[Escribir texto]

GRADIENTES O SERIES VARIABLES

COMPETENCIA: Identificar los elementos teóricos y prácticos que permitan al estudiante comprender el concepto de gradiente gradientes y analizar el alcance de las fórmulas de los gradientes dentro de un flujo de caja. INTRODUCCIÓN El propósito de este capítulo es el análisis de este modelo matemático llamado

gradientes o series variables. Es así como analizaremos una serie de pagos que

aumentan o disminuyen, cada uno con respecto al anterior en una cantidad constante de

dinero, la que llamaremos gradiente lineal o aritmético, y la serie de pagos que aumentan

o disminuyen en un porcentaje constante la que llamaremos gradiente geométrico.

Analizaremos, como caso especial, un tipo de gradiente llamado gradiente

escalonado, que es aquel cuyas cuotas permanecen fijas durante un tiempo

(generalmente un año) y después aumentan en una cantidad fija, en pesos o en

porcentaje.

DEFINICIÓN: Se llaman gradientes a una serie de pagos periódicos que tienen una

ley de formación. Esta ley hace referencia a que los pagos pueden aumentar o

disminuir, con relación al pago anterior, en una cantidad constante en pesos o en

porcentajei.

Ejemplo: Una deuda cancelando con 6 cuotas mensuales, que aumentan cada mes en $5.000. El valor de la primera cuota es de $100.000. Si la tasa de interés que se cobra en la operación es el 3% mensual, calcular el valor inicial de la deuda. El flujo de caja es el siguiente.

[Escribir texto]

Se elige el momento cero para plantear la ecuación de valor.

03.103.103.103.103.103.1654321

000.125000.120000.115000.110000.105000.100P

P= 607.100.13

CONDICIONES PARA QUE UNA SERIE PAGOS SEA UN GRADIENTE:

Los pagos deben tener una ley de formación.

Los pagos deben ser periódicos.

La serie de pagos debe tener un valor presente (p) equivalente y un valor futuro

(f) equivalente.

El número de periodos debe ser igual al número de pagos.

GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO

Serie de pagos periódicos tales que cada pago es igual al anterior aumentado o

disminuido en una cantidad constante en pesos. Cuando la cantidad constante es

positiva, se genera el gradiente aritmético creciente. Cuando la cantidad constante es

negativa, se genera el gradiente aritmético decreciente. Por ejemplo, si una deuda se

está cancelando con cuotas mensuales que crecen cada mes en $5.000, la serie de

pagos conforman un gradiente lineal creciente. Si los pagos disminuyen en $5.000 cada

mes, su conjunto constituye un gradiente lineal decreciente.

GRADIENTE LINEAL CRECIENTE:

Valor presente de un gradiente lineal creciente

Es un valor ubicado en el presente, que resulta de sumar los valores presentes de una

serie de pagos que aumentan cada periodo una cantidad constante (G).

El flujo de caja que puede corresponder a una operación financiera cualquiera.

[Escribir texto]

Cada ingreso es igual anterior más 50. Esta variación en el valor de cada cuota la

llamaremos G.

El flujo de caja lo podemos descomponer en dos flujos equivalentes:

El valor presente del flujo inicial será igual a la suma de los valores p presentes de los

dos flujos equivalentes.

P=P1+P2

El primer flujo corresponde a una anualidad vencida cuyo valor presente equivalente es:

; donde: A=50 n=4 i= tasa efectiva periódica de la

operación. Analizando el segundo flujo, se observa que el incremento de la cuota (G)

comienza en el período 2.

El valor presente del segundo flujo es:

+

El valor presente P del flujo inicial es igual a pp21

+

Donde P= Valor presente de la serie de gradientes.

A= Valor de la primera cuota de la serie de la serie variable sobre la cual crece o

[Escribir texto]

decrece el gradiente en forma lineal o exponencial.

i = Tasa interés de la operación, ésta debe estar en igual unidad al periodo

de pago. En la fórmula del gradiente debe ser siempre efectiva o vencida.

n = Número de pagos o ingresos, tiempo fijado entre dos pagos variables

crecientes o decrecientes de manera sucesiva.

G = Constante en que aumenta cada cuota.

