GRADIENTES Y BONOS

Presentado por:

JENNY PUENAYAN

MYRIAM SORIA

ANNY IMAICELA

CARLOS MORENO

Docente:

ING. SANTIAGO VALLADARES

UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICA Y ADMINISTRATIVAS

AULA B51

QUITO

2014

Contenido1. Gradientes.................................................................................................................................3

1.1 Introducción...........................................................................................................................3

1.2 Definiciones...........................................................................................................................4

1.3 Condiciones para que una serie de pagos sea un gradiente....................................................5

1.4 Tipo de Gradientes.................................................................................................................5

1.4.1 Gradiente lineal o aritmético........................................................................................5

1.4.1.1 Definiciones..............................................................................................................5

1.4.1.2 Ley de formación......................................................................................................6

1.4.1.3 Gradiente lineal creciente.........................................................................................6

1.4.1.4 Gradiente lineal decreciente.....................................................................................8

1.4.2 Gradiente geométrico..................................................................................................10

1.4.2.1 Definiciones...............................................................................................................10

1.4.2.2 Ley de formación.......................................................................................................10

1.4.2.3 Gradiente geométrico creciente................................................................................10

1.4.2.4 Gradiente geométrico decreciente.............................................................................14

2. Bonos......................................................................................................................................16

2.1 Definición.............................................................................................................................16

2.2 Características......................................................................................................................16

2.3 Fórmula para calcular el precio de un bono.........................................................................18

2.4 Tipos de bonos.....................................................................................................................21

3. Bibliografía.............................................................................................................................23

1. Gradientes

1.1 Introducción

En economías inflacionarias los créditos favorecen a los deudores, porque están en la

posibilidad de liquidar sus deudas con dinero más barato, razón por la cual los acreedores no

recuperan totalmente el dinero prestado. El otorgamiento de créditos con tasa de interés fijas

constituye un subsidio tácito a favor del deudor y a cargo de los fondos manejados por la entidad

financiadora. Por esta razón, el prestamista necesita recuperar lo antes posible el dinero dado en

el préstamo. De otra parte, los usuarios de créditos a largo plazo, por su limitada disponibilidad

de dinero, también necesitan contar con sistemas de amortización de créditos que inicien con

cuotas bajas que se vayan incrementando al ritmo de sus ingresos. Estas circunstancias que

rodean una operación financiera plantean la necesidad de diseñar modelos matemáticos que

consideren flujos de caja conformados por una serie de pagos que no sean iguales, si no que

aumenten o disminuyan periódicamente, llamados gradientes. (Orozco, 2011)

Estos modelos matemáticos también se basan en la suposición teórica de que los valores

como el mantenimiento de un vehículo, gastos operativos de la empresa, aumentan cada periodo

en una cantidad exactamente igual. Se afirma que es una suposición teórica porque en la vida

real, en lo que hace referencia a estos gastos, es imposible que se puedan prever aumentos o

disminuciones periódicas constantes. Sin embargo, la serie de gradientes también analizan estas

situaciones. (Orozco, 2011)

Es así como se analizara una serie de pagos que aumentan o disminuyen cada uno con

respecto al anterior en una cantidad constante de dinero, la llamaremos gradiente lineal o

aritmético, y la serie de pagos que aumentan o disminuyen en un porcentaje constante la

llamaremos gradiente geométrico. (Orozco, 2011)

1.2 Definiciones

Son anualidades o serie de pagos periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior

más una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago

inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago determina la clase de

gradientes. (Cifuentes, 2010)

Se llama gradientes a una serie de pagos periódicos que tienen una ley de formación. Esta

ley de formación hace referencia a que los pagos pueden aumentar o disminuir, con

relación al pago anterior, en una cantidad constante en dinero o en un porcentaje.

(Orozco, 2011)

Cuando los pagos varían de acuerdo a la ley que permita determinar cada uno, en función

de los números naturales, es posible reducir los términos de la sumatoria y obtener

expresiones más simples para el cálculo, tanto del valor futuro como del valor presente.

