1

GEOMETRÍA ANALÍTICA

1. La recta

(Lección en forma de problemas, para el trabajo cooperativo)

Instrucciones:

� En un cuaderno (preferiblemente de papel cuadriculado), hacer todos lo problemas que se proponen. Hay que escribir los títulos de cada apartado, numerar y hacer ordenadamente los problemas, copiando los enunciados en el cuaderno. Hay que cuidar el orden y la presentación.

� El profesor debe fijar al comienzo de la tarea un plazo de entrega. � Esta tarea se recomienda hacerla durante el tiempo de clase en equipos heterogéneos

de 3-4 personas, aplicando las técnicas de trabajo cooperativo. Se puede complementar con trabajo individual o en grupo fuera del horario escolar, preferiblemente con el cuidado de un monitor.

� Al comenzar la tarea el alumno tiene que elaborar un plan de trabajo que le permita cumplir el plazo señalado para la entrega. Por ejemplo, señalando el número de problemas que se propone hacer por semana.

� Cada dos o tres problemas, los alumnos deben pedir la supervisión del profesor para que compruebe la correcta resolución de los mismos. El profesor debe hacer las indicaciones pertinentes para que el alumno, por sí mismo resuelva sus dudas.

� Los alumnos pueden usar como apoyo libros de texto, colecciones de problemas resueltos, la web y, preferiblemente, preguntar a otros compañeros o al profesor.

� Al finalizar el cuaderno, cada alumno debe hacer la Autoveluación para comprobar si ha asimilado correctamente los conceptos desarrollados. Para ello en la hoja de autoevaluación se facilitan las soluciones.

� El trabajo termina con una prueba escrita individual (examen), semejante a la Autoevaluación.

Tiempo estimado para la realización del trabajo: 16-20 horas Criterios de valoración: 1) Trabajo en equipo, actitud positiva hacia el aprendizaje en las sesiones de clase: (10%). 2) Cuaderno con los problemas: (40%). (Completo, ordenado, limpio y bien presentado, problemas correctamente resueltos, …) 3) Examen: (50%).

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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Ejemplo: La distancia entre los puntos A = (2, –1) y B =(4, 3) es:

( ) ( )( ) 2016442)1324),( 2222 =+=+=−−+−=BAd .

1. Representar los siguientes pares de puntos y calcular la distancia entre ellos.

a) A = (6, –3) y B =(6, 5). b) C = (3, 8) y D = (–5, 8).

c) E = (–3, –7) y F = (4, –3). d) G = (0, –3) y H = (–1, 5).

2. Dados los siguientes triángulos rectángulos, calcular las longitudes de sus lados y

comprobar que se verifica el teorema de Pitágoras. Escribir la medida de los lados sobre el dibujo.

3. Determinar, por observación del dibujo, el punto M medio de A = (–2, 5) y B = (1, –3).

(0, 4) (7, 4)

(7, 0)

(–2, –8)

(3, 1)

(–2, 1)

La distancia entre dos puntos A = (x1, y1) y B = (x2, y2) es:

( ) ( ) ( ) ( )22212

212),( yxyyxxBAd ∆+∆=−+−=

(Es una aplicación del teorema de Pitágoras) x1 x2

y2

y1

A = (x1, y1)

∆x = x2 – x1

B = (x2, y2)

∆y = y2 – y1 d

3

4. Calcular la distancia del origen de coordenadas al punto A = (7, 9).

5. Calcular la distancia del punto A = (7, 9) al B = ( –2, –9).

6. Calcula el módulo del vector v = (5, 3).

PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS

7. Calcular el punto medio del segmento de extremos A = (2, 2) y B = ( –3, 0). Representarlo.

8. El origen de coordenadas es el punto medio de un segmento cuyo uno de sus extremos es A

= (2, 7). ¿Cuál es el otro extremo del segmento? Representar en unos ejes cartesianos

9. Un rectángulo tiene por vértices A = (–3, 1), B = (–3, 4), C = (5, 4), D = (5, 1). Responder a las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el perímetro? b) ¿Cuál es el área? c) ¿Cuáles son las coordenadas del punto en el que se cortan las diagonales? [PISTA: las

diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio].

