introduccion a las funciones polinomiales

8/14/2019 INTRODUCCION A LAS FUNCIONES POLINOMIALES

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO

COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

PLANTEL VALLEJO

MATEMTICAS IV

ASIGNATURA DE MATEMTICAS IV

PROGRAMA DEL CUARTO SEMESTRE DE MATEMTICAS

FUNCIONES:

POLINOMIALES

TRIGONOMTRICAS

EXPONENCIALES

LOGARITMICAS

LIBRO I

2005-2006


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MATEMTICAS IV.

PROGRAMA DEL CUARTO SEMESTRE

DE MATEMATICAS IV

PLAN DE ESTUDIOS ACTUALIZADOS

AUTORES:

Clementina Mendoza Carrillo

Roberto Laguna Luna

LIBRO I

2005-2006

DIRECTOR


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Como siempre nuestra mxima preocupacin es el aprendizaje que podamos promover

en nuestros alumnos.

En este material se sealan, en primer lugar, los objetivos generales propios de la

asignatura de matemticas IV; posteriormente se da el enfoque de la Universidad

Nacional Autnoma de Mxico y la interpretacin personal que los autores hacen del

mismo, as como los contenidos temticos que lo conforman; para finalmente presentar

algunas fichas bibliogrficas de los textos que se pueden consultar con el fin de contar

con los elementos suficientes para la resolucin de problemas.

OBJETIVOS GENERALES

Este material est diseado de forma que los contenidos temticos se dividan en un

nmero de clases, determinado por las horas propuestas para el desarrollo del programa

de Matemticas IV. Se espera que los alumnos adquieran un conocimiento perdurable

sobre el tema de funciones, sabiendo que, para conseguirlo, el desarrollo de los ejes

temticos debe cobrar sentido en la percepcin que los alumnos tienen respecto al

mundo que nos rodea, desarrollando con estos conocimientos su capacidad de trabajo y

sus aptitudes para la investigacin, bsqueda de interrogantes y respuestas, que

propenda a la comunicacin de ideas. Las definiciones, problemas y ejercicios van de

acuerdo al nivel de estudio de los alumnos, por lo que el grado de profundidad permite

que los alumnos practiquen el razonamiento deductivo, eficientando el uso de

herramientas de matemticas: tablas, graficas, lenguaje de matemticas, el uso de

calculadora y la computadora.

Se pretende que este material sea til y contribuya al aprovechamiento del alumno

permitindole que:


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Incremente su capacidad de resolucin de problemas, al conocer y manejar

nuevas herramientas para modelar y analizar situaciones y fenmenos que se

pueden representar con las funciones estudiadas en el curso.

Enriquezca y utilice de manera integrada, diversos conceptos y procedimientos

de la aritmtica, el lgebra, la trigonometra, la geometra euclidiana y analtica,

en el estudio y modelacin del tipo de funciones expuestas en este curso.

Modele diversas situaciones que involucren variacin funcional, a travs del

anlisis del comportamiento de la funcin respectiva, obteniendo informacin y

conclusiones sobre la situacin modelada.

Consolide su manejo del plano cartesiano, a travs de la graficacin de

funciones y el dominio de la vinculacin entre los parmetros y las

caractersticas de la grfica asociada.

ENFOQUES Y CONTENIDOS

El material permite que el estudiante perciba las conexiones entre las distintas ramas

de la matemtica.

La cultura bsica que contina desarrollando el proyecto originario de 1971, es

formativo y pone nfasis en las habilidades de trabajo intelectual y en el

aprendizaje;


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El uso de fuentes y la superacin del aprendizaje de comentarios que asume el

profesor como proveedor principal, si no exclusivo de informacin y conocimiento,

mientras que el modelo del colegio promueve que el alumno recurra directamente a

las fuentes de la cultura e informacin primarias;

La definicin del alumno como sujeto de su formacin y de la cultura, capaz de

comprender los contenidos de la enseanza, pero tambin de dar cuenta de sus

fundamentos, y si fuera de caso de trascenderlos y modificarlos, como sujeto

crecientemente autnomo en su saber y crtico.

La relacin de los aprendizajes con la experiencia personal del alumno y su

capacidad de aplicarlos, de maneras que su cultura sea no nicamente escolar ni

conceptual, sino prctica y productiva e interdisciplinaria por la combinacin de

aprendizajes procedentes de distintos campos del saber y del hacer.

Aprender a aprender

Aprender a hacer

Aprender a ser

Sntesis prctica de los enfoques desarrollados.

ARITMTICA Y ALGEBRA

FUNCIONES ESTADSTICA

CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL


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Los contenidos permiten desarrollar procesos y soluciones que van ligados con otras

ramas de las matemticas y que en el tema de funciones terminan por aterrizar.

De la solucin de problemas surge la necesidad de aprender los procedimientos que

desembocan en conocimientos sistematizados conforme a las posibilidades y

condiciones del alumnado.

El material introduce:

Conceptos

Planteamientos de situaciones

Dificultades operativas

Relacin y correspondencia entre variables.

Interpretacin de graficas.

ENFOQUE DE LA MATERIA

Muchos de los contenidos temticos de los programas de matemticas del Colegio

de Ciencias y Humanidades, por su naturaleza, forman parte del currculo de

cualquier institucin educativa del nivel medio superior del pas. Sin embargo, la

forma de enfocarlos, presentarlos y trabajarlos con el estudiante, es lo que hace la

diferencia y atiende a los principios educativos que pretende cada institucin.


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De esta manera, en el Colegio de Ciencias y Humanidades la concepcin de la

matemtica conlleva una intencin del para qu queremos ensearla, y cmo

contribuye a la formacin de un sujeto capaz de buscar y adquirir por s mismo

nuevos conocimientos; adems de analizar e interpretar el mundo que lo rodea de

forma reflexiva, analtica, sistemtica y constructiva.

Por ello, en el CCH se concibe a la matemtica como una disciplina que:

Posee un carcter dual: Es una ciencia y una herramienta.

Manifiesta una gran unidad.

Contiene un conjunto de simbologas propias y bien estructuradas, sujetas a

reglas especficas que permiten establecer representaciones a distintos

niveles de generalidades, que nos permite avanzar en su construccin como

ciencia y extender el potencial de sus aplicaciones.

El libro conserva el enfoque, metodologa distribucin en el tiempo y

profundidad sugeridos por el plan de estudios del CCH.

ENFOQUE DIDCTICO

Como en el CCH, un aspecto fundamental es la bsqueda del desarrollo de habilidades

de pensamiento que permitan al estudiante adquirir por su cuenta nuevos conocimientos,

se plantea que la puesta en prctica de estos programas, la enseanza considere:

Promover la formacin de significados de los conceptos y procedimientos,

cuidando que stos surjan como necesidades del anlisis de situaciones o de

la resolucin de problemas, y se sistematicen y complementen finalmente,

con una actividad prctica de aplicacin en diversos contextos. Las


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precisiones tericas se establecern cuando los alumnos dispongan de la

experiencia y los ejemplos suficientes para garantizar su comprensin.

Propiciar, sistemticamente, el trnsito entre diversos conceptos,

procedimientos, mtodos y ramas de la matemtica.

Fomentar el trabajo en equipos para la exploracin de caractersticas,

relaciones y propiedades tanto de conceptos como de procedimientos; la

discusin razonada; la comunicacin oral y escrita de las observaciones o

resultados encontrados.

Se proponen actividades de aprendizaje que propician la activa participacin

del estudiante en el proceso de aprendizaje, mediante su interaccin con

compaeros y profesor, as como a travs de la manipulacin que hace del

objeto de conocimiento.

