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Funcionespolinomiales

El estudiante:

• Resolverá problemas defuncionespolinomiales,teó-ricosoprácticos,utilizandosus propiedades algebrai-cas y geométricas, en unambiente escolar que fa-vorezca la reflexión sobreel análisis y razonamientopráctico,asícomoeldesa-rrollo de actitudes de res-ponsabilidad,cooperación,iniciativa y colaboraciónhaciaelentornoenelquesedesenvuelve.

INTRODUCCIÓN

Enlavidadiariahacemosusodelasmatemáticassinpercibirlo,porlocualcree-mosquenotienenutilidadpráctica,perocadavezquenosplanteamosunainte-rrogantequeimpliquecantidades,indudablemente,éstaquedarepresentadaporunavariable.Ytepreguntarás¿porqué?Bueno,sencillamenteporquepuedeto-marcualquiervalor,aunqueanosotrosnosimporteunosolo.Porejemplo:¿cuálseráellargoidealdeunautomóvilparaqueentreennuestrogaraje?Enestecaso,nuestravariableesellargodelautomóvil:comotúsabes,enelmercadoexistenmuchosmodelosdeautomóvilesquevaríanenellargo.Cuando,además,nuestravariabledependedeotravariable,estamosaplicandounafunción.Volviendoalmismoejemplo,podemosestablecerlosiguiente:ellargodelautomóvilqueunapersonadeseacomprardependedelalongituddisponibleensugarajeparaquepuedaguardarlo.Estafunciónverificaque,aunquenoestésconscientedequeplanteasyresuelvesunproblemamatemático,enlavidacotidianahacesusodelasfunciones.Además,debeseñalarsequesehaceusodeéstasenlaadministración,lascienciassociales,lafísicayenlasdiversasaplicacionestecnológicas.

Alolargodeestaunidadnosólotemostraremosejemplosdeaplicacióndelasfuncionespolinomiales,sinoquetambiéntúpodrásconstruirfuncionessencillasydarsoluciónavariosproblemasquesetepresentanentuvidadiaria;esperamosquedesarrollestushabilidadesyquelostemasaquípresentadostesirvancomoherramientaenlosámbitosdelsaberdondetedesarrollas,ynosóloesosinoquetambiénlospuedasaplicarenelfuturo.

Competencia genérica a desarrollar:Expresa ideas y conceptosmediante representa-cioneslingüísticas,matemáticasygráficas.

Competencias disciplinares a desarrollar:• Propone,formula,defineyresuelvediferentes

tiposdeproblemasmatemáticosbuscandodi-ferentesenfoques.

• Argumentalasoluciónobtenidadeunproble-ma,conmétodosnuméricos,gráficos,analíti-cosyvariacionales,medianteellenguajeverbalymatemático.

• Analiza las relacionesentredosomásvaria-blesdeunprocesosocialonaturalparadeter-minaroestimarsucomportamiento.

• Vinculalainformaciónobtenidaconlosfenó-menosfísicosyeconómicosdelaregiónparaentender el comportamiento y evolución decadaproblemáticaenparticular.

49FUNCIONES POLINOMIALES

NOMBREDELALUMNO:

GRUPO: NÚMERODELISTA: ACIERTOS:

INSTRUCCIÓN:Contestabrevementeloquesepide.

1. ¿Quéesunafunción?

2. ¿Quéeseldominio?

3. ¿Quéeselcontradominio?

4. ¿Cómoseclasificanlasfuncionespolinomiales?

5. ¿Quéesunarecta?

6. ¿Quéesunaparábola?

7. Aquéselellamaraízdeunaecuación?

8. Resuelvelassiguientesecuaciones: a) 2x–3+2x–1=x+7 b) x2–7x+10=0 c) x3–x=0

9. Graficalassiguientesfunciones: 1. f(x)=5 2. f(x)=x+1 3. f(x)=x2

4. f(x)=x3–2

50 UNIDAD II

2.1 LA FUNCIÓN POLINOMIAL

2.1.1 Concepto de función polinomial

Lafunciónpolinomialsellamaasíporquegeneralmentesuexpresiónalgebraicaesunpolino-mio;suformagenerales:

f(x)=anxn+an–1

xn–1+an–2xn–2+...+a0x

0

Comorecordarásdetuscursosdeálgebra,unaexpresiónalgebraicasepuedeclasificarpordoscaracterísticasimportantes: a) Elnúmerodetérminosquelacomponen. b) Elgradodeexpresión.

Paraentenderloanterior,veamoselsiguienteejemplo:5x3

5=coeficientex=base,tambiénllamadovariableenlasfunciones3=exponente

Untérminoestarácompuestode:coeficiente,base(s)ovariable(s)yexponente,osimplementedeunaconstante.Enunaexpresiónalgebraica,cadatérminoestaráseparadoporsignosposi-tivosonegativos.

Elgradodeunafunciónestarádadoporelmayordelosexponentes.

f x x x x x( ) = + − + −4 3 25 8 26

16

Podemosdecirquesetratadeunafunciónconcincotérminosyademásesdecuartogrado,porqueelmayordelosexponentesescuatro.

Ahoraanalicemoscadatérmino:

x4= elcoeficientees1(aunquenoseescriba);labaseovariable,esxyelexponentees4.5x3= elcoeficientees5;labaseovariableesxyelexponenteesel3.–8x2= elcoeficientees-8;labaseovariableesxyelexponentees2.

25x= elcoeficientees

25;labaseovariableesxyelexponentees1(aunquenoseescriba).

–16= eltérminoesunaconstanteyaqueelexponentevaleceroytodacantidadelevadaaceroesuno;poreso,almultiplicarsepor-16seobtiene-16.

Eldominiodeunafunciónpolinomialeselconjuntodelosnúmerosreales,esdecir,estádefi-nidaparatodonúmeroreal.Estoocurrecuandolaexpresiónpolinomialesunpolinomio en-

En matemáticas seacostumbra no escri-bir lamenorcantidadya sea en coeficiente,por ejemplo: x o 1x,en este caso se omi-teeluno;oexponen-te,porejemplolaraízcuadrada de un nú-mero se puede escri-bir n o n2 ,encuyocasoseomiteel2.


tero enx,porlotantoesnecesariosaberqueunpolinomioenteroenxesaquelcuyaexpresiónalgebraicaNOcontienexeneldenominador,niexponentesnegativos.

Laexpresiónalgebraicadelasiguientefuncióncorrespondeaunpolinomioenteroenx:

f x x x x x( ) = − + − +5 27

8 3 12

43

2

Porloque:Dominio={x∈R/–∞<x<∞}

Lasiguientefunciónnoespolinomioenteroenx:

f x x xx

( ) = − + −3 5 2 42

debidoaquelaxapareceenelcuartotérminoeneldenominador.Realizandounasimpleope-raciónmatemática,podemosobservarquelafunciónenrealidadesracional:

f x x xx

x x xx

( ) = − + − = − + −3 5 2 4 3 5 2 423 2

Lasiguientefuncióntampocoesunpolinomioenteroenx:f(x)=17x–7+2x2

yaqueelprimertérminotieneexponentenegativo,yaplicandopropiedadesdelosexponentesyunpocodeálgebralafunciónquedaasí:

f x x xx

x xx

( ) = + = + = +−17 2 17 2 17 27 27

29

7

Yvemosqueesenrealidadunafunciónracional,cuyascaracterísticasestudiaremosenlaunidad3.

Elcoeficienteprincipaldeunafunciónpolinomialesaquelqueestámultiplicandoporlavariableconmayorexponente;dependiendodelvalorquetomeylafuncióndequesetrate,vaaprovo-carcambiosespecíficosenlagráficadelafunción.Porejemplo:siesunafunciónlinealysuco-eficienteprincipalespositivo,entremásgrandeseasuvalorlarectaserámásinclinada,esdecir,seráunarectacreciente(unángulodeinclinaciónentre0y90°);perosielcoeficienteprincipales negativo, entoncesla recta será decre-ciente (un ángulo deinclinaciónentre90°y180°) y su inclinaciónvariaráconelvalordelmismo.

Pero si la función escuadrática,elsignode-

52 UNIDAD II

terminarásilaparábolaabrehaciaarribaohaciaabajo;elvalordelcoeficientemodificarálafunciónenlalongituddesuladorecto.

Másadelanteestudiaremosconmayorprofundidadlosefectosdelcoeficienteprincipalenlagráficadelasfunciones.

Determinación del grado y el coeficiente principal de una función polinomial a partir de su forma tabular por el método de diferencias

Paradeterminarelgradodelafunciónpolinomialyelcoeficienteprincipalaplicaremoselmé-tododediferenciarlaformatabulardelafunción.

Podemosdecirquediferenciarensumássimpleacepciónsignificarestarasíque,enesencia,primerocomenzamosporrestarcadaimagenasuinmediataanterior;veamos:

Terecomendamosqueuseseltriánguloparaseñalarcuálvaloresrestadodeotro.Siobservaslalíneahorizontal,indicaqueelnúmeroseñaladoserestaalnúmeroexpresadoenlarectaincli-nada,deestamaneraserámásdifícilquetepierdas.

Luegoobservamoslasdiferencias.Sielresultadodeéstasnoeselmismo,entoncesrepetiremosesteprocesohastaqueencontremosquetodaslasdiferenciasseaniguales,esdecir,cuandoto-doslosresultadosdelasdiferenciasseaniguales,habremosencontradoelgradodelaexpresiónyestaremosenposibilidaddehallarelcoeficienteprincipal(vertabla2.1).

Númerodediferencias

Gradodelaexpresión Dividirelvalordelaconstanteentre:(paraobtenerelcoeficienteprincipal)

1 Primergradolineal 1o1!2 Segundogradoocuadrática 2o2!3 Tercergradoocúbica 6o3!4 Cuartogrado 24o4!5 Quintogrado 120o5!Tabla2.1


Hallarelvalordelcoeficienteprincipalyelgradodelafunciónpolinomialapartirdesutabu-lación:

Alrealizarlarestadelasprimerasdosimágenes16–21=–5,yluegoladiferenciadelasotrasdos11–16=–5,finalmente6–11=–5.Observamosentoncesque,alrealizartodaslasrestas,elresultadoeselmismoysólohicimosunavezladiferencia,porlotantolafuncióneslinealy,apartirdelatabla2.1decimos:–5/1=–5,porloquesucoeficienteprincipales–5.

Hallarelvalordelcoeficienteprincipalyelgradodelafunciónpolinomialapartirdesutabu-lación:

Porsiaúnnotequedaclarocómoseefectuaronlasrestas,veamoslatabla2.2:

Primera diferencia Segunda diferencia Tercera diferencia Cuarta diferencia16–76=–6012–16=–4 –4–(–60)=–6416–12=4 4–(–4)=8 8–56=–4876–16=60 60–4=56 56–8=48 48–(–48)=96336–76=260 260–60=200 200–56=144 144–48=96

Enestecaso,laconstanteaparecióhastalacuartadiferencia;entonces,apoyándonosenlatabla2.1,podemosdecirqueesunafuncióndecuartogradoy,parahallarelvalordelcoeficienteprincipal96/4!=96/24=4.Porlocualéstees4.

