Funciones Especiales Funciones Especiales

Ejemplos de funciones …Ejemplos de funciones … Función polinomialesFunción polinomiales

Otros ejemplos:Otros ejemplos:

y = x3

-4 -2 2 4x

-2

-1

1

2

y

-4 -2 2 4x

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

y

y = x3 +x2

xxxy

xxxy

34

23

7

11023

La función lineal.

Las funciones lineales tienen la forma:

bmxybmxxf o ;)(

En donde m es la pendiente y b la intersección de la línea de la función en el eje y. Por ejemplo:

14)( xxf

x y

0,00 -10,25 00,50 10,75 21,00 31,25 41,50 51,75 62,00 72,25 8

1,4 Gráfico de una función lineal.

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50

La Pendiente es: 4 / 1 esto es: la distancia vertical entre la distancia horizontal)Y la intersección con el eje y es: 1.

R: 1; 4 / 1

La forma estándar de una ecuación lineal

La forma estándar de una ecuación lineal esta definida por:

0 CByAx

La pendiente se calcula mediante:

La intersección con el eje y mediante:

B

Cb

B

Am

El ejemplo que se ha desarrollado puede escribirse como:

Despejando para y:

Independizando términos a la izquierda de Ec.

Sustituyendo:

ByCAx y

B

CAx

yB

Cx

B

A;14

1

1

1

4yxx

R:

yB

CAx

ByCAx

yB

Cx

B

A

;141

1

1

4yxx

Las Funciones Cuadráticas.

1. La ecuación general de las funciones cuadráticas es:

2. La Gráfica de una función cuadrática se llama parábola.

3. Algunas parábolas son ecuaciones cuadráticas pero no son funciones cuadráticas.

.)( 2 cbxaxxf

4. El vértice de una parábola se llama punto crítico.

5. Se puede usar la fórmula:a

acbb

2

42

para encontrar las raíces reales de las funciones cuadráticas.

6.- El valor dentro del símbolo de la raíz cuadrada se llama discriminante e indica el tipo de raices de ecuación cuadrática.

Si b2 – 4ac > 0, indicará dos raíces reales diferentes;

Si b2 – 4ac = 0, indicará exactamente una raíz real;

Si b2 – 4ac < 0, indicará que no hay raíces reales (dos raíces imaginarias distintas).

R: parábola; funciones; punto crítico; discriminante ecuaciones;

La Parábola

Desarrolle la función2)( xxf

El discriminate D =

000404 22 acb

La raíz positiva:

La raíz negativa:

x y-5 25,00-4 16,00-3 9,00-2 4,00-1 1,000 0,001 1,002 4,003 9,004 16,005 25,00

La Parábola

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

-6 -4 -2 0 2 4 6

Dominio x

Ra

ng

o y

2)( xxf

raíz realx = 0

;2

4 no 0

2

a

acbba

;

2

4 no 0

2

a

acbba

R:

;2

4 no 0

2

a

acbba

000404 22 acb

;2

4 no 0

2

a

acbba

Una Parábola con dos raíces: negativa y positiva

Desarrolle la función

El discriminate D =

La raíz positiva:

La raíz negativa:

R:

2)( 2 xxf

821404 22 acb

x y-4,0 14,00-3,3 9,09-2,7 5,08-2,0 1,96-1,3 -0,26-0,7 -1,580,0 -2,000,7 -1,521,4 -0,152,0 2,122,7 5,293,4 9,364,0 14,32

1,4142

12

21400

2

Parábola con dos raices reales

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

16,00

-6,0 -4,0 -2,0 0,0 2,0 4,0 6,0

x, Dominio de la función

y, R

ang

o d

e la

fu

nci

ón

Dos raíces:x = 1,4142-x = -1,4142

2)( 2 xxf

821404 22 acb

1,4142

12

214001

2

1,4142

12

214001

2

1,4142

12

21400

2

Una Parábola con dos raíces: ambas positivas

Desarrolle la función

El discriminate D =

La raíz positiva:

La raíz negativa:

R:

14)( 2 xxxf

1211444 22 acb

0,267912

11444

2

3,7321

12

114044

2

x y-4,0 33-3,0 22-2,0 13-1,0 60,0 11,0 -22,0 -33,0 -24,0 15,0 66,0 137,0 228,0 33

Dos raices reales positivas

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-6,0 -4,0 -2,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

x; Dominioy

; R

an

go

Dos raices positivasx1 = 0,26x2 = 3,73

14)( 2 xxxf

0,2679

12

11444

2

1211444 22 acb

3,7321

12

114044

2

Función raíz cuadradaFunción raíz cuadrada

x y

–1 0

0 1

1 2 = 1.412

2 3 = 1.732

3 2

4 5 = 2.361

5 6 = 2.449

1 xy

Grafica de la ecuación:

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTOFUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Sea f(x) = |x|Sea f(x) = |x|

Asigna a cada valor de x su imagen Asigna a cada valor de x su imagen positiva. positiva.