CONTRIBUCIN DEL REA DE MATEMTICAS

AL PERFIL DEL EGRESADO

Por lo anterior se busca que el estudiante sea el principal actor en el proceso de su

aprendizaje, adquiera un desempeo satisfactorio en la comprensin y manejo de los

contenidos de los cinco ejes temticos ( lgebra, Geometra, Trigonometra,

Geometra Analtica y Funciones), y desarrolle:

Empleo de diversas formas de pensamiento reflexivo.

Adquisicin de aprendizajes de manera independiente.


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Comprensin de conceptos, smbolos y procedimientos matemticos a

nivel bachillerato.

Capacidad de anlisis.

Capacidad de formular conjeturas.

Capacidad de aprender acierto-error.

Capacidad para generalizar.

Habilidad en el manejo de estrategias.

Incorporacin de lenguaje cientfico.

Aplicacin de conocimientos.

Inters por la lectura y comprensin de texto cientfico.

Valoracin del conocimiento cientfico.

CONTENIDO GENERAL DE LA ASIGNATURA

Nombre de la unidad No. Horas

1. - FUNCIONES POLINOMIALES duracin 20

hrs.


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2. - FUNCIONES RACIONALES Y CON RADICALES duracin 20 hrs.

3. - FUNCIONES TRIGONOMTRICAS duracin 20

hrs.

4. - FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS duracin 20

hrs.

BIBLIOGRAFA SUGERIDA

Barnett Raymond, et al. Algebra, Mc. Graw-Hill, Interamericana, Mxico 2000.

Barnett Raymond, et al. Precalculo: Funciones y Grficas. Mc. Graw-Hill, Mxico

2000

Johnson, Murphy, y Stefferson, Arnold. lgebra y trigonometra con aplicaciones.

Trillas, Mxico 1998.

Larson, Ronald, Hostetler, Robert. lgebra. Publicaciones, Cultural, Mxico 1996.


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Leithol, Louis. Matemticas previas al clculo: Anlisis Funcional y Geometra

Analtica, Harla, Mxico 1996.

Sullivan, Michael. Preclculo. Prentice- Hall, Hispanoamericana, Mxico 1997.

Swokowski, Earl W. lgebra y Trigonometra con Geometra Analtica. Grupo

editorial Iberoamericana, Mxico 2002.

Rodrguez, Fco., et al. Paquete didctico para Matemticas IV. Gua del profesor.

CCH Oriente. UNAM. , Mxico 2002.

Walter Fleming, Dale Varberg, Hamline University, Prentice-Hall

Hispanoamericana, S.A., Mxico, Englewood Cliffs, Londres, Sydney, Toronto,Nueva Delhi, Tokio, Singapur, Ri de Janeiro.

Bohuslov, Ronald, Geometra analtica, introduccin al precalculo, Union tipografica

editorial Hispano- Americana, S. A. De C.V. Mxico 1983.

Santal Sors Marcelo, Carbonell Chaure Vicente, Clculo Diferencial e Integral,

Grupo Editorial xodo, Mxico 2004.

Lehmann, Charles H. , Geometria Analitica, The Cooper School of Engineering ,

Noriega Editores, Editorial Limusa S .A . de C . V . Mxico 1989.

Diplomado en docenca de ciencias y humanidades en el contexto actual

BIBLIOGRAFA SUGERIDA

Conociendo al Colegio, retrospectiva y anlisis del modelo del Colegio de Ciencias y

Humanidades..Rito Tern Olgun, Jos de J Bazn Levi, Alejandro Garca, Alfonso

Lpez Tapia, Zoilo Ramrez Maldonado.


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NDICE

Pg.

Presentacin----------------------------------------------------4

Bibliografa sugerida ---------------------------------------11

Evaluacin diagnostica ------------------------------------25 Duracin: 2hr.


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UNIDAD UNO

FUNCIONES POLINOMIALES

Situaciones que dan lugar a funcin polinomial----28 duracin 2hrs.

Nocin generalizada de funcin. -------------------------31

a) Relacin entre dos variables que cumple ciertas condiciones

b) Conjuntos asociados

c) Regla de correspondencia

d) Notacin funcional f(x).

e) Problemas

f) EjerciciosDuracin: 4 hrs.

Concepto de funcin Polinomial ------------------------ 49

a) Notacin:

F(x)= a n x n ++ a 3 x + a x + a 2 x 2 + a 1 x + a 0

b) Grado de una funcin Polinomial

c) Grfica de funciones Polinomiales de la forma:


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f(x) = a x + c con a , c R

f(x) = a x + c con a , c R

Duracin: 4hrs.

Mtodos de exploracin para la obtencin de los ceros, aplicables a lasfunciones factorizables de grado 3 y 4.----------------53

a) Divisin de Polinomios

b) Divisin sinttica

c) Teorema del residuo

d) Teorema del factor y su recproco

e) Divisores del trmino independiente

f) Identificacin de tipos de raz: Enteras, racionales, reales, complejas y su

multiplicidad.

Duracin: 4 hrs.

Bosquejo de la grfica de una funcin Polinomial. ------60

F(x) = a n xn++ a3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0

a) Intersecciones de la grfica con los ejes cartesianos.

b) Anlisis del comportamiento: Valor An, Concavidad, ndice de crecimiento

(Alargamiento o compresin).

c) Traslacin horizontal y vertical f(x+k), f(x) + k

d) Nocin de intervalo

e) Intervalo donde:

f(x) es positiva

f(x) es negativa

f) La no-interrupcin de la grfica. Duracin: 4 hrs.

Problemas de aplicacin ---------------------------------------67

Duracin: 3 hrs.


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UNIDAD DOS

FUNCIONES RACIONALES

Evaluacin Diagnostica ---------------------------------------------------------72

Duracin 2 hrs.

Situaciones que dan lugar a funciones racionales. -------------------74

Duracin 2 hrs.

Nocin de intervalo en la recta real. ---------------------------------------78

Duracin 2 hrs.

Estudio del comportamiento analtico y grfico; local y al infinito por medio

del dominio y rango de las funciones tipo: --------------90

f(x) = a / x + b + c f(x) = a / (x + b ) 2 + c

Duracin 2 hrs.

f(x) = P(x) / Q(x) ; con P(x) y Q(x) lineales o cuadrticas, con a , b , y c R

Duracin 2 hrs.

Problemas de aplicacin. __________________97

Duracin 2 hrs.

Evaluacin Diagnostica____________________ 101

Duracin 2 hrs.


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FUNCIONES CON RADICALES

Situaciones que dan lugar a funciones con radicales del tipo:f(x) = ax + c ;

f(x) = ax + bx + c

Duracin 2 hrs.

Estudio analtico y grfico del dominio y el rango de una funcin del tipoanterior.

Duracin 4 hrs.

Resolucin de problemas con fenmenos de diversa ndole (geomtricos yfsicos), susceptibles de modelarse a travs de funciones racionales o con

radicales.

Duracin 4 hrs.

UNIDAD TRES

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Situaciones que involucran variacin peridica.

Duracin 2 hrs.

Generalizacin en el plano cartesiano de las razones trigonomtricas paraun ngulo cualquiera.

Duracin 2 hrs.


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Crculo unitario: extensin de las funciones seno y coseno para ngulos noagudos.

a) ngulos positivos y negativos.

b) ngulo de referencia. Sus cuatro posiciones.

c) Medida de ngulos con distintas unidades: grados y radianes.

d) Clculo de seno y coseno para ngulos mayores de 90

Duracin 2 hrs.

Grfica de las funciones seno, coseno y tangente.a) Anlisis del dominio y rango.

b) Nocin de amplitud, periodo y frecuencia.

Duracin 4 hrs.

Definicin de funcin peridica: f(x+k) = f(x).

Duracin 2 hrs.

