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LICEO TÉCNICO BICENTENARIO “JUANITA FERNÁNDEZ SOLAR” PROFESOR: CÉSAR TAPIA GATICADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS LOS ÁNGELES

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GUÍA DE MATEMÁTICA N°4 FILA

CONTENIDO: FUNCIÓN POTENCIA

NOMBRE: CURSO: 4º MEDIO FECHA: /08/2020

OBJETIVOS:

● Analizar el crecimiento y decrecimiento de la función potencia.

● Determinar el dominio y recorrido de la función potencia

● Representar gráficamente la función potencia

FUNCIÓN POTENCIA [Página 110 a la 115 del texto del estudiante]

Observa los siguientes gráficos de la función f (x)=a xn, con a>0.

f (x)=x2 f (x)=x4 f (x)=x3

Los gráficos anteriores son ejemplos de la función potencia.

● Función potencia: es toda función de la forma f (x)=a xn, con a≠ 0, n ϵ ∈– {1 }, a ϵ IR, x ϵ IR.

Ejemplos:


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f ( x )=12

x3 g(x )=3 x4

Todas las funciones anteriores pertenecen al tipo de función llamada función potencia.

La función potencia es de la forma f (x)=a xn, donde a es un número real y n es un número entero, distintos de 0.

Luego, la función f del gráfico anterior es una función potencia con a=12 y n=3, mientras que en el caso de g, a=3

y n=4.

Si el exponente n es un número entero positivo no hay restricciones para los valores que puede tomar x en la función potencia, es decir, la función está definida para todo R, luego, dom f =R . En cambio, para determinar el recorrido de la función, es necesario distinguir qué sucede en los casos cuando n es par o impar:

● Si n es par y a es positivo, entonces el recorrido de la función es I R0+¿ ¿

.

● Si n es par y a es negativo, entonces el recorrido de la función es IR0−¿¿

.

● Si n es impar, independiente del signo de a, el recorrido de la función es IR.

Luego, existen cuatro tipos de gráfico posibles para una función potencia, con x en los reales:

1) 2)

3) 4)


3

Las gráficas asociadas a funciones potencia de exponente par tienen un vértice, que es el punto más bajo (o más

alto) de la gráfica, y que corresponde al menor valor (o mayor valor) que puede tomar la función. Además, tienen un

eje de simetría vertical que pasa por el vértice. Por otra parte, las representaciones gráficas de funciones potencia de

exponente impar tienen un centro de simetría (punto de inflexión).

La función potencia es una función de la forma f (x)=a xn donde a es un número real, distinto de 0, n es un número

natural mayor a 1 y está definida en el conjunto de los números reales. La gráfica y el recorrido de la función potencia

dependen del valor de n y también del valor de a.

Recuerda que...

Sea x un número real:

● Si n es par, el valor de xn es siempre positivo.

● Si n es impar, el signo de xn es igual al signo de x.

Definiciones Importantes

Vértice: Punto de una curva en que la curvatura tiene un máximo o un mínimo.

Cuadrante: Cuarta parte del plano cartesiano comprendida

entre los dos ejes perpendiculares. Se numeran desde el eje x

positivo y en dirección antihoraria.

Analiza las siguientes gráficas de funciones potencia, con n par.

❖ Si n es par, con a>0

f (x)=x2 f (x)=3x2

f (x)=12

x2 f (x)=x4 f (x)=x6


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Dominio de f es ℝ y su recorrido es R0+¿ ¿.

❖ Si n es par, con a<0

f (x)=−x2 f (x)=−3x2

f (x)=−12

x2 f (x)=−x4 f (x)=−x6

Dominio de f es ℝ y su recorrido es R0−¿ ¿.

Ejemplos:

Observa que la gráfica de la función f (x)=a xn, con n par positivo, es simétrica respecto del eje y.

f ( x )=−3 x2f ( x )=−4

5x4 f (x)=2x4

f (x)=12

x6

En las gráficas, los valores de y correspondientes a la función f (x)=a xn, para n par positivo, dependen de si a es mayor o menor que 0. Cuando a>0, los valores que puede adoptar f (x) son siempre positivos o cero. Luego, rec f =R0

+¿¿. Además, la gráfica de la función se encuentra en el primer y segundo cuadrante y tiene su vértice en el punto más bajo de la curva.

Por otra parte, cuando a<0, la gráfica de cada función tiene su vértice en el punto más alto y la curva está en el tercer y cuarto cuadrante. Además, el recorrido de la función potencia son los números reales negativos y el cero, es decir, rec f =R0

−¿¿.