Unadelaslimitacionesdeestemétodoesquedebesconocersuficientesparescoordenadosparapoderobtenerlasdiferenciasyaquecomoves,deunadiferenciaaotrasevanefectuandocadavezmenosrestas,yalmenostedebenquedaralfinaltresrestasparapoderencontrarlaconstantecomomínimodosvecesenlasiguientediferencia.

Másadelantedaremosunaaplicaciónprácticaaestemétodo.

54 UNIDAD II

Completalasiguientetablaconlosdatosfaltantes.

Función No. de términos

Grado Su dominio son todos los valores de X

∈ R.SÍ o NO

Valor del coeficiente principal

f(x)=9x7+8x–3f(x)=–4+7x2

5 8 NO –6

f x x x x xx

x( ) = − + − + − −7 9 3 512 8 61

1234

f(x)=–12x12

4 6 SÍ 5

Enbinas,hallenelvalordelcoeficienteprincipalyelgradodelafunciónpolinomial.Resuelvanlosejer-ciciosycomparensusresultadosconlosdeotroscompañeros.

X y x Y x Y X y–3 –36 –7 246 –2 –1/2 2 56–2 –20 –6 181 –1 0 3 189–1 –10 –5 126 0 1/2 4 4480 –6 –4 81 1 1 5 8751 –8 –3 46 2 3/2 6 1,5122 –16 –2 21 3 2 7 2,4013 –30 –1 6 4 2.5 8 3,584

Rango de la función polinomial

Elrangodelafunciónpolinomialvaadependerprincipalmentedesugrado:

a) Silafunciónpolinomialesdegradoimpar,entoncessucontradominioserá: rango={y∈R/–∞<y<∞},sinimportarsielcoeficienteprincipalesnegativoopositivo. b) Si la funciónpolinomial esdegradopar, su contradominio estará limitadocomoel

deunaparábola,ydependerádel sig-no del coeficiente principal; parte dedondeseencuentraelpuntomásbajoyhaciaelinfinitooelpuntomásaltoyhaciaelmenosinfinito.


2.1.2 La función constante como un caso particular de la función polinomial

Lafunciónconstantetienelaforma:

f(x)=anx0,porloquelapodemosrepresentarenformageneralcomo:

f(x)=a

Sedicequeesuncasoparticulardelafunciónpolinomialyaqueconstadeunsolotérmino—elcualtienegradocero(x0)—yelvalordelcoeficienteprincipaleselvalorquesehaceconstante,conundominioqueeselmismodelafunciónpolinomial:

dominio={x∈R/–∞<x<∞}

Surangoquedadefinidopor:

rango={y∈R/y=a}

Asíquesugráficaesunalínearectaparalelaalejedelasabscisas(x),queintersectaalejedelasordenadas(y)enelvalorconstante(a).

Dadalasiguientegráficadelafunción,hallasuformatabularysuexpresiónalgebraica:

56 UNIDAD II

Dadaslassiguientesfuncioneshallasudominio,surangoyhazunbosquejodesugráfica:

1. y=–4 2. f x( ) = − 5

3. y = −12 4. f x( ) =

34

5. y=7 6. f x( ) =2

4

3

7. y=p 8. f x( ) = −2 23

9. y=e 10. f x sen( )

=p2

2.1.3 La función lineal como un caso particular de la función polinomial

Suformaes:

f(x)=anx1+an–1x

0,demaneragenerallarepresentamos:

f(x)=mx+b

Donde:m=eslapendientedelarectab=eslaordenadaalorigenolaintercepciónconelejey.

Dominio y rango

Estafunciónesconsideradauncasoparticulardelafunciónpolinomialyaqueesunaexpresiónalgebraicadedostérminos,degradounoycuyodominiotambiénes:


Todafunciónlinealcuentaconunrangodefinidodelasiguienteforma:

rango={y∈R/–∞<y<∞}

Pendiente y razón de cambio

Llamamosrazóndecambioalapendientedeunarecta.Estevalorindicacómocambiaunavariablecuandocambialaotra;estosignificaquepodemosrepresentarlavariaciónlinealdedosvariablespormediodelapendientedeinclinacióndelarecta.


RecordemostucursodeGeometríaanalítica:

m y yx x

= −−

2 1

2 1

Ahora,delcursodeFísicaI,recordemoselconceptodevelocidadpromedio:

V d dt tprom = −

−2 1

2 1

Mientrasque,enelprimercaso,larazóndecambioquedarepresentadaentrelavariable“x”y“y”,enelsegundocasoquedarepresentadalarazóndecambiodelasvariablestiempo(t)ydistancia(d).

Comoestoscasos,podemosrepresentarlarazóndecambiodemuchosfenómenos,talescomotiempo-depreciación,cantidadproducida-costo,etcétera.

SiLuispartedesucasayrecorre120metrosen2minutos,determinalarazóndecambiodelmovimientodeLuisencadainstantedesumovimientoasícomoladistanciaquehabráreco-rridoalos45segundos.Realizaunagráficatiempo-desplazamiento.

V m minprom = −−

=120 02 0

60, /

Enestecaso,larazóndecambionosindicaqueladistancia(y)cambia60unidadescuandoeltiempo(x)cambiaunaunidad:

Porlotanto,Luishabráavanzado45metrosen45segundos,yaque45segundosequivalena3/4deminuto.

Porparejas,observenlasiguientegráficatiempo-distancia,endondeserepresentaelmovimientodeunobjetodivididoentrespartes.Primero,elobjetopartedelreposoyavanza40metrosen8minutos;con-tinúasurecorridoyavanzaotros60metrosen4minutos,parafinalmenteregresaralpuntodepartidaen2minutos

58 UNIDAD II

Enbinasdiscutanycontestenlassiguientespreguntas:

1. ¿Enquémomentoelmóviltieneunarazóndecambiomayor?2. ¿Enquémomentoelmóviltieneunarazóndecambiomenor?3. ¿Quévelocidadalcanzaráelmóvilalos6minutos?4. ¿Cuálfueladistanciatotalrecorridaporelmóvil?5. Ahora,conayudadesuprofesor,debatanlasrespuestasdetodoelgrupoyobtenganunaconclu-

sióngeneral.

ComopodrásrecordardetucursodeGeometríaanalítica,existenvariasformasparahallarlaecuacióndelarecta.Bien,puesestasformasatitepuedenayudaraencontrarlaexpresiónalge-braicadelafunciónlineal,lacualconocistecomoformaordinariadelaecuacióndelarecta.

Hallalaexpresiónalgebraicadelarectadelasiguientegráfica:

Comodebesrecordar,primerolocalizamosdoscoordenadascualesquieradelarecta:

A

B

− −( )( )

2 3

4 3

,

,

Ahoraencontramoslaecuacióndelarectaapartirdelaformadospuntos:

y y y yx x

x x−( ) = −−

−( )12 1

2 11

Delascoordenadaselegimos


x1=–2,y1=–3,x2=4,y2=3Ahorasólodespejamoslavariabledependienteyobtenemoslafunciónlineal:

sustituyendo:

y x

y x

y xy x

− −( ) =− −( )− −( )

− −( )( )

+ = +( )

+ = +( )+ = +

33 34 2

2

3 66

2

3 1 23 2

Hallalaexpresiónalgebraicadelarecta:

Primeroseleccionamosconquéformadelarectacalculamoslaexpresiónalgebraica:

Enestecasoelegimoslaformasimétrica:

xa

yb

+ = 1

lacualnecesitalasinterseccionesconlosejes,esdecir,aqueeslainterseccióncon“x”ybqueeslainterseccióncon“y”,enestecaso:a =2yb =4

Sustituyendo,tenemos:

x y2 4

1+ =

Multiplicandopor4todosloselementosdelaexpresión,tenemos:

42

44

1 4( ) + ( ) = ( )x y

Simplificando:

2x+y=4

60 UNIDAD II

Despejandoy:y x

f x x= − += − +

2 42 4( )

Lagráficadelafunciónlinealesunalínearecta,peroéstapuedesercrecienteodecreciente;todovaadependerdelvalordelcoeficienteprincipal(a)ysusigno.Alcoeficienteprincipaldelafunciónlinealtambiénlellamamospendientedelarecta(m).

Porlogeneral,lagráficadelafunciónlinealsiemprevaacortarlosdosejes,aexcepcióndeloscasosenquepasaporelorigen.Alaintersecciónconelejey selellamaordenadaalorigenyserepresentaconlaletrab,yalaintersecciónconelejexselellamaabscisaalorigenyserepresentaconlaletraa.

Conoceralmenosdosdelosparámetrosdeunarectatepermiterealizarunbosquejodesugráfica.

Determinarlapendiente,laordenadaalorigenylaabscisaalorigenapartirdelaexpresiónalgebraica:

y x= − +3 25

Comoyavimosanteriormentelapendientedelarectaeselcoeficienteprincipaldelafunciónlineal,detalmaneraque:

m=–3

ylaordenadaalorigenes

b = 25

Escribiren lacolumnaderechadelcuadro losdatosquesetepiden, loscualespuedesobtenerde lagráfica,delatablaodelaexpresiónalgebraica:

1. X Y–1 9/20 31 1.52 03 –3/2

ValordelapendienteValordelaordenadaValordelaabscisaalorigen¿Crecienteodecreciente?

Un bosquejo es untrazonoexactode lagrafica de una fun-ción, pero que te daunaideageneraldelaformadelamisma.

Las generalizacionessobrealgúnsaberma-temático te permitenresolver los proble-mas con mayor faci-lidad.


2.ValordelapendienteValordelaordenadaValordelaabscisaalorigen¿Crecienteodecreciente?

3. ValordelapendienteValordelaordenadaValordelaabscisaalorigen¿Crecienteodecreciente?

y=7x–5

Gráfica y parámetros

Solicitarporanticipadoelsiguientematerial:

3hojasdepapelmilimétrico1cajacondocecoloresdemadera2pliegosdepapelbondcuadriculadoCintaadhesiva(diurex)3plumonesdedistintoscoloresomarcadores

1. Observalassiguientesfuncionesyacontinuacióncontestalaspreguntas.

y=5x+3 y=5x–2 y=5x y=5x+2 y=5x–1

¿Cuálessonlasdiferenciasentrecadaexpresión?

¿Cuálessonlassemejanzasentrecadaexpresión?

El hallar la expre-siónalgebraicadeunafunción te permiteconstruir su gráfica apartirdehallarsuspa-res coordenados. Esdecir, si tú proponesvaloresdex, al susti-tuirlosenlaexpresiónobtendrás el valor dey, y entre más cerca-nosesténcadaunodelosvaloresdexquetúpropongas, la gráficade la función tendrámásexactitud.

62 UNIDAD II

Ahoragraficaenunahojadepapelmilimétricocadafunciónenelintervalode[-2,2],todasenunmismoplano.

Comparalasgráficasymencionalasdiferenciasysemejanzasentreellas.

Obténuna conclusión relacionando loobservado en las expresiones algebraicas y las gráficasde lasfunciones.

2. Observaelsiguientegrupodefuncionesycontestalaspreguntas.

y=–2x+3 y=x+3 y=3x+3 y=–x+3 y=4x+3

¿Cuálessonlasdiferenciasentrecadaexpresión?

¿Cuálessonlassemejanzasentrecadaexpresión?

Ahoragraficacadafunciónenunahojadepapelmilimétrico,enelintervalode[-2,2],todasenunmismoplano.