Grfica de las funciones:

f(x) = a sen (bx + c) + d

f(x) = a cos (bx + c) + d

a) Anlisis del comportamiento de sus parmetros a, b, c y d.

b) Fase y ngulo de desfasamiento. Duracin 4 hrs.

Las funciones trigonomtricas, como modelos de fenmenos peridicos.Duracin 2hrs.

Ejemplos. Problemas de aplicacin. Ejercicios. Duracin 4 hrs.


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UNIDAD CUATRO

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS

FUNCIONES EXPONENCIALES

Situaciones que involucran crecimiento y decaimiento exponencial. Anlisis de la variacin exponencial:

a) Papel que desempea la variable.

b) Crecimiento y decaimiento.

c) Representacin algebraica.

d) Contraste de comportamientos entre funciones exponenciales y funciones

potencia.

Estudio analtico y grfico del comportamiento de funciones exponencialesdel tipo:

f(x) = c a x con a > 1 y c 0

f(x) = c (1 a) x con a > 1 y c 0

Revisin del dominio y del rango.

Papel que desempea c.

Importancia y caracterizacin del nmero e. Las propiedades a x a y = a x + y ; (a x) y = a xy

Ejemplos. Ejercicios. Problemas diversos de aplicacin.


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FUNCIONES LOGARTMICAS

Situaciones que dan lugar a funciones logartmicas. La funcin logaritmo como inversa de la funcin exponencial. Nocin de

funcin inversa.

Equivalencia de las expresiones: y = a y log y = x. Logaritmos con base 10 y naturales. Propiedades de los logaritmos

incluyendo la expresin para cambio de base.

Grficas de funciones logartmicas. Su relacin con la grfica de la funcin. Exponencial de la misma base. Su dominio y rango. Ejemplos. Ejercicios. Problemas diversos de aplicacin.

TABLA DE OBJETIVOS DE APRENDIZAJE.


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UNIDAD 1: Funciones Polinomiales.

NUM. TEMTICA Y OBJETIVOSExamen diagnostico

Situaciones que dan lugar a una funcin polinomial.1.1 El estudiante:

1.1.1 Explorar en una situacin o problema, que da lugar a una funcin

polinomial, las condiciones, relaciones o comportamientos que le permitan

obtener informacin y sean tiles para establecer la representacin algebraica.

1.1.2 Modelar situaciones que den lugar a una funcin polinomial.

1.1.3 Establecer la nocin de funcin.

1.1.4 Examinar ecuaciones algebraicas con dos variables o su grfica para decidir

si se trata de una funcin o no.

Concepto de funcin polinomial.

1.2 El estudiante:

1.2.1 Explorar las situaciones que dan lugar a una funcin polinomial.

1.2.2 Nocin generalizada de funcin.

a) Relacin entre dos variables que cumplen ciertas condiciones.

b) Conjuntos asociados, dominio y rango.

c) Regla de correspondencia.

d) Notacin funcional f(x).

1.2.3 Concepto de funcin polinomial.

a) Notacin f(x) = an xn +. . . + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0

b) grado de una funcin polinomial.

c) Grfica de funciones polinomiales de la forma:

f(x) = a x3 + c con a, c R

f(x) = a x4 + c con a, c R


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1.2.4 Mtodos de exploracin para la obtencin de los ceros, aplicable a las

funciones polinomiales factorizables de grado 3 y 4.

a) Divisin de polinomios.

b) Divisin sinttica.

c) Teorema del residuo.

d) Teorema del factor y su recproco

e) Divisores del trmino independiente

f) Identificacin de tipos de raz:

Enteras, racionales, reales, complejas y su multiplicidad.

1.2.5 Bosquejo de la grfica de una funcin polinomial.

F(x) = an xn + . . . + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0

a) Interseccin de la grfica con los ejes cartesianos.

b) Anlisis del comportamiento:

Valor de an

Concavidad

ndice de crecimiento (alargamiento o compresin)

c) Traslacin horizontal y vertical.

d) Nocin de intervalo.

e) Intervalos donde:

f(x) es positiva

f(x) es negativa

f) La no- interrupcin de la grfica.

1.2.6 Problemas de aplicacin.


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MATEMTICAS IV. UNIDAD UNO


DURACIN 20 HRS.

EVALUACIN DIAGNSTICA


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Duracin 2 hrs.

A. Define los siguientes conceptos:

1. Define el concepto de funcin.

2. Define el concepto de ecuacin.

3. Cul es la diferencia entre ecuacin y funcin?

4. Toda ecuacin tiene una funcin asociada y viceversa?

5. Qu es un polinomio?

6. Cmo se clasifican las funciones?

7. Escribe las leyes de potencias

8. Qu es un trmino?

9. Qu es una expresin alfanumrica?10. Cmo se clasifican las expresiones alfanumricas?

11. Qu es un polinomio?

12. Cmo se factoriza un polinomio?

13. Cmo se determina el grado de un polinomio?

A. Polinomios, productos notables y factorizacin.

1. Realiza la suma, resta, multiplicacin y divisin entre cada par de polinomios:

a) x 4 + x 2 x + 2; x 2 + x + 1

b) 3 x x 2 ; x + 9 x 3

c) x (3 + 4i) ; x (3 4 I)

d) Divide 3 x 3 2 x 2 + x 2 ; entre x 2

e) Divide x 3 5 x 2 5 x + 6 ; entre x 3

2. Factoriza los siguientes polinomios:a) x 2 4 x + 5 = e) 2 x 3 6 x =

b) 2 x 2 = f) 4 x + 8 =

c) x 4 + x 2 x + 2 = g) 25 x2 10 x + 1 =

d) 3 x 3 2 x 2 + x 2 = h) x 3 1 =

3. Dados los siguientes nmeros complejos Z 1 = 3 + 2 i ; Z 2 = 4 8 i ,

Efecta las operaciones segn se indique:


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a) Z 1 + Z 2 = b) Z 1 Z 2 = c) Z 1 Z 2 = d) Z 1 / Z =

A. Analiza cuidadosamente cada una de las preguntas y contesta SI o NO

1. En una relacin a cada uno de los elementos de un conjunto se le pueden hacer

corresponder uno o ms elementos de otro conjunto?________

2. Si compramos un boleto para el teatro, entre el boleto y el asiento se establece:

o una relacin o una funcin?___________________

3. Explica por qu:____________________________________________

4. Menciona dos ejemplos de relacin y dos de funcin:

________________________________________________________

Analiza cuidadosamente cada una de las preguntas y completa lo que falta.

5. En una relacin a cada uno de los elementos de un conjunto se le pueden hacer

corresponder uno o ms elementos de otro conjunto?________

6. Si compramos un boleto para el teatro, entre el boleto y el asiento se establece:

o una relacin o una funcin?___________________

7. Explica por qu:__________________________________________________

8. En una funcin a cada elemento del dominio le corresponde un elemento del

_____________________________________.

9. En base a qu, se establece la clasificacin de funciones?

______________________________________________________


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10. Cmo se clasifican las funciones?

________________________________________________________________

________________________________________________________________

_________________________________________________________.

11. Cmo se clasifican las ecuaciones?

________________________________________________________________

_________________________________________________.

12. Para cada ecuacin hay un mtodo de resolucin?____________________.

13. Para cada funcin hay un mtodo de resolucin? _____________________.

14. Menciona dos ejemplos de relacin y dos de funcin:____________________

1.1.1 Situaciones que dan lugar a funciones polinomiales

Lectura del material en voz alta.

Resolucin de problemas por equipo.

Duracin 2 hrs.

