funciones polinomiales grado 3 y 4. matemática

“Con números se puede demostrar cualquier cosa” -Thomas Carlyle (1795-1881) Historiador, pensador y ensayista inglés

Funciones Polinomiales grado 3 y 4 1

UNIVERSIDAD

FRANCISCO GAVIDIALIC. PATRICIA CHAFOYA

MATEMÁTICA I GRUPO 01

TEMA: FUNCIONES

POLINOMIALES DE GRADO 3 Y 4

FECHA: 15/OCT/2014

Nombres Carné

Hernández Arias, Mayra Verónica HA100213

Huezo Fuentes, Raúl Gonzalo HF100314

Maldonado Espino, Carlos Alexander ME100613

Pinzón Menjivar, Gloria Stephanie PM101812


índice


Introducción

El presente trabajo fue realizado por estudiantes de las facultades de

economía e ingeniería profundizando en parte; las funciones de tercer y

cuarto grado, recordando que una función es una correspondencia entre

los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos

de un conjunto de llegada, llamado Rango, de forma tal que a cada

elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el Rango. Para el

complemento de este trabajo, hemos realizado una exhaustiva

investigación y creado ejercicios que forman parte de nuestra vida

cotidiana, específicamente de nuestras carreras, ya sea de economía o

ingeniería, facilitando el estudio a cualquier persona que leyera este

trabajo universitario.


General:

Conocer y ampliar más el tema de las funciones polinomiales de 3° y 4° y las

aplicaciones que se les pueden dar en el área de economía y área de ingeniería.

Específicos:

Ampliar más el desarrollo de un ejercicio de funciones polinomial de grado 3 y 4 en

áreas de ciencias aplicadas como ingeniería y la económica.

Aprender a diferenciar entre una función polinomial de 3 y 4 con otras funciones de

grados diferentes.

Objetivos general y

específicos

Funciones

Polinomiales

Funciones polinomiales de grado 3

Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn

Su dominio es, es decir, cualquier número real tiene imagen.

Ahora vamos a estudiar los casos de funciones polinomiales de grados tres y cuatro.

Vamos a empezar con sus gráficas y después vamos a estudiar algunos resultados

teóricos.

Las siguientes funciones SI son cúbicas:

Función polinomial de tercer grado

La función polinomial de tercer grado es toda aquella función que se puede

escribir de la forma:

𝑦 = 𝑎3𝑥3 + 𝑎2𝑥

2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0Donde 𝑎3 ≠ 0La función polinomial de tercer grado también se conoce como función cúbica.

Definición 1

¿Qué es una función?

Una función polinomial es una función cuya regla

está dada por un polinomio en una variable. El

grado de una función polinomial es el grado del

polinomio en una variable, es decir, la potencia

más alta que aparece de x

Funciones Polinomiales grado 3 y 4

5

5

Observar que la última función puede expresarse de la forma:

Las siguientes funciones NO son funciones cubicas:

En cada caso, no es posible reducir la expresión que describe la función dada a la forma dad en

la definición de función cúbica.

La función polinomial de tercer grado más sencilla es:

𝒚 = 𝒙𝟑

Grafícala, encuentra sus raíces, dominio y contra dominio.

Ejemplo 1


Empezamos calculando sus raíces.

Para que y = 0 se requiere que x3 = 0.

En palabras esto nos está diciendo que debemos encontrar los números que al

multiplicarlos por sí mismo tres veces obtengamos cero.

El único número que satisface la condición anterior es x = 0.

Esta es la única raíz de la función.

Para encontrar el dominio recuerda que el dominio de cualquier función polinomial es

el conjunto de los números reales.


El contra dominio se calcula de la siguiente manera:

Observa que cuando x es positivo, el resultado de elevarlo al cubo es positivo

también.

Cuando x es negativo el resultado de elevarlo al cubo es negativo.

Entonces, el contra dominio también es el conjunto de los números reales, porque

cuando x.

Crece mucho los resultados de elevarlo al cubo también crece mucho.

