Formulario de Calculo Integral Por: Xavier Fuentes

Derivadas Variables: u,v,w: funciones que dependen de x. c=constante dc

dx =0

dx

dx =1

d(u+v−w)

dx =du

dx +dv

dx - dx

dx

d(c.v)

dx= c

dv

dx

d

dx (u. v)=u

dv

dx +v

du

dx

d

dx (vn) = nvn-1dv

dx

d

dx (xn)= nx n-1

d

dx (u

c) =

1

c du

dx

dy

dx =

dy

dv∗dv

dx

y=u

v →y´=

vu´−uv´

v2

Funciones trascendentes: d

dx (lnv)=

1

v dv

dx

d

dx (logv)=

loge

v dv

dx

d

dx (av)= av lna

dv

dx

d

dx (ev)= ev

dv

dx

d

dx (un)=vuv-1 du

dx + uv lnu

du

dx

y=e2x→y´= e2x lne(2x)´ 4lnx=2.2lnx=2lnx2

Derivadas trigonometricas: d

dx (Snx)=Cosx

d

dx (Snv)=Cosv

dv

dx

d

dx (Cosx)=-Snx

d

dx (Tgx)=Sec2x

d

dx (Ctgv)=-Csc2v

dv

dx

d

dx (Secv)=SecvTgv

dv

dx

d

dx (Cscv)=-CscvCtgv

dv

dx

d

dx arcSnv=

dv/dx

√1−v2

d

dx arcTgv=

dv/dx

√1+v2

d

dx arcCosv= -

dv/dx

√1−v2

d

dx arcCscv= -

dv/dx

v √v2−1

d

dx arcCtgv= -

dv/dx

1+v2

d

dx arcSecv=

dv/dx

v √v2−1

Integrales ʃadv=aʃdv ʃdx=x+c

ʃvndv=vn+1

n+1 + c

ʃ(du+dv-dw)= ʃdu+ʃdv-dwʃ

ʃdv

v = lnlvl + c

ʃavdv= av

lna+ c

ʃevdv=ev + c Trigonometricas:

ʃSnv= - Cosv+c ʃCosv = Snv+c ʃTgvdv=- lnCosv+c = ln (cosv)-1+c=lnSecv+c ʃSec2vdv=Tgv+c ʃCsc2vdv=-Cscv+c ʃSecvTanvdv=Secv+c ʃCscvCtgvdv=-Cscv+c ʃCtgvdv=- lnSnv+c ʃSecvdv = ln (Secv+Tanv)+c ʃCscvdv = ln (Cscv+Ctgv)+c

∫𝑑𝑢

√𝑎2−𝑢2 =arcSen

u

a+c

∫du

a2+u2 =1

aarcTan

u

a+c

∫𝑑𝑢

𝑢√𝑢2−𝑎2 = 1

aarcSec

u

a+c

∫du

u2−a2= 1

2a ln|

u−a

u+a|+c

∫du

a2−u2 = 1

2a ln|

u+a

u−a|+c

∫du

√u2+a2 = ln |u + √u2 + a2|+c

∫du

√u2−a2 = ln |u + √u2 − a2|+c

Integración: por partes

ʃudv=uv-ʃvdu Una vaca menos la integral vestida de uniforme u:fácil de derivar dv:fácil de integrar ʃvdu mas sencilla que ʃudv ILATE=Inversa-Logaritmica-Algebracia-Trigonometrica-exponencial

ʃx3ex²dx = ʃx2xex²dx u= x2→du=2xdx

dv= xex²dx→ʃdv=v= 1

2∫2 xex²dx=

1

2ex²

ʃ=1

2 x2 ex² - ʃ

1

2ex²2xdx

∫x√x + 2dx

Primer factor: u=x ⇨ du

dx= 1 ⇨du=dx

Segundo factor: dv=√x + 2dx Despejamos V. El diferencial (d) pasa del otro lado de la expresión efectuando la operación contraria (integrándola).

v=∫(x+2)1/2dx ⇨v=2

3(x+2)3/2 ⇨

∫=(x)[(2/3)(x+2)3/2] – ∫(2/3)(x+2)3/2dx

Integración: cambio de variable

∫(x+3)

(x2+6x)2/3 ⇔ x2 + 6x = u ⇨

(2x+6)dx=du⇨(x+3)dx=du

2 ⇔ ∫

du

2u2/3 =

1

2 ∫ u−2/3du=

1

2 u1/3

1/3+ c =

1

2 (x2 + 6x)1/3+c

Integración: derivación de la base *Que la derivada de la base este en la integral *Se ingresan números, no letras

ʃx(2+x2)2dx=1

2∫2x(2+x2)2dx=

1

2 (2+x2)

3

3+c

∫(x2 + 2x)4(x + 1)dx

u=x2+2x du

dx=2x+2

du=(2x+2)dx

∫ = ∫(x2+2x)42(x+1)dx

2 =1

2[(x2+2x)4+1

4+1]+c

Cuando el grado del numerado es mayor o igual al grado del denominador, se divide.