10. Poner ocho ejemplos de puntos del plano tales que su distancia al origen de coordenadas sea de una unidad (Es decir, puntos que están en la circunferencia que tiene su centro en el origen de coordenadas y tiene radio = 1. [PISTA1: Observar que las coordenadas (x, y) de los puntos de una circunferencia de radio R = 1 verifican que x2 + y2 = 1]. [PISTA2: Recordar la definición de seno y coseno y la propiedad fundamental de la trigonometría].

(x, y)

1

1

–1

–1

El Punto medio de un segmento de extremos A = (x1, y1) y B = (x2, y2) es:

++=

2,

22121 yyxx

M

x1 x2

y2

y1 A=(x1, y1)

B= (x2, y2)

M

4

PENDIENTE DE UN SEGMENTO La pendiente de un segmento, que tiene de extremos los puntos A = (x1, y1) y B =(x2. y2), es el cociente de la magnitud que varían las coordenadas y (vertical) entre la magnitud que varían las coordenadas x (horizontal). La pendiente de un segmento es, pues, la tangente del ángulo que forma el segmento con la horizontal.

12

12)tan(xx

yy

x

ym

−−

=∆∆== α

Ejemplo: La pendiente del segmento que tiene por extremos A = (1, 2) y B = (5, 7) es

25,14

5

15

27 ==−−=m .

El ángulo que forma el segmento AB con la horizontal es ( ) ''24'20º5125,1tan 1 == −α .

11. Hacer un dibujo y calcular la pendiente de los siguientes segmentos que tienen los extremos que se indican. ¿Qué ángulo forman con la horizontal?

a) A = (0, 0) y B = (3, 4). b) C = (0, 0) y D = (5, –4). c) E = (1, 2) y F = (4, 6). d) G = (–1, –2) y H = (3, 4).

12. ¿Cómo son dos segmentos que tienen la misma pendiente? a) Paralelos. b) Iguales. c) Perpendiculares. d) Ninguna de las anteriores.

x1 x2

y1

y2

∆x = x2 – x1

∆y= y2 – y1

α

5

13. Un cuadrilátero tiene por vértices: O = (0. 0), P = (3, 6), Q = (0, 5) y R = (–2, 1). a) Dibujar el cuadrilátero en unos ejes cartesianos. b) Calcular la pendiente de los segmentos OP y RQ. c) Calcular la pendiente de los segmentos OR y PQ. d) ¿Qué se observa? ¿Qué tipo de cuadrilátero es? (¿Un cuadrado, un rectángulo, un paralelogramo, un rombo o un trapecio?)

14. Dados los tres puntos A = (–2, 3), B = (2, 2) y C = (6, 1). Calcular las pendientes de los segmentos

a) AB, b) BC, c) AC. ¿Los puntos A, B y C están alineados?

15. Formular algebraicamente una condición que sirva para determinar si tres puntos A = (a1, a2), B = (b1, b2) y X = (x, y) están alineados. [PISTA: Los puntos A, B y X están alineados si AX tiene la misma pendiente que AB].

16. Dibujar un segmento, OP, que tenga las siguientes características: a) Su origen está en el origen de coordenadas, O. b) Su pendiente es 2. Hay varias posibles soluciones. ¿Cuál es el extremo P del segmento OP que has dibujado?

17. Como te habrás dado cuenta, puede haber muchos extremos posibles que resuelvan el problema anterior. De todos los posibles puntos P, indica cuál de ellos satisface que la longitud del segmento OP es igual a 5. [PISTA: Usar el seno y el coseno].

18. Dibujar en unos ejes coordenados los puntos O = (0, 0), A = (3, 1) y A’ = (1, –3).

a) Calcular la pendiente del segmento OA. b) Calcular la pendiente del segmento OA’. ¿Son perpendiculares ambos segmentos?

