UNIVERSIDAD TECNICA DE ORURO

FACULTAD DE CIENCIAS AGRICOLAS PECUARIAS Y

VETERINARIAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA AGRÍCOLA

ROLY CELIER COTA L.

¿CUÁL NÚMERO LE GUSTA?

Dígale que escriba un número cualquiera. Que sume las cifras entre sí y que reste

este último resultado al número escrito por él. Pídale, enseguida, que tache la cifra que más le guste del resultado, y solicítele el número que quedó después de esta

operación. Usted debe sumar mentalmente entre sí las cifras de ese número. Lleve

este resultado a un solo dígito (sume), y este dígito réstelo a la "cifra clave" 9. El residuo será la cifra que tachó el jugador.

¿CUÁNTO TIENE, CUÁNTO VALE?

Dígale que escriba la cantidad de dinero que posee en el bolsillo, que multiplique

esta cifra por 10 y que al resultado sume 25; que le sume el número de hermanas

que tenga y esta cifra la multiplique por 10; que al resultado le sume el número de hermanos, y pídale el resultado. A este número reste 250, y el resultado será: la

última cifra, el número de hermanos del jugador; la penúltima, el número de

hermanas y las primeras, la cantidad de dinero que tiene en el bolsillo.

EL NÚMERO SECRETO

Diga a un amigo que escriba un número de dos cifras en secreto, que lo multiplique por 10 y del resultado reste un múltiplo de 9 inferior o igual a 81.

Pídale el resultado. Si es de tres cifras, tome las dos primeras y sume la última; si

son dos, súmelas entre sí, el resultado que de es el número secreto.

AÑO DE NACIMIENTO

Ahora que escriba el año en que nació. Dígale que lo multiplique por 2 y que al resultado le sume 1. Que esta cifra la multiplique por 5, que al resultado le sume 5,

que multiplique lo que tenga por 10. En este punto pídale el resultado, y a éste

usted mentalmente le resta 100. Luego dividido en 100 y el resultado será el año.

DINERO Y HERMANOS

Dígale a su amigo que escriba la cantidad de dinero que posee, que multiplique esta cifra por 10 y que al resultado le sume 25, que le sume el número de

hermanos, multiplique por 10 y le sume el número de hermanas. Pida el resultado

y a éste reste 250, el resultado será: la última cifra, el número de hermanas de su amigo; la penúltima, el número de hermanos y las siguientes la cantidad de dinero.

34

Prologo

El presente “Formulas Calculo I”, responde a las

necesidades del estudiante, la cual es un apoyo

que contiene la información necesaria; que

permitirá facilitar la resolución de problemas en

la materia de Calculo I.

El motivo de la presente obra es incentivar e

interiorizar en el aprendizaje de la materia BAS –

101.

Auxiliar de Cátedra: Roly Celier Cota L.

Longitud

1 pulg = 2,54cm 1 pie = 12 pul = 30,48 cm

1 km = 1000 m

1 milla terrestre = 1609 m 1 yarda = 3 pies

Masa

1 kg = 1000g = 2,2 lb

1 onz = 28,35 g

1 arroba = 25 libras 1 ton = 1000 kg

1 quintal = 4 arrobas = 46 kg

1quilate = 4102 kg

Volumen

1 pie3 = 28,32 litros

1 m3 = 1000 litros 1 barril = 42 litros

Área

1 ha = 10000 m2

Contenido

EQUIVALENCIAS MÁS UTILIZADOS

32

Temas Pág.

