soluciones racionales a ecuaciones polinomiales: una

Soluciones racionales a ecuaciones polinomiales:

una aproximacion al principio de Hasse

Juan Ignacio Restrepo

Diciembre de 2008

Indice general

Introduccion 3

1. Preliminares de Teorıa de Numeros 5

2. Ecuaciones de la forma xn − a modulo p 9

3. Los numeros p-adicos 243.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2. Principio de Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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Introduccion

En este trabajo se aborda cierto tipo de ecuaciones polinomiales y se bus-can las soluciones racionales a estas (los puntos racionales en la variedad).Debido al teorema chino del residuo (enunciado en el capıtulo 1), analizarestas ecuaciones modulo algun entero positivo, es equivalente a analizarlomodulo cada una de las potencias de los primos que aparecen en su factori-zacion, por lo tanto analizar una ecuacion polinomica modulo pα para todoprimo p y todo entero positivo α es suficiente para analizar una ecuacion entodos los modulos.

Los enteros p-adicos son una forma de hacer congruencias modulo pα paratodo α de una manera simultanea, puesto que estos son el lımite inverso delos anillos Z/pαZ. Buscar entonces soluciones a una ecuacion polinomicaen Zp es como solucionarla modulo pα para todos los enteros positivos αal mismo tiempo, donde las soluciones estan relacionadas unas con otras(mediante proyecciones). De esta forma, trabajar con los numeros p-adicoses una forma inteligente de hacer congruencias modulares. Se cuenta ademascon el Lema de Hensel, que permite levantar soluciones de modulo pα amodulo pα+1 e incluso a Zp, que se mostrara en el capıtulo 3.

Se trabajan en particular las ecuaciones de la forma xn−a, donde es a unentero, modulo p inicialmente y despues en Zp y Qp, el campo de los numerosp-adicos (campo de fracciones de Zp, que resulta ser un dominio entero). Seutilizan la ley de reciprocidad cuadratica, la teorıa de Galois y el teorema deFrobenius (un teorema sobre la densidad de conjuntos de numeros primos,que sera exhibido al final del capıtulo 1) para desarrollar un fuerte teoremade teorıa de numeros sobre potencias n-esimas perfectas y potencias n-esimasmodulo p para casi todos los primos en el caso en que 8 - n. Despues, se saltaa los campos p-adicos se analizan estas ecuaciones a la luz del principiode Hasse. Se introducen algunos preliminares de teorıa de numeros y denumeros p-adicos, mencionando las herramientas fundamentales de cada unode ellos.

3

INDICE GENERAL INDICE GENERAL

Se ilustran algunas familias de ecuaciones que satisfacen el principio deHasse y se muestra que este en efecto funciona para estas familias. Tambienhay algunos ejemplos donde este falla y otros que muestran como, al debi-litar las hipotesis del principio de Hasse, en ciertos casos es suficiente paraconcluir la solubilidad de la ecuacion en Q. Ademas, un ejemplo de como ladebilitacion de estas hipotesis, en otros casos que cumplen el principio deHasse, impiden tener la solubilidad de las ecuaciones en numeros racionales(es decir, normalmente se necesitan las hipotesis completas).

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Capıtulo 1

Preliminares de Teorıa deNumeros

Para comenzar, unos conceptos basicos. Uno de los enfoques fundamen-tales para solucionar congruencias polinomicas modulo algun entero N , essolucionarlas modulo cada una de las potencias de primo que dividen a N ydespues tratar de construir una solucion que funcione modulo N . Para esto,existe una herramienta, llamada el Teorema Chino del residuo, que expresalo siguiente:

Teorema 1.1. (Teorema Chino del residuo) Sean m1, m2, . . . , mn en-teros positivos primos relativos dos a dos y a1, a2, . . . , an enteros cualquiera.El sistema

x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)

...x ≡ an (mod mn)

tiene solucion, y esta es unica modulon∏

i=1

mi.

En el capıtulo 3, se construirian sistemas numericos que tratan las ecua-ciones modulo pk para todo k de una manera simultanea, por lo tanto seobtiene aun mas informacion en una de estas. Estos sistemas numericos sellaman los numeros p-adicos y se estudiaran en ese capıtulo.

En un curso basico de Teorıa de Numeros, usualmente tambien se apren-de la Ley de Reciprocidad Cuadratica de Gauss. Como esta se va a usar

5

1. Preliminares de Teorıa de Numeros

varias veces a lo largo de este trabajo, se enunciaran los resultados funda-mentales y se introduciran las notaciones pertinentes.

Definicion 1.2. Sımbolo de Legendre. Sea p un primo impar y a un enterocualquiera. El sımbolo de Legendre de a y p se define como

(a

p

)=

0 si p | a1 si la ecuacion x2 ≡ a(mod p) tiene solucion y p - a

−1 de lo contrario.

Si(a

p

)= 1, se dice que a es un residuo (o resto) cuadratico modulo

p y si(a

p

)= −1 se dice que a es un residuo (o resto) no cuadratico, o

simplemente que no es un residuo cuadratico modulo p. En el capıtulo 7 de[1] se pueden encontrar las siguientes propiedades del sımbolo de Legendre,con sus respectivas demostraciones.

Proposicion 1.3. El sımbolo de Legendre cumple las siguientes propieda-des:

1. a ≡ b(mod p) ⇒(a

p

)=

(b

p

)

2.(a

p

)≡ a

p−12 (mod p)

3.(ab

p

)=

(a

p

) (b

p

)

4.(−1p

)= (−1)

p−12 (e.g.

(−1p

)= 1 sii p es de la forma 4k + 1)

5.(

2p

)= (−1)

p2−18 (e.g

(2p

)= 1 sii p es de la forma 8k ± 1)

Ahora, se puede enunciar la Ley de Reciprocidad cuadratica como sigue:

Teorema 1.4. (Ley de Reciprocidad Cuadratica) Sean p y q primosimpares diferentes. Entonces se tiene que(

p

q

) (q

p

)= (−1)

p−12

q−12 .

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Sea P el conjunto de todos los numeros primos. Si S ⊆ P, vale la penapreguntarse que “tamano”tiene S dentro de P. Para esto, existe el conceptode densidad. Existen dos maneras de definir la densidad de S: la densidadanalıtica y la densidad natural.

Definicion 1.5. Sea S un conjunto de numeros primos. La densidad analı-tica de S, si existe, se define como

lıms→1+

∑p∈S p

−s∑p∈P p

−s

Definicion 1.6. Sea S un conjunto de numeros primos. La densidad naturalde S, si existe, se define como

δ(S) = lımN→∞

|{x ∈ S : x ≤ N}||{x ∈ P : x ≤ N}|

Debido a la infinitud de P, y al hecho de que∑

p∈P1p diverge (ver [2]),

si S es un conjunto finito, tiene necesariamente densidad 0 (analıtica y na-tural). La primera definicion a primera vista es un poco menos natural quela segunda, pero en general es mas facil de usar. Ahora, tomado de la teorıaanalıtica de numeros, el sorprendente resultado propuesto por Dirichlet acer-ca de primos en progresiones aritmeticas. Inicialmente fue enunciado de otramanera por Dirichlet, pero de su demostracion se puede desprender el si-guiente resultado mas fuerte.

Teorema 1.7. (Dirichlet) Sean m y n dos enteros positivos y primos rela-tivos y sea S el conjunto de los numeros primos en la progresion aritmeticadiferencia comun m y de termino inicial n. Entonces, la densidad analıticade S es igual a 1

ϕ(m) .

Corolario 1.8. Sean m y n dos enteros positivos y primos relativos. Laprogresion aritmetica de diferencia comun m y termino inicial n contieneinfinitos numeros primos.

El corolario tiene lugar, puesto que la densidad de S no es nula, luegoS debe ser un conjunto infinito. El teorema de Dirichlet tambien es ciertocon la densidad natural, pero su prueba es diferente, y no se desprende dela demostracion dada inicialmente por Dirichlet.

Por ultimo se necesita el siguiente resultado tecnico de algebra abstracta,propuesto por Frobenius (ver [6] y [5]). Para la definicion de discriminantever [3].