19. Dibujar en unos ejes coordenados los puntos O = (0, 0), B = (2, 4) y B’ = (–4, 2). a) Calcular la pendiente del segmento OB. b) Calcular la pendiente del segmento OB’. ¿Son perpendiculares ambos segmentos? SEGMENTOS PERPENDICULARES Si dos segmentos son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es –1.

121 −=⋅mm Observar el siguiente dibujo: Las rectas r1 y r2 son perpendiculares pues resultan de girar un ángulo α los ejes coordenados. Por consiguiente, los triángulos sombreados son iguales.

6

PENDIENTE DE UNA RECTA

ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE UNA RECTA

20. Los puntos X = (x, y) del plano son los que se obtienen dando valores arbitrarios al parámetro t en las siguientes fórmulas.

−=+=

ty

tx

21

2

a) Completar la tabla.

t = –4 t = –3 t = –2 t = –1 t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4

x = 2 + t –1 3 5

y = 1 – 2t 7 –1 –5

b) Representar los puntos obtenidos en unos ejes cartesianos. c) ¿Todos los puntos obtenidos están sobre una recta? ¿Cuál es su pendiente? d) ¿En qué punto la recta corta al eje de abscisas (X)? ¿En qué punto la recta corta al eje de ordenadas (Y)?

a

a

b

–b

r1

r2

b

am =1

a

bm

−=2

121 −=⋅mm

α

α

La pendiente de una recta es la pendientes de cualquiera de sus segmentos

7

21. Dibujar en unos ejes cartesianos la recta que tiene por ecuaciones paramétricas

+−=+=

ty

tx

34

1

a) Para ello completa la tabla: t = –3 t = –2 t = –1 t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

x = 1 + t –2 2

y = –4 + 3t –13 –1

b) ¿Cuál es la pendiente de la recta dada? c) ¿En que punto la recta corta al eje de abscisas (eje X)? ¿En qué punto la recta corta al eje de ordenadas (eje Y)?

22. Dibujar en unos ejes cartesianos la recta que tiene por ecuaciones paramétricas

+−==

ty

tx

22

Para ello completa la tabla: t = –3 t = –2 t = –1 t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

x = t –3 1

y = –2 + 2t –8 0

b) ¿Cuál es la pendiente de la recta dada? c) ¿En qué punto la recta corta al eje de abscisas (eje X)? ¿En qué punto la recta corta al eje de ordenadas (eje Y)?

23. Observar que las ecuaciones del problema 20 se pueden escribir así usando notación de vectores

−+

=

2

1

1

2t

y

x o así ( ) )2,1()1,2(, −+= tyx

Se dice que el punto P = (2, 1) es un punto de apoyo de la recta, y que v = (1, –2) es un vector director. Escribir en notación de vectores las rectas de los problemas 21 y 22. Señalar cuál es en cada caso, el punto de apoyo y el vector director de la recta.

Notación vectorial de las ecuaciones paramétricas de una recta:

(x, y) = (p1, p2) + t (v1, v2)

Abreviadamente, X = P + t v

P v

X = (x, y)

P es el punto de apoyo v es el vector director

8

ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA

Ejemplo: La recta que pasa por el punto (0, –2) con pendiente m = –3 tiene por ecuación explícita y = –3x – 2.

24. Una recta tiene pendiente 2, y corta al eje Y en el punto (0, –4), a) ¿Cuál es su ecuación explícita? b) Hacer un dibujo. c) Determinar tres puntos de la recta. [PISTA: Dar varios valores a la x y determinar la y].

25. Una recta tiene por ecuación y = x – 5. a) Completar la siguiente tabla:

x –3 0 2 4

y = x – 5 –2 1

b) Dibujar la recta en unos ejes coordenados. c) ¿Cuál es su pendiente? ¿Cuál es su ordenada en el origen? d) Decir si la recta pasa por los siguientes puntos: A = (3, –2), B = (–10, –15) y C = (8, 3).

