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IES SIERRA DE GRAZALEMA MATEMÁTICAS 1º ESOhttp://iesgrazalema.blogspot.com http://www.slideshare.net/DGS998

LENGUAJE ALGEBRAICO. ECUACIONESEJERCICIOS RESUELTOS

Lenguaje numérico y lenguaje algebraico 1.- Completa la tabla utilizando las columnas lenguaje numérico o lenguaje algebraico, según corresponda:

LENGUAJE USUAL LENGUAJENUMÉRICOLENGUAJE

ALGEBRAICO

1.- El doble de 7. 2 ·7

2.- El doble de un número. 2 x

3.- El triple de 6. 3 ·6

4.- El triple de un número. 3 x

5.- La mitad de 8.82

6.- La mitad de un número.x2

7.- La tercera parte de un número.x3

8.- El cuádruple de 5. 4 · 5

9.- El cuádruple de un número. 4 x

10.- El quíntuple de un número. 5 x

11.- 8 disminuye en 3 unidades. 8−3

12.- Un número disminuye en 2 unidades. x−2

13.- 11 aumenta en 4 unidades. 114

14.- Un número aumenta en 3 unidades. x3

15.- El doble de 4 aumenta en 2 unidades. 2 ·42

16.- El doble de un número aumenta en 7 unidades. 2 x7

17.- El cuadrado de 3. 32

1

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18.- El cuadrado de un número. x2

19.- El cubo de 7. 73

20.- El cubo de un número. x3

21.- Un número elevado a la cuarta potencia. x4

22.- 3 al cuadrado más su doble. 322 ·3

23.- El cuadrado de un número más su doble. x22 x

24.- 8 al cubo menos su triple. 83−3 ·8

25.- El cubo de un número menos su triple. x3−3 x

26.- La mitad de 12 menos su tercera parte.122

−123

27.- La mitad de un número menos su tercera parte.x2− x

3

28.- La quinta parte de un número menos su sexta parte.x5− x

6

29.- El cuadrado de 5 más el cuadrado de 3. 5232

30.- La suma de los cuadrados de dos números. x2 y2

31.- El cuadrado de la suma de 3 y 8. 382

32.- El cuadrado de la suma de dos números. x y 2

33.- El cubo de 2 más el cubo de 7. 2373

34.- La suma de los cubos de dos números. x3 y3

35.- El cubo de la suma de 2 y 3. 233

36.- El cubo de la suma de dos números. x y 3

37.- El cuadrado de la diferencia de 7 y 4. 7−42

38.- El cuadrado de la diferencia de dos números. x− y 2

39.- La diferencia de los cuadrados de 5 y 2. 52−22

2

40.- La diferencia de los cuadrados de dos números. x2− y2

41.- El cubo de la diferencia de dos números. x− y 3

42.- La diferencia de los cubos de dos números. x3− y3

43.- El número natural siguiente a n. n1

44.- El número natural anterior a n. n−1

45.- Tres números naturales consecutivos. n ,n1, n2

46.- Un número múltiplo de 3. 3n

47.- Un número múltiplo de 5. 5n

48.- Un número par. 2 n

49.- Tres números pares consecutivos. 2 n ,2 n2, 2n4

50.- Un número impar. 2 n1

51.- Tres números impares consecutivos. 2 n1, 2n3, 2n5

2.- Escribe en lenguaje algebraico: a) El triple de un número más tres es igual a veintiuno.

3 x3=21

b) La mitad de un número es igual a ocho.

x2=8

c) El cubo de un número es igual a veintisiete.

x3=27

d) Dos números pares consecutivos.

2 x ,2 x2

e) La edad de una persona dentro de diez años.

x10

3

f) La edad de una persona hace cinco años.

x−5

g) El triple de la edad que tenía una persona hace cuatro años.

3(x−4)

h) Dos números impares consecutivos.

2 x1, 2 x3

i) La diferencia de los cubos de dos números.

x3− y3

j) El cubo de la suma de dos números.

x y 3

k) Dos decenas más que un número.

x+20

3.- Escribe en lenguaje usual: a) y−5

Un número menos cinco.

b) x12

Un número más doce.

c) 15−m

Quince menos un número.

d) 2 x−2

El doble de un número menos dos.

e) 19−n

Diecinueve menos un número.

f) t 2−2t

El cuadrado de un número menos su doble.

4

g) x1

El número siguiente a x.

h) x−1

El número anterior a x.

i) ab2

El cuadrado de la suma de dos números.

j) a2−b2

La diferencia de los cuadrados de dos números.

k) 2 x 2−3 x

El doble del cuadrado de un número menos su triple.

l) 3 x x3

El triple de un número más su cubo.

4.- Pedro tiene x €, Berta tiene 3 € más, Manuel tiene un tercio del dinero de Pedro, Jorge tiene el triple que Berta y Fernando tiene 3 € menos que Manuel. Expresa, en lenguaje algebraico, el dinero que tiene cada uno.

Pedro→ x €

Berta→(x+3)€

Manuel → x3 €

Jorge→3(x+3) €=(3 x+9)€

Fernando→( x3−3)€ 5.- Utiliza el lenguaje algebraico para expresar el área y el perímetro de las figuras: a)

A=( x+1) x=x2+x x P=2( x+1)+2 x=2 x+2+2 x=4 x+2

x + 1

5

b)

a c

b

A=b· a2 P=a+b+c

6.- Rogelio ha plantado un huerto con lechugas, tomateras y pimientos. Si el número de lechugas es x, expresa en lenguaje algebraico el número de tomateras y pimientos sabiendo que: · Las tomateras son una más que el doble de lechugas. · Hay tantos pimientos como lechugas y tomateras juntas.

Lechugas → x

Tomateras→2 x+1

Pimientos → x+2 x+1=3 x+1

7.- En un cuadrado de 40 cm de perímetro la base mide 4 cm más que la altura. Traduce estas informaciones al lenguaje algebraico.

x cm

(x + 4) cm

Altura=x cm Base=(x+4)cm

Perímetro :2( x+4)+2 x=40

2 x+8+2 x=404 x+8=40

Expresiones algebraicas 8.- Escribe las expresiones algebraicas: a) x más y más z.

x yz La suma de tres números.

b) La diferencia entre el doble de a y el doble de b.

2a−2b Dos a menos dos b.

6

c) El doble de la suma de r y s.

2 rs Dos, r más s.

d) Dos r menos s.

2 r−s La diferencia entre el doble de r y s. e) Tres m más n.

3mn La suma entre el triple de m y n.

f) El doble de x más cinco es igual a diecisiete.

2 x5=17 Dos x más cinco igual a diecisiete.

g) El triple de y sumado a dieciocho es igual a veinticuatro.

183 y=24 Dieciocho más tres y igual a veinticuatro.

h) x más dos x es igual a nueve.

x2 x=9 Un número más su doble es igual a nueve.

9.- Lee las expresiones algebraicas:

a) x7

La séptima parte de número. x entre siete.

b) x y3

Un número más un tercio de otro. x más y entre tres.

c) b22

El cuadrado de la suma de b y dos. b más dos, al cuadrado.

d) 2a−3b

La diferencia entre el doble de a y el triple de b. Dos a menos tres b.

e) xz El producto de x y z. xz.

7

f) x2 y2 z2

El producto de los cuadrados de tres números. x al cuadrado, y al cuadrado, z al cuadrado.

g) abc 3

El cubo de la suma de tres números. a más b más c, al cubo.

h) m2− n

3

La diferencia entre la mitad de un número y la tercera parte de otro. m entre dos menos n entre tres.

Valor numérico de una expresión algebraica10.- Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas para los valores de la letras que se indican en cada caso:

a) {5a²b²=5 ·2232=5 ·49=209=29a=2, b=3 } b) {6 x−2=6 ·−2−2=−12−2=−14x=−2 } c) {3x−1=3 1−1=3·0=0x=1 } d) {4 1−x² =41−−32=41−9=4 ·−9=−36x=−3 }

e) {x2 3 x−1= 12 3· 1−1= 12 3−1= 12 2=52x=1 } f) {x2 3x−1=−22 3 ·−2−1=−1−6−1=−8x=−2 } g) {x2−3 x5=−12−3 ·−15=135=9x=−1 } h) {5 x−6=5 · 10−6=50−6=44x=10 } i) {x25 x3=225· 23=45 ·8=440=44x=2 }

8

j) {ab2=−5122=72=49a=−5, b=12 } k) {ab2=−8−32=−8−32=−112=121a=−8, b=−3 } l) {y−x=7−−5=75=12x=−5, y=7 } m) {2 x y =2 ·−57=2·2=4x=−5, y=7 } n) {2 x− y=2 ·−5−7=−10−7=−17x=−5, y=7 } ñ) {2 xy=2 ·−5· 7=−70x=−5, y=7 } o) {3n4=3· −24=−64=−2n=−2 } p) {n n5=−8 ·−85=−8 ·−3=24n=−8 } q) {n2n1=22 ·21=4 ·3=12n=2 } r) {n2n1=−52 ·−51=25 ·−4=−100n=−5 } s) {x4−1=−34−1=81−1=80x=−3 } t) {x2− y 2=−12−22=1−4=−3x=−1, y=2 } u) {x3−2 x3=−23−2 ·−23=−843=−87=−1x=−2 } v) {x4−5 x5=−34−5 ·−35=81155=101x=−3 } w) {2 x−57 x1 x−4=2 ·4−57 ·41·4−4=2 ·−17 ·5 ·0=−20=−2x=4 }