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Definicion 1.9. Sea P (x) un polinomio de coeficientes enteros, con dis-criminante ∆. Un primo p es ramificado si p | ∆ y es no ramificado de locontrario.

Definicion 1.10. Sea P (x) un polinomio de coeficientes enteros de gradon. Se dice que P (x) tiene descomposicion tipo n1, n2, . . . , nk modulo p (pprimo) si:

n1 ≤ n2 ≤ · · · ≤ nk

n1 + n2 + · · ·+ nk = n

P (x) ≡ P1(x)P2(x) · · ·Pk(x)(mod p)

Pi(x) tiene grado ni para i ∈ {1, 2, . . . , k}

Definicion 1.11. Sea Sn el grupo de permutaciones sobre {1, 2, . . . , n} ysean n1 ≤ n2 ≤ · · · ≤ nk enteros tales que n1 +n2 + · · ·+nk = n. Se dice queσ ∈ Sn es una permutacion tipo n1, n2, . . . , nk si σ se puede descomponeren k ciclos disyuntos de longitudes n1, n2, . . . , nk respectivamente.

Teorema 1.12. (Frobenius) Sea P (x) un polinomio monico de coeficientesenteros irreducible sobre Q y de grado n, con grupo de Galois G. Seann1 ≤ n2 ≤ · · · ≤ nk enteros tales que n1 + n2 + · · · + nk = n. Sea Sel conjunto de primos no ramificados tales que P (x) tiene descomposiciontipo n1, n2, . . . , nk modulo p. Sea H = {σ ∈ G : σ es tipo n1, n2, . . . , nk}.Entonces,

δ(S) =|H||G|

.

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Capıtulo 2

Ecuaciones de la forma xn− amodulo p

En este capıtulo se analizaran modulo p, p primo, las ecuaciones de laforma xn − a, donde a es un entero. El primer caso interesante de estetipo de ecuaciones, es cuando n = 2. Sorprendentemente, basta analizarestas ecuaciones modulo p para concluir la solubilidad de la ecuacion en losenteros. Primero, un lema:

Lema 2.1. Sean p1 < p2 < · · · < pr primos. Existen infinitos primos p dela forma 4k + 1 tales que(

p1p2 · · · pr

p

)= −1 y

(−p1p2 · · · pr

p

)= −1.

Demostracion. Primero se hara el caso r = 1 y, usando este, se mostrara parar > 1.

Si p1 = 2, la Proposicion 1.3.5 junto con el teorema de Dirichlet mues-tra la existencia de tales p, tomando cualquiera de la forma 8k + 5, pues(

2p

)= −1 y

(−1p

)= 1.

Si p1 es impar, dado que el polinomio xp1−1

2 −1 tiene a lo mas p1−12 raıces

modulo p1 (de hecho tiene exactamente p1−12 raıces), existe al menos un T

que no es raız y que no es divisible por p1. Este es un residuo no cuadratico.Sea s una solucion al sistema de congruencias{

x ≡ 1(mod 4)x ≡ T (mod p1).

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2. Ecuaciones de la forma xn − a modulo p

Esta existe por el teorema chino del residuo, pues (p1, 4) = 1. Por el teo-rema de Dirichlet, existen infinitos primos de la forma 4p1k + s; sea p uno

de estos. Puesto que p es 1 modulo 4,(−1p

)= 1 y la ley de recipro-

cidad cuadratica implica que(p

p1

)=

(p1

p

), y como p ≡ T (mod p1) y

T no es un residuo cuadratico modulo p1 (ya que Tp1−1

2 6≡ 1(mod p1)),(p

p1

)= −1, obteniendo la existencia de infinitos primos p de la forma

buscada tales que(±p1

p

)= −1.

Finalmente, si r > 1, sea t tal que(t

pr

)= −1 (como pr es impar, este

t existe). Sea s una solucion al sistema de congruenciasx ≡ 1 (mod 8)x ≡ 1 (mod p1p2 · · · pr−1)x ≡ t(mod pr).

El sistema tiene solucion porque los modulos son primos relativos dos a dos,excepto cuando p1 = 2, en cuyo caso la primera congruencia y la segundason consecuentes. Por el teorema de Dirichlet, puesto que s es impar y pri-mo relativo con cada uno de los pi, existen infinitos primos p de la forma

8p1p2 · · · pr + s. Si p1 = 2,(p1

p

)= 1 por la primera congruencia. Como

p ≡ 1(mod p1p2 · · · pr−1) y p ≡ 1(mod 4) (de hecho, modulo 8), usando laley de reciprocidad cuadratica se obtiene(

−1p

)= 1 y

(pi

p

)=

(p

pi

)=

(1pi

)= 1 para i = 1, 2, . . . , r − 1.

Tambien se tiene que (pr

p

)=

(p

pr

)=

(t

pr

)= −1.

Por la multiplicatividad del sımbolo de Legendre, se tiene(±p1p2 · · · pk

p

)= −1.

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Si un entero es un cuadrado, naturalmente, este sera un cuadrado modu-lo p para todo primo p. Ahora, gracias al Lema 2.1, es facil demostrar elsiguiente teorema. Se dice que una ecuacion polinomial P (x) ≡ 0(mod p)tiene solucion para cofinitos primos p si tiene solucion para todo primo pexcepto posiblemente un numero finito de estos.

Teorema 2.2. Sea a un entero tal que a es residuo cuadratico modulotodos los primos, excepto posiblemente un numero finito de estos (es decir, laecuacion x2−a ≡ 0(mod p) tiene solucion para cofinitos primos p). Entoncesa es un cuadrado perfecto.

Demostracion. Sea a = ±pα11 pα2

2 · · · pαrr y supongase, para efectos de contra-

diccion, que no es un cuadrado. Si a es residuo cuadratico modulo cofinitos

primos p, existe un N tal que ∀p ∈ P(p ≥ N →

(a

p

)= 1

). Supongase

primero que |a| no es un cuadrado. Sea p un primo tal que p ≥ N y seanαi1 , αi2 , . . . , αis los exponentes impares de a. Entonces(

±pi1pi2 · · · pis

p

)=

(±1p

) (pi1

p

) (pi2

p

)· · ·

(pis

p

)=

(±1p

) (pi1

p

)αi1(pi2

p

)αi2

· · ·(pis

p

)αis

=(±1p

) (p1

p

)α1(p2

p

)α2

· · ·(pr

p

)αr

=(±pα1

1 pα22 · · · pαr

r

p

)=

(a

p

)= 1.

Ahora, por el Lema 2.1, existen infinitos primos p de la forma 4k + 1 talesque (

±pi1pi2 · · · pis

p

)= −1,

contradiciendo la ecuacion anterior, pues esta tiene lugar para cofinitos pri-mos p. En caso de tener a = −b2, no se podrıa aplicar el Lema 2.1 pues no

habrıa primos de exponente impar, pero de igual forma se obtiene(−1p

)= 1

para todo p ≥ N . Si p es un primo de la forma 4k − 1 mayor que N (exis-te por el teorema de Dirichlet) −1 no es un residuo cuadratico modulo p,

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obteniendo igualmente una contradiccion. Se concluye que a debe ser uncuadrado.

La demostracion anterior puede considerarse elemental, pues aunque elteorema de Dirichlet es un teorema fuerte, es muy conocido, y el resto seremonta unicamente a la ley de reciprocidad cuadratica. Usando el Lema2.1 y siguiendo el mismo esquema del Teorema 2.2, se puede demostrar unresultado similar para la ecuacion x4 − a ≡ 0(mod p).

Teorema 2.3. Sea a un entero tal que la ecuacion x4− a ≡ 0(mod p) tienesolucion para cofinitos primos p. Entonces a es una potencia cuarta perfecta.

Demostracion. Si la ecuacion x4 − a ≡ 0(mod p) tiene solucion, la ecuacionx2 − a ≡ 0(mod p) tiene solucion tambien, por lo tanto aplicando el Teo-rema 2.2 se concluye que a = b2, con b positivo. Factorizando, se obtienex4−a = (x2− b)(x2 + b). Si p es un primo de la forma 4k− 1 y p - b, necesa-riamente alguno entre b y −b es residuo cuadratico (y solo uno de ellos) pues(−bp

)= −

(b

p

), por lo tanto la ecuacion x4−a ≡ 0(mod p) tiene solucion.

