UNIDAD 12

OBJETIVO GENERAL

Al terminar esta Unidad resolverás

ejercicios y problemas

correspondientes a las rectas en el

plano y sus ecuaciones.

Índice

Objetivos específicos:

1. Recordarás a qué se llama sistema decoordenadas rectangulares, ejes coordenadosy cuadrantes, y cómo se localizan los puntosdel plano.

2. Recordarás y aplicarás las fórmulas paradeterminar la distancia entre dos puntoscualesquiera del plano coordenado y lascoordenadas del punto que divide a unsegmento en una razón r.

3. Recordarás la definición de pendiente de unarecta y de línea recta.

Índice

Objetivos específicos:

4. Recordarás y aplicarás las diferentes formas de

la ecuación de una recta dadas dos

condiciones que la definen.

5. Recordarás y aplicarás la forma general de la

ecuación de una recta y las condiciones

necesarias y suficientes para las posiciones

relativas entre dos rectas en el plano.

6. Recordarás la definición y aplicaciones de la

expresión de una recta en la forma normal y

cómo obtenerla a partir de la forma general.

Índice

• Una característica básica de la Geometría Analítica es el uso de un sistema coordenado. En los cursos de Álgebra y Trigonometría se ha utilizado el sistema de coordenadas rectangulares - llamado también sistema cartesiano en honor al filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) -que consiste en dos rectas, llamadas ejes, que se cruzan formando ángulos rectos. Generalmente un eje se coloca en forma horizontal y el otro vertical; el primero se llama eje de las abscisas y se representa con la letra x, y el segundo se denomina eje de las ordenadas y se representa con la letra y. El punto en que se cruzan las rectas define al origen del sistema

Eje X

EJE Y

ORIGEN

• Los ejes coordenados dividen al plano en que se trazan en cuatro partes llamadas cuadrantes, que se numeran del I al IV en sentido contrario a las manecillas del reloj.

• Los puntos que se encuentran en el primer cuadrante tiene abscisa y ordenada positivas.

• los puntos en el segundo cuadrante tienen abscisa negativa y ordenada positiva.

• En el tercer cuadrante tanto la abscisa como la ordenada son negativas, y en el cuarto cuadrante la abscisa es positiva y la ordenada negativa.

I

x > 0

y > 0

x

II

x < 0

y > 0

III

x < 0

y < 0

IV

x > 0

y < 0

OBJETIVO 1

Los cuatro puntos mencionados se

representan en la Figura

Como los puntos A y B tienen lamisma ordenada, el lado quedefinen es paralelo al eje x y sulongitud es de 3 unidades. Conesta información se puedenencontrar los otros dos vértices y,como se puede ver en la Figurauna posibilidad es que seencuentren arriba de A y de B, encuyo caso sus coordenadas seobtienen sumando la longitud dellado a la ordenada de los vérticesconocidos:

C(2, 2 + 3) = (2, 5) y D(5, 2 + 3) = (5, 5)

O bien que se ubiquen hacia abajo,para lo cual se deberá restar lalongitud del lado a las ordenadasde A y de B:

C’(2, 2 – 3) = (2, –1) y D’(5, 2 – 3) = (5, –1)

EJEMPLO 4

Si se localizan los puntos

(–5, –7) y (3, 9) y se

unen con una recta y

se hace lo mismo con

los puntos (–3, 7) y (2,

–8),

a partir de la gráfica se

pueden encontrar las

coordenadas del punto

donde se intersectan.

ejemplos

OBJETIVO 2

Recordarás y aplicarás las fórmulas para determinar la distancia entre dos

puntos cualesquiera del plano coordenado y las coordenadas del punto que divide a un segmento en

una razón r.

a) Distancia entre dos puntos.