9

x) { x33x−1 = 433 ·4−1 = 73 · 3 = 79x=4 } y)

{2 x−24 x23

x4= 2 ·4−24 ·4

2344

= 2 ·24 ·1638

= 44·198

= 4768

= 808

=10

x=4 } z) {2 t−6 t2 =2 ·−20−6 −202 =−40−6−10=−56t=−20 }Monomios11.- Selecciona las expresiones algebraicas que sean monomios: a) −7 x3 → Monomio

b) −7 x−3 → No es monomio

c) 34x y2 z3 → Monomio

d) x y2

z3→ No es monomio

e) −xy5 → Monomio

f) xy−5 → No es monomio

g) 3x → No es monomio

h) x3 → Monomio

12.- Determina los componentes de los siguientes monomios: a) 5 x2 → Coeficiente: 5 → Parte literal: x2 → Grado: 2

b) x → Coeficiente: 1 → Parte literal: x → Grado: 1

c) xyz → Coeficiente: 1 → Parte literal: xyz → Grado: 111=3

d) 3 → Coeficiente: 3 → Parte literal: x0 → Grado: 0

e) 7 xy → Coeficiente: 7 → Parte literal: xy → Grado: 11=2

10

f) 9 x2 y → Coeficiente: 9 → Parte literal: x2 y → Grado: 21=3

g) 12 → Coeficiente: 12 → Parte literal: x0 → Grado: 0

h) x2 y2 z3 → Coeficiente: 1 → Parte literal: x2 y2 z3 → Grado: 223=7

Monomios semejantes. Suma y resta de monomios semejantes13.- Agrupa las expresiones algebraicas que sean monomios semejantes:

a) −8 x3 y2 z4 b) −8 x7

c) x2 y3 z 4 d) 8 x7

e) −8 x6 f) −8 x2 y3 z4

g) −5 x6 h) 8 x3 y2 z 4

−8 x7≈8 x7

−8 x6≈−5 x6

x2 y3 z 4≈−8 x2 y3 z 4

−8 x3 y2 z4≈8 x3 y2 z4

14.- Calcula: a) 4 x35 x3=9 x3

b) 2 y2 y Distinto grado⇒ Monomios no semejantes

c) −7 x53 x5=−4 x5

d) ab Distinta parte literal ⇒ Monomios no semejantes

e) 3 x2−5 x2=3 x2−5 x2=−2 x2

f) 5 p35q3 Distinta parte literal⇒ Monomios no semejantes

g) 3 x2−2 x2= x2

h) 10 x3−−4 x3=10 x34 x3=14 x3

i) 15 x5−7 x5=8 x5

j) −2 x43 x 4=x4

k) −14 x4−−10 x 4=−14 x410 x4=−4 x4

l) −7 x5−10 x5=−7 x5−10 x5=−17 x5

11

m) −6 x3 y4 x3 y=−2 x3 y

n) 5a2 b−−6 a2 b=5 a2 b6 a2 b=11a2 b

ñ) 4 a5a3 a27a2=10a29a

o) 3 x27 x2−x2−2 x2=10 x2−3 x2=7 x2

p) −5 x27 x2−3 x 2−x2=7 x2−9 x 2=−2 x2

q) 2 x3−11 x3−6 x3=2 x3−17 x3=−15 x3

r) 3ab25ab2−7ab2=8ab2−7ab2=ab2

s) 3 x2 x−8 x=5 x−8 x=−3 x

t) 3 xy−11 xy4 xy−6 xy7 xy=14 xy−17 xy=−3 xy

u) 2 x 23 x23 x3− x2 x1=3 x35 x2−x2 x1=3 x34 x2x1

v) 3 x2−9 x28 x2−5 x2=11x 2−14 x2=−3 x2

w) −7 x5−3 x29 x255 x5−8=−2 x56 x2−3

x) 2 ( x 2−2 x )+3 x−4 x 2=2 x2−4 x+3 x−4 x2=−2 x2−x

y) x2−(2 x2+x )=x 2−2 x2−x=−x2−x

Igualdades15.- Comprueba si las siguientes expresiones numéricas son igualdades o desigualdades: a)

16=8 Desigualdad7≠8

b)

2 ·3−1=32 Igualdad

6−1=325=5

c)

6 ·36=3· 8 Igualdad186=24

24=24

d)

7−10

2=26

13 Igualdad

7−5=22=2

12

e)

21−4 ·2=42 Desigualdad

21−8=1613≠16

f)

15· 3=52−7 Igualdad

6 · 3=25−718=18

g)

25−2=211 Desigualdad23≠22

h)

86=18−51 Igualdad

14=19−514=14

16.- Comprueba si las siguientes igualdades algebraicas son verdaderas o falsas para los valores dados: a) 24−4 x=4 ; para x=5

24−4 x=4Verdadera24−4 · 5=4

24−20=44=4

b) 20=2 x ; para x=11

20=2 x Falsa20=2 ·1120≠22

c) x−4=20 ; para x=24

x−4=20Verdadera

24−4=2020=20

d) 125 x− x=x ; para x=1

125 x−x= x Falsa125 · 1−1=1

125−1=117−1=1

16≠1

13

e) 5 x−2=4 ; para x=1

5 x−2=4 Falsa5· 1−2=4

5−2=43≠4

f) 4 x−x=5 x10 ; para x=−2

4 x−x=5 x10 Falsa4 · −2−−2=5 ·−210

−82=−1010−6≠0

17.- Clasifica las siguientes igualdades algebraicas según sean identidades o ecuaciones: a)

12 x−3 x=9 x Identidad9 x=9 x

b)

4 x5−3 x2= x7 Identidadx7=x7

c)

3 x−615=2 x25 Ecuación3 x9=2 x25

d)

2 x2 y2 z=2 x y z Identidad2 x2 y2 z=2 x2 y2 z

e)

3 x−6=3x−2 Identidad3 x−6=3 x−6

f)

2 x4=3 x−x−8 Identidad

2 x8=3 x− x82 x8=2 x8

g)

x−1−3 x−1=2 x4 Ecuación

x−1−3 x3=2 x4−2 x2=2 x4

h)

3x1=3 x3 Identidad3 x3=3 x3

14

i)

3 x−2 x5 x=2 x−7 Ecuación

4 x−2 x5=2 x−72 x5=2 x−7

j)

5 x8−2 x=−4 x−127 x20 Identidad3 x8=3 x8

k)

−4 x5=−3x−107 x−8 x−122 Identidad−4 x−20=7 x−11 x2−22−4 x−20=−4 x−20

l)

3 x−85x12=24 x3 Ecuación8 x5=8 x6

m) 5 n−7=3n−1→ Ecuación

n)

5(n−1)=5n−5→ Identidad5 n−5=5n−5

ñ)

7 x−3 x+3=4+4 x−1→ Identidad4 x+3=4 x+3

o)

7 x−3 x=6−2 x → Ecuación4 x=6−2 x

p) 2 x2=18→ Ecuación

q) x2−4 x+3=0→ Ecuación

r)

x ( x−1)=x2−x → Identidad

x2− x=x2−x

s)

3 x+2− x=2( x+1)→ Identidad2 x+2=2 x+2

15

18.- Encuentra la fórmula general para el valor de n en las siguientes secuencias: a)

1 2 3 4 10 n1 3 5 7 19 2 n−1

b)1 2 3 4 10 n2 5 10 17 101 n2+1

Ecuación: incógnita, grado, miembros, términos y soluciones19.- Describe las siguientes ecuaciones: a) x23 x=0

{Incógnia : xGrado: 2}⇒Ecuación de segundo grado conuna incógnita

1er miembro: x23 x{Término : x2Término :3 x} 2º miembro :0Término : 0 Soluciones : x1=0 x 2=−3

b) 3 x−6=2 x8

{Incógnita : xGrado :1}⇒ Ecuaciónde primer grado conuna incógnita

1er miembro:3 x−6{Término :3xTérmino :−6} 2º miembro :2 x8{Término : 2 xTérmino :8 } Solución: x=14

c) x2 y2=10

{Incógnitas : x , yGrado :2}⇒Ecuación de segundo gradocon dos incógnitas

1er miembro: x2 y2 {Término : x2Término : y2} 2º miembro :10Término :10

Solución: x=¿? y=¿?

16

20.- Comprueba si x=7 es solución de estas ecuaciones: a) x−7=1

4−7=1−3≠1⇒ x≠7

b) 2 x−x=21

2 x−x=21x=21⇒ x≠7

c) x+10−2 x=2 x−10

x+10−2 x=2 x−10− x+10=2 x−10−7+10=2 · 7−10−7+10=14−10

3≠4⇒ x≠7

d) 3(x+3)=5 x−5

3(x+3)=5 x−53 x+9=5 x−5

3 · 7+9=5 · 7−521+9=35−5

30=30⇒ x=7

Ecuaciones equivalentes21.- ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son equivalentes? a) x5=10⇒ x=5 b) x5=8⇒ x=3

c) x78=155⇒ x15=20⇒ x=5 d) x−8=−3⇒ x=5

Ecuaciones equivalentes :a , c , d

22.- Construye ecuaciones equivalentes a la ecuación 10 x5=25 : a) Sumando a los dos miembros el número 3.

