formulario de matemáticas para ing

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Sean a, b, c, constantes reales y y, u, v, w funciones reales de variable real que dependen de x.

I)límx→a

[c ]=c

II)límx→a

[ x ]=a

III)límx→a

[cu ]=c límx→a

[u ]

IV)

límx→a [ cu ]= c

límx→a

[u ]; lím [u ]

x→a≠0

V)límx→a [ uc ]=

límx→a

[u ]

c;c≠0 , c=

constante.

VI)límx→a

[u+v−w ]=límx→a

[u ]+límx→a

[v ]− límx→a

[w ]

VII)límx→a

[uvw ]=límx→a

[u ] límx→a

[ v ] límx→a

[w ]

VIII)

límx→a [ uv ]=

límx→a

[u ]

límx→a

[v ]si límx→a

[v ]≠0

IX)límx→a

[ub]=[ límx→a (u ) ]límx→a

[b ]

X)límx→a

[uv ]=[ límx→a (u ) ]límx→a

[v ]

Formulario de matemáticas para ingenieros

XI)límx→a

[ n√u ]=n√ límx→a

[u ] ;

XII)límx→a

[ sen (u ) ]=sen [límx→a(u ) ]

XIII)límx→a

[ logn (u ) ]=logn [ límx→a (u ) ]XIV)

límx→3

x2−9x−3

=límx→3

( x+3 ) (x−3 )x−3

=límx→ 3

[x+3 ]=3+3=6

Límites importantes

1)

límx→0 [ sen ( x )

x ]=1 ; 2)

límx→0

[1+x ]1/ x=e ;

3)

límh→0[ f ( x+h )−f ( x )

h ]=f '( x )

4)

límx→0 [ a

x−1x ]=In(a );a>0 ;

5)

límx→∞[1+ 1x ]

x

=e

6)

límx→∞

an xn+an−1 x

n−1+ .. .+a0bm x

m+bm−1 xm−1+. ..+b0 =


m, n Є N, Funciones racionales.

Condiciones de continuidad para f(x) en x = a.

1) f (a )= exista; 2) límx→a

[ f ( x )]=exista; 3)

límx→a

[ f ( x )]=f (a )

Derivación

FORMULARIO DE DERIVACIÓN

Sean a, b, c, e, ∏, n, m, c1, c2,…,cn, constantes reales donde, e=2.71828182846… es la base de los logaritmos naturales o neperianos, ∏=3.141599265359…

Sean y, u, v, w, u1,…,un funciones de x tales que sus primeras derivadas.

dydx,dudx,dvdx,dwdx,du1dx

,du2dx

,. .. ,dundx

existen .

I) Derivación de las operaciones definidas en las funciones reales de variable real.

Propiedad aditiva.

1)

ddx [u1+u2+. ..+un]=

du1dx

+du 2dx

+. ..+dundx

Propiedad homogénea.

2)

ddx

[cu ]=c dudx

Propiedad de linealidad.

ddx [c1u1+c2u2+. ..+cn un ]=c1

du1dx

+c2du2dx

+.. .+cndundx

Observación: Las propiedades 1 y2 son equivalentes a la propiedad 3. Es decir, si las propiedades 1 y 2 son ciertas y recíprocamente; si la propiedad 3 es cierta, entonces se puede demostrar que las propiedades 1 y 2 también son ciertas.


Nota: A la expresiónc1u1+c2u2+. ..+cn un se le llama combinación lineal de

las n funciones u1+u2+. ..+un .

Derivada de un producto de dos funciones.

4)

ddx

[uv ]=u dvdx

+v dudx

Derivada de un producto de tres funciones.

5)

ddx

[uvw ]=uv dwdx

+uw dvdx

+vw dudx

Derivada del producto de n funciones.

6)

ddx [u1u2 . . .un]=u1u2 .. .un−1

du ndx

+.. .u2u3 . ..undu1dx

7)

ddx [ cu ]=

−c dudxu2

;u≠0

8)

ddx [ uc ]=

dudxc;c≠0

9)

ddx

[√u ]=dudx2√u

;u>0

10)

ddx

[ n√um ]= m

nn√un−m

⋅dudx;m<n ;m,n∈Z


11)

ddx

[ n√um ]=mn√un−mn

⋅dudx;m>n :m,n∈Z

Derivada del cociente de dos funciones.

12)

ddx [ uv ]=

vdudx

−u dvdx

v2

Derivada de la composición de dos funciones y =y (u); u =u(x) “regla de la cadena”.

13)

dydx

=dydu

⋅dudx

=

dydudxdu ; 13a)

d2 y

dx2= ddu [ dydx ]⋅[ 1dxdu ]

, para funciones paramétricas.

Derivada de la composición de tres funciones y= y (u); u =u (v); v=v(x)”regla de la cadena”.

14)

dydx

=dydu

⋅dudv

⋅dvdx

Derivada de la composición de n funciones y = y (u1).

u1=u1 (u2) . ..un−1 ;un−1=un−1(un );un=un (x ) ,Regla de la

cadena.

