formulario de matemáticas

XVIII Evento Nacional de Ciencias Básicas de los Institutos Tecnológicos 2011 Etapa Nacional

ÍNDICE

MATEMÁTICAS 1

Geometría 1

Trigonometría 2

Números Complejos 2

Geometría Analítica del Espacio 3

Reglas Generales de Derivación 4

Tablas de Integrales 6

Vectores 10

Integrales Múltiples 11

Fórmulas Misceláneas 13

FÍSICA 14

Cinemática 14

Dinámica 14

Trabajo, Energía y Conservación de la Energía 15

Impulso e Ímpetu 15

Electricidad y Magnetismo 15

Constantes 18

Factores de conversión 19

QUÍMICA 20

Formulario de química 20

Tabla Periódica de los Elementos 21

Serie Electroquímica de los Metales 22

Tabla de Pesos Atómicos 23


1

FORMULARIO DE MATEMÁTICAS

Geometría

Volumen 43

3r

Área de la Superficie 4 2 r

r

Volumen r h2

Área de la superficie lateral 2rh

r

h

Volumen 13

2r h

Área de la superficie lateral r r h r l2 2

h

r

l

Volumen 1

3

2 2 h a ab b

Área de la superficie lateral

a b h b a

a b l

2 2

h

a

b

l


2

Trigonometría

sen cos2 2 1A A sen cos2 12

12 2A A

sec tan2 2 1A A cos cos2 12

12 2A A

csc cot2 2 1A A sen sen cos2 2A A A

tansen

cosA

A

A cos cos sen2 2 2A A A

cotcos

senA

A

A sen sen cos cos senA B A B A B

sen cscA A1 cos cos cos sen senA B A B A B

cos secA A1 tan A BtanA tanB

tanAtanB

1

tan cotA A1 sencosA A

2

1

2

sen sen A A cos

cosA A

2

1

2

cos cos A A sen sen cos cosA B A B A B 1

2

AA tantan sen cos sen senA B A B A B 1

2

cos cos cos cosA B A B A B 1

2

Las leyes siguientes son validas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B,

C.

Ley de los senos a

A

b

B

c

Csen sen sen

Ley de los cosenos

c a b ab C2 2 2 2 cos

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

Ley de las tangentes

a b

a b

tan A B

tan A B

1

2

1

2

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

A

B

C

a

c

b

Números Complejos

Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que

r i r p i pp pcos sen cos sen

Sea n cualquier entero positivo y pn

1 , entonces

r i r in n kn

kncos sen cos sen

1 1 2 2


3

donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número

complejo haciendo 1,,2,1,0 nk

Geometría Analítica del Espacio

Considerando P x y z1 1 1 1 , , y P x y z2 2 2 2 , ,

Vector que une P1 y P2 :

PP x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1 , , , ,

Distancia entre dos puntos:

d x x y y z z l m n 2 1

2

2 1

2

2 1

22 2 2

Recta que pasa por dos puntos:

- Forma Paramétrica: x x l t 1

y y mt 1 z z nt 1

-Forma Simétrica:

tx x

l

1 ty y

m

1 tz z

n

1

Cosenos Directores:

cos

x x

d

l

d

2 1 cos

y y

d

m

d

2 1 cos

z z

d

n

d

2 1

donde , , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva

de los ejes x, y, z respectivamente.

Ecuación del Plano:

- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a

1 2 3, , :

a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0

-Forma General: Ax By Cz D 0

cos cos cos2 2 2 1 o l m n2 2 2 1

Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0

dAx By Cz D

A B C

0 0 0

2 2 2

en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.


4

Coordenadas cilíndricas:

x r

y r

z z

cos

sen

o r x y

tan

z z

y

x

2 2

1

r

z

y

x

y

z

P(x,y ,z)(r,z){

x

O

Coordenadas esféricas:

x r

y r

z r

sen cos

sen sen

cos

o r x y z

tany

x

z

x y z

2 2 2

1

12 2 2

cos

z

y

x

y

P (r,{

(x,y ,z)