10 x5=25⇔10 x53=253⇔10 x8=28 b) Restando a los dos miembros el número 4.

10 x5=25⇔10 x5−4=25−4⇔10 x1=21

c) Sumando a los dos miembros la expresión algebraica 5x.

10 x5=25⇔10 x5 x5=255 x ⇔15 x5=255 x

17

d) Restando a los dos miembros la expresión algebraica 8x.

10 x5=25⇔10 x−8 x5=25−8 x⇔2 x5=25−8 x

e) Multiplicando los dos miembros por el número 6.

10 x5=25⇔610 x5=6 ·25⇔60 x30=150

f) Dividiendo los dos miembros por el número 5.

10 x5=25⇔ 10 x55=25

5⇔2 x1=5

23.- Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando ecuaciones equivalentes: a) x2=8

Con ecuaciones equivalentes En la prácticax2=8

x2−2=8−2x=6

x2=8x=8−2x=6

b) a−2=6

Con ecuaciones equivalentes En la prácticaa−2=6

a−22=62a=8

a−2=6a=62a=8

c) 4x=10−2

Con ecuaciones equivalentes En la práctica4x=10−24x=8

4−4x=8−4x=4

4x=10−24x=8

x=8−4x=4

d) 4 r=20

Con ecuaciones equivalentes En la práctica4 r=204 r4

=204

r=5

4 r=20

r=204

r=5

18

e) c−6=−1

Con ecuaciones equivalentes En la prácticac−6=−1

c−66=−16c=5

c−6=−1c=−16c=5

f) −t2=3

Con ecuaciones equivalentes En la práctica−t2=3

−t2−2=3−2−t=1−t−1

= 1−1

t=−1

−t2=3−t=3−2−t=1

t= 1−1

t=−1

g) −y7=3

Con ecuaciones equivalentes En la práctica− y7=3

−y7−7=3−7− y=−4− y−1

=−4−1

y=4

− y7=3− y=3−7− y=−4

y=−4−1

y=4

h) 15−d=12

Con ecuaciones equivalentes En la práctica15−d=12

15−15−d=12−15−d=−3−d−1

=−3−1

d=3

15−d=12−d=12−15−d=−3

d=−3−1

d=3

i) 16=4 y

Con ecuaciones equivalentes En la práctica16=4 y

4 y=164 y4

=164

y=4

16=4 y4 y=16

y=164

y=4

19

j) 75=25 x

Con ecuaciones equivalentes En la práctica75=25 x

25 x=7525 x25

=7525

x=3

75=25 x25 x=75

x=7525

x=3

k) 4 x=−20

Con ecuaciones equivalentes En la práctica4 x=−204 x4

=−204

x=−5

4 x=−20

x=−204

x=−5

l) 2 x10=16

Con ecuaciones equivalentes En la práctica2 x10=16

2 x10−10=16−102 x=62 x2

=62

x=3

2 x10=162 x=16−102 x=6

x=62

x=3

m) 5 x10=7 x2

Con ecuaciones equivalentes En la práctica5 x10=7 x2

5 x−7 x10=7 x−7 x2−2 x10=2

−2 x10−10=2−10−2 x=−8−2 x−2

=−8−2

x=4

5 x10=7 x25 x−7 x=2−10

−2 x=−8

x=−8−2

x=4

20

n) 10 x−2=1

Con ecuaciones equivalentes En la práctica10 x−2=110 x−20=1

10 x−2020=12010 x=2110 x10

=2110

⇒ x=2110

10 x−2=110 x−20=1

10 x=12010 x=21

x= 2110

ñ) 6 x−2=31−5 x

Con ecuaciones equivalentes En la práctica6 x−2=31−5 x

6 x5 x−2=31−5 x5 x11 x−2=31

11 x−22=31211 x=33

x=3311

x=3

6 x−2=31−5 x6 x5 x=312

11 x=33

x=3311

x=3

o) 9 x36=6 x

3−3

Con ecuaciones equivalentes En la práctica9 x3

6=6 x3

−3

3 x6=2 x−33 x−2 x6=2 x−2 x−3

x6=−3x6−6=−3−6

x=−9

9 x3

6=6 x3

−3

3 x6=2 x−33 x−2 x=−3−6

x=−9

p) 24x−6=506

Con ecuaciones equivalentes En la práctica24 x−6=506

x18=56x18−18=56−18

x=38

24 x−6=506x18=56

x=56−18x=38

21

q) 7 x−6=x85 x

Con ecuaciones equivalentes En la práctica7 x−6=x85 x7 x−6=6 x8

7 x−6 x−6=6 x−6 x8x−6=8

x−66=86x=14

7 x−6= x85 x7 x−6=6 x8

7 x−6 x=86x=14

r) −3x=14

Con ecuaciones equivalentes En la práctica−3 x=14

−33 x=143x=17

−3 x=14x=143x=17

s) 34 x=−75 x−1

Con ecuaciones equivalentes En la práctica34 x=−75 x−14 x3=5 x−8

4 x−5 x3=5 x−5 x−8−x3=−8

−x3−3=−8−3−x=−11−x−1

=−11−1

x=11

34 x=−75 x−14 x3=5 x−8

4 x−5 x=−8−3−x=−11

x=−11−1

x=11

t) x7=3

Con ecuaciones equivalentes En la prácticax7=3

7 x7

=7 · 3

x=21

x7=3

x=3 · 7x=21

22

u) 43x=2

5

Con ecuaciones equivalentes En la práctica43

x=25

3· 43

x=3 · 25

4 x=65

5· 4 x=5 · 65

20 x=620 x20

= 620

x= 620

x= 310

43

x=25

15 ·43

x=15·25

20 x=6

x= 620

x= 310

Método general para la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita24.- Resuelve: a) 3 x−5=4