15)

dydx

= dydu1

⋅du1du2

.. .dun−1dun

⋅dundx

Derivada de la función inversa f-1 (x); x= x-1(y).


16)

ddx

= 1dxdy

ódxdy

= 1dydx

II) Derivación de las funciones elementales.

II) a) Derivación de las funciones constante e identidad.

17)

ddx

( c )=0 18)

ddx

( x )=1

II) b) Derivación de las funciones logarítmicas.

19)

ddx [log v(u )]=

vIn(v ) dudx

−uIn (u) dvdx

uvIn2 (v )

20)

ddx [ logv (a ) ]=−

In (a ) dvdx

vIn2 (v ); a>0

21)

ddx [ loga (u ) ]=

loga (e )u

dudx

= 1uIn (a )

dudx;a>0 ;a≠0

22)

ddx [ log10 (u ) ]=

log10 (e )u

dudx

= 1uIn (10 )

dudx

23)

ddx

[ In (u ) ]=1ududx

=

dudxu

II) c) Derivación de potencias de funciones.


24)

ddx

[uv ]=vuv−1 dudx

+ In (u )⋅uv dvdx; [u=f (x ); v=g( x )]

25)

ddx

[un ]=nun−1 dudx; [u=f ( x ) ;n=cte . ]

26)

ddx

[au ]=au⋅In (a ) dudx; [u=f ( x ); a=cte . ]

27)

ddx

[ xn ]=nxn−1 ; [u=x ;n=cte . ]

28)

ddx

[eu ]=eu dudx

[u=f ( x );e=2 .718. . . ]

II) d) Derivación de las funciones trigonométricas circulares directas.

29)

ddx

[sen (u ) ]=cos (u ) dudx

30)

ddx

[cos (u ) ]=−sen (u ) dudx

31)

ddx

[ tan (u ) ]=sec2 (u ) dudx

32)

ddx

[cot (u ) ]=−csc2 (u ) dudx

33)

ddx

[sec (u ) ]=sec (u ) . tan (u ) dudx


34)

ddx

[csc (u ) ]=−csc (u ) . cot (u ) dudx

II) e) Derivación de las funciones trigonométricas circulares inversas.

35)

ddx

[arcsen (u ) ]=dudx

√1−u2

36)

ddx

[arccos (u ) ]=−

dudx

√1−u2

37)

ddx

[arctan (u ) ]=dudx

1+u2

38)

ddx

[arc cot (u ) ]=−

dudx

1+u2

39)

ddx

[arc sec (u ) ]=dudx

u√u2−1

40)

ddx

[arc csc (u ) ]=−

dudx

u√u2−1


II) f) Derivación de las funciones trigonométricas hiperbólicas directas.

41)

ddx

[senh (u ) ]=cosh (u ) dudx

42)

ddx

[cosh (u ) ]=senh (u ) dudx

43)

ddx

[ tanh (u ) ]=sec h2 (u ) dudx

44)

ddx

[coth (u ) ]=−csch2 (u ) dudx

45)

ddx

[sec h (u ) ]=−sec h (u ) . tanh (u ) dudx

46)

ddx

[csc h (u ) ]=−csc h (u ) . coth (u ) dudx

II) g) Derivación de las funciones trigonométricas hiperbólicas inversas.

47)

ddx

[arcsenh (u ) ]=dudx

√1+u2

48)

ddx

[arccosh (u ) ]dudx

√u2−1, u>0


49)

ddx

[arctan h (u ) ]=dudx

1−u2,−1<u<1

50)

ddx

[arc coth (u ) ]=dudx

1−u2

51)

ddx

[arc sec h (u ) ]=−

dudx

u√1−u2,0<u<1

52)

ddx

[arc csc h (u ) ]=−

dudx

u√1+u2

Fórmula para derivar implícitamente.

Nota: Es necesario que la expresión esté igualada con cero.

53)

y '=dydx

=−

∂∂ x

[ f ( x , y ) ]∂

∂ y[ f ( x , y ) ]

.Donde y el numerador es constante real, igual que x del denominador. Solo es válida para la primera derivada.

Longitudes

Subtangente=

y1Dx y

.


Tangente= √ (sub tan )2+( y1)2=

y1y'

√1+( y ' )2.

Subnormal= y1D x y .

Normal= √ (subnorm )2+( y1 )2= y1√1+( y ' )2 .

Ecuaciones de la:

Tangente:

y− y1=D x y ( x−x1) ; Normal : y− y1=− 1D x y

(x−x1) .Ángulo entre dos rectas.

1)

tan (θ )=m2−m11+m1m2

;m1m2≠−1;m2 es la pendiente final y m1 es la

pendiente inicial del ángulo en estudio, medido en sentido positivo.

CASOS ESPECIALES.