Ejemplo 2: El valor de una máquina procesadora de arroz se está cancelando con 24

cuotas mensuales, que aumentan cada mes en $10.000, y el valor de la primera cuota

es de $150.000. Si la tasa de interés que se está cobrando es del 3% mensual, calcular

el valor de la máquina.

Notación algebraica:

iP

103.1

03.1

03.1

03.12424

24

24

24

24

03.0

1

03.0

000.10

03.0

1000.150

P= $4.250.042.13

[Escribir texto]

Notación estándar: P= 150.000(P/A,3%,24)+10.000(P/G,3%,24)

Equivalente cancelar hoy $4.250.042.13 que cancelar 24 pagos mensuales, que

aumenten cada mes en $10.000, siendo el primer pago de $150.000, a una tasa de

interés del 3% mensual.

Ejemplo 3

Dado el siguiente flujo de caja, calcular el valor presente equivalente a una tasa de interés

del 2% mensual.

El flujo de caja está compuesto por dos series de ingresos: una anualidad que comienza

en el mes 4 y termina en el mes 6, y por una serie de gradientes lineal creciente que

comienza en el mes 8 y termina en el mes 11. La solución más sencilla se plantea

analizando las dos series en forma independiente y luego sumando los dos valores

presentes.

Cálculo del valor presente de la primera serie de ingresos.

El valor presente de la anualidad estará ubicado en el mes 3, si la tomamos como una

anualidad vencida ubicado un período anterior a la fecha del primer pago (ingreso).

i

in

n

iAp

1

1 1

02.1

02.13

3

02.0500p

[Escribir texto]

)3%,2,/(500

94.441.1

APP

P

02.13

94.441.1p =1.358.77

Cálculo del valor presente de la segunda serie de ingresos. Esta serie corresponde a

un gradiente lineal creciente, en el que A= 600 G=100 i=2% y n=4

02.102.1

02.1

02.1

02.144

4

4

4

4

02.0

1

02.0

100

02.0

1600P

P=2.846.37 P: 600 (P/A,2%,4) + 100 (p/G,2%,4)

Este valor obtenido corresponde al presente del gradiente en el mes 7, por tal razón,

tenemos que trasladarlo al momento cero.

02.17

37.846.2P Donde P= 2.477.94

El valor presente de toda la serie será igual a la suma de los dos valores presentes.

P= 2.477.94+1.358.77

P= 3.836.71

VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE

Consiste en calcular un valor futuro equivalente a una serie de pagos periódicos que

aumentan una cantidad constante en pesos cada período.

[Escribir texto]

+

Ejemplo:

En una corporación que reconoce una tasa de interés trimestral del 9% se hacen

depósitos trimestrales, que aumentan cada trimestre en $100.000, durante 9 años. SÍ el

valor del primer depósito es de $500.000, calcular el valor acumulado al final del noveno.

El flujo de caja corresponde a un gradiente lineal creciente, en el que:

A= $500.000 I=9% Trimestral

n= 36 G=$100.000

F=?

36

09.0

1

09.0

000.100

09.0

1000.500

09.109,13636

F

F= $340.423.164.14

[Escribir texto]

Ejemplo 2:

El señor Pérez desea comprar un vehículo que cuesta hoy $15.000.000. Para lograr

su propósito piensa hacer depósitos mensuales, durante dos años, que aumenten cada

mes en $50.000, en una entidad financiera que le reconoce el 2.5% mensual. Si la

inflación promedio mensual es del 1.5%, ¿de qué valor debe ser el primer depósito?

Se calcula en primer lugar el valor del vehículo al final de los dos años.

in

PF 1

F = 15.000000 015.0124

F= $21.442.542.18 Valor después de dos años

24

025.0

1

025.0

000.50

025.0

118.542.442.21

025.1025,12424

A

A= $146.664.83

GRADIENTE LINEAL CRECIENTE ANTICIPADO

En esta clase de gradientes los pagos cada período crecen en una cantidad constante de

dinero con respecto al pago anterior, pero el primer pago se realiza en el mismo

momento en que se hace la operación financiera.

FÓRMULA DE VALOR PRESENTE:

ii

i

ii

inn

n

n

n

n

ii

GAP

11

1

1

1111

11

Como regla general, el valor presente y futuro anticipado de cualquier sistema de pagos,

es igual al valor presente o futuro vencido multiplicado por (1+i).