EJEMPLO:


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1. Si se lanza una pelota hacia arriba en direccin vertical con una velocidad inicial de

80 pies/seg, su distancia s (en pies), de la tierra en cualquier instante t (en segundos) se

da por:

s = 80 t 16 t

La frmula anterior de distancia para cada libre de los cuerpos es una funcin

cuadrtica con un solo trmino, trmino cuadrtico, trmino de primer grado y trmino

independiente. Por esto se le considera una funcin polinomial.

s = distancia o altura

t = tiempo

g = gravedad = 9.8 m/seg. = 32 ft/seg.

Velocidad inicial = 80 ft/seg.

Velocidad final = 0, la pelota se detiene al llegar a su altura mxima.

a. Graficar esta funcin en un sistema de coordenadas t s

s


28/65

t

0

b) Determinar el instante en el cul la pelota alcanzar su punto ms alto (mximo) .

t = Vf Vo / g ; t = 0 80 ft/s / 32 ft/s = 2.5 seg.

c) Calcular la altura mxima que alcanz la pelota.s = Velocidad inicial (t) - g t

s = 80 ft/s (2.5 seg.) + (32 ft/seg) (2.5 seg) = 80 + 16 (2.5) = 80 + 16 (6.25)

= 80 + 100 = 180 ft

d) Hallar los instantes en que la pelota estar en reposo.

La pelota est en reposo cuando alcanza su altura mxima 180 ft y

cuando:_____________________________________________________________

e) Cul es la velocidad promedio durante los dos primeros segundos del recorrido?

Actividades extra clase resuelve los siguientes problemas:

1. Un ranchero desea cercar un terreno rectangular. Uno de sus lados est a lo

largo de un arroyo, por lo que no requiere alambrada. Si hay 100 yardas

de alambre disponible para cercar los otros tres lados, hallar las

dimensiones del terreno de tal manera que su rea sea mxima.

2. Se construir una alcantarilla de desage con una pieza de lmina de 12

pulgadas de ancho doblando sobre la orilla cantidades iguales de hoja.


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Qu cantidad de lmina se deber doblar para que la capacidad de

acarreo sea mximo?.

3. Calcular las dimensiones del rectngulo de rea mxima que se pueda

inscribir en un tringulo issceles de altura 8 y base 4. Se supone que uno

de los lados del rectngulo est sobre la base del tringulo.

4. Encontrar una frmula para el rea de todos los rectngulos con permetro

dado.

5. Demostrar que el rectngulo de rea mxima para un permetro dado es un

cuadrado.

1.1.2 Nocin generalizada de funcin

Discusin del tema.

Composicin del tema por equipo

Exposicin frente a pizarrn.

Duracin 2 hrs.

Un caso particular de relacin es el de funcin. Alcanzar el concepto de funcin es algo

sencillo, pues podemos hacer corresponder los elementos de un conjunto con los

elementos de otro conjunto.


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X Y

1----------------------------------- 3

2----------------------------------- 6

3----------------------------------- 9

4-----------------------------------12

Recuerdas:

1. Cmo se llama el primer conjunto?R.__________________________________

2. Cmo se llama el segundo conjunto?

R.___________________________________

3. Establece cul es la regla de correspondencia que se aplica a los elementos del

dominio y da como resultado los elementos del rango.

Comprubalo:___________________________________________________

______________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Se llama variable a la letra en minscula del alfabeto, se le pueden asignar diferentes

valores en un mismo problema y a la totalidad de valores que toma le llamamos:

intervalo de variacin de la variable.


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A los elementos del dominio se les representa generalmente con la letra ______en

minscula. Al conjunto del dominio se le representa generalmente con la letra ______

en mayscula.

A los elementos del rango se les representa generalmente con la letra ______en

minscula. Al conjunto del rango se le representa generalmente con la letra ______ en

mayscula.

De igual manera que si se tratara de una recreacin o diversin donde hay que obedecer

ciertas reglas o condiciones establecidas al inicio del juego, en el tema de funciones

tambin se deben obedecer las reglas o condiciones establecidas al inicio del problema.

Como queda dicho:

La regla de correspondencia se aplica a los elementos del __________, la serie de

resultados obtenidos forman el conjunto del _________.

La regla de correspondencia se compone, confecciona o construye de acuerdo al anlisis

hecho al fenmeno u objeto de nuestro estudio. Para aclarar este punto estudia el

ejemplo siguiente:

Se deja caer un cuerpo. A partir de este fenmeno debemos, segn nuestras aptitudes,

determinar el valor de la fuerza de gravedad. Llamamos gravedad a la fuerza con que la

tierra atrae los cuerpos hacia su centro. Newton, despus de un arduo proceso de

investigacin, obtuvo el valor de 9.8 m/s 32 ft/s, para este fenmeno natural.


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Ejercicio:

Deja caer un cuerpo y determina la fuerza de gravedad. Explica que proceso de

investigacin utilizaras para encontrar el mismo valor que obtuvo Newton.

Antes de seguir adelante sera conveniente dar la definicin de funcin.

P.G. Lejeune Dirichlet (1805-1859), matemtico francs, defini a la funcin as: Una

funcin es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto (llamado

dominio), exactamente un valor de otro conjunto (llamado rango).

Otra definicin:

Una funcin determina una correspondencia biunvoca (de uno a uno) entre los elementos de dos conjuntos, uno llamado dominio yel otro rango.

En base a las definiciones anteriores podemos decir que geomtricamente una

funcin determina la posicin de un solo punto o de una serie de puntos en el plano

cartesiano, la serie de puntos unidos por medio de un trazo suave da origen al

lugar geomtrico que llamamos grfica o dibujo.

Al conjunto del rango tambin se le llama: rango.

La regla se representa por: f ( ) =

El dominio se representa usualmente con la letra x y va dentro del parntesis, sealando

as que sobre esos elementos recaen las operaciones que seala la regla.


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El rango se representa con la letra y. Como qued asentado arriba, los valores que se

obtienen al realizar las operaciones a los elementos del conjunto dominio, forman el

conjunto del rango.

La notacin funcional queda: f (x) = y

Actividades extra clase:

Obtn las grficas de las siguientes funciones:

1. f(x) = x - 1; - 4 x 4

2. f(x) = x 3 + 1 - 4 x 4

3. f(x) = x 2 x 3 -1 < x < 6

4. f(x) = x 2 + x + 3 - 1 < x < 6

Completa las siguientes frases usando los conceptos: Funcin, relacin, variable

dependiente, variable independiente.

1. Si los valores de una variable y dependen de los de otra variable x y a cada valor

de x le corresponde uno o ms de y, se dice que x y y estn _________.

2. Si a cada valor de x le corresponde un solo valor de y, se dice que y es una

_________de x.

3. A la variable x, se le llama: variable ____________ , a la variable y, se le llama:

variable__________o funcin.


34/65

No se crea que la regla que da origen al rango y que se aplica a los elementos del

dominio, es necesariamente difcil de obtener, pues en muchos casos es obvia y hasta

fcil de determinar.

EJEMPLOS:

1) La segunda ley de Newton, F = m a. Es una funcin de dos variables.

2) La aceleracin angular = wf wi / t. Es una funcin de tres variables.

3) El rea de un tringulo depende de la base y de la altura. Es una funcin de dos

variables.

Ordenamos la informacin en un instrumento llamado tabla de____________, donde

incluimos valores del dominio, rango y el par ordenado o coordenadas.

El par ordenado de valores nos muestra la posicin de un punto en el espacio; para

ubicarlo en el espacio necesitamos un marco de referencia, dado por el planollamado:_____________, en honor de Ren Descartes (filsofo y matemtico francs

1596-1650).

Este plano cartesiano est formado por dos ejes perpendiculares entre s que se cortan

en un: ________; al que llamamos:_____________e indica el cero o principio de la

referencia. El plano cartesiano corta el espacio en cuatro cuadrantes numerados en

sentido contrario al giro de las manecillas de un reloj. Al eje horizontal se le llama eje x,

del dominio o de las abscisas; al eje vertical se le llama eje y, del rango u ordenadas.