2) Si

m1=∞;tan (θ )=

m2m1

−1

1m1

+m2

=− 1m2


3) Si

m2=∞;tan (θ )=1−

m1m2

m1+1m2

= 1m1

Integración

FORMULARIO DE INTEGRACIÓN

Sean a, b, c, e, ∏, n, c1, c2,…, cn, constantes reales donde, e =2.71828182846… es la base de los logaritmos naturales ó Neperianos; ∏= 3.14159265359…

Sean y, u, v, w, u1,…, un funciones de x tales que sus primeras integrales.

∫ ydx ;∫udx;∫ vdx;∫wdx ;∫ u1dx ;∫u1dx ,∫u2 dx , . .. ,∫ undxexisten.

I) Propiedades básicas de la integral.

Propiedad aditiva.

1) ∫ [u1+u2+ .. .+un ]dx=∫ u1dx+∫u2dx+. ..+∫undxPropiedad homogénea.

2) ∫ ( cu )dx=c∫ udx

Propiedad de linealidad

3)

∫ [ c1u1+c2u2+ .. .+cnun ]dx=c1∫u1dx+c2∫u2 dx+. . .+cn∫undxFórmula de integración por partes.


4) ∫udv=uv−∫vduObservación: Las propiedades aditiva y homogénea son equivalentes a la propiedad de la linealidad, ya que la existencia de (1) y (2), implica la existencia de (3) y recíprocamente, la existencia d (3) implica la existencia de (1) y (2).

Nota: A la expresión c1u1+c2u2+. ..+cn un se le llama combinación lineal de

las n funciones u1 , u2 ,. .. , un .

II) Integración de las funciones elementales.

II) z) Integración de las funciones: u=0 ;u=1 ;u=m .

5) ∫0 dx=c 6) ∫1dx=x+c 7) ∫mdx=mx+c

II) b) Integración de potencias de funciones.

8) ∫undu=un+1

n+1+c ;n≠−1

9) ∫ duu

=∫undu=In (u )+c ;n=−1

10) ∫ audu= au

In (a )+c

11) ∫ eu du=eu+c

II) c) Integración de funciones logarítmicas.

12) ∫ loga (u )du=u [loga (u )−1 ]+c


13) ∫ log10 (u )du=u [log10 (u )−1 ]+c

14) ∫ In (u )du=u [ In (u )−1 ]+cII) d) Integración de las funciones trigonométricas circulares directas.

15) ∫ sen (u )du=−cos (u )+c

16) ∫cos (u )du=sen (u )+c

17) ∫ tan (u )du=−In [cos (u ) ]+c=In [sec (u ) ]+c

18) ∫cot (u )du=In [ sen (u ) ]+c=−In [ csc (u ) ]+c

19) ∫sec (u )du=In [sec (u )+ tan (u ) ]+c20)

∫csc (u )du=In [csc (u )−cot (u ) ]+c=−In [csc (u )+cot (u ) ]+c

21) ∫sec2 (u )du=tan (u )+c

22) ∫csc2 (u )du=−cot (u )+c

23) ∫sec (u ) . tan (u )du=sec (u )+c

24) ∫csc (u ) .cot (u )du=−csc (u )+c ;

24a) ∫sec (u ) .csc (u )du=In [ tan (u ) ]+c=−In [cot (u ) ]+c


25)

∫sec3 (u )du=12

[sec (u ) . tan (u )+ In [sec (u )+ tan (u ) ] ]+c

26)

∫csc3 (u )du=12

[−csc (u ) .cot (u )+ In [ csc (u )−cot (u ) ] ]+cFórmulas de reducción.

27)

∫ senn (u )du=−senn−1 (u ) cos (u )

n+ n−1

n∫ senn−2 (u )du ;n≠0

28)

∫cosn (u )du=cosn−1 (u ) sen (u )

n+ n−1

n∫ cosn−2 (u )du ;n≠0

29) tann (u )du=tan

n−1 (u )n−1

−∫ tann−2 (u )du ;n≠1

30) ∫cotn (u )du=−

cotn−1 (u )n−1

−∫ cotn−2 (u )du; n≠1

31)

∫secn (u )du=secn−2 (u ) tan (u )n−1

+ n−2n−1∫ sec

n−2 (u )du ;n≠1

32)

∫cscn (u )du=−cscn−2 (u ) cot (u )

n−1+ n−2n−1∫ csc

n−2 (u )du ;n≠1

33)∫ eau sen (bu )du=

eau [asen (bu )−bcos (bu ) ]a2+b2

+c


34) ∫ eau cos (bu )du=

eau [bsen (bu )+acos (bu ) ]a2+b2

+c

35) ∫ eau senn (u )du=

eau senn−1 (u ) [asen (u )−ncos (u ) ]a2+n2

+

n (n−1 )a2+n2

∫ eau senn−2 (u )du

36)

∫ eau cosn (u )du=eau cosn−1 (u ) [acos (u )+nsen (u ) ]

a2+n2+

n (n−1 )a2+n2

∫ eaucosn−2 (u )du

37)

∫uneaudu=1auneau−n

a∫un−1eaudu= eax

an+1[an xn−nan−1 xn−1+

n (n−1 )an−2 xn−2−n (n−1 ) (n−2 )an−3+xn−3+ .. .+(−1 )nn! ]+cII) e) Integración de las funciones trigonométricas circulares inversas.

