las funciones polinomiales

FUNCIONES POLINOMIALES

65

CAPÍTULO 2

LAS FUNCIONES

POLINOMIALES

CONTENIDO

Definición de función polinomial

Operaciones con polinomios: suma y producto

La división de polinomios

La división sintética

El teorema del residuo

Máximo común divisor de polinomios

Ecuaciones polinomiales

Graficación de polinomios

RESULTADOS DE APRENDIZAJE:

Reconoce una función polinomial

Suma, resta, multiplica y divide funciones polinomiales

Aplica la división sintética

Utiliza el teorema del resisiduo para hallar raíces de un polinomio

Resuelve ecuaciones polinomiales

Traza la gráfica de polinomios

Funciones monomias Sea a un número real dado, y n un número natural. La función f definida en por

naxxf )( , es llamada monomio de grado n y de coeficiente a .

EJEMPLOS

1. Las funciones definidas en por f(x) =5x²; g(x)= 3

3

2x ,

5)1()( xaxh ,

1)(

2

a

xxq ,son monomios. En cambio las funciones definidas en por: f(x)= x-3,

g(x) = |x|, 1

5)(

2

xxh ,no son monomios.

2. Si 0,a la función monomianaxxf )( , es la función nula. El monomio nulo no tiene

grado.


66

3. Si 0n , para todo número real x no nulo se tiene 1nx y en ese caso la función

monomia naxxf )( , se reduce a axf )( , que es una función constante y de grado cero.

Suma de monomios del mismo grado

Dados los monomios p(x) = axⁿ y q(x) = bxⁿ, su suma es el monomio ( ) ( ) ( );s x p x q x

es decir:

.)()( nnn xbabxaxxs

Producto de monomios

Dados los monomios p(x) = axⁿ y ( ) mq x bx , su producto es el monomio p(x) =

p(x)×q(x); es decir:

.)())(()( mnmn xabbxaxxp

El grado del monomio producto es igual a la suma de los grados de cada monomio factor.

EJERCICIOS

1. Indicar cuáles de las siguientes expresiones es un monomio. En caso afirmativo,

indicar su coeficiente.

a. 7x b. y²

c. 3 d. 8xy

e. x

5

f. 5xy + y g. x

4

5 h. xy

7

13 i. xy j. 2/32/1 yx

2. Indicar el grado de cada uno de los siguientes monomios.

a) 13m

b) -b

c) 25z

d) 5

y

e) 10

f) 5436 zyx

g) 5xy h) 32

5

3rpq

i) 9xy²

3. ¿En qué casos el producto de dos monomios es un monomio constante?

4. Encontrar el valor de r que hace que cada una de las siguientes igualdades sea

verdadera.

a) x²xr = x8

b) x²x³xr = x17

c) x¹³x7x

8=x

3r+7

d) 2r+5

= 22r-1

e) 22r+1=32 f) 3r+1 =33²


67

5. Calcular la suma S(x) y el producto P(x) de los monomios dados en cada uno de los

siguientes casos:

f(x) g(x) S(x) = f(x) + g(x) P(x) = f(x) g(x)

a. 3

2

1x

6x³

b. x

3

2

5x

c. 27x 7x²

6. Calcular los productos de los monomios siguientes:

a) ( 2a ) ( 4ab )= b) ( 2mn² ) ( 7m²n ) =

c) ( 3,1x² ) ( 5,4xy ) =

d) z²¹ z18 z =

e) ( 1

2 a²b )( ab )(

2

7 ac² )=

f) ( 3xy² ) ( 8x²y³ ) =

g) ( 2

3 x² )( 5x³)=

h) ( 7x² ) ( 0 ) =

i) ( r4s³ ) ( rs4 ) =

j) (5x²y ) ( 3x4y7)=

k) (7axy² )( 1

7 ax ) =

l) (3

4 ab ) (

4

5 a²b ) =

m) ( 2 2a²b ) ( 2ab ) =

n) (

1

2 x³ ) (

5

3 x² ) =

o) ( 3x4 ) ( 5

2 x² )=

p) ( 1

5 x ) ( 5x³ )=

7. Simplificar:

a) 2

ab = b) ( 3

4ab )³ =

c) 3y(2y)³ =

d) ( 2a²b³ )5 =

e) 4x( 5x² )³ =

f) ( 2x²yz )³ =


68

8. Escriba cada una de las siguientes expresiones como un monomio en forma simplificada.

a) ( 2x²y )( 5x²y³ ) + ( xy )4

b) (3y²)(5y)³ (2y)5

c) (5m)²(2m)³ ( 1

2m)² (2m)³

d) ( 4r )³(1

2rs )² + (

1

2r)5( 2s)²

Funciones polinomiales. Operaciones

Consideremos las siguientes funciones de IR en IR.