3 x−5=43 x=453 x=9

x=93

x=3

b) 6−7 x=20

6−7 x=20−7 x=20−6−7 x=14

x= 14−7

x=−2

c) 5 x−30=0

5 x−30=05 x=0305 x=30

x=305

x=6

23

d) −7 x3=3

−7 x3=3−7 x=3−3−7 x=0

x= 0−7

x=0

e) 19−2 x=3

19−2 x=3−2 x=3−19−2 x=−16

x=−16−2

x=8

f) 7 x−6=5 x

7 x−6=5 x⇒7 x−5 x=6⇒2 x=6⇒ x=62⇒ x=3

g) 30−2 x=4 x

30−2 x=4 x−2 x−4 x=−30

−6 x=−30

x=−30−6

x=5

h) 3 x−4=24− x

3 x−4=24− x3 x x=244

4 x=28

x=284

x=7

i) 2 x3=5−3 x

2 x3=5−3 x2 x3 x=5−3

5 x=2

x= 25

24

j) x5=−x13

x5=−x13xx=13−5

2 x=8

x=82

x=4

k) 2 x5=74 x

2 x5=74 x2 x−4 x=7−5

−2 x=2

x= 2−2

x=−1

l) 9 x810 x=7 x155 x

9 x810 x=7 x155 x19 x8=12 x15

19 x−12 x=15−87 x=7

x=77⇒ x=1

m) 2 x−57 x=−3 x198 x

2 x−57 x=−3 x198 x9 x−5=5 x19

9 x−5 x=1954 x=24

x=244

x=6

n) −3x5=2 x−1x−9 x

−3 x5=2 x−1x−9 x−3 x5=3 x−9 x−1− 3 x5=−6 x−1

−3 x6 x=−1−53 x=−6

x=−63

x=−2

25

ñ) −x53 x−1=−2 x22 x

−x53 x−1=−2 x22 x2 x4=−x222 xx=22−4

3 x=18

x=183

x=6

o) −5 x−110 x−23 x=0

−5 x−110 x−23 x=013 x−5 x−3=0

8 x−3=08 x=038 x=3

x=38

25.- Resuelve: a) 33 x1−x−1=6 x10

9 x3−x1=6 x608 x4=6 x60

8 x−6 x=60−42 x=56

x=562

x=28

b) 53− x−4 x1=−4 x1

53− x−4 x1=−4 x115−5 x−4 x−4=−4 x1

−9 x11=−4 x1−9 x4 x=1−11

−5 x=−10

x=−10−5

x=2

c) 2 x3−6 5x =3 x4

2(x+3)−6(5+x )=3 x+4⇒2 x+6−30−6 x=3 x+4⇒−4 x−24=3 x+4⇒

⇒−4 x−3 x=4+24⇒−7 x=28⇒ x= 28−7

⇒ x=−4

26

d) 52−x 3 x6=10−4 62 x

52−x 3 x6=10−4 62 x10−5 x3 x18=10−24−8 x

−2 x28=−8 x−14−2 x8 x=−14−28

6 x=−42

x=−426x=−7

e) 3 x8−5x−5=2 x6−7 x

3 x8−5 x−5=2x6−7 x−2 x3=2 x12−7 x−2 x3=−5 x12

−2 x5 x=12−33 x=9

x=93

x=3

f) 4 x−21=5 x1−3 x

4(x−2)+1=5(x+1)−3 x4 x−8+1=5 x+5−3 x

4 x−7=2 x+54 x−2 x=5+7

2 x=12

x= 122

x=6 g) 3x−1−2 x=52− x−12

3x−1−2 x=52− x−123 x−3−2 x=10−5 x−12

x−3=−5 x−2x5 x=−23

6 x=1

x=16

h) 3x−3=5x−1−6 x

3( x−3)=5( x−1)−6 x⇒3 x−9=5 x−5−6 x⇒3 x−9=−x−5⇒3 x+ x=−5+9⇒

⇒ 4 x=4⇒ x= 44

⇒ x=1

27

i) 35 x9−3x−7=11 x−27

35 x9−3x−7=11 x−2715 x27−3 x21=11x−227

12 x48=11 x−1512 x−11 x=−15−48

x=−15−48x=−63

j) 4 x−23x−1=38

4 x−23 x−1=384 x−83 x−3=38

7 x−11=387 x=38117 x=49

x=497x=7

k) 7−x10−2 x−5=−1

7−x10−2 x−5=−1−7 x70−2 x10=−1

−9 x80=−1−9 x=−1−80−9 x=−81

x=−81−9

x=9

l) −2x31=4 x−2

−2x31=4 x−2−2 x−61=4 x−8

−2 x−5=4 x−8−2 x−4 x=−85

−6 x=−3

x=−3−6

x=12

m) 5x−3− x=2 x−3x13

5(x−3)−x=2 x−3( x+1)+3⇒5 x−15− x=2 x−3 x−3+3⇒4 x−15=−x⇒

⇒ 4 x+x=15⇒5 x=15⇒ x= 155

⇒ x=3

28

n) 5[ x−46 ]=4 x6

5[ x−46]=4 x65 x−430=4x65 x−2030=4 x24

5 x10=4 x245 x−4 x=24−10

x=14

ñ) 2 [ x5x−2]=32 x−17

2[ x5x−2]=32 x−172 x10x−2=32 x−172 x10 x−20=6 x−37

12 x−20=6 x412 x−6 x=420

6 x=24

x=246

x=4

o) 5[9−2x−7]=3x−5

45−10( x−7)=3(x−5)45−10x+70=3 x−15−10 x+115=3 x−15−10 x−3 x=−15−115

−13 x=−130

x=−130−13

x=10

p) 3x−4−2=2[ x−3 2 x−15]

3 x−4−2=2[ x−32 x−15]3x−4−2=2 x−62 x−153 x−12−2=2 x−12 x90

3 x−14=−10 x903 x10 x=9014

13 x=104

x=10413

x=8

q) 2 [3 2 x1−5 x ]=3 [ x−2 x−6] x−2

2 [3(2 x+1)−5 x ]=3[ x−2(x−6)]+x−2⇒6(2 x+1)−10 x=3 x−6( x−6)+x−2⇒⇒12 x+6−10 x=3 x−6 x+36+ x−2⇒2 x+6=4 x−6 x+34⇒2 x+6=−2 x+34⇒

⇒2 x+2 x=34−6⇒4 x=28⇒ x=284 ⇒ x=7

29

26.- Resuelve:

a) x3 x

6=6

x3 x

6=6

6 x3

6 x6

=6 ·6

2 x x=363 x=36

x=363

x=12

b) x8 x

12=5

x8 x

12=5

24 x8

24 x12

=24 ·5

3 x2 x=1205 x=120

x=1205

x=24

c) x6− x

9=1

x6 −x9=1⇒

18 x6 −

18 x9 =18 · 1⇒3 x−2 x=18⇒ x=18

d) x23=x

x23=x

2 x2

2 ·3=2 x

x6=2 xx−2 x=−6

−x=−6

x=−6−1

x=6

30

e) x2=2 x31

x2=2 x3

1

3 x3 ·2=3 ·2 x3

3·1

3 x6=2 x33 x−2 x=3−6

x=−3

f) 5 x22=202

5 x2

2=202

5 x2

2=22

2·5 x2 2 ·2=2 ·22

5 x4=445 x=44−45 x=40

x= 405x=8

g) x33=x5

x33

= x5

3x33

=3 x3 ·5

x3=3 x15x3=3 x15

x−3 x=15−3−2 x=12

x= 12−2

x=−6

31

h) x−12= x−2

3 x−3

4

x−12

= x−23

x−34

12 x−12

=12 x−2

3

12x−34

6x−1=4 x−23x−36 x−6=4 x−83 x−96 x−6=7 x−17

6 x−7 x=−176−x=−11

x=−11−1

x=11

i) 2 x−33= x5

2

2 x3

3= x5

2⇒

62 x−33

=6 x5

2⇒2 2 x−3=3x5⇒4 x−6=3 x15⇒

⇒4 x−3 x=156⇒ x=21

j) x24− x1

6=2

x24

− x16

=2

12 x24

−12x1

6=12 ·2

3 x2−2x1=243 x6−2 x−2=24

x4=24x=24−4x=20

k) 3 x−712=2 x−3

6− x−1

8

3 x−712

=2 x−36

− x−18

24 3 x−712

=242 x−3

6−

24 x−18

2 3 x−7=4 2 x−3−3x−16 x−14=8 x−12−3 x36 x−14=5 x−96 x−5 x=−914

x=5

32

l) 7− x−24= x−3

35

7− x−24

= x−33

5

12 ·7−12 x−24

=12x−3

312 ·5

84−3x−2=4 x−36084−3 x6=4 x−1260−3 x90=4 x48−3 x−4 x=48−90

−7 x=−42

x=−42−7

x=6

m) x104=2 x−8

x104

=2 x−8⇒ 4 x104

=4 ·2 x−4 ·8⇒x10 =8x−32⇒ x10=8 x−32⇒

⇒ x−8 x=−32−10⇒−7 x=−42⇒ x=−42−7

⇒ x=6

n) x38− x−3

10= x−5

4−1

x38

− x−310

= x−54

−1

40 x38

−40x−3

10=

40 x−54

−40 ·1

5 x3−4x−3=10 x−5−405 x15−4 x12=10 x−50−40

x27=10 x−90x−10 x=−90−27

−9 x=−117

x=−117−9

⇒ x=13

ñ) x43− x−4

5=23x−1

15

x+43 −

x−45 =2+

3 x−115 ⇒

15(x+4)3 −

15( x−4)5 =15 · 2+

15(3 x−1)15 ⇒

⇒5( x+4)−3( x−4)=30+(3 x−1)⇒5 x+20−3 x+12=30+3 x−1⇒

⇒2 x+32=3 x+29⇒⇒2 x−3 x=29−32⇒−x=−3⇒ x=−3−1

⇒ x=3

33

o) x12 x4

5− x3

4=1

x12

x45

− x34

=1

20 x12

20x4

5−

20 x34

=20 ·1

10 x14 x4−5 x3=2010 x104 x16−5 x−15=20

14 x−5 x26−15=209 x11=20

9 x=20−119 x=9

x=99

x=1

p) 2 x−69 x5

27= x17

18

2 x−69

x527

= x1718

542 x−69

54 x5

27=

54 x1718

6 2 x−62 x5=3x1712 x−362 x10=3 x51

14 x−26=3 x5114 x−3 x=5126

11 x=77

x=7711

x=7

q) 2 x−318 x−2

9=3 x−4

12−2 x−7

36

2 x−318

x−29

=3 x−412

−2 x−736

36 2 x−318

36x−2

9=

36 3 x−4 12

−362 x−7

3622 x−34 x−2=33 x−4−2 x−7

4 x−64 x−8=9 x−12−2 x78 x−14=7 x−58 x−7 x=−514

x=9

34

r) x16− x4

3=21

4

x16

− x43

=214

12 x16

−12 x4

3=12 ·212 ·1

42 x1−4 x4=243

2 x2−4 x−16=27−2 x−14=27

−2 x=2714−2 x=41

x= 41−2

x=− 412

s) 2 x−24

− x−42

= x8

2x−24

− x−42

= x8

8 ·2 x−24

−8x−42

=8x8

4 x−2−4x−4= x4 x−8−4 x16=x

8=xx=8

t) 3x14

7 x−1

12=2 x1

6

3x14

7x−1

12=2 x1

6⇒

12 ·3x14

12·7 x−1

12=

122 x16

⇒

⇒9 x17 x−1=2 2 x1⇒9 x97 x−7=4 x2⇒16 x2=4 x2⇒

⇒16 x−4 x=2−2⇒12 x=0⇒ x= 012

⇒ x=0

u) 7x−612

−52 x−13

8=− 1

24

7(x−6)12 −

5(2 x−13)8 =−

124 ⇒

24 ·7( x−6)12 −

24 ·5(2 x−13)8 =−

24 ·124 ⇒

⇒14(x−6)−15(2 x−13)=−1⇒14 x−84−30 x+195=−1⇒

⇒−16 x+111=−1⇒−16 x=−1−111⇒−16 x=−112⇒ x=−112−16

⇒ x=7

35

v) 11 x−112

736

=2 x3

9

11x−112

736

=2 x3

936· 11x−1

1236 ·7

36=36 · 2 x3

933 x−17=8 x333 x−337=8 x24

33 x−26=8 x2433 x−8 x=2426

25 x=50

x=5025

x=2

w) 75−

42 x−915

=3 3 x−16

10

75−

4 2 x−915

=33 x−16

1030·7

5−30 ·4 2 x−9

15=30 ·3 3x−16

1042−82 x−9=93 x−1642−16 x72=27 x−144−16 x114=27 x−144−16 x−27 x=−144−114

−43 x=−258

x=−258−43

x=6

x) 2( x2−3)=4 x3

2( x2 −3)=4 x32 x2 −6=

4 x3

x−6= 4 x3

3 x−3 · 6=3 · 4 x33 x−18=4 x

3 x−4 x=18

−x=18⇒ x=18−1

⇒ x=−18

36

y) 3 x−712 =16 (2 x−3)−

x−18

3 x−712 =

16 (2 x−3)−

x−18

3 x−712

= 2 x6

−36− x−1

824(3 x−7)