Así sucede cuando los pagos varían en progresión aritmética o geométrica. (Portus, 1997)

Es una serie de pagos hechos a iguales intervalos de tiempo que aumentan o disminuyen

de acuerdo con una norma establecida. Hay dos clases de gradientes: aritmético, lineal o

uniforme y el gradiente geométrico. (Uribe, 2011)

1.3 Condiciones para que una serie de pagos sea un gradiente

Según Orozco (2011) explica que para que una serie de pagos periódicos se considere un

sistema de gradientes, debe cumplir con las siguientes condiciones.

Los pagos deben tener una ley de formación.

Los pagos deben ser periódicos.

La serie de pagos debe tener un valor presente (P) equivalente y un valor futuro (F)

equivalente.

El número de periodos debe ser igual al número de pagos.

1.4 Tipo de Gradientes

1.4.1 Gradiente lineal o aritmético.

1.4.1.1 Definiciones.

Serie de pagos periódicos tales que cada pago es igual al anterior aumentando o

disminuido en una cantidad constante de dinero. Cuando la cantidad es constante es

positiva se genera el gradiente aritmético creciente. Cuando la cantidad constante es

negativa se genera el gradiente aritmético decreciente. (Orozco, 2011).

Las anualidades variables, cuyos pagos periódicos aumentan o disminuyen en una

cantidad constante, se consideran anualidades de variación lineal o uniforme y reciben

por antonomasia, el nombre de gradiente aritmético que puede ser creciente o decreciente

según el tipo de variación bien sea de incremento o decremento. (Portus, 1997)

1.4.1.2 Ley de formación.

Considerando que los pagos en cada periodo serán diferentes, entonces estos se identificaran

con un subíndice que indica el consecutivo del pago. De acuerdo a la ley de formación, en este

caso, cada pago será igual al anterior más una constante, así como se muestra a continuación:

1.4.1.3 Gradiente lineal creciente.

Valor presente de un gradiente lineal creciente.-Es un valor ubicado en el presente que resulta

de sumar los valores presentes de una serie de pagos que aumentan cada periodo una cantidad

constante (G)

El flujo de cada de un gradiente lineal creciente es el siguiente:

Ejemplo: El valor de una máquina procesadora de arroz se está cancelando con 24 cuotas

mensuales, que aumentan cada mes en $10.000 y el valor de la primera cuota es de $ 150.000. Si

la tasa de interés que está cobrando es del 3% mensual, calcular el valor de la máquina.

Es equivalente cancelar hoy $ 4.250.042,13 que cancelar 24 pagos mensuales, que aumentan

cada mes en $10.000, siendo el primer pago de $ 150.00, a una tasa de interés del 3% mensual.

1.4.1.4 Gradiente lineal decreciente.

Es un valor ubicado en el presente equivalente a una serie de pagos periódicos que tienen

característica de disminuir cada uno con respecto al anterior es una cantidad constante de dinero

(G).

El flujo de cada de un gradiente lineal decreciente es el siguiente:

(Orozco 2011)

Si se compara una serie de gradientes lineal creciente con la serie de gradiente lineal

decreciente se llega a la conclusión que la única diferencia que los caracteriza es el signo G para

el gradiente lineal creciente es positiva y para el gradiente lineal decreciente es negativa. Para

lograr, entonces una expresión que nos permita calcular el valor presente de un gradiente lineal

decreciente, simplemente se ajusta la ecuación anterior, sin necesidad de realizar ninguna

deducción matemática, cambiando únicamente el signo de la cantidad constante G de más por

menos.

Ejemplo: Una vivienda se está cancelando en 18 cuotas mensuales que decrecen en $10.000

cada mes, siendo la primera cuota de $ 2.500.000. Si la tasa de financiación que se está cobrando

es del 3% mensual, calcular el valor de la vivienda.

1.4.2 Gradiente geométrico.

1.4.2.1 Definiciones.

Es aquel que se incrementa periodo tras periodo a partir de la primera cuota mediante una

razón constante que se expresa de forma porcentual, llamada G. (Cifuentes, 2010)

Es una serie de cuotas que crecen o decrecen en un porcentaje calculado sobre la cuota

anterior. (Arango, 2010)

Se llama gradiente geométrico a una serie de pagos periódicos tales que cada uno es igual

al anterior disminuido o aumentado en un porcentaje fijo. En este tipo de gradientes

también se presenta el gradiente geométrico creciente y el gradiente geométrico

decreciente, dependiendo de que las cuotas aumenten o disminuyen en ese porcentaje.

