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ANEXO 5
FORMATO 04 INFORME FINAL DEL PROIN:
Directiva N° 001-2014-OGIN/UNJBG
TITULO DEL PROYECTO
"Una introducción a las coordenadas curvilíneas generalizadas"
Código:
Resolución Nº:
Facultad
Esc. Acad. Profesional
8515-2016-FACI 1 (Inicio)
CIENCIAS
FISICA APLICADA
1. Investigador Principal
1MANUEL ANTONIO TAPIA SILVA
1.1 Miembros del equipo
Nombres y Apellidos Estamento (*)
Docente
3. Del Proyecto
3.1 Principales resultados obtenidos de la investigación
Método de transformación de coordenadas rectangulares, esféricas y cilíndricas.
Aplicación directa a la evaluación de algunas integrales por ese método.
C) se ha sistematizado y aplicado algunos tensores y se ha aplicado a la solución del potencial de un cuadrupolo para un anillo,
nrnhJarno.dgEísira. Tnárica (*) Formulados a partir de los objetivos planteados en la investigación
3.2 Resumen general de entregables o resultados parciales obtenidos
ler Informe Parcial capitulo 1. coordenas curvinneas. los tactores ae estala. aeciprotidaa de dos sistemas de
vectores. Cuadrado sobre un elemento de línea y de superficie. Elemento de área sobre una
su nerfirie gelarinn entre las rnmnnnentes rnntravariantes y rnvariantes de pm vertnr en
2do Informe Parcial magnético para puntos sobre el eje axial de una espira de radio a con corriente 1
3er Informe Parcial Capítulo ni. componentes contravariantes y covariantes de un vector. Introducción al análisis tensorial
4to Informe Parcial Tensores contravariantes, covariantes y mixtos. Aplicación a la expansión multipolar
electrostática
Informe Final
3.3 Principales problemas presentados durante la investigación
Ing orlando mlópez cornejo
(*) Docente, egresado, estudiante, administrativo
Problema Presentado Acciones Tomadas
)0000W000000C000CXYJOC >3•DOCODDOCCCCCCCCCCOra
Tacna, ...28... de ABRIL del 2017.
ordinad r CEIN Investigador Principal
Transferencia de Resultados 4.1 Propuesta de transferencia de resultados
Acciones Población beneficiaria Cantidad
publicación yen internet El investigador en Física Teóricay Matem. más de 10 000
4.2 Generación de Patentes, Licencias u Otros
¿El proyecto permitirá desarrollar una patente, licencia o similar?
31(x) NO ( )
?escribir tipo de patente y acciones para su obtención:
vía INDECOPI
INFORME CIENTÍFICO. Adjuntar el Informe Final de Investigación correspondiente, de acuerdo al formato respectivo.
Conformidad OGIN
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN
VICERRECTORADO DE INVESTIGACIÓN
(FACULTAD DE CIENCIAS)
INFORME FINAL DE INVESTIGACIÓN TITULADO:
"Una introducción a las coordenadas curvilíneas generalizadas"
RESOLUCIÓN DE FACULTAD N° 8515-2016-FACI-UN/JBG
INFORME FINAL
PRESENTADO POR:
Lic. MANUEL ANTONIO TAPIA SILVA
Co Investigador Colaborador Ing. ORLANDO LÓPEZ CORNEJO
28 de abril del 2017
TACNA PERÚ
PRESENTACION
En este trabajo se exponen ciertos métodos para el uso de las coordenadas
curvilíneas hasta llegar a generalizarlas, deduciendo algunas fórmulas de
vectores y tensores covariantes y contravariantes, haciendo algunos
modelos de aplicación.
El tratamiento es netamente teórico con el empleo de una Matemática
rigurosa.
Esperamos contribuir con este trabajo al avance de la Física teórica y al
estudiantado o erudito interesado, dotándole de una valiosa herramienta de
apoyo.
•
PRÓLOGO
Es preocupante en varias carreras de Ingeniería no se profundice el aspecto
teórico de las coordenadas curvilíneas y se sujetan a la aplicación de la
fórmula. Esto es una limitante para el avance en la investigación, ya que el
estudiante no siente la necesidad de crear sus propias estructuras sobre
todo en su aspecto teórico. Este trabajo es un esfuerzo para mejorar el
tratamiento de las coordenadas curvilíneas que, para el físico, es un arma
poderosa sobre todo para el tratamiento del potencial o el campo eléctrico,
que es casi todo el Electromagnetismo como se estudian en las carreras de
Física, Ingeniería Electrónica y Eléctrica. Muchas ecuaciones se utilizan sin
estar seguros de su formulación y a veces no son tan adecuadas o
aparentemente nos falta algo. En este modelaje se persigue además de
llegar a ecuaciones que son tan útiles, la deducción o justificación; sea
experimental o teórica pero que tienen muchas aplicaciones prácticas.
Los libros que se usan (casi en su totalidad bibliografía de origen extranjera)
presentan bastantes saltos en la exposición de las ecuaciones, causando
algunas veces algún desconcierto o dejando alguna duda en la veracidad
de sus ecuaciones.
Aunque el proceso puede ser largo, pero es maravilloso adentrarse en el
mundo del conocimiento teórico.
Este trabajo constituye un aporte al conocimiento y sobre todo a allanar el
camino al estudiante e investigador que va buscando nuevas estructuras.
INTRODUCCIÓN
De la necesidad de encontrar caminos más cortos para el tratamiento de las
integrales Por el descubrimiento de Faraday, que consistió en observar que
cuando un campo magnético varía con el tiempo, induce un campo
eléctrico, y por el principio de reciprocidad, de forma similar, cuando varía
un campo eléctrico en función del tiempo, nos induce un campo magnético,
que se establece en forma similar. El descubrimiento y sobretodo la
aplicación del conocimiento de la Inducción Electromagnética ha cambiado
la humanidad, con la aplicación a la generación de energía eléctrica y los
motores eléctricos
Es necesario expresar estas ecuaciones mediante un modelaje sistemático
adecuado.
RESUMEN
El trabajo se inicia en su primer capítulo con la transformación de coordenadas,
estableciendo los factores de escala y el concepto de componentes covariantes
y contravariantes, mediante los cuales establecemos las fórmulas del elemento
de arco, gradiente, divergencia, rotacional, laplaciano, etc.
En el segundo capítulo se hace una aplicación de alguna de estas fórmulas a la
aplicación al ángulo sólido. Aquí se hace algunas aplicaciones importantes al
Campo magnético para puntos sobre el eje axial de una espira de radio a con
corriente, de corrientes lineales y en el centro de muna espira cuadrada.