38) ∫ arcsen (u )du=uarcsen (u )+√1−u2+c

39) ∫ arccos (u )du=uarccos (u )−√1−u2+c

40) ∫ arctan (u )du=uarctan (u )−1

2In [1+u2 ]+c


41) ∫ arc cot (u )du=uarc cot (u )+1

2In [1+u2]+c

42) ∫ arc sec (u )du=uarc sec (u )−1

2In [1+√u2−1 ]+c

43) ∫ arc csc (u )du=uarc csc (u )+ 1

2In [1+√u2−1 ]+c

II) f) Integración de las funciones trigonométricas hiperbólicas directas.

44) ∫ senh (u )du=cosh (u )+c

45) ∫cosh (u )du=senh (u )+c

46) ∫ tanh (u )du=−In [cosh (u ) ]+c=In [sech (u ) ]+c

47) ∫coth (u )du=In [senh (u ) ]+c=−In [csc h (u ) ]+c

48) ∫sec h (u )du=arctan [ senh (u ) ]+c

49) ∫csc h (u )du=In [sech (u )−coth (u ) ]+c

50) ∫sec2h (u )du=tanh (u )+c

51) ∫csc2h (u )du=−coth (u )+c

52) ∫sec h (u ) . tanh (u )du=−sec (u )+c


53) ∫csc h (u ) .coth (u )du=−csc h (u )+c

II) g) Integración de las funciones trigonométricas hiperbólicas inversas.

54) ∫ arcsenh (u )du=uarcsenh (u )−√u2+1+c

55) ∫ arccosh (u )du=uarccosh (u )−√u2−1+c

56) ∫ arctanh (u )du=u arctanh (u )+ 1

2In [1−u2 ]+c

57) ∫ arc coth (u )du=uarc coth (u )+ 1

2In [1−u2]+c

58) ∫ arc sech (u )du=uarc sec h (u )+arcsen (u )+c

59) ∫ arc csch (u )du=uarc csc h (u )+arcsenh (u )+c

II) h) Descomposición de una fracción racional algebraica propia en suma de fracciones racionales propias más sencillas, llamadas “fracciones parciales simples”. En caso de que se trate de una fracción impropia (grado de p[x] ≥ grado de q[x], se hace una división de polinomios y se indica esta como la suma de un entero más una fracción propia.

Para descomponer cualquier fracción racional algebraica propia R[x]=p[x]/q[x], grado de p[x]< grado de q [x], en fracciones parciales, es conveniente factorizar en su mínima expresión al polinomio q [x] del denominador de la fracción R[x].

Por lo que resultan 4 posibles casos.

1° CASO. Cuando todos o alguno de los factores del denominador son de primer grado y ninguno de ellos se repite, entonces la descomposición de esta fracción es de la siguiente forma:


p ( x )q ( x )

=p ( x )

(x−r1 ) (x−r2 ) .. . ( x−rn )=

A1x−r1

+A2x−r2

+.. .+Anx−rn

Donde A1, A2,…, An son constantes que se deben determinar y r1, r2,…,rn son las raíces reales distintas del polinomio q[x], n Є N.

2° CASO. Cuando el denominador contiene por lo menos un factor de primer grado x-r el cual se repite k veces, entonces la descomposición corresponde de dicho factor es de la siguiente forma:

p ( x )q ( x )

=p ( x )

( x−r )k=

A1( x−r )k

+ A

(x−r )k−1+. ..+ A

( x−r )1

Donde A1, A2,…, Ak son constantes que se deben determinar y r es la raíz real del polinomio q[x], k Є N.

3°CASO. Cuando el denominador contiene por lo menos un factor cuadrático ax2+bx+c irreductible en el campo de los números reales y b2- 4ac<0 el cual no se repite, entonces la descomposición correspondiente a dicho factor es de la siguiente forma:

p ( x )q ( x )

=p ( x )

(a1 x2+b1 x+c1) . . .(ak x2+bk x+ck )=

=A1 x+B1

a1x2+b1 x+c1

+.. .+Ak x+Bk

ak x2+bk x+ck Donde A1, A2,…, Ak; B1,

B2,.., Bk son constantes que se deben determinar, K Є N.

4°CASO. Cuando el denominador contiene por lo menos un factor cuadrático ax2+bx+c irreductible en el campo de los números reales y b2-4ac<0 en cual se repite K veces, entonces la descomposición correspondiente a dicho factor es de la siguiente forma:


p ( x )q ( x )

=p ( x )

[ax2+bx+c ]k=

A1 x+B1

[ax 2+bx+c ]k+

A2 x+B2

[ ax2+bx+c ]k−1+

. ..+Ak x+Bk

[ax2+bx+c ]1 Donde A1, A2,.., Ak; B1, B2,…,Bk son constantes que se deben determinar, K Є N.

II) i) Radicales algebraicos que pueden transformarse en funciones trigonométricas elementales directas (sin radicales), mediante una sustitución trigonométrica adecuada.