Comparalasgráficasymencionalasdiferenciasysemejanzasentreellas.

Obténuna conclusión relacionando loobservado en las expresiones algebraicas y las gráficasde lasfunciones.


Conbaseentusobservacionesyconclusiones,graficalassiguientesfunciones,peroahorasintabular.

f(x)=2x+3 f(x)=5x–3

Preparaunaláminaenpapelbondcuadriculadoyexpónalgrupotantotusrespuestasalaspreguntas,comolasgráficasdelasdosúltimasfunciones.Enplenaria,obtenganlasconclusionesgeneralesdetodoelgrupo.

Elejercicioanteriortienecomoobjetivoquerelacioneslaimportanciadelosprincipalespará-metrosdelafunciónlineal,lapendientedelarectaylaordenadaalorigen.

Recordemosalgunascaracterísticasdelapendientedeunarecta:

Sabemos:

• Quelapendienteeselgradodeinclinacióndeunarecta;entendamosporgradodeincli-naciónquétaninclinadaestá;esdecir,estápocoinclinadaomuyinclinada.

• Quelapendientedeinclinaciónesigualalatangentedelángulo:

m=tanθ

Veamosporqué.

Conbaseenlafigura,podemosdecirque:

tanθ = cat.op.cat.ady.

Ycomoresultadeltriánguloentoncessecumpleque

m=tanq

Lapendientedeunarectasecalcula,nosemide.

64 UNIDAD II

Tambiénsabemosquelapendientedeunarectapuedeserpositivaonegativa.Éstassonposi-tivascuandolasrectassoncrecientes,esdecir,queentremásgrandeeselvalorde“x”,mayoreselvalorquetomalafunción,estomayorseráelvalordey;portanto,laspendientesseránnegativassiavaloresmayoresde“x”lescorrespondenvalorescadavezmáspequeñosde“y”.Verfiguras:

Elotroparámetroimportanteeslaordenadaalorigen.Éstatienecomofunciónregirelpuntoenelcuallafuncióninterceptaaleje“y”,deahíelnombredeordenada(valordey)alorigen(distanciamedidadelorigenadichovalordey).

Lacombinacióndeambosnospermitehacerbosquejosdelafunción,sinnecesidaddetabularyconlafinalidaddedarnosunaideadelcomportamientodelosmismos.

Realizaunbosquejodelafunción

f(x)=3x–3

Primerodeterminamoscadaparámetro:

m =3yb =–3

Conestosdatos,sabemosquelafunciónlinealescreciente,quecortaalejey en-3yquetienependientem=3.Conlapendientecalculamoselángulo:


q=tan–13=71.56

Conestosdatos,ahorasípodemosrealizarelbosquejo:trazamosunarectacrecienteconunángulodeaproximadamente71°quecortealejeyen-3.

Realizaunbosquejoapartirdelosparámetrosdelassiguientesrectas:

1. m=–5yb=1 2. m =34yb=7

3. m=11yb=6 4. m =68yb=–7

5. m=–3yb=0

Variación directa

Sepresentacuandolavariabledependiente(y)varíadirectamentedelavariableindependiente(x),esdecir,siunaaumentalaotratambién;siunadisminuye,laotratambiénlohace.Lapen-dientedelarectaes1cuandolarectapasaporelorigen;acadavalordeylecorrespondeunúnicovalordex,yestánrepresentadasdemanerageneralporunaecuacióndelaforma:

y=CxdondeCesunaconstantedistintadecero.

Modelos lineales

Llamamosmodelaciónlinealalusodefuncioneslinealesparadescribirrelacionesdelmundoreal;esdecir,cuandoencontramosunasituacióndelavidacotidianaporcuyascaracterísticaslapodemosrepresentarconunafunciónlinealyobtenerconéstaconclusiones.

Enelparquedediversiones“ReinoMágico”,enlaciudaddeVeracruz,elcostodelboletodeentradaesde$7.00pesosporpersona.Parapoderdisfrutardelosjuegosmecánicossedeben

66 UNIDAD II

pagar$5.00porcadajuego.¿Cuálseráelmodelomatemáticoquenospermitacalculareldinerototalgastadoenelparqueporxjuegosjugados?¿Cuántodinerogastarésimesuboa12juegosmecánicos?Realizargráficarepresentativa.

Sidecidojugarenunjuego:

Dinerogastado=$5por1juegojugado+$7delaentrada=$12.0;eldinerogastadoporjugarenunjuegomecánicoenelparque“ReinoMágico”esdedocepesos.

Sidecidojugarendosjuegos:

Dinerogastado=$5por2juegosutilizado+$7delaentrada=$17.0;eldinerogastadoporjugarendosjuegosmecánicosenelparque“ReinoMágico”esdediecisietepesos.

Detalformaque,alobservarelcomportamiento,podemosconcluirquelafunciónlinealqueseajustaalproblemaes:

G(x)=5x+7

DondeG(x)=eseldinerogastadoporjuegosjugados.x=eselnúmerodejuegosmecánicosenlosquehejugado.

Siquierosabereldinerogastadosimesuboa12juegos:G(12)=5(12)+7=$67.00

Siduranteundíavoyadivertirmea“ReinoMágico”ydecidosubirmeadocejuegos,gastaréentotal$67.00

Elresultadodenuestromodelomatemáticoesunarectacreciente.

Unresorteacompresióntieneunalongitudde0.50m.Sileaplicamosunafuerzade120Nsulongitudseráde0.485m.¿Cuálserálalongituddelresortesileaplicamosunafuerzade145.5N?¿Quéfuerzasenecesitaparaqueelresortetengaunalongitudde0.475m?


Comopuedesobservar,escomplicadodeterminarestosvaloresyaquealparecersólotengoundato.Porlotanto,esnecesariocrearunmodelomatemáticoquenospermitadeterminarlalongituddenuestroresortecadavezqueapliquemosunadeterminadafuerza.Veamos:

Primero:lalongituddemiresorteestáenfuncióndelafuerzaaplicada,porlotanto,mivariabledependiente(y)serálalongituddelresorteymivariableindependienteserálafuerzaaplicada(x).

Segundo:nuestroprimerpardevaloreses(0,0.5),yaquecuandonoleapliconingunafuerzamiresortenosecomprime(deforma).

Tercero:nuestrosegundopardevaloreses(120,0.485)porquecuandoaplicamosunafuerzade120Nlalongituddenuestroresorteseráde0.485m.

Cuarto:elcomportamientodeunresorteeslinealsegúnlaleydeHooke(estedatonoesne-cesarioqueloconozcas).

Conestosvalorespuedocrearmimodelomatemático,alutilizar la formadospuntosde laecuaciónlineal: 0 0 50

120 0 485

, .

, .

( )( )

y y y yx x

x x

y x

y

− = −−

−( )

− = −−

−( )

− = −

12 1

2 11

0 50 0 485 0 5120 0

0

0 50 125

. . .

. xx x

y x x

10

1 25 10 0 50

4

4

−

−

( )= ( ) +. .

Porlotanto,elmodeloquemepermitiráresolvermiscuestionamientoses:

y=–1.25x10–4(x)+0.50

¿Cuálserálalongituddelresortesileaplicamosunafuerzade145.5N?

y=–125x10-4(145.5)+0.50y =0.4818m

¿Quéfuerzasenecesitaparaqueelresortetengaunalongitudde0.475m?

0.475=–125x10-4(x)+0.50

Despejamosxporqueahorasenospideelvalordelafuerza:

68 UNIDAD II

x y

x

x

= −− ×

= −− ×

=

−

−

0 51 25 100 475 0 51 25 10200

4

4

... ..N

Elresultadodenuestromodelomatemáticoesunarectadecrecienteconunapendientenega-tivamuypequeña.

Resuelvelossiguientesproblemas.

1. Siunobreroilegalgana$4dólaresporhora,suponemosquetrabaja12horasdiarias,perodebepagaralcapataz$60dólaresalasemanaportrabajar.Construyeunmodelomatemáticoycontes-talassiguientespreguntas:¿Cuántoganará?si:

a) Trabaja3díasalasemana, b) Trabajasólodosdías, c) Trabajalos5días, d) ¿Despuésdecuantashorasdetrabajoalasemanaelobreroempiezaaganar?

2. Undepósitoderefrescostiene1,300rejasdeunabebidaal iniciode lasemana.Sisevenden300rejasdiariamente,encuentralaexpresiónmatemáticaquerepresentalaventaderejasdeeserefrescoydeterminacuántasrejasquedanparaeljueves.

3. Juanestacionasumoto-cicletaenunpuntoa30metrosdesucasayconrumboalaescuela;siladistanciadesucasaalaescuela es de 800 me-tros y él toma su mo-tocicletaysedirigealaescuelaaunavelocidadconstantede8m/s(verfigura):


a) ConstruyeunmodeloquerepresenteladistanciarecorridaporJuanconrespectoaltiempo. b) ¿AquédistanciaestaráJuandesucasaalostressegundos? c) ¿Enquétiempollegaráalaescuela? d) ¿Aquédistanciadesucasaestaráalos5.25segundos?

4. Lallantadeunautomóvilesinfladaporlamañana,cuandolatemperaturaesde288K(15°C)aunapresiónde32Lb/plg2.

Sialmediodíalatemperaturaaumentaa305K(32°C)ylapresiónaumentaa33.88Lb/plg2:

a) Construyeelmodelomatemáticodelproblema b) ¿Cuálserálapresióndelallantacuandolatemperaturaseade293K(20°C)? c) ¿Cuálserálapresióndelallantacuandolatemperaturaseade295.5K(22.5°C)? d) Realizaunagráficadelproblema.

5. ElcostototalendólaresdeproducirxMercedes-Benzestádadoporlaecuación:

C(x)=350x+35000

a) ¿CuántolecuestaaMercedes-Benzfabricar300automóviles?

6. LadepreciacióndeunvehículoStratusesdel17%alaño;sielpreciodelistaen2005erade$165000

a) Construyeunmodelomatemático. b) DeterminaelvalordelStratusen2008. c) DeterminaelvalordelStratusen2010. d) Graficatusresultados.

7. ParacomprarenCostconecesitotramitarunacredencialquemecuesta$400.00;sicompro53libretas,mecuestancontodoycredencial$506.00

a) Construyeunmodelomatemático. b) Sideseocomprar110libretas,¿cuántomecostaráncontodoycredencial?

2.1.4 La función cuadrática como caso particular de la función polinomial

Lafuncióncuadráticaesuncasoparticulardelafunciónpolinomial,seexpresadelasiguienteforma:

f(x)=anx2+an–1x

1+an–2x0deformageneral:

f(x)=ax2+bx+c,dondea≠0

70 UNIDAD II

Donde:

ax2= eseltérminocuadrático.bx= eseltérminolineal.c= eseltérminoindependiente.

Suexpresióngeneralpuedevariardeacuerdoconlaexistenciadecadatérmino,esdecir,silafunciónesincompleta:

Sic=0,alafunciónseledenominamixta: f x ax bx( ) = +2

Sib=0,alafunciónseledenominapura: f x ax c( ) = +2

yensuformaestándar:f(x)=a(x–h)2+k,dondea≠0

A= eselcoeficienteprincipal.h= coordenadaen“x”delvérticedelaparábola.k= lacoordenadade“y”delvértice.