(Orozco, 2011)

En el gradiente geométrico cada pago es igual al anterior multiplicado por uno más una

constante G, si la constante es positiva el gradiente será creciente, si es negativo el

gradiente será decreciente. (Uribe, 2011)

Se llama gradiente geométrico a una serie de pagos periódicos en la cual cada pago es

igual al del periodo inmediatamente anterior disminuido u incrementado en un mismo

porcentaje. Esta variación porcentual puede ser positiva o negativa, originando así lo que

se conoce con los nombres de gradiente geométrico creciente o gradiente geométrico

decreciente, respectivamente. (Miner, 2010)

1.4.2.2 Ley de formación.

Considerando que los pagos en cada periodo serán diferentes, entonces estos se identificaran

con un subíndice que indica el consecutivo del pago. (Uribe, 2011)

De acuerdo a la ley de formación, en este caso, cada pago será igual al anterior multiplicado

por una constante, así como se muestra a continuación:

Con las expresiones siguientes se encuentra un valor presente (VP) y un valor futuro (VF) de

una serie gradiente geométrica o exponencial, conocidos el número de pagos (n), el valor de

cada pago (A), la variación (G) y la tasa de interés (i). (Arango, 2010)

FORMULAS DEL GRADIENTE GEOMETRICOValor presente

Creciente Decreciente Donde

Valor futuroCreciente Decreciente Donde

La cuota de una serie gradiente geométrica se determina de la siguiente manera:Creciente Decreciente

(Cifuentes, 2010)

1.4.2.3 Gradiente geométrico creciente

Valor presente de un gradiente geométrico creciente.- Es un valor ubicado en el presente

equivalente a una seria de pagos periódicos que aumentan cada uno con respecto al anterior, en

un porcentaje fijo. (Orozco, 2011)

El flujo de caja es el siguiente:

Ejemplo: Una obligación se está cancelando en 24 cuotas mensuales que aumentan un 10%

cada mes. Si el valor de la primera cuota es de $ 850.000 y se cobra una tasa de interés del 3%

mensual, calcular:

a) El valor de la obligación,

b) El valor de la cuota 18

Datos:

Desarrollo:

(Arango, 2010)

Valor futuro de un gradiente geométrico creciente.- El valor futuro de un gradiente

geométrico es un valor ubicado en la fecha del último pago o ingreso equivalente a una serie de

pagos periódicos, que crecen cada periodo en un porcentaje constante. (Uribe, 2011)

Ejemplo: Se desea determinar el valor futuro equivalente al pago de 10 cuotas variables, que

a partir de la segunda cuota se incrementan en un 3% del valor de la cuota inicial de $500.000.

La corporación financiera reconoce el 1,5% al mes.

Datos:

Desarrollo:

(Uribe, 2011)

1.4.2.4 Gradiente geométrico decreciente

Lo constituyen una serie de pagos o ingresos que disminuyen periódicamente en un

porcentaje constante. (Orozco, 2011)

El flujo de caja es el siguiente:

Valor presente de un gradiente geométrico decreciente.- El valor presente de un gradiente

geométrico decreciente es un valor, ubicado un periodo anterior a la fecha del primer pago,

equivalente a una serie de pagos o ingresos que disminuyen periódicamente en un porcentaje

fijo. (Uribe, 2011)

Ejemplo: Calcular el valor presente de 24 pagos semestrales que disminuyen cada semestre

en 2%, siendo el primer pago de $ 1’000.000 teniendo una tasa de interés del 30% capitalizable

semestralmente. Además halle el valor de la cuota 12.

Datos:

Desarrollo:

(Orozco, 2011)

Valor futuro de un gradiente geométrico decreciente.- Es un valor futuro equivalente a una

serie periódica de pagos o ingresos que disminuyen en un porcentaje fijo. El valor futuro de esta

serie queda ubicado en la fecha del último pago o ingreso. (Uribe, 2011)

Ejemplo: Calcular el valor que se tendrá ahorrando en una entidad financiera si se hacen seis

depósitos que disminuyen cada mes en un 1%, el primer deposito es de $2.000.000 y le

reconocen una tasa de interés del 2% mensual.