En el tercer capítulo se trata sobre las componentes contravariantes y
contavariantes de un vector, introduciendo el concepto de tensor y la
transformación de coordenadas.
En el cuarto capítulo se establecen los conceptos de tensores covariantes y
contravariantes de los tensores. Con un ejemplo, en el que se tienen las
componentes cartesianas de un tensor, hallamos su transformación a esféricas.
Terminando con una aplicación de la evaluación de una expresión tensorial
llamada momento cuadrupolar eléctrico en el cálculo del potencial en un anillo
de densidad uniforme.
El modelamiento físico matemático se hace a través de todo el trabajo.
ABSTRACT
The work begins in its first chapter with the transformation of coordinates,
establishing scale factors and the concept of covariant and contravariant
components, by which we establish the formulas of the element of aro, gradient,
divergence, rotational, Laplacian, etc.
In the second chapter an application of some of these formulas is made to the
application to the solid angle. Here we make some important applications to the
magnetic field for points on the axial axis of a loop of radius a with current, of
linear currents and in the center of a square loop.
The third chapter deals with the contravariant and contavariant components of a
vector, introducing the concept of tensor and coordinate transformation.
In the fourth chapter the concepts of covariant tensors and contravariant
tensors are established. With an example, in which we have the Cartesian
components of a tensor, we find its transformation to spherical. Finishing with
an application of the evaluation of a tensor expression called the quadrupole
electric moment in the calculation of the potential in a ring of uniform density.
Mathematical physical modeling is done throughout the work.
CONTENIDO
TEMA PÁGINA
CAPÍTULO I. COORDENADAS CURVILÍNEAS 1
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS 1
COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES 1
VECTORES UNITARIOS Y FACTORES DE ESCALA 2
EL ELEMENTO DE LÍNEA 3
LOS DIFERENCIALES DE ÁREA 3
EL ELEMENTO DE VOLUMEN EN
COORDENADAS CURVILÍNEAS 4
COORDENADAS ESFÉRICAS 4
CORDENADAS CILÍNDRICAS 7
GRADIENTE EN COORDENADAS CURVILINEAS 11
DIVERGENCIA EN COORDENADAS CURVILÍNEAS 12
ROTACIONAL Y TEOREMA DE STOKES 14
EL LAPLACIANO EN COORDENADAS CURVILÍNEAS 17
CAPÍTULO II. ALGUNAS APLICACIONES DE LAS
COORDENADAS CURVILÍNEAS
19
EL ÁNGULO SÓLIDO
19
CAPÍTULO III COMPONENTES CONTRAVARIANTES DE UN
VECTOR 28
COMPONENTES COVARIANTES EN LOS DOS SISTEMAS
DE COORDENADAS 30
ANÁLISIS TENSORIAL 32
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS 32
CAPÍTULO IV TENSORES CONTRAVARIANTES COVARIANTES
Y MIXTOS 36
DELTA DE KRONECKER 38
OPERACIONES CON TENSORES 38
FÓRMULAS DEL GRADIENTE ROTACIONAL, DIVERGENCIA
ROTACIONAL Y LAPLACIANO COMO TENSORES 39
Aplicación a la expansión multipolar del potencial
electrostático 40
CONCLUSIONES. 53
1
CAPÍTULO I.
COORDENADAS CURVILÍNEAS
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS. Consideremos las coordenadas rectangulares de un punto (x,y,z), expresadas en función de las variables (u1,u2,u3), en la forma:
x = x(ul ,u2,u3 ) y = y(ul ,u2,u3) z = z(ut ,u2, 3) Y si despojamos (u, , u2 ,123)
= u, =u2(x,y,z)
u3 =u3(x,y,z)
Suponemos que las funciones de (1) y de (2) son uniformes y derivables, con derivadas continuas, de tal manera que la correspondencia en las temas (x,y,z) y (u1 ,u2 ,u3 ) es recíproca (biunívoca) Dado un conjunto P de coordenadas P(x,y,z), se le puede asociar, según (2), un conjunto único de números P(ui ,u2,u3), a los que llamamos coordenadas curvilíneas en P. Los sistemas de las ecuaciones (1) y (2) definen las transformaciones de coordenadas.
COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES
Las superficies u, = c1 u, = c2; 113 = c3, donde c„c2,c3 ci, cz, c3 son constantes, se llaman "superficies coordenadas"
... (2)
e =
Iau3
e2 — ara/a:2
au2 arlau3
at au2 ,- h2e2
at au3 = h3e3
Las intersecciones de cada par de superficies definen las líneas coordenadas Si se cortan en ángulo recto, entonces el sistema curvilíneo es ortogonal Existe una analogía entre las líneas (u, , u2 , u3) con los ejes (x, y,z)
VECTORES UNITARIOS Y FACTORES DE ESCALA
Sea el vector r = xr + yj + zE un vector de posición en el punto P lo podemos expresar en la forma:
P = r(u1 ,u2,u3 )
El vector tangente en P a la línea u,, (para la cual u2 y u3 son constantes) es ar &al
Entonces el vector unitario tangente en la dirección y sentido anterior es at au
= ar
Hagamos
ap Donde h = 1 a,
En forma análoga
ay = hlel
(Módulo del vector tangente en el punto P).
Las magnitudes h1,h2,h3, se denominan "FACTORES DE ESCALA" donde
3-7 OP h — aul
h2 =
812 h3 =
1%3
El sentido de los vectores el, e2, e3 es el del crecimiento de u!, 112, 113. Como Viu, es un vector normal en P a la superficie ul = Ci, el vector unitario en esta dirección y sentido viene dado por:
Y en forma análoga
É = Vu2
3
Se puede expresar un vector A en función de los vectores unitarios (el ,e,,e)) o de
(EI ,E2,E3 ), como:
A= AA+ A2e2 + AA= ai E, + a2E 2 +
ar ar ar Todo vector A también se puede expresar en función de los vectores o de
aui
8112'au3 vu,,vu,,vu, : A los que también se les denomina vectores unitarios en la base. Entonces
„_, ar ar ar 2=u3—+L2 + C3 — ; o bien aut
0112 au3 = c1Vu1 +c2Vu2 + c3Vu3
A las componentes C1,C2,C3 se les denomina "componentes covariantes" y a las
componentes e,,c,,e„, se les denomina "contravariantes"
EL ELEMENTO DE LÍNEA Partiremos de la derivada total de un vector
Por lo que
es el elemento de línea.