Observación: Todas aquellas integrales que contengan uno y solo uno de los factores siguientes:

[a2−u2]m /2; [a2+u2]m /2

; [u2−a2 ]m/2;∀m∈Ζ . Pueden

transformarse respectivamente en integrales de funciones trigonométricas elementales. (Eliminando el radical correspondiente). Con el fin de facilitar su integración.

RA) Si[a2−u2]m /2

; hágase

u=asen (θ ) ⇒ [ a2−u2]m /2=am cosm (θ )

RB) Si [a2+u2 ]m/2; hágase

u=a tan (θ )⇒ [a2+u2]m /2=am secm (θ )

RC) Si [u2−a2]m /2

; hágase

u=a sec (θ )⇒ [u2−a2 ]m/2=am tanm (θ )

Si un integrando contiene un radical de índice dos elevado a cualquier potencia real fuera positiva, se puede hacer una sustitución trigonométrica, que convenga de acuerdo a los signos de la variable ya a la constante del binomio que están dentro del radical. Se presentan 3 casos.

Tabla resumen de sustitución trigonométrica.


II) j) Transformación de las seis funciones trigonométricas circulares elementales directas en fracciones racionales algebraicas.

Para convertir cualquier función trigonométrica circular elemental en fracciones algebraicas, debe efectuarse el siguiente cambio de variable en la identidad de la tangente del ángulo mitad.

Sea: tan [u /2 ]=z . .. (1 ) .

tan [ u2 ]=√ 1−cos (u )1+cos (u )

=z⇔1−cos (u )1+cos (u )

=z2⇔1−cos (u )=

z2 [1+cos (u ) ]1−cos (u )=z2+z2cos (u )⇔ z2 cos (u )+cos (u )=


1−z2⇔ [ z2−1 ] cos (u )=1−z2cos (u )=1−z2

1+z2

Por Teorema de Pitágoras.

[AC ]2+ [BC ]2= [AB ]2⇔ [BC ]2= [AB ]2− [AC ]2

[BC ]2= [1+z2 ]2− [1−z2]2=1+2 z2+ z4−1+2 z2−z4∴[BC ]2=4 z2 ; BC=2 z

1.-

sen (u )= 2 z

1+z2 2.-

cos (u )=1−z2

1+z2

3.-

tan (u )= 2 z

1−z2 4.- cot (u )=1−z

2

2 z

5.-

sec (u )= 1+z2

1−z2 6.- csc (u )=1+z

2

2 z

7.- 2arctan ( z ) 8.-

du= 2dz

1+z2

II) k) Integración de algunas funciones algebraicas.


60) ∫ du

a2−u2= 12a

In[ a+ua−u ]+c

61) ∫ du

u2+a2=1aarctan [ ua ]+c=−1

aarc cot

ua+c

62) ∫ du

u2−a2= 12a

In[ u−au+a ]+c

63)

∫ du

√a2−u2=arcsen[ ua ]+c=−arccos[ ua ]+c

64)

∫ du

√u2+a2=In [u+√u2+a2 ]+c

65)

∫ du

√u2−a2=In [u+√u2−a2 ]+c

66)

∫ du

u√a2−u2=−

1aIn[ a+√a2−u2

u ]+c67)

∫ du

u√u2+a2=−

1aIn [ a+√u2+a2

u ]+c=1a In [ √u2+a2−au ]+c


68)

∫ du

u√u2−a2 )=1aarc sec[ ua ]+c=−1

aarc csc [ ua ]+c

69) ∫ √a2−u2du=u

2√a2−u2+ a

2

2arcsen [ ua ]+c

70)

∫ √u2+a2 du=u2√u2+a2+ a

2

2In [u+√u2+a2 ]+c

71)

∫ √u2−a2du=ua

√u2−a2−a2

2In [u+√u2−a2 ]+c

72)

∫ du

u2√u2±a2=− √u2±a2

±a2u+c

73)

∫ du

u2√a2−u2=−√a2−u2

a2u+c

74)

∫u2√a2−u2du=u8

[2u2−a2 ]√a2−u2+ a4

8arcsen[ ua ]+c

75) ∫u2√u2±a2du=u

8[2u2±a2 ]√u2±a2−a4

8

In [u+√u2±a2]+cÁrea de figuras planas


76) Ax=∫a

b[ y ] dx

77) Ay=∫a

b[x ] dy

Volúmenes de sólidos de revolución

78) Vx=π∫a

b [ y2 ]dx=π∫a

b [ f ( x ) ]2dx ;método del disco.

79) Vy=2π∫a

bx [ y ]dx=2π∫a

bx [ f ( x ) ] dx;

método de anillos ó cortezas.

80) Vx=π∫a

b [ [ f ( x ) ]2−[ g ( x ) ]2]dx ;f(x), radio mayor, g(x) radio menor.

81)

Vx=πr2

a2∫a

b [ x2 ] dx;cono circular recto; a = altura; r = radio.