1. x→ 5x 3.

2. x→ 3x² 2x + 7.

3. x→ x5 + 3x4 x² + 2x 3.

4. x → 8.

Las funciones anteriores son casos particulares de funciones polinomiales.

Definición. Diremos que una función polinomial o simplemente un polinomio P de grado n es

una función P de IRenIRdefinida por

.0,)( 3

3

2

210 n

n

n asixaxaxaxaaxP

Un polinomio P de la forma 0)( axP , se denomina polinomio constante y su grado es cero

si 00 a . Su representación gráfica es una recta paralela al eje X.

Un polinomio P de la forma ,)( 10 xaaxP se denomina polinomio de primer grado si

.01 a Su representación gráfica es una recta.


69

Un polinomio P de la forma ,)( 2

210 xaxaaxP se denomina polinomio de segundo

gradosi 02 a . Su representación gráfica es una parábola.

El polinomio

n

n

n

n xaxaxaxaxaa

1

1

3

3

2

210

lo podemos también expresar en la forma

01

2

2

3

3

1

1 axaxaxaxaxa n

n

n

n

.

En el primer caso se dice que el polinomio está ordenado en forma creciente (los exponentes

están ordenados de menor a mayor) y en el segundo caso se dice que el polinomio está

ordenado en forma decreciente.

EJEMPLOS

1. Los siguientes polinomios están ordenados en forma creciente:

a. 1 – x

b. 432 4 xxx


70

c. 1 + x + x² + x³ + x4 – x

5.

2. Los siguientes polinomios están ordenados en forma decreciente.

a. 2x + 5

b. x5 – x4 + 3x² - x + 5

c. x5 – x4 - x³ + x² + x - 3.

Un monomio es un polinomio que consta de un solo término. Los siguientes son ejemplos de

monomios: 5, 7x5, 3 ,x 21 .x

EJERCICIOS

1. Calcular el valor del polinomio P para los siguientes valores de x:2

,3

x 0,x 1,x

50, 2; .

2x x

2

3x

0x

x = 1

x = 0.2 x =

5

2

P(x) = 5x² 3

P(x) = 2x² 3x + 1

P(x) = x³ 1

2x + 3

P(x) = 8x³ 2x

P(x) = 4x5 12x

4 + 7x³ + 3x² 2x

P(x) = 1

2x7– x – x7 + 3x +

1

2x7

2. Dados dos binomios de primer grado P y Q definidos por P(x) = ax + b y Q(x) = cx + d.

a. Calcular las imágenes de los números reales 0 y 1 por P y por Q.

b. ¿Qué debe verificarse para que los monomios P y Q sean iguales?

3. Completar con la expresión que convenga:

a. 5x + … = 13x;

b. … 5x = 9x;

c. 9 × (…) = 36x²

d. 3x × (…) = 24x5

4. Reduzca y ordene cada uno de los siguientes polinomios.

a. p(x) = 5x² (2 5x5 ) ( 7x³ 3x ).

b. p(x) = x5 (2x² x5 + 10x 6) + 5x³.

c. p(x) = 7x5 3x² + x4 3x 1.

5. Ordene en forma decreciente cada uno de los siguientes polinomios.

a. p(x) = 5x² 8 + 5x5 ( 7x³ 3

2 x ).


71

b. p(x) = 7x6 5x

7 x² ( 10x – 6 + x³ ).

c. p(x) = 7x³ 8x² + 5

7 x4 3x6 13.

Suma y producto de polinomios

Suma de polinomios Observe los siguientes ejemplos.

1. Si P(x) = 3x y Q(x) = 6x entonces P(x) + Q(x) = 3x + 6x = (3 + 6)x = 9x.

2. Si P(x) = 15x5 y Q(x) =

1

2 x5

entonces

P(x) + Q(x) = 15x5 + 1

2 x5 = ( 15+

1

2) x5=

29

2x5.

Note que en los ejemplos anteriores los monomios que aparecen en la suma tienen el mismo

grado. En tal caso se dice que los monomios son semejantes.

Dados dos monomios semejantes a xⁿ y b xⁿ, su suma está dada por

axⁿ + bxⁿ = (a + b)xⁿ.

La operación anterior se conoce también como reducción de términos semejantes.

De manera similar

.)( nnn xbabxax

EJEMPLO

Si P(x) = 3x³ x² + 2x 5 y Q(x) = 6x² + 5x + 7 entonces

P(x) + Q(x) = (3x³ x² + 2x 5) + (6x² + 5x + 7)

= 3x³ + (x² + 6x²) + (2x + 5x) + (5 + 7)

= 3x³ + 5x² + 7x + 2.