12 =24 · 2 x

6 −24 · 3

6 −24(x−1)

82(3 x−7)=8 x−12−3( x−1)

6 x−14=8 x−12−3 x+36 x−14=5 x−96 x−5 x=−9+14

x=5

z) x3−2 ·( x+3)=3−x

2−1

2

x3−2 ·( x+3)=3−x

2−1

2x3−2 x−6=3−x

2−1

26 x3

−6 · 2 x−6 · 6=6(3−x )2

−6 · 12

2 x−12 x−36=3(3− x)−32 x−12 x−36=9−3 x−3

−10 x−36=−3 x+6−10 x+3 x=6+36

−7 x=42

x= 42−7

x=−6

Resolución de problemas utilizando ecuacionesNúmeros27.- La suma de tres números enteros consecutivos es igual a 66. Calcula esos números.

1er número→ x2º número→ x+13er número → x+2

x+ x+1+x+2=66⇒3 x+3=66⇒3 x=66−3⇒3 x=63⇒ x=633 ⇒ x=21

1er número→ x=212º número→ x+1=21+1=223er número → x+2=21+2=23

Comprobación : 21+22+23=66

37

28.- Calcula tres números pares consecutivos y tales que su suma sea 24.

1er número par 2 x2º número par 2 x23er número par 2 x4

2 x2 x22 x4=24⇒6 x6=24⇒6 x=24−6⇒6 x=18⇒ x=183⇒ x=3

1er número par 2 x=2 ·3=62º número par 2 x2=2 ·32=62=83er número par 2 x4=2 ·34=64=10

Comprobación:6810=24

29.- Calcula tres números impares consecutivos y tales que su suma sea 51.

1er númeroimpar 2 x12º número impar 2 x33er número impar 2 x5

2 x12 x32 x5=516 x9=51

6 x=51−96 x=42

x=426

x=7

1er número impar 2 x1=2 ·71=141=152º número impar 2 x3=2·73=143=173er número impar 2 x5=2 ·75=145=19

Comprobación :151719=51 30.- La suma de tres números consecutivos es igual al doble del mayor más 1. Calcula los números.

1er número x2º número x13er número x2

x x1 x2=2 x21x x1 x2=2 x41

3 x3=2 x53 x−2 x=5−3

x=2

1er número x=22º número x1=21=33er número x2=22=4

Comprobación: 234=2 ·41⇒9=9

38

31.- Encuentra dos números consecutivos y tales que la suma del primero más el doble del segundo sea 26.

1er número x

2º número x1

x2 x1=26⇒ x2 x2=26⇒3 x2=26⇒3 x=26−2⇒3 x=24⇒ x=243⇒ x=8

1er número x=8

2º número x1=81=9Comprobación :82 ·9=818=26

32.- Calcula tres números consecutivos y tales que su suma sea 48.

1er número x2º número x13er número x2

xx1 x2=483 x3=48

3 x=48−33 x=45

x=453

x=15

1er número x=152º número x1=151=163er número x2=152=17

Comprobación :151617=48

33.- La suma de dos números es 23 y la diferencia es 7. ¿Cuáles son esos números? 1er número x2º número23−x

x−23− x=7x−23x=7

2 x−23=72 x=7232 x=30

x=302

x=15

1er número x=152º número23−x=23−15=8

Comprobación:15−8=7

1er número x2º número x7

x x7=232 x7=23

2 x=23−72 x=16

x=162

x=8

1er número x=82º número x7=87=15


39

34.- Calcula dos números desconocidos sabiendo que su diferencia es 10 y que el menor es igual a la sexta parte del mayor.

Nº menor x Nº mayor x10

x= x106

6 x=6x1066 x=x10

6 x−x=105 x=10

x=105

⇒ x=2

Nº menor x=2Nº mayor x10=210=12

Comprobación : 2= 126

Nº mayor x Nº menor x6

x− x6=10

6 x−6 x6

=6 · 10

6 x− x=605 x=60

x=605

⇒ x=12

Nº mayor x=12 Nº menor x6

= 126

=2

Comprobación:12−2=10

35.- Un número decimal aumenta en 31,5 si desplazamos la coma de su posición inicial un lugar hacia la derecha. ¿De qué número se trata?

Número decimal → xComa desplazada un lugar a la derecha⇒Número multiplicado por 10 →10 x

10 x=x+31,5⇒10 x− x=31,5⇒9 x=31,5⇒ x=31,59 ⇒ x=3,5

Número decimal → x=3,5Coma desplazada un lugar a la derecha⇒ Número multiplicado por 10 →10 x=35

Comprobación :35−3,5=31,5

Figuras geométricas36.- La base de un rectángulo es cuatro veces mayor que su altura y su perímetro es de 40 cm. Halla las dimensiones del rectángulo.

x cm

4x cm

Altura xcmBase 4 x cm4 xx4 x x=40⇒10 x=40⇒ x=40

10⇒ x=4

Altura xcm=4 cm Base4 x cm=4 ·4cm=16 cm

Comprobación:16 cm4cm16 cm4 cm=40 cm

40

37.- Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que la base es 4 m mayor que la altura y que su perímetro es de 40 m.

x m Ancho x mLargox4 m

(x + 4) m

x4x x4x=404 x8=40

4 x=40−84 x=32

x=324

x=8

Ancho x m=8mLargox4 m=84 m=12 m

Comprobación:12 m8m12 m8m=40 m

38.- Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que la base es el doble del ancho más 5 cm y que su perímetro es de 34 cm.

x cm Ancho x cmLargo2 x5cm (2 x + 5) cm

2 x5x2 x5 x=346 x10=34

6 x=34−106 x=24

x=246

x=4

Ancho x cm=4 cmLargo2 x5cm=2 ·45cm=85cm=13 cmComprobación :13 cm+4 cm+13cm+4 cm=34 cm

39.- Una barra mide 80 cm y está pintada de azul y blanco. La longitud pintada de azul es 14 veces mayor que la mitad de la longitud pintada de blanco. Halla la longitud pintada de cada color.

80 cm

x cm (80 – x) cm

x=14 · 80−x 2

⇒ x=7 ·80−x ⇒ x=560−7 x⇒ x7 x=560⇒8 x=560⇒ x=5608

⇒ x=70

Azul x=70 cmBlanco80−x=80 cm−70 cm=10 cm Comprobación :14 · 10

2=14· 5=70

41

40.- En un triángulo isósceles cada uno de los lados iguales mide 5 cm más que el tercer lado. Si tiene 70 cm de perímetro, ¿cuánto mide cada lado? B

AC=x cmAB=(x+5)cmBC=( x+5)cm

A C

x+ x+5+x+5=703 x+10=70

3 x=70−103 x=60

x=603

x=20

AC=x cm=20cmAB=(x+5)cm=(20+5)cm=25cmBC=( x+5)cm=(20+5)cm=25cm

Comprobación :8cm8cm4cm=20 cm

41.- El perímetro de un triángulo isósceles mide 20 cm. El lado desigual mide la mitad de uno de sus lados iguales. ¿Cuánto mide cada lado? B

AB=x cmBC=x cm

AC= x2

cm

A C

x x x2=20

2 x2 x 2 x2

=2 ·20

2 x2 x x=405 x=40

x=405

x=8

AB=x cm=8cmBC= xcm=8cm

AC= x2

cm=82

cm=4cm

Comprobación :8cm8cm4cm=20 cm

42

42.- Un segmento que mide 22 cm se parte en dos, de modo que una de las partes mide 6 cm más que la otra. ¿Cuánto mide cada trozo? 22 cm

x cm (22 – x) cm

x=22− x6x=22−x6x=−x28

x x=282 x=28

x=282

x=14

1er trozo→ x cm=14 cm

2º trozo →(22−x)cm=(22−14)cm=8cm

Comprobación :14=8+6

43.- El modelo representa una pieza de madera que tiene un perímetro de 38 cm. Calcula el valor de los lados desconocidos; el inferior y el superior.

2 x + 4

5

9 4 9 – 5 = 4

2 x

2 x92 x4544=384 x26=38

4 x=38−264 x=12

x=124

x=3

Lado inferior →2 x=2 · 3=6 cmLado superior →2 x+4=2 · 3+4=6+4=10 cm

Comprobación :6 cm+9 cm+10cm+5 cm+4 cm+4 cm=38 cm

43

44.- Los lados de un rectángulo miden 25 y 18 cm respectivamente. Quitamos a cada lado el mismo número de centímetros y obtenemos otro rectángulo de 66 cm de perímetro. ¿Cuántos centímetros hemos quitado a cada lado?