Exponentes……………………………….. 7

Radicación …………………………….. 9

Factorización……………………………... 10

Logaritmos ……………………………... 12

Determinantes……………………….…… 12

Trigonometría……………………………. 13

Geometría Analítica……………………… 16

Límites…………………………………… 23

Derivadas………………………………… 24

Integrales………………………………… 26

Figuras geométricas……………………... 30

Equivalencias mas utilizados……………. 32

Juegos Matemáticos……………………… 33

Figuras Perímetro Área

Cuadrado

a4P

2aA

Rectángulo

)hb(2P

hbA

Trapecio

dcbaP

h2

caA

Circulo

r2P

2rA

triángulo

cbaP

2

baA

EXPONENTE NATURAL: se define:

Donde:

EXPONENTE NEGATIVO:

MULTIPLICACIÓN DE BASES IGUALES:

DIVISIÓN DE BASES IGUALES:

EXPONENTE CERO:

FIGURAS GEOMETRICAS

NmA......AAAAm

m

0AA

1A

m

m

0y

0x

y

x

1

y

xó

x

y

y

xm

mmm

nmnm AAA

0AAA

A nm

n

m

0A1A0

EXPONENTES

7

30

26) c

a

xcosArcc

a

xArcsendx

xa

1

22

27) caxxLndx

ax

1 22

22

28) c

2

xaxLnaxaxdxxa

22222

22

29) ca

xArcSena

2

1xa

2

1dxxa 22222

30)c

2

axxLnaaxxdxax

22222

22

31) c

x

xaaaLnxadx

x

xa 2222

22

32) c

x

xaaaLnxadx

x

xa 2222

22

33) cx

aArcCosaxdx

x

ax 2222

34) c

xaa

xLn

a

1dx

xax

1

2222

35) c

xaa

xLn

a

1dx

xax

1

2222

36)

x

acosArc

a

1

a

xsecArc

a

1dx

axx

1

22

37) caxdx

ax

x 22

22

38) c

b15

bxaa2bx32dxbxax

2

3

39) c

abxa

abxaLnabxa2dx

x

bxa

RADICACION DE UN PRODUCTO DE INDICES IGUALES:

mmm BABA

RADICACIÓN DE UNA DIVISIÓN:

0BB

A

B

Am

m

m

POTENCIA DE UNA RAÍZ:

Observe bien que:

mt ntm n

qrm

qrnnmnqrmn

AA

AAA

m nn

m AA

RADICACION

28

9

En la tabla donde: a es una constante, m es un numero natural.

Integrales algebraicas y exponenciales:

1)

1m

xdxx

1mm

2) xx edxe

3)

Lna

adxa

xx

4) xLndx

x

1

5)

b

a

ab

b

axx FFFdxaf

6) vduuvudv

Integrales trigonométricas:

7) CosxdxSenx

8) SenxdxCosx

9) SecxLnCosxLndxTanx

CASO VII

Suma o diferencia de cubos perfectos

)baba)(ba(ba

)baba)(ba(ba

2233

2233

CASO VIII

Trinomio de la forma: cbxax 2

10)x11(2)x2(5x11x2 22

Ordenando: 10)x2(11)x2( 2

Facturando por el caso V )1x2)(10x2(

Dividiendo entre 2 y 1 para no alterar el trinomio

)1x2)(5x(

1

)1x2(

2

)10x2(

CASO IX

Sumo o diferencia de dos potencias iguales:

I. nn ba es divisible por ba siendo “n” par o impar

II. nn ba es divisible por ba siendo “n” par

III. nn ba es divisible por ba siendo “n” impar

IV. nn ba nunca es divisible por ba

)nmnnmnmm)(nm(nm

)nmnnmnmm)(nm(nm

43223455

43223455

INTEGRALES

Método de Por Partes

26

11

En esta tabla las letras c, n, a, son constantes y las letras u, v y w son funciones de

“x”. Donde “x” es la variable independiente.

Definición de Derivada

h

ffLímf

)x()hx(

0h)x(

La Derivada de una constante es cero 0c

La Derivado de Suma es la Suma de las Derivadas

wvu)wvu(

Derivada de una constante por función vc)cv(

Derivada de un producto de funciones: vuvu)uv(

Derivada de un cociente de funciones: 2v

vuvu

v

u

Derivada de una función elevada a otra función:

vuulnuuvu v1vv

x2x2)x(mu)u( 1221mm

eLogv

vvLg aa

Lnaava vv

)0vSi(v

vLnv

vv eve

alnava vv

Teorema de Pitágoras

222 bac

Funciones trigonométricas de un ángulo en un triangulo rectángulo:

b

aTanx)3

c

bCosx)2

c

aSenx)1

a

cCscx)6

b

cSecx)5

a

bCotx)4

Funciones trigonométricas de un ángulo en un triangulo oblicuángulo:

Teorema de senos:

SenC

c

SenB

b

SenA

a

Teorema de Cosenos

CosBac2cab

CosAbc2cba

222

222

CosCab2bac 222

Identidades Pitagóricas:

1xCosxSen)1 22 xSecxTan1)2 22

xCscxCot1)3 22

Identidades Reciprocas

Cscx

1Senx)1

Secx

1Cosx)2

Cotx

1Tanx)3

DERIVADAS

c

ab

B

C

A

TRIGONOMETRIA

13

24

Eje focal paralelo al Eje Y

1b

)hx(

a

)ky(2

2

2

2

Asíntotas:

)hx(b

a)ky(

2

yxSen

2

yxSen2CosyCosx)5

CosxCosy

)yx(SenTanyTanx)6

Valores de funciones trigonométricas

Circulo Trigonométrico

15

22

Ecuación de de la Elipse con Centro C(h, k)

Focos: )ck,h(F);ck,h(F

Eje Mayor Vertical

1a

)ky(

b

)hx(2

2

2

2

Ecuación de de la Elipse con Centro C(0, 0)

Focos: )0,c(F);c,0(F

Eje Mayor Vertical

1a

y

b

x2

2

2

2

Ecuación General de la Elipse: 0FEyDxByAx 22

Si el Ángulo de inclinación de dos Rectas: L1 y L2, comprenden entre si un Ángulo

de 90º, entonces las Rectas son Perpendiculares; cuya condición se cumple:

1mm 21

Distancia de Punto a Recta

La Distancia entre el Punto: P1(x1,y1) a la Recta: 0CByAx , se calcula por:

22

11

BA

CByAxd

Distancia entre Punto

2

12

2

12 )yy()xx(d

Punto P(x, y) de división de un segmento

r1

yryy;

r1

xrxx 2121

La Circunferencia Ecuaciones de la Circunferencia

Ecuación de Circunferencia con Centro C(h, k) 222rkyhx

Ecuación de Circunferencia con Centro en el Origen C(0, 0) 222 ryx

Ecuación General de la Circunferencia 0FEyDxyx 22 ,

donde 222 rkhF;k2E;h2D

20

17

LA LOTERÍA

Pídale ahora el número que le gusta jugar a la lotería, que reste 1 y el resultado lo

multiplique por 2. Sume de nuevo el número de lotería. Solicite el resultado final para adivinar el número de lotería. Al resultado final súmele 2 y divídalo por 3.

Será el número de lotería.

Bibliografía VALIENTE B. santiago “Diccionario de Matemáticas Cuarta Edición

Impreso en México 1998

CHUNGARA C. Víctor “Apuntes de Calculo I”

BALDOR A. “Algebra” Décimo segunda edición Editorial Publicaciones

Cultural Impreso en México 1997

LEHMANN “Geometría Analítica” Editorial Limusa Impreso en México

1993

35

© Estae material esta completamente permitido la

difusión total o parcial , ya sea

por medios electrónicos, mecánicos u otros.

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- Auto Cad 2009 - Derive 6 – evaluation

- Editor de ecuaciones 2003

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¿CUÁNTO CALZA, QUÉ EDAD TIENE Y

EL PORTAL?

Dígale a un amigo que escriba el número de los zapatos, que lo multiplique por 100, que le reste el

año en que nació (con las cuatro cifras y si lo está

haciendo con la calculadora no olvide de oprimir el =) si ya cumplió años este año sume 4 si no 3, que lo

vuelva a multiplicar por 100, y a ese resultado le

sume el número del portal de la casa. Pídale el resultado (o la calculadora) y sume 200.300; quedará

un número de seis cifras, las dos primeras el número

que calza su amigo, las dos siguientes la edad y las ultimas el portal de la casa.

EL TELÉFONO

Ahora escriba el número del teléfono, que lo multiplique por 10, y sume 1998 (si

lo hace con la calculadora siempre el =), que lo divida por 2, y le reste el año en el

que estamos viviendo (2001); Pídale el resultado y sume 1.002, y por último

dividido entre 5. Y ese será el número telefónico.