Ensuformamássimple,suexpresiónalgebraicaysugráficatomanlaforma:

f(x)=x2

Gráficas de funciones cuadráticas

Lagráficadelafuncióncuadráticaesunaparábola;enMatemáticasiiianalizastevarioselemen-tosquenosserviránenestecurso.Porejemplo:suvértice,suladorecto,susraíces,haciadóndeabreysuexpresiónalgebraica.


Cadaunodeestoselementosycomportamientosdelaparábolapodránseridentificadosynospermitiránconstruirsugráfica,suexpresiónalgebraicayobtenerinformacióndelafunciónengeneral.

Lamagnituddelcoeficienteprincipalnosvaadarinformaciónsobreelladorectoyhaciadón-deabrelaparábola.Verlasiguientetabla:

Coeficiente principal Efecto en la parábolaa<1 Longituddeladorectomayora>1 LongituddeladorectomenorPositivo AbrehaciaarribaNegativo Abrehaciaabajo

Veamoslassiguientesgráficas:

Lafuncióny1tieneuncoeficienteprincipala=5,esdecir,esmayorqueunoypositivo.Porlotanto,sugráficatendráunalongitudde lado recto menor y abrirá hacia arriba(gráficaa).

Lafuncióny2tieneuncoeficienteprincipala=1/2,esdecir,esmenordeunoypositi-vo,loqueindicaquetieneunalongituddeladorectomenorytambiénabriráhaciaarriba(gráficaa).

Lafuncióny1tieneuncoeficien-teprincipala=−3,esdecir,esmayorqueunoynegativo,porlotanto,sugráficatendráunalon-gituddesuladorectomenor(es-tarámás cerrada) y abrirá haciaabajo(gráficab).

Gráficaa.

Gráficab.

72 UNIDAD II

Lafuncióny2tieneuncoeficienteprincipala=−1/3,esdecir,esmenordeunoynegativo,loqueindicaquetienelalongituddesuladorectomayor(estarámásabierto)ytambiénabriráhaciaabajo(gráficab).

Ceros o raíces de una función cuadrática

Loscerosoraícesdeunafuncióncuadráticasonaquellosvaloresrealesdondelafunción“corta”alejedelas“x”.

Dichodeotramanera,sonaquellosvaloresdondef(x)=0(y =0),deahíelnombredecerosdelafunción.Éstosseencuentranlimitadosporelgradodelaexpresiónalgebraica,esdecir,unafuncióncuadráticatienecomomáximo2cerosoraícesdelafunción.Paradeterminarelnúmeroderaícesrealesquetieneunafuncióncuadráticaserealizaelanálisisdeldiscriminante;éstesetomadelafórmulageneraldesegundogrado:

x b b aca1 2

2 42, = − ± −

Dondeeldiscriminantees:D b ac= −2 4

Si:D>0,entonceslafuncióntienedoscerosoraíces. D=0,entonceslafuncióntiene1cero. D<0,entonceslafunciónnotieneceros.

Parahallar losceros,podemosusar la fórmulageneraldesegundogradoqueeselmétodomásefectivodefactorizacióny,enelcasodequelafuncióncuadráticaestéensuformapura,usaremoseldespeje.Paraahorraroperacionesdespuésdelanálisisdeldiscriminante,lafórmulageneraldesegundogradopuedesimplificarse:

x b Da1 2 2, = − ±

Hallaloscerosrealesdelafuncióny=x2–18x+81ycompruebaconsugráfica.

Localizamoslosvaloresdea,b,c: a=1 b=–18 c=81

Comobuscamoslosvaloresde“x”dondey=0,igualamosconcerolafunción:x x2 18 81 0− + =

Hacemoselanálisisdeldiscriminante:

D=(–18)2–4(1)(81)D=324–324D=0


Porlotanto,nuestrafuncióntieneunaraízrealycalculamoslaraízocerodelafunción:

x

x

x

1 2

18 02 1

182

9

, =− −( ) ±

( )

=

=

Porlotanto,lafuncióncuadráticatieneunceroenx=9

Comoformaalternativadesolución,podemosusarelmétododefactorización:

1º Obtenemoslaraízdelprimeroytercertérminos,suponiendoquesetratadeuntrinomiocuadradoperfecto(TCP):

x x2

81 9

=

=

Despuésdeverificarsicadaunodelostérminostieneunaraízcuadradaexacta,multiplicamospordoselproductodeéstosparaversiobtenemoselsegundotérmino:

2(x)(9)=18x

Comoelresultadoesparecidoperolefaltaelsignonegativo,concluimosquesetratadeuntrinomiocuadradoperfectoyquesufactorizacióncorrespondealadedosnegativosiguales:

(x–9)(x–9)=(x–9)2

Ahoraigualamosconcerocadafactor:

x–9=0x–9=0

Comoyalohabíamosdeterminadoconeldiscriminante,lafunciónsólotieneuncero,yobser-vamosqueambasigualdadesnosdanelmismoresultado;porlotanto,tieneunasolasolución:

Elcerorealdelafunciónestálocalizadoenx=9

Hallaloscerosrealesdelafunciónf(x)=7x2+27x–4ycompruebaconsugráfica:

a=7 b=27 c=−4

Igualamosconcero:

74 UNIDAD II

7x2+27x–4=0

Hacemoselanálisisdeldiscriminante:

DDD

= ( ) − ( ) −( )= +=

27 4 7 4729 112841

2

ComoD>0,lafuncióntienedoscerosreales;hallemosesosceros:

x

x

x

x

1 2

1 2

1

2

27 8412 7

27 2914

27 2914

214

17

27 29

,

,

=−( ) ±

( )

= − ±

= − + = =

= − −114

5614

4= − = −

Lafuncióntienecerosrealesen:x = 17y,x=–4

Ysugráficaes:

Por elmétodode factorización, buscamosdosnúmeros que almultiplicarlos suproductoseael término independiente,enestecaso–4;ahorahacemosunatablacon losresultadosobtenidos:

–1 4–4 1–2 2

Elegimoselnúmeroquemásserepiteyformamosunbinomiodelaformax+aylodividimosentrenuestraexpresión;paraestecasoseleccionamos−1,detalmaneraquenuestrobinomioesx –1.

)x x x− + −1 7 27 42


Setomaelvalorde“x”deldividendoconmayorexponenteysedivideporelelementodeldivisorconmayorexponente;enestecasosonx2yx,respectivamente:

7 72x

xx=

Ysecolocaenelcociente.Esteprocedimientoserepitehastaqueeneldividendonoquedenxconexponentemayoroigualaldeldivisor,ohastaqueelresiduoseacero:1

)7 4

1 7 27 4

7 70 28 4

28 40 0

2

x

x x x

x xx

+

− + −

− +−

− +

Sielresiduoescero,entoncestenemoslacertezadequehemosfactorizadolaexpresión;lafactorizacióneselproductodelcocienteyeldivisor:

7 27 4 0

7 1 4 0

2x xx x

+ − =−( ) +( ) =

Igualamosconcerocadafactoryresolvemos7 1 0

7 117

4 04

xx

x

xx

−( ) ==

=

+( ) == −

Loscerosdelafunciónson:

x

x

=

= −

174

Existenotrasformasdefactorizar,estaesunaentrevarias.Enequiposde4integrantesdiscuteyencuen-traotrasformasmássimplesodistintasalaaquípropuesta;puedesapoyarteenalgúnlibrodeálgebraoentusapuntes.

1 ParamayorinformaciónpuedesconsultartulibrodeÁlgebradeprimersemestreoellibrodeBaldorA.Álgebra;capítulodiez.

AActividad

76 UNIDAD II

Hallaloscerosrealesdelafuncióncuadráticaf(x)=4x2–16,ycompruebaconsugráfica.

Igualamosconcero:

4x2–16=0a =4 b =0 c =16

Analizamoseldiscriminante

D=(0)2–4(4)(–16)D=0+256D=256

ComoeldiscriminanteD >0,nuestrafuncióntienedoscerosoraícesrealesyconstatarmosquelafunciónespura,porloquepodemosutilizar lafórmulageneraldesegundogradoosimplementedespejarelvalordex.Parafinesprácticos,despejemoslax:

4 16164

42

2

2

x

x

xx

=

=

= ±= ±

Porlotanto,lafuncióntienecerosenx=2yx=−2.Vea-mossugráficaysudominio,aligualquelapolinomial,es:

Hallaloscerosrealesdelafunción f(x)=x2+5xycompruebaconsugráfica.Igualamosconcero:x2+5x=0

a =1 b =5 c =0

Analizamoseldiscriminante:

D=(5)2–4(1)(0)D=25–0D=25

EldiscriminanteD>0delafuncióntiene2cerosoraícesreales.

Al obtener la raízcuadrada de un nú-meroobtienesdosva-lores: uno positivo yunonegativo.Estoesasí porque si realizasla operación inversa―queeselevaralcua-drado― existen dosnúmerosquecumplencon esta condición,precisamenteunopo-sitivoyunonegativo:

32=9y(−3)2=9,porlotanto:

9 3= ±


Factorizamoslafunciónutilizandoelmétododefactorizaciónporfactorcomún;debidoaqueambostérminosdelaexpresióntienen“x”,podemos“sacar”comofactorcomúnla“x”demenorexponente:

x xx x

2 5 0

5 0

+ =+( ) =

Igualamosconcerocadafactor:x

x=

+ =0

5 0

Resolvemos:xx

== −0

5

Concluimosquelafuncióntienecerosrealesenx=0yx=−5.

Comprobamosconsugráfica.

Hallaloscerosrealesdelafuncióny=x2–4x+6,ycompruebaconsugráfica.

Igualamosconcero:

x2–4x+6=0

a=1 b=–4 c=6


D=(–4)2–4(1)(6)D=16–24D=–8

Como el discriminanteD< 0, concluimos que la funciónNO tienecerosoraícesreales.

Comprobamosconsugráficayobservamosquelafunciónno“toca”ni“corta”elejex.

78 UNIDAD II

Hallaloscerosrealesdelafunciónf(x)=–x2+x+6,ycompruebaconsugráficatusresul-tados.

Igualamosconcero.

–x2+x+6=0a=–1 b =1 c =6


D=(1)2–4(–1)(6)D=1+24D=25

ComoeldiscriminanteD>0,lafuncióntiene2cerosoraícesreales.

Usemoselmétododefactorización:

–x2+x+6=0

“Sacamos”elsignonegativo:

–(x2–x–6)=0

Buscamosdosnúmeroscuyoproductosea−6ycuyasumasea−1.Losnúmerosquecumplenconestacondiciónson:−3y+2,luegoentonceslafactorizaciónqueda:

–(x–3)(x+2)=0

Igualamosconcerocadafactoryresolvemoslasecuacionesresultantes:

xx

xx

− =+ =

== −

3 02 0

32

Lafuncióntienecerosrealesenx=3yx=−2.Además,comoelcoeficienteprincipaldelafunciónes−1,podemossaberquelaparábolaabrehaciaabajo.

Comprobamosconsugráfica:


Tambiénesposiblehallarloscerosdeunafuncióncuadráticaapartirdesuformaestándar.Veamos:

f(x)=a(x–h)2+k

Igualamosconcerolafunción:a(x–h)2+k=0

Despejamosx:x h k

a

x h ka

x ka

h

−( ) = −

− = ± −

= ± − +

2

1 2,

Hallarloscerosdelafunción f x x( ) = −

−32

254

2

,ycomprobarconsugráfica.