EJERCICIOS

1. Determinar los polinomios s(x) = p(x) + q(x), y d(x) = p(x) q(x) si los polinomios

p(x) y q(x) están dados por:

a. p(x) =2x² 3

4x +

2

3, q(x) =

1

5 x² + 5x

6

7.

b. p(x) = 2

5 x³

3

4 x² +

2

3 , q(x) =

3

5 x²

6

7 x + 3.

c. p(x) = 1

3 x –

1

2 x5 +

2

5 x4, q(x) = 0.6x5 1.7x³

3

5 x² +

6

7x+ 0.14x4.

2. De 5x7 6x5 + 3x² x + 1, restar x8 – x4 + 3x² + x 1.

3. De 5x52x4 + 13x³ 3x² 2x + 7, restar 4x² 3x + 9.

4. De 6a²x4 + 4a³x³ + 12a4x², restar 5ax² 7a²x.


72

5. Los siguientes cuadrados, ¿son mágicos para la adición?

a.

2x 3 3x 4 2x + 1

3x + 2 x 2 5x 6

4x 5 x 1

b.

2x 6x 7x

9x x 5x

4x 8x 3x

6. El siguientes cuadrado, ¿es mágico para la multiplicación?

4x8 8x 0.25x6

0.125x³ 2x5 32x7

16x4 0.5x9 x²

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Dados dos monomios axⁿ y mbx , su producto es

.)())(( mnmn xabbxax

Note que el grado del polinomio producto es la suma de los grados de los monomios factores.

Usando la propiedad distributiva de los números reales podemos entonces multiplicar un

monomio por un polinomio cualquiera, expresando el producto como una suma de productos

de monomios.

EJEMPLO

Si p(x) = 5x² y q(x) = 1

3 x

1

2 x³ +

2

5 x4 + x7

entonces

p(x)q(x) = (5x²)(1

3 x

1

2 x³ +

2

5x4+x7)

= (5x²)(1

3 x) + (5x²)(

1

2 x³) + (5x²)(

2

5 x4 ) + (5x²)(x7)

= 5

3x³

5

2x

5 + 2x

6 + 5x

9 .


73

De manera general :

bxm(a0 + a1 x + a2 x² + a3 x³ + … + an xⁿ) = ba0 xm + ba1 x

m+1 + ba2 xm+2 + ba3 x

m+3 + …+ b an xm+n.

El producto anterior se lo suele escribir, por analogía con la forma práctica de multiplicar dos

números, como sigue:

a0 + a1x + a2 x² + a3 x³ + …+ an xⁿ

×

bxm

ba0xm + ba1 x

m+1 + ba2 xm+2 + ba3 x

m+3 + …+ ban xm+n

O también

anxn+ …+ a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0

×

bxm

banxm+n + …+ ba3 x

m+3 + ba2 xm+2 + ba1 x

m+1 + ba0 xm.

Usemos lo anterior para calcular el producto de los polinomios p(x) = x² 5x y

q(x) = 2x³ + x 5.

p(x)q(x) = (x² 5x)(2x³ + x 5)

= x²(2x³ + x 5) 5x(2x³ + x 5)

= 2x5 + x³ 5x² 10x4 5x² + 25x

= 2x5 10x2 + x³ 10x² + 25x.

Los cálculos anteriores se suelen presentar en la siguiente forma práctica:

q(x) = 2x³ + x 5

×

p(x) = x² 5x

x² q(x) = 2x5 + x³ 5x²

+

5x q(x) = 10 x4 5x² + 25x

p(x)q(x) = 2x5 10x

4 + x³ 10x² + 25x

O simplemente


74

2x³ + x 5

x² 5x

2x5 + x³ 5x²

10x4 5x² + 25x

2x5 10x4 + x³ 10x² + 25x

EJERCICIOS

1. Desarrolle, reduzca y ordene en forma creciente los siguientes polinomios.

a. 3x²(4

5x³+

1

4x² x +

3

7)

b. (4x + 6)(1.5x + 1

4)

c. (x² + 6x 5)(5x² + 2x – 3 )

d. (x + 2)(2x 1)(4x + 1) (x + 1)(x + 2)(x + 4)

e. (x 1)³ + (x 1)² (x 1)

f. (x + 3) 4(x 1)(x + 2) + 3(x 3)(x + 6)(x 5 )

2. Realice los siguientes productos:

a) (x + 1)² = (x + 1)(x + 1)

b) (x 1)² =(x 1)(x 1)

c) (x + a)(x a)

d) (ax + b)(cx + d)

e) (x + a)³ = (x + a)(x + a)²

f) (x a)³

g) (x a)(x² + ax + a²)

h) (x + a)(x² ax + a²)

3. Expresar el área de cada uno de los cuatro rectángulos en cada figura usando un

polinomio en forma simplificada.