Ahora, si p es un primo de la forma 4k+ 1 y p - b, b es residuo cuadratico si

y solo si −b es residuo cuadratico, pues(−bp

)=

(b

p

), de donde se puede

concluir que b es residuo cuadratico modulo todos los primos de la forma4k+1 a partir de cierto punto, llamese N . Si b no fuera un cuadrado, tendrıaexponentes impares en su factorizacion prima. Sea b = pα1

1 pα22 · · · pαr

r y seanαi1 , αi2 , . . . , αis los exponentes impares de b. Sea p un primo de la forma4k + 1 mayor que N . Entonces(

pi1pi2 · · · pik

p

)=

(pi1

p

) (pi2

p

)· · ·

(pis

p

)=

(pi1

p

)αi1(pi2

p

)αi2

· · ·(pis

p

)αis

=(p1

p

)α1(p2

p

)α2

· · ·(pr

p

)αr

=(pα11 pα2

2 · · · pαrr

p

)=

(b

p

)= 1.

Esto contradice nuevamente el Lema 2.1, por lo tanto b es un cuadradoperfecto, y a debe ser una potencia cuarta perfecta.

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Para analizar las ecuaciones de la forma xp−a con p primo, se necesitanherramientas mucho mas poderosas. Es necesario acudir a la teorıa de Ga-lois, usando el resultado de Frobenius y mostrar la irreducibilidad de estospolinomios, para poder usarlos en el teorema que se mostrara. Primero, semostrara la irreducibilidad.

Lema 2.4. Sea ζ un numero real. Si existe un n tal que ζn ∈ Q∗, y n0 esel menor entero positivo con esta propiedad, entonces ζn ∈ Q∗ si y solo sin0 | n.

Demostracion. Sea ζ la clase de equivalencia de ζ en R∗/Q∗. ζ esta en elsubgrupo de torsion de R∗/Q∗ debido a que ζn ∈ Q∗. Sea n0 el orden deζ en R∗/Q∗. Entonces ζn = 1 ↔ n0 | n, que es equivalente a decir queζn ∈ Q∗ ↔ n0 | n.

Corolario 2.5. Si p es primo y a no es una potencia p-esima perfecta, siendoζ = p

√a, entonces para todo n ∈ {1, 2, . . . , p− 1} se tiene que ζn 6∈ Q∗.

Demostracion. Puesto que ζp ∈ Q∗, usando la notacion del Lema 2.4 y elmismo Lema 2.4, n0 debe ser un divisor de p. Como a no es potencia p-esimaperfecta, n0 no puede ser 1. Como p es primo, se tiene n0 = p. Usando elLema 2.4 se concluye.

Lema 2.6. Si p es un primo y a no es una potencia p-esima perfecta, elpolinomio P (x) = xp − a es irreducible.

Demostracion. Sean ζ = p√a y ξ = e

2πip (una raız p-esima primitiva de la

unidad). Entonces, el polinomio P (x) se factoriza sobre los numeros com-plejos como

xp − a = (x− ζξ)(x− ζξ2) · · · (x− ζξp),

pues (ζξk)p = a para todo entero positivo k. Si P (x) se puede factorizaarcomo el producto de dos polinomios, serıa de la forma

xp − a = Q(x)R(x)

conQ(x) = α

∏j∈A

(x− ζξj) y R(x) = β∏k∈B

(x− ζξk),

donde αβ = 1, A ∪B = {1, 2, . . . , p} y A ∩B = ∅.

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Se esta buscando que Q(x), R(x) ∈ Q[x], ası que α, β ∈ Q, pues sonlos coeficientes principales de los polinomios. Ademas, se puede asumir queα = β = 1. Ahora, el coeficiente independiente de Q(x) es

c = (−1)|A|ζ |A|ξr,

donde r =∑

j∈A j. Si c ∈ Q, necesariamente |c| ∈ Q, por lo tanto

ζ |A| = |c| ∈ Q.

Por el Corolario 2.5, |A| = 0 o |A| = p. En ambos casos, se concluye queP (x) es irreducible, ası que alguno entre Q(x) y R(x) resultara unidad enQ[x].

Ahora, un lema tecnico de teorıa de grupos que se necesitara en la de-mostracion al siguiente teorema.

Lema 2.7. Sea G un grupo finito y sea H un subgrupo propio. Entonces⋃g∈G

g−1Hg ( G.

Demostracion. Primero, si g1g−12 ∈ H, entonces g−1

1 Hg1 = g−12 Hg2, pues si

h ∈ H y g−11 hg1 ∈ g−1

1 Hg1, como

g−11 hg1 = g−1

2 (g1g−12 )−1h(g1g−1

2 )g2

y g1g−12 ∈ H, g−1

1 hg1 ∈ g−12 Hg2, por lo tanto g−1

1 Hg1 ⊆ g−12 Hg2. Analoga-

mente, g−12 Hg2 ⊆ g−1

1 Hg1 y se concluye que g−11 Hg1 = g−1

2 Hg2.

Segundo, se tienen|G||H|

= r cosets izquierdos y cada uno de ellos tiene |H|

elementos. En la union redundan casi todos los subındices y esta no cambiaal considerar solo un elemento de cada coset izquierdo. Sean g1, g2, . . . , gr

representantes de cada uno de los r cosets izquierdos.∣∣∣∣∣∣⋃g∈G

g−1Hg

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣r⋃

i=1

g−1i Hgi

∣∣∣∣∣ ≤r∑

i=1

|g−1i Hgi| = |G|,

con igualdad si y solo si los conjuntos considerados en la union son disyuntos.Como cada uno de los conjuntos considerados son subgrupos de G, todos

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tienen a la identidad como elemento, ası que no son disyuntos y se concluyeque ∣∣∣∣∣∣

⋃g∈G

g−1Hg

∣∣∣∣∣∣ < |G|,

por lo tanto la contenencia es estricta.

Con la ayuda del teorema de Frobenius (Teorema 1.12) y del lema ante-rior, se puede probar el siguiente teorema, tomado de [5].

Teorema 2.8. Sea P (x) un polinomio irreducible. Si P (x) admite raıcesmodulo cofinitos primos p, entonces P (x) es lineal.

Demostracion. Sea G el grupo de Galois de P (x). Por el teorema de Frobe-nius, ∀σ ∈ G, σ tiene descomposicion tipo 1, n2, . . . , nk, pues el conjuntodonde P (x) no es soluble tiene densidad 0 y si P (x) es soluble, tiene al menosun factor lineal. Sea K el campo de ruptura de P (x) sobre Q y sea α ∈ Kuna raız. Sea H ≤ G el subgrupo de G que deja fijo Q(α). Sea σ ∈ G y seaβ una raız de P (x) tal que σ(β) = β. Como P (x) es irreducible, β y α sonconjugados y por esto existe ψβ,α ∈ G tal que ψβ,α(β) = α. El automorfismoψβ,ασψ

−1β,α fija α, pues

ψβ,ασψ−1β,α(α) = ψβ,ασ(β)

= ψβ,α(β)= α

y naturalmente fija Q, por lo tanto fija todo Q(α). Entonces

ψβ,ασψ−1β,α ∈ H,

o equivalentementeσ ∈ ψ−1

β,αHψβ,α.

Esto quiere decir queG ⊆

⋃ρ∈G

ρ−1Hρ

y por el Lema 2.7, H no puede ser propio. Entonces el elemento α es fijadopor todos los automorfismos de G. El subgrupo que fija todo Q(α) es elmismo que fija todo Q, por lo tanto Q = Q(α) y la extension es trivial,es decir, α es racional. Como el polinomio es irreducible y tiene una raızracional, este debe ser lineal.

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Usando este poderoso teorema, se tiene una hermosa conclusion.

Teorema 2.9. Sea p un primo y sea a un entero tal que la ecuacionxp ≡ a(mod q) tiene solucion para cofinitos primos q. Entonces a es unapotencia p-esima perfecta.