26. Representar en unos ejes cartesianos las siguientes rectas: a) 12 += xy b) 3−= xy c) 53 +−= xy d) xy −= Para cada una de las rectas anteriores, indicar cuál es su pendiente y cuál es su ordenada en el origen (punto en el que corta al eje Y).

27. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 2) y es paralela a la recta y = 2x – 1. Hacer un dibujo. [PISTA: dos rectas paralelas tiene la misma pendiente].

28. Decir si las rectas de ecuaciones a) y = 2x – 3 b) y = –0,5x + 7 son perpendiculares. ¿Por qué? [PISTA: El producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es igual a –1].

1

P =(x, y)

1

(0, c)

y = m x + c

m es la pendiente c es la ordenada en el origen (x, y) es un punto genérico de la recta

Ecuación explícita de una recta

m

9

0=++ CByAx

ECUACIÓN IMPLÍCITA DE UNA RECTA Ejemplo: La recta que tiene por ecuación 042 =+− yx pasa por los puntos (x, y) que verifica la ecuación. Veamos algunos de los puntos de esa recta: a) para x = 0, el valor de y que verifica la ecuación es y = –4. Por tanto, pasa por el punto (0, –4). b) Para y = 2 , el valor de x que verifica la ecuación es x = –1. Luego, pasa por el punto (–1, 2).

29. Calcular la pendiente y la ordenada en el origen de la siguientes rectas daas en forma implícita. [PISTA: Despejar la y].

a) 532 =+ yx b) 2=− yx c) xy 274 =− d) yx 234 =− e) yx = f) 42 =y

30. Dada la recta que tiene por ecuación implícita a) Completa la siguiente tabla:

x 0 –3 3

y 0 2 –2

b) Dibujar la recta. c) ¿Cuál es su pendiente? d) ¿En qué puntos corta a los ejes coordenados?

31. ¿Las ecuaciones a) 52 =+ yx b) 1536 =+ yx c) 52 −=−− yx representan la misma recta? ¿Por qué?

32. Las ecuaciones a) 013 =−+ yx b) 073 =−+ yx ¿representan dos rectas paralelas? ¿por qué? [PISTA: Dos rectas paralelas tiene la misma pendiente]. Representar ambas rectas en unos ejes cartesianos.

33. Hallar el punto común de las rectas que se indican. Hacer un dibujo. [PISTA: hay que resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas].

a) 0532 =−+ yx b) 02 =−+ yx

34. ¿En qué punto se cortan las rectas siguientes? Representarlo. a) 023 =−+ yx b) 032 =−− yx

35. Dada una recta en forma implícita . Utilizar letras para hallar, en general, la pendiente, m y la ordenada, c, en el origen en función de los coeficientes A, B y C. [PISTA: Despejar y en la fórmula].

La ecuación implícita de una recta es una ecuación de la forma

0=++ CByAx

632 =+ yx

10

ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE

Ejemplo: La ecuación de la recta que pasa por el punto P = (2, –1) con pendiente m = 0,5 es

( )25,0)1( −=−− xy . Es decir, ( )25,01 −=+ xy . Esta ecuación en forma explícita es: 25,0 −= xy . Una forma implícita de esta misma recta es 042 =−− yx . Se comprueba que, efectivamente, el punto P satisface las ecuaciones halladas.

36. Escribir la ecuación de la recta que es la bisectriz del primer cuadrante. [PISTA: La pendiente es 1 y pasa por el origen de coordenadas]

37. Escribir ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto P = (4, 1) con

pendiente m = –1. Hacer un dibujo.

38. Hallar la ecuación implícita de la recta que pasa por el punto P = (1, 6) con pendiente

3

1−=m . Dibujarla.

39. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (–1, 2) y es paralela a la recta de

ecuación 42 += xy . [PISTA: Dos rectas paralelas tiene la misma pendiente].

