Evidencia de Aprendizaje Unidad 3

Para apoyarte en la realización de tu examen y como parte de la Evidencia de Aprendizaje deberás completar con la siguiente información este archivo:1. Tablas de integración

inmediata. Se encuentran en la página 22 del material de la unidad 3.

2. Fórmula del teorema fundamental del cálculo (área bajo la curva) página 25 y 26 del material de la unidad 1.

3. Regla de sustitución: páginas 29 a 31 del material de la unidad 1.

4. Áreas entre funciones: páginas 7 y 8 del material de la unidad 2.

5. Sólidos en revolución: Dentro del foro de planeación didáctica de la actividad 3 unidad 2 se encuentra el material en donde se encuentran las fórmulas (son dos).

• 𝑉 = 𝜋 𝑎

𝑏𝑦2𝑑𝑥 Si mi solido gira alrededor del eje 𝑥

• 𝑉 = 𝜋 𝑎

𝑏𝑥2𝑑𝑥 Si mi solido gira alrededor del eje 𝑦

6. Valor promedio de una integral: Se encuentra la fórmula en los apuntes de la unidad 2 pero también lo pueden encontrar en la actividad 2 de la unidad 2 en el foro de planeación didáctica.

7. Fórmula de integrales por partes. Páginas 4 y 5 del material de la Unidad 3 y el video de la planeación didáctica actividad 2 Unidad 3.

• 8. Sustitución para racionalizar. Página 5 del material de la Unidad 3.

• 9. Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales. A partir de la página 5 hasta la 15 del material de la Unidad 3.

• 10. Integrales trigonométricas. A partir de la página 15 hasta la 21 del material de la Unidad 3. También puedes apoyarte de los videos de la Actividad 3 unidad 3.

• 11. Integrales impropias divergentes y convergentes. Material de la unidad página 24 hasta la 26.

• 12. Tabla de fórmulas de derivación que utilizaste en tu curso de Cálculo Diferencial.

• 13. Realiza en un diagrama de bloques “Las estrategias para integrar”. Material de la unidad 3 página 23.

Simplificar integrando

Detectar solución obvia

(si existe)Integrar

Clasificar de acuerdo a su

forma

Intentar sustitución o integral por

partes

Si existe

No existe Solución

No hay solución

• Problema 1. Se va a construir un centro de operaciones de una empresa transportista ubicada junto a una construcción en forma semicircular. Para determinar el área del terreno tendrás que calcular el área siguiente:

• El intervalo es de

0.3 a 5 y el resultado

será en kilómetros cuadrados.

Integrar

0.3

5𝑥 + 8

𝑥3 + 4𝑥𝑑𝑥

Factorizando

𝑥3 + 4𝑥 = 𝑥 𝑥2 + 4

Entonces

0.3

5𝑥 + 8

𝑥3 + 4𝑥𝑑𝑥 =

0.3

5𝑥 + 8

𝑥 𝑥2 + 4𝑑𝑥

𝑥 + 8

𝑥 𝑥2 + 4=

𝐴

𝑥+

𝐵𝑥 + 𝐶

𝑥2 + 4=

𝐴 𝑥2 + 4 + 𝑥 𝐵𝑥 + 𝐶

𝑥 𝑥2 + 4

=𝐴𝑥2 + 4𝐴 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥

𝑥 𝑥2 + 4

Resolvemos

𝑥 + 8 = 𝐴𝑥2 + 4𝐴 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 = 𝐴 + 𝐵 𝑥2 + 𝐶𝑥 + 4𝐴𝐴 + 𝐵 = 0, 𝐶 = 1, 4𝐴 = 8