35/65

y +

II I

180 90

x

- +

270 360

III IV

-

Sus caractersticas principales son:

a) cada cuadrante mide 90

b) Los ejes sealan sentidos positivos y negativos.

El eje de las abscisas (horizontal o eje x) del origen hacia la derecha tiene sentido

positivo y hacia la izquierda su sentido es negativo; el eje de las ordenadas (vertical o

eje de las y) del origen hacia arriba tiene sentido positivo y hacia abajo tiene sentido

negativo.

Los ejes son rectas numricas que en su graduacin deben mantener una

proporcionalidad; es decir, debe o no indicarse la graduacin de los ejes dependiendo de

la importancia del problema, con el fin de obtener grficas fieles, libres de distorsiones

o errores.

Ejercicios:

a) Ubica los siguientes pares ordenados de valores en el plano cartesiano: (x,y),

(0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16)


36/65

b) A los pares ordenados de valores llamados: _____________________se les

puede representar con letras en mayscula del alfabeto.

Al plano cartesiano tambin se le llama sistema de referencia rectangular, esto se

debe a que para ubicar un punto en el plano se lanzan lneas punteadas perpendiculares

a cada uno de los valores de la coordenada, y el punto de interseccin ser el punto

buscado.

Ejercicios:

a) Ubica la coordenada (a, b), en el plano cartesiano, segn se indica:

b) Ubica el valor de a en el eje x, ubica el valor de b en el eje y.

c) Desde a lanza una lnea punteada perpendicular al eje y; desde b lanza una lnea

punteada perpendicular al eje x, el punto de interseccin es el que buscamos.

Si hubiese ms puntos por ubicar se utilizara el mismo procedimiento.

A las figuras geomtricas que se forman al entrelazar todos los puntos, por medio de

un trazo, se les llama grficas.

La grfica es un dibujo y un mtodo que representa los estados de un fenmeno,

esquematiza los datos y seala sus relaciones principales.

Ejercicios:

Obtn el rango, tabla de valores y las grficas de las siguientes funciones:

1. f(x) = 4 x 3; -3 < x < 3.

2. f(x) = 3 x + 2; -3 < x < 4.

3. f(x) = x - -2 < x < 6.

4. f(x) = 3 x + 2 - 4 < x < 4.


37/65

RESUMEN

FUNCIN Y SU REPRESENTACIN GEOMETRICA

Las funciones son expresiones matemticas que nos ayudan a comprender la relacin

entre variables, partes o componentes de cualquier proceso, ya sea estadstico,

biolgico, fsico, qumico, etc.

La grfica es la herramienta visual o mtodo que nos permite observar punto por punto

el desarrollo del proceso: crecimiento, decaimiento, puntos de inflexin (crestas, valles),

mximos, mnimos etc.

FUNCIN

La definicin de funcin que nos ensean en la escuela dice: Una funcin es un tipo

especial de relacin en donde a cada elemento de un conjunto A corresponde un solo

elemento de otro conjunto B.


38/65

A los elementos del conjunto A, los podemos representar con la letra x y al conjunto A

lo podemos llamar dominio. Yendo ms lejos, podemos representar al conjunto del

dominio y sus elementos x as:

Representacin por comprensin:

Dominio = {x / x reales}

O

D = {x / x reales}

Se leera as: El conjunto del dominio esta formado por un elemento x, tal que x

pertenece al conjunto de los nmeros reales (nmeros positivos, el cero y los negativos,

enteros o racionales)

Al conjunto B lo podemos llamar rango o imagen y a sus elementos los podemos

representar con la letra y.

La representacin por comprensin o simblica sera as:

Imagen = {y / y reales}

O

I = {y / y reales}

Leeramos as:

El conjunto del rango o imagen est formado por un elemento y, tal que y pertenece al

conjunto de los nmeros reales.


39/65

Se determina la relacin entre las variables x, y de los conjuntos dominio y rango,

sometiendo a los elementos del conjunto dominio a una serie de operaciones

matemticas, lo cual se representa as:

F(x)

La F representa las operaciones matemticas que se realizan con o sobre los elementos x

del conjunto dominio.

La relacin biunvoca o funcin queda establecida cuando a los resultados de f(x) los

agrupamos para formar el conjunto que con anterioridad nombramos rango o imagen.

La relacin entre conjuntos, llamada funcin, la representamos as:

F(x) = y

O

Y = f(x)

Por tanto, una funcin establece la correspondencia de uno a uno entre los elementos de

dos conjuntos e implica la idea de subordinacin o dependencia, pues los valores del

rango dependen, se obtienen o resultan, del valor que en ese momento tenga x, que es el

valor con que se realizan las operaciones y de las cuales se obtienen los resultados y.

As concluimos:

i) x representa a uno o cualquier valor del dominio

ii) y representa a uno o cualquier valor del rango o imagen

iii) x es la variable independiente

iv) y es la variable dependiente

v) y = f(x), establece la correspondencia de uno a uno (correspondencia

biunvoca o funcin) entre los elementos de los conjuntos del dominio y del

rango.


40/65

Radicalesalese funciones:ete formas diferentes o podemos afirmar que existen

REPRESENTACIN GEOMTRICA DE LA FUNCIN

Un punto en el plano cartesiano queda definido por sus coordenadas (x, y). Del estudio

de la coordenada determinamos el parecido o similitud que tiene con la definicin de

funcin ya que ambos establecen la correspondencia de uno a uno (correspondencia

biunvoca) entre los elementos de dos conjuntos, como se justifica a continuacin.

Fig. 1

XYXYIIIIIIIV

A(x,y)


41/65

En el plano cartesiano los ejes x, y son rectas numricas perpendiculares entre s que se

cortan en un punto, al que llamamos origen. El plano divide al espacio en cuatro

cuadrantes que se numeran en sentido contrario al movimientos de las agujas del reloj,

los puntos o el punto ubicado(s) en cualquier cuadrante queda(n) determinado(s) por

dos dimensiones, x-distancia horizontal (ancho); y-distancia vertical (altura). Estas

dimensiones expresadas numricamente y representadas juntas, dentro un par de

parntesis, forman la(s) coordenada(s) y establece(n) la correspondencia de uno a uno o

biunvoca entre los elementos del conjunto x y el conjunto y. As, A(x, y), la letra A

designa al punto de coordenadas (x, y).

Si al eje horizontal llamado tambin eje de las abscisas o eje de las x, le llamamos

dominio. Y si al eje vertical llamado tambin eje de las ordenadas o eje de las y, le

llamamos imagen o rango. Estableceremos el paralelismo entre la definicin de funcin

y la coordenada de un punto.

Ubicando un punto cualquiera dentro del plano cartesiano y lanzando lneas punteadas

del punto hacia los ejes x, y, los valores determinados por las lneas punteadas sobre los

ejes sern las coordenadas del punto, estos valores tambin satisfacen a la funcin. Por

tanto, a partir de ahora, podemos referirlos como sinnimos pues ambas establecen la

correspondencia de uno a uno entre los elementos de dos conjuntos.

Debido a las operaciones matemticas que se realizan con los elementos x del dominio

para obtener los valores del rango, las funciones se pueden clasificar en siete familias

diferentes, cada una con sus propias caractersticas y propiedades:

1.- Funciones enteras.

2.- Funciones racionales.

3.- Funciones radicales.


42/65

4.- Funciones exponenciales.

5.- Funciones logartmicas.

6.- Funciones trascendentes o trigonomtricas.

7.- Funciones polinomiales.

