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GRADIENTES

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INGENIERÍA ECONÓMICA

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GRADIENTES

Ciertos proyectos de inversión generan flujos de efectivo que crecen o disminuyen una cierta cantidad constante cada período. Por ejemplo, los gastos de mantenimiento de un cierto equipo se pueden incrementar una cierta cantidad constante cada período. También, es posible que ciertos proyectos generen flujos que se incrementen un cierto porcentaje constante por cada período. Este último caso se comprende fácilmente cuando se supone que los flujos por el efecto de la inflación crecen un cierto porcentaje constante por período.

A esta razón de crecimiento constante (cantidad o porcentaje) en ingeniería económica se le conoce con el nombre de “Gradiente”.

•Gradiente aritmético

•Gradiente geométrico

Gradiente Aritmético

Es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. Es decir, el flujo de efectivo (ingreso o desembolso) cambia por la misma cantidad aritmética cada periodo. La cantidad de aumento o disminución se denomina la gradiente.

Esta forma de pago se compone por la suma de dos series, una que se comporta de manera uniforme y otra que sufre un cambio aritmético para cada periodo.

Gradiente Aritmético

Cuota n = cantidad base + (n – 1) x G

0 1 2 3 4 n-1 n……

150 200250

300150+(n-2)G

150+(n-1)GG = 50

Gradiente Aritmético

Cuota n = cantidad base + (n – 1) x G

0 1 2 3 4 n-1 n……

A A+GA+2G

A+3GA+(n-2)G

A+(n-1)GA = cant. baseG = gradiente

Gradiente Aritmético

· P/G: valor presente dado un gradiente aritmético

· F/G: valor futuro dado un gradiente aritmético

· A/G: anualidad dado un gradiente aritmético

VP, VF Y A para un Gradiente Aritmético

0 1 2 3 4 n-1 n……

A A+GA+2G

A+3GA+(n-2)G

A+(n-1)G

VPT =VPA + VPG

0 1 2 3 4 n-1 n……

A

VPA

A A A A A

000

1 2 3 4 n-1 n……

1G

2G 3G(n-2)G

(n-1)GVPG

0G

VP para un Gradiente Aritmético

P = G (1+i)n - 1 - n

i (1+i)ni (1+i)n

(P/G, i, n)

A para un Gradiente Aritmético

(A/G, i, n)

A = G 1 -

i (1+i)n - 1

n

F para un Gradiente Aritmético

F = G (1+i)n - 1 - n

i i

(F/G, i, n)

Ejercicio

Se compra un auto y se espera que el costo de mantenimiento sea $150 al finalizar el primer año y que en los subsecuentes años aumente a razón de $50 anuales. Si la tasa de interés es 8% capitalizada cada año. Cuál es el valor presente de esta serie de pagos durante un periodo de 6 años?

0 1 2 3 4 5 6

150 200250

300350

400

P

A = 150G = 50i = 8%n = 6

A = G(A/G, i%, n) = $50(A/G, 8%,6) = $50(2.2763) = $ 113.81

At = $ 150 + $ 113.81 = $263.81

P = A(P/A, 8%, 6) = $263.38(4.6228)

VPt = $1220 Otra forma: VPt = VPA + VPG = 150(4.6228) + 526.164 (usando fórmula) VPt = $ 1220

Utilizando la Función :VANVAN(8%,-150,-200,-250,-300,-350,-400)

$ 1219.60

Otra Forma de Resolver

Ejercicio

Un ingeniero está planeando un retiro de 15 años. Con objeto de tener su pensión y compensar los efectos anticipados de la inflación, piensa retirar $5000 al final del primer año y aumentar la cantidad que retira en $1000 cada uno de los siguientes años. Cuánto dinero deberá tener en su cuenta de ahorros al principio de su retiro, si el dinero gana 6% al año capitalizado anualmente?

Factores: (A/G, 6%, 15) = 5.9260(P/A, 6%, 15) = 9.7123

A = G(A/G, i%, n) = $1000(A/G, 6%, 15) = $1000(5.9260) = $5926

At = $5000 + $5926 = $10926

P = A(P/A, 6%, 15) = $10926(9.7123)

VPt = $106,116 CON FORMULA

Pt= PA + PG Pt = 5000(P/A,6%,15) + 1000(P/G,6%,15) Pt = 48561.24 + 1000(57.870)

Pt = $ 106.116

Ejercicio

Cuánto dinero deberá depositarse inicialmente en una cuenta de ahorros que paga 5% anual capitalizado cada año, para proporcionar suficiente dinero para 10 retiros anuales que comienzan en $6,000 y disminuyen $600 cada año?