Igualamosconcerolafunción:x −

− =32

254

02

a=1 h=3/2 K=−25/4

Sustituimosenlaexpresiónyresolvemos:

x

x

x

x

1 2

1 2

1 2

1

254

132

254

32

52

32

52

32

82

4

,

,

,

= ±− −

+

= ± +

= ± +

= + + = =

xx 252

32

22

1= − + = − = −

80 UNIDAD II

Enconclusión,lafuncióncuadráticatienesuscerosoraícesrealesenx=4yx=−1.

Comprobandoconsugráfica:

Trabajoenbinas

Hallarloscerosrealesdelassiguientesfunciones.Incluyanelanálisisdeldiscriminantesólocuandosetratede funcionescuadráticasensu formageneral;compruebengraficando la funciónconayudadealgúnsoftwareyentreguenasuprofesor.Puedencompararsusresultadosconlosdeotrasparejas.

1. y=x2+16x+63 2. f(x)=–x2–3x+103. y=–4x2–36x–32 4. f(x)=x2+14x+495. y=x2–64 6. f(x)=x2+167. y=–2x2–2x+5 8. f(x)=2x2–13x+15

9. f(x)=–(x–3)2+8 10. y x= − − +

414

23

2

11. f x x( ) ( )= + −12

7 162 12. y x= − − +( )11 11

162

13. f x x( )

= − − −334

37

2

Conociendoloscerosy,aveces,cuandoesnecesarioalgunosparámetrosdelafuncióncuadrática,espo-sibleconstruirsuexpresiónalgebraica;esdecir,podemosinvertirelprocesoqueacabamosderealizar.

Dadosloscerosdelafuncióncuadráticax =−2yx=3,queabrehaciaarriba,determinasuexpresiónalgebraicayrealizaunbosquejodesugráfica.

Comox =−2yx=3soncerosdelafunción,perotambiénsonecuaciones,entonces:

Igualamosacerocadaecuación.

x+2=0x−3=0


Ahoralosmultiplicamos:

(x−3)(x+2)=0

Loigualamosalafunción:

f(x)=(x–3)(x+2)

Desarrollamosytenemoslaexpresiónalgebraica:

f(x)=x2–x–6

Yhacemoselbosquejodeunaparábolaquepaseporx=−2yx=3

Comopodrásobservar,elbosquejoesunpocoirregular,perosufinalidadesdarunaideageneraldelagráficadelafunción.

Determinalaexpresiónalgebraicadelafuncióncuyoscerossonx = 43yx=–2;sesabeque

laparábolaabrehaciaabajo.Realizaunbosquejodelafunción.

Igualamosconcerocadaecuación:

x

xx

=

=− =

43

3 43 4 0

y

xx

= −+ =

22 0

Ahora losmultiplicamos,perorecordemosquelaparábolaabrehaciaabajo,por lotantoesnegativayagregamoselsignonegativo:

–(x+2)(3x–4)=0

Loigualamosaf(x):

f(x)=–(x+2)(3x–4)

Ydesarrollamos:

f(x)=–(3x2–4x+6x–8)

82 UNIDAD II

Simplificamos:

f x x x

f x x x

( ) = − + −( )( ) = − − +

3 2 8

3 2 8

2

2

Yobtenemoslaexpresiónalgebraica.

Ahorahacemoselbosquejo:

Hallalaexpresiónalgebraicaapartirdeloscerosdelassiguientesfuncionescuadráticasyrealizaelbos-quejocorrespondienteasugráfica:

1. x =–7,x–4;laparábolaabrehaciaarriba.2. x =5,x =8;laparábolaabrehaciaarriba.

3. x =–1,x =13;laparábolaabrehaciaarriba.

4. x =–9,x =7;laparábolaabrehaciaarriba.5. x =0,x =–4;laparábolaabrehaciaarriba.6. x =0,x =3;laparábolaabrehaciaabajo.7. x=2;laparábolaabrehaciaabajo.

8. x =7,x =94;laparábolaabrehaciaabajo.

9. x =–8,x =5;laparábolaabrehaciaabajo.10. x =–8,x =8;laparábolaabrehaciaabajo.

11. x =5,x =45;laparábolaabrehaciaabajo.

12. x = −37laparábolaabrehaciaabajo.

Muchasdelassolucionesqueformulesalosproblemasaquípropuestosdependerándetucreatividadydelosconocimientosquehayasobtenido.


Forma estándar de una función cuadrática

Comoyasabemos,laformageneraldelafuncióncuadráticaes:

f(x)=ax2+bx+c

Paraobtenerlafunciónensuformaestándar,latenemosqueconvertirutilizandoelmétododecompletareltrinomiocuadradoperfecto,realizandolossiguientespasos:

Paso1. Agrupamoseltérminocuadráticoyeltérminolineal: f(x)=(ax2+bx)+c

Paso2. Factorizamoselcoeficienteprincipal:

f x a x ba

x c( ) = +

+2 .Nota:simplificalafracciónsiesposible.

Paso3. Dividimosentredoselcoeficientedeltérminolineal:

ba b

a2 2=

Paso4. Loelevamosalcuadrado:

ba

ba2 4

2 2

2

=

Paso5. Completamoseltrinomiocuadradoperfecto(tcp):

f x a x ba

x ba

c aba

( ) = + +

+ −2

2

2

2

24 4Nota:semultiplicapor“a”porque,comopue-

desver,“a”estámultiplicandoaltcp;porlotanto,paranoafectarlaexpresión,semultiplica b

a

2

24por“a”yseagregadespuésdelparéntesis.

Simplificamos:

f x a x ba

x ba

c ba

( ) = + +

+ −2

2

2

2

4 4

Paso6. RepresentamosalTCPcomounbinomioalcuadrado:

f x a x ba

c ba

( ) = +

+ −

2 4

2 2

2

Simplificamosestaexpresiónyllegamosalafunciónensuformaestándar:

h ba

= −2yk c b

a= −

2

4

Sustituyendo,obtenemoslaexpresióndelafuncióncuadráticaensuformaestándar:

84 UNIDAD II

f(x)=a(x–h)2+k

Talvezquierasusarestospasoscomosólounasimplefórmula,peroterecomendamosquetratesdeentenderelmétodo.

Transformalafunciónf(x)=x2+14x+60asuformaestándar.

Paso1. Agrupamoseltérminocuadráticoyeltérminolineal. f(x)=(x2+14x)+60


f x x x

f x x x

( ) = +

+

( ) = +( ) +

1 141

60

1 14 60

2

2


142

7=

Paso4. Loelevamosalcuadrado: (7)2=49Paso5. Completamoseltcp: f(x)=1(x2+14x+49)+60–49Paso6. Representamosaltcpcomounbinomioalcuadradoyobtenemoslaformaestándar: f(x)=1(x+7)2+11

Paracomprobarnuestroresultadosimplementeinvertimoselproceso:

f(x)=1(x+7)2+11 f(x)=x2+14x+49+11 f(x)=x2+14x+60

Enconclusión,laformaestándardelafunciónf(x)=x2+14x+60esf(x)=1(x+7)2+11

Transformalafunciónf(x)=–x2–8x–23asuformaestándar.

Paso1. Agrupamoseltérminocuadráticoyeltérminolineal: f(x)=(–x2–8x)–23

Paso2. Factorizamoselcoeficienteprincipal.

f x x x

f x x x

( ) = − −−

−

( ) = − +( ) −

1 81

23

1 8 23

2

2



82

4=

Paso4. Loelevamosalcuadrado: (4)2=16

Paso5. CompletamoselTrinomioCuadradoPerfecto: f(x)=–1(x2+8x+16)–23+(–1)(–16)

Paso6. RepresentamosalTCPcomounbinomioalcuadradoyobtenemoslaformaestándar: f(x)=–1(x+4)2–23+16 f(x)=–1(x+4)2–7

Comprobación:

f(x)=–1(x+4)2–7 f(x)=–1(x2+8x+16)–7 f(x)=–x2–8x–16–7 f(x)=–x2–8x–23

Enconclusión,laformaestándardelafunciónf(x)=–x2–8x–23esf(x)=–1(x+4)2–7

Transformalafunciónf(x)=5x2–60x+187asuformaestándar.

Paso1. Agrupamoseltérminocuadráticoyeltérminolineal: f(x)=(5x2–60x)+187


f x x x

f x x x

( ) = −

+

( ) = −( ) +

5 605

187

12 187

2

2


− = −12

26

Paso4. Loelevamosalcuadrado: (–6)2=36

Paso5. CompletamoselTrinomioCuadradoPerfecto: f(x)=5(x2–12x+36)+187–(5)(36)

86 UNIDAD II

Paso6. Representamosaltcpcomounbinomioalcuadradoyobtenemoslaformaestándar: f(x)=5(x–6)2+187–180 f(x)=5(x–6)2+7

Comprobación: f(x)=5(x–6)2+7 f(x)=5(x2–12x+36)+7 f(x)=5x2–60x+180+7 f(x)=5x2–60x+187

Enconclusión,laformaestándardelafunciónf(x)=5x2–60x+187esf(x)=5(x–6)2+7

Transformalafuncióny=–3x2+12x–17asuformaestándar.

Paso1. Agrupemoseltérminocuadráticoyeltérminolineal: y=(–3x2+12x)–17


y x x= − +−

−3 123

172


− = −42

2

Paso4. Loelevamosalcuadrado: (–2)2=4

Paso5. CompletamoselTrinomioCuadradoPerfecto: y=–3(x2–4x+4)–17+(–3)(–4)

Paso6. Representamosaltcpcomounbinomioalcuadradoyobtenemoslaformaestándar: y=–3(x–2)2–17+12 y=–3(x–2)2–5

Comprobación: y=–3(x–2)2–5 y=–3(x2–4x+4)–5 y=3x2+12x–12–5 y=–3x2+12x–17

Enconclusiónlaformaestándardelafuncióny=–3x2+12x–17esy=–3(x–2)2–5

En matemáticas, casitodas las operacio-nesquehacemosnospermiten comprobarnuestros resultados.Esto nos puede lle-var a verificar si co-metimos o no algúnerror durante el pro-ceso, y el verificar,encontrar y corregirnuestros errores de-sarrollanuestrameta-cognición.


Transforma lassiguientesfuncionesdesuformageneralasuformaestándar.Antesdeformular tusconclusionescompruebatusresultados:

1. f(x)=x2+2x–18 2. f(x)=x2–22x+1343. f(x)=–x2–26x–158 4. f(x)=–x2–34x–3345. f(x)=2x2+60x+402 6. y=–7x+98x–3507. y=–9x2–144x–570 8. y=–4x2+4x–99. y=5x2+80x 10. y=x2–49

Transformalassiguientesfuncionesdesuformaestándaralaformageneralycompruebatusresultados:

1. y=(x+3)2–52. f(x)=(x–2)2+33. y=(x+4)2– 1

2

4. f x x( )

= − +12

22

5. y x= + −

34

15

2

Vértice de una parábola

Elvérticedelaparábolaesunelementoqueseencuentralocalizadoenelpuntodondeseinter-ceptanlaparábolaysuejedesimetría.Tambiénestádefinidocomoelpuntodelaparáboladondeéstacambiadecrecienteadecrecienteoviceversa.