ar Sr dr = dui +—
ardu 2 +du 3
aul 8112 Su,
dr =hi du iel +h2du 2e2 +h3du 3e2
LOS DIFERENCIALES DE ÁREA sabemos que el área que forman dos vectores A y B se da por a =1 AA y su dirección es perpendicular al plano que forman A y B
Los vectores unitarios 1,,e,,e3, determinan los productos escalar Y vectorial
respectivamente; tenemos que:
1, si 1=n -e„= O si /
4
x e2 = es e2xe3 = erre- = e2
e2x1 = —13 es x e2 = — epte3 =
En sentido anti horario es positivo y en sentido horario es negativo. Por consiguiente, los diferenciales de área son
da, = h2du2e2xh3duie3 =h2h2du2du3e1 da2 =11,du1e1 xh3du3e3 = hilisclui duse2 deis = li1du1e1rh2du2e2 = h,h2du1du2e3
Por consiguiente, el diferencial de área en coordenadas curvilineas es: da = h2h3du2du3e1 +12,113duldu3e2 + h1122clu1 du2e3
EL ELEMENTO DE VOLUMEN EN COORDENADAS CURVILÍNEAS: El elemento de volumen viene dado por
V= A.(BxC) Por consiguiente:
V = hidule, • (h2du2e2xlviu3e3 )
= h1l72123du1 du2du3(e1 )•(e2xe3 )
= kh2123du1du2du3(11 )• (el )
V = 13,122h3duldu2du3
Le aplicaremos de manera inmediata a coordenadas esféricas y cilíndricas.
COORDENADAS ESFÉRICAS. Es aplicable en los problemas que tienen simetría esférica. Un punto P del espacio tridimensional se representa en coordenadas esféricas por medio de tres números reales ( r, 0, ; entonces:
ti = f(r,0,0) La correspondencia (u, ,u2,u3 ) <=> (r,0,0)
u, = r du,= dr u2 = O du2 = de
u3 = Ø =i du3 = d0
x = rSen0 Cos0
y = rSen0 Sen0
z = rCos0
r =(x2 + y2 + Z 2 Y2
O = Are Cos(z I r)
0 = Arc tTg(y1 x) El vector r en cartesianas es
= xti + yj + zrt
Y su elemento de línea es = dx7 + dyj + dzit4
El vector posición r en función de las coordenadas esféricas y los vectores unitarios es
= rSen0 Cos0 7 +rSen0 Sen0 j +rCos0
Hallemos sus factores de escala:
hl = h = — risen cos + sen Osen 01 + cos Oli r ar
sen 20 ces 2 0 + sen 20sen 20 + ces 2 0 =1
5
h, = he =
OP —r cos 9 cos OT + sen O cos 01 — sen
as = vos 2 0 cos 2 + sen 2Osen 2Ø+ sen 2g =r
6
— sen Osen bT + sen O cos 01 - sen Oíl
= r-isen 2Osen 2 0 + sen 2OCOS 2
= rsen0 h, =1
ho =r
h = rsen0
Los vectores unitarios son: 1 aP 1 a?
ej=e = ' h1 0u, h, ar
Pero ak/ar= sen0 cose i + seno sen44 + cose k
Entonces
é = '-(sen O cos OT + sen Osen Øj + cos 0E) ' 1
En forma análoga con eo y e0 y resumiendo:
er= seno cos4)i + sen0 senkj + cosOk ea = cose cos4)i + cose seSj + col&
= - sentid + cosOj
Despejemos i. j y k de este conjunto de ecuaciones para hallar los vectores unitarios recíprocos Hallemos el determinante
senecos+ senesen* coso
á = cosOcosth cos Osen 4) -sen0
-sene cos4)
= Sena cos0(Sen9 Cos0)- Sen9 Sen04- sena Senq5)+ cosO(cosO cosa Ø+ Co Sen20)
A=1
er Sen0 Sen4) Cose
i= es Cose Sen -Selle
ecti Cosi) O
i= er cos Osen 4) - ea (-cose cosch )+ e ( - sen29sen0-cos2 asen0)
h 3 = h 0 =
Resumiendo:
O,
7
Acomodando, y en forma similar para los demás, tendremos que los recíprocos son: i = Selle Cos+ e, + Cos0 Cos+ ea - Sen+ j = Seno Sen+ Cr + Cose Sen+ ea + Cos+ k = Cos0 e,- Sen0
El elemento de línea. O "desplazamiento elemental"; se da por:
asas
as
clt = du, +- du2 +—du3
au2 au3
= h2du2e2 + h3du3e3
di' = (Odre,. + rd Be() + rsen Oe#
Los diferenciales de área.-
da = h2h3du2du3e1 +121 113du1du312 +11h2dit1du2a3
El vector diferencial de área es:
da = hely Eld q5er + hr hodrd#9+ hr hodrd"
y reemplazando los valores de los factores de escala
da = (r)(rsen (d0c10)e, + (1Xrsen (9)a9 + (1)(r)drd 6110
Y las componentes de los diferenciales son:
da r = (rd0)(rsened0)= r 2sen0d0d0 da 9 = (dr)(rsen 9d0). rsen Odrd 0
da# .(dr)(rd0). rdrd0
El elemento de volumen
Se da por
=12,122h3duidu 2du2
V =(1)(r)(rSenOdrclOt10
V = r 2SenEldrded0
Ubiquémoslos en el sistema cartesiano:
CORDENADAS CILÍNDRICAS
Veamos la figura:
x P = (p,#,Z) x= p Cosi) y = p Seml) z z p= (x2 +y2)
r = (x2 + y2 + z2)I /2 = Are Tag (y/x)
El vector posición r
= + yf + zk
= pCos0i + pSen0f + zk
Entonces p(it1 ,u2,u2)
= P u2 =
143 = Z
du, = dp du2 =dqi du, = dr,
e1 =ep e2 =e ;=ex
Hallemos los factores de escala
8
11, = hr = ar au,
aP ap
=icos OT + sen 0:11
=1
e- h2 h0 = for =1— pena- + pcos0j
= p
= p(1)4dze fr,
das,. pdOd z
da2 = hih3du1du3
da0 = dpdz
da3 =h1h2du1du2
daz = pdpd0 Entonces da = pd(óclz ep+ dpdzerE pdpd0e,
El diferencial de volumen es:
dv =1211113 dvi dv2 dv3 = (1)(p)(1)dpd dz 1)
v = (1) (p)d dz
dV = (dp)(pd0Xdz)
dV = pdpdqrlz
Ubiquémoslos en el sistema cartesiano:
GRADIENTE EN COORDENADAS CURVILINEAS
El gradiente es
Vf = fi el+ f2 e2 +f3 ... (1) Siendo fi, f2 y f3 coeficientes a determinar
Además sabemos que df = V Edr ...(2)
Y también dr= hidu, ei + h2du2 e2 +h3du3e3 ...(3)
Multiplicando escalarmente (1) por (3) y reemplazando en (2)
df = filu dvi + f2h2 dv2 +fil3c1v3 (4) Además sabemos que:
df =dzi +—af du2 +4du3
au2 au3 Igualando (4) y (5)
Y reemplazando las 3 ecuaciones en (1) se tiene
2. 1 af af af = au, —h2 —3142 e2 h3 6u3 e3
Que es el gradiente en coordenadas curvilíneas.