O

z

r

x

Ángulo entre dos rectas en el plano tan

m m

m m

2 1

1 21

Reglas Generales de Derivación d

dxc( ) 0

d

dxcx c

d

dxcx ncxn n 1

d

dxu v w

du

dx

dv

dx

dw

dx

d

dxcu c

du

dx

d

dxuv u

dv

dxv

du

dx

d

dxuvw uv

dw

dxu w

dv

dxv w

du

dx

d

dx

u

v

v dudx u dv

dx

v

2

d

dxu nu

du

dxn n 1

dF

dx

dF

du

du

dx (Regla de la cadena)

du

dx dxdu

1

dF

dx

dFdu

dxdu


5

Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas

d

dxu

e

u

du

dxa aa

aloglog

, 0 1

d

dxu

d

dxu

u

du

dxeln log

1

d

dxa a a

du

dx

u u ln

d

dxe e

du

dx

u u

d

dxu

d

dxe e

d

dxv u vu

du

dxu u

dv

dx

v v u v u v v ln ln ln ln1

Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas

d

dxu u

du

dxsen cos

d

dxu u

du

dxcot csc 2

d

dxu u

du

dxcos sen

d

dxu u u

du

dxsec sec tan

d

dxu u

du

dxtan sec 2

d

dxu u u

du

dxcsc csc cot

d

dxu

u

du

dxusen sen

1

2 2

1

2

1

1

d

dxu

u

du

dxucos cos

1

2

11

10

d

dxu

u

du

dxutan tan

1

2 2

1

2

1

1

d

dxu

u

du

dxucot cot

1

2

11

10

d

dxu

u u

du

dx u u

du

dx

si u

si usec

sec

sec

1

2 2

12

21

1

1

1

1

0

d

dxu

u u

du

dx u u

du

dx

si u

si ucsc

csc

csc

1

2 2

12

21

1

1

1

1

0

0

Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas

d

dxu u

du

dxsenh cosh

d

dxu u

du

dxcoth csc h2

d

dxu u

du

dxcosh senh

d

dxu u u

du

dxsec sec tanhh h

d

dxu u

du

dxtanh sec h2

d

dxu u u

du

dxcsc csc cothh h


6

d

dxu

u

du

dxsen h-1

1

12

d

dxu

u

du

dx

si u u

si u ucos

cosh ,

cosh ,h-1

1

1

0 1

0 12

1

1

d

dxu

u

du

dxutanh

1

2

1

11 1

d

dxu

u

du

dxu o ucoth

1

2

1

11 1

d

dxu

u u

du

dx

si u u

si u usec

sec ,

sec ,h

h

h

-1

1

1

0 0 1

0 0 12

1

1

d

dxu

u u

du

dx u u

du

dxsi u si ucsc ,h-1

1

1

1

10 0

2 2

Tablas de Integrales

udv uv v du csc cot cscu udu u C

u dun

u C nn n

1

111 Cuduu seclntan

du

uu C ln cot ln senudu u C

e du e Cu u Cuuduu tanseclnsec

a dua

aCu

u

ln

csc ln csc cotudu u u C

sen cosudu u C du

a u

u

aC

2 2

1

sen

Cuduu sencos

Ca

u

aua

du 1

22tan

1

Cuduu tansec2 du

u u a a

u

aC

2 2

11

sec

csc cot2 udu u C du

a u a

u a

u aC2 2

1

2

ln

Cuduuu sectansec du

u a a

u a

u aC2 2

1

2

ln

a u duu

a ua

u a u C2 2 2 2

2

2 2

2 2 ln

du

u a u a

a u a

uC

2 2

2 21

ln

u a u duu

a u a ua

u a u C2 2 2 2 2 2 2

2

2 2

82

8 ln du

u a u

a u

a uC

2 2 2

2 2

2


7

a u

udu a u a

a a u

uC

2 2

2 2

2 2

ln

du

a u

u

a a uC

2 2 3 2 2 2 2

/

a u

udu

a u

uu a u C

2 2

2

2 2

2 2

ln

a u duu

a ua u

aC2 2 2 2

2

1

2 2 sen

du

a uu a u C

2 2

2 2

ln u a u du

uu a a u

a u

aC2 2 2 2 2 2 2

4

1

82

8 sen

u du

a u

ua u

au a u C

2

2 2

2 2

2

2 2

2 2 ln

a u

udu a u a

a a u

uC

2 2

2 2

2 2

ln

a u

udu

ua u

u

aC

2 2

2

2 2 11

sen u a duu

u aa

u u a C2 2 2 2

2

2 2

2 2 ln

u du

a u

ua u

a u

aC

2

2 2

2 2

2

1

2 2 sen u u a du

uu a u a

au u a2 2 2 2 2 2 2

4

2 2

82

8 ln C

du

u a u a

a a u

uC

2 2

2 21

ln

u a

udu u a a

a

uC

2 2

2 2 1

cos

du

u a u a ua u C

2 2 2 2

2 21

u a

udu

u a

uu u a C

2 2

2

2 2

2 2

ln

a u duu

u a a ua u

aC2 2

32 2 2 2 2

4

1

82 5

3

8 sen

du

u au u a C

2 2