Esto significa que: Esto significa que:

x , si x>=0x , si x>=0 f(x) = f(x) = -x, si x<0-x, si x<0

Dom f(x) = RDom f(x) = R Img f(x) = R+Img f(x) = R+ Simetría: PARSimetría: PAR Mínimo: Mín (0,0) , en el vértice.Mínimo: Mín (0,0) , en el vértice. Decreciente en (-oo, 0)Decreciente en (-oo, 0) Creciente en (0, +oo)Creciente en (0, +oo)

R- R+

Mín(0,0)

Sea f(x) = | 2x –3 |Sea f(x) = | 2x –3 |

2x – 3 , si x 2x – 3 , si x ≥≥ 1,5 1,5 f(x) = f(x) = - 2x +3 , si x < 1,5- 2x +3 , si x < 1,5

Dom f(x) = RDom f(x) = R Img f(x) = R+Img f(x) = R+ Simetría: No haySimetría: No hay Mín (1,5 , 0) , que es el vértice.Mín (1,5 , 0) , que es el vértice. Decreciente en (-oo, 1,5)Decreciente en (-oo, 1,5) Creciente en (1,5 , +oo)Creciente en (1,5 , +oo)

Tabla de Valores:Tabla de Valores:

x -1 0 1 2 3 x -1 0 1 2 3 f(x) 5 3 1 1 3 f(x) 5 3 1 1 3

–1 0 1 2 3

5

3

1

x

f(x)

Funciones exponencialesFunciones exponenciales

Otros ejemplosOtros ejemplos

Tipos de funciones …Tipos de funciones …

-2 -1 1 2x

1

2

3

4

5

6

7

y

xey 3 0.04978712 0.1353351 0.3678790 1.1 2.718282 7.389063 20.0855

x F(x)

2

)(

)( 12

x

x

exf

exf

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

-10

-8

-6

-4

-2

y

Funciones logarítmicasFunciones logarítmicas

Otros ejemplosOtros ejemplos

Tipos de funciones …Tipos de funciones …

)ln(xy

x F(x)

)1log()(

)12ln()(

xxf

xxf

0

1 0.2 0.6931473 1.098614 1.386295 1.609446 1.791767 1.945918 2.079449 2.1972210 2.30259

Función Mayor EnteroFunción Mayor Entero

Funcion Piso Funcion Techo Funcion Entero

La función para n ≤ x < n + 1 llamada función escalonada o función mayor entero, tiene como dominio el conjunto R y el rango lo conforman todos los Z.

-4 -2 2 4 6 8 10x

-4

-2

2

4

y

Ejemplos de funciones …Ejemplos de funciones … Función definidas por partesFunción definidas por partes

Otros ejemplosOtros ejemplos

y = x2 y = Cos[x]

y = x

0)cos(

02

24

)( 2

xSix

xSix

xSix

xf

0

0)(

xSix

xSixxxf

22

20

02

)( 3

xSix

xSix

xSix

xf

otras funcionesotras funciones

TrigonométricasTrigonométricas

2 4 6 8 10x

-1

-0.5

0.5

1

y ySinx

2 4 6 8 10x

-1

-0.5

0.5

1

y yCosx

1 2 3 4 5 6x

-40

-20

20

40

y yTanx

1 2 3 4 5 6x

-40

-20

20

40

y yCotx

2 4 6 8 10x

-20

-10

10

20

y yCscx

2 4 6 8 10x

-15

-10

-5

5

10

15

y ySecx

Funciones hiperbólicasFunciones hiperbólicas

-3 -2 -1 1 2 3x

-10

-5

5

10

y

-3 -2 -1 1 2 3x

2

4

6

8

10

y

-3 -2 -1 1 2 3x

-1

-0.5

0.5

1

y

-3 -2 -1 1 2 3x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

-3 -2 -1 1 2 3x

-30

-20

-10

10

20

30

y

Sinh[x] Cosh[x] Tanh[x]

Csch[x] Sech[x] Coth[x]

-3 -2 -1 1 2 3x

-6

-4

-2

2

4y

MUCHAS GRACIASMUCHAS GRACIAS