Así, tendremos en consecuencia que:
En coordenadas cilíndricas
af 1 Of laf
lap '9 pa0 laz r Es decir:
11
Vff e
+ —1 af
+ —af
aP P 80 az
12
En coordenadas esféricas. El gradiente será
iaf af 1 af Vf = —8/3 r al° rseneea
O sea
af af 1 af Vf = + +
ar r ae rsen0 30 - -
DIVERGENCIA EN COORDENADAS CURVILÍNEAS
La operación de divergencia no es la simple multiplicación escalar entre el operador nabla y el vector, debido a que los versares son función de las coordenadas, por lo que las derivadas de los vectores unitarios tienen valores diferentes de cero, preferible usaremos la defmición generalizada de la divergencia, independiente del sistema de coordenadas, obtenida de:
lim f A da = [V . A] AV
Hm Vv-> o
Entonces
f Á- da V • -A= hm
áv-0 AV
Tomemos un elemento AV de volumen
El vector
A =44 +A2e2 +AA y el vector diferencial de área
13
da = h2h3du2du3e1 + h1h3du1du3e2 + h1h2du1du2e3
El flujo es entonces
fi A • da = 55(4 • n)dal +55(4 • n)dal + ¡5 (22 n)da + 55(22 • n)da + 55(23 • n)da 3 +
'Oda' 3'
El sentido de la normal en las integrales con prima, es negativo. Entonces teniendo en cuenta la ubicación de las superficies constantes u, y teniendo en cuenta de que el vector en cada superficie prima es función de cada u más el incremento respectivo, tendremos que:
(Á • da)= ff[443 (hlui + 1 )1172h3du 2du 3 +
+ [A2 (h21121 + h2A142 )—A2 (h2 U 2 )1hih3dUld113 +
fi[A3 (h3u3 + h3Au3 ) — A3 (h3123 )]hh2du1du2
Como las dimensiones del elemento de volumen son infinitésimas, entonces la variación en la integral es muy pequeña; por lo que la integral es casi constante. Entonces podemos escribirlo como una buena aproximación:
(2 • da)=[A1 (1.4u3 + hi Aul ) — Á (h, )lh2h3Au2Au3 +
+ [A2(h2u2 + h2Au2 ) A2 (h2U2 )Ihl h3ati AU3 +
± [A3 (h3143 h31t113) — A3 (h3U3 )1h3h3AU2AU3
Multiplicando y dividiendo al primer término del polinomio del segundo miembro por cada u, apropiado, acomodando y llevando al límite, ya que es un infinitésimo, tendremos que
{S (2 • da) = Aul 1 [4(ku1 + — A1(ku1)1172h3Au1au2Au3+
1 +ljm [A2 (h2u 2 + h2au 2 ) — A2 (h2u 2 )1103Au, Au2Au,
au2
1 [A3 (h3li3 h3AU3 )— A3 (h3 24 3 )1h3 h3 Aul Au 2 Au 3
Au3-1° AU3 Vemos que cada uno de los límites es una derivada parcial. Entonces:
lint if (A da) { 8(A1h2h3 ) 3(A2/03) 8(A3h1h2) }A3u
aui au2
0u3
14
Donde g u = Aul Au2Au3
Y dividiendo entre el elemento de volumen AV = h,h2h3gu tenemos que la divergencia es:
IR da Hm =v • A - Av-s) AV
1 [a(A,kh,) a(A2443)
±
8(Á3h1h2)1 kh,h, L aul au2 5113
En coordenadas esféricas
57.2= 1 a(r 2senale ) a(rsen049) 8(rA0 )]
(1)(r)(rsenO)[ ar ao 50
1 8(r2A,.) ± 1 8(sen6A9 ) 1 8(ri10)
ar rsen0 849 +
r2 sen0 o
En coordenadas cilíndricas
v2= 1 + + oxpx»L ap o az
1 49(PAP ) + 1 v • A =
P aP P a0 az
ROTACIONAL Y TEOREMA DE STOKES
Tomemos el rotacional a partir de la circulación, como la integral de linea de un vector alrededor de una trayectoria cerrada.
Circulación
C = 5 A. di (1)
Donde, si C es el trabajo, entonces A es la fuerza.
Calculemos (1) para el contorno infinitesimal de la figura
u Á h3du3e3 4 \ \ 3 1 \---s----- \
2 4
122a74 2
h3Au3
15
U.2
112 du ? 2
e
El vector A es: A ---- A1 ej + Az C2 + A3 e3
Y el vector elemento de línea
dl = hi di ui ej + hz (12 U2 ez + h3 d3 U2 e3
Entonces: A• dr = AlhIdu,+ A2h2du 2 + A3h3du3
Podemos hallar la circulación en la superficie SI (dirección perpendicular al elemento de volumen) y le llamaremos
hith./01 hit-fitAlt /Voz hit
= j4032Qh2dit ÷ j'A (h2U2 ±h2AU2)h3d15 ± S403113 ± kAU3 Y/2" ± 402% »d%
hit kurEkan: hit+h3t03
Agrupando
r iwm,s histithimq = f[ 4(h2u2 -1-177 Au2 )— As(h,u2 )11,clu,— f[ 4(173u3 +ItAu3 )— A2(kti,)1h,du,
A"
Y con los argumentos del tema anterior, tendremos en el límite y acomodando:
16
c„, hirt{[h3,43 (h2 U 2 + h2A6:22 ) h3 A3 (h214 2 )1 [ h2 A2 03143 h3 ) h2 A2 033; )1} Au 2Au 3
4213
C1 Ja( k33) a(hau2A2 )1Au2Au3
Dividiendo entre el elemento de área h2h3Au2 Au3 , tendremos el teorema de Stockes. La 010 circulación por unidad de área es:
1 [a(h3A3 ) a(h2 A2)
h2h3 0u2 8U3
Que es la componente del rotacional en la dirección de el. Es decir
(Vx‘4) • e — 1 [a(h 3 A3 ) 3(k2 A2)]
13 2113 0u2 5u3
En forma análoga para las demás componentes tendremos que la circulación por unidad de elemento de área será, entonces:
v r_ 1 a(h3A3) O(k4)h2h3 3zi2 0zi3
1 [3034) a(k4)}, 1 [a(h2-42) a(kA,) 1,3 kh3 aui aus 2 ± kh2 Ou _
y lo podemos expresar como un determinante, mediante:
h2e2 h3e3
Vz4= a a a
h l Al h2A2 h3A3
A la vez estamos comprobando que se cumple para coordenadas curvilíneas la definición dada de
hm —1
f (A .d1)=VxA &3.0 pa
Determinemos el rotacional en coordenadas esféricas y cilíndricas.