El año pasado aprendiste que la gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola. Si te fijas, la forma de la gráfica de f (x)=a xn, con n par positivo, es similar a una parábola, aunque realmente la curva es una parábola solo en el caso de n=2, es decir, si f es una función cuadrática. En general, cuando a>0, con n par positivo, la curva


5se abre hacia arriba y el vértice es el punto más bajo de la gráfica, mientras que cuando a<0, la curva se abre hacia abajo y el vértice es el punto más alto de la gráfica. En ambas situaciones, las coordenadas del vértice son (0 , 0).

❖ Si n es impar

f (x)=x3 f (x)=3x3 f (x)=0,5 x3 f (x)=−x3 f (x)=x5

El dominio de f es R y su recorrido es R

Ejemplos: Las siguientes gráficas corresponden a funciones potencia, con n impar positivo.

Observa que la gráfica de la función f (x)=a xn, con nimpar positivo, es simétrica respecto del origen.

f ( x )= 14

x5 f ( x )=5 x7 f ( x )=−2x3f ( x )=−3

5x5

Cuando n es impar positivo, el recorrido de la función siempre es el conjunto de los números reales, independiente del valor que adopta a, es decir, rec f =R.

Por otra parte, la gráfica de la función f (x)=a xn, para n impar positivo y a>0, se encuentra en el primer y tercer cuadrante y la función siempre es creciente. En cambio, cuando a<0, la función es decreciente y se encuentra en el segundo y cuarto cuadrante. En todos los casos anteriores, la gráfica pasa por el origen.


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EN RESUMEN:

Observaciones:

Si f (x)=a xn es una función potencia se tiene

● Dominio de f =R.

● A medida que n crece, la gráfica se hace mas

plana en el intervalo ¿−1 ,1¿

● El punto (1 , a)pertenece a la gráfica.

● El punto(0 ,0) pertenece a la gráfica.

● A medida que ¿a∨¿ se aleja de cero, la gráfica se

acerca al eje y.

● A medida que ¿a∨¿ se acerca a cero, la gráfica se

acerca al eje x.

● A medida que n crece la gráfica tiende a

contraerse hacia el eje y.


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Obs: Si f (x)=a xn es una función potencia se tiene

1. Si n es par se cumple que:

● Recorrido de f = R0+¿ ¿

● Su gráfica es simétrica respecto al eje y.

2. Si n es impar se cumple que:

● Recorrido de f = ℝ● Su gráfica es simétrica respecto del origen.

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN POTENCIA

El dominio de una función corresponde al conjunto de las preimágenes, los valores de la variable x.

Exponente positivo: Cuando una función potencia tiene exponente positivo, sin importar si es par o impar, el dominio de la función es el conjunto de los números reales

Ejemplos:

1) f (x)=x6

La variable “x” puede ser cualquier número real (no tiene restricción), es decir, si x es cualquier número real sus imágenes (“ y”) seguirán siendo números reales.

Por lo tanto dom f =R

3) h(x )=−3 x9

La variable “x” puede ser cualquier número real (no tiene restricción), es decir, si x es cualquier número real sus imágenes (“ y”) seguirán siendo números reales.

Por lo tanto dom h=R

2) g(x )=−3 x4 4) j(x )=0,67 x15


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dom g=R dom j=R

Por lo tanto, cuando el exponente es positivo el dominio de la función potencia siempre será el conjunto de los números reales.

RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN POTENCIA

El recorrido de una función corresponde al conjunto de las imágenes, los valores de la variable “ y” que tienen una preimagen.

Si para determinar el dominio de una función analizamos los valores que podía tomar la variable x, entonces para determinar el recorrido de una función analizamos los valores que puede tomar la variable y.

Hay que considerar que f (x)= y, veamos ejemplos:

1) f (x)=x6

y=x6 reemplazamos f (x)= y

Y analizamos los valores que puede tomar la variable y, notemos que

x6 al ser un exponente par, el resultado siempre será positivo o puede ser cero, entonces como y=x6 las imágenes de la función siempre serán números reales positivos o el cero.

Por lo tanto

rec f =R0+¿¿

Otra estrategia es observar su gráfica la gráfica de f es cóncava hacia arriba y el vértice es (0,0) donde y=0 podemos decir que el recorrido de la función son todos los reales positivos incluido el cero.


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2) g ( x )=−x8+2

y=−x8+2 reemplazamos g ( x )= y

y−2=−x8 despejamos la x

− y+2=x8

± 8√− y+2=x como el índice de la raíz es un número par, “− y+2" debe ser un número positivo o cero.

2− y≥ 0 “− y+2" mayor o igual a 0

y ≤2 y debe ser menor o igual a 2.

Entonces el recorrido de g son todos los números reales menores o iguales a 2

Rec g={y∈R/ y ≤2 } ( y pertenece al conjunto de los reales tal que 𝑦 es menor o igual a 2)

Otra estrategia es observar su gráfica la gráfica de g es cóncava hacia abajo y el vértice es (0, 2) donde y=2 podemos decir que el recorrido de la función son todos los real es menores o iguales a 2.