40. Hallar la ecuación de la recta que es paralela a la recta , y que pasa por el punto (1, 3).

41. Calcular en qué puntos intercepta a los ejes coordenados la recta que pasa por P = (2, 2)

con pendiente m = –1,5. Representarla.

42. Considerar los puntos A = (2, 1) y B = (4, –5). Dibujarlos en unos ejes cartesianos. a) Determinar el punto medio, M, del segmento AB. b) Calcular la pendiente del segmento AB. c) ¿Cuál es la pendiente de una recta perpendicular al segmento AB? d) Calcular la ecuación de la recta que es perpendicular al segmento AB en su punto medio, M.

43. Una recta pasa por los puntos A = (–2, 1) y B = (2, –1). a) ¿Cuál es su pendiente, m? b) Utilizar la forma punto-pendiente para escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto A con pendiente m. c) Utilizar la forma punto-pendiente para escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto B con a pendiente m. d) ¿Las ecuaciones obtenidas en los apartados b) y c) representan la misma recta? ¿Por qué?

Una recta queda determinada si se conoce su pendiente y un punto por el que pasa. La ecuación de la recta que tiene pendiente m y que pasa por el punto P = (x1, y1) es:

( )11 xxmyy −=−

0423 =−− yx

11

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Ejemplo: La ecuación de la recta que pasa por los puntos A = (–1, 2) y B = (3, 6) es:

( ))1()1(3

262 −−

−−−=− xy ; ( ))1

4

42 +=− xy ; 12 +=− xy ; 3+= xy

Se comprueba que, efectivamente los puntos A y B satisfacen las ecuaciones halladas.

44. Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos A = (2, –2) y B = (4, 1). Hacer un dibujo. ¿Cuál es su pendiente?

45. Escribir la ecuación de la recta que corta a los ejes coordenados en los puntos A = (0, 2) y

B = (5, 0). Dibujar la recta. ¿Cuál es su pendiente?

46. Utilizar la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, para escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0, c) y (1, m). ¿Qué se observa?

47. Hallar el punto de intersección de las siguientes rectas:

a) La recta que pasa por el punto (–1, –2) con pendiente 3. b) La recta que pasa por los puntos (1, 1) y (4, –6).

48. En los siguientes casos, hallar la ecuación implícita de la recta que tiene la ecuación paramétrica que se indica. [PISTA: Despejar el parámetro t en ambas ecuaciones e igualarlas. También se puede hacer despejando t en una de las ecuaciones y sustituir el valor hallado en la otra].

a)

+−==

ty

tx

22 b)

+=−=

ty

tx

3

1 c)

+−=−=

ty

tx

1

2

49. Sean los puntos A = (3, 5), B = (–5, 1) y O = (0, 0)

a) Encontrar la ecuación de la recta AB. b) Escribir la ecuación de la recta perpendicular a AB que pasa por el origen de coordenadas O. [PISTA: Utilizar la fórmula punto pendiente]. c) Calcular el punto de intersección de la la recta AB con la hallada en el apartado anterior d) ¿Cuál es la distancia del punto O a la recta AB? e) Calcular el área del triángulo AOB.

50. Los puntos A = (–1, 2) y C = (5, 1) son los vértices opuestos de un paralelogramo ABCD. El vértice B está sobre la recta 2x + y = 5. El lado AB es paralelo a la recta 3x + 4y = 8. Hallar:

a) La ecuación del lado AB. b) Las coordenadas del punto B. c) Las ecuación del lado AD. d) La ecuación del lado CD. e) Las coordenadas de D.

La ecuación de la recta que pasa por los puntos A = (x1, y1) y B = (x2, y2) es:

( )112

121 xx

xx

yyyy −

−−

=−

12

AUTOEVALUACIÓN

1. a) Calcular la distancia entre los puntos A = (2, –3) y B = (7, 9). b) ¿Cuál es la pendiente del segmento AB? Solución: a) 13. b) 12/5 = 2,4.

2. Decir las coordenadas del punto medio del segmento PQ, que tiene por extremos P = (3, –2) y Q = (7, 1). Solución: (5, –0,5).