∫(x2+2)

𝑥+1dx= ʃ[(x-1)+

3

𝑥+1 ]dx =∫(𝑥 − 1)𝑑𝑥 + 3∫

𝑑𝑥

𝑥+1 =

(𝑥−1)2

2+ 3ln (𝑥 + 1)+c

x2+2 ∟x+1→(x-1)+3/(x+1) 3 x-1

Integración: cambio de variable trigonométrica: ʃdu/(a2-u2)=arcSen(u/a)+c u=aSenθ→u2=a2Sen2θ du=aCosθdθ ʃaCosθdθ/(a2- a2Sen2θ)= θ u/a=Sn θ→ θ= arcSen(u/a)+c

①(a2-b2u2)1/2→u=(a/b)Senθ →aCosθ C a bu B A

(a2-b2u2)1/2

②(a2+b2u2)1/2→u=(a/b)Tanθ →aSecθ C

bu (a2+b2u2)1/2

B A a

③(b2u2- a2)1/2→u=(a/b)Secθ →aTanθ C

(b2u2- a2)1/2 bu

B A a

∫dx

x2√4+x2 ⇔ *x=2tgz⇨Tgz=x/2 ⇔ *dx=2Sec2zdz

⇔ ②*(4+x2)1/2=(4+4tg2z)1/2=2(Sec2z)1/2=2Secz

⇔ ∫2Sec2zdz

4Tan2z∗2Secz = 1

4∫

Cos2z

CoszSen2z … =-

1

4Cscz +

c=- 1

4 √4+x2

x+ c

Integrales trigonométricas Cos 2x=Cos2x- Sen2x Sn2x=2SnxCosx Sen2x= -1+ Cos2x Sen2x=1- Cos2x SnxCosx=Sn2x/2 Sen2x+ Cos2x=1 Sec2x=1+Tan2x Csc2x=1+Ctg2x Sen2x=(1/2)(1-Cos2x) Cos2x=(1/2)(1+Cos2x) SnxCosx=(1/2)Sn2x {[(a2-x2)1/2] }{[(a2-x2)1/2]/ [(a2-x2)1/2]}

∫Cos6xdx ⇔u=6x⇨du=6dx⇔ ∫Cosu

6du =

1

6Sn6x + c

∫Cos6xdx = 1

6∫6Cos6xdx =

1

6Sn6x + c

∫Cos2xdx = 1

2∫(1 + Cos2x)dx=

1

2∫dx +

1

2∗

1

2∫2Cos2xdx=

1

2x +

1

4∗ 2 ∗ Sn2x + c

∫Sen3xdx = ∫Sen2xSenxdx = ∫(1 −

Cos2x)Senxdx=∫Senxdx- ∫Cos2xSenxdx = -Cosx+Cos3x

3+

c

∫Sen4xdx = ∫(Sen2x)2 dx = ∫ (1

2−Cos2x

2)2

dx =

∫(1−Cos2x

2)2

dx = = 1

4∫(1 − 2Cos2x + Cos2x)dx =

1

4x −

1

4Sen2x +

1

8x +

1

32Sen4x + c

Integración: por descomposición

F(x)=f(x)/ g(x) Propia: f(x)<g(x) Impropia: f(x)>g(x) ①Factores lineales distintos:

∫(𝑥 + 1)𝑑𝑥

𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)=𝐴

𝑥+

𝐵

𝑥 + 3+

𝐶

𝑥 − 2

②Factores lineales iguales:

∫(𝑥 + 1)𝑑𝑥

𝑥2(𝑥 − 1)=

𝐴

𝑥 − 1+𝐵

𝑥+𝐶

𝑥2

③Factores cuadráticos distintos:

∫𝑥2𝑑𝑥

(𝑎2 + 𝑥2)(𝑎 + 𝑥)(𝑎 − 𝑥)=𝐴𝑥 + 𝐵

𝑎2 + 𝑥2+

𝐶

𝑎 + 𝑥+

𝐷

𝑎 − 𝑥

∫𝑥3 + 1𝑥2 + 𝑥 + 2𝑑𝑥

(𝑥2 + 2)(𝑥2 + 1)=𝐴𝑥 + 𝐵

𝑥2 + 2+𝐶𝑥 + 𝐷

𝑥2 + 1

④Factores cuadráticos iguales:

∫2𝑥3 + 3𝑑𝑥

(𝑥2 + 1)2=𝐴𝑥 + 𝐵

𝑥2 + 1+

𝐶𝑥 + 𝐷

(𝑥2 + 1)2

Área:

Si: f(x)=x2

0≤x≤4

∫ 𝑑𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥4

0

4

0

Constante de integración

Derivada=x-3; Valor X=2; Valor Función: 9 ∫𝑑𝑦 = ∫(𝑥 − 3)𝑑𝑥 Y=(x2/2)-3x+c→c=13→ f(x)=(x2/2)-3x+13 *La pendiente de la Tg ≡ es la derivada

𝑚 =𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝑥

𝑦

Integral definida

∫𝑑𝑥

𝑥= 𝑙𝑛𝑥∫ = 𝑙𝑛𝑒 − 𝑙𝑛1 = 1 − 0 = 1

𝑒

1

𝑒

1

Centro geométrico

y=2Sn3x y/2

dx Si Y=2Sn3x; desde x=0 hasta x=π/3 ❶Área encerrada: 𝑑𝐴 = 2Sn3xdx

𝐴 = ∫ 2Sn3xdxπ/3

0

❷Momento de 1er orden con respecto al eje X

𝑀𝑥 = ∫1

2ydA

π/3

0

❸Momento de 2do orden con respecto al eje Y

𝑀𝑦 = ∫ xdAπ/3

0

❹ x=̅My/A; y̅=Mx/A

Longitud de curva

𝐿 = ∫ √1 + [f´(x)]2dxb

𝑎

Si: x=aCosx ; y=aSnx; (0≤x≤4)

𝐿 = ∫ √[dx

dθ]2

+ [dy

dθ]2

dx2π

𝑎

∫dx

(ax + b)⏟ u

⏞ du

∫𝑑𝑥

(3x+5) =

1

3∫

3𝑑𝑥

(3𝑥+5)= Ln 3√(𝑥 + 5) + c