3) h ( x )=−3 x3

y=−3x3 reemplazamos h(x )

− y=3 x3 despejamos la x

− y3

=x3

3√− y3

=x como el índice de la raíz es un número

impar y la variable "y" se encuentra en el numerador de la fracción, y puede ser cualquier número real.

Entonces el recorrido de h es el conjunto de todos los números reales.

rec h=R

Otra estrategia es observar su gráfica la gráfica de h tiene


10forma de "S", considerando las coordenadas " y" de cada punto de la función se observa que se extiende hacia el +∞ y hacia el −∞

El recorrido de las funciones de exponente impar positivo ("S") siempre será el conjunto de los números reales

EJEMPLO RESUELTO.

1) Determina el dominio y el recorrido de la función f (x)=5x8.

f es una función potencia con n par positivo y a>0.

El dominio de cualquier función potencia con exponente entero positivo siempre es el conjunto de todos los números reales. Luego, dom f =R . El recorrido de la función depende de los valores de n y a. En este caso, tenemos que n=8 y a=5. Como n es par positivo, entonces la gráfica de f es similar a una parábola (aunque en realidad no lo es). Además, la curva se abre hacia arriba, ya que a>0, y el vértice es el punto más bajo de la gráfica. De esta manera, su recorrido es rec f =R0

+ ¿¿. En la figura de la derecha se muestra la gráfica de f .

2) Determinar el dominio y recorrido de f (x)=– x4+3

Dom( f )=IR

El recorrido de esta función se obtiene del gráfico viendo su proyección sobre el eje y. Como su comportamiento es semejante a una parábola, y está se trasladó 3 unidades hacia arriba. El recorrido es: Rec( f )=¿ – ∞ ,3¿

TOMA NOTA:

● Una función potencia es una función de la forma f (x)=a xn, donde a

es un número real y n es un número entero, distintos de cero.

● El dominio de una función potencia f (x)=a xn, con n entero

positivo, es R.

● La gráfica de la función f (x)=a xn, con n entero positivo, depende de si n es par o impar y del signo de a:

a>0 a<0


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n impar

n par

Analiza las siguientes funciones potencia, si n es un número impar negativo.

f (x)=3 x−3 f (x)=2 x−5

f (x)=−112

x−9 f (x)=−4 x−7

A partir de las gráficas anteriores podemos observar que en todos los casos tanto el dominio de f como su recorrido es

el conjunto de todos los números reales excepto el cero. Es decir, dom f =rec f =R – {0}. En este caso, los ejes x e y

son asíntotas de la función.

Además, cuando a>0 la función es decreciente y se encuentra en el primer y tercer cuadrante, mientras que si a<0, la

función es creciente y se encuentra en el segundo y cuarto cuadrante.

Finalmente, observa las siguientes gráficas que representan funciones potencia cuando el exponente n es un número negativo par.

f (x)=4 x−2

f (x)=25

x−6 f (x)=−5 x−4

f (x)=−12

x−8


12

En las gráficas anteriores, podemos verificar que cuando n es un número par negativo, el dominio de la función potencia son los números reales diferentes de 0, o sea, dom f =R – {0 }. Sin embargo, el recorrido de f , depende del signo de a:

Cuando a>0 los valores que puede tomar la función son todos los números reales positivos. Es decir, rec f =R+¿¿. En este caso, la función es creciente en ¿ – ∞, 0¿ y decreciente en ¿0 ,+∞¿. Por último, la función tiene dos asíntotas: en x=0 e y=0, o sea, los ejes y y x, respectivamente.

En el caso de que a<0, el recorrido de la función potencia son todos los números reales negativos, es decir, rec f =R−¿¿. Además, la función decrece en ¿ – ∞, 0¿ y es creciente en ¿0 ,+∞¿. Al igual que en el caso anterior, la función tiene dos asíntotas, las cuales son los ejes x e y.

OBSERVACIÓN:

● En el caso de una función potencia del tipo f (x)=a xn con n entero negativo, las características de la función

también dependen de si n es par o impar y del signo de a.

● El dominio de una función potencia f (x)=a xn con n entero negativo es R−{0 }.

a>0 a<0

n negativo impar

n negativo par

EJERCICIOS. Los siguientes gráficos muestran funciones potencia y la tabla adjunta las funciones que generan

dichas gráficas. Ubique el número de la función correspondiente de la tabla en la línea punteada de cada gráfica.


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1) y=x2

2) y=−(x−3)3

3) y=−2 x2

4) y=x7

5) y=x−3

6) y=x4

7) y=−x3

8) y=−x−2

9) y=−x2

10) y=x3

Respuestas:

a-6 - b-1 - c-10

d-4 - e-7 - f-9


14ORGANIZANDO LO APRENDIDO

En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.

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