Dados dos puntos cualesquiera del plano

coordenado, uno de los siguientes tres casos

puede ocurrir:

1. Que ambos puntos

tengan la misma

ordenada: A(x1, y1),

B(x2, y1). La

distancia entre tales

puntos se determina

tomando el valor

absoluto de la

diferencia de las

abscisas:12 xxd

2. Que los puntos

tengan la misma

abscisa: A(x1, y1),

B(x1, y2). En este

caso la distancia se

obtiene tomando el

valor absoluto de la

diferencia de las

ordenadas:12 yyd

Las longitudes de los catetos a y b se obtienen aplicandolos casos 1. y 2.

a= = y b = =

Valores que se sustituyen en la expresión del Teorema dePitágoras:

Como al elevar al cuadrado se elimina la posibilidad deuna distancia con signo negativo, la expresión quedacomo

y al tomar la raíz cuadrada, dado que se trata de unadistancia, sólo se considera la raíz cuadrada positiva

AC 12 xx

,

BC12 yy

222 bad

212

2

12

2 yyxxd

212

2

12 yyxxd

b) Coordenadas del punto que divide a

un segmento en una razón dada.

Por razón se entiende uncociente de dos númerosexpresado en forma defracción común, porejemplo:

Cuando se dice que un puntoP divide al segmento enla razón r, significa que

lo cual se muestragráficamente:

1 3 6 9; ; ;

2 4 1 8

AB

PB

APr

Si A(x1, y1) y B(x2, y2) son los extremosde un segmento , las coordenadas deun punto P que divide a este segmento enla razón dada son:

Cuando P es el punto medio del segmento

Y las fórmulas se reducen a

AB

PB

APr

r

rxxx

1

21

r

ryyy

1

21

11

1

PB

APr

2

21 xxx

2

21 yyy

OBJETIVO 2

EJEMPLO 1

Encontrar la distancia

entre los puntos:

A(9, –2) y B(9, 11)

Como puede verse, los puntos

tienen la misma abscisa, por lo

tanto su distancia se encuentra

aplicando la expresión del caso 2:

12 yyd

211

211 = 13

Encontrar el perímetro deltriángulo que determinan lospuntos A(2, 2), B(0, 5) yC(–2, 2)

El perímetro de un polígonoes la suma de las longitudesde sus lados. La gráficaindica que el cateto quedefinen los puntos A y C esparalelo al eje x. Su longitudes la distancia entre ellos yse encuentra aplicando lafórmula del primer caso:

EJEMPLO 2

12 xxd

22

4

Los otros dos lados del triángulo no son paralelos a alguno de los ejes, por

lo que se debe aplicar la fórmula del caso 3 para encontrar su longitud:

225202 AB

94

13

222520 BC

94

13

Estos resultados comprueban lo que se aprecia en la gráfica: el triángulo tiene dos

lados iguales, por lo que es un triángulo isósceles, y su perímetro es:

Perímetro = 1324

aproximadamente 11.21 unidades

Encontrar el área del triángulo queforman los puntos A(-2, 2), B(1, 0) yC(0, 5)

El área de un triángulo es la mitad delproducto de la base por la altura.

Al graficar los puntos se observa que,aparentemente, el vértice Acorresponde a un ángulo recto, y enun triángulo rectángulo uno de loscatetos es la base y el otro la altura,pero es necesario que secompruebe primero si efectivamentees un triángulo rectángulo. Por losdatos disponibles esto se puedehacer mediante el Teorema dePitágoras, comprobando que lasuma de los cuadrados de loscatetos sea igual al cuadrado de lahipotenusa:

EJEMPLO 3

EJEMPLO 4

1) El punto medio de unsegmento sobre el eje xes (7, 0). Si uno de losextremos tiene abscisa2, encontrar lascoordenadas del otroextremo.

Los datos del problema sonlas coordenadas de unextremo del segmento,el punto A(2, 0), y lasdel punto medio (7, 0).

Se conocen el valor de

x y el de x1 y se pide

determinar el valor de

x2, entonces:

2

27 2x

2214 x

122 x

→ B(12, 0)

es el otro extremo del segmento.