Ejemplo 1

¿Cuál será el valor de un electrodoméstico que se está financiando con 24 cuotas

mensuales anticipadas, que crecen cada mes en $20.000, si la primera cuota tiene un

valor de $100.000 y se paga el mismo día de la negociación? Asuma una tasa de interés

del 2.5% mensual.

[Escribir texto]

El flujo de caja de este ejercicio corresponde a un gradiente desfasado, ya que el pago

de la primera cuota no se realiza en el primer período.

A= $100.000 G= $20.000 i=2.5% mensual n=24 P=?

025.1025.1

025.1

025.1025.0

025.12424

24

24

24

24

025.0

1

025.0

000.201000.100P

P= $5.481.280.45 Valor del gradiente ubicado en el período -1. Como interesa conocer

el valor del electrodoméstico en el momento cero, se traslada este valor a un período

siguiente, lo que equivale cargarle al valor obtenido, los intereses de un período a una

tasa de interés del 2.5% mensual.

P =5.481.280.45 (1.025)

P= 5.618.312.46

F= 5.481.280.45 (F/P ,2.5%, 1 )

025.1025.1

025.1

025.1025.0

025.1124124

24

124

24

24

025.0

1

025.0

000.201000.100P

= $ 5.618.312.46

Ejemplo 2:

Un trabajador se propone invertir en la empresa donde trabaja cuotas mensuales que

aumenten cada mes en $50.000. Si empieza hoy con $500.000, ¿cuál será el valor de su

[Escribir texto]

inversión al término de un año, sabiendo que su dinero gana el 2% mensual?

El ejercicio corresponde al cálculo del valor futuro de un gradiente lineal creciente

anticipado.

+

F= $10.440.994.57

GRADIENTE LINEAL DECRECIENTE

Valor presente de un gradiente lineal decreciente

Es un valor ubicado en el presente equivalente a una serie de pagos periódicos que

tienen la característica de disminuir, cada uno con respecto al anterior, en una cantidad

constante de dinero (G).

02.112

02.0

1

02.0

000.50

02.0

1000.500

02.102,11212

F

[Escribir texto]

P = Valor presente de la serie de gradientes

A = Valor de la primera cuota

i = tasa de interés efectiva periódica

n = número de pagos o ingresos

G = constante en que disminuye cada cuota

Ejemplo 1

Una vivienda se está cancelando con 180 cuotas mensuales que decrecen en $10.000

cada mes, siendo la primera cuota de $3.015.896.71. Si la tasa de financiación que está

cobrando es del 3% mensual, calcular el valor de la vivienda.

Notación algebraica fecha focal en el momento cero.

03.103.1

03.1

03.103.0

03.1180180

180

180

180

180

03.0

1

03.0

000.10171.896.015.3P

p=$ 89.274.924.47

Para este ejemplo las cuotas disminuyen en $10.000 cada mes. Si la primera cuota es a,

la cuota del segundo mes será a-10.000, la tercera cuota será a-20.000, la cuarta cuota

será a-30.000 y la enésima cuota será a-(n-1)g.

[Escribir texto]

El valor de la cuota número 180 es: cuota n =A-(n-1)G

Cuota 180=3.015.896.71 - (180-1)*10.000

Cuota 180 =$1.225.896.71

La expresión para calcular el valor de cualquier cuota es:

Cn= valor de la cuota

n= número de la cuota

G= disminución en el valor de cada cuota.

Ejemplo 2

Se desea financiar un vehículo que cuesta $10.000.000 por medio de 12 cuotas mensual

es decreciente en una cantidad fija en pesos, cobrando una tasa de interés del 2.0%

mensual. Calcular el valor de la primera cuota y el valor del gradiente.

33.333.033.1$

02.0*000.000.1012

000.000.10

A

A

El valor del gradiente se calcula dividiendo el valor de los intereses sobre el número de

cuotas:

67.666.16$12

000.200G

Lo que indica que la deuda de $10.000.000 se cancela con 12 cuotas mensuales que lo

decrecen en $16.666.67, siendo la primera cuota $1.033.333.33.

GRADIENTE GEOMÉTRICO O EXPONENCIAL

Se llama gradiente geométrico a una serie de pagos periódicos tales que cada uno es

igual al anterior disminuido o aumentado en un porcentaje fijo. En este tipo de gradientes

también se presenta el gradiente geométrico creciente y decreciente, dependiendo de

que las cuotas aumenten o disminuyan en ese porcentaje.