Esto mismo pasa con valores tanto positivos como negativos.

La gráfica de la función quedaría así:

Observa que la función f (x) = x3 puede factorizarse

como y = x • x • x. Para encontrar una raíz de la

función debemos contestar a la pregunta:

« ¿Qué número multiplicado por sí mismo tres veces es

igual a cero?»

Y la respuesta es obvia:

«El número cero multiplicado por sí mismo nos da

cero», (0)(0)(0) = 0.

Es decir, x = 0 es una raíz de la función, porque

f (0) = 0.

Ejemplo 2

Grafica la siguiente función polinomial:

𝑦 = 𝑥3 − 𝑥

Calcula, además, sus raíces y su dominio y contra dominio

Empezamos calculando sus raíces.

Para eso factorizamos la expresión:

y = x • (x2 − 1) = x • (x + 1) • (x − 1)

De esta factorización calculamos fácilmente las raíces de la función.

Para que el producto de los tres factores sea cero se requiere que al menos uno de

ellos sea cero.

Tenemos tres casos: x = −1, x = 0, y x = 1.

Entonces, la función corta al eje x en x = −1, x = 0 y x = 1.

De nuevo, él dominio es el conjunto de los números reales, por cerradura.

Y el contra dominio también, porque cuando los valores de x crecen f (x) crece

Esto ocurre para valores positivos como negativos


La gráfica de esta función es la siguiente:

Ahora observa que la función

evaluada en x = −1, o en x = 0, o en

x = 1 hace que f (x) = 0, y que la

factorización queda:

y = x3 − x = x · (x + 1) · (x + 1)

Es decir, si r es una raíz de la

función polinomial y = f (x) de

grado n, entonces podemos

factorizarla como

y = f (x) = (x − r) · g(x)

Donde g(x) es otra función

polinomial de grado n − 1.

Ejercicio 𝒚 = 𝒙𝟑+ 1

La función nos dice: << El valor que me

dé lo vamos a multiplicar por sí mismo 3

veces y al resultado se le suma 1>>

Es decir corremos el grafico de la

función 𝑦 = 𝑥3 verticalmente una unidad

para obtener la función 𝑦 = 𝑥3 + 1

Solo basta hacer una traslación vertical a

la grafica de 𝑦 = 𝑥3 para obtener la

grafica de la función 𝑦 = 𝑥3 + 1


Función Polinomiales grado 4

Una ecuación de cuarto grado o ecuación cuartica con una

incógnita es una ecuación algebraica que se puede poner bajo la

forma canónica:

Donde a, b, c, d y e (siendo )

Son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a

los reales o los complejos .

Funciones

polinomiales

de grado 4

Gráfico de una función polinómicas de cuarto grado

Función de formula:

F(x) =

a≠ (distinto) 0.

b, c, d y e son números reales.

La función cuártica tiene un comportamiento parecido a la parábola, sólo que el crecimiento es

más rápido.


Forma estándar. F(x)= a ( x - h )4 +k

En la función cuartica el dominio es el conjunto de números reales, pero el rango

sólo es una parte de ellos, a diferencia de la función cúbica la cual cruza desde

hasta -∞ hasta ∞

Los parámetros en el caso de que “a” sea positivo la función tiende infinitamente

hacia arriba, si el parámetro “a” es negativo, la función tiende infinitamente hacia

abajo.


PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS: TRES Y CUATRO.

Propiedades geométricas de las funciones Polinomiales de 3°

Se debe tener presente que se trata de una función polinomial y que su trazo es continuo.

La función de grado tres tiene un gran parecido con una función lineal, en el caso de que el

coeficiente principal sea positivo, una rama se extiende por el tercer cuadrante y la otra por el

primer cuadrante del plano cartesiano.

En el caso de que el coeficiente principal sea negativo, entonces una rama se extiende desde

el segundo cuadrante y la otra por el cuarto cuadrante del plano cartesiano.

El dominio y el rango de la función cúbica son todos los números reales.

