05 metodo algebraico
TRANSCRIPT
Programación Lineal
Método algebraico
IO1 R.Delgadillo 2
Introducción
Conjuntos convexos, teoremas
Forma canónica y estándar de un P.L.
Soluciones básicas posibles
Método Algebraico
IO1 R.Delgadillo
Conceptos
Conjunto convexo: Un conjunto de puntos S es convexo, si el segmento de línea que une cualquier par de punto de S esta en S.
Esto es, S es un conjunto convexo, si para todo
0,1 )1( 21 paraSxx
Sxi
IO1 R.Delgadillo 4
Conceptos
AB
A B
A
B
A
B
A
B
Conjuntos convexos
Conjuntos no convexos
IO1 R.Delgadillo 5
Conceptos
Punto extremo: Un punto P es denominado punto extremo (esquina) , si todo segmento de línea que esta completamente en S y contiene a P, tiene a P como punto extremo del segmento de línea.
Esto es si P no puede ser representado como una combinación convexa estricta de dos puntos distintos en S.
)1,0(
IO1 R.Delgadillo 6
Conceptos
x3
x2
P.
.
.
Punto extremo
IO1 R.Delgadillo 7
Conceptos
Región Factible: Es un conjunto de todos los puntos que satisfacen todas las restricciones del problema
Teorema 1: La región factible de un problema de programación lineal es un conjunto convexo y tiene un número finito de puntos extremos.
IO1 R.Delgadillo 8
Conceptos
Solución óptima: Es un punto de la región factible con mayor valor de la F.O. (problema de Max)
Teorema 2: Todo problema de programación lineal que tiene solución óptima, tiene un punto extremo que es óptimo.
IO1 R.Delgadillo 9
Problemas de PL
Forma genérica ó canónica de un PPL, se denomina así cuando se escribe
objetivofunción la de toscos
0
,..1 ; ,...,1 ..
Zmax1
j
j
ijij
o
n
jjj
cdonde
x
njmibxaas
cxc
IO1 R.Delgadillo 10
Problemas de PL
Variables artificiales: se denominan así a las variables que se agregan al problema con la finalidad de hacer una restricción de desigualdad en igualdad.
Si la restricción es >= la variable artificial es de exceso
Si la restricción es <= la variable artificial es de holgura.
IO1 R.Delgadillo 11
Problemas de PL
Forma normal ó estándar de un PPL, se denomina así cuando se escribe
Esto es, todas las restricciones son de igualdad
objetivofunción la de toscos
0
,..1 ; ,...,1 ..
Zmax1
j
j
ijij
o
n
jjj
cdonde
x
njmibxaas
cxc
IO1 R.Delgadillo 12
Ejemplo:
Dado el siguiente problema en la forma genérica
Max z = 3x1 + 4x2
s.a. x1 + x2 <= 9
x1 + 2 x2 <= 16
x1, x2 > 0
IO1 R.Delgadillo 13
Ejemplo:
La forma normal se obtiene agregando las variables de holgura
Max z = 3x1 + 4x2
s.a. x1 + x2 + x3 = 9
x1 + 2 x2 + + x4 = 16
x1, x2 , x3, x4 > 0
IO1 R.Delgadillo 14
Conceptos
Base: De un espacio vectorial es cualquier conjunto de vectores que pertenezcan al espacio y que además:
Son linealmente independientes
Son un conjunto generador del espacio vectorial.
Ejemplo:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3- 0 0
2 1 0
0 1 1v1 v2 x3 v1 v2 v3
IO1 R.Delgadillo 15
Conceptos
Dado un sistema de ecuaciones lineales, de nvariables y m restricciones:
suponga n ≥ m,
=> si n-m variables tomen valor =0, garantiza que las m variables restantes asuma valores únicos.
bAX
IO1 R.Delgadillo 16
Conceptos Variables no Básicas: Son las variables
que no pertenecen a la base y toman valores iguales a cero.
# VNB = # variables – # restricciones.
= n – m
Variable Básicas: Son aquellas variables que pertenecen a la base y toman valores positivos (≥0)
#VB = # de restricciones =m
IO1 R.Delgadillo 17
Conceptos Solución Básica: Es una solución que
satisface Ax = b y cuyas VB ≥0 y VNB = 0.
así las columnas asociadas a las VB son linealmente independiente.
Solución Básicas posible: Son soluciones básicas con valores de sus variables todos ≥0
Solución Básica degenerada: Son soluciones básicas en las que algunas VB toman valor igual a cero.
IO1 R.Delgadillo 18
Conceptos
Solución Básica óptima: Es una solución básica posible y cuyo valor de Z (F.O.) es máximo.
Solución adyacente básica posiblesDos soluciones básicas posibles son adyacentes, si sus conjuntos de variables básicas tienen m-1 variables básicas en común.