EJEMPLO 5

Encontrar las coordenadas de los puntos de trisección del segmento que va de A(–2, 3) a B(6, –3)

Los puntos de trisección son los que dividen al segmento en tres partes

iguales, por lo tanto son dos puntos y por la definición de razón,

el primer punto P1 se encuentra a una “parte” de distancia del punto A, inicio

del segmento, y a 2 “partes” del punto B que es el final del segmento, por lo

que

BP

APr

1

12

1=

Las coordenadas de P1 son:r

rxxx

1

21

2

11

62

12

2

3

32

2

3

1

3

2= =

r

ryyy

1

21

2

11

32

13

2

32

33

2

32

3

= = = = 1

=

Para encontrar las coordenadas del segundo punto P2, se observa

que ahora la distancia del punto extremo A a P2 es de 2 “partes” y

de P2 a B es de una “parte”, 2

1

2r

y las coordenadas (x, y) del otro punto que divide al segmento son:

r

rxxx

1

21

21

622

3

10

r

ryyy

1

21

= =

21

323

1

3

63

1,

3

10

= =

P2

Si A(–4, 2) y B(4, 6) son los extremos de un segmento dirigido de A a B, encontrar las coordenadas del punto P que divide a este segmento en la razón r = –3

Como se verá en la representación gráfica, el punto P es externo al segmento, de ahí que la razón es negativa:

EJEMPLO 6

PB

APr = –3

r

rxxx

1

21 31

434

82

16

r

ryyy

1

21

31

632

8

2

16

=

= =

=

Entonces P(8, 8) está fuera del segmento.

ejemplos

OBJETIVO 3

Recordarás la definición de pendiente

de una recta y de línea recta.

Se llama ángulo de

inclinación de una

recta al ángulo que se

forma por la parte

positiva del eje x y la

recta, cuando ésta se

considera dirigida

hacia arriba. Se

designa por la letra

griega α.

Se llama pendiente o

coeficiente angular de

una recta, a la

tangente de su

ángulo de inclinación.

Se designa

comúnmente por la

letra m, por lo tanto

m = tan α

111 , yxP 222 , yxP

Se llama línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que,

tomados dos puntos diferentes cualesquiera del lugar, el valor de la

pendiente m resulta siempre constante.

Dados los puntos y

la pendiente se calcula como

12

12

xx

yym

21 xx

yxP ,

111 , yxP 222 , yxP

Por lo tanto, si es un punto cualquiera de la recta que pasa por

y

por la definición anterior las coordenadas del punto P satisfacen la ecuación

1

1

xx

yym

y quitando el denominador se obtiene 11 xxmyy

Esta expresión se llama forma punto – pendiente de la ecuación de una recta.

OBJETIVO 4

Recordarás y aplicarás las diferentes

formas de la ecuación de una recta,

dadas dos condiciones que la definen.

Una recta en particular tiene una pendiente

dada, pasa por un número infinito de

puntos, e intersecta a uno de los ejes

coordenados en un punto específico, o a

ambos en un punto a cada uno.

Conocidas dos cualesquiera de estas

condiciones, es posible determinar la

ecuación de la recta que las cumple.

OBJETIVO 4

Determinar la ecuación de la recta que tiene

pendiente –3 y pasa por el punto (11, –8).

EJEMPLO 1

La ecuación de la recta que pasa por el punto P1 y tiene pendiente m está

dada por la fórmula 11 xxmyy

Entonces, la ecuación de la recta con pendiente –3 y que pasa por el punto

P1(11, –8) se obtiene sustituyendo estos valores en la ecuación:

1138 xy

3338 xy

3 25y x la ecuación pedida es:

EJEMPLO 2

Determinar la

ecuación de la recta

cuyo ángulo que

forma con el eje x

es de 72 grados y

pasa por el punto

(1, 1)

Como la pendiente de la

recta es la tangente del

ángulo que forma con el

eje x, se debe obtener el

valor de la tangente de

72º para así disponer de

dos características

necesarias para

determinar su ecuación:

el valor de la pendiente y

uno de los puntos por los

que pasa.

tan 72° = 3.0777

Se sustituyen en la forma

punto – pendiente los

valores de m y las

coordenadas del punto:

10777.31 xy

1 3.0777 3.0777y x

3.0777 2.0777y x

la ecuación pedida es:

EJEMPLO 3

Determinar la

ecuación de la recta

que pasa por los

puntos

(4, 2) y (–5, 7)

El cálculo se puede realizar

directamente en la fórmula

sustituyendo la expresión de m: 1

12

121 xx

xx

yyyy

4

54

722

xy 4

9

52 xy

9

20

9

52 xy

Si se utiliza P1 para sustituir x1 y y1 en la ecuación:

Y si se quita el denominador del segundo miembro para tener una

ecuación con coeficientes enteros:

205189 xy 9 5 38y x

Determinar la ecuación de la recta que su

pendiente es 1/7 y su intersección con el

eje y se encuentra a 2 unidades del

origen.