Propiedades geométricas de las funciones Polinomiales de 4°

Se debe tener presente que se trata de una función polinomial y que su trazo es continuo.

La función de cuarto grado tiene un gran parecido con una función cuadrática, en cuanto a

que sus ramas se extienden hacia arriba del plano cartesiano.

En el caso de que el coeficiente principal sea negativo, entonces sus ramas se extienden

hacia la parte inferior del plano cartesiano.

El dominio de la función de cuarto grado son todos los números reales y su rango no.

Método de solución de tercer grado Es importante que se establezcan los puntos de

intersección de la gráfica con el eje horizontal (ceros de la función), para ello hay que

proceder a descomponer el polinomio en sus factores lineales.

Esto se logra comúnmente aplicando el teorema del factor:

Si r es una raíz de la ecuación polinomial f(x) = 0, es decir, f(r) = 0, entonces [x - r] es un

factor de f(x).

La función cúbica tiene al menos un cero real, es decir, corta al menos una vez al eje

horizontal.

Presenta como máximo tres raíces reales. En caso de presentar una raíz compleja, ésta viene

acompañada de su conjugado, es decir mientras una raíz tiene la forma a + bi, la otra tiene la

forma - bi.

La intersección con el eje vertical se obtiene fácilmente evaluando la función con f(0).

Para saber cuántos ceros reales positivos tiene la función aplicamos la regla de Descartes en

la función f(x) = a3x3 +a2x

2+a1x+a0, identificando los cambios de signo en términos

consecutivos.

Para saber cuántos ceros reales negativos tiene la función aplicamos la regla de Descartes en

la función f(x) = a3x3 +a2x

2+a1x+a0, identificando los cambios de signo en términos

consecutivos.

Existe la posibilidad de acotar (delimitar) la raíces reales de una función cúbica, utilizando la

división sintética. Es decir, se puede localizar la cota superior y la cota inferior del intervalo en

dónde buscar las raíces de la función. Para encontrar la cota superior, el residuo de la división

sintética debe ser mayor que 0 y todos los números del renglón del cociente deben ser no

negativos. Para la cota inferior el residuo debe ser un valor menor que 0 y todos los números

del renglón del cociente deben ser con signos alternados.

Para obtener las raíces racionales de un polinomio, podemos aplicar el criterio siguiente: si el

polinomio f(x) = a3x3 +a2x

2+a1x+a0, tiene coeficientes enteros y p/q es un cero racional,

entonces p es un factor del término constante 𝑎0. Y q es un factor de 𝑎3.


Métodos de Solución en funciones de cuarto grado Es importante que se establezcan los

puntos de intersección de la gráfica con el eje horizontal (ceros de la función), para ello hay

que proceder a descomponer el polinomio en sus factores lineales. Esto se logra comúnmente

aplicando el teorema de factor: si r es una raíz de la ecuación polinomial f(x) = 0; es

decir, f(r) = 0, entonces x - r es un factor de f(x).

La función de cuarto grado puede carecer de ceros reales. En el mejor de los casos puede

llegar a tener hasta cuatro ceros reales.

La función cúbica tiene al menos un cero real, es decir, corta al menos una vez al eje

horizontal.

Presenta como máximo tres raíces reales. En caso de presentar una raíz compleja, ésta viene

acompañada de su conjugado, es decir mientras una raíz tiene la forma a + bi, la otra tiene la

formaa - bi.

La intersección con el eje vertical se obtiene fácilmente evaluando la función con f(0).

Para saber cuántos ceros reales positivos tiene la función aplicamos la regla de Descartes en

la función f(x) = a4x4 + a3x

3 + a2x2 + a1x + a0, identificando los cambios de signo en términos

consecutivos.

Para saber cuántos ceros reales negativos tiene la función aplicamos la regla de Descartes en

la función f(x) = a4x4 + a3x

3 + a2x2 + a1x + a0, identificando los cambios de signo en términos

consecutivos.