GRADIENTE GEOMÉTRICO CRECIENTE

Valor presente de un gradiente geométrico creciente

Es un valor ubicado en el presente, equivalente a una serie de pagos periódicos que

aumentan cada uno, con respecto al anterior, en un porcentaje fijo.

[Escribir texto]

paraij

AP

i

iJn

nn

1

11i ≠ j

P= valor presente de la serie de gradiente geométrico

A= valor de la primera cuota

J= variación porcentual de la cuota con respecto a la anterior

I= tasa de interés de la operación financiera

n= número de pagos o ingresos de la operación financiera

Ejemplo 1:

Una obligación se está cancelando mediante el pago de una cuota inicial de $ 5.000.000

y 24 cuotas mensuales que aumentan un 5% cada mes. Si el valor de la primera cuota

es de $1.500.000 y se cobra una tasa de interés del 4% mensual, calcular:

El valor de la obligación

El valor de la cuota 22

04.1

04.105.124

2424

04.005.0000.500.1000.000.5P P=$43.727.111.74

[Escribir texto]

Para este ejemplo la cuota aumenta en un 5% (j) cada mes. Si la primera cuota es de

$1.500.000 y la llamamos A, la segunda cuota será A (1+j), la tercera cuota será =

jA 12

, la cuarta cuota será igual a= jA 13

y la enésima cuota será igual a

jn

A

11

El valor de la cuota # 22 es: cuota 22 =1.500.000 05.01122

Cuota 22= $4.178.943.88

La expresión para calcular cualquier cuota es: Cn= jn

A

11

Cn= valor de la cuota n

A= valor de la primera cuota

j= porcentaje de incremento de cada cuota

Ejemplo 2:

Un abogado desea adquirir una oficina que tiene un valor de $45.000.000. Le plantean su

financiación de la siguiente forma: cuota inicial del 20%, 36 pagos mensuales que

aumenten cada mes en un 2% y una cuota extraordinaria pagadera en el mes 24 por valor

de $2.000.000. Si la tasa de financiación que se cobra es del 3% mensual, calcular el

valor de la primera cuota.

La cuota extraordinaria por valor de $2.000.000 pagadera en el mes 24 es una cuota

adicional a las cuotas normales de pago. Para la solución es necesario plantear una

ecuación de valor que agrupe la cuota inicial, la cuota extraordinaria y las cuotas normales

de pago.

[Escribir texto]

Planteamos la ecuación de valor tomando como fecha focal el momento cero. Se observa

que la tasa de interés de la operación financiera es diferente a la tasa incremento de las

cuotas, por lo tanto, para calcular el valor presente del sistema de gradientes utilizamos:

jiparaij

AP

i

iJn

nn

1

11

03.1

03.102.1

03.136

3636

24

03.002.0

000.000.2000.000.9000.000.45 A

A= $1.182.287.56

VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO CRECIENTE

El valor futuro de un gradiente geométrico es un valor ubicado en la fecha del último pago

o ingreso equivalente a una serie de pagos periódicos, que crecen cada período en un

porcentaje constante (j).

El flujo de caja general de un gradiente geométrico creciente se muestra en el siguiente

diagrama:

Para el cálculo del valor futuro de un gradiente geométrico creciente nos apoyamos en

la fórmula básica:

iJparaij

AFiJ

nn

11

[Escribir texto]

Ejemplo:

Calcular el valor futuro equivalente a 12 pagos que aumentan cada mes en 2.0% si se

cobra una tasa del 3% mensual, siendo el primer pago de $2.000.000.

El flujo de caja corresponde a un gradiente geométrico creciente, en el que la primera

cuota (A) tiene un valor de $2.000.000, cada cuota crece con respecto a la cuota

anterior en un 2.0% mensual y la tasa de interés de la operación financiera es del 3%

mensual.

03.002.0

000.000.203.0102.01

1212

F

F= $31.503.818.46

SALDO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO CRECIENTE:

Se va a financiar una vivienda que tiene un valor de $50.000.000 a una tasa de interés

del 2.0% mensual, por medio de 120 cuotas que crecen cada mes en un 1.0% calcule el

saldo después de pagada la cuota 40.