EJEMPLO 4

La expresión “su intersección

con el eje y se encuentra a 2

unidades del origen” no

precisa si es en la parte

positiva o en la parte negativa

del eje, por lo tanto, o bien el

punto de intersección es P1(0,

2), o es P2(0, –2). Ya sea uno

u otro punto, se cuenta con las

dos condiciones necesarias

para determinar la ecuación de

la recta: la pendiente y un

punto. Si el punto es P1(0, 2),

la ecuación es

Si esta ecuación se maneja de

manera que en el primer

miembro quede solamente la

variable y, quedarán explícitos

tanto el valor de la pendiente

como la ordenada del punto

donde la recta intersecta al eje

y (esta intersección se denota

por b y, en este caso, b = 2):

07

12 xy

xy7

12

27

1 xy 2

7

1 xy

se reacomoda de forma que

aparezcan explícitamente la

pendiente y la ordenada al origen,

ahora b = –2, la ecuación es:

27

1 xy

Determinar la ecuación de la recta determinada por los

segmentos sobre los ejes x y y dados por 2 y –3

respectivamente.

En este caso, a diferencia del ejemplo anterior,

se da una cantidad positiva y la otra negativa,

con lo que se entiende que el punto de

intersección que define el segmento de 2

unidades es hacia el lado positivo del eje x, y

el segmento de –3 unidades sobre el eje y es

hacia abajo del origen.

EJEMPLO 5

Los puntos en los que la recta

intersecta a cada eje son P1(2,

0) y P2(0, –3). Con ellos se

emplea la forma dos puntos de

la ecuación de una recta:

1

12

121 xx

xx

yyyy

220

030

xy

22

3 xy

32

3 xy

Y tomando alguno, por ejemplo P1,

la ecuación de la recta es:

Encuentra la ecuación de la recta en la

forma simétrica, si los segmentos que

determina sobre los ejes x y y son 2 y –3

respectivamente.

Como se determinó en el ejemplo 5, los

puntos de intersección con los ejes son

(2, 0) y (0, –3) y se aplicó la forma dos

puntos obteniendo:

EJEMPLO 6

32

3 xy

Si se multiplica por 2 para tener sólo coeficientes

enteros: 632 xyla forma simétrica se obtiene igualando a 1 la ecuación anterior, de

modo que deberán dejarse los términos en x y en y en el primer

miembro y dividir entre –6 toda la ecuación:

6

6

6

2

6

3

yx

Para que la ecuación muestre claramente las intersecciones con los

ejes, conviene que en la segunda fracción se deje el signo menos en el

denominador:

132

yx

Encontrar la ecuación de la recta que

pasa por los puntos (–3, 0) y (0, 5).Es claro que los puntos son sus intersecciones con el

eje x y con el eje y, respectivamente. En el ejemplo

anterior se comprobó que la forma de la ecuación de la

recta que se puede utilizar directamente cuando se

conocen sus intersecciones con los ejes coordenados,

sin necesidad de pasar por la forma dos puntos, es la

forma simétrica: a ≡ inters. con eje x,

b ≡ inters. con eje y,

EJEMPLO 7

1b

y

a

x

Entonces, la ecuación que se pide es1

53

yx

ejemplos

OBJETIVO 5

Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una recta y las condiciones

necesarias y suficientes para las posiciones relativas entre dos rectas en el plano.