Superficies de sólidos de revolución

82) Sx=2π∫a

by [1+[ y ' ]2]1/2dx

Longitud de arco

83) Lon .arc .=∫a

b [1+[ y ' ]2]1 /2dx;

en x.

84) Lon .arc .=∫a

b [1+[ x ' ]2 ]1/2dy ;en y.

85) Lon .arc .=∫a

b [ (dx )2+(dy )2]1/2 ;para funciones paramétricas.

SERIES ELEMENTALES

De las funciones trigonométrica directas.


1.

sen ( x )=x+ x3

3 !+ x

5

5!− x7

7 !+ x

9

9 !− x11

11!+ x

13

13 !− x17

17 !+. ..

(−1 )n+1

(2n−1 ) !x2 n−1+. .. ;n=1,2 ,. ..

2.

cos (x )=1− x2

2!+ x

4

4 !− x6

6 !+ x

8

8 !− x10

10 !+ x

12

12!− x14

14 !+. ..

+(−1 )n+1

(2n−2 ) !x2 n−2+ .. .; n=1,2 , .. .

(Para todos los valores reales de x).

3. tan (x )= x+ x

3

3+2 x

5

15+17 x

7

315+62 x

9

2835+.. .+

22n (22n−1 )Bn(2n ) !

x2 n−1+ .. .

[Donde x2 <∏2/4 y En representa los números de Bernoulli].

4.

cot ( x )=1x− x3− x3

45−2 x

5

945− x7

4725−. . .−

22nBn(2n ) !

x2n−1−. ..

[Donde x2<∏2 y Bn representa los número de Bernoulli].


5.

sec (x )=1+ x2

2+ 5x

4

24+61x

6

720+277 x

8

8064+ .. .+En x

2 n+. ..

[Donde x2<∏2/4 y En representa los números de Euler].

6.

csc ( x )=1x+x6+7 x3

360+31 x5

15120+127 x7

604800+.. .+

2 (2n−1−1 )Bn(2n )!

x2n−1+. ..[Donde x2<∏2 y Bn representa los números de Bernoulli]

De las funciones trigonométricas inversas

7.

arcsen ( x )=x+ x3

2.3+ 1.3 x

5

2 .4 .5+ 1.3 .5 x

7

2 .4 .6 .7+. ..+

1 .3 . .. (2n−1 ) x2n+1

2n .n ! (2n+1 )+. .. ;n=1,2 ,. ..Donde [x2 < 1,-∏/2 <arc sen(x) <∏/2].

8.

arccos ( x )=π2−(x+ x3

2.3+ 1 .3x

5

2 .4 . 5+ 1 .3. 5 x

7

2 .4 . 6 .7+. ..+

1.3 .. . (2n−1 ) x2n+1

2n .n! (2n+1 )+.. .)

;n=1,2 ,. ..Donde [x2<1,0< arc sen (x)<∏].

9.

arctan (x )=x− x3

3+ x

5

5− x7

7+ x

9

9− x11

11+.. .−

(−1 )n+1

2n−1x2 n−1+ .. .;

n=1,2 ,. ..Donde (x2 <1)


10.

arc cot (x )=π2−x+ x

3

3− x5

5+ x

7

7− x9

9+ x

11

11−. ..−

(−1 )n+1

2n−1x2n−1+. .. ;

Donde (x2 <1)

11.

arc sec ( x )=π2−1x+ 1

3 x3− 1

5x5+ 1

7 x7−. ..+

(−1 )n

(2n−1 ) x2n−1

+. .. ;n=1,2 ,. ..Donde (x > 1).

12.

arc csc ( x )=−π2+ 1x− 1

3 x2+ 1

5 x5− 1

7 x7+.. .−

(−1 )n+1

(2n−1 ) x2n−1

+. .. ;n=1,2 ,. ..Donde (x < - 1).

De las funciones trigonométricas hiperbólicas directas.

13. senh ( x )=x+ x

3

3 !+ x

5

5!+ x

7

7 !+ x

9

9 !+ x11

11!+. ..

+ x2n+1

(2n+1 )!+. . .;|x|<∞

14. cosh ( x )=1+ x

2

2!+ x

5

4 !+ x

6

6 !+ x

8

8 !+ x10

10!+.. .

+ x2n

(2n )!+. . .;|x|<∞


15. tanh (x )=x− x3

3+ 2x

5

15−17 x

7

315+62 x

9

2835 !−. ..+

(−1 )n−122 n (22 n−1 )Bn(2n )!

x2m−1±.. .

[Donde |x|<∏/2 y Bn representa los números de Bernoulli].

16.

coth ( x )=1x+ x3− x3

45+ 2 x

5

945− x7

4725+. ..+

(−1 )n+122nBn(2n )!

x2n−1±. . .[Donde 0 < |x| <∏ & Bn representa los números de Bernoulli].

17. sec h (x )=1− x2

2!+ 5 x

4

4 !−61x

6

6 !+135 x

8

8 !−. . .+

+(−1 )nEn

(2n )!x2 n−1±.. .