Datos:

Desarrollo:

(Cifuentes, 2010)

2. Bonos

2.1 Definición

Bono es una obligación o documento de crédito, emitido por un gobierno o una entidad

particular a un plazo perfectamente determinado, que devenga intereses pagaderos en periodos

regulares de tiempo. (Mora, 2010, pág. 252)

Un bono es una promesa escrita de:

a) Una suma fija, llamada valor de redención, en un fecha dada, llamada fecha de

redención.

b) Pagos periódicos conocidos como pagos de intereses hasta la fecha de redención.

Según estas definiciones, el bono es un documento financiero que se utiliza para obtener

dinero actual (liquidez), con la obligación de reconocer el respectivo interés periódico con los

cupones como su valor original (nominal) en la fecha de vencimiento.

2.2 Características

En todo bono se pueden destacar los siguientes elementos:

El valor nominal que consta en de documento generalmente es un múltiplo de 10.

Ejemplo: 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.00.000, etcétera. Generalmente se expresan

letras mayúsculas iniciales del mes que inicia y el mes que termina cada pago de cupón.

Ejemplo: un bono al 12% pagadero en abril y octubre se pueden expresar: 12% AO.

La tasa de interés que se debe pagar puede ser anual con capitalización semestral,

trimestral, etc.; la más común es la semestral.

La fecha de redención es el plazo de terminación o fecha en la cual debe pagarse el valor

nominal del bono. Casi siempre coincide con la fecha de pago de intereses.

El valor de redención es el valor de bono a la fecha de finalización o redención. Este

valor puede ser:

Redimible a la par: Cuando el valor nominal y el valor de redención son iguales.

Por ejemplo, un bono de $ 1.000 redimible a la par = (1.000) (1) = $1.000.

Redimible con premio: Cuando el valor de redención es mayor que el valor

nominal. Por ejemplo, un bono de $ 1.000 redimible a 102: 1.000(1,02) = $1.020.

Redimible con descuento: Cuando el valor de redención es menor que el valor

nominal. Por ejemplo, un bono de $ 1.000 redimible a 98: 1.000(0,98) = $980.

Cupón: Es la parte desprendible del bono que contiene el valor de los intereses por

periodo de pago. Por ejemplo, un bono de $10.000 al 12% FA, emitido el 1º de febrero de

1990 y redimible a la par el 1º de febrero del año 2020, establece los siguientes pagos: el

pago de $10.000 el 1º de febrero del año 2020, valor de redención = (10.000) (1) =

$10.000; sesenta cupones a pagos semestrales de (10.000) (0,12/2) = $600 desde el 1º de

agosto de 1990.

Cupón = 10.000(0,12) = $600,00

Precio: Es el valor que tiene un bono cuando se negoció; puede ser a la par, con premio o

con castigo.

A la par, cuando la tasa nominal del bono coincide con la tasa de negociación.

Con premio, cuando la tasa de negociación es menor que la tasa nominal del

bono.

Con castigo, cuando la tasa de negociación es mayor que la tasa nominal del bono.

Ejemplo: El 1º de junio del 2006 una persona compra un bono de $1.000 al 7% JD (junio-

diciembre), redimible a 101 el 1º de junio del año 2023. ¿Cuál será: a) su valor de redención,

b) el número de cupones y c) el valor de cada cupón?

a) $100.000 (1.01) = $101.000 el 1º de junio del 2023.

b) 40 cupones

c) (1.000)(0.0035) = $35,00; el primero de ellos el 1º de diciembre del 2006.

2.3 Fórmula para calcular el precio de un bono

El bono, por ser un documento financiero, es perfectamente negociable y se compra o vende

considerando una tasa de interés del inversionista, que es diferente de la del bono. Para calcular

su precio en una fecha de pago de interés, se puede utilizar la siguiente formula, que combina el

valor actual del bono con el valor actual de los cupones hasta el vencimiento del mismo.

Precio de un bono = Valor actual del bono + Valor actual de los cupones.

Formula:

P = C (1+

Donde:

P = precio del bono en la fecha de pago de intereses.

C = valor de redención de bono.

i = tasa de interés por periodo, del inversionista o de negociación.

n = número de cupones.

Cupón = valor de cada cupón.

Ejemplo: ¿Cuál será el precio de venta de un bono de $10.000 al 9% FA, al 1º de febrero de

2003, redimible a la par el 1º de febrero de 2018, si se desea un rendimiento del 8% anual con

capitalización semestral?