Generalmente la ecuación de una recta se expresa

igualando a cero el segundo miembro. En los ejemplos del objetivo anterior, el resultado se daría como sigue:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:

Ejemplo 7:

3338 xy 0253 yx

0777.30777.31 xy 00777.20777.3 yx

205189 xy 03895 yx

27

1 xy 02

7

1 yx 0147 yx

32

3 xy 03

2

3 yx 0623 yx

132

yx 0623 yx

153

yx 01535 yx 01535 yx

Una ecuación en una o dos variables de

primer grado igualada a cero, se llama

forma general de la ecuación de una

recta. Su expresión genérica es:

0 CByAxdonde al menos uno de los coeficientes, A o B , debe ser diferente de cero

y C puede o no ser cero. Esta expresión también se denomina ecuación

lineal o función lineal.

Dada una ecuación lineal en la forma general con B ≠ 0, al expresarla en la

forma punto pendiente se encuentra que:

0 CByAx

CAxBy

B

Cx

B

Ay

la pendiente m de la recta está dada por el cociente

B

Am

y su ordenada al origen, b , es el cociente

B

Cb

Si ahora se expresa en la forma simétrica para conocer sus intersecciones con

los ejes coordenados:0 CByAx

CByAx

C

C

C

By

C

Ax

1

B

C

y

A

C

x

La intersección con el eje x es La intersección con el eje y es

A

Ca

B

Cb

Dadas dos rectas, uno y sólo uno de los

siguientes casos puede ocurrir:

• Las rectas son paralelas

• Las rectas son coincidentes (es la misma

recta)

• Las rectas se cortan en uno y solamente

un punto y, al cruzarse, el ángulo que

forman es de 90º, por lo tanto son

perpendiculares diferente de 90º

Dadas las rectas y ,

la(s) condición(es) necesaria(s) y suficiente(s)

para estos casos son:

1. Paralelas

Para esto se requiere que sus pendientes sean iguales, m = m΄.

Dos rectas son paralelas si los coeficientes de x y y son proporcionales

2. Coincidentes

Para esto se necesita que tengan la misma pendiente y un punto

común, es decir:

m = m΄

3. Se intersecten en un punto y sólo uno:

a) Formando un ángulo de 90º (rectas perpendiculares).

b) Formando un ángulo diferente de 90 grados

0 CByAx 0''' CyBxA

OBJETIVO 5

Dada la ecuación de la recta , encontrar su pendiente y el punto de intersección con el eje y.Como la ecuación está dada en la forma general donde A = 6; B =–5; C = 18, la solución se encuentra aplicando las fórmulasanteriores.

La pendiente de la recta es: = =

Y el punto de intersección con el eje y: = =

EJEMPLO 1

B

Am

5

6

5

6

B

Cb

5

18

5

18

Encontrar la pendiente de la recta , sus intersecciones con los ejes coordenados y representarla en el plano cartesiano.La ecuación de la recta no está en la forma punto -pendiente ni en la forma pendiente - ordenada al origen; de manera que lo más conveniente es expresarla en la forma general y aplicar las fórmulas para determinar la pendiente y las intersecciones con los ejes.

Primero se debe multiplicar la ecuación por el denominador de la fracción y después igualarla a cero y reducir términos semejantes:

EJEMPLO 2

42

313 xy

8326 xy

08263 yx 01063 yx

Con la ecuación de la recta en la forma general, donde A = 3; B = 6 y C = –

10, se encuentra que

B

Am

6

3

2

1= =

3

10

3

10

A

Ca

B

Cb

3

5

6

10

Para representarla en el plano se tienen los dos puntos sobre los ejes:

0,

3

10A

3

5,0B

Indicar el lugar geométrico que determina la

ecuación:

EJEMPLO 3

yxxyx 51622

yxxyxx 51644 22

0165422 yyxxxx

Se necesita reducir los términos semejantes de la ecuación efectuando las

operaciones indicadas:

Si se pasan todos los términos al primer miembro:

Lo que se obtiene es la ecuación de una recta en la forma general

0179 yx 0179 yx

Por tanto, la expresión yxxyx 51622 representa una recta.