17
En coordenadas esféricas:
Ya sabemos que sus coordenadas curvilíneas y sus factores de escala, respectivamente son
= r u2 = u3 =0
hi =1 h2 = r h3 = rsen0
Por consiguiente:
1 =
a(rsen SAO) 00A, GA 0)
e [
ao ao r 2 sen " [0(rsen
ar a(Ale
Dos ra,me, 0(A,n
IQ rsen II
I I ar ao j
En coordenadas cilíndricas
u = p
hl =1
u 2 =
112 =p
123 = Z
h3 =1
Remplazando en la fórmula del rotacional en coordenadas curvilíneas tendremos que:
e
1 = —
P
a a ao
A0
a ap
A .0
Es decir
iftaa. a(pAo l, (Mp aAz je ±(a(P.40 ) a A p )e l V =
p az ) P az ap • ap aø ) 2
EL LAPLACIANO EN COORDENADAS CURVILÍNEAS
Partimos de la definición de Laplaciano
V2w= V.(Vw)
y Sabernos que el gradiente y la divergencia se dan, respectivamente por
aw V y —
a —
ye2
au) h3 u2 h3 8113
y • e = [a(h2h311) + MA12)+ 3(417213)1 h1h2h3 au, 5u2 1723
Donde se ha puesto
e = vv
Reemplazando, tenemos que
v2w. 1 [a (h2h3aw)± a (M3 3W» 43 (h1/22 aVij
43u1 k aul 0u2 kau2 5143 0243
En coordenadas cilíndricas
[a p(1) w a no aw a (1)(p) a wl v 2w= (1)(pX1) ap(
1 3p, 43Ø a0 ( p 3u2 3Z az ( (1) 8213
1 a aw, 1
02 02ig p Oí; ap p2 aw2 az2
En coordenadas esféricas
Tendremos que
y217 = 1 [ a ((r)(rsen0) al+ a (rsent9)(1) aw)± a (1Xr) al] (1)(r)(rsen0) ar (1) ar r 860 80 rsen0
1 a (r2 )1_ 1 o (seneaw), 1 a2w r2 & ) r 2sen0 af9 36) r2sen20 aqs2
18
19
CAPÍTULO II
ALGUNAS APLICACIONES DE LAS COORDENADAS CURVILÍNEAS
Consideremos algunas aplicaciones del manejo de estas coordenadas
EL ÁNGULO SÓLIDO
Angulo sólido es el espacio comprendido dentro de una superficie cónica o piramidal. Se expresa en estereorradianes (1). Si S es el área del casquete esférico interceptada por el
ar ángulo sólido; r es el radio de la esfera y 12 es el ángulo
sólido, entonces, se tiene la siguiente relación S = Q r 2
El estereorradián es la unidad del ángulo sólido en el SI y es aquel que con su vértice en el centro de la esfera, subtiende un área sobre la superficie esférica, equivalente a la de un cuadrado cuyo lado es igual al radio de la esfera.
Si tomamos un elemento de área en la superficie de la esfera tendremos que da, =(rd0)(rsenO d0). r 2senO de dØ; esto tiene una relación
directa con el ángulo sólido; entonces da, = r 2d11. Donde notamos que el elemento de ángulo sólido remplaza al producto de los diferenciales de los ángulos generadores de la circunferencia. Es decir: drI=SenOd011
Sus unidades son RADIANES CUADRADOS (Radianes 2) al cual llamamos ESTÉREORRADIÁN
d
- d rSene
elementos de linea en cordenadas esfencas
Veamos un par de ejemplos
Ejemplo. Hallar el ángulo sólido de un octante de esfera
II /2 Ir/ 2
Sena dt9 dØ O O
w12
= Sen0 dt9 2 o
=_ KOS01112 2
o = - 5-[cos -Co.s01 2 2
= It
2
Ejemplo Hallar el ángulo sólido de la esfera cerrada
20
En este caso los limites de integración son 2rs
fi = SiSenO de d0 Q=2irf Sen0 dO o o o
= —24Coset = —24Costr — Coso]
12=47c El ángulo sólido en cualquier superficie cerrada en el espacio es 12=4ir
Pero veamos en las figuras con coordenadas esféricas: En la primera figura vemos que el elemento de área en dirección del radio es
aru =1; x1.2 =
dar = (rde)ti9x(rsened0)110 = r 2 sen OdOd 0 U,. Entonces
dar = r 2senOdOdt5
Y como dli = rsen d0 d12 = rd
Los ángulos que los subtienden son dl — 41L=senOdØ = dB
Y el producto de estos ángulos nos representa el ángulo sólido
df2= (Seno d0XdO) Lógicamente sus unidades son Radianes2 a lo que se denomina Estereorradián
En consecuencia, tendremos que
di2 (Sen Od0Xdi9)
r r Es decir
da r; =(Seni9d0Xd6)
dar = dr1 r2
21
23
Campo maanético para puntos sobre el eje axial de una espira de radio a con corriente /
Hallemos el campo magnético B para puntos sobre el eje axial de una espira con corriente estacionaria I y de radio a en el punto P ubicado a la distancia z sobre su eje.
p f
drxrr t.'
El elemento de longitud es
En la figura vemos que
Entonces
dr r-(c1d0»0
r' = (7 2 +cr)
171 = zk - El producto vectorial
drxri = (ad(b)e,SE - aep ]
dna" = (adO)[zurrk - aerrep ]
=(adib)[:gi, + ard
24
Por consiguiente
B. ,u0 i r 9" . 4. poi r a2c101 42r r" 4z r"
En la componente cada punto tiene otro punto simétrico en el otro extremo de la
circunferencia de tal manera que la integral se anula. La corriente contribuye a lo largo del eje a Entonces tendremos que la componente del campo:
B= 422" 4% r"
Pero r'=(z2 + a 2 ); entonces tendremos en la integral Reemplazando
B =
21 11.1 a 2 B. v
4z r'3 o
poi a 2
2 (a Y en el centro de la espira: z = O
B poi a2
2 (a2 02 )3' 2
pol =
2a Esta es la expresión de la densidad de flujo magnético en el centro de una espira circular. Para N espiras, el campo en el centro será, entonces:
pol B= N
2a
Campo de inducción de corrientes lineales
Hallemos el campo de inducción en un punto situado a la distancia perpendicular b de la línea.