Factores: (A/G, 5%, 10) = 4.0991(P/A, 5%, 10) = 7.7217

A = G(A/G, i%, n) = $600(A/G, 5%, 10) = $600(4.0991) = $ 2,459.46

At = $6000 - $2459.46 = $3540.54

P = A(P/A, 5%,10) = $3540.54(7.7217)

VPt = $27,339 CON FORMULA

Pt = PA - PG Pt = 6000(P/A,5%,10) – 600(P/G,5%,10) Pt = 46330.41 - 600(31.72)

Pt= $ 27,311

Utilizando la función :VANVAN(5%;-6000;-5400;-4800;-4200;-3600;-3000;-2400;-1800;-1200;-600)

VAN = $ 27339

Otra Forma de Resolver

Ejercicio

Una empresa vende computadoras personales bajo las sgts condiciones: se hace un primer pago de $900 un mes después de la fecha de compra y nueve pagos mensuales adicionales, cada uno de los cuales disminuye en $50 el pago del mes anterior. Si el interés es de 1% capitalizado mensualmente. Cuál será el valor a pagar de contado por la compra de la computadora?Factores: (A/G, 1%, 10) = 4.4179

(P/A, 1%, 10) = 9.4715

0 1 2 3 4 5 6

900850

P

7 8 9 10

600650

700750

800

550500

450

=

A = 900 G = 50i = 1% n = 10

0 1 2 3 4 5 6

900

P

7 8 9 10 _

P

0

1 2 10

10050

150 200250 300 350 400 450

0

VPT =VPA -VPG

Reemplazando:

VPt = $ 6,432.14

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

Ejemplo:

Se tiene un préstamo de 1.000 soles, a una tasa de interés anual del 30% para pagarlo en 5 cuotas anuales que se incrementan 200 soles . Cuál es el valor de la primera y la última cuota?

Solución: At = A + Ag, luego:

A = At - Ag

A = 1000(A/P,30%,5) - 200(A/G,30%,5)

A = 1000(0.41058) - 200(1.49031)

A = A1 = S/ 112.519

A5 = A1 + (5 – 1)200 Ak = A1 + (k-1)G

A5 =112.519+ 800

A5 = S/ 912.519

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

Ejercicio

¿Cuál será el monto que se acumulará dentro de un año en un banco, ahorrando cada fin de mes S/. 200.00 si éstos se incrementan en S/. 50.00 cada mes y la TEM es del 3%?

Factores: (F/G, 3%,12) = 5.1433(F/A, 3%,12) = 14.2287

Ft = FA + FGFt = 200(F/A,3%,12) + 50(F/G,3%,12)Ft = 200(14.2287) + 50(5.1433)Ft = 2845.74 + 3653.02

Ft = $ 3103

Gradiente Geométrico

Es común que las series de flujo de efectivo, tales como los

costos de operación, costos de construcción y los ingresos,

aumenten o disminuyan de un periodo a otro mediante un

porcentaje constante, por ejemplo, 5% anual. Esta tasa

de cambio uniforme define una serie gradiente geométrico

de flujos de efectivo. Entonces “g” será la tasa de cambio

constante, en forma decimal, mediante la cual las

cantidades aumentan o disminuyen de un periodo al

siguiente.

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Demostración de la formula para serie gradiente porcentual, donde:ig :incremento porcentual en las cuotas.

A1 = A1 A2 = A1 + A1* ig = A1(1+ ig)A3 = A2+A2*ig = A2(1+ig) = A1(1+ ig)2

A4 = A3 + A3*ig = A3 (1+ ig) = A1(1+ ig)3

Ak = A1 (1+ ig)k-1 (en función de A1)

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Ak = A1 (1+ ig)k-1

A1 A2

An

P

1 2 n-1 n

0

An-1

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Para obtener Al se debe llevar el valor de cada cuota al presente (Pk) y después realizar la sumatoria la cual es equivalente al préstamo P.

VP de un Gradiente Geométrico

Se pueden derivar fórmulas para calcular los valores de F y A pero es más sencillo calcular primero P y a partir de este resultado determinar los valores de A y F.

n

(1 + g)(1 + i)

(P/A,g,i,n) =g = i

g = i

-1(i - g)

(1 + i)n

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Ejemplo:

Se tiene un préstamo de $ 1.000 a 5 años para pagarlo en 5 cuotas que se van incrementando el 20% anual. Si la tasa de interés anual es del 30%, ¿cuál es el valor de la primera y ultima cuota?.

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Solución: (A/P, g, i%, n) g = i

19.303$

3.012.01

1

2.03.0000.1 51

A

A5 = 303.19(1+0.2)5-1 = S/ 628,69

Ak = A1 (1+ ig)k-1

Ejercicio

Una empresa acaba de adquirir una moderna máquina para la fabricación de sus productos y se ha determinado que el costo de mantenimiento de la misma será de S/. 1,700 para el primer año y el mismo aumentará en 11% anual en los próximos 6 años. Se pide determinar el valor presente considerando una tasa de interés de 8% anual. Si la tasa de interés cambia a 11% anual, cuál será entonces el valor presente?

Ejercicio propuesto

El Gobierno Regional de La Libertad ha decidido utilizar recursos para apoyar en el mantenimiento de la carretera panamericana norte. Para ello, el primer año destinarán una cantidad de S/. 500,000 y estiman que los montos para los siguientes años aumentarán a razón de S/. 100,000 por año durante 9 años a partir de ese momento y luego cesarán. Determinar el valor presente, la serie anual y el valor futuro si estos fondos tienen una tasa de interés del 5% anual.