FUNCIÓN POLINOMIAL

Ing. Caribay Godoy

OBJETIVOS

Definir una función polinomial.

Reconocer la función constante, lineal y cuadrática como casos particulares de una función polinomial

Identificar el coeficiente principal de una función polinomial.

Explorar mediante el uso de recursos tecnológicos un conjunto de gráficas de funciones polinomiales de grado diferente par e impar, donde se relacione su regla de correspondencia con su comportamiento cuando:

el número de intersecciones con el eje x

intersección con el eje y

cambio en el signo del coeficiente principal

Multiplicidad de los ceros

x

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FUNCIÓN POLINOMIAL

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FUNCIÓN POLINOMIAL

𝑓 𝑥 = 3𝑥5 + 𝑥4 − 4𝑥3 + 6𝑥 − 2

COEFICIENTES: son cada uno de los números que multiplican a las potencias (variables).

GRADO DE UN POLINOMIO: es igual al exponente de la máxima potencia con coeficiente distinto de cero

COEFICIENTE PRINCPAL DE UN POLINOMIO: es el coeficiente (diferente de cero) de la máxima potencia que aparece en el polinomio.

TERMINO CONSTANTE: corresponde a la constante que no está asociada a ninguna potencia.

OJO: En problemas de aplicación podremos utilizar la expresión 𝑥0 y para estos casos 𝑥 ≠ 0Ing. Caribay Godoy

DETERMINA:

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FUNCIÓN LINEAL

FUNCIÓN CUADRÁTICA

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FUNCIÓN LINEAL

En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es

una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya

representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función

se puede escribir como:

𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏

El conocimiento de que cualquier ecuación de la forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 𝐶, produce una gráfica en línea recta, junto con el hecho de que dos puntos determinan una línea recta, hace que la graficación de ecuaciones lineales sea un proceso sencillo.

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FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

Forma General 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

Forma Pendiente – intersección al origen 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Forma Punto Pendiente 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

Recta Vertical 𝑥 = 𝑎

Recta Horizontal 𝑦 = 𝑏

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GRAFIQUE:

𝑦 = −4𝑥 + 1

𝑥 + 2𝑦 = 4

𝑦 = 𝑥 + 3

𝑦 = 𝑥

𝑥 = 5

𝑦 = 0

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FUNCIÓN CUADRÁTICA

En matemáticas, una función cuadrática ofunción de segundo grado es una funciónpolinómica definida como:

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 = 36

𝑦2 + 4𝑦 = 03𝑛2 + 2𝑛 − 1 = 0

5𝑥2 + 𝑥 + 2 = 3𝑥2 − 2𝑥 − 1

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FUNCIÓN CUADRÁTICA

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

La gráfica de una función cuadrática corresponde a una parábola vertical con vértice en

El punto de intersección con el eje y se obtienen haciendo x = 0.

Los puntos de intersección con el eje x, se obtienen haciendo y = 0, quedando 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Las raíces de la ecuación polinomial se determinan ya sea por factorización o aplicando la formula general

𝑟1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Estos puntos de intersección vendrían siendo 𝐴1 = 𝑟1, 0 𝑦 𝐴2 = (𝑟2, 0), a estos puntos se le llaman los “ceros de la función”

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FUNCIÓN CUADRÁTICA

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

De acuerdo al estudio del tipo de raíces de la ecuación de segundo grado, estas pueden ser:

Reales distintas

Raíces Reales iguales

Complejas (imaginarias)

Esta información la obtendremos analizando el radicando de 𝑟1,2 =−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠

< 0 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠

= 0 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜, 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠

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FUNCIÓN CUADRÁTICA

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GRAFIQUEMOS LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Grafique las siguientes funciones cuadráticas. Encuentre los ceros de las funciones:

𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 2𝑥 − 12

1. 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 9𝑥 + 12

2. 𝑓 𝑥 = −𝑥2 − 2𝑥 − 3

3. 𝑓 𝑥 = −7𝑥2 − 4𝑥 + 5

4. 𝑓 𝑥 = −5𝑥2 + 6𝑥 − 10

5. 𝑓 𝑥 = 7𝑥2 − 8𝑥 − 2

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FUNCIÓN POTENCIAGRÁFICAS DE FUNCIONES POLINOMIALES DESPLAZADAS

Un caso especial de la función polinomial es la función polinomial de un solo término o monomial.

*𝒇 𝒙 = 𝒙𝒏, 𝒄𝒐𝒏 𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐

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FUNCIÓN POTENCIAGRÁFICAS DE FUNCIONES POLINOMIALES DESPLAZADAS

Para graficar una función polinomial podemos recordar como se transforma la función básica:

𝒚 = 𝒂𝒙𝒏 + 𝒄

𝒚 = 𝒂𝒙𝒏 − 𝒄

𝒚 = 𝒂(𝒙 + 𝒄)𝒏

𝒚 = 𝒂(𝒙 − 𝒄)𝒏

Desplazamiento hacia arriba

Desplazamiento hacia abajo

Desplazamiento a la izquierda

Desplazamiento a la derecha

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FUNCIONES POLINOMIALES MAYORES QUE 2

𝑓 𝑥 = 5𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 4 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 3

𝑓 𝑥 = −2𝑥4 − 5𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 − 1 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 4

𝑓 𝑥 = 3𝑥5 + 2𝑥2 − 3 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 5

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GRÁFICAS DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL

PRUEBA DEL COEFICIENTE PRINCIPAL:

Cuando x mueve sin límite a la izquierda o a la derecha, la gráfica de la función polinomial sube o baja de la siguiente manera:

Si n es impar:

Si el coeficiente principal 𝑎𝑛 > 0 el gráfico cae a la izquierda y sube a la derecha.

Si el coeficiente principal 𝑎𝑛 < 0 el gráfico cae a la derecha y sube a la izquierda. Ing. Caribay Godoy

GRÁFICAS DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL

PRUEBA DEL COEFICIENTE PRINCIPAL:

Cuando x mueve sin límite a la izquierda o a la derecha, la gráfica de la función polinomial sube o baja de la siguiente manera:

Si n es par:

Si el coeficiente principal 𝑎𝑛 > 0 el gráfico se eleva de izquierda a derecha

Si el coeficiente principal 𝑎𝑛 < 0 el gráfico cae de izquierda a derecha

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EJEMPLOS

Describe el comportamiento de las siguientes funciones polinómicas:

Ing. Caribay Godoy

Debido a que el grado es impar y el coeficiente principal es negativo, el gráfico se eleva a la izquierda y cae a la derecha.

Ing. Caribay Godoy

Debido a que el grado es par y el coeficiente principal es positivo, el gráfico se eleva a la izquierda y derecha.

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Debido a que el grado es impar y el coeficiente principal es positivo, el gráfico cae a la izquierda y se eleva hacia la derecha.

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ACTIVIDAD EN CLASES

Encuentra el grado y coeficiente principal. A continuación, defina el comportamiento de él es gráfico usando la prueba coeficiente principal:

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