Quitamos x cm

25−x 18−x 25− x18−x =6625− x18− x25−x18−x=66

−4 x86=66−4 x=66−86−4 x=−20

x=−20−4

x=5

Quitamos x cm=5cm 25−5cm18−5cm25−5cm18−5cm=20cm13 cm20 cm13 cm=66 cm

Edades 45.- La edad del padre es cuatro veces mayor que la de Javier y el padre tiene 30 años más que Javier. ¿Cuáles son sus edades?

Edad de Javier x añosEdad del padre 4 x años

4 x=x30⇒4 x−x=30⇒3 x=30⇒ x=303⇒ x=10

Edad de Javier x años=10 añosEdad del padre 4 x años=4 · 10años=40 años

Comprobación: 40=1030 46.- La suma de las edades de Luis y de Pedro es 18 años. Si Luis tiene el doble de años que Pedro. ¿Cuáles son sus edades?

Edad de Luis xañosEdad de Pedro18− xaños

x=218− x⇒ x=36−2 x⇒ x2 x=36⇒3 x=36⇒ x=363⇒ x=12

Edad de Luis x años=12 añosEdad de Pedro18−x años=18−12años=6 años

Comprobación :12 años=2 ·6años

44

47.- Mi padre tiene el triple de mi edad y entre los dos sumamos 60 años. ¿Cuáles son nuestras edades?

Mi edad x añosEdad de mi padre3 x años

x3 x=60⇒4 x=60⇒ x=604⇒ x=15

Mi edad x años=15 añosEdad de mi padre 3 x años=3 ·15años=45 años

Comprobación :15 años45 años=60 años

48.- Jaime tiene un año más que Beatriz, que tiene el doble de edad que su hermano pequeño. Entre los tres tienen 26 años. Calcula la edad de cada uno.

Jaime→(2 x+1)añosBeatriz →2 x añosPequeño→ x años

2 x+1+2 x+ x=265 x+1=26

5 x=26−15 x=25

x= 255

x=5

Jaime →(2 x+1)años=(2 · 5+1)años=(10+1)años=11 añosBeatriz →2 x años=2 · 5años=10añosPequeño→ x años=5 años

Comprobación :11 años+10 años+5años=26 años

49.- Si mi hermano mayor tiene el triple de edad que mi hermano menor y a su vez; mi hermano mayor tiene 22 años más que mi hermano menor. ¿Cuáles son sus edades?

Edad de mi hermano menor x años Edad de mi hermano mayor 3 x años

3 x=x22⇒3 x− x=22⇒2 x=22⇒ x=222⇒ x=11

Edad de mi hermano menor x años=11 añosEdad de mi hermano mayor 3 x años=3 ·11años=33 años

Comprobación33 años=11 años22

45

50.- La hermana mayor de Patricia tiene 6 años más que ella. Y su hermana menor tiene 8 años menos que ella. Si entre las tres suman 37 años. ¿Cuántos años tiene Patricia?

Patricia x añosHermana mayorx6añosHermana menorx−8años

x x6 x−8=373 x−2=37

3 x=3723 x=39

x=393

x=13

Patricia x años=13 añosHermana mayorx6años=136años=19 añosHermana menorx−8años=13−8años=5 años


51.- El padre de David tiene el triple de la edad de su hijo, y este, tiene 24 años menos que su padre. ¿Cuántos años tiene cada uno?

David x añosPadre3 x años

x=3 x−24x−3 x=−24−2 x=−24

x=−24−2

x=12

David x años=12 añosPadre3 x años=3 ·12 años=36 años

Comprobación:12 años=36 años−24 años

Edades en distintas épocas y otros supuestos 52.- Su padre tiene 25 años más que Juan. Dentro de 15 años la edad del padre será el doble de la de Juan. ¿Qué edades tienen?

Hoy Dentro de 15 años

· 2 → Comprobación

Juanx

10 años

x15

1015=25 años

Padrex25

1025=35 años

x2515= x40

1040=50 años

x40=2 x15⇒ x40=2 x30⇒ x−2 x=30−40⇒− x=−10⇒ x=−10−1

⇒ x=10

46

53.- Daniel tiene ahora 8 años más que su hermana Cristina, pero dentro de 4 años la edad de Daniel será el doble de la de Cristina. ¿Cuántos años tiene cada uno?

Ahora Dentro de 4 años

·2 → Comprobación

Cristinax

4 años

x4

44=8 años

Danielx8

48=12 años

x84=x12

412=16 años

x12=2 x4x12=2 x8x−2 x=8−12

− x=−4

x=−4−1

x=4

54.- La edad de mi abuelo es siete veces la mía. Dentro de 16 años la edad de mi abuelo será triple de la mía. Calcula nuestras edades.



Nietox

8 años

x16

816=24 años

Abuelo7 x

7 ·8=56 años

7 x16

5616=72 años

7 x+16=3(x+16)⇒7 x+16=3 x+48⇒7 x−3 x=48−16 ⇒4 x=32⇒ x=324 ⇒ x=8

55.- La madre tiene 40 años y su hijo 10 años. ¿Dentro de cuántos años la edad de la madre será triple de la del hijo?

Hoy Dentro de x años x=5 años


Hijo10 años 10 x

105=15 años

Madre40 años 40x

405=45 años

40x=310 x⇒40 x=303 x⇒ x−3 x=30−40⇒−2 x=−10⇒ x=−10−2

⇒ x=5

47

56.- Hoy el padre tiene 80 años y su hijo 40 años. ¿Cuántos años hace que la edad del padre fue triple que la del hijo?

Hoy Hace x añosx=20 años


Hijo40 años 40−x

40−20=20 años

Padre80 años 80− x

80−20=60 años

80− x=340− x⇒80− x=120−3 x⇒− x3 x=120−80⇒2 x=40⇒ x=402⇒ x=20

57.- Andrea tiene 16 años, su hermano Paco 14 años y su padre 40 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será igual a la suma de las edades de su dos hijos?

Hoy Dentro de x añosx=10 años

→ Comprobación

Andrea16 años 16 x

1610=26 años

Paco14 años 14 x

1410=24 años

Padre40 años 40x

4010=50 años

40x=16 x14 x⇒40x=2 x30⇒ x−2 x=30−40⇒−x=−10⇒ x=−10−1

⇒ x=10

58.- La suma de las edades de padre e hijo es 31 años. Dentro de 22 años el padre doblará la edad de su hijo. ¿Cuáles son sus edades en la actualidad?



Padrex

28 años

x22

2822=50 años

Hijo31− x

31−28=3 años

31− x22=53− x

53−28=25 años

x22=253− x⇒ x22=106−2 x⇒ x2 x=106−22⇒3 x=84⇒ x=843⇒ x=28

48

59.- Hace 12 años, la edad de una madre era el cuádruplo de la de su hijo. Sabiendo que la madre tenía 27 años cuando nació su hijo. ¿Cuáles son las edades actuales de ambos?

Hoy Hace 12 años


Hijox

21 años

x−12

21−12=9 años

Madrex27

2127=48 años

x27−12=x15

2115=36 años

x15=4 x−12⇒ x15=4 x−48⇒ x−4 x=−48−15⇒−3 x=−63⇒ x=−63−3

⇒ x=21

60.- Un padre dice a su hija: Hace dos años mi edad era cuatro veces la tuya y dentro de ocho años la suma de nuestras edades será 70 años. ¿Qué edad tiene cada uno?

Hace 2 años Hoy Dentro de 8 años

+

Hijax

10 años

x+2

10+2=12 años

x+2+8=x+10

10+10=20 años

Padre4 x

4 · 10=40 años

4 x+2

40+2=42años

4 x+2+8=4 x+10

40+10=50 años70

x+10+4 x+10=705 x+20=70

5 x=70−205 x=50

x=505

x=10

61.- Dentro de 8 años, Manuela tendrá el triple de años que su hija y la suma de sus edades en ese momento será 48 años. Calcula la edad actual de cada una.

Dentro de 8 años Hoy

Manuela3 x

3· 12=36 años

3 x−8

36−8=28 años

Hijax

12 años

x−8

12−8=4 años

3 x+ x=48⇒4 x=48⇒ x= 484 ⇒ x=12

49

62.- La edad de Elisa es la tercera parte de la su madre. Si dentro de 15 años su madre tendrá el doble de edad que ella, ¿cuántos años tiene ahora cada una?



Elisa

x3

453

=15 años

x3 +15

15+15=30 años

Madrex

45 años

x+15

45+15=60 años

x+15=2( x3 +15)⇒ x+15=2 x3 +30⇒3 x+3 · 15=3 · 2 x3 +3 · 30⇒3 x+45=2 x+90⇒⇒3 x−2 x=90−45⇒ x=45

Conejos, gallinas y otros supuestos63.- En una granja hay conejos y gallinas, siendo 40 las cabezas y 136 las patas. ¿Cuántos conejos y gallinas hay?