𝐴 =8

4= 2

𝐵 = −𝐴 = −2

Sustituimos

0.3

5𝑥 + 8

𝑥3 + 4𝑥𝑑𝑥 =

0.3

5𝐴

𝑥+

𝐵𝑥 + 𝐶

𝑥2 + 4𝑑𝑥 =

0.3

52

𝑥+

−2𝑥 + 1

𝑥2 + 4𝑑𝑥

=

0.3

52

𝑥𝑑𝑥 −

0.3

52𝑥

𝑥2 + 4𝑑𝑥 +

0.3

51

𝑥2 + 4𝑑𝑥

Integramos para cada sumando

• 0.3

5 2

𝑥𝑑𝑥 = 2 ln 𝑥 0.3

5

• 0.3

5 2𝑥

𝑥2+4𝑑𝑥

𝑢 = 𝑥2 + 4, 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥

0.3

52𝑥

𝑥2 + 4𝑑𝑥 =

0.3

51

𝑢𝑑𝑢 = ln 𝑢

0.3

5= ln 𝑥2 + 4

0.3

5

• 0.3

5 1

𝑥2+4𝑑𝑥

0.3

51

𝑥2 + 4𝑑𝑥 =

0.3

51

4𝑥2

4+ 1

𝑑𝑥

𝑢 =𝑥

2, 𝑑𝑢 =

1

2𝑑𝑥

0.3

51

𝑥2 + 4𝑑𝑥 =

1

2

0.3

51

𝑢2 + 1𝑑𝑥 =

1

2arctan 𝑢

0.3

5

= 1

2arctan

𝑥

20.3

5

Sustituimos y resolvemos

0.3

5𝑥 + 8

𝑥3 + 4𝑥𝑑𝑥

=

0.3

52

𝑥𝑑𝑥 −

0.3

52𝑥

𝑥2 + 4𝑑𝑥 +

0.3

51

𝑥2 + 4𝑑𝑥

= 2 ln 𝑥 − ln 𝑥2 + 4 + 1

2arctan

𝑥

20.3

5

= 0.446725 − −3.74205 = 4.18877 𝐾𝑚2

Problema 2. Integre la siguiente función:

Integrar

𝑑𝑥

9 − 𝑥2

Usando la función seno

sin 𝜃 =𝑥

3, 𝑥 = 3 sin 𝜃 , 𝑑𝑥 = 3 cos 𝜃 𝑑𝜃

9 − 𝑥2 = 9 − 3 sin 𝜃 2 = 9 − 9 sin2 𝜃

= 9 1 − sin2 𝜃 = 9 1 − sin2 𝜃 = 3 cos 𝜃

Sustituimos

𝑑𝑥

9 − 𝑥2=

3 cos 𝜃 𝑑𝜃

3 cos 𝜃= 𝑑𝜃 = 𝜃 + 𝐶

Despejamos 𝜽 y resolvemos

sin 𝜃 =𝑥

3, sin−1 𝑥

3= 𝜃

𝑑𝑥

9 − 𝑥2= 𝜃 + 𝐶 = sin−1 𝑥

3

Problema 3.

• Realice la gráfica de la función f(x)=𝑥2 ∗ ln 𝑥

en el intervalo de 0 a 3 con los valores X=0, x=0.5, x=1, x=1.5, x=2, x= 2.5 y x=3. También puede usar Geogebra.

De acuerdo a la gráfica proponga usted un problema que se resuelva al integrar esta función.

𝑓 𝑥 = 𝑥2 ln 𝑥

Problema 3.Texto de su problema propuesto:Un grupo de emprendedores quiere iniciar un proyecto para el cual requieren cierto capital. El proyecto que promueven tiene la expectativa de generar ganancias de acuerdo a la formula:

𝑓 𝑥 = 𝑥2 ln 𝑥

Donde 𝑥 es cada año que transcurre. ¿Cual seria la ganancia después de cada periodo de 6 meses (medio año)? Grafique el resultado y calcule la cantidad exacta para 3 años.

Desarrollo de su problema a integrar:Integrar

0

3

2𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥

Dado que esta función es discontinua en 𝑥 = 0, es impropia.Se integra por partes

𝑓 = ln 𝑥 , 𝑑𝑓 =1

𝑥𝑑𝑥, 𝑑𝑔 = 𝑥2𝑑𝑥, 𝑔 =

𝑥3

3

0

3

2𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥 =2

3 𝑥3 ln 𝑥0

3−

0

3𝑥3

𝑥𝑑𝑥

=2

3 𝑥3 ln 𝑥0

3−

0

3

𝑥2𝑑𝑥 =2

3 𝑥3 ln 𝑥 −

𝑥3

30

3

Resolvemos el límite

𝑥3 ln 𝑥 −𝑥3

30

3

= 33 ln 3 −33

3− lim

𝑎→0+𝑎3 ln 𝑎 −

𝑎3

3

= 27 ln 3 −27

3− 0 = 27 ln 3 − 9 = 20.6625

Sustituimos y resolvemos

0

3

2𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥 =2

3 𝑥3 ln 𝑥 −

𝑥3

30

3

=2

320.6625

= 13.7750