Existe la posibilidad de acotar (delimitar) la raíces reales de una función cúbica, utilizando la

división sintética. Es decir, se puede localizar la cota superior y la cota inferior del intervalo en

dónde buscar las raíces de la función.

Para encontrar la cota superior, el residuo de la división sintética debe ser mayor que 0 y

todos los números del renglón del cociente deben ser no negativos.

Para la cota inferior el residuo debe ser un valor menor que 0 y todos los números del

renglón del cociente deben ser con signos alternados.

Para obtener las raíces racionales de un polinomio, podemos aplicar el criterio siguiente: si el

polinomio f(x) = a4x4 + a3x

3 +a2x2+a1x+a0, tiene coeficientes enteros y p/q es un cero racional,

entonces p es un factor del término constante 𝑎0. y q es un factor de 𝑎3

Estos ejercicios estarán aplicados a las carreras Económicas y

de Ingeniería.

Ejercicios de Funciones Polinomiales13


Ejercicios Aplicados a la

Economía14


Ejercicios aplicados a Economía


15

EJERCICIO 1: Una empresa en un 1 año hace 4 gastos fijos uno cada tres meses y recibe dinero

de accionistas tres veces al año, cabe destacar también que en su presupuesto anual aparecen

dos compras de su mayores proveedores realizadas cada 4 meses dejando 4 de por medio para

recuperar parte del capital invertido, pero así mismo reconoce que tiene diferentes gastos al año

y considera una ganancia del 6 sobre el capital a ganar.

Se pide:

Cree la función que muestre los gastos anuales mas el dinero recibido por sus accionistas, así

como las compras realizadas y los gastos de la empresa y el incremento sobre el capital.

Desarrolle la función y grafíquela, sin olvidar encontrar el dominio y el rango de la función.

F(x)= 12x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 0

Las soluciones son: x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

12𝑥4 + 𝑥3 + 8𝑥2 + 𝑥 + 6 = 0


La empresa Pavito Criollo en su cuarto trimestre muestra su capital de trabajo, asi mismo

muestra su plan trimestral para el siguiente año donde incluye los gastso a largo plazo de

años y 4 meses para los siguientes dos periodos consecutivos.

Elabore:

la función creada

el desarrollo de la función y su respectiva gráfica.

Encuentre el dominio y el rango de la función.

2) F(X) =


La empresa “Concha y Toro” S.A de C.V muestra sus resultados de los dos años presupuestados

de ventas en el periodo pasado con una ganancia de la tercera parte del total vendido,

tomando encuesta los gastos ocasionados a la empresa en concepto por sus siete proveedores

durante los dos periodos o años y considerando los ingresos de sus ocho salas de venta, así

como los gastos transcurridos en cada trimestre del año dos.

Elabore:

la función creada

el desarrollo de la función y su respectiva grafica

el dominio y el rango de dicha función.

F(x) = 2x3 − 7x2 + 8x − 3 = 0

P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0

(x −1 ) · (2x2 − 5x + 3 ) = 0

P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0

(x −1 )2 · (2x −3 ) = 0

Las raíces son: x = 3/2 y x = 1

x P(x) Y

-1 -20 -1, -20

0 0 0, 0

1 20 1, 20


Una empresa de Call Center clasifica las llamadas recibidas durante el día de las

siguientes maneras o parámetros:

* si un operador contesta mas de tres veces se considera como atención al cliente directa.

* si un operador contesta dos veces se considera se considera llamada base de datos.

* si un operador contesta menos de cuatro llamadas entonces se considera como de

atención al cliente.

Elabore:

la función creada.

El desarrollo de la función con su grafica y dominio y rango.