drxr = bdI e95
E = lbf # 4ff
dl e b2 +12
-Y
25
L/2
Apliquemos la ecuación de Biot-Sabart
4z
Entonces
Además
T=iR p=be dT=dllE
= p-T r = be -1Ec
r .(1)2 +12)'2 dT xr p - irc) aTxt =(bdIXixe)
Hallemos el módulo del campo
Trabajemos en la integral
Hagamos
fi -- 12 dl
k„I b 2 +12
1 =tga dl = bSec2ada
Entonces podemos sustituir e integrar
f dl bSec
(
2 1 Sec ot
= 3a bi Cosa = bSena = b ,ib2 +12 All+tg243
Reemplazando estos valores
— ° I —b «Sena): * zkr
= I L(Senar2 b
itol 1 B —
4gb[ 4b2 +12 1 Supongamos que a = 450
izo / = 2
42r —b
Sen45°
•
•
26
En el centro de una espira cuadrada
2,7í po l 4 (1) /2) ira
27
Para la varilla infinita: 1 —)cx)
B =,u01[ 1 47rb ,Ib2 +12 1/1
B = 2poi [ 1 1_ pol trb -\11)2 + 12 2zb
1
1 b 2 .q1+
/3= Poi 27rb
1
Entonces tendremos el campo para una varilla infinita con corriente
brb Las líneas de inducción magnética son líneas concéntricas alrededor del hilo. Es el mismo resultado obtenido por la fórmula de Ampere.
28
CAPÍTULO ni
COMPONENTES CONTRAVARIANTES DE UN VECTOR
Veamos para el caso de dos sistemas de coordenadas curvilíneas
Sea el vector Á dado en dos dimensiones de coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3) y
(u, ,u2,u3) , hallemos la relación contravariante del vector Á en ambos sistemas.
En cartesiana, tenemos que Á=x-i-Eyi+zict La transformación de coordenadas se da por
x = xl(ui,u2,u3) y = (U3, U2, 243) 1.a
X = Zi(U3, U2, U3)
Y en el otro sistema:
_ x = x1(u1,u2,u3)
Y = Y ( u-2 u-3 ) 1.b
z= z1(ui- ,u2,u3)
Busquemos una forma de transformación directa de (u1, 143) a (ui ,u2 ,u3 )
Entonces tendremos
— — Ui = 211(123 ,U2,U3)
— — U2 = U2 (U% , U2 , U3 )
— U3_, U3 023 ,U2 ,U3 )
(2)
Por la regla de la cadena
—02 aÁ
ick + au du2 + du3 - a1du1 +a2du2 +a3du3 aui 2 aU
da-2 + a,du N a; ati3 2
es decir que
+ et2du2 + a3du3=aidu +112^ + ex3du3 (3)
De (2)
29
aul aui dt41 = " ay). ‘1272 dit3 sael "1'3
du2 =
au du3 = &fi
an2 dri. au2 du 2 " 3
+ —3143 dU2 + —au3" 8E12 "
Reemplazando en (3)
121(8141 di;du2 + au1 du3 )+02(:2 dui + u2 317-15 du2 + -Cau du3 all-2 "
3[au3 aU 3 aU3
8E11 44141 8;"4.2 " 3 = ctidui+a2dff2+53"
Igualando coeficientes:
au au aul &TI arti
out aul aui + (22 + =
—.2 —2 —2 (4)
O11 + aui ce„ O1 = tr.3 3 n_ 3u3 2 ari3 Ca.4 3
Podemos expresar el vector A en ambos sistemas de coordenadas, como:
= Clic; +C2(22 +C3a3 -4
A=Cl aí+C2 a2+Cr3 a3 (5)
Los coeficientes C, c2 C3 Y C1 C2 Cr3 son las componentes contravariantes del
vector A en ambos sistemas.
Entonces
+C2a2 +C3a3 = a-l + C2 Ce.2+ C3 U3
Entonces
30
Cl(ai -1-au +a +a u j+C2(a fiu +a —A8 u + au2 a3 au'j oui 2 aui 3 aut I au2 2 au2
+C3(0/1 a2 aul +a3 aut j- rnir 3 aft3 aU3
le, aui Out auij: +(r, aut +C Su r tul): +
afr, '2 alli aui '1 '1 art2 au2 ' au2 '2
ÍCI fil4 + C2 li3U C3 j;3 au3 atz atT3 3
Por consiguiente:
OU aU C 8U1 " 8; 2 8; 3 "
C2 =C1 +C au
Cul Arr2 3 nn (6)
3u au C =Cr -FC ají 3
su, 2 8; 3 5v
Podemos simplificar
(3u au (8) Cp = +C2 --1-3 +C3 P , con r1,2,3
aut 8; 8113
Ci más aún
Cp = ÉC, p=1,2,3 v«,2 (9)
COMPONENTES COVARIANTES EN LOS DOS SISTEMAS DE COORDENADAS
Representemos las componentes covariantes en los sistemas (u1, u2, u.3) y (u1,u2,u3), por c2 c3 y ty, c e3 ,respectivamente.
Hagamos A= c1Vu1 +c2Vu2 -1-c3Vu3
(1)
= VI; c2 V 11 2 c3 V;
Y si
31
" _" aul 4_ 111P 5U2 4_ 0up 0u3 ax &di ax au2 ax 0u3 ax
" ar 0711 "
±
°U2 + (371P °113
°Y 112 2 °Y °U3 °Y
all ti a UP 0u 074 8142 " 19U3
aZ = alli aZ «3 2& " az Con p= 1, 2, 3.
Además:
+c2Vu2 +c3Vu3=
(2)
5112 4_ e _all3y (el _8141 e2 °112 e3 _al": + C2 ax 3 ax
°Y °Y °Y
+(
Bu au2 0143 g c1 —+ C2 —+ C3 (3)
az az az
cyul +c2Vu2 +c3Vu3= 13r1 +e +c au y (4 8---11-+C 0u2 2 ex 3 ax ay 2 ay ay
8U2 " r e —+C aZ 2 aZ 3 aZ
(4)
Igualando los coeficientes de los vectores unitarios f,j, X en (3) y (4), tenemos:
Bu Bu até °U 8w ci 1 c2 2 c3 °U3 =ci I + e2 2 e3 3
ax ax ax ax ax ax
(5)
32
Out aU2 1113 Mil arl2 8E13 Ci —+C2 ÷C3 = aZ aZ aZ ax aX aX
En analogía, reemplazando como en el caso de los contravariantes:
r 821 r —1
1 —1 out au2 aus
r "-"2 au ' 0,42
ri
r art2 r 2 2 _ ari
au3 (6)
att 827 au3 +c 3 = —3--Fc au, 2 au2 3 An v"3
Definamos:
"Si tres magnitudes C1 C2 C3 , en un sistema de coordenadas (u1, u2, u3), están
relacionadas con otras tres C1 e; C-3 en otro sistema de coordenadas , mediante las
transformaciones de la ecuaciones (6), (7), (8) o (9), entonces dichas magnitudes se denominan componentes de un vector contravarianfr, o tensor contravariante de primer orden".
