un criterio e�ciente para la optimalidad de funciones:

Proposición 11. Sea f ∶ D ⊂ R → R una función dos veces continua y diferenciable. Entonces f tiene unóptimo en x0 si se cumplen

1. En el caso de maximización

Condición de primer orden: f ′(x0) = 0

Condición de segundo orden: f ′′(x0) ≤ 0

2. En el caso de minimización

Condición de primer orden: f ′(x0) = 0

Condición de segundo orden: f ′′(x0) ≥ 0

Nota 9. En la proposición anterior el óptimo puede no ser único. Damos la condición de que f sea dos vecesdiferenciable para que no existan indeterminaciones en los signos que toma la segunda derivada o que esta nose anule. Un ejemplo sencillo es que para f (x) = x la condición de segundo orden nos dice que no existe unmínimo o máximo estricto de la función.

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