75

4. Encontrar el área de cada uno de los siguientes rectángulos por adición de las áreas de los

rectángulos pequeños.

5. Factorizar los siguientes polinomios:

a) 2ax + 3a b) 25 t³ 75t² 45t

c) x² 2x + 1 d) t² 1.2t + 0.36

e) x² 1 f) x³ 1

g) x³ + 1 h) x4 1

i) ( x + 1 )³ x³ 1

6. Dados los polinomios p(x) = 3x4 x² + 5, q(x) = 2x³ + x² 5 y r(x) = 3x³. Ordene los

siguientes polinomios según las potencias decrecientes de x.

a) p(x) + 4q(x) + 5r(x)=

b) p(x) q(x) + 3r(x)=

c) p(x) + 2q(x) 2r(x)=

d) p(x)× q(x) =

e) [p(x)]² [q(x)]² =

f) [p(x)]²[q(x)]² + [r(x)]³ =

7. Exprese como an xⁿ + …+ a1 x + a0 :

a) (2x + 3)(x² + 1) + (x 1)(x 2)

b) x(x + 1)(x² + 1) (2x + 1)(2x 1)

c) (x + a)(x + b)

d) (x + a)(x + b) (x + a )(x + c)

e) (x² + 1)(2x 1) (x² + 1)(x² + 2)

f) (x + 2)²(x + 4) x(x² + 4x + 6) + 5(x 1)(2x 1)

g) (x + 2)²(x² + 1) + x(x + 2)(x + 3) + (x + 2)(3x² 5x 5)

h) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) x(x + 1)(x + 2)(x + 3)


76

8. Encontrar el coeficiente de x³ sin calcular el producto, en cada uno de los siguientes

casos:

a) (x² + 3x + 1)(2x 1)

b) (x³ 7x + 6)(x² + 1)

c) x²(2x 5)(x + 6)

d) (x + 1)(2x 1)(4x 1)

e) (x4 6x³ + 2x² + 5x + 2)(x³ + x + 4)

f) (x³ + 2x² + 3x + 4)(6x³ + 7x² x 5)

g) (1 + x³)(1 + x4 )(1 + x5 )(1 + x6 )

h) (1 + 2x)(1 + 3x²)(1 + 4x³)(1 + 5x4 )

DIVISION DE POLINOMIOS

Al realizar la división 34 ÷ 8, se obtiene por cociente 4 y por residuo 2.

Esto lo podemos también expresar como

34 = 4×8 + 2.

De manera general, dados dos números enteros positivos n y m con n ≥ m al realizar la

división n ÷ m se obtiene un cociente q y un residuo r de tal manera que

n = qm + r, con 0 ≤ r < m.

En esta sección realizaremos una operación de división similar pero con polinomios. Más

precisamente, dados dos polinomios P(x) y D(x) se trata de establecer un proceso que nos

permita encontrar polinomios Q(x) y R(x) tales que

P(x) = Q(x)D(x) + R(x), con grado de R(x) menor que grado de D(x).

Los polinomios Q(x) y R(x) se denominan el cociente y el residuo respectivamente de la

división de P(x) por D(x). El polinomio P(x) se denomina el dividendo y el polinomio

D(x) se denomina el divisor.

División de un polinomio por un monomio

Cuando el divisor D(x) es un monomio, se encuentra fácilmente la división. Examinemos los

siguientes ejemplos.


77

EJEMPLOS

1. Si P(x) = x6 7x5 + x² x + 4 y D(x) = 5x³, entonces

P(x)

D(x) =

x6 - 7x5 + 3x³ + x² - x + 4

5x³

= x6

5x37x5

5x³ +

3x³

5x³ +

x² - x + 4

5x³

= 1

5x³

7

5 x² +

3

5+

x²-x+4

5x³,

de donde

x67x5 + 3x³ + x² x + 4 = ( 1

5x³

7

5x² +

3

5)(5x³) + x² x + 4.

Es decir que el cociente es Q(x) = 1

5x³

7

5x² +

3

5y el residuo es R(x) = x² x + 4.

2. Si P(x) = 2x8 - 3x7 + 5x6 - 2x4 - 6x + 7 y D(x ) = - 1

2x5, entonces

P(x)

D(x) =

2x8 - 3x7 + 5x6 - 2x4 - 6x + 7

- 1

2 x5

= 2x8

- 1

2x5

3x7

-1

2x5

+ 5x6

- 1

2x5

+ - 2x² - 6x + 7

- 1

2x5

= 4x³ + 6x² 10x + - 2x² - 6x + 7

- 1

2x

5,

de donde

2x8 3x7 + 5x6 2x46x + 7 = ( 4x³ + 6x² 10x)( 1

2x5 ) + ( 2x² 6x + 7).