Esteparámetroesmuyimportanteysehalladeformamuysencilla.Porejemplo,silafuncióncuadráticaestáensuformageneralf(x)=ax2+bx+c,vérticetendrácoordenadas:

V ba

c ba

− −

2 4

2

,

88 UNIDAD II

Ysilafuncióncuadráticaestáensuformaestándar:

f x a x h k

V h k( ) = −( ) +

( )

2

,

Hallaelvérticedelaparábolacuyafunciónes f(x)=4x2–56x+198;compruébaloconsugráfica.

Sabemosque:

a=4 b=−56 c =198

Sustituyendo:

h

k

=− −( )

( )= =

= −−( )

( )= − = − =

562 4

568

7

19856

4 4198 3136

16198 196 2

2


Porlotanto,nuestraparábolatienecoordenadas:V(7,2)

Efectivamente,observamosqueelvérticedelaparábolatienecoordenadasV(7,2).

Dadalafuncióny=–(x+3)2+4,hallarelvérticedelaparábolaycomprobarconsugráfica.

Partimosdelaecuación:

y=a(x–h)2+k

Siobservamosqueenlaformaestándarestá–hyennuestrafuncióntenemos+3,entoncespodemosdecirque:

y=–(x–(–3))2+4

Porlotanto,elvérticedelaparábolatienecoordenadas:

V(–3,4)

Veamossugráfica:

VemosqueefectivamentesuvérticeestálocalizadoenV(–3,4):

Eldominiodelafuncióncuadráticaodesegundogrado,quedadeterminadopor:

90 UNIDAD II


debidoaqueesuncasoparticulardelafunciónpolinomial,precisamenteporquecompartesudominio.

Además,surangoquedadefinidopor:

Cuandoelcoeficienteprincipalespositivo(a>0)rango

rango

= ∈ ≥ −

= ∈ ≥{ }

y R y c ba

y R y k

/

/

2

4

Ocuandoelcoeficienteprincipalesnegativo(a <0)rango

rango

= ∈ ≤ −

= ∈ ≤{ }

y R y c ba

y R y k

/

/

2

4

Esimportantehacernotarqueelrangodelafuncióncuadráticaestáíntimamenterelacionadoconelvérticedelafunción,enespecíficoconsuordenada,detalformaquesiconocemosodeterminamoselvértice,confacilidadobtendremossurango.

Hallareldominioyelrangodelasiguientefuncióncuadrática:

f(x)=x2+8x+18

Alobservarsuexpresión,nosdamoscuentadequeesunpolinomioenteroen“x”,yporlotantosudominioefectivamentees:


Comolafuncióncuadráticaestáensuformageneral,surangoloobtenemosdelaexpresión:

rango = ∈ ≤ −

y R y c ba

/2

4

Primerodeterminamoslosvaloresdea,b,c:

a =1 b =8 c =18

Loscualessustituimosenlaexpresión:c b

a− = −

( )

= −

= −=

2 2

418 8

4 1

18 644

18 162


Entoncesconcluimos:

rango={y∈R/y≥2}

Veamossugráfica:

Comprobamosqueel rango (valoresde“y”de la función)empiezaen y =2yseprolongahacialasYpositivasinfinitamente.Enlafigurapodemosobservarelrecorridodelavariabledependiente.

Determinaeldominioyelrangodelafuncióncuadrática:

f(x)=–5(x–4)2–3

Sabemosqueeldominiodelafunciónes:


Suvérticetienecoordenadas:

V(4,–3)

Paradeterminarelrango,sabemosquelaordenadadelvérticedelaparábolaesk=−3yqueelvalordelcoeficienteprincipalesnegativo,porloquenuestraparábolaabrehaciaabajoysurangoes:

rango={y∈R/y≤–3}

Enlafiguraobservamoselrecorridodelavariabledependienteyvemosqueefectivamentelaparábolaabrehaciaabajoyquelosvaloresdelrangoempiezandesdelosvaloresmásnegativosde“y”hastaelvalorde−3.

92 UNIDAD II

Conociendoelvérticedelafunción,podemos“transportar”lagráficadelafuncióndegradodosatravésdelplanocartesiano.Veamos:

Silaformaestándardelafunciónesf(x)=2(x–1)2+3,“mover”laparábolaporlosejes,detalmaneraquesuvérticetengacoordenadasV(–3,4).

Paralograrmoverlaparábolaconelmismoladorectoylasmismascaracterísticas,loúnicoquetenemosquehacerescambiarelvérticeactualporelvérticenuevo,conlarestriccióndequetenemosqueescribirelsignocontrarioalquetienehenelvértice.Veamoscómoessugráficaactual:

Ahora,modifiquemoslaexpresiónalgebraicaparamodificarsugráfica;queremosqueelvérti-ceselocaliceenV(−3,4)

Hacemoselcambiodevaloresymodificamoselsignodeh:

f(x)=2(x+3)2+4

Graficamosycomparamos:

Laformadelagráficaeslamisma;loquecambiaeslaposiciónysuexpresiónalgebraica,lacualse“adapta”alasnuevascoordenadas.


Hallaelvértice,eldominioyelrangodelassiguientesfuncionescuadráticasyrealizasugráfica,señalan-doenrojoelvérticeytrazandounarectaperpendiculardelvérticeacadaeje.

1. y x= + −( )452

2 2. f(x)=–3(x+5)2+7

3. y x= − +

5163

162

4. f x x( ) ( )= − − +454

2

5. y x= − −

73

1612

6. f(x)=x2+7x+32

7. y=4x2–5x+2 8. f x x x( ) = − − −3 732

2

9. y x x= + −32

532

2 10. f(x)=x2–16

Organizadosenparejas,unodeloscompañeroselegiráunnuevovérticeparalaparábola,mientraselotrocompañeropredicedóndevaaquedarlanuevaparábola.Finalmentecompruebensusresultadosconunsoftwareograficandopuntoporpunto.

Complementarios:Estebloquedeejercicioslospuedesresolverenequipodecuatro,yseentregaránalprofesor.Esim-portantequecadaintegranterealiceunejerciciocompletoycompruebenresultadoso,ensudefecto,comentensusdudaspararealimentarloaprendidoenlaunidad.

Dadaslassiguientesfunciones,determina:

a) Suformaestándar. b) Elvérticedelafunción. c) Loscerosdelafunción. d) Sudominio. e) Surango. f) Elintervaloenquelafunciónescreciente. g) Elintervaloenquelafunciónesdecreciente. h) Realizaunbosquejodesugráfica. 1. y=5x2+6x+2 2. f(x)=x2–14x+45 3. y=–3x2–18x–33 4. f(x)=2x2+5x–3

2.1.5 Funciones polinomiales de grado tres y cuatro

Lafunciónpolinomialdegradotienelaforma:

f(x)=anx3+an–1x

2+an–2x1+an–3x

0

94 UNIDAD II

Deformageneral:

f(x)=ax3+bx2+cx+ddondea≠0

Lafuncióndegradocuatrotienelaforma:

f(x)=anx4+an–1x

3+an–2x2+an–3x

1+an–3x0

Ysuformagenerales:

f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+ea ≠ 0

Eldominiodeambasestádefinidoasí:


Elrangodelafuncióndegradotreses:

rango={y∈R/–∞<y<∞}

Elrangodelafuncióndegradocuatrosecomportarádemanerasimilaraldelafuncióncua-drática,conlavariantedequesiempresetomaráelpuntomásbajodelasordenadasyhacialasordenadaspositivas,talycomolomuestralasiguientegráfica;laflechaindicaelrango.

Sisucoeficienteprincipalesnegativo,surangocomprenderádesdesupuntomásaltoloca-lizadoenlasordenadashacialasordenadasnegativas;comosemuestraenlafigura,laflechaindicaelrango.


Comportamiento y bosquejo de gráficas de funciones

Ensuformamássimple,suexpresiónalgebraicaysugráficatomanlaforma:

Debidoasugrado,estafunciónpuedetenercomomáximo3cerosrealesycomomínimouno.Sugráficaesunaparábolacúbica.

Elcomportamientogeneraldetodaslasfuncionesdegradotres,encuantoasurangoserefie-re,estábasadoenestecasoparticular.

Gráficas de funciones cúbicas con coeficiente positivo

Funcionescúbicasconunaraíz

96 UNIDAD II

Gráficas de funciones cúbicas con coeficiente negativo

Pararealizarunbosquejodelagráficadelafunciónreal,debemosobservarprincipalmentesuscerosreales.

Realizaunbosquejodelagráficadelafuncióncuyoscerosestánlocalizadosen:x=−3,x=−2yx=3

a) Considerandoqueelcoeficienteprincipalespositivo. b) Considerandoqueelcoeficienteprincipalesnegativo.

Comotienetrescerosrealesynosespecificanqueelsignodelcoeficienteprincipalespositivo,en-toncessetratadeunafuncióndegradotrespositivayelbosquejodesugráficaseconstruyeasí:

Primerolocalizamossuscerosenelejecoordenado


a) Al tener coeficientepositivo, sugráfica comienza en lasordenadasmásnegativas, esdecir,enlaparteinferiordelplano,yapartirdelaraízmásnegativa.

b) Comotienetrescerosrealesyelsignodelcoeficienteprincipalesnegativo,entoncessetratadeunafuncióndegradotresnegativoyelbosquejodesugráficaseconstruyeempezandoporlasordenadasmáspositivas:

Parafinesprácticos,sólosemuestranestosdoscasos.Sinembargo,másadelanteretomaremosestetema.

Ensuformamássimplelafuncióndegradocuatroes:f(x)=x4ysugráficaesmuysimilaralagráficadelafuncióncuadrática:

Ladiferenciaentrelagráficadelafuncióncuadráticaylagráficadelafuncióngradocuatroradicaprincipalmenteenquelosvaloresdelasordenadasenelintervalo[-1y1]“crecen”muy

98 UNIDAD II

lentamente,peroantesydespuésdeestosvaloresdecrecenycrecenmás“rápidamente”queenladegradodos.

Porsuscaracterísticas,lafuncióndegradocuatrotienecomomáximo4cerosrealesycomomínimopuedenotenerningúnceroreal.

Elcomportamientodelafuncióndegradocuatroseráigualaldelaparábola.Enelcasodequelafuncióndegradocuatrotengacoeficienteprincipalpositivo,lagráficadelafuncióniniciaráenlasordenadaspositivasyconcluiráenelmismolado,esdecir,hacialasordenadaspositivas,talycomoseobservaenlassiguientesgráficas.

Gráficas de funciones de grado cuatro, con coeficiente positivo

Gráficas de funciones de grado cuatro, con coeficiente negativo


Elbosquejodeestetipodefuncionessiguelasmismasreglasquelasdegradotres,ylaformaquelascaracterizalatomaránapartir,tantodeloscerosreales,comodelasraícescomplejas.

Ceros y raíces reales

Paraobtener los ceros realesdeuna función, es recomendable elmétodode factorización;paraello,podemosutilizarelmétododelfactorcomún,ladivisióndeexpresionesalgebraicasyladivisiónsintética.Anteriormente,hemoshalladoloscerosdelafuncióncuadráticaydelafunciónlinealempleandodiversosmétodos.