Cabezas Patas

→ Comprobación

Conejosx

28

4 x

4 ·28=112

Gallinas40−x

40−28=12

2 40−x =80−2 x

80−2 ·28=80−56=2440 136

4 x80−2 x=136⇒2 x80=136⇒2 x=136−80⇒2 x=56⇒ x=562⇒ x=28

64.- En una casa de campo hay vacas y avestruces. Se han contado 61 cabezas y 196 patas. ¿Cuántas vacas y avestruces hay?

Cabezas Patas

→ Comprobación

Vacasx

37

4 x

4 · 37=148

Avestruces61− x

61−37=24

2 61−x =122−2 x

122−2 ·37=122−74=4861 196

4 x122−2 x=196⇒2 x122=196⇒2 x=196−122⇒2 x=74⇒ x=742⇒ x=37

50

65.- Un hotel tiene habitaciones sencillas y dobles. El total de habitaciones es 55 y el número de camas es 85. ¿Cuántas habitaciones de cada clase hay?

Habitaciones Camas

→ Comprobación

Sencillasx

25

x

25

Dobles55− x

55−25=30

2 55−x =110−2 x

110−2 ·25=110−50=6055 85

x110−2 x=85⇒− x110=85⇒− x=85−110⇒−x=−25⇒ x=−25−1

⇒ x=25

66.- Tengo 11 monedas; unas de 1 € y otras de 0,50 €. En total tengo 9 €. ¿Cuántas monedas tengo de cada tipo?

Monedas Euros

1 €x

7

x

7

0,50 €11− x

11−7=4

0,50 11−x =5,5−0,50 x

5,5−0,50 ·7=5,5−3,5=211 9

x5,5−0,50 x=9⇒0,50 x5,5=9⇒0,50 x=9−5,5⇒0,50 x=3,5⇒ x= 3,50,50⇒ x=7

67.- Miguel mete en su hucha todas las monedas de 2 € y de 0,50 € que tiene. Si ya tiene 32 monedas que hacen 32,50 €, ¿cuántas monedas tiene de cada tipo?

Monedas Euros

2 €x

11

2 x

22

0,50 €32− x

32−11=21

0,50(32−x)=16−0,50 x

16−0,50 ·11=16−5,5=10,5032 32,50

2 x+16−0,50 x=32,50⇒1,50 x+16=32,50⇒1,50 x=32,50−16⇒1,50 x=16,50

⇒ x= 16,501,50

⇒ x=11

51

Euros68.- Max ha comprado 1 kg de mangos, 1 kg de manzanas y 1 kg de peras y ha pagado 12 €. El kg de mangos cuesta el doble que el de manzanas y éste último vale el triple que el de peras. Calcula el precio de 1 kg de cada fruta.

1 kg de peras→ x €1 kg de manzanas→3 x €1 kg de mangos→2 · 3 x €=6 x €

x+3 x+6 x=12⇒10 x=12⇒ x=1210 ⇒ x=1,20

1 kg de peras→ x € =1,20 €1 kg de manzanas→3 x € =3 ·1,20 € =3,60 €1 kg de mangos→ 2 · 3 x € =6 x € =6 · 1,20 €=7,20 €

Comprobación :1,20 €+3,60 €+7,20 €=12 €

69.- Dos kg de naranjas cuestan lo mismo que un kg de plátanos. Juan ha pagado 15 € por 3 kg de plátanos y 4 kg de naranjas. ¿Cuánto cuesta cada fruta?

1 kg de naranjas → x €1 kg de platanos →2 x €

3· 2 x+4 x=15⇒6 x+4 x=15⇒10 x=15⇒ x=1510 ⇒ x=1,5

1 kg de naranjas → x € =1,50 €1 kg de platanos →2 x €=2 · 1,50€ =3€

Comprobación :3 kg ·3 € /kg+4 kg · 1,5 € /kg=9 € +6 € =15 €

70.- El patrocinador de un equipo deportivo juvenil se ha gastado 735 € en la compra del equipo de los 15 jugadores. Si una camiseta cuesta 3 € más que un pantalón, ¿cuánto cuesta cada prenda?

1 camiseta →( x+3)€1 pantalón→ x €

15 ·(x+3)+15 x=735⇒15 x+45+15 x=735⇒30 x+45=735⇒30 x=735−45⇒

⇒30 x=690⇒ x= 69030

⇒ x=23

1 camiseta →( x+3)€=(23+3)€=26 €1 pantalón→ x €=23 €

Comprobación :15 camisetas ·26 € /camiseta+15 pantalones· 23€ /camiseta == 390 € +345 €=635 €

52

71.- Marcos ha gastado 205 € en comprar 20 paquetes de de folios y 15 carpetas para su oficina. Si una carpeta cuesta 2 € más que un paquete de folios. ¿Cuánto cuesta una carpeta? ¿Y un paquete de folios?

1 paquete de folios → x €1 carpeta →(x+2)€

20 x+15(x+2)=20520 x+15 x+30=205

35 x+30=20535 x=205−30

35 x=175

x=17535

x=5

1 paquete de folios → x €=5 €1 carpeta →(x+2) € =(5+2)€=7 €

Comprobación : 20 paquetes · 5 € / paquete+15 carpetas ·7 € /carpeta == 100 € +105 € =205 €

72.- Tres amigos van a una librería a hacer compras. Juan gasta el doble que Alicia y Ana gasta el triple que Alicia. Si entre los tres gastan 72 €. ¿Cuánto ha gastado cada uno?

Alicia x €Juan2 x €Ana3 x €

x2 x3 x=72⇒6 x=72⇒ x=726⇒ x=12 Comprobación :12 €24 €36 € =72 €

73.- La entrada del cine costaba 2 € menos que la entrada del circo. Luis pagó 16 € por dos entradas del cine y dos del circo. ¿Cuál es el precio de las entradas?

Entrada del circo x €Entrada del cinex−2€

2 x2 x−2=16⇒2 x2 x−4=16⇒4 x−4=16⇒4 x=164⇒4 x=20⇒ x=204⇒ x=5

Entrada del circo x €=5 €Entrada del cinex−2€=5−2€ =3 € Comprobación :2 · 5 € +2 · 3 € =10 € +6 € =16 €

74.- La tercera parte de los euros que tenía menos 1 euro es igual a la sexta parte de los euros que tenía. ¿Cuántos euros tenía? Tenía x €

x3−1= x

6⇒ 6 x

3−6 ·1=6 x

6⇒2 x−6= x⇒2 x− x=6⇒ x=6 Tenía x €=6 €

Comprobación : 63−1=6

6⇒2−1=1⇒1=1

53

75.- Un grupo de 5 amigos hace una competición con juegos de estrategia. Acuerdan repartir 210 € en premios, de modo que a cada uno le correspondan 10 € más que al que se quede en posición inmediatamente inferior. ¿Cuántos euros recibe cada uno?

5º clasificado x €4º clasificado x10€3er clasificadox1010=x20€2º clasificadox2010= x30€1er clasificadox3010=x40€

x x10x20 x30 x40=2105 x100=210

5 x=210−1005 x=110

x=1105

x=22

5º clasificado x € =22 €4º clasificado2210=32 €3er clasificado3210=42 €2º clasificado4210=52 €1er clasificado5210=62 €

Comprobación : 22 € 32 €42 € 52 €62 €=210 €

76.- Tres personas se reparten 3.000 €. Una recibe 65 € más que otra, y esta 200 € más que una tercera. ¿Qué dinero recibe cada una?

3ª persona x €2ª personax200€1ª personax20065=x265€

xx200 x265=3.0003 x465=3.000

3 x=3.000−4653 x=2.535

x=2.5353

x=845

3ª persona x € =845 €2ª persona845200=1.045 €1ª persona 1.04565=1.110 €

Comprobación:845 €1.045 €1.110 €=3.000 €

77.- Si tenemos 2.800 € en billetes de 500 € y de 100 €, de manera que el número de estos es el doble que el de los primeros. ¿Cuántos billetes se tienen de cada clase?

Billetes de 500 € x ⇒500 x €Billetes de 100 € 2 x⇒200 x €

500 x200 x=2.800⇒700 x=2.800⇒ x=2.800700⇒ x=4 Billetes de500 € x=4

Billetes de100 € 2 x=2 ·4=8

Comprobación: 4 ·500 € 8·100 € =2.000 € 800 € =2.800 €

54

Otros78.- En el curso 2016/2017 se han matriculado en el Instituto 77 alumnos. Hay 1 chica más que chicos. ¿Cuántos chicas y cuántas chicos hay?

Chicos → xChicas → x+1

x+ x+1=77⇒2 x+1=77⇒2 x=77−1⇒2 x=76⇒ x=762 ⇒ x=38

Chicos → x=38Chicos → x+1=38+1=39 Comprobación :38 chicos+39chicas=77 alumnos

79.- José y sus amigos fueron de excursión. El primer día anduvieron 5 km más que el segundo, y el tercero, el doble que el primer día. En total han recorrido 59 km. Calcula qué distancia han recorrido cada día.

Segundo día→ x kmPrimer día→ x+5 kmTercer dia→2(x+5)km

x+x+5+2( x+5)=59x+x+ 5+2 x+10=59

4 x+15=594 x=59−154 x=44

x= 444

x=11

Segundo día → x km=11 kmPrimer día→ x+5 km=11+5 km=16 kmTercer dia→ 2( x+5)km=2 ·16 km=32 km

Comprobación :16 km+11 km+32 km=59 km

80.- Arantxa tiene el doble de lápices de colores que Julio. Este tiene 10 lápices menos que Cristina. Pedro tiene 13 lápices más que Julio. Entre todos tienen 88 lápices. ¿Cuántos tiene cada uno?