Demostracion. Si a no fuera una potencia p-esima perfecta, por el Lema 2.6,el polinomio xp−a serıa irreducible y claramente no es lineal. Por el Teorema2.8, el polinomio serıa insoluble para infinitos primos q, contradiciendo lashipotesis del teorema. La conclusion se sigue.

Es claro que el Teorema 2.9 es mucho mas fuerte que el Teorema 2.2,pero el Teorema 2.2 es mucho mas sencillo de probar y requiere de muchomenos bagaje tecnico. Una ventaja adicional del Teorema 2.9 es que se puedeusar repetidas veces para probar un resultado aun mas fuerte, expresado enel siguiente corolario.

Corolario 2.10. Sea n un entero libre de cuadrados. Sea a un entero tal quela ecuacion xn ≡ a(mod p) tiene solucion para cofinitos primos p. Entoncesa es una potencia n-esima perfecta.

Demostracion. Sea q un primo tal que q | n. Entonces, si la ecuacionxn ≡ a(mod p) tiene solucion, la ecuacion xq ≡ a(mod p) tambien tendra so-lucion, por lo tanto, al aplicar el Teorema 2.9, a es una potencia q-esima per-fecta, haciendo todos los exponentes de los primos que dividen a a multiplosde q (y si q = 2, a ademas resulta positivo). Procediendo de igual manerapara todos los demas divisores primos de n, se concluye que los exponentesde los primos que dividen a a son multiplos de n, haciendolo una potencian-esima perfecta.

Sabiendo ahora que la solubilidad de una ecuacion del tipo xn−a modulotodos los primos excepto posiblemente un numero finito de ellos implica lasolubilidad de la ecuacion en Q para n libre de cuadrados y n = 4, valela pena preguntarse si esto es cierto para todo entero positivo n. Como yase sabe que la propiedad es cierta para n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, el primerentero positivo donde se investigara ahora es n = 8.

Considerese el polinomio x8 − a. Si es soluble modulo todos los primosexcepto posiblemente en finitos, por el Teorema 2.3, a tiene que ser una po-tencia cuarta (puesto que si x8−a es soluble, x4−a es soluble tambien). Poresto, el menor a a intentar, es 16 (pues 1 es una potencia octava perfecta).Entonces, el polinomio se factoriza como

x8 − 16 = (x4 + 4)(x2 + 2)(x2 − 2).

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Se mostrara que para todo primo p, al menos uno de los polinomiosx4 + 4, x2 + 2 y x2 − 2 es soluble modulo p. Se dividira el trabajo en casos.Caso 1: p = 2. x = 0 es solucion.

Caso 2: p = 4k + 3. En este caso(

2p

) (−2p

)=

(−1p

) (4p

)= −1, por lo

tanto exactamente uno entre 2 y −2 es residuo cuadratico modulo p.

Caso 3: p = 8k + 1. En este caso(

2p

)= 1, por lo tanto x2 − 2 es soluble.

Caso 4: p = 8k+5. En este caso(

2p

)= −1, pero

(−1p

)= 1, por lo tanto

existe un entero i tal que

i2 ≡ −1(mod p).

Como p = 8k + 5, p−14 = 2k + 1 es impar. Elevando la congruencia que

caracteriza i a la p−14 , se obtiene

ip−12 ≡ −1(mod p),

por lo tanto(i

p

)= −1. Ası,

(2ip

)= 1 y la ecuacion

x2 ≡ 2i(mod p)

tiene solucion. Elevando esta congruencia al cuadrado, se obtiene

x4 ≡ −4(mod p),

por lo tanto x4 + 4 es soluble.

Se concluye que la ecuacion x8−16 ≡ 0(mod p) tiene solucion para todoprimo p, aun si 16 no es una potencia octava.

Ahora, se abordara la pregunta para cuando n no es libre de cuadradosy no es potencia de 2, analizando primero, naturalmente, n = pk con p unprimo impar. Nuevamente se necesita la irreducibilidad de ciertos polinomiospara poder usar el teorema de Frobenius (Teorema 1.12), y se explotara aunmas la teorıa de Galois.

Lema 2.11. Sea ξ ∈ C tal que ξn = 1 para algun entero positivo n. Seaζ ∈ R tal que ζp ∈ Z pero ζ 6∈ Z con p un primo impar. Entonces ζ 6∈ Q(ξ).

17


Demostracion. Supongase que ζ ∈ Q(ξ), entonces Q(ξ) : Q(ζ) : Q es unacadena de extensiones. Ahora, la extension Q(ζ) esta contenida en R, perolas demas raıces del polinomio xp − a (donde a = ζp) son complejas, dedonde Q(ζ) : Q no es una extension normal. La extension Q(ξ) : Q es unaextension abeliana (Teorema 55.4 de [3]) por lo tanto toda subextensiondebe ser normal, dando una contradiccion. Se concluye que ζ 6∈ Q(ξ).

Lema 2.12. Sean p un primo impar, a un entero que no es potencia p-esimaperfecta y k un entero mayor que 1. El Polinomio

xpk − apk−1

xpk−1 − apk−2

es irreducible.

Demostracion. Sean

ξ = e2πi

pk , ζ = p√a y A = {r ∈ Z+ | (r, p) = 1 ∧ r ≤ pk}.

Con estas notaciones, se tiene

xpk − apk−1

xpk−1 − apk−2 =∏r∈A

(x− ζξr),

por lo tanto, si hubiera una factorizacion en Q[x], se tendrıa que particionarel conjunto A en dos conjuntos A y B y los polinomios involucrados en lafactorizacion serıan

P (x) =∏r∈A

(x− ζξr) y Q(x) =∏r∈B

(x− ζξr).

SeanP1(x) =

∏r∈A

(x− ξr) y Q1(x) =∏r∈B

(x− ξr).

Claramente se tieneΦpk(x) = P1(x)Q1(x),

por lo tanto los coeficientes de P1(x) y Q1(x) no pertenecen a Q, pues Φpk(x)es irreducible (ver [3]). Los coeficientes de P1(x) y Q1(x) estan en Q(ξ), yaplicando el Lema 2.11 con n = pk y ar en lugar de a (no olvidar que res primo relativo con p) se obtiene ζr 6∈ Q(ξ). Los coeficientes de P (x) yde Q(x) difieren de los coeficientes de P1(x) y de Q1(x) en una potenciade ζ (el coeficiente de xm en P (x) contiene el factor ζ |A|−m adicional al de

18


P1(x) y analogamente para Q(x)). Sean m el grado y s el coeficiente deltermino de menor grado de P1(x) con coeficiente en Q(ξ)\Q (que existe,pues P1(x) 6∈ Q[x]). El coeficiente de xm en P (x) sera entonces sζ |A|−m y elanalisis se dividira en casos.

Caso 1: Si |A| −m es multiplo de p se tiene que ζ |A|−m es entero, por lotanto sζ |A|−m 6∈ Q, pues si estuviera,

s =sζ |A|−m

ζ |A|−m

pertenecerıa a Q, contradiciendo la eleccion de s.

Caso 2: Si |A| −m no es multiplo de p entonces sζ |A|−m 6∈ Q(ξ), pues siestuviera,

ζ |A|−m =sζ |A|−m

s

estarıaen Q(ξ), contradiciendo el Lema 2.11. Como no esta en Q(ξ), tampocoesta en Q.

De esta manera, P (x) 6∈ Q[x]. Analogamente, Q(x) 6∈ Q[x] y el polinomioen cuestion resulta irreducible.

Se puede utilizar entonces el teorema de Frobenius con los polinomiosde este tipo, pero antes, se necesita analizar el grupo de Galois de estos. Seusaran las mismas notaciones que en el Lema 2.12.

Primero que todo, se precisa saber cual es el campo de ruptura K delpolinomio, y este se vera como subcampo de C. Como K debe tener cadauna de las raıces del polinomio y p es impar, entonces los numeros ζξ y ζξ2

pertenecen a K, lo que implica que

ξ =ζξ2

ζξ∈ K.

Ademas, puesto que ya se sabe que ξ ∈ K, se tiene tambien que

ζ =ζξ

ξ∈ K.