IO1 R.Delgadillo 19
Ejemplo
Grafique e identifique, soluciones básicas, soluciones básicas posibles, solucion básica óptima.
max z = 3x1 + 4x2
s.a. x1 + x2 <= 9
x1 + 2 x2 <= 16
x1, x2 > 0
IO1 R.Delgadillo 20
Ejemplo
Agregando las variables de holgura se tiene:
Max z = 3x1 + 4x2
s.a. x1 + x2 + x3 = 9
x1 + 2 x2 +x4 = 16
x1, x2, x3, x4 > 0
IO1 R.Delgadillo 21
Ejemplo
(0,0,9,16)(9,0,0,7} (16,0,-7,0)
(2,7,0,0)
(0,9,0,-2)
(0,8,1,0)
x2=0
x4=0
x1=0
x3=0Sol. óptima
Sol. básica
Sol. Básica factible
IO1 R.Delgadillo 22
Método Algebraico
El método consiste en :
Generar una solución básica posible
Evaluar si la solución básica es óptima
En caso que no lo es, generar una nueva solución básica posible, tal que
Znuevo > Zanterior
IO1 R.Delgadillo 23
Método algebraico
Del problema anterior
Max z = 3x1 + 4x2
s.a. x1 + x2 + x3 = 9
x1 + 2 x2 + + x4 = 16
x1, x2 , x3, x4 > 0
IO1 R.Delgadillo 24
Método algebraico
La primera base es la formada por las variables de holgura:
B1 = { x3, x4}
NB = { x1, x2} , x1 = x2 = 0
=> x3 = 9
x4 = 16
Z = 0
IO1 R.Delgadillo 25
Método algebraico
Escribimos las Variables básicas y Z en función de las no básicas.
Usemos la función explícita:
x3 = 9 – x1 – x2
x4 = 16- x1 –2x2
z = 0 + 3x1 + 4x2
Variablesbásicas
Variables no básicas
IO1 R.Delgadillo 26
Método algebraico
Evaluamos si SBP es óptima;
observememos que si x1 ó x2 <>0
Z crece.
=> (x3, x4) no es solución óptima.
Criterio de solución óptima: ninguna de las variables de la no base tienen coeficientes estrictamente positivos
IO1 R.Delgadillo 27
Método algebraico
Generamos otra base, por el intercambio de una de las variables de la base y de la no base; esto es, sale una variable de la base y entra una variable de la no base.
Es más facil ver la variable que sale que la que entra.
IO1 R.Delgadillo 28
Método algebraico
Criterio para la variable que entra en la base: debe entrar la variable que tenga mayor coeficiente positivo; que hace que Z crezca rápidamente.
En el ejemplo la variable que entra es x2. X1 permanece con valor cero (x1=0)
B2 = {x2, ?}
IO1 R.Delgadillo 29
Método algebraico
Criterio para la variable que sale de la base: debe salir la variable que toma valor cero cuando la variable que entra toma su máximo valor. Esto es limita el crecimiento de la variable de entrada pues todas las variables deben ser ≥ 0 ( Xi ≥0).
Como x1 =0; se tiene
x3 = 9 – x2 ≥ 0 => x2 ≤9
x4 = 16 –2x2 ≥ 0 => x2 ≤ 8
=> x2 = 8 y X4 = 0 , => sale x4
IO1 R.Delgadillo 30
Método algebraico
Ahora la base es:
B2 = {x2, x3} y NB = {x1,x4}
Y el valor de las variables es:
x2 = (16- x1- x4)/2 = 8- ½ x1 –½ x4 x3 = 1-1/2 x1 + ½ x4
Z = 32 + x1 – 2x4
Evaluamos si es óptimo:
si entra x1=> Z crece,
si entra x4 => Z decrece.
IO1 R.Delgadillo 31
Método algebraico No es óptimo! =>
Generamos nueva solución posible
La variable que entra es : x1 y x4 permanece con valor cero. (x4 =0)
Variable que sale es:
x2 = 8 - ½ x1 ≥ 0 => x1 ≤ 16
x3 = 1-1/2 x1 ≥ 0 => x1 ≤ 2
ahora x1 = 2 => x3 =0 sale x3
ahora B3 = {x1, x2} y NB = {x3,x4}
IO1 R.Delgadillo 32
Método algebraico
El valor de las variables básicas es:
x1 = 2 –2x3 +x4
x2 = 7 + x3 – x4
Z = 34 – 2x3 –x4
Evaluamos si es óptimo: no hay variable no basica que haga crecer Z
=> si es óptimo!
x1= 2
x2 = 7
Z = 34.
IO1 R.Delgadillo 33
Método algebraico
9 16
9
x2=0
x4=0
x1=0
x3=0Sol. óptima
B1={x3,x4}
B2={x2,x3}
B3={x1,x2}
8
IO1 R.Delgadillo 34
Método algebraico Resuelva el siguiente ejercicio:
0,,
72
62
..
35max
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
as
xxxz