F(x) = x3 − x2 − 4 = 0

{±1, ±2, ±4 }

P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0

P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0

P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0

(x − 2) · (x2+ x + 2 ) = 0

x2+ x + 2 = 0

(x − 2) · (x2+ x + 2 ) = 0

Raíz: x = 2.

x P(x) X, Y

-1 -6 -1, -6

0 0 0, 0

1 -4 1, -4

2 0 2, 0

3 14 3, 14


El restaurante Laca Laca ofrece 6 tipos de platos diferentes con tres nuevas especialidades,

además ofrece siete entradas de degustaciones con dos nuevas opciones de preparación, así mismo

da a conocer a sus clientes las 9 bebidas menos consumidas por sus clientes y sugiere consumir las

dos bebidas mas preferidas.

Elabore:

la función creada.

El desarrollo de la función con su respectiva grafica.

5)F(x) = 6x3 + 7x2 − 9x + 2 = 0

{±1, ±2}

P(1) = 6 · 13 + 7 · 12 − 9 · 1 + 2 ≠ 0

P(−1) = 6 · (−1)3 + 7 · (−1)2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0

P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0

P(−2) = 6 · (−2)3 + 7 · (−2)2 − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2 = 0

(x+2) · (6x2 −5x +1) = 0

6x2 −5x +1 = 0

6 (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3) = 0

Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3

x P(x) X, Y

-1 12 -1, 12

0 0 0,0

1 6 1, 6


cable tv clasifica su programación con base a los siguientes criterios:

• el canal visto más de tres por sus clientes.

• Los tres canales más vistos de noticias pero solo vistos dos veces al día.

• Los cuatro canales menos vistos por los usuarios.

• Los doce canales que sus clientes nunca anexan a su paquete de servicio de cable.

Con los siguientes datos realice:

la función creada.

El desarrollo de la función y su respectiva gráfica.

F(x) = x3 + 3x2 − 4x − 12 = 0

{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }

P(1) = 13 + 3 · 12 − 4 · 1 − 12 ≠ 0

P(−1) = (−1)3 + 3 · (−1)2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0

P(2) = 23 + 3 · 22 − 4 · 2 − 12 =

= 8 + 12 − 8 − 12 = 0

(x − 2) · (x2 − 5x +6) = 0

x2 − 5x +6 = 0

(x − 2) ·(x + 2) ·(x +3) = 0

Las soluciones son : x = 2, x = − 2, x = − 3.

x P (x) X, y

-1 -6 -1,-6

0 0 0, 0

1 -12 1, -12

2 0 2,0

3 30 3, 30

Ejercicios aplicados a la

Ingeniería 21



Ejercicio 7

En un día determinado los registros de temperatura en una zona rural entre la hora 0 y la

hora 24 se ajustan a la función:𝑪 𝒕 = 𝟒𝒕𝟑 + 𝟐𝒕𝟐 − 𝟐𝒕 − 𝟒- Determine los valores de cada variable de forma dependiente

-¿Qué temperatura se registró a la 1 de la mañana?

𝐶 𝑡

= 𝑡 − 1 (4𝑡2 + 6𝑡

+ 4)

Valores de cada

variable:

𝐶(𝑡)

=−6 ± (6)2−4(4)(4

2(4)

𝐶(𝑡) =−6 ± −28

8

𝑡1 = 1

𝑡2 =−6 + −28

8

𝑡2 =−6 − −28

8

No hay solución en los

reales, sus valores son

imaginarios

𝐶 𝑡 = 𝑡 − 1 (−6 ± −28

8)

SOLUCION:Ct=4t3 +2t2 -2t-4 Divisores de la función:

±1, ±2, ±4

𝐶 𝑡 = 4𝑡3 + 2𝑡2 − 2𝑡 − 4𝐶 8 = 4(8)3 + 2(8)2 −2(8) − 4

𝐶 1 = 4(1)3 + 2(1)2 −2(1) − 4𝐶 1 = 0

R/ A la una de la mañana se registró una temperatura de 0 grados centígrados


8


𝑣 =1

3(𝑥2) 𝑥 − 2 𝑦 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑉 = 25 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

25 =1

3𝑥2 𝑥 − 2

25 =1

3𝑥3 − 2𝑥2

25 3 = 𝑥3 − 2𝑥2

75 = 𝑥3 − 2𝑥2

𝑥3 − 2𝑥2 − 75 = 0

Las soluciones posibles para x son: ±1,±3, ±5, ± 15, ±25,

±75.