De aquı, se puede concluir que

K ⊇ Q(ξ, ζ).

19


Como en Q(ξ, ζ) estan todas las raıces del polinomio,

Q(ξ, ζ) ⊇ K

y se concluye queK = Q(ξ, ζ).

El Lema 2.11 muestra que ζ 6∈ Q(ξ) y, como ξ 6∈ R, se tiene tambien queξ 6∈ Q(ζ) ⊆ R.

Denotese por G el grupo de Galois de Q(ξ, ζ). Cada elemento σ de Gesta completamente determinado por su valor en ξ y en ζ, porque todos loselementos de Q(ξ, ζ) son combinaciones algebraicas de 1 (y σ(1) = 1), ξ y ζ.Ademas, todo automorfismo de Q(ξ, ζ) debe mandar a ξ y a ζ en conjugados(de ξ y de ζ respectivamente). Como ζ es raız de xp − a y este polinomioes irreducible (Lema 2.6), se tiene que los conjugados de ζ son de la formaζωr con ω = e

2πip y 0 ≤ r ≤ p − 1 entero y hay p de ellos. Los conjugados

de ξ son de la forma ξr con r ∈ A, pues ξ es raız del polinomio ciclotomicoΦpk(x), que es irreducible, y por lo tanto, hay ϕ(pk) = pk−1(p− 1) de ellos.

Sea B = {0, 1, . . . , p − 1}. Entonces para cada pareja (a, b) ∈ A × Bexiste σa,b ∈ G tal que

σa,b(ξ) = ξa y σa,b(ζ) = ζωb,

pues ξ y ζ son algebraicamente independientes, por lo tanto ξa y ζωb =ζξbpk−1

son algebraicamente independientes tambien, haciendo σa,b un mo-nomorfismo, y, si a es el inverso de a modulo pk,

σa,b(ξa) = (σa,b(ξ))a = ξaa = ξ

yσa,b(ζωa(p−b)) = σa,b(ζ)(σ(ξpk−1

))a(p−b) = ζωbξaapk−1(p−b) = ζ,

haciendo σa,b un epimorfismo, por lo tanto es un automorfismo.

Todos estos automorfismos son diferentes, puesto que difieren al evaluar-se en ξ o al evualuarse en ζ. Como todos los autormofismos con precisamentede esta forma y

|G| = |A × B| = pk(p− 1),

lo cual demuestra el siguiente lema.

20


Lema 2.13. Sea p un primo impar, a un entero que no es potencia p-esimaperfecta, P (x) el polinomio definido en el Lema 2.12 y G el grupo de Galoisde P (x). Entonces

|G| = pk(p− 1).

Demostracion. Acaba de ser discutida.

Finalmente, se probara un ultimo lema que, junto con toda la maqui-naria que se ha desarrollado, permitira concluir facilmente el teorema masimportante de esta tesis.

Lema 2.14. Sean p un primo impar, b un entero, k un entero positivo y qun primo tal que q ≡ 1(mod pk). Si la ecuacion xpk − b ≡ 0(mod q) admiteuna solucion, el polinomio se factoriza completamente modulo q.

Demostracion. Si q | b, se factoriza completamente de una manera trivial,entonces supongase que q - b. El subgrupo multiplicativo de Z/qZ es cıclicoy tiene cardinalidad q − 1, que es divisible entre pk, por lo tanto existe almenos un elemento de orden exactamente pk. Sea ξ uno de estos elementos.Supongase que la ecuacion en cuestion tiene solucion, y sea ζ una solucion.Sea

S = {ζξr ∈ Z/qZ | 0 ≤ r ≤ pk − 1 r entero}.

S tiene exactamente pk elementos, pues si ζξr1 ≡ ζξr2 (mod q) se tiene queξr1−r2 ≡ 1(mod q) (pues ζpk ≡ b(mod q) y b es invertible), y como el ordende ξ es exactamente pk, el rango de valores de r1 y r2 implica r1 = r2.Ademas, todos los elementos de S son soluciones de la ecuacion, pues

(ζξr)pk ≡ ζpk(ξpk

)r ≡ b · 1r ≡ b(mod q).

Se concluye quexpk − b ≡

∏s∈S

(x− s)(mod q).

Teorema 2.15. Sean p un primo impar, k un entero positivo y b un enterotal que la ecuacion xpk − b ≡ 0(mod q) tiene solucion para cofinitos primosq. Entonces b es una potencia pk-esima perfecta.

Demostracion. Se hara por induccion sobre k. El caso k = 1 es el Teo-rema 2.9. Supongase entonces k ≥ 2 y que b no es una potencia pk-esi-ma perfecta. Si la ecuacion xpk − b ≡ 0(mod q) admite soluciones pa-ra cofinitos primos q, la ecuacion xpk−1 − b ≡ 0(mod q) tambien admite

21


soluciones para cofinitos primos q, por lo tanto b debe ser una potenciapk−1-esima perfecta, por hipotesis de induccion. Sea a un entero tal queapk−1

= b. Como b no es potencia pk-esima perfecta, a no es una potenciap-esima perfecta. Considerese entonces la ecuacion xpk − apk−1 ≡ 0(mod q).Por el Lema 2.14, si q es de la forma pkr + 1, la existencia de una solucionmodulo q implica la ruptura total del polinomio modulo q. Puesto que

xpk − apk−1=

(xpk−1 − apk−2

)· xpk − apk−1

xpk−1 − apk−2 ,

el polinomioxpk − apk−1

xpk−1 − apk−2

se factoriza completamente modulo q, es decir, tiene factorizacion tipo1, 1, . . . , 1. Por el Lema 2.12, el polinomio es irreducible. Sea S el conjuntode primos no ramificados tales que el polinomio se factoriza completamentey sea G el grupo de Galois de este polinomio. G tiene una unica permutacionde tipo 1, 1, . . . , 1, ası que el teorema de Frobenius junto con el Lema 2.13implican que la densidad de S es

δ(S) =1|G|

=1

pk(p− 1).

Finalmente, el teorema de Dirichlet (Teorema 1.7) implica que la densidaddel conjunto de primos de la forma pkr + 1 es

1ϕ(pk)

=1

pk−1(p− 1)= p · δ(S).

Esto ultimo implica que existen infinitos primos q de la forma pkr + 1 talesque el polinomio no se factoriza completamente, pues la densidad del con-junto de los primos de la forma pkr+1 es p veces la densidad S. Esto implicaque la ecuacion xpk − b ≡ 0(mod q) no puede tener solucion para infinitosprimos q, completando la hipotesis de induccion.

Ahora, un corolario sorprendente, pero facil de probar gracias a la teorıadesarrollada.

Corolario 2.16. Sea n un entero positivo. Si 8 - n y la ecuacionxn− a ≡ 0(mod p) tiene solucion para cofinitos primos p, a es una potencian-esima perfecta.

22


Demostracion. Si 8 - n, sea qk una potencia impar que divide a n (los casosn = 2 y n = 4 ya fueron tratados). Por el Teorema 2.15, a es una potencia qk-esima perfecta (y los exponentes de los primos que dividen a a son multiplosde qk). Procediendo de igual manera para todas las potencias primas imparesque dividen a n, y aplicando el Teorema 2.2 o 2.3 (dependiendo de si n esdivisible por 2, 4 o ninguno) se concluye que los exponentes de los primosque dividen a a son multiplos de n, y por lo tanto, es una potencia n-esimaperfecta.

Comentario: Si n y a son como en el corolario anterior y 8 | n, existeninfinitos enteros a tales que la ecuacion xn − a ≡ 0(mod p) tiene solucionpara todo primo p, pero a no es una potencia n-esima perfecta, pues se sabeque la ecuacion x8 − 16 ≡ 0(mod p) tiene solucion para todo primo p, porlo tanto,

x8 ≡ 16(mod p)(x8)

n8 ≡ 16

n8 (mod p)

xn ≡ 16n8 (mod p)

(xb)n ≡ 16n8 bn (mod p)

y para todo entero diferente de 0 la ecuacion xn − 16n8 bn ≡ 0(mod p) tiene

solucion para todo primo p pero 16n8 bn no es una potencia n-esima perfecta.