LA EDAD Y EL MES

Solicite que escriba el número del mes del nacimiento y que lo multiplique por 2. Que al resultado, le sume 5 y que a este último lo multiplique por 50 y que le sume

la edad. Solicite el resultado y a este réstele 250. El resultado final dará: las dos

últimas cifras, la edad y la primera o primeras, el número del mes de nacimiento.

JUEGOS MATEMATICOS

33

Figuras Perímetro Área

Paralelogramo

)ba(2P

haA

Figuras Área Volumen

cubo

2a6A

3aV

Esfera

2r4A

3r3

4V

Cilindro

hr2ALateral

2

Total r2hr2A

hrV 2

31

POTENCIACIÓN DE UNA MULTIPLICACIÓN Y UNA DIVISIÓN:

POTENCIACIÓN DE OTRA POTENCIA:

40) c

abxa

abxaLn

a

1

bxax

dx

41) cbxa

b3

a2bx2

bxa

xdx2

42) cxauLna8

1xaxa

8

1)xa(x

4

1dxxax 224222322222

43) c

a

xArcsena

8

1xaxa

8

1)xa(x

4

1dxxax 4222322222

44) caxxLna

8

1axxa

8

1)xa(x

4

1dxaxx 224222322222

0BB

A

B

A

BABA

m

mm

mmm

nmnm AA

29

8

CASO I

a) Factor Común Monomio

)2a(aa2a 2

b) Factor Común Polinomio

)mx)(ba()ba(m)ba(x

CASO II

Factor Común por Agrupación de Términos:

)ba(y)ba(xbyaybxax

)yx)(ba(

CASO III

Trinomio Cuadrado Perfecto:

222

222

)ba()ba)(ba(bab2a

)ba()ba)(ba(bab2a

CASO IV

Diferencia de cuadrados Perfectos:

)ba)(ba(ba 22

CASO V

Trinomio de la forma: cbxx 2

)3x)(4x(12x7x)1 2

)3y)(5y(15y2y)2 2

)3a)(5a(15a8a)4

)2m)(7m(14m5m)3

2

2

CASO VI

Cubo Perfecto de Binomios:

33223

33223

)ba(bab3ba3a

)ba(bab3ba3a

10) SenxLndxCotx

11) TanxSecxLndxSecx

12) CotxCscxLndxCscx

13)

2

CosxSenxxdxxSen 2

14)

2

CosxSenxxdxxCos 2

15) TanxdxxSec 2

16) CotxdxxCsc2

17) SecxdxTanxSecx

18) CscxdxCotxCscx

19)

dxxSenm

1m

m

xCosxSendxxSen 2m

1mm

20)

dxxCosm

1m

m

xSenxCosdxxCos 2m

1mm

21) 1m;dxxTan1m

xTandxxTan 2m

1mm

Integrales de formas cuadráticas:

22)

c

a

xtanArc

a

1dx

xa

122

23)

c

xa

xaLn

a2

1dx

xa

122

24)

c

ax

axLn

a2

1dx

ax

122

25)

cxaxLndx

xa

1 22

22

FACTORIZACION

27

10

Logaritmo de un producto LogBLogABLogA

Logaritmo de un cociente LogBLogA

B

ALog

Logaritmo de una potencia nLogALogA n

Logaritmo de una raíz

m

LogAALogm

Logaritmo de una misma base 1bLog b

Logaritmo de uno 01Log b

AbALogb

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

a = Primer termino

u = Ultimo termino n = Numero de términos

r = Razón o diferencia

S = Suma de términos

r1nua r1nau

r

raun

1n

aur

2

nuaS

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

1nr

ua

1nrau 1n

a

ur

1

)r(Log

)a(Log)u(Logn

1r

aruS

CscvCotvvCscv

SecvTanvvSecv

vCscvCotv

vSecvTanv

SenvvCosv

CosvvSenv

2

2

2

2

2

v1

vvtanArc

v1

vvcosArc

v1

vArcsenv

2v1

vvcotArc

1vv

vvcscArc

1vv

vvsecArc

2

2

LOGARITMOS

25

12

PROGRESIONES

Identidades por Cociente:

Cotx

CosxSenx)1

Tanx

SenxCosx)2

Cosx

SenxTanx)3

Suma y diferencia de dos ángulos:

TanyTanx1

TanyTanx)yx(Tan)3

SenySenxCosyCosx)yx(Cos)2

SenyCosxCosySenx)yx(Sen)1

Funciones trigonométricas de Angulo Doble (2x)

CosxSenx2x2Sen)1 xSenxCosx2Cos)2 22

xTan1

Tanx2x2Tan)3

2

Funciones Trigonométricas del Angulo Mitad (x/2):

2

Cosx1

2

xSen)1

2

Cosx1

2

xCos)2

Cosx1

Cosx1

2

xTan)3

Funciones Trigonométricas de Angulo Triple (3x):

xSen4Senx3x3Sen)1 3 Cosx3xCos4x3Cos)2 3

xTan31

xTanTanx3x3Tan)3

2

3

Otras funciones:

2

x2Cos1xSen)1 2

2

x2Cos1xCos)2 2

x2Cos1

x2Cos1xTan)3 2

2

yxCos

2

yxSen2SenySenx)4

Limites de funciones trigonométricas

1) 1x

SenxLím

0x

2) 1x

TanxLím

0x

3)0

x

Cosx1Lím

0x

Limites de funciones exponenciales y logarítmicas

1) ex1Lim x1

0x

2) e

x

11Lim

x

x

3) ex1Lim x1

0x

4) e

x

11Lim

x

x

5) Lna

x

1aLim

x

0x

6)

ax

0)x(f1

)x(f

1eLim

)x(f

ax

LÍMITES

23

14

La Recta

Ecuaciones de la Recta

Ecuación General de la Recta 0CByAx

Ecuación Punto Pendiente )xx(myy 11

Ecuación Pendiente – Ordenada bmxy

Ecuación Cartesiana o de 2 Puntos

12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

Ecuación Reducida o Abcisa – Ordenada 1b

y

a

x

Pendiente de una Recta

Partiendo de la Ecuación General de la Recta 0CByAx , la pendiente

buscada es: TanB

Am

Angulo entre Rectas

El Ángulo , entre Rectas, se calcula por:

21

21

21 mmmm1

mmtanArc

Paralelismo y Perpendicularidad

Dos Rectas: L1 y L2 son Paralelas entre si, cuando sus pendientes son iguales

21 mm

Hipérbola Partes de una Hipérbola

Características

a2ER

a

b2LR

2

1a

ce

222 bac

Ecuaciones de la Hipérbola

Eje focal paralelo al Eje X

1b

)ky(

a

)hx(2

2

2

2

Asíntotas:

)hx(a

b)ky(

GEOMETRIA ANALITICA

21

16

La Parábola Partes de una Parábola

Ecuaciones de la Parábola

Ecuación de de la Parábola con Vértice: V(0, 0) es: ax4y2

Ecuación de la Parábola con vértice: V(h, k), cuyo Eje es paralelo a las

Abcisas (Eje horizontal):

Foco: F(h+a,k),

Directriz. 0ahx

La ecuación es: )hx(a4)ky( 2

De acuerdo a al signo y eje de la Parábola presenta otras formas, como ser:

ax4y2 ax4y2 ay4x 2 ay4x 2

Las Ecuaciones Generales de la Parábola, de Ejes Paralelos a los Ejes X, Y

respectivamente son:

0FEyDxy2

0FEyDxx2

La Elipse Partes de una Elipse

Características de la Elipse:

Directriz:

c

ax

2

Excentricidad. 1a

ce

Lados Rectum:

a

b2LR

2

Relación de la Elipse: 222 cba

Ecuaciones de la Elipse

Ecuación de de la Elipse con Centro C(h, k)

Focos: )k,ch(F);k,ch(F

Eje Mayor Horizontal

1b

)ky(

a

)hx(2

2

2

2

19

18