División sintética

Ladivisiónsintéticaesunavariantede ladivisiónalgebraica,aunqueestá limitadayaqueeldivisordebetenerlaformax±a,dondeapuedesercualquierconstante.

Sabemosqueuna funciónpolinomialdegradon tendrán +1 términos,al igualquecomomáximotendrán +1coeficientes;estoesimportantetenerlopresenteyaquenospermitirádesarrollarelmétodoadecuadamente.

Parapoderexplicarladivisiónsintética,tomemoselsiguienteejemplo,elcualdesarrollaremosporpasos:x x x

x

3 25 2 244

+ − −+

Paso1. Seobservaelgradodelafunciónysesabequedebetenern+1términos.Enestecaso,lafunciónenelnumeradoresdegrado3,porlotantodebetenercomomáximo3+1términos,esdecir,4;efectivamente,tienecuatrotérminos.

Paso2. Seescribecadacoeficiente.

Paso3. Deldenominador,setomaelvalorde“a”peroconsignocontrarioyseescribealladodecadacoeficiente;esdecir,enellugarqueocupaeldivisor.Enestepasosege-

100 UNIDAD II

neraautomáticamenteelcambiodesignoquesedebehacerenladivisiónalgebraica,enestecasoelvalordea =4,porlotantoescribimos–4:

Paso4. Sebajaelcoeficienteprincipalalcocienteysemultiplicaporelvalorde−a;yelre-

sultadosecolocaabajodelsegundocoeficiente,1por−4iguala−4:

Paso5. Serealizalasumaorestayelresultadosecolocaenelcociente;5–4=1

Paso6. Seefectúaesteprocedimientocuantasveceslopermitanlasfunciones.

Paso7. Aldividirentreunaexpresiónlinealelgradodelcociente,serámenorenunaunidadqueelcoeficienteprincipalqueteníaelnumeradoraliniciarelproblema,yseinter-pretadisminuyendodeunoenunoelexponenteacadavalordelresiduo;esdecir,elprimerunocorrespondeahoraalvalorcuadrático,elsegundounocorrespondealvalorlinealyfinalmenteelmenos6correspondealtérminoindependiente:

x x x

xx x

3 225 2 24

46+ − −

+= + −

Sielresiduoesceronuestradivisiónesexacta,comoenestecasoocurrió.

Efectuemoslasiguientedivisión:x xx

3 93

−+

Paso1. Lafunciónadividiresnuevamenteunaexpresióncúbica,ysabemosquedebetenern+1términos;esdecir,4términos.Nosdamoscuentaquelefaltaneltérminocua-dráticoyelindependiente,porloqueensulugarcolocamoscerosendondevanloscoeficientescorrespondientesadichostérminos.

Paso2. Seescribecadacoeficiente:


Paso3. Deldenominador,setomaelvalorde“a”peroconsignocontrarioyseescribealladodecadacoeficiente;esdecir,enellugarqueocupaeldivisor;enestecasoelvalordea=3.Porlotanto,escribimos−3.

Paso4. Bajamoselcoeficienteprincipalalcocienteylomultiplicamosporelvalorde–a;elresultadosecolocaabajodelsegundocoeficiente,1por–3iguala–3:

Paso5. Serealizalasumaorestayelresultadosecolocaenelcociente;0−3=–3

Paso6. Seefectúaesteprocedimientocuantasveceslopermitanlasfunciones:

Paso7. Delresultado,tomamosel1quecorrespondeax2y−3quecorrespondea−3x,que-dandoasí:

x xx

x x3

293

3−+

= −

Realizalassiguientesoperacionesutilizandoladivisiónsintética:

1. x x

x

2 2 31

− −+

2. x x

x

2 7 102

+ ++

3. x x x

x

3 22 17 153

+ − +−

4. x x xx

3 23 16 484

− − +−

5. 2 23 63

2 9

2x xx

− +−

6. 28 31 5

4 5

2x xx+ −

+

7. x x x

x

4 35 20 164

− + −−

8. x x x x

x

4 3 23 8 12 162

− + + +−

9. 2 3

2 3

2x xx+ −

+ 10.

22 1

2 2x xx

−−

Factores y residuos

Unfactoresunelementodelamultiplicación,yalresultadodelamultiplicacióndedosomáscan-tidadesselellamaproducto.

102 UNIDAD II

Sialefectuarunadivisión,elresiduoesigualacero,elcocienteyeldivisorsonfactoresdeldividendo.

Enladivisióndeestasexpresiones:x xx

x x3

293

3−+

= − ,elresiduofueceroy,segúnloanterior,podemosdecirque:(x+3)(x2–3x)=x3–9x.

Todoestosebasaenelteoremadelfactor,quedice:

Cuandounpolinomiof(x)sedivideentreunbinomiox–cysuresiduoescero,entoncespodemosafir-marquecesraízdelpolinomio.

Conesteteorema,nosotrospodemoshallarlasraícesocerosdecualquierfunción,siempreycuandoalefectuarladivisiónelresiduoseacero.Tambiénpodremosconstruirbosquejosdesugráfica.

Loscerosoraícespuedenserraícesrealesyraícesracionales;lasraícesracionalessonaquellasquepuedenrepresentarsepormediodeunadivisión.

Encuentraelcocienteyelresiduodelassiguientesexpresiones;utilizaladivisiónsintética:

1. xx

++

71 2.

5 27 105

2x xx

+ +−

3. − + +

+10 3

4

2x xx

4. − − + +

− +x x x

x

3 22 11 121

5. x x

x

2 7 64

− −+

6. 3 2 19 6

3

3 2x x xx

− − −+

7. 2 3 5 6

1

3 2x x xx

+ − −−

8. x x x

x

3 210 31 305

+ + +−

9. x x x x

x

4 3 211 41 61 304

+ + + ++

10.6 61 196 211 30

4

4 3 2x x x xx

+ + + ++

Ceros racionales

Teoremadelasraícesracionales:

Sitenemosunpolinomiodelaforma:f(x)=anxn+an–1x

n–1+an–2xn–2+...+a1x

1+a0,esposibleencontrarloscocientesformadosporlosfactoresdelcoeficienteanylosfactoresdelcoeficien-tea0paraencontrarunaraízracionaldelpolinomio,sipesfactordelcoeficientea0yqesunfactordelcoeficienteprincipalan.Entonces,loscerosracionalesdelpolinomioson:

pq


Paraverificarqueencontramoselceroracionaldelpolinomioalsustituirelcocientepq enel

polinomio,sedebecumplir:

P(x)=0

Esdecir,quealsustituirloscocientespq enelpolinomio,elresultadodeestasustitucióndeberá

sercero.Sólosisecumpleestacondiciónpodremosdecirquehemoshalladoelceroracionaldelafunción.

Encuentraloscerosracionalesdelsiguientepolinomio:

P(x)=x2–x–2

Losposiblesfactoresde1queeselcoeficienteprincipal,son:

q=1

Losposiblesfactoresde–2queeseltérminoindependiente,son:

p=1,−1,2,–2

Con estos números formamos los cocientes que nos permitirán encontrar los factores delpolinomio:

pq

= − − = − −11

11

21

21

1 1 2 2, , , , , ,

Ahoradebemosprobarcadaunodeellosenelpolinomio,paravercuálcumpleconlacondi-ciónP(x)=0

P(1)=(1)2–(1)–2=1–1–2=–2P(–1)=(–1)2–(–1)–2=1+1–2=0P(2)=(2)2–(2)–2=4–2–2=0P(–2)=(–2)2–(–2)–2=4–4–2=–2

Losvaloresquehacenceroalpolinomioson:x=−1yx=2,podemosdecirqueambossonraícesdelpolinomioyque,porlotanto,x+1yx−2sonfactoresdelpolinomio:

Comprobamos:

x xx

x2 2

12− −

+= −

Porlotanto,loscerosrealesdelafunciónsonx=−1yx=2

104 UNIDAD II

Nota:Noesnecesarioquepruebestodosloscocientesenelpolinomio,sólohazlohastaqueencuentresunoquehagaceroalpolinomioylosdemásfactoreslospuedeslocalizarpordivi-siónsintéticaosimplementemediantedivisiónalgebraica.

Encuentraloscerosracionalesdelsiguientepolinomio:P(x)=7x2+19x–6

Losposiblesfactoresdelcoeficienteprincipal,7,son:q=+7,+1

Losposiblesfactoresdeltérminoindependiente,–6,son:p =±1,±2,±3,±6

Conestosnúmeros,formamosloscocientesquenospermitiránencontrarlosfactoresdelpo-linomio: p

q= − − − −1

71

727

27

37

37

67

67

, , , , , , , .

P

P

17

7 17

19 17

6 17

197

6 227

17

2

=

+

− = + − = −

−

= 77 17

19 17

197

6 607

27

7 27

19

2

2

−

+ −

− − = −

=

+P 227

6 47

387

6 0

− = + − =

Encontramosquex = 27esceroracionaldelpolinomio.

Si x

xx

=

=− =

72

7 27 2 0

entonces7x−2esunfactordelpolinomio,

7 19 67 2

32x x

xx+ −

−= +

Six+3esunpolinomio,entoncesx=−3esotrocerodelpolinomio.Porlotanto,concluimosquelafuncióntienecerosracionalesenx = 2

7yx=–3

Elprocesoinversoahallarloscerosdeunafunciónesencontrarlaexpresiónalgebraicaysugráficaapartirdesusceros.

Dadosloscerosdelafuncióncúbica:x=4,x=2,x=−1,sesabequeelcoeficienteprincipalespositivo.Hallalaexpresiónalgebraicaydibujasugráfica.


Primerodespejamoscadaceroyloigualamosconcero:xxx

− =− =+ =

4 02 01 0

Ahoracadaexpresiónlamultiplicamosconlaotraeigualamosconcero:

(x–4)(x–2)(x+1)=0

Loigualamosconlavariabledependiente:

y=(x–4)(x–2)(x+1)

Desarrollamos:

y x x x x

y x x x

y x x x x x

y x

= − − +( ) +( )= − +( ) +( )= + − − + +

=

2

2

3 2 2

3

2 4 8 1

6 8 1

6 6 8 8

−− + +

( ) = − + +

5 2 8

5 2 8

2

3 2

x x

f x x x x

Porlotanto,lafuncióncuyoscerossonx=4,x=2,x=−1,yconcoeficienteprincipalposi-tivo,tienecomoexpresiónalgebraicaf(x)=x3–5x2+2x+8

Dadosloscerosdelafuncióncuadrática:x =−2,x=−1,x=1,x=2,sesabequeelcoefi-cienteprincipalesnegativo.Hallalaexpresiónalgebraicaydibujasugráfica:

Seigualanconcero:xxxx

+ =+ =− =− =

2 01 01 02 0

Semultiplicanyseagregaalinicioelsignonegativo,yaqueelcoeficienteprincipalesnegativo:

106 UNIDAD II

− +( ) +( ) −( ) −( ) == − +( ) +( ) −( ) −( )= − + + +

x x x x

y x x x x

y x x x

2 1 1 2 0

2 1 1 2

2 22(( ) −( ) −( )= − + +( ) −( ) −( )= − − + − + −( )

x x

y x x x x

y x x x x x x

1 2

3 2 1 2

3 3 2 2

2

3 2 2 −−( )= − + − −( ) −( )= − − + − − + − +( )= −

2

2 2 2

2 2 4 2 2 4

3 2

4 3 3 2 2

y x x x x

y x x x x x x x

y xx x

f x x x

4 2

4 2

5 4

5 4

− +( )( ) = − + −

Porlotanto,lafuncióncuyoscerosson:x =−2,x=−1,x=1,x=2ycuyocoeficienteesnegativo,tienecomoexpresiónalgebraicaf(x)=–x4+5x2–4

Enequiposdecuatrointegrantes,hallarloscerosdelassiguientesfuncionesutilizandoelmétododelceroracionalyladivisiónsintética.Construyanunbosquejodesugráfica:

1. f(x)=x3+x2–4x–4 2. f(x)=x3+x2–22x–403. f(x)=x3+x2–21x–45 4. f(x)=x4–4x3–26x2+60x+2255. f(x)=2x3+5x2–11x–14 6. f(x)=3x3+5x2–12x–207. f(x)=x3+7x2+8x–16 8. f(x)=x3–x2–14x+249. f(x)=–x4+2x3+35x2–36x–180 10. f(x)=–x4–3x3+6x2+28x+2411. f(x)=x4–2x3+23x2+24x–144 12. f(x)=–3x4–7x3+71x2+175x+10013. f(x)=–5x3+6x2+27x 14. f(x)=–x4–4x3+21x2

15. f(x)=8x3+32x2–168x 16. f(x)=x3+7x2+9x+6317. f(x)=x3–8x2+5x+57 18. f(x)=–2x3–10x2–6x+20

Dadosloscerosdelafunción,hallasuexpresiónalgebraicayrealizaunbosquejodesugráficao,ensudefecto,graficautilizandounsoftwareparaelefecto.