[Donde |x|<∏/2 & En representa los números de Euler].

18.

csc h (x )=1x−x6+7x3

360−31x5

15120+. ..−

2 (−1 )n (22n−1−1 ) Bn(2n ) !

x2n−1±. . .[Donde 0 < |x| <∏ & Bn representa los números de Bernoulli].

De las funciones trigonométricas hiperbólicas inversas.


19.

arcsenh ( x )=x− x3

2 .3+ 1 .3 x

5

2.4 .5− 1 .5 x7

2 .4 .6 .7+. ..−

(−1 )n1 .3.5 (2n−1 )2n .n ! (2n+1 )

x2n+1±.. .20.

arccosh ( x )=±[In (2 x )− 1

2.3 x2−

1 .3

2.4 .5 x4−.. .−

1 .3.5 .. . (2n−1 )22 .n ! (2n−1 ) x2 n

+. ..]Donde x>1.

21.

arctan h (x )=x+ x3

3+ x

5

5+ x

7

7+.. .+ x

2 n+1

2n+1+. .. ;con|x|<1

22.

arc coth ( x )=1x+ 1

3 x3+ 1

5 x5+ 1

7 x7+. . .+ 1

(2n+1 ) x2n+1+.. . ;con|x|>1

23.

arc sec h ( x )=In( 2x )− 14 x2− 332

x4− 596

x6−351024

x8−632560

x10−. ..

24.

arc csch ( x )=In( 2x )+ 14 x2− 332x4+ 5

96x6−35

1024x8+632560

x10−. ..

De las funciones exponenciales.

25.

e=1+ 11!

+ 12 !

+ 13 !

+ 14 !

+ 15 !

+ 16 !

+ 17 !

+ 18!

+. . .+ 1(n−1 )!

+. . .


26.

e x=1+ x1!

+ x2

2 !+ x

3

3 !+ x

4

4 !+ x

5

5 !+ x

6

6 !+ x

7

7 !+ x

8

8!+. . .+

xn−1

(n−1 ) !+. .. ,∀ x∈ R

27.

ax=1+xIn (a )+[ xIn (a ) ]22 !

+[ xIn (a ) ]33 !

+. ..+[ xIn (a ) ]n−1

(n−1 ) !+. .. ;∀ x∈R28.

xx=1+xIn ( x )+[ xIn ( x ) ]22!

+[ xIn ( x ) ]33 !

+. ..+[ xIn ( x ) ]n−1

(n−1 ) !+. .. ;∀ x∈R

Binomio de Newton.

29.

(a+b )n=an+nan−1b+.. .+ n!(n−k )!

an−kbk+. . .+bn ;

∀ n∈ R ,k∈N ,k=0,1,2. .n ,30.

(a−b )n=an−nan−1b+. . .+ (−1 )n n!(n−k ) !

an−k bk+ .. .+(−1 )nbn ;

∀ n∈ R ,k∈N ,k=0,1,2. .nDonde n!=1.2.3.4…(n-1)n;N=Núm. Naturales; R=Números Reales.

De las funciones logarítmicas.


31.

In ( x )=( x−1 )−12

(x−1 )2+ 13

( x−1 )3−14

( x−1 )4+. ..−

(−1 )n+1 ( x−1 )n

n+.. . ;n=1,2 , .. .

Donde 0 < x ≤ 2

32.

In (a+x )=Ina+ xa− x2

2a2+ x3

3a3− x 4

4a4+ x5

5a5−. . .−

(−1 )n+1 ( x−1 )n

nan+.. . ;n=1,2 , .. .

Donde a > 0, -a < x x + ∞.

De Taylor.

33.

f ( x )=∑n=0

∞ f n (a )n!

( x−a)n=f (a )+f ' (a ) ( x−a )+ f' ' (a )2 !

( x−a )2+ f' ' ' (a )3 !

( x−a )3+ fIV (a )4 !

( x−a )4+ .. .

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.

F (t )= £-1{F (s )} F ( s )= £{F ( t )}

1


Propiedad homogénea.

Cf (t ) C= Constante.

Cf (t )

2Propiedad aditiva.

f 1 ( t )+ f 2( t )

F1 (s )+F2 ( s )

3Propiedad lineal

C1 f 1 ( t )+C2 f 2 ( t )

C1F1 ( s)+C2F2 (s )

4Función Escalón Unitario

U c ( t )=U ( t−c )e−cs

s; s>0

5Primera propiedad de traslación

eat f (t )

F ( s−a )

6Segunda propiedad de traslación

f ( t−c )U c ( t )e−cs F ( s)

7Propiedad del cambio de escala

f (bt ) Cf (t )8

Producto de tn por f(t)

tn f ( t ); n=0,1,2 , .. ,(−1 )n d

nF (s )dsn

=(−1 )nFn (s )

F (t )= £-1{F (s )}F ( s )= £{F ( t )}

9Propiedad de la 1ra. Derivada.

Y ' (t )SY (S )−Y (0 )


10Propiedad de la 2da. Derivada.