Encontrar el valor de k

para que la recta sea

paralela a la rectaRecordando que dos rectas son paralelas si los coeficientes de x y y

son proporcionales, es decir,si →

EJEMPLO 4

0181 ykkx

0734 yx

'' B

B

A

A 0'' BAAB

Si se toman los coeficientes de la primera recta como A y B:

A = k y B = k – 1;

y los de la segunda como A’ y B’:

A’ = 4 y B’ = 3,

0'' BAAB

0143 kk

0443 kk 04 k

4k

entonces

31k

01834 yx

0'' BAAB

03434

Estos son los coeficientes de la primera recta:

Se puede observar que los coeficientes de x y de y son iguales en las dos rectas y que

Las rectas sólo difieren en el término independiente.

Determinar si las rectas R1 que pasa por los

puntos (1, 1) y (4, 4) y R2 que pasa por (0, 4) y

(3, 1) son perpendiculares entre sí.

EJEMPLO 5

0'' BBAA

'

1

m

Se deben analizar los datos que se proporcionan para resolver el

problema de la manera más eficiente. Si los datos fueran las ecuaciones

de las rectas, lo más sencillo sería verificar si la condición

se cumple o no. Pero como la información son dos puntos de cada

recta, lo mejor es utilizar la condición de que las rectas serán

perpendiculares si m = Entonces,

12

12

1 xx

yymR

14

14

1

3

3= = 03

412

Rm 1

3

3

=

2

1

1

R

Rm

m 1"1

RR mmPor lo que y las rectas son perpendiculares.

La ecuación de la recta R1 es

Escribir la ecuación de todas las rectas

paralelas a ella.

EJEMPLO 6

01175 yx

Como se recordará, dos rectas son paralelas si sus pendientes son

iguales, lo que significa que los coeficientes de x y de y son tales que:

'' B

B

A

A

0 CByAx

'' B

B

A

A

75

BA

Si la ecuación de todas las rectas paralelas a R1 se representa como

los coeficientes de R1 serán A’= 5 y B’= –7, de modo que

→7

5

BA

0 CByAx

07

5

CByx

B

Al sustituir A por su equivalente en

0775 CByBx

0775

B

Cy

B

Bx

B

B0

775

B

Cyx

Que también puede expresarse como:

B

C7

075 kyx

01175 yx

Dado quees una constante arbitraria, se le puede llamar k y la ecuación

anterior queda como

Todas las rectas paralelas a R1:

son aquellas que difieren de ésta únicamente en el término independiente.

0975 yx

0179165 yx

055

7 yx

0447

20 yx

1)Corroborar que las siguientes rectas son paralelas a R1:

a)

b)

c)

EJEMPLO 7

Para comprobar que cada recta propuesta es paralela a R1 se debe encontrar

una expresión equivalente de ella con los coeficientes de x y de y iguales a los de

R1

0179165 yx

5 1

' 5 13 13

7 1

' 7 13 13

A

A

B

B

'' B

B

A

A

Como 65 es múltiplo de 5 (ya que 65 = 5 x 13), lo siguiente es verificar si 91 es

múltiplo de 7:

91 = 7 x 13;

dado que las rectas son paralelas si los coeficientes de x y de y son proporcionales

y tenemos:

entonces: y las rectas son paralelas-

055

7 yx

05

5

75 yx

02575 yx

Ahora el coeficiente de x es 1; si esta recta es paralela a R1. Por

comodidad, puede encontrarse una expresión equivalente con coeficiente

5 (para eliminar la fracción en el coeficiente de y).

Al multiplicar por 5 ambos miembros de la ecuación y simplificar, queda:

Se obtiene que A = A’ , B = B’ y las rectas son paralelas.

0447

20 yx

7

47

4

4

7

04

74

4

74

4

7

7

20

4

7

yx

0774

20 yx

0775 yx

En este ejemplo es sencillo encontrar las operaciones que se deben efectuar para

llegar a una ecuación equivalente con coeficiente 5 para x y –7 para y, al observar

que el coeficiente de y en la ecuación es +4, lo que indica que –7 fue multiplicado

por –

Entonces, si se dividen ambos miembros de la ecuación por –

que es equivalente a multiplicarla por,se encuentra que:

Lo que corrobora que R1 y la recta propuesta son paralelas. ejemplos