ANÁLISIS TENSORIAL
Espacios en N dimensiones. Ampliemos el caso de 3 dimensiones (x,y,z), (p, Ø, z), (r, 9, 0) a espacio de N dimensiones. Un punto en N dimensiones se caracteriza por un conjunto de números a los que nombramos por (xl, x2, xn), en donde ml, 2, 3,...N no son exponentes y por supuesto que no se pueden ser representados gráficamente.
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
Si P(xl, x2, ... xn), y P (±1, Ñ 2, xn) son las coordenadas de un mismo punto e4n dos sistemas de referencia distintos. Supongamos que existen N relaciones independientes entre las coordenadas anteriores, de la forma.
271 „. £1.(x I., x2, ...2(11),
27.2 22(x1, x2, ...xtt), (1)
'73 = £3 (x1 , x 2, xn).
(2)
Con 1c=1,2, 3, ..., N
Se supone que todas las funciones son uniformes, continuas y con derivadas también continuas.
Bajo estas condiciones a cada conjunto de coordenadas (zi, £2, ) le corresponde un conjunto único (x1, x2, ...xn), de manera que
xk = x2 Xn) Con Ir=1,2, 3, ..., N
Las relaciones (2) 6 (3) definen las fórmulas de transformación de un sistemas a otro.
Convenio de los índices repetidos. Se deben a Einstein. Podemos expresar:
aix1 + a2a2 + + aN xN como
N
JE a.1 X a.1XI
'COMO
J=1
Todo índice que se repita en los términos que implica una sumación respecto de él, ej: a xP . A veces se le denomina SEUDO ÍNDICE O ÍNDICE UMBRAL.
Veamos el ejemplo:
Los términos de la suma a ficxk
a12a2 ••• amxN
33
Los términos de la suma ilikxhr
34
N AJkt= E k A = + ...+ fr,AN'
k-1
Supongamos que
= (ti", + a2du2 + a3du3 es el elemento de línea Y el cuadrado del elemento de línea se puede expresar por
3 3 ds2 = E g pqdu pciur
p=1 q=1
donde gpq = p • aq
Esta es la fórmula cuadrática fundamental o forma simétrica. Los coeficientes gp, se denominan coeficientes métricos y tienen simetría.
En coordenadas ortogonales
gpq = g„ con P si p
Es fácil darse cuenta que
g,'„ = h,2 g =«2,
Escribamos todos los términos de
g__33= P4
ax j axk
ra = g jk , con N=1, 2,3. axr Ox'
3 3 xj ax/t
grs = Egna
1=1 k=1 Ox 5X
v3 aX j ari 5X2 aXi aX3 = -r -s -r -s + -r -3)
rd a% a% aX ar I3X aX
arj ari axj ax2
=1E11 -r + 8X aX aSr 8X3
8X j 8X3 g3t -r -8 I
aX aX
35
axl axi ax2 axl aX3 aki -g11 -r-s " E g21 - -s +g31 -r -s
aX aX as aX aX aX
axl ax2 5x2& ax3 ax2
g12 -r -3 ± gn -r -s 4.g31 a-x, ax-s +
ax ax ax ax
aX1 aX3 ax2 ax3 aX3 aX3
g+g13 -r
- 23 -r -3 + g33 -r -3 • aX aX aX aX aX
•
36
CAPÍTULO IV
TENSORES CONTRAVARIANTES , COVARIANTES Y MIXTOS
Supongamos que N 2 magnitudes Aqs en un sistema de coordenadas (x1, x2, ... x N) se relacionan con algún otro sistema (fc1, )72, 2ZN), mediante las leyes de transformación:
Ápr = É aX P aXr Ags
s=1 q=1 aXs
con p,r = 1, 2, 3, ...,N
E, Y según el convenio de la sumación de Einstein (de los índices repetidos) denominamos las componentes contravariantes de un tensor de segundo orden
Ápr = axP airr A„ arq axx
Se denominan componentes covariantes de un tensor de segundo orden a las N2 magnitudes Aqs si se verifica que
— 8X5 A pr _ _
r A
3.7e ax
Y Se denominan componentes de un tensar mixto de segundo orden a las N 2 magnitudes
jt,' si se verifica que
air P axs Af. Aq
axq aixr Como ejemplo escribamos la ley de transformación del tensor 4.
En efecto
— P atj Al*
ai g
La Ley de transformación del tensor Bd .
-5 D P =9---B'
axd
aicq 3—kLa Ley de transformación del tensor Arn = Amn
ai'm aXn aí r 57 a? nvk
EJEMPLO: las componentes de un tensor covariante en coordenadas cartesianas son
xy, xz, .x 2 — z . Hallemos sus componentes covariantes en coordenadas esféricas.