Cada tipo de funcin tendr un tipo diferente de grfica, y para determinar los valores

del rango, a partir de los valores del dominio en cada tipo de funcin, se aplicar uno o

ms procedimientos exclusivos de la familia a la que pertenece la funcin.

i) La funcin y las coordenadas de un punto en el plano cartesiano son

sinnimos, pues ambas, establecen la correspondencia de uno a uno (x, y)

entre los elementos de dos conjuntos (dominio, rango) = (abscisas,

ordenadas)

ii) El par de valores (x, y) obtenidos en la funcin se utilizan como coordenadas

de un punto sobre el plano cartesiano.

iii) Si los puntos en el plano cartesiano se unen por medio de una lnea forman la

grafica caracterstica de la funcin.

iv) Hay siete tipos de funciones y por lo tanto siete familias diferentes de

grficas

v) La grfica de la funcin se forma punto por punto o por una serie de

caractersticas bien determinadas.

Una funcin establece la correspondencia de uno a uno entre los elementos de dos

conjuntos uno llamado dominio y el otro rango y geomtricamente determina la

ubicacin de un punto o de una serie de puntos en el plano cartesiano que al ser unidos

por un trazo suave da como resultado los lugares geomtricos que llamamos grficas.


43/65

La correspondencia es una regla definida en trminos operacionales (suma, resta, etc.)

entre los elementos de esos conjuntos; de hecho, la regla se aplica a los elementos del

dominio y arroja como resultado los elementos del rango.

Un conjunto es una agrupacin, reunin o coleccin ordenada o no de elementos de

una misma especie, los elementos son representados por una letra en minscula del

abecedario, mientras que al conjunto se le representa con una letra en mayscula.

a A

En una funcin se hacen corresponder los elementos de dos conjuntos por medio de una

regla.

El dominio es un conjunto de valores dados al inicio del problema, el conjunto de

valores del dominio sirven de parmetro, de donde a donde debemos considerar del

problema, estos valores determinan la funcin.

Se representa la funcin as:

f(x) = y y = f(x)

Plano cartesiano o sistema de coordenadas rectangulares:

y +

II I

180 90


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x

- +

270 360

III IV

-

Los puntos estn representados por las coordenadas (dominio, rango), (x,y).

El valorx se ubica en el eje de las abscisas u horizontal.

El valor y se ubica en el eje de las ordenadas o vertical.

Los elementos del dominio (elementos del conjunto dominio), se llaman variables

independientes porque se dan al inicio del problema, y no depende de operacin alguna

para tener ese valor.

Los valores del rango (resultados obtenidos al aplicar la regla a los elementos del

dominio), se llaman dependientes porque el valor que adquiere depende del valor del

dominio.

Actividades extra clase:1. Obtn la grfica de la expresin: y = 4x 5.

2. La expresin anterior Es una funcin? Por qu?

3. Enuncia con tus propias palabras que entiendes por funcin:______________

Menciona 4 ejemplos de relacin.

4. Menciona 4 ejemplos de funcin.


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5. Menciona un ejemplo de cantidades que estn relacionadas y que la relacin no

sea una funcin.

6. De la expresin: y = f (x) = 4 x + 16 x + 16 determina el dominio y el rango.

7. Define con tus palabras asntota.

8. Cul es el dominio de la funcin?: y = (x 6)

9. Dnde corta la funcin?: x + 3x 5 / x + 2

1.1.3 Concepto de funcin polinomial.

- Investigacin en la biblioteca.

- Discusin en clase

Resolucin de ejercicios y problemas frente a pizarrn, individual.

Duracin 4 hrs.


Fundamentalmente un polinomio es una expresin que puede obtenerse utilizando slo

las operaciones de suma, resta y multiplicacin a partir de los nmeros reales.

Por ejemplo, se obtiene: 5 x 4 multiplicando (5) (x) (x) (x) (x) (x). Se puede obtener6 x

con el mismo proceso.

Por qu 2 x 2 = 2 / x, no es polinomio?

Las funciones polinomiales son aquellas que satisfacen la siguiente definicin:

A una funcinP se le llama funcin polinomial si es del tipo:

P(x) = a 0 x n + a 1 x n- 1+ + a n 1 x + a n


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Donde n es un nmero entero positivo o cero y los coeficientes a 0, a 1, , a n 1, a n

son (n + 1) nmeros reales o complejos.

P(x) es de grado n siempre que a 0 0, aunque algunos o todos los coeficientes restantes

pueden ser cero. Cada una de las expresiones tales como: a j x n j ; 0 j n se

denomina trmino del polinomio. Cuando n = 0 el polinomio consta de un solo

trmino al cual se le asigna el grado cero. Una excepcin a esto es la constante cero a la

que no se le asigna ningn grado.

EJEMPLOS:

P(x) = 2 x 4 5 x 3 + x.

En este caso se ha utilizado una abreviatura obvia. Sin sta, el polinomio sera:

P(x) = 2 x 4 + (- 5) x 3 + 0 x 2 + (1) x + 0

Note que el polinomio es de cuarto grado con coeficientes:

a 0 = 2, a 1 = - 5 , a 2 = 0 , a 3 = 1 , a 4 = 0

En general las funciones se especifican con reglas de correspondencia; pero la funcin

no est determinada sino hasta que se da su dominio. Las reglas son adecuadas para

mostrar la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos y son fundamentales

para determinar informacin numrica exacta. Una vez especificados el dominio de la

funcin y la regla de correspondencia, quedan determinados los resultados que forman

el rango de la funcin; sin embargo, los aspectos especficos de una funcin no quedan

claros hasta que se dibujan. Al dibujo de una funcin se le llama grfica. Y la grfica de

una funcin es la grfica de la ecuacin asociada a la funcin f (x), es decir: y = f (x).


47/65

Una funcin polinomial es de la forma: _____________________________________

Donde n es un nmero entero positivo o cero y los coeficientes a 0, a 1,..., a n, son (n +

1) nmeros reales o complejos.

La funcin polinomial P(x) es siempre de grado n (exponente) si a (coeficiente)= 0; por

su parte, los coeficientes de los otros trminos pueden o no ser cero.

Se sabe que la grafica de la funcin lineal: f(x) = ax + b es siempre una __________. Y

que si a = 0, la grfica de ax + bx + c es una: _____________.

La funcin P(x) = 2 x7 + x 4 + x 2 + x + 5 De qu grado es?:

___________________________.

Construye las grficas de las siguientes funciones:

1. F(x) = 4x 2; dominio -3 x 3

2. F(x) = x 3; dominio x 3

3. F(x) = 1 / (x 2) 2; dominio x 2

La construccin de grficas de polinomios de grado mayor a dos necesita de las

siguientes consideraciones:

1. Si n es par y a < 0, la grfica tendr dos valles; si n es par y a > 0, tendr dos

crestas. Esto se debe al dominio del trmino de grado ms alto para valores

grandes | x |.

2. Si n es impar, tendr un valle y una cresta. Nuevamente se debe al dominio del

trmino de grado ms alto.


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3. El nmero combinado de valles y crestas no puede exceder a n 1; aunque

puede ser menor.

Por lo general, al considerar polinomios el objetivo es obtener la solucin de uno o ms

de los siguientes problemas:

a) Dada la funcin polinomial P(x) y un valor del dominio a, hallarP(a).

b) Dada una funcin polinomial P(x), determinar todos los valores del dominio

para los cuales P(x) = 0.

c) Dada una funcin polinomial P, construir su grfica de la manera ms fcil y

eficiente.

1.1.4 Mtodos de exploracin para la obtencin de los ceros, aplicable a las funcionespolinomiales factorizables de grado 3 y 4.

Trabajo por equipo, mximo cuatro alumnos.

Resolucin de series de problemas y ejercicios.

Resolucin de problemas tipo en el pizarrn.

Lluvia de ideas.

Duracin 6 hrs.

Los siguientes teoremas son importantes en la determinacin de los incisos anteriores.