2 2

ln

du

a u

u

a a uC

2 23

2 2 2 2

Cauua

auu

au

duu 222

22

22

2

ln22

du

u u a

u a

a uC

2 2 2

2 2

2

du

u a

u

a u aC

2 23

2 2 2 2

udu

a bu ba bu a a bu C

12 ln

u du

a bu ba b u abu a bu

2

3

2 2 22

158 3 4

u du

a bu ba bu a a bu a a bu C

2

3

2 21

24 2

ln

du

u a bu a

a bu a

a bu aC a

10ln , si

2

01

a

a bu

aC atan , si

du

u a bu a

u

a buC

1ln

a bu

udu a bu a

du

u a bu

2

du

u a bu au

b

a

a bu

uC2 2

1

ln

a bu

udu

a bu

u

b du

u a bu

2 2


8

udu

a bu

a

b a bu ba bu C

2 2

1ln

u a bu du

b nu a bu na u a bu dun n n

2

2 3

32 1

du

u a bu a a bu a

a bu

uC

2 2

1 1ln

u du

a bu

u a bu

b n

na

b n

u du

a bu

n n n

2

2 1

2

2 1

1

Cbuaa

bua

abua

bbua

duuln2

1 2

32

2

du

u a bu

a bu

a n u

b n

a n

du

u a bun n n

1

2 3

2 11 1

u a budub

bu a a bu C 2

153 22

32

udu

a bu bbu a a bu

2

322

sen sen2 1

2

1

4 2udu u u C csc csc cot ln csc cot3 12

12udu u u u u C

cos sen2 12

14 2udu u u C sen sen cos senn

nn nudu u u

n

nudu

1 1 2

1

Cuuduu tantan 2 cos cos sen cosnn

n nudu u un

nudu

1 1 2

1

Cuuduu cotcot 2

duuun

duu nnn 21 tantan1

1tan

sen sen cos3 13

22udu u u C cot cot cotn n nudun

u udu

1

1

1 2

cos cos sen3 13

22udu u u C sec sec secn n nudun

tanu un

nudu

1

1

2

1

2 2

Cuuduu coslntantan 2

2

13 csc cot csc cscn n nudun

u un

nudu

1

1

2

1

2 2

cot cot ln sen3 12

2udu u u C

sen sen

sen senau bu du

a b u

a b

a b u

a bC

2 2

sec sec ln sec3 12

12u du u tanu u tanu C

cos cos

sen senau budu

a b u

a b

a b u

a bC

2 2

sen cos

cos cosau bu du

a b u

a b

a b u

a bC

2 2 u udu u u n u udun n ncos sen sen 1

u udu u u u Csen sen cos

sen cosn mu udu

sen cos

sen cos

n m

n mu u

n m

n

n mu udu

1 1

21

sen cos

sen cos

n m

n mu u

n m

m

n mu udu

1 1

21

u u du u u u Ccos cos sen u u du

uu

u uCcos cos

1

2

1

22 1

4

1

4

u udu u u n u udun n nsen cos cos 1

C

uu

uduuu

2tan

2

1tan 1

21


9

sen sen 1 1 21udu u u u C u udu

nu u

u du

unn n

n

sen sen ,

1 1 1

1

2

1

1 11

cos cos 1 1 21udu u u u C u udu

nu u

u du

unn n

n

cos cos ,

1 1 1

1

2

1

1 11

Cuuuduu 2

2

111 1lntantan

1,

1tan

1

1tan

2

1111 n

u

duuuu

nduuu

nnn

u u duu

uu u

Csen sen

1

2

1

22 1

4

1

4

ue dua

au e Cau au 1

12 ln lnudu u u u C

u e dua

u en

au e dun au n au n au

11

u u du

u

nn u Cn

n

ln ln

1

21

1 1

e bu due

a ba bu b bu Cau

au

sen sen cos

2 2

1

u udu u C

lnln ln

e bu due

a ba bu b bu Cau

au

cos cos sen

2 2

senh coshudu u C Cuduu2

1tanlnsech

cosh senhudu u C Cuduu tanhsech 2

Cuduu coshlntanh Cuduu cothcsch 2

coth ln senhudu u C Cuduuu sechtanhsech

Cutanduu senhsech 1 Cuduuu cschcothcsch

22

22

2 2

2

1au u duu a

au ua a u

aC

cos

du

a u u

a u

aC

2 2

1

cos

u au u duu au a

au ua a u

aC2

2 3

62

2

2

2

2

3

1

cos

udu

au ua u u a

a u

aC

22

2

2 1

cos

22

2

2

2 1a u u

udu a u u a

a u

aC

cos

du

u a u u

a u u

a uC

2

2

2

2

2 2 22

2

2

1a u u

udu

a u u

u

a u

aC

cos

Ca

uaauau

au

uau

duu 12

2

2

2

cos2

32

2

3

2


10

Vectores

A B A B cos 0

donde es el ángulo formado por A y B

A B A B A B A B1 1 2 2 3 3

donde A i j k A A A1 2 3 , B i j k

B B B1 2 3

Son resultados fundamentales:

Producto cruz: 1 2 3

1 2 3

i j k

A B A A A

B B B

kji ˆˆˆ122131132332 BABABABABABA

Magnitud del Producto Cruz sen A B A B

El operador nabla se define así:

zyx

kji

En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A(x,y,z)

tienen derivadas parciales.

Gradiente de U = grad U

kjikji

z

U

y

U

x

UU

zyxU

Divergencia de A = div A

kjikjiA 321 AAAzyx

A

x

A

y

A

z

1 2 3

Rotacional de A = rot A 1 2 3A A Ax y z

A i j k x i j k

321

kji

AAA

zyx

A

y

A

z

A

z

A

x

A

x

A

y

3 2 1 3 2 1i j k

Laplaciano de U = 2

2

2

2

2

22

z

U

y

U

x

UUU


11

Integrales Múltiples

2

1

( )

,b f x

x a y f xF x y dydx

2

1

( )

,b f x

x a y f xF x y dy dx

donde y f x 1 e y f x 2 son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente,

mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede

escribir así:

2

1

( )

,d g y

y c x g yF x y dxdy

2

1

( )

,d g y

y c x g yF x y dx dy

donde x g y 1( ) , x g y 2( ) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente,

mientras que c y d son las ordenadas de H y G.

Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se

pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales

múltiples en más de tres dimensiones.

( ) ( )t

as s t r t dt

Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a t, .

En parámetro arbitrario: En parámetro s:

Vector tangente unitario

t tr t

r t( )

( )

( )

t s r s( ) ( )

Vector normal principal

( ) ( ) ( )n t b t t t

n sr s

r s( )

( )

( )

Vector binormal

( )( )

( )

r r tb t

r r t

( ) ( )( )

( )

r s r sb s

r s

Los vectores unitarios t n b, , forman un triedo positivo

b t n n b t t n b x x x, ,

Recta tangente en t0

Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica

r r t r t 0 0

x x

x

y y

y

z z

x

0

0

0

0

0

0

Plano osculador t n, en t0

Ecuación vectorial Ecuación paramétrica

r r t r t xr t 0 0 0 0

x x y y z z

x y z

x y z

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0


12

Curvatura y Torsión

32 2

´́

1 ( )́

y

y

t

r t r t

r tt

r t r t r t

r t r t

x x

x3 2

s r s d

T k Nds

d

N B kTds

d

B Nds

Plano Normal

Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:

r r t r t 0 0 0 x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0

Plano Rectificante t b, en t0

Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:

r r t n t 0 0 0

x x y y z z

x y z

y z y z z x z x x y x y

- - -0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración

.T

aa Ta

N

x a

a Na

Propiedades de la Divergencia

i) div (

F +

G ) = div (

F ) +div (

G )

ii) div (

F ) = div(

F ) + ( grad )

F

iii) div (

F +

G ) = G rot (

F ) -

F rot (

G )


13

Fórmulas misceláneas

Ecuaciones paramétricas de la cicloide para t ttax sen tay cos1

Trabajo W b

ardF

b

baaComp

b

Longitud de arco de y f x en 2, 1 ( )b

aa b y dx

R

dAyxm , R

x dAyxyM , R

y dAyxxM ,

Centro de gravedad de una región plana

b

a

b

a

dxxf

dxxxfx

)(

)(,

b

a

b

a

dxxf

dxxf

y)(

)(2

1 2

Longitud de arco en forma paramétrica 2 2

dx dyL dt

dt dt

Momento de inercia de R respecto al origen R

o dAyxyxI ,22

Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x

xdxfxFSb

a

2)(1)(2

Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y

b

atdtFtV )(2

Cálculo del volumen b

adxxAV )(

b

a

dxxfV2

Ecuación diferencial de primer orden y P x y Q x( ) ( )

Solución ye Q x e dx kP x dx P x dx( ) ( )

( )

Ecuación del resorte helicoidal r t t tt

( ) cos ,sen ,2

Derivada direccional D f x y z f x y zu

, , , , u (

u vector unitario)

Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC Lq RqC

q E t 1

Fuerza ejercida por un fluído dyyLyFb

a)(

Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo F A x g A x g 2 20

Ley de Torricelli v = 2gh

formulario de matemáticas

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