Calculamos en primer lugar el valor de la primera cuota, aplicando

i

iJn

nn

ijAP

1

11

02.01

02.0101.01120

120120

02.001.0000.000.50 A

A= $721.064.02

Se calcula el saldo después de pagada la cuota 40, para lo cual se utiliza dos

procedimientos:

Primer procedimiento: en función de las cuotas que faltan por pagar.

Calculamos el valor de la cuota 41, que viene a ser la primera cuota del nuevo sistema de

gradientes, luego de cancelada la cuota 40.

[Escribir texto]

Cn= jn

A

11

C41=721.064.02 01.01141

C41= $1.073.566.07

El saldo es el valor presente de las 80 cuotas que faltan por pagar.

02.1

02.101.180

8080

02.001.007.566.073.140 AS

S40=$58.544.793.

GRADIENTE GEOMÉTRICO DECRECIENTE

Lo constituyen una serie de pagos o ingresos que disminuyen periódicamente en un

porcentaje constante.

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO DECRECIENTE

El valor presente de un gradiente geométrico decreciente es un valor, ubicado un periodo

anterior a la fecha del primer pago, equivalente a una serie de pagos o ingresos que

disminuyen periódicamente en un porcentaje fijo (j).

P= Valor presente.

J= tasa de incremento de las cuotas.

A= valor de la primera cuota.

n= número de cuotas.

[Escribir texto]

i= tasa de interés de la operación.

j≠i

ijiI

AP

Ejemplo:

Calcular el valor presente de 12 pagos trimestrales que disminuyen cada trimestre en

2%, siendo el primer pago de $500.000. La tasa de interés es del 32% capitalizable

trimestralmente.

Calculamos la tasa efectiva de la operación financiera.

trimestralm

ji %808.0

4

32.0

08.01

02.0108.0112

1212

08.002.0AP

P=$3.441.890.96

VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO DECRECIENTE

Es un valor futuro equivalente a una serie periódica de pagos o ingresos que

disminuyen en un porcentaje fijo. El valor futuro de esta serie queda ubicado en la fecha

del último pago o ingreso.

i

jin

nn

ijAP

1

11

[Escribir texto]

Ejemplo:

Calcular el valor que se tendrá ahorrado en una entidad financiera si se hacen seis

depósitos que disminuyen cada mes en un 1%, el primer depósito es de $2.000.000 y le

reconocen una tasa de interés del 2% mensual.

El flujo de caja del ejercicio corresponde a un gradiente geométrico decreciente, en el

que:

A=$2.000.000

n= 6

02.001.0

000.000.201.0102.01

66

F

j=1.0% F= $12.312.151.32

i=2.0%

CÁLCULO DEL SALDO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO DECRECIENTE

Es lo que se debe en cualquier momento del plazo de una obligación que se está

cancelando por medio de una serie de pagos periódicos que disminuyen en un porcentaje

fijo. Para su cálculo matemático se aplican los dos procedimientos como anualidades,

gradientes lineales y gradiente geométrico creciente.

Ejemplo:

Para una obligación COMERCIAL DE $12.000.000 que se está cancelando con 10 cuotas

mensuales, disminuye en un 2.0% cada mes, cuál es el saldo después de pagada la

sexta cuota. La tasa de financiación es del 1.5%.

015.01

02.01015.0110

1010

015.002.0000.000.12 A

A= $1.419.134.01

Pasamos a calcular el saldo después de pagada la cuota sexta.

Procedimiento: Al cancelar la sexta cuota queda un nuevo sistema de gradientes, en él la

[Escribir texto]

primera cuota es la séptima cuota, que no se conoce.

Para el cálculo tenemos:

02.0117

701.134.419.1

C

05.129.257.17C

El saldo será igual al valor presente de las 4 cuotas que faltan por cancelarse

015.01

02.01015.14

44

015.002.005.129.257.1S

S= $4.703.791.33

i Tomado de http://matematicafinancieraitfip.blogspot.com/

Apartes del documento tomados del libro Fundamentos de Matemáticas Financieras. Páginas 176 a 213.

Autores Carlos Ramírez Molinares, Milton García Barboza, Cristo Pantoja Algarín, Ariel Zambrano Meza. En

línea. Consultado en http://issuu.com/alfredoalzuru/docs/fundamentosmatematicasfinancieras

)1(1

jn

ACn