3. Dibuja la grafica de la recta de ecuación y = –x + 6 y contesta razonadamente a) ¿Pasa por el punto (50, –42)? b) Escribir una ecuación paramétrica de la recta.

Solución: a) No, ya que no verifica la ecuación. b) x = t; y = –t + 6.

4. Escribe la ecuación implícita de las siguientes rectas: a) Pasa por el punto (0, 5) con pendiente m = –2. b) Pasa por los puntos (–2, 6) y (4, 0).

Solución: a) 2x + y –5 = 0. b) 04 =−+ yx .

5. Escribir la ecuación y dibujar la gráfica de la recta que: a) Pasa por el punto (2, 3) y tiene pendiente 1. b) Pasa por el punto (–5, 2) y tiene pendiente –2. c) Pasa por los puntos (–2, –3) y (0, –7) d) Su pendiente es 5 y su ordenada en el origen es 10. e) Pasa por el origen de coordenadas y por el (2, 5). f) Es paralela a y = 3x – 5 y pasa por el punto (–1, 0).

Solución: a) y = x + 1; b) y = –2x – 8; c) y = –2x – 7; d) y = 5x + 10; e) y =2,5x; f) y = 3x + 3.

6. Hallar el punto de intersección de las rectas. Hacer un dibujo. a) 3x – 5y =11 b) y = 4x – 9.

Solución: (2, –1).

7. Hallar las ecuación implícita de la recta que pasa por el punto (–2, 1) y es perpendicular a la recta 3x + 5y – 7 = 0. Solución: 5x – 3y + 13 = 0.

8. Sean los puntos C = (1, 2), D = (3, –4), E = (–2, 5) y F = (k, 4). Averiguar para qué valor de k, las rectas CD y EF son perpendiculares. Solución: k = –5.

13

EXAMEN (Tiempo estimado 3 horas) 1. a) Calcular la distancia entre los puntos A = (–1, 2) y B = (5, –6). Representarlo.

b) Calcular la pendiente del segmento AB. c) Determinar el punto, M, medio del segmento AB.

2. Para los siguientes triángulos, calcular las longitudes de sus lados y determinar los que

son triángulos rectángulos Para esos casos, ¿en qué vértice está el ángulo recto? a) A = (0, 0); B = (0, 6) y C = (4, 3). b) A = (3, 0); B = (1, 8) y C = (–7, 6). b) A = (1, 2); B = (3, 4) y C = (0, 7).

3. M es el punto medio del segmento PQ. Encontrar las coordenadas del punto Q,

sabiendo que P =(2, 2) y M = (4,3). Hacer un dibujo. 4. Sean los puntos A = (–2, 3), B = (2, 2) y C = (6, 1).

a) Calcular la pendiente del segmento AB. b) Calcular la pendiente del segmento BC. c) ¿Los puntos A, B y C están alineados? ¿Por qué?

5. Indicar la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas. Dibujarlas.

a) 6−= xy b) xy 32 += c) xy 274 =− d) 345,0 −= xy

6. Escribir la ecuación de la recta determinada por las siguientes condiciones.

a) Tiene pendiente –1 y pasa por (0, 3). b) Pasa por (1, 3) y tiene pendiente 2. c) Pasa por el origen de coordenadas y por el punto (3, 1). d) Es paralela a la recta 432 =− yx , y pasa por (–2, 2). 7. ¿En qué punto se cortan las siguientes rectas? Dibujarlas.

a) 74 =− yx b) 52 =+ yx 8. Una recta está dada por esta tabla. Completar la tabla y escribir la ecuación de la recta

x 0 2 4 7

y 1 9 21 25

9. Encontrar la ecuación implícita de la recta que pasa por (–2, 1) y es perpendicular a la

recta de ecuación 735 =+ xy . [PISTA dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es –1].

10. Determina el valor de k, para que la recta 032 =+− kyx pase por el punto (3. –2).