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Capıtulo 3

Los numeros p-adicos

Es posible que una ecuacion tenga solucion modulo p, pero que no tengasolucion modulo pk para algun k > 1, en cuyo caso, la ecuacion no puedetener solucion en enteros. Por esto, mirar modulo p no siempre es suficiente,como se mostro en la seccion anterior con la ecuacion x8 − 16. Uno querrıamirar entonces la ecuacion modulo m para todo m entero positivo y ası con-cluir que la solubilidad en todos los modulos implica la solubilidad en enteros(o en racionales), pero lamentablemente esto tampoco es suficiente. Graciasal teorema chino del residuo, tener solucion modulo m para todo entero po-sitivo m es equivalente a tener solucion modulo pk para todo primo p y todoentero positivo k. En este caso, la ecuacion x8 − 16 ya no es util, pues estano tiene solucion modulo 32. Analizar ecuaciones modulo p es mas sencillo,pero afortunadamente, analizar ecuaciones modulo p no esta muy distantede analizarlas modulo pk, y dentro de poco se definira un anillo que analizaal mismo tiempo modulo pk para todo k entero positivo. Este anillo se de-nomina el anillo de los enteros p-adicos y se denota por Zp. Se define de lasiguiente manera.

3.1. Preliminares

Definicion 3.1. Sea p un numero primo y sea

Ap = · · · × Z/pkZ× · · · × Z/p2Z× Z/pZ

el producto cartesiano de los anillos Z/pkZ con k entero positivo. Sea

lım←−

Z/pkZ = Zp ⊆ Ap

24

3.1. Preliminares 3. Los numeros p-adicos

el lımite inverso de los anillos Z/pkZ con los mapas naturales (de proyeccion),es decir, la tupla

(. . . , ak, . . . , a2, a1) ∈ Zp

si para todo i > j ≥ 1 se tiene que ai ≡ aj (mod pj). La suma y el productose definen componente a componente.

A priori, no es claro que Zp sea un dominio entero, pero esto se evidenciaen el siguiente resultado.

Proposicion 3.2. El anillo Zp es un dominio entero.

Demostracion. Sean a, b ∈ Zp tales que a, b 6= 0. Sean ak1 y bk2 las primerasentradas no nulas de a y b respectivamente.

ak1+k2−1 ≡ ak1 6≡ 0(mod pk1) y bk1+k2−1 ≡ bk2 6≡ 0(mod pk2)

y

ak1+k2−1 ≡ ak1−1 ≡ 0(mod pk1) y bk1+k2−1 ≡ bk2−1 ≡ 0(mod pk2)

por lo tanto ak1+k2−1 = pk1−1q1 y bk1+k2−1 = pk2−1q2 con (p, q1q2) = 1. Seconcluye que la componente k1 + k2 − 1 es

ak1+k2−1bk1+k2−1 = pk1+k2−2q1q2 6≡ 0(mod pk1+k2−1),

por lo tanto ab 6= 0.

Si a cada Z/pkZ se le asigna la topologıa discreta, cada uno resultacompacto, y su producto Ap es compacto con la topologıa producto (teoremade Tychonoff). Como Zp es un subespacio de Ap, si Zp resultare cerrado,serıa compacto tambien.

Proposicion 3.3. Zp es un subespacio cerrado de Ap.

Demostracion. Sea a = (. . . , ak, . . . , a2, a1) un elemento de Zcp. Existen dos

enteros positivos n y m con n > m tales que an 6≡ am (mod pm). Sea B elabierto basico que en su n-esima componente vale an (pertenece al abierto{an}), en su m-esima componente vale am (pertenece al abierto {am}) yen las demas componentes vale cualquier cosa (el abierto que consiste delanillo completo). Claramente B ∩ Zp = ∅, por lo tanto B ⊆ Zc

p, de maneratal que Zc

p es abierto, pues todos los puntos son interiores, haciendo Zp unsubespacio cerrado.

25

3. Los numeros p-adicos 3.1. Preliminares

Los siguientes hechos acerca de Zp pueden encontrarse en el capıtulo 2de [4].

Proposicion 3.4. Sea Up el conjunto de las unidades de Zp.

1. Para todo a ∈ Zp, a ∈ Up si y solo si p - a.

2. Cada elemento no nulo de Zp se puede escribir de manera unica comopnu con u ∈ Up y n un entero no negativo.

3. Si vp(a) denota el entero n especificado en la propiedad anterior (lla-mado valuacion p-adica de a), donde vp(0) = +∞, la topologıa en Zp

se puede definir mediante la metrica

d(x, y) = e−vp(x−y).

4. vp(ab) = vp(a) + vp(b) y vp(a+ b) ≥ mın{vp(a), vp(b)}.

5. Zp es un espacio completo.

6. Z es denso en Zp.

Dado que es un dominio entero, se puede tomar su campo de fracciones.

Definicion 3.5. El campo de fracciones de Zp se llama el campo de losnumeros p-adicos y es denotado por Qp.

La valuacion de Zp se puede extender a una valuacion en Qp, puesto queQp = Zp[p−1], y ademas es trivial que ∀x ∈ Qp(x ∈ Zp ↔ vp(x) ≥ 0).

En [4], se menciona que la construccion de Qp como el campo de fraccio-nes de Zp, donde Zp es el lımite inverso de la Definicion 3.1 es equivalente ala construccion completando Q con la norma p-adica, definida como

d(x, y) = e−vp(x−y),

donde vp(m) se define como el exponente de p de la factorizacion prima dem para m entero no nulo, vp(0) = +∞ y si r = a

b , se define, sin ambiguedad,vp(r) = vp(a)− vp(b).

Una de las herramientas mas poderosas en los campos p-adicos es el fa-moso Lema de Hensel y el Teorema que este prueba. Estos, permiten levantarsoluciones modulo p a soluciones modulo pk y a soluciones p-adicas.

26

3.2. Principio de Hasse 3. Los numeros p-adicos

Lema 3.6. (Lema de Hensel) Sea f(x) ∈ Zp[x] y sea f ′(x) su derivadaformal. Sean a ∈ Zp y n, k ∈ Z tales que

0 ≤ 2k < n, vp(f ′(a)) = k y f(a) ≡ 0(mod pn).

Entonces existe b ∈ Zp tal que

f(b) ≡ 0(mod pn+1), vp(f ′(b)) = k, y b ≡ a(mod pn−k).

Teorema 3.7. Sea f(x1, x2, . . . , xm) ∈ Zp[x1, x2, . . . , xm], a ∈ (Zp)m,n, k ∈ Z y 1 ≤ j ≤ m un entero tales que

0 ≤ 2k < n, vp

(∂f

∂xj(a)

)= k y f(a) ≡ 0(mod pn).

Entonces existe b ∈ (Zp)m tal que f(b) = 0 y b ≡ a(mod pn−k).

Las demostraciones se pueden encontrar en [4] tambien, junto con elhecho (evidente) que un polinomio homogeneo tiene solucion no trivial en(Qp)m si y solo si admite una solucion primitiva en (Zp)m (es decir, unasolucion en donde al menos una de las componentes no sea divisible entre p,o, equivalentemente, sea invertible).

Ya armados con el bagaje teorico necesario, se comenzara a estudiar lasecuaciones en los campos p-adicos.

3.2. Principio de Hasse

Sea f(x1, x2, . . . , xm) un polinomio de coeficientes enteros. Al analizarla ecuacion

f(x1, x2, . . . , xm) = 0, (3.1)

y buscar soluciones en Qm, claramente, la existencia de estas implicara laexistencia de soluciones en Rm y en (Qp)m para todo primo p, puesto quetodos contienen a Q como subcampo. Cabe hacer la pregunta en la otradireccion, es decir, si la ecuacion 3.1 tiene solucion en Rm y en (Qp)m paratodo primo p, ¿es posible concluir que la ecuacion tiene solucion en Qm

tambien?