Considerando solo las posibles soluciones positivas para

probar las posibles soluciones de x encontramos que:

P(s)=(5)3−2 5 2 − 75Aplicando la división sintética se obtiene:

5

1 -2 0 -75

5 15 75

1 3 15 0

9


El resultado nos dice que x-5 es un factor,

entonces P(x)=(x-5)(𝑥2 + 3x + 15)Las soluciones para 𝑥2 + 3x + 15 = 0 son complejas conjugadas las cuales se descartar

como posibles soluciones del problema.

Por lo tanto, se concluye:

Que la base del molde de la vela debe ser un cuadrado de 5 pulgadas de lado y la altura de

h=5-2= 3 pulgadas.

Ejercicio 10. La posición de una partícula al cabo de t segundos es P(t) = 2t3 – 11t2 + 13t – 1,

y su posición al cabo de 1 segundo es 3. ¿En qué otros instantes la posición es igual a 3?

Solución:

Lo que se pide es en que otros instantes la posición es igual a 3 o sea P(t) = 3, igualando la

función a 3 tenemos:

3 = 2t3 – 11t2 + 13t – 1

Esta es una ecuación de tercer grado que podemos escribir como:

2t3 – 11t2 + 13t – 4 = 0

Se nos dice en el problema que al cabo de 1 segundo la posición es igual a 3, esto quiere

decir que t=1 es una raíz y lo podemos comprobar por medio de la división sintética.


2𝑡3 − 11𝑡2 + 13𝑡 − 4 = 0

1

2 -11 13 -4

2 -9 4

1 -2 4 0

Residuo= 0, es decir +1=1 es una raíz y (𝑡 − 1) es factor entonces:

2𝑡3 − 11𝑡2 + 13𝑡 − 4 = 𝑡 − 1 2𝑡2 − 9𝑡 + 4Hacemos 2𝑡2 − 9𝑡 + 4 = 0 y resolvemos

𝑡1 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

=−9 ± 21 − 32

4

=−9 ± 49

4

=−9 ± 7

4

=9+7

4=

16

4= 4 =

9−7

4=

2

4=

1

2

Los otros instantes donde la posición es igual a 3 son cuando t=0,5 segundo y cuando

t= 4 segundos.


conclusión

Se comenzó buscando la definición de la palabra función. Luego, se profundizo el

tema investigando sobre ciertas funciones matemáticas específicas, tales como la

función cúbica y cuadrática. Para cada una de las funciones se lograron comprender

los modelos de ecuaciones matemáticas, que nos permiten resolver cualquier

situación que se nos presente en la vida diaria.

Se Obtuvo un resultado muy positivo al finalizar el trabajo, debido a que incorporo

gran cantidad de nuevos conocimientos y también descubrimos una nueva manera

de enfrentar problemáticas en campos donde creíamos que la matemática no se

utilizaría.

Se puede afirmar que las funciones matemáticas han facilitado la labor en muchas

ciencias y son sumamente necesarias para obtener resultados precisos para cada

situación y carrera.


Bibliografía Pre calculo

Enfoque de resolución de problemas

Prado, Santiago, Aguilar, Rodríguez, Quezada, Gómez, Ruiz y Florido.

Pearson educación, México 2006

JIMÉNEZ, RENE Funciones, Pearson Educación, México, 2006

Larson-Hostetler. Algebra, Publicaciones cultural, México, 2001

Frank S. Budnick, Matemáticas Aplicadas para Administración, Economía y

Ciencias Sociales, Cuarta Edición, Mc Graw Hill, 2007

J. Stewart, L. Redlin , S.Watson Pre calculo 3 edición


Anexos

Ejemplos de funciones de cuarto grado

Ejemplos de

funciones de 3°

funciones polinomiales grado 3 y 4. matemática

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