Es decir que el cociente es Q(x) = 4x³ + 6x² 10x y el residuo es R(x) = 2x² 6x +

7.

EJERCICIOS

1. Calcular( )

,( )

P x

D x en cada uno de los siguientes casos:


78

a. 6 4( ) 25 ; ( ) 3 .P x x D x x

b. 47

( ) 5 ; ( ) .8

P x x D x x

c. 5 3 2( ) 2 , ( ) 6 ,P x abx D x b x con

0.b

d. 9 7 6( ) 5 7 3,P x x x x x 4( ) 1,3 .D x x

e. 5 4 2 3( ) 7 4 8 5,

2P x x x x x

33( ) .

5D x x

f. 5 4 3 2( ) 3 3 1,P x x x x x x

27( ) .

9D x x

2. Encontrar cada cociente:

a. 24 8

2

x b.

2 27 5 13xy xy x y

xy

c.

2 4 2 37 11 5a b a b ab

ab

d. 25b b

b

e.

3 2 2 25 2a b a b ab

ab

f.

2 2 2 218 9 12.

3

r s rs r s

rs

DIVISION ENTRE POLINOMIOS

Observe los siguientes ejemplos :

1. Dividir P(x)= 5x³ + 2x² 7x + 5 por D(x) = x² x + 5.

5x³ + 2x² 7x + 5 x² x + 5

5x³ + 5x² 25x 5x + 7 = Q(x)

7x² 32x + 5

7x² + 7x 35

25x 30 = R(x)

Luego el cociente es el polinomio Q(x) = 5x + 7 y el residuo es el polinomio

( ) 25 30.R x x

2. Dividir P(x) = 4x³ + 3x² por D(x) = 3x³ + 2.

Solución:


79

4x³ +3x² 3x³+2

4x³ + 8

3

4

3

3x² + 8

3

Luego el cociente es el polinomio4

( )3

Q x y el residuo es 2 8( ) 3 .

3R x x

3. Dividir P(x) = 4x4 + 20x³ + 25x² 10x 50 por D(x) = 2x³ + 5x² 10.

4x4 + 20x³ + 25x² 10x 50 2x³ + 5x² 10

4x4 10x³ +10x 2x + 5

+10x³ +25x² 50

10x³ 25x² +50

0

Luego el cociente es el polinomio Q(x) = 2x + 5 y el residuo es el polinomio nulo

R(x) = 0. En este caso se dice que el polinomio P(x) es divisible por el polinomio

D(x).

4. Dividir P(x) = 2x5 x³ + x por D(x) = 3x² + 2x 1.

Solución:

2x5 x³ + x 3x² + 2x – 1

6

3x5

4

3x4 +

2

3x³

2

3x³ -

4

9x² +

5

27x -

22

81

4

3x4

1

3x³ + x

4

3x4 +

8

9x³

4

9x²

5

9x³

4

9x² + x

5

9x³

10

27 x² +

5

27 x

22

27x² +

32

27 x

22

27x² +

44

81 x

22

81

140

81x

22

81


80

Luego el cociente es el polinomio Q(x) = 2

3x³

4

9x² +

5

27 x

22

81y el residuo es el

polinomio R(x) = 140

81 x

22

81 .

EJERCICIOS

1. Halle el resto de la división del polinomio p(x) = x³ 2x + 1 por el polinomio D(x) = x

+ 2.

2. Halle el resto de la división del polinomio p(x) = x4 1

3x

11

8por el polinomio D(x) = x +

1

2 .

3. Halle el cociente y el residuo de la división del polinomio

p(x) = 1

4x4

3

2x³ +

4

5x²

5

3x + 3 por el polinomio D(x) =

1

3+ x².

4. Halle el cociente y el residuo de la división del polinomio

p(x) = 1

2x

73

5x

4 +

2

5x²

5

7x + 8 por el polinomio D(x) = x³ + x² 1.

5. Halle el cociente y el residuo de la división del polinomio p(x) = 4x7 5x4 + 6x² 3x +

1 por el polinomio D(x) = 2x³ x² x 2.

6. Halle el cociente y el residuo de la división del polinomio p(x) = x8por el polinomio

D(x) = x² + x + 1.

7. Halle el cociente y el residuo de la división del polinomio p(x) = x8por el polinomio D(x)

= x³ + x² + x + 1.


= x4 + x³ + x² + x + 1.


= x5 + x4 + x³ + x² + x + 1.

10. Halle el cociente y el residuo de la división del polinomio p(x) = 9x9 + 8x8 7x7 6x6 +

5x5 4x4 + 3x³ 2x² + x por el polinomio D(x) = x4x² + 1.