Los elementos de la divisin son:

a) Dividendo

b) Divisor

c) Cociente

d) Residuo


49/65

Divisin de Polinomios.

Sea P(x) el polinomio que se va a dividir (dividendo), G(x) el polinomio que divide

(divisor), de grado menor o igual a P(x); C(x) el polinomio que se obtiene como

resultado de la divisin (cociente), y R(x) el polinomio que sobra de la divisin

(residuo).

e) Dividendo----- P(x)

f) Divisor----------G(x)

g) Cociente____ C(x)

h) Residuo---------R(x)

i)

Por eso podemos decir que el algoritmo de la divisin de polinomios es:

Teorema (i): Algoritmo de la divisin: P(x) = G(x) C(x) + R(x)

Dados un dividendo P(x) y un divisorG(x) se tiene nicamente un cociente C(x) y un

residuo R(x).

Ejemplo: Si P(x) = x 4 + x 2 x + 2 y D(x) = x 2 + x +1, hallar C(x) y R(x) de modo que:

P(x) = G(x) C(x) + R(x)

x 2 - x + 1

x 2 + x + 1 x 4 + + x 2 - x + 2

- x 4 - x 3 - x 2

- x 3 - x + 2

+ x 3 + x 2 + x

+ x 2 + 2

- x 2 - x - 1

- x + 1.


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De acuerdo al teorema (i): P(x) = x 4 + x 2 x + 2; C(x) = x 2 - x + 1

G(x) = x2 x + 1, R(x) = - x + 1

Como puede comprobarse.

x 4 + x 2 x + 2 = (x2 x + 1) (x 2 - x + 1) + - x + 1

Teorema (ii): Teorema del residuo.

Si P(x) es un polinomio de grado mayor o igual a 1 y se divide entre G(x) un polinomio

igual a (x a) donde a es cualquier nmero real o complejo, hasta obtener un residuo

numrico, entonces el polinomio P(a) = al residuo numrico R. Establecindose el

teorema del residuo:

Teorema (ii): P(x) = (x a) G(x) + P(a)

El teorema del residuo es importante porque el residuo de la divisin es igual al valor

del polinomio P(x), para el valorx = a, es decir:

P(a) = R

El teorema del residuo se puede emplear para resolver problemas como el siguiente:

a) Dada una funcin polinomial representada porP(x) y un nmero a del dominio

de P, hallarP(a).


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b) Dada una funcin polinomial representada porP(x), determinar todos los valores

del dominio para los cuales P(x) = 0. A estos nmeros se les llama ceros del

polinomio o races de la ecuacin polinomial P(x) = 0.

Ejemplo: Sea P(x) = 3 x 3 2 x 2 + x 2. Determinar P(2) utilizando el teorema del

residuo.

Solucin: De acuerdo al teorema anterior, el valor de P(2) es el residuo de la divisin de

P(x) entre (x 2).

3 x 2 + 4 x + 9

x 2 3 x 3 2 x 2 + x - 2

- 3 x 3 + 6 x 2

4 x 2 + x

- 4 x 2 + 8 x

9 x - 2

- 9 x + 18

16 = P(2)

Este teorema tiene significado cuando se consideran los siguientes teoremas:

Teorema (iii): Teorema del factor.

Si a es un cero del polinomio P(x) de grado n > 0, entonces (x a) es un factor de P(x)

igual que lo sera G(x).

P(x) = (x a) G(x).


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De otra forma si el polinomio P(x) se factoriza y uno de los factores es (x a), el valor

x = a, ser un cero de dicho polinomio, es decirP(a) = 0, si el otro factor resultante de

la factorizacin es G(x) entonces:

P(x) = (x a) G(x).

El teorema afirma que si x es un cero a de P(x), podemos factorizarP(x) como producto

de un factor lineal (x a) y un polinomio de menor grado que P(x).

EJEMPLO:

Sea P(x) = x 3 + 27. Determinar un cero de P(x) y factorizar P(x).

Teorema (iv): Recproco del teorema del factor.

Si (x a) es un factor del polinomio P(x), entonces x = a y a es el cero de P(x).

Los factores lineales de P(x) nos dan a conocer los ceros del polinomio P(x).

Teorema (v): Teorema fundamental del lgebra.

Toda funcin polinomial P(x), existe un valorc real o complejo, tal que c es un cero del

polinomio P(x), o sea que P(c) = 0.

Divisin Sinttica, Teorema del Residuo y Grficas

La divisin sinttica y el teorema del residuo proporcionan una forma eficiente paragraficar las funciones polinomiales. El proceso se agiliza al formar una tabla de


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divisiones sintticas secuenciadas (una tras otra) en donde el elemento que divide se

mueve en el dominio de la variable.

Divide P(x) = x3 + 3 x2 x 3 entre los valores del dominio 4 x 2, las parejas

ordenadas de valores (x, P(x) ) son las coordenadas de los puntos que forman la grfica.

1 3 -1 -3 Coordenadas

-4 1 -1 3 -15 = P (-4) (-4, -15)

-3 1 0 -1 0 = P (-3) (-3, 0)

-2 1 1 -3 3 = P (-2) (-2, 3)

-1 1 2 3 0 = P (-1) (-1, 0)

0 1 3 -1 -3 = P (0) (0, - 3)

1 1 4 3 0 = P (1) (1, 0)

2 1 5 9 15 = P (2) (2, 15)

Actividad extra clase

PROBLEMAS:

a) Exprese 2 x4 + x3 x2 2 / x3 + 1, como un polinomio ms una expresin

racional propia.


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b) Encuentra el cociente y el residuo cuando x4 + 6 x3 2 x2 + 4 x 15 se divide

entre x2 - 2 x + 3.

c) Divide los polinomios:

2 x3 + 3 x2 11 x + 9 entre x2

2(x + 3)2 + 10(x + 3) 14 entre x + 3

(x2 + 3)3 + 2x (x2 + 3) + 4x 1 entre x2 + 3

a) Resuelve con divisin sinttica:

x4 - 4x3 + 29 entre x 3

2x4 x3 + 2x 4 entre x +

x4 + 4x3 + 4 3x2 + 3 3x + 3 3 entre x + 3

a) Demuestra que el segundo polinomio es factor del primero y determina el otro

factor.

x5 + x4 16 x 16 ; x 2

x5 + 32 ; x + 2

x4 3 / 2 x3 + 3 x2 + 6x + 2 ; x +

a) Utiliza la divisin sinttica para demostrar que el segundo polinomio es un

factor del primero y determnese el otro factor.

x4 + x3 x 1 ; x2 1

x4 x3 + 2x2 4x 8 ; x2 x 2

x4 + 2 x3 4 x 4 ; x2 + 4

a) Encuentra kde modo que el segundo polinomio sea un factor del primero.

x3 + x2 10 x + k ; x 4


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x4 + kx + 10 ; x 1

k2 x3 4kx + 4 ; x 1

a) Determina h y ktales que ambos, x 3 y x + 2 sean factores de: x4 x3 + hx2 +

kx 6.

b) Determina a, b, y c tales que (x 1)3 sea un factor de: x4 + ax3 + bx2 + cx - 4

1.1.5 Bosquejo de la grfica de una funcin polinomial.

Graficacin de una serie de funciones.

Discusin sobre su comportamiento.

Definicin de propiedades y caractersticas

Duracin 4 hrs.


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Consideremos el problema de la construccin de grficas de ciertas funciones

polinomiales.

f(x) = an xn + . . . + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0

Los puntos de giro, inflexin y las intersecciones con el eje x, requiere de la aplicacin

del clculo; pero si el polinomio se puede factorizar en factores lineales o cuadrticos,

entonces s es posible obtener la grfica del polinomio con facilidad.