Lamentablemente, la respuesta a este interrogante no siempre es afirma-tiva, pero existen familias de ecuaciones que sı permiten concluirlo. Si unaecuacion responde afirmativamente el interrogante, se dice que satisface el

27

3. Los numeros p-adicos 3.2. Principio de Hasse

Principio de Hasse, y si lo responde negativamente, se dice que no lo satis-face. En caso en que la ecuacion sea homogenea, la solucion trivial no estomada en cuenta para decidir si aquella satisface el Principio de Hasse ono. Si una ecuacion tiene solucion en R y en Qp para todo primo p, se diceque la ecuacion cumple la condicion de Hasse.

Considerese, inicialmente la ecuacion

ax2 + bxy + cy2 = 0 (3.2)

en cada uno de los campos p-adicos.

Proposicion 3.8. La ecuacion 3.2 satisface el principio de Hasse.

Demostracion. Si alguno entre a y c es 0 (o ambos), 3.2 se convierte en unaecuacion trivial, que claramente tiene solucion en R, Qp para todo primo py Q, por lo tanto en este caso satisface el principio de Hasse.

Como la ecuacion es homogenea, si admite solucion en Qp, admite so-lucion primitiva en Zp, entonces supongase sin perdida de generalidad quey es invertible. Al multiplicar la ecuacion por 4a, completar el cuadrado ymultiplicar por el cuadrado del inverso de y, se obtiene

(2ax+ by)2y−2 = b2 − 4ac.

Esto implica que b2−4ac es un cuadrado en Zp, por lo tanto ademas es resi-duo cuadratico modulo p. Aplicando el Teorema 2.2, se concluye que b2−4aces un cuadrado perfecto. Ahora, analizando la ecuacion en Q, asignandole ay cualquier valor no nulo, se puede despejar x de la ecuacion, siendo

x = y · −b±√b2 − 4ac

2a,

por lo tanto la ecuacion tiene solucion en Q y satisface el principio de Hasse.

Notese que en este caso no fue necesario analizar la ecuacion en R, ypuesto que el Teorema 2.2 solo necesita la solubilidad de la ecuacion modulocofinitos primos p, tampoco era necesario mirar todos los campos p-adicos(aunque sı casi todos). Pero hay veces donde sı es necesario, como por ejem-plo en la siguiente proposicion.

Proposicion 3.9. La ecuacion

P (x, y, z, u, v) = x2 + y2 + z2 + u2 + v2 = 0

admite solucion en Qp para todo primo p, pero no admite solucion ni en Rni en Q.

28


Demostracion. Primero, si p es un primo impar, por el teorema de los cuatrocuadrados (ver [2]), existen enteros a, b, c, d tales que p = a2 + b2 + c2 + d2.Todos son menores que p y mayores o iguales que 0, pero no todos son 0,por lo tanto al menos uno de ellos no es divisible entre p. Sin perdida degeneralidad, supongase a ≥ b ≥ c ≥ d en el orden usual de Z. p > a > 0, por

lo tanto a es invertible en Zp. Ademas,∂P

∂x(a, b, c, d, 0) = 2a y como 2 y a

son invertibles, 2a tambien, por lo tanto vp(2a) = 0. Aplicando el Teorema3.7 con k = 0 en la variable x, se obtiene una solucion p-adica de la ecuacion,levantando la solucion (a, b, c, d, 0).

Ahora, para p = 2, se tiene

12 + 12 + 12 + 12 + 22 = 8 ≡ 0(mod 23),

entonces, dado que

v2

(∂P

∂x(1, 1, 1, 1, 2)

)= v2(2) = 1,

se puede aplicar el Teorema 3.7 con n = 3 y k = 1 para levantar la solucion(1, 1, 1, 1, 2) a una solucion 2-adica.

Finalmente, si x, y, z, u, v ∈ R, x2 + y2 + z2 + u2 + v2 ≥ 0 con igualdadsi y solo si x = y = z = u = v = 0, por lo tanto la ecuacion no admitesoluciones no triviales y por ende, tampoco admite soluciones racionales notriviales.

Para tener soluciones 2-adicas a la ecuacion de la proposicion anterior,era necesario tomar por lo menos cinco variables, pues la ecuacion

x2 + y2 + z2 + w2 ≡ 0(mod 8)

no tiene solucion no trivial, luego, es imposible obtener una solucion primi-tiva en Z2, de donde la ecuacion no tiene soluciones en Q2. Si p es un primode la forma 4k+ 3, para obtener soluciones p-adicas, es necesario tomar por

lo menos tres variables, pues, como(−1p

)= −1, la ecuacion

x2 + y2 ≡ 0(mod p)

no tiene soluciones no triviales, y dado que existen enteros a y b tales quep | a2 + b2 + 1 (puesto que los conjuntos{

02, 12, . . . ,

(p− 1

2

)2}

y

{−1− 02, −1− 12, . . . , −1−

(p− 1

2

)2}

29


tienen p+ 1 elementos entre los dos, por lo tanto modulo p necesariamentealgun elemento se tiene que repetir, y este elemento repetido no puede es-tar en el mismo conjunto, porque todos los cuadrados de los primeros p−1

2enteros son diferentes modulo p, ver [7]), de donde, al considerar la ecuacion

x2 + y2 + z2 = 0,

la solucion (a, b, 1) se levanta a una solucion p-adica (las valuaciones de lastres derivadas parciales son 0). Finalmente, si p es de la forma 4k + 1, dosvariables resultan suficientes, pues existen enteros a y b tales que p = a2+b2,y la solucion se levanta de la misma manera que en la demostracion de laproposicion anterior. Las formas cuadraticas ya han sido bien estudiadas yen [4] esta la demostracion de que estas satisfacen el principio de Hasse,ası que normalmente es necesario revisar la solubilidad de la ecuacion en Rtambien para decidir la solubilidad en Q.

Volviendo a las ecuaciones de la forma xn − a con a entero (no nulo), alhomogeneizar, se tiene la ecuacion

xn − ayn = 0,

con y 6= 0. Como a 6= 0, x 6= 0 tambien. Si la ecuacion tiene solucion enQp, tiene una solucion primitiva en Zp. Sea (r, s) una solucion primitivaentonces.

Caso 1: Si s es invertible,(rs−1) = a,

de donde, dejando x ser la proyeccion de rs−1 en la primera componente, setiene la solubilidad de la ecuacion

xn − a ≡ 0(mod p).

Caso 2: Si r es invertible,1 = a(sr−1),

de donde, dejando x ser la proyeccion de sr−1 en la primera componente, setiene la igualdad

xna ≡ 1(mod p),

de donde x es invertible modulo p. Si se denota por x su inverso, nuevamentese obtiene la solubilidad de la ecuacion

xn − a ≡ 0(mod p).

30


Como en cualquiera de los dos casos se obtiene la solubilidad de la ecua-cion xn − a modulo p, si se tiene la solubilidad en Qp para cofinitos primosp, por el Corolario 2.16, si 8 - n, se concluye que a es una potencia n-esimaperfecta, de donde la ecuacion xn − a tiene solucion en Z, implicando susolubilidad en Q, satisfaciendo el principio de Hasse.

Afortunadamente, cuando las ecuaciones se consideran en los camposp-adicos y no solamente en modulo p, no es necesaria la hipotesis 8 | n. Esdecir, las ecuaciones de la forma xn−a, y su homogeneizacion xn−ayn, cona un entero, satisfacen el principio de Hasse, aun sin chequear la solubilidaden R, como se ilustra en el siguiente teorema, mostrando una clara ventajade Zp con respecto a modulo p.

Teorema 3.10. Sea a un entero diferente de 0. Las ecuaciones

xn − a = 0 y xn − ayn = 0

satisfacen el principio de Hasse.

Demostracion. Si la segunda ecuacion admite soluciones no triviales en Qp,admite soluciones primitivas en Zp, puesto que es homogenea. Si p | y en lasegunda ecuacion, p | x, implicando que la solucion no serıa primitiva, por lotanto existen soluciones con y invertible. Si xn = ayn en Qp, sea z = xy−1,haciendo zn = a, por lo tanto las ecuaciones son equivalentes. Considereseentonces solamente la primera de ellas.