11. Halle el cociente y el residuo de la división del polinomio p(x) = 9x9 + 8x8 7x7 6x6 +

5x5 4x4 + 3x³ 2x² + x por el polinomio D(x) = x4 x² + 1.

EJERCICIOS VARIOS

1. Desarrollar, reducir y ordenar según las potencias decrecientes de x.

a) (2x + 1)² + 4x² 1 + (x + 1)( 5 8x )

b) (2 x)²(1 + 4x)³

c) (x + 1)³ + (x + 1)² + (x + 1) + 1

d) (5x 3)(2x 1)(x³ + x4 1) (x³ + x² + x 1)( x + 1)


81

e) 2 33 3 2 3 3x x x x

2. Sean p(x) = 5x³ + x² + 3 y q(x) = x² 2. Calcular los polinomios siguientes:

a. 2 ( ) 3 ( )p x q x b. 22 ( ) ( )q x x p x c. 2( ) 5 ( )xp x x q x d. ( ) ( ).p x q x

3. Para cada polinomio, decir si el valor de a que se indica es una raíz.

a. 3( ) 2 12; 2.p x x x a

b. 5 3 27 1( ) 2 ; .

32 2p x x x x a

c. 6 5 4 3( ) 2 3 2 1; 1.p x x x x x x a

4. Para cada polinomio, determinar el valor de m para que el valor de a que se indica sea una

raíz.

a. 3 1( ) 2 3; .

3p x mx x a

b. 21( ) 1 4; 1.p x x m x a

m

c. 4 3( ) 1; 2.p x x x mx m a

5. Para cada polinomio, determinar si es divisible por 1.x Si la respuesta es afirmativa,

determinar el cociente.

a) p(x) = x² + 2x + 1

b) p(x) = x³ + 2x² 1

c) p(x) = 7x4 + 3x³ 5x² + x + 2

e) p(x) = 2x² + 3x + 2.

c) p(x) = x5 + x4 + x³ + x²

Observación: Un polinomio de segundo grado p(x) = ax² + bx + c se dice que está

escrito en su forma canónica si se expresa como: 2 2

2

2

4( ) .

2 4

b b acp x ax bx c a x

a a

6. Escribir cada uno de los siguientes polinomios en su forma canónica.

a) p(x) = x² + 4x + 5.

b) p(x)= x² 6x + 8.

c) p(x) = 2x² + 6x + 15.

d) p(x) = x² 5x + 7.

e) p(x) = 3x² + 5x 7.

f) p(x) = 3x² 5x.

g) p(x) = 4x² + x.

h) p(x) = x² 2x

1

2.

i) p(x) = x² 2x sen θ cos²θ.

LA REGLA DE RUFFINI

Si el divisor es un binomio del tipo x – a, la división puede hacerse de una manera más simple

y más rápida. Dicha regla es conocida como la regla de Ruffini. Se trata de una regla que la

podemos descubrir a partir de la observación de la división ordinaria de los polinomios, siendo

el divisor de la forma .x a


82

Consideremos el siguiente:

EJEMPLO 1.

Dados los polinomios f(x) = 2x3 - 3x2 - 4x - 7 y g(x) = x - 3. Si realizamos el proceso de la

división se tiene:

2x3 3 x2 4 x 7 x 3

2x3 6 x2 2x2 + 3x +

5

3 x2 4 x 7

3 x2 9 x

5 x 7

5 x 15

8

La tabla presenta en la primera línea los coeficientes del polinomio dividendo (anotando cero

si no existe algún término) ordenado según las potencias decrecientes de la ,x en este caso,

los números 2; 3; 4 y–7.

A la izquierda de la segunda fila hemos escrito el término constante del divisor, con signo

cambiado; en nuestro caso el 3. Vamos a explicar ahora cómo obtener los restantes términos

de la segunda y tercera filas.

El primer coeficiente de la primera fila lo repetimos en la tercera fila. El número 3

multiplicamos por este primer término y obtenemos el 6 de la segunda fila y segunda columna.

Sumamos la segunda columna: 3 + 6 =3 y obtenemos el segundo número de la tercera fila.

Multiplicamos ahora el número 3 inicial por el número de la tercera fila y segunda columna lo

cual nos da el número 9 de la tercera columna de la segunda fila. Sumamos la tercera

columna: 4 + 9 = 5 y obtenemos el número 5 de la tercera columna y tercera fila. Este

número multipicamos por el 3 inicial y obtenemos el 15 de la segunda fila y cuarta columna.


83

Sumamos la cuarta columna: 7 + 15 = 8 y así obtenemos el 8 de la tercera fila y cuarta

columna.

Los números de la tercera fila, a excepción del último, son los coeficientes del polinomio

cociente y el último, en este caso el 8 representa el residuo de la división.