Y ' ' ( t )S2Y (S )−SY−Y ' (0 )

11Propiedad de la 3ra. Derivada.

Y ' ' ' (t )S3Y (S )−S2Y (0 )−SY ' (0 )−Y ' ' (0 )

12Propiedad de la na. Derivada

Y n ( t )SnY (S )−Sn−1Y (0 )−.. .−Y n−1 (0 )

13Teorema de Convolución.

∫0

t

f (t−r )g (r )dr

F (S )G (S )

14Transformación de una Integral.

∫a

t

f ( x )dx ;a>0

F (S )S

−1S∫0

a

f ( x )dx

15Caso Particular.

∫0

t

f ( x )dx ;a=0

F (S )S

16División de f (t) por t.

f (t )t

∫S

∞

F (u )du

FÓRMULAS BASICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.

F (t )= £-1{F (s )} F ( s )= £{F ( t )}

1

C; Constante


Cs ; s>0

21

1s ; s>0

3t 1

s2 ; s>0

4

t2 2

s3 ; s>05

t33!

s4 ; s>0

6

tn ;n=0,1,2 ,. . ,n !

sn+1 ; s>0

7

tP ; P>−1 Γ (p+1 )sP+1

; s>0

F (t )= £-1 F ( s )= £{F ( t )}


{F (s )}8

eat ;a= Contante.

1s−a ; s>a

9

sen (bt )

b

s2+b2 ; s>0

10

cos (bt )

s

s2+b2 ; s>0

11

eat sen (bt )

b

(s−a )2+b2 ; s>a

12

eat cos (bt )

s−a(s−a )2+b2 ; s>a

13

senh (bt )b

s2−b2 ; s>|b|14

cosh (bt )

s

s2−b2 ; s>|b|

15

eat senh (bt )

b

(s−a )2−b2 ; s>a

16

eat cosh (bt )

s−a(s−a )2−b2 ; s>a


F (t )= £-1{F (s )} F ( s )= £{F ( t )}

17

tneat ;n=0,1,2, . .. ,n !

(s−a )n+1 ; s>a

18

tsen (bt )2bs

(s2+b2)2 ;

19

t cos (bt )s2−b2

(s2+b2)2 ;

20

sen (bt )−bt cos (bt )2b3

(s2+b2)2 ;

21

sen (bt )+bt cos (bt )2bs2

(s2+b2)2 ;

22

tsenh (bt )2bs

(s2−b2 )2 ;

23

t cosh (bt )s2+b2

(s2−b2 )2 ;

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ESPECIALES


F (t )= £-1{F (s )} F ( s )= £{F ( t )}

Función Escalón Unitario1

U c (t )=U (t−c ) ;c>0e−cs

s ; s>0Función Rampa

2

f ( t )=t ; t>0

1

s2 ; s>0Función Rampa

3

δ ( t−t0 )e−t0s ;

Función Impulso Unitario con centro en t0=0.

4

δ (t ) .

1 ;

Producto de f(x) por s(t-t0).5

f ( t ) δ (t−t0 )e−t0s f (t 0 );

Producto de f (t) por S(t).6

f (t ) δ (t )f (0 ) ;

Función Periódica7

f (t )=f (t+λ ) ; λ= Periodo.

∫0

λ

e−st f (t )dt

1−e−λs ;

BIBIOGRAFÍA


1. A. ANDRADE, P. GARCIA, 19884, Cálculo diferencial e integral, 1ra, ed. Dirección General de Publicaciones, México.

2. F. AYRES, 1993, Cálculo diferencial e integral. Ed. Mc Graw Hill, 3ra, México.3. DEMIDOVICH, 1993, Problemas y ejercicios de análisis matemáticos. 9a, Ed. Mir,

Moscú.4. FINNEY, Thomas, 2010 Cálculo de una variable. 12na, Ed. Pearson, México.5. GRANVILLE, W. A., 1980, Cálculo diferencial e integral. 1a, Ed. Limusa, México.6. HASSER, Norman B., 1990, Análisis matemático. Tomo I. 2a, Ed. Trillas, México.7. LANG, Serge, 1990, Cálculo. 1a, Ed. Addison-Wesley Iberoamericana, México.8. LARSON-HOSTETLER, 2010, Cálculo 1. 8va, Ed. Mc Graw Hill, México.9. LEITHOLD, L., 1996, El Cálculo. Ed. 7ma, Oxford, México.10. Pursell Edwin j., 2007, Cálculo, 9na, Ed. Pearson Educación, México.11. REPETTO, Celina, 1989, Manual de Análisis Matemático. 1a, Ed. Macchi, Tomos 1 y

2, México.12. STEWART, 2008, Cálculo de una Variable. Trascendentes tempranas, 6a, Ed.

CENGAGE, México.13. SWOKOWSKI W., Earl., 1989, Cálculo con geometría analítica. 2a, Ed.

Iberoamericana, México.14. ZILL G., Dennis., 1993, Cálculo con geometría analítica. 2a, Ed. Iberoamericana.


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