Los mtodos que utilizaremos ms bien sern generales y se aplicarn para trazar un

bosquejo de la grfica y no para obtener una grfica exacta.

La funcin polinomial de segundo grado P(x) = ax + bx + c, con (a, b y c reales),

funcin cuadrtica, nos ayudar a repasar las propiedades esenciales.

Caso uno: Grafica la funcin: f(x) = a x; a = 0.


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58/65

Anlisis:

a) Cul es la diferencia que observar entre esta funcin y la del caso anterior?

b) La grfica de la funcin est afectada por la constante c?

c) La grfica se traslad sobre el eje vertical?

Contesta SI o NO.

a) Si c > 0, la grfica se desplaza sobre el eje y hacia arriba una distancia igual a

la sealada porc?

b) S c < 0, la curva se desplaza sobre el eje y hacia abajo una distancia igual a la

sealada porc?

Caso tres. Construye la funcin polinomial: f(x) = a x + b x + c; a = 0.


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Anlisis.

Contesta SI o NO.

1. Las intersecciones de la curva con el eje de las x se puede obtener con la

frmula general para funciones completas de segundo grado?

2. Al punto ms alto de la curva se le llama mximo?

3. Al punto ms bajo se le llama mnimo?

4. S a < 0 la curva tiene un mnimo?

5. S a > 0 la curva tiene un mximo?

6. La curva que se obtiene es una parbola?

Obtn la traslacin de la funcin dentro del plano cartesiano y contesta:

1. Cules son las coordenadas de la parbola?

Actividades extra clase:

1. En cada uno de los ejercicios construye la curva correspondiente a la ecuacin

que se da.

a) y = x3 2 x2 x + 2.

b) y = 2 x 4 11 x3 + 20 x2 12 x.

c) Y = x5 5 x4 6 x3 + 38 x2 43 x + 5.

1. Si la funcin polinomial general f(x), igualada a cero, tiene por races los

nmeros complejos conjugados (a + bi) y (a bi), en que a y b son reales, b


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0, y i = -1, demustrese que f(x) tiene un factor cuadrtico positivo para todos

los valores reales de x, y por tanto, que no hay ningn punto de interseccin de

la curva y = f(x) con el eje x.

2. Si la funcin polinomial general f(x), igualada a cero, tiene races reales de

orden impar, iguales cada una al valora, demustrese que la curva y = f(x) corta

al eje x en el punto (a, 0).

3. Si la funcin polinomial general f(x), igualada a cero, tiene races reales de

orden par, iguales cada una al valor a, demustrese que la curva y = f(x) es

tangente al eje x en el punto (a, 0).

4. Para las curvas potenciales y = xn , demuestra:

a) Que todas las curvas del tipo parablico pasan por el punto (1, 1) y el origen.

b) Que todas las curvas del tipo hiperblico son asntotas a los ejes

coordenados.

REPRESENTACIN GRFICA DE POLINOMIOS DE GRADO SUPERIOR

Ejemplo (i): Trazar la grfica de la funcin polinomial:

P(x) = x - x - 5.5 x + 6

Realiza la factorizacin del polinomio y completa los espacios en blanco:

P(x) = (x + ) (x 1) ( - 4).

Los ceros de P(x) son3, 1, 4.


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Completa las coordenadas donde la grfica choca en el eje de las x:

(-3, __), (__,0), (4,0)

Se puede bosquejar rpidamente la grfica realizando las consideraciones siguientes:

- < x < -3, -3 < x < 1, 1 < x < 4 4 < x < +

Contesta SI o NO:

1. Si aplicamos el teorema del residuo a la regin - < x < -3, P(x) < 0?

Demustralo.

2. Si aplicamos el teorema del residuo a la regin: 3 < x < 1, P(x) > 0?

Demustralo.

3. Si aplicamos el teorema del residuo a la regin: 1 < x < 4, P(x) > 0?

Demustralo.

4. Si aplicamos el teorema del residuo a la regin: 4 < x < + , P(x) > 0?

Demustralo.

Toma los puntos medios de esas regiones y construye la grfica.

Y

X


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Hasta el momento se ha considerado que las grficas constaban de un solo trazo, es

decir, no tenan cortes ni puntos aislados, esto se conoce como continuidad. Las

funciones polinomiales tienen grficas continuas, continuidad significa que la grfica

no contiene cortes o saltos.

1.1.6 Problemas de aplicacin.

Trabajo por equipo.

Duracin 2 hrs.

1. Traza la grfica de de la funcin P(x) = (x 3 x - x + 3x).

a) Factoriza el polinomio.

b) Determina los ceros del polinomio.

c) Determina las coordenadas de la grfica del polinomio.

Utilizando el teorema del residuo determina otros puntos de la grfica:


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Como podrs notar los puntos de inflexin y giro no se pueden determinar; por eso solo

podemos trazar un esquema de la grfica, basados en las coordenadas obtenidas.

Actividades extra clase.

2. En cada caso construye las curvas potenciales cuyas ecuaciones se dan.

a) y = (x 1)3

b) y = (x + 1)5

c) y = x4 + 1

d) y 2 = (x 3)4

e) y + 1 = (x 1 ) 3 / 2

f) y 1 = ( x + 1) 2 / 3

g) y 3 = (x + 2) - 4

3. A partir de sus ecuaciones paramtricas, obtn la ecuacin rectangular de la

curva de Agnesi: y = 8 a3 / x2+ 4 a2. Efectuar una discusin completa de la curva.

4. Traza la curva cuya ecuacin es: x3 + xy2 3 ax2 + ay2 = 0. Esta curva se llama:

trisectriz de Maclaurin. Como su nombre lo indica puede usarse para trisecar

un ngulo cualquiera.

5. Traza la curva cuya ecuacin es: x4 + y4 = a4. Esta curva se conoce con el

nombre de: curva de cuarto grado de Lam .

6. En el mismo sistema de ejes coordenados dibujar las porciones de curvas de la

familia de curvas xn + yn = 1, correspondientes al primer cuadrante cuando a n

se le asignan sucesivamente los valores de , 2/3, 1, 2, y 4. Identificar cada

lugar geomtrico y observar el efecto obtenido haciendo variar el valor de n.


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7. Trazar el lugar geomtrico de: x3 + y3 3 axy = 0. Esta curva se llama: hoja de

Descartes.

8. Trazar la grfica de: (x2 + y2)2 ax2y = 0. Esta curva se llama: bifoliada.

9. Trazar la curva cuya ecuacin es: x3 + xy2 + ax2 ay2 = 0. Su lugar geomtrico

es la estrofoide.

10. Trazar el lugar geomtrico de: x2y a2x + b2y = 0. Esta curva se llama:

serpentina.

11. Trazar el lugar geomtrico de: y1/6 2ay3 + a2x2 = 0.

12. Trazar el lugar geomtrico de: x2y2 = a2(x2+y2). Esta curva se llama: cruciforme.

Se debe notar que aunque el origen pertenece a la grfica ningn otro punto de la

vecindad de origen est sobre la curva. Un punto, tal como el origen, se llama

entonces punto aislado.

13. Obtn de las siguientes funciones su grfica, dominio, rango, races o ceros.

a) f(x) = (x + 5) (x + 3) (x + 3) (x + 3) (x 2) (x 2) (x 5)

b) f(x) = (x + 4) (x +1) (x 3) x2

c) f(x) = (x 2)4 (x + 5)3 x3

d) f(x) = (x 3)3 (x + 3)2 (x 5)2

e) f(x) = (x + 3)2 (x 2)4 x3 (x 5)3

f ) f(x) = x3 (x2 + 3x +2)


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g) f(x) = x3 + 2x2 5 x - 6

h) f(x) = x4 13x2 12x

FIN

LIBRO I

introduccion a las funciones polinomiales

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