Al tomar valuaciones p-adicas en ambos lados de la ecuacion y usar laproductoaditividad de estas, se obtiene

nvp(x) = vp(xn) = vp(a).

Puesto que a es un entero racional, la ecuacion nvp(x) = vp(a) implica queel exponente de p en la factorizacion prima de a es multiplo de n. Si n esimpar, solo esta condicion implica que a es una potencia n-esima perfecta,dandole solucion entera (y por lo tanto racional) a la ecuacion xn−a = 0. Sin es par, se tiene que la ecuacion x2−a tiene solucion en Qp (si b es solucionde xn−a = 0, bn/2 es solucion de x2−a = 0). Como esta satisface el principiode Hasse (de los comentarios previos a este teorema, o de la Proposicion 3.8aplicada a x2 − ay2), a es positivo, implicando entonces que a es un enteropositivo tal que sus exponentes en la factorizacion prima son todos multiplosde n, haciendolo una potencia n-esima perfecta, dandole solucion entera ala ecuacion, y por ende, racional. Se conluye el resultado.

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Hasta el momento, solo se han proporcionado ejemplos de ecuacionesque satisfacen el principio de Hasse, y los contraejemplos que se han da-do, son contraejemplos solo con las hipotesis debilitadas. El siguiente es uncontraejemplo al principio de Hasse.

Proposicion 3.11. La ecuacion

x4 − 41y4 = 2z2

admite solucion real no trivial y solucion no trivial en Qp para todo primop, pero no admite solucion racional no trivial.

Demostracion. Considerese

α1 = (3, 1, 2√

5)α2 = (2, 1, 5

√−1)

α3 = (1, 1, 2√−5)

α4 = (3, 1, 2).

α1 es solucion en R.

Si p es un primo de la forma 4k + 3,(−5p

) (5p

)=

(−1p

) (5p

)2

= −1,

por lo tanto exactamente uno entre −5 y 5 es un cuadrado modulo p. Sea beste cuadrado, entonces la ecuacion x2 − b tiene a 5 como solucion modulop, 2 · 5 6≡ 0(mod p), por lo tanto al aplicar el Teorema 3.7, se tiene que

√5

o√−5 pertenecen a Zp, de donde α1 o α3 son soluciones de la ecuacion en

Qp.

Si p es un primo de la forma 4k + 1,(−1p

)= 1, por lo tanto −1 es

un cuadrado modulo p. La ecuacion x2 + 1 admite solucion modulo p, y,aplicando nuevamente el Teorema 3.7,

√−1 pertenece a Zp, de donde α2 es

solucion en Qp.

Si p = 2, α4 es solucion modulo 32 = 25, y si P (x, y, z) = x4−41y4−2z2,

v2

(∂P

∂x(3, 1, 2)

)= v2(4 · 33) = 2.

Se tiene entonces

0 ≤ 2v2

(∂P

∂x(3, 1, 2)

)< 5,

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por lo tanto, aplicando el Teorema 3.7, α4 se levanta a una solucion en Z2,de donde α4 es solucion en Q2.

Ahora, supongase que existe una solucion racional (x, y, z). Multiplican-do por la potencia cuarta del denominador comun de x, y y z, se obtieneuna solucion entera de la ecuacion. Ahora, si p es un primo que divide a x,y y z, p4 divide el lado izquierdo, por lo tanto p4 divide el lado derecho, que

implica que p2 divide a z y la tripla de enteros(x

p,y

p,z

p2

)serıa una solucion

tambien, por lo tanto se puede asumir que (x, y, z) = 1. Sea p un primo talque p | y y p | z. Entonces p | 2z2 + 41y4, de donde p | x, contradiciendo elhecho que (x, y, z) = 1, y, por tanto, (y, z) = 1.

Sea p un divisor primo impar de z. Entonces

x4 ≡ 41y4 (mod p),

y como p - y, y es invertible modulo p, de manera tal que 41 es un residuocuadratico modulo p. Por la ley de reciprocidad cuadratica,(

41p

) ( p

41

)= 1,

de donde p es residuo cuadratico modulo 41 tambien, pues( p

41

)resulta ser

1, ya que(

41p

)= 1. Escribiendo z = 2rs, con s impar, se obtiene que s es

producto de cuadrados modulo 41, pues todos los divisores primos imparesde z son residuos cuadraticos modulo 41. Sea b tal que b2 ≡ s(mod 41).Notese que (b, 41) = 1, pues de lo contrario, 41 | z, de donde 41 | x, dedonde 41 | y, dando una contradiccion. Sea b el inverso de b modulo 41. Setiene entonces la siguiente cadena de equivalencias:

z ≡ 2rb2 (mod 41)z2 ≡ 22rb4 (mod 41)

2z2 ≡ 22r+1b4 (mod 41)x4 ≡ 22r+1b4 (mod 41)

(xb)4 ≡ 22r+1 (mod 41),

ası que 2 es una potencia cuarta modulo 41.Se sabe que

242 ≡ 2(mod 41),

33


de donde, si t4 ≡ 2(mod 41), se tiene necesariamente que

t4 ≡ 242 (mod 41),

o equivalentemente

(t2 − 24)(t2 + 24) ≡ 0(mod 41).

Finalmente,(−2441

)=

(2441

)=

(241

)3 (341

)=

(413

)=

(23

)= −1,

por lo tanto la ecuacion

(t2 − 24)(t2 + 24) ≡ 0(mod 41)

no puede tener solucion, obteniendo una contradiccion. Se concluye que laecuacion no tiene soluciones racionales.

La unica debilidad del contraejemplo anterior, es que la ecuacion no eshomogenea, puesto que el lado izquierdo es de grado cuatro y el lado derechoes de grado dos. No obstante, se dice que viola el principio de Hasse, debidoa que la unica solucion racional es la solucion trivial, mientras que en R yen todos los campos p-adicos se tienen soluciones no triviales. Para terminarel trabajo, se ofrece una familia de contraejemplos al principio de Hasse deecuaciones homogeneas de dos variables.

Proposicion 3.12. Sean p y q primos impares diferentes tales que p ≡ 1(mod 8) y (

p

q

)=

(q

p

)= 1.

Entonces la ecuacion

(x2 − py2)(x2 − qy2)(x2 − pqy2) = 0

viola el principio de Hasse.

Demostracion. Como ±√p, ±√q y ±√pq son irracionales, si y es diferentede 0, la ecuacion no puede tener solucion racional, puesto que x

y deberıatomar alguno de estos valores. Si y = 0, necesariamente x = 0, dando unasolucion trivial. Se concluye que la ecuacion no tiene soluciones racionalesno triviales y que (

√p, 1) es una solucion real.

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Como p ≡ 1(mod 8), la ecuacion x2 − p ≡ 0(mod 8) tiene solucion,llamese a (que claramente es impar). v2(2a) = 1, entonces 0 ≤ 2 · 1 < 3 ypor el Teorema 3.7 la solucion se levanta a una solucion 2-adica y

√p ∈ Z2

de donde (√p, 1) es una solucion 2-adica de la ecuacion.

Como(p

q

)= 1, la ecuacion x2−p ≡ 0(mod q) tiene solucion, llamese a

(que claramente no es 0 modulo q). vq(2p) = 0, entonces, por el Teorema 3.7,la solucion se levanta a una solucion q-adica y

√p ∈ Zq, de donde (

√p, 1) es

solucion q-adica de la ecuacion. Analogamente, (√q, 1) es solucion p-adica

de la ecuacion.

Si r es un primo diferente de p y q,(pr

) (qr

)=

(pqr

),

por lo tanto alguna de las ecuaciones x2− p ≡ 0(mod r), x2− q ≡ 0(mod r)o x2 − pq ≡ 0(mod r) tiene que tener solucion, puesto que los tres sımbolosno pueden tomar el valor −1 y ninguno es 0. De la misma manera anterior,aplicando el Teorema 3.7, se concluye que al menos uno entre

√p,√q y

√pq

esta en Zr, por lo tanto alguna entre (√p, 1), (

√q, 1) o (

√pq, 1) es solucion

r-adica.

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Bibliografıa

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soluciones racionales a ecuaciones polinomiales: una

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