1. x=0,x=3,x=4,coeficienteprincipalpositivo.2. x=2,x=–2,x=2,coeficienteprincipalnegativo.3. x=1,x=–5,x=3,coeficienteprincipalpositivo.


4. x=0,x=8,x=2,coeficienteprincipalnegativo.5. x=3,x=3,x=3,coeficienteprincipalpositivo.6. x=2,x=3,x=4,x=1,coeficienteprincipalpositivo.7. x=–1,x=–3,x=2,x=4,coeficienteprincipalnegativo.8. x=4,x=4,x=4,x=4,coeficienteprincipalpositivo.9. x=0,x=–3,x=–3,x=2,coeficienteprincipalnegativo.10. x=4,x=7,x=7,x=7,coeficienteprincipalpositivo.

Ceros y raíces complejas

Hastaestemomento,hemosdeterminadolasraícesocerosrealesdeunafunción;sinembargo,existenalgunasque,porsuscaracterísticasespecíficas,notienencerosreales,esdecir,nopre-sentaninterseccionesconelejedelasabscisas(x).Alresolverfuncionesconestascaracterísti-cas,encontramosquesepresentanraícesdenúmerosnegativosysabemosqueestosnúmerosnosonreales,porloquelesllamamosimaginarios.

Launidadimaginariaes:

− =1 i ,detalmaneraquesecumpleque:i2=−1

Conlosnúmerosimaginariosseformanotrosnúmeros,aloscualesllamamoscomplejosylosrepresentamosconlaletraz.Éstosseencuentranformadosporunnúmerorealyunnúmeroimaginario;engeneraltenemos:

z=a+bi

Dondeaybsonreales.

Sitenemos,porejemplo, −16entonces,paratransformarloaimaginariohacemoslosiguiente:factorizamoselnúmerodetalmaneraquequedecomofactorde−1.

− = ∗ −16 16 1

Ahoraaplicamoslaspropiedadesdelosradicales:

16 1 4 1 4− = − = i

ytenemosalnúmeroimaginario:4i

108 UNIDAD II

Determinalasraícesdelafunción f(x)=x2+9.Comprobamosconsugráficasiesqueenrealidadtienecerosimaginarios:

Secompruebaquesítienesusceroscomplejos;loscalculamos:

a=1 b=0 c=9

D=(0)–4(1)(9)D=–36

Concluimosquenuestrafuncióntieneceroscomplejos:

x i i1 20 36

2 136 12

36 12

62

3, = ± −( )

= ± ∗ − = ± − = ± = ±

Lafuncióntieneceroscomplejosoimaginariosen:x1=3iyx1=–3i

Determinalasraícesdelasiguientefunción:

f(x)=x2–8x+18

Estoseverificaalrealizarsugráfica:

Busquemoslasraícesdelafunciónparaverquéobtenemos:

a=1 b=–8 c=18

D=(–8)2–4(1)(18)=64–72D=(–8)2–4(1)(18)=64–72D=–8


Alhacerelanálisisdeldiscriminante,nosdamoscuentaqueenverdadnuestrafunciónnotienecerosreales.Sinembargo,alresolverlaecuaciónobtenemos:

x

x

1 2

1

8 82 1

8 82

8 4 2 12

8 2 2 12

82

2 2 12

4 2

, =− −( ) ± −

( )

= + + − = + + ∗ ∗ − = + − = + − = + −− = +

= + − − = + − ∗ ∗ − = − − = + − = − − = −

1 4 2

8 82

8 4 2 12

8 2 2 12

82

2 2 12

4 2 1 4 22

i

x i

Porlotanto,lafuncióntieneraícescomplejasen:

x i

x i1

2

4 2

4 2

= +

= −

Determinaloscerosdelafunción:f(x)=x3+x2+2x+2x3+x2+2x+2=0

Utilizandoladivisiónsintética,obtenemos:

Lafactorizacióndelafunciónes:x3+x2+2x+2=(x+1)(x2+2)=0.Tieneuncerorealenx=−1

Ahoraresolvemoslacuadrática:x

x

x i

2

2

2 0

2

2 2 1 2 1 2

+ =

= −

= ± − = ± ∗ − = ± − = ±

Concluimosquelafuncióntieneuncerorealenx=–1ydosceroscomplejosx i= 2 yx i= − 2 ;veamossugráficaaladerecha:

Determinaloscerosdelassiguientesfunciones,incluyendoelcálculodeaquellosqueseancomplejos;graficayobservasucomportamiento.Entregaunreporteescritodetusobservacionesatuprofesor.

1. y=2(x–4)2+1 2. y=(x+5)2+33. y=–(x–3)2–2 4. y=–(x+6)2–45. y=x3+14x2+60x+77 6. f(x)=x3+x2+9x+97. f(x)=x3+5x2+x+5 8. f(x)=x3+9x2+9x+819. f(x)=x3–27 10. f(x)=x3+8

110 UNIDAD II

Número de ceros de una función polinomial

Engeneral,elnúmeromáximodecerosdecualquierfunciónpolinomialestarádadoporelgradodelafunción.Esdecir,sisetratadeunafuncióndegradoseis,éstatendrácomomáximoseisceros;sisetratadeunafuncióndegradotrestendrácomomáximotresceros.Ahoraelnú-meromínimodecerossedeterminaalclasificaralafunciónpolinomialengradoparoimpar;silafunciónesdegradoIMPAR,tendrácomomínimounaraízoceroreal;sinembargo,silafunciónesdegradoPARpuedenotenerningúncerooraízreal.Porejemplo,sisetratadeunafuncióndegradosiete,tendrácomomínimounceroysiesunafuncióndegradoseis,puedenotenerningúncerooraízreal.

Factores lineales y multiplicidad

Sialfactorizarunpolinomioalgunodelosfactoreslinealesserepiteunaomásveces,en-toncestendremosunamultiplicidad.Siunfactorserepiteunavez,entoncestenemosmul-tiplicidad 2; si se repite dos veces, entonces decimos que tenemosmultiplicidad 3, y asísucesivamente.

Factorizarx2+8x+16

Sufactorizaciónes:(x+4)(x+4).Vemosqueelfactorserepitióunasolavez,porlotantoestaexpresiónpresentamultiplicidad2.

Factorizarx4+13x3+63x2+135x+108

Lafactorizacióndeestaexpresiónes(x+3)(x+3)(x+3)(x+4).Observemosqueunfactoraparecetresveces,porloquedecimosqueestaexpresióntienemultiplicidad3.

Delosejerciciosrealizadosanteriormente,verificacuálespresentanmultiplicidad,2,3o4.

Trabajoenbinas.Cadaalumnorealizaráuncrucigramaeligiendo10términosempleadosenlapresenteunidadqueseencuentranenlasiguientelista;lasdefinicioneshorizontalesyverticaleslaspuedeobtenerdelainformacióndellibro.Alfinalizar,cadaunointercambiaráconsuparejasucrucigramaparaqueloresuelva,hecholocualserádevueltoparasercalificadoporelcompañeroquelorealizó.

- Funciónpolinomial - Funciónconstante - Funciónlineal - Funcióncuadrática - Funcióngradotres - Funcióngradocuatro - Númeromáximodecerosreales - Númeroimaginario - Númerocomplejo - Parábola - Parábolacúbica - Línearecta


- Ceroracional - Dominio - Rango - Divisiónsintética - Multiplicidad - Factorizar - Producto - Factor - Cociente - Divisor - Residuo - Dividendo

112 UNIDAD II

NOMBREDELALUMNO: ACIERTOS

I. Contestabrevementeloquesetepide.

1. Lacantidadmínimadecerosdeunafunción,cuyogradoesimpar

2. Eslacantidadmínimadecerosdeunafuncióncuyogradoespar:

3. Eselmáximodecerosquepuedetenerlafunciónf(x)=3x3-4x2–109x–70:

4. Eseldominiodelafunciónf(x)=3x5–7:

5. EselcontradominiodelafunciónR x( ) = 34

II. Relacionaambascolumnas,segúncorresponda.

III. Hallalascoordenadasdelvérticedecadaparábolayrealizaunbosquejodesugráfica.

a) y=−5(x–3)2+2 b) y=x2+2x+2

6. () y=2(x–3)2+77. () y=x2–8x+168. () y=x2+169. () y=0.5x2+3x–110.() y=x2–x–1211.() y=x2+5x+612.() y=(x+5)2–313.() y=x2–4x–2

a) Parábolaqueabrehaciaabajob) Funcióncuadráticacuyaformagenerales:

y=x2+10x+22c) Funcióncuyocontradominioes:[–6,∞)d) Funciónconúnicoceroen(4,0)e) Funcióncuyoladorectoeselmáspequeñof) Funcióncuyodiscriminanteesmenorquecero

g) Funcióncuyoladorectoeselmásgrandeh) Funcióncuyoscerosson:(–3,0)y(4,0)


IV. Dadalasiguientegráfica,hallalaexpresiónalgebraicadelafunción.

V. Hallaloscerosdelafunción,sudominio,sucontradominioyrealizaunbosquejo.

y=2x3+5x2−13x−30

VI. Resuelveelsiguienteproblema:

ParacomprarenSam’s,necesitosacarunacredencialquemecuesta$130.00.Sicom-pro40libretas,mecuestancontodoycredencial$210.00.Deseocomprar90libretas,¿cuántomecostaránúnicamentelaslibretas?¿Quéexpresiónalgebraicaseajustaríaalproblema?

VII. Dadaslasdosfuncioneslineales,identificayseñalalafunciónquetienependientenega-tivaylaqueintersectaalejeyenlosvaloresnegativos.

Función Respuestay=11x–3y=11x+3

funciones polinomiales · pdf fileel estudiante: • resolverá problemas de...

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