FuncionesExponenciales

MECU 3031

Algunas funciones exponenciales siguenel siguiente modelo:

𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑎𝑥 + 𝑐,

donde a, b, c son números reales tales que

a >0 y a ≠ 1,

y

b ≠ 0

Funciones exponenciales

Resumen de comportamiento

La función exponencial, f(x) = bax, (para a , un

número positivo diferente de 1, b > 0 y x

cualquier número real) tiene las siguientes

características

GráficasTracemos las gráficas de 𝐲 𝐡(𝐱) =

𝟏

𝟑

𝒙

También, por propiedades de los exponentes:

y =1

3

𝑥

= 3−1 𝑥 = 3−𝑥

f(x) = 3x

Gráficas (cont.)Comparemos las gráficas de y h(x) =

1

3

𝑥

f(x) = 3x

Nota que estas funciones exponenciales tienen en común:1. el int-y es (0,1)2. la asíntota horizontal es eje

de x o sea y = 03. el dominio: todos los reales,

campo de valores: y>0

Gráficas (cont.)Tracemos la gráfica de y = 3x-2

Comparemos las tablas de valores de 3x y 3 x-2:

y = 3x-2 es una traslación horizontal de dos

unidades hacia la derecha de y = 3x .

1. el dominio: −∞,∞ ,

2. campo de valores: 𝟎,∞

3. int-y ya NO es (0,1)

4. la asíntota horizontal y=0

Gráficas (cont.)Tracemos la gráfica de y = 3x - 2

x 𝑦 = 3𝑥

-3127

-219

-113

0 1

1 3

2 9

3 27

Comparemos tablas de valores de 3x y 3x – 2 :

y = 3x-2 es una traslación vertical de dos unidades hacia la abajo de y = 3x

Noten que la traslación vertical mueve también la asíntota horizontal dos unidades hacia la abajo de y = 3x

1. el dominio: −∞,∞ ,

2. campo de valores: 𝟐,∞

3. int-y ya NO es (0,1)

4. la asíntota horizontal es y = -2

Paree cada función con su gráfica.

f(x) = 𝟐𝒙 g(x) = 𝟐

𝟑

𝒙h(x) = 𝟑𝒙 + 𝟐 p(x) = 𝟒𝒙−𝟑

a) b)

c) d)

DEFINICION:

Llamamos la constante 𝑒

la base natural.

𝑒 es un número irracional.

f(x) = 𝑒𝑥 la función exponencial natural

Por ejemplo:

𝒇 𝒙 = −𝟐𝒆𝒙+𝟏 𝒈 𝒙 =𝟏

𝟐𝒆𝟐𝒙 𝒉 𝒙 =3𝒆𝒙 − 𝟓

La constante e

Ejemplo 5: Graficar 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥, g 𝑥 = 𝑒−𝑥 , h 𝑥 = 𝑒𝑥 − 3

La función exponencial natural

¿Crecientes o decrecientes? • f(x) y h(x) son

_______________ en todo su dominio

• g(x) es _______________Dominio y campo de valores• Dominio f(x), g(x) y h(x):

• Campo de valores de f(x) y g(x) es ______, y el de h(x) es ___________.

Asíntota horizontal:• f(x) y g(x): • h(x):

Ej. Utilice su calculadora para aproximar los valores siguientes a 4 lugares decimales:

𝑎) 𝑒2 b) 𝑒3.55 c) 3𝑒0.5 d) 𝑒−1

La constante e (continuación)

La función de la base natural: e

Aquí se presenta la

gráfica de ex , al lado de

2x y 3x .

Note: dominio: (-∞, ∞)

campo de valores

𝒚 > 𝟎

InterésCompuesto Continuamente

Una aplicación de la base natural, e, es la fórmula de interés compuesto:

donde P = el principal (la inversión original)

r = tasa de interés anual expresado

como un decimal

t = número de años que P se invierte

A = valor de la inversión después de t años

Ejemplo Suponer que $20,000 se depositan en una cuenta que

paga interés compuesto continuamente a una razón de

8% por año.

Determine el balance en la cuenta luego de 5 años.

Solución:

Aplicamos la fórmula anterior con P = 20000, r = 0.08 , y

t = 5 :

A = Pert = 20,000e0.08(5)

= 20,000e0.4

$29,836.49

Fórmula de crecimientoLa fórmula de interés compuesto es un caso particular de la

formula de crecimiento.

q = q0ert ,

donde q es la cantidad final, q0, es la cantidad inicial, r es la razon de

crecimiento (en decimal) y t la cantidad de años.

Ejemplo: La población de una ciudad en 1970 era 153,800.

Asumiendo que la población crece continuamente a una

razón de 5% por año, determine en qué año la población

de la ciudad alcanza 1 millón primera vez .

Para la solución aplicamos la fórmula de crecimiento con

con…

Ejemplo (cont.)población inicial: q0 = 153,800 y

razón de crecimiento: r = 0.05 ,

nuestra función de crecimiento es

q = 153,800e(0.05)(t)

Por ejemplo, si t = 30 tenemos

q = 153,800e(0.05)(30)

q ≈ 689,284

Vemos que después de 30 años, todavía no se ha alcanzado el millón.

La población será igual a 1 millón cuando

153,800e(0.05)(t) = 1,000,000.

¿Cómo resolvemos una exponencial?

Ejemplo (cont.)

Usando la calculadora gráfica

153,800e(0.05)(t) = 1,000,000.

Ejemplo (cont.)

Usando la calculadora gráfica

153,800e(0.05)(t) = 1,000,000.

Teorema• Las funciones exponenciales son crecientes o decrecientes

en todo su dominio (monotónicas).

• Una función monotónica es una función uno-a-uno.

Si f(x) = ax para 0 < a < 1 ó a >1

se cumplen las siguientes condiciones:

• La propiedad uno-a-uno de las funciones exponenciales

nos permite resolver ecuaciones exponenciales sencillas.

1. 𝑆𝑖 𝑥1 ≠ 𝑥2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑥1 ≠ 𝑎𝑥2

2. 𝑆𝑖 𝑎𝑥1 ≠ 𝑎𝑥2 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥1≠ 𝑥2.

(cada valor de dominio tiene una

imagen única, las y’s NO se repiten.)

Ejemplos

• Hallar x tal que 73x = 72x + 5.

73x = 72x + 5 ; dado

3x = 2x + 5; propiedad uno-a-uno de la

funciones exponenciales

3x – 2x = 5 restar 2x en cada lado

x = 5 . No olviden que siempre pueden resolver con el método gráficos que se presentó en la lección sobre funciones exponenciales naturales.

Ejemplos• Resolver para x, 35x – 8 = 9x + 2

Ejemplos

• Resolver para x, 𝟏

𝟐

x – 3

= 𝟒𝟐−𝒙

1

2

𝑥−3

= 42−𝑥 𝑑𝑎𝑑𝑜

1

2

𝑥−3

=1

2

−2 2−𝑥

𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒

1

2

𝑥−3

=1

2

−4+2𝑥

𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠.

𝑥 − 3 = 2𝑥 − 4 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑢𝑛𝑜 𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠.

4−3 = 2𝑥 − 𝑥 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑥 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑑𝑜; 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟 4.

1 = 𝑥