Observemos que el grado del polinomio dividendo es 3 y que el grado del polinomio divisor es

1, por lo que, en nuestro caso, el cociente es un polinomio de grado 3 – 1 = 2, el mismo que

tiene como coeficientes 2; 3 y 5; es decir 2x2 + 3x + 5. Como el grado del residuo, tiene que

ser menor que el grado del divisor, entonces en nuestro caso es cero; el residuo por lo tanto es

un polinomio constante, o

sea un número real.

En el ejemplo que sigue daremos una aplicación paso a paso de la regla de Ruffini.

EJEMPLO 2. Consideremos la división del polinomio p(x) = 3x3 + 7x2 –5 por el polinomio q(x) = x + 2.

EJEMPLO 3. Encontrar el cociente y el residuo de la división entre los polinomios p(x) =

2x4 – 3ax3 –2a3x + 3 a4y q(x) = x – a, donde x es la variable y a representa una constante.

Se tiene:


84

Se tiene entonces que q(x) = 2x3 –ax2 –a2x –3a3

y r(x) = 0. En este caso, el polinomio p(x)

es divisible por el polinomio q(x) = x – a.

EJERCICIOS.

Aplicando la regla de Ruffini, calcular el cociente y el residuo de las siguientes divisiones.

1. ( )2x2 + 3x – 3 (x + 2 )

2. ( )3x2 + 5x – 7 ( x + 3)

3. ( )x3 + x2 – 6x + 7 ( x – 1)

4. 2y3 + 5y2 – 4y – 1 y + 3

5. ( )x4 –5ax3 + 6a2x2 + a3x- 3a4 (x – 3a)

6.

3x2 –

77

10 x +

5

6

x –

5

2

7.

3

4 x2 - x + 1

x –

2

3

8.

3

5 x2 –

13

6 bx + b2

x –

5

2 b

9.

2

3 x3 –

3

2 x2 +

13

12 x – 1

x –

3

2

10.

3

5 x4 –

3

10 x3 –

1

2 x2 +

9

4 x – 1

x –

1

2

11.

3

2 x4 +

1

2 bx3 –

1

3 b2x2 +

1

9 b4

x +

b

3

12. ( )ax3 + b(a + b)x2 – a(a + b)2x – b(a + b)3 ( )x – a - b

13. [ ]x3 – c x2 – (a + b)2x – c(a + b)2 ( )x – a – b – c

14. [ ]x3 – (a + b +c) x2 + (ab + bc + ac)x – abc [ ] (x – a) (x – b)

Extensión de la regla de Ruffini al caso en el cual el divisor es un binomio

del tipoax – b

Si queremos dividir un polinomio p(x) por un binomio del tipo ax – b, de la relación

fundamental

p(x) = q(x) (ax - b) + r

dividiendo ambos miembros por a, obtenemos:


85

( )( ) ,

p x ax b rq x

a a a

o lo que es lo mismo:

( )( ) .

p x b rq x x

a a a

Esta última igualdad conduce a establecer las siguientes observaciones bastante evidentes:

El binomio divisor,

x –

b

a, es ahora del tipo x – k; podemos entonces efectuar la división

utilizando la regla de Ruffini, pero considerando como dividendo el polinomio p(x)

a. El

cociente q(x) permanece inalterable. El nuevo residuo es r

a ; que multiplicado por a nos

dará el resto r de la división de partida.

EJEMPLO

Efectuar la división

( )2x3 + 3x

2 – 7x + 4 2 3 .x

Solución: Aplicando la regla de Ruffini se obtiene:

El cociente de la división de partida será el polinomio q(x) = x2 + 3x + 1 y el residuo será

igual a: 7

2 7.2

r

EJERCICIOS

Realice las siguientes divisiones:

1. ( )2x3 + x2 + x + 2 ( )2x - 1

2. ( )6x3 – 11x2 + 9 ( )3x - 1

3. ( )4x3 – 2x2 – 2x +10 ( )2x + 3

4. ( )4x3 – 2x2 – 2x +10 ( )2x + 3

5. ( )12x4 + 7x3 – 9x2 – 5x – 2

( )3x + 4

6.

2

3 x

3 –

5

6 x +

1

3

2

3 x + 1


86

7.

3

2x3 – 5 x2 +

55

24 x +

5

8

3

2 x - 4

8. [ ]ax3 + ( )1 – a2 x2 – 1 ( )ax + 1

9. 2

3

21 .

a b b ax x x

b a a b

EL TEOREMA DEL RESIDUO

Dado un polinomio cualquiera p(x), sabemos que:

p(x) = (x – a) q(x) + r.