P = C (1+

Valor de redención: 10.000(1) = 10.000

Número de cupones: 30

Valor de cada cupón: 10.000 = $450.00

Tasa de rendimiento o de negociación= = 0.04

P = 10.000

P = 3.083,19 + 450(17,29)

P = $10.864.60

Ésta es una negociación con premio para el vendedor pues vende el bono en $ 10.864,60

Ejemplo: ¿Cuál es el precio de compra de un bono de $1.000 al 11% JD, redimible a 101 el

1º de diciembre del año 2014, si se vende el 1º de diciembre de 2003 con un rendimiento del

11,5$ anual capitalizable semestralmente?

Valor de redención: 1.000(1,01) = 1.010

Número de cupones: 22

Valor de cada cupón: 1.000 = $ 55

Tasa de rendimiento o de negociación= = 0,0575

P = 1.010

P = 295,225 + 676,93

P = $ 972,155

Ésta negociación es con castigo para el vendedor pues vende el bono en $ 972,155

2.4 Tipos de bonos.

Bonos cupón cero

Son aquellos bonos que no tienen cupones. Su valor actual o precio se calcula tomando sólo

como referencia su valor nominal y la tasa de negociación.

Bono convertible

Bono que concede a su poseedor la opción de cambiarlo por acciones de nueva emisión a su

precio prefijado.

Bono canjeable

Es aquel que puede ser cajeado por acciones ya existentes, no provocan ni la elevación del

capital ni la reducción de las acciones.

Bonos seriados

Una emisión de bonos puede hacerse de tal manera que el reintegro del valor principal se

efectué en series o plazos, a fin de que la compañía emisora pueda reducir periódicamente su

deuda.

Al efectuar la adquisición de varios bonos de una misma emisión, pero de diferentes series un

inversionista debe averiguar el precio y el rendimiento de cada serie, considerándola como una

compra individual y, para el cálculo, aplicar los métodos de serie y el rendimiento sobre el total

será el rendimiento ponderado de diferentes series.

Los precios de los bonos seriados de una misma emisión no pueden ser iguales, debido a que

cada serie tiene diferente fecha de vencimiento.

Bonos de anualidad

Algunas compañías hacen emisiones de bonos cuyo valor se redime con pagos anuales, este tipo

de bono es, en realidad, una anualidad contratada bajo forma de bono. El cálculo de los valores

de este tipo de bonos no difiere del cálculo de valores de las anualidades.

Bonos con fecha opcional de redención

Algunas emisiones de bonos tienen indicada, además de la fecha de vencimiento, otra fecha

anterior para que el bono se pueda redimir opcionalmente por parte del comprador, en cualquier

fecha intermedia. Esto permite al inversionista ya que puede escoger el momento que más

convenga para redimir sus bonos. Para calcular el precio de este tipo de bonos, se acostumbra

suponer que la fecha de redención es la más desfavorable para el inversionista.

Bonos amortizados por sorteo

Las emisiones de bonos son redimibles en su fecha de redención o de maduración, o en fechas

opcionales intermedias estipuladas en los bonos.

Los emisores de bonos que amortizan su emisión mediante anualidades proceden a pagar, en

fecha del cupón, por sorteo y por su valor de redención los bonos que resultan favorecidos.

Bonos de valor constante

Estos bonos en unidad monetaria de valor constante (UMVC) se han diseñado para proteger las

inversiones a largo plazo, en los países que padecen una continua desvalorización monetaria. Las

emisiones de estos bonos, bajo control del gobierno, se aplican para financiar los planes de

vivienda. Los bonos de valor constante registran en su valor nominal la corrección monetaria, de

tal modo que su valor nominal y, por tanto, su valor de redención sean ajustables en la misma

medida en que se produzca la desvalorización.

3. Bibliografía

Arango, A. A. (2010). Matematicas financieras. Colombia: Nomos.

Cifuentes, J. C. (2010). Matematicas financieras. Colombia: Uninorte.

Mora, A. (2010). Matemáticas Financieras. Colombia: Alfaomega Colombiana S.A.

Orozco, J. d. (2011). Matematicas financieras aplicadas. Bogota: Ecoe.

Portus, L. (1997). Matematicas financieras. Colombia: Printer Colombiana.

Uribe, J. A. (2011). Matematicas financieras empresariales. Bogota: Ecoe.