Arantxa →2( x−10)Julio→ x−10Cristina → xPedro→ x−10+13=x+3

2(x−10 )+x−10+ x+ x+3=88⇒2 x−20+ x−10+x+x+3=88⇒5 x+3−30=88⇒

⇒5 x−27=88⇒5 x=88+27⇒5 x=115⇒ x= 1155

⇒ x=23

Arantxa →2( x−10)=2(23−10)=2 ·13=26Julio→ x−10=23−10=13Cristina → x=23Pedro→ x−10+13=x+3=23+3=26

Comprobación :26+13+23+26=88

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81.- A una fiesta acudieron el doble de mujeres que de hombres y el triple de niños que de hombres y mujeres juntos. Si en total había 156 personas. ¿Cuántas eran hombres, mujeres y niños?

Hombres xMujeres 2 xNiños3 x2 x=3 · 3 x=9 x

x2 x9 x=156⇒12 x=156⇒ x=15612⇒ x=13

Hombres x=13Mujeres 2 ·13=26Niños 31326=3· 39=117


82.- A la celebración de mi cumpleaños acudieron 49 personas. El número de niños fue el doble que el número de mujeres y el número de éstas el doble que el número de hombres. ¿Cuántos niños, mujeres y hombres asistieron?

Hombres xMujeres 2 xNiños 2· 2 x=4 x

x2 x4 x=49⇒7 x=49⇒ x=497⇒ x=7

Hombres x=7Mujeres 2 x=2 ·7=14Niños 2 ·2 x=4 x=4 ·7=28

Comprobación : 71428=49

83.- Una empresa ha vendido cinco veces más lavadoras que microondas y el doble de microondas que de televisores. Si en total se han vendido 169 aparatos. ¿Cuántos televisores, microondas y lavadoras han vendido?

Televisores xMicroondas 2 xLavadoras5 · 2 x=10 x

x2 x10 x=169⇒13 x=169⇒ x=16913⇒ x=13

Televisores x=13Microondas 2 x=2·13=26Lavadoras 5·2 x=10 x=10 ·13=130


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84.- Esther y Ramón han recorrido, en total, 275 km del Camino de Santiago. El primer día recorrieron 25 km más que el segundo, y el tercero, el doble de km que el primero. Calcula la distancia recorrida cada día.

1er día→(x+25)km20 día→ x km3er día→2(x+25)km

( x+25)+x+2(x+25)=275⇒ x+25+x+2 x+50=275⇒4 x+75=275⇒

⇒4 x=275−75⇒ 4 x=200⇒ x= 2004

⇒ x=50

1er día→(x+25)km=(50+25)km=75 km20 día→ x km=50 km3er día→2(x+25)km=2 ·75 km=150 km

Comprobación :75km+50 km+150 km=275 km

85.- El doble de horas del día que han transcurrido es igual al cuádruplo de las horas que quedan por transcurrir. ¿Qué hora es?

Horas transcurridas xHoras que quedan por transcurrir 24−x

2 x=4 24−x 2 x=96−4 x

2 x4 x=966 x=96

x=966

x=16

Horas trascurridas x=16⇒Son las 16: 00 Comprobación : 2 ·16=4 ·8⇒32=32

86- De una pieza de tela después de haber vendido la mitad, la quinta parte y la décima parte quedan 20 m. Halla la longitud de la pieza de tela.

Longitud de la pieza de tela x m

x− x2− x

5− x

10=20

10 x−10 x2

−10 x5

−10 x10

=10 · 20

10 x−5 x−2 x−x=2002 x=200

x=2002

x=100

Longitud de la pieza de tela→ x m=100 m

Comprobación:100−1002−100

5−100

10=100−50−20−10=100−80=20

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87.- En un gran almacén hay 5 dependientes por cada jefe de sección. Si en total trabajan 72 personas, ¿cuántos dependientes y cuántos jefes de sección hay?

Dependientes→5 xJefes de sección → x

5 x+x=72⇒6 x=72⇒ x=726 ⇒ x=12

Dependientes→5 x=5 ·12=60Jefes de sección → x=12 Comprobación :60+12=72

88.- En una bolsa hay bolas azules, blancas y rojas. El número de bolas rojas es igual al de bolas blancas más 14, y hay 6 bolas azules menos que blancas. Si en total hay 98 bolas, halla cuántas bolas hay de cada color.

Bolas blancas xBolas rojas x14Bolas azules x−6

x x14x−6=98⇒3 x8=98⇒3 x=98−8⇒3 x=90⇒ x=903⇒ x=30

Bolas blancas x=30Bolas rojas x14=3014=44Bolas azules x−6=30−6=24


89.- Dos hermanos, Irene y Alejandro, tienen 73 discos. Irene tiene el doble de discos que Alejandro más 1. ¿Cuántos discos tiene cada uno?

Alejandro x discosIrene73−x discos

73− x=2 x1⇒− x−2 x=1−73⇒−3 x=−72⇒ x=−72−3

⇒ x=24

Alejandro xdiscos=24 discosIrene73−x discos=73−24discos=49 Comprobación : 49=2 · 241⇒49=49

90.- La edad de Pablo es el doble que la de su hermana Fátima. En total suman 15 años. ¿Qué edad tiene cada uno?

Fátima x añosPablo2 x años

x2 x=15⇒3 x=15⇒ x=153⇒ x=5

Fátima xaños=5añosPablo2 xaños=2 ·5años=10 años Comprobación :5años10 años=15 años

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91.- Luis ha regalado la mitad de los DVD que tenía a Juan. Después, le ha dado la tercera parte de los que le quedaban a su hermana. Al final se ha quedado con 6 DVD. ¿Cuántos DVD tenía al al principio?

DVD→ x

Juan→ x2

Hermana→x− x

23

=

2 x− x23

=

x23

= x6

x− x2− x

6=6

6 x−6 x2

−6 x6

=6 · 6

6 x−3 x−x=366 x−4 x=36

2 x=36

x=362

x=18

DVD→ x=18

Juan→ x2

= 182

=9

Hermana →x− x

23

=

2 x− x23

=

x23

= x6=18

6=3

Comprobación :18−9−3=18−12=6 DVD

92.- Cervantes nació en el siglo XVI. La suma de las cifras del año de su nacimiento es 17 y la cifra de las unidades es 7. ¿En qué año nació el autor de El Quijote?

{Siglo XVI ⇒1500−1599Cifre de las unidades=7}⇒Nació15 x 7

1+5+x+7=17x+13=17

x=17−13x=4

Nació15 x7=1547


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93.- En un control de 20 preguntas se dan 10 puntos por cada pregunta acertada y se quitan 5 puntos por cada pregunta no contestada o mal contestada. Si un alumno saca 80 puntos. ¿Cuántas preguntas ha acertado?

Total de preguntas20

{Preguntas acertadas xPuntos por pregunta acertada10}{Preguntas no contestadas omal contestadas 20−xPuntos por pregunta no contestadao mal contestada−5}Total de puntos80

10 x−520−x =8010 x−1005 x=80

15 x−100=8015 x=8010015 x=180

x=18015x=12

Preguntas acertadas x=12Preguntas no contestadas omal contestadas 20−x=20−12=8

Comprobación :12 ·108 ·−5=120−40=80

94.- Un examen de matemáticas consta de diez cuestiones. Por cada una bien resuelta te dan 10 puntos y por cada una mal te quitan 3 puntos. Si Ana contestó a todas las preguntas y obtuvo 61 puntos, ¿qué cantidad de respuestas correctas obtuvo?

Total de cuestiones →10

{Respuestas correctas → xPuntos por cuestión bien resuelta→10}{Respuestas incorrectas→10−xPuntos por cuestión mal resuelta →−3}Total de puntos →61

10 x+(−3)(10− x)=6110 x−30+3 x=61

13 x−30=6113 x=61+3013 x=91

x=9113

x=7

Respuestas correctas → x=7Respuestas incorrectas→10−x=10−7=3

Comprobación :7 ·10+3 ·(−3)=70−9=61

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95.- Al iniciar el día la nariz de Pinocho medía 2 cm. Cada vez que dice una mentira la nariz le crece 3 cm y cada vez que dice una verdad le disminuye 2 cm. Cuando termina el día, Pinocho ha dicho 7 mentiras y su nariz mide 17 cm. ¿Cuántas veces ha dicho la verdad a lo largo del día?

Por mentira →3cmNº de mentiras →11Por verdad →−2 cmNº de verdades → x

2+3 · 7−2 x=172+21−2 x=17−2 x+23=17

−2 x=17−23−2 x=−6

x=−6−2

x=3

Mentiras →7Verdades → x=3

Comprobación :2 cm+7 mentiras · 3cm /mentira+3verdades ·(−2 cm /verdad )== 2 cm+21 cm−6cm=21 cm−6 cm=17 cm

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lenguaje algebraico. ecuaciones ejercicios ......g) x 1 el número siguiente a x. h) x−1 el...

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