La identidad precedente es válida para todo número real x, en particular para .x a Se tiene

entonces que:

( ) ( )

0 ( )

.

p a a a q x r

q a r

r

es decir que: ( ) ;p a r que expresa el siguiente resultado, que recibe el nombre de teorema

del residuo.

El residuo de la división de un polinomio p(x) por el binomio x – a es igual al valor

que asume el polinomio p(x) en x = a.

El teorema permite encontrar directamente el residuo de la división, sin tener que realizar

toda la división.

Así por ejemplo, el residuo de la división del polinomio p(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 4 por el

binomio x – 1 es r = p(1) = 2 13 – 5 1

2 + 3 1 – 4 = 4 .

El residuo de la división del polinomio p(x) = x4 + 2x3 + 5x – 18 por el binomio x + 3 es:

r = p(3) = (3)4 + 2(3)3 + 5(3) – 18 = 81 – 54 – 15 –18 = 6.

La utilidad del teorema del residuo radica en que nos permite establecer cuándo un

polinomio p(x) es divisible por el binomio .x k

Se tiene el siguiente criterio de divisibilidad:

Condición necesaria y suficiente para que un polinomio p(x) sea divisible por el

binomio x – k, es quep(k) = 0.

En símbolos:

(x – k) | p(x) p(k) = 0,


87

donde el segmento vertical | se lee “divide a” o también “es divisor de”

La condición p(k) = 0 es necesaria, en efecto, si p(x) es divisible por x – k, el resto de la

división debe ser cero y teniendo en cuenta el teorema del residuo, se tiene r = p(k) = 0.

Por tanto:

(x – k) | p(x) p(k) = 0.

La condición p(k) = 0 es suficiente; en efecto, si p(k) = 0 y también r = p(k) = 0, es porque

p(x) es divisible por x – k. Por lo tanto:

p(k) = 0 (x – k) | p(x) .

Por ejemplo, el polinomio p(x) = 3x3 – 12x2 + 14x – 4, es divisible por el binomio x – 2.

En efecto,

r = p(2) = 3 23 –12 22 + 14 2 – 4 = 24 – 48 + 28 – 4 = 0.

Se tiene también que el polinomio p(x) = x3 – 17

6 x2 + 4x – 3 es divisible por el binomio x

– 3

2 . En efecto:

r = p3

2 = .03

8

51

8

2736

4

9

6

17

8

273

2

34

2

3

6

17

2

323

EJERCICIOS

Utilizando el teorema del residuo, establecer si cada uno de los siguientes polinomios es

divisible por los binomios indicados.

1. x3 – 8x2 + 11x + 20; x + 1; x – 2; x – 4.

2. 2x4 + 3x3 – 4x – 3; x – 1; x + 1; x – 2.

3. x5 – 5 x

4 – 4 x

3 + 22x

2 – 8; x + 1; x – 2; x + 2.

4. 4x3 + 5

3 x2 +

13

3 x +

10

3; x – 1; x + 3; x +

2

3.

LOS CEROS O RAÍCES DE UN POLINOMIO

Dado un polinomio p(x), diremos que un número real k es un cero del polinomio o una raíz del

polinomio si se tiene que p(k) = 0.

Así por ejemplo, dado el polinomio p(x) = 2x3 + x2 –8x –4, como

p(2) = 2 23 + 22 – 8 (2) – 4 = 16 + 4 –16 – 4 = 0,

podemos afirmar que 2 es un cero del polinomio.

Igualmente, dado el polinomio p(x) = 2x2 – x + 1, se tiene que un cero es el número – 1

2 . En

efecto: 1 1 1 1 1

2 1 1 0.2 4 2 2 2

p


88

Del criterio de divisibilidad ilustrado en el parágrafo precedente se sigue que:

Si k es un cero del polinomio p(x), entonces p(x) = (x – k) q(x).

Divisibilidad de binomios notables El teorema del residuo encuentra una importante aplicación en el estudio de la divisibilidad de

algunos binomios particulares del tipo:

,n nx y .n nx y

que llamaremos respectivamente diferencia y suma de potencias de igual exponente.

Distinguiremos algunos casos:

1. La diferencia de dos potencias de igual exponente es siempre divisible por la

diferencia de las bases.

2. La diferencia de dos potencias de igual exponente es divisible por la suma de

las bases solo si el exponente es par.

3. La suma de dos potencias de igual exponente es divisible por la suma de las

bases solo si el exponente es impar.

4. La suma de dos potencias de igual exponente no es divisible por la diferencia

de las bases.

EJERCICIOS Factorar:

1. x7 + 1 2. y5 – 1 3. 32 + x5

4. 32 y5 + 243 x

5 5. x

10 + y

5 6. 1 + 128x

14

7. 1 – a8 8. (x + y )4 - 1 9. x6 + x

las funciones polinomiales

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