•
En efecto, tendremos que las componentes covariantes en rectangulares A, son:
xI = x x2 = y
x3 = z
(Ojo que son súper índices, no exponentes) Además
= xy = x1x2 A2 = xz = xl x3
A3 = x 2 — z = (Ki)2
- X3
En coordenadas esféricas las componentes covariantes son:
x- =r 2
X = 3
=
y la transformación - Oxj Ak =
ax con las fórmulas de transformación
- X = rSene Cos0 —> x1
xI = Sen-2 x Cos-3x
-I y = rSeng Sen0 —> x2 = x Sen-2x Sen-3x
z = rCos0-4 X3 = -X I COSX 3
En asterisco:
.741= ax' ax2 0X3 A A + — +—
-1 I -1 2 3
aX- aX aX
e -2 -3 a l x Senx Cosx )S-1 Senx-2 Sen a ) 1 a(x—iCos—x3 )t ni= x1
X2+ X X
3 + IX' )2 -X3) ax-I -1
aX aX
=Senx-2 COS-X 3 X1X2 +Senx-2 Senix3 X1X3+COSX-3 lx1 )2 —x 3 )
741=Sent9 Cos0 rSene Cos0 rCos0+Sen0 Sen0 rSeng Cos0 rCos0+
Cos 0 (0..2 Sen 2 O — rCos 0)
Al= r 2Sen20 Cose9 Cos 20+rSen 219 Sen0 Cos0 Cos8 +rCos0((r2Sen20 — rCos0)
37
38
aX i aX 2 aX 3 = — + +—
A :
19-X" aX" aX"
0(-1 -2 -3 erl -2 -3 x Senx Cosx ) 2 a Senx Senx ) 3
A2 - X X + X X -2 -2 aX aX
Vcosx3 ), 1.xl )2 -x3)
-1 -2 -3 -1 -1 -3 1 3 =X COSX COSX X X
2 +X Cosx Senx x x
A2= rCos0 Cos0 rSen0 Cos0 rSen8 Sen0+rCos0 Sen0 rSeni9 Cos0 rCos0
= r3 Sen20 Cose Sen0 Cos2 0+ r3 Sen0 Coses Sen0 Cos2 0
ax` A 8x2 Al+
ax3 /1 3 -3 1 + -3 3 A3
ax. aX aX
-3 OX x a(-
xSenx-2 co ;) „ atx1Senix2 Sen a) 1 a( ic s-3 )( x, )2 _ x3)
x x a
x x3 + -3 aX X
-3 aX-3
A- -1 Senx3 x1 x 2 +Ixkosx-2 COS-X 3 XIX3 - rSenx-3 ((XIV -x 3 )
rSen0 Sen0 rSenG Cos0 rSen0 Sen0 i-rCos0 Cos0 rSen0 Cos0 rCos0
rSen0 (r2 Sen20 Cos2 0- rCos0)
Son 9 términos.
DELTA DE KRONECKER
Se representa por
Si j k 11, Si j = k
como se tiene en el producto escalar de dos vectores
OPERACIONES CON TENSORES
Suma (o diferencia) de dos tensores del mismo orden y el mismo tipo; es decir que tienen el mismo número de índices covariantes y contravariantes, su suma es otro tensor del mismo orden y tipo. Multiplicación externa (producto externo). El producto externo de dos tensores es otro tensor cuyo orden es la suma de los órdenes de los tensores dados.
39
Es decir AAP' B„,' =Cr:
no es conmutativo.
Contracción. Si en un tensor se igualan un índice contravariante a otro covariante, entonces debe de sumarse respecto de dicho índice. La suma es un tensor de orden inferior en dos unidades respecto al tensor de origen. Por ejemplo, si en el tensor A:. que es de
orden 5, si r=m, entonces se obtiene que AZ = B , que es otro tensor de orden 3. Si en
este último tensor se tiene que n , entonces se obtiene Br =CP , que es un tensor de
orden 1. Es decir, un vector.
Multiplicación interna. Resulta del proceso de multiplicación externa de dos tensores y luego de una contracción, igualando un índice del primer factor a un índice del segundo factor. Ejemplo, sean los tensores A: y Brm entonces su producto externo es AZ 13:„ igualando
g=r, p=s se obtiene Ari B pr .
Ejemplos de aplicación
-expresemos la velocidad de una partícula en forma tensorial. Supongamos que la ley de desplazamiento sobre una trayectoria curvilínea es xk = xk(t) entonces su tensor es V k = V k(t)
-Expresemos la aceleración de una partícula en forma tensorial. Solamente lo tomamos como una derivada de la velocidad:
k_ k _ k 8v a _a = 8(t)
La fuerza k
Fk MC! =M 51, 8(1)
FÓRMULAS DEL GRADIENTE ROTA CIONAL. DIVERGENCIA ROTACIONAL Y LAPLACIANO COMO TENSORES
GRADIENTE. Si cb es un escalar, entones el gradiente de este escalar se expresa como
_ axP
4:1),p representa la derivada covariante respecto de xP
DIVERGENCIA. La divergencia de A° es la contracción de su derivada covariante con respecto de f . Es decir la contracción de AP
40
Entonces a v•AP=AP, =
q axk í
ROTACIONAL. Se define como el tensor de segundo orden, dado por
V.XAP = A jo,q •Aq,p
LAPLACIANO. Lo definimos como
V2i1 = V • VID =
V • Ve = 1 a ( vigfiAk ao) .jj W )
Es preferible tomar el valor absoluto de gj
Avlitmemos a la expansión multipolar del potencial electrostático
La expresión para el potencial electrostático para una distribución continua de cargas se da mediante la expresión:
4ifeo y — )
Donde dq' puede tener una distribución lineal, superficial o volumétrica.
Si la evaluación de la integral es dificil, esa preferible tomar una aproximación de la integral, expandiendo el denominador según la serie del binomio. En este caso nos estamos refiriendo a que podemos expandir el potencial de la forma:
Donde Iii (t)lo asociamos con el potencial debido a la carga neta de la distribución y lo
denominamos potencial monopolar. V2(t)lo asociamos con el potencial debido al momento dipolar de la distribución de carga y por supuesto que se denomina potencial ~lar; al V4(1) con el momento cuadrupolar; el siguiente el octopolar; las subsiguientes las denominamos de ORDEN SUPERIOR. Si la distribución de carga cuyo potencial se desea evaluar se extiende en una región finita (para lo cual podemos elegir el sistema de coordenadas dentro o fuera de la distribución de la carga), evaluaremos el potencial en puntos alejados de la distribución; es decir en puntos e» p'
42
Donde
V(P) — 1 (ídqr )
4treo r )
1 (f dq,) 4rreor\I
Es el potencial debido al momento monopolar (carga neta) de la distribución de carga:
= dtt
La cual puede considerarse como una carga puntual en el origen de coordenadas. Desde luego que el diferencial de carga prima se puede expresar en fiinción de las densidades lineal, o superficial o volumétrica, según la circunstancia. Esto es:
dq' = pdV' , o bien forlAt ; ó 241
El término
V2 (P) 1 r r • ri
dq' 471E0 j r3
1 fr
,dq
, 42/10 r3
Es el potencial debido a un momento dipolar p de la distribución de carga. Es decir
p = r ipc/ V' , , p = r'crdir ó p = »Ad!'
Al cual se considera como un dipolo puntual situado en el origen de coordenadas
El término
V4 (r) = 1 i1[3(r,.r,)2 r 2 . r121dq,
treors 2 (*)
es el MOMENTO CUADRUPOLAR.
Antes de interpretarlo físicamente, tengamos en cuenta que:
(ir • P12 = KxT + yj+ zE)-(x7 + yjr + 21E)f = (re+ yys + zzg2
Es decir:
(r•P'')2 = Occ92 +(xx/)(YA+ (xx'Xzzi)+
+(yy1 Xxx')+ +Giy'Xzzg
4-(zzlxx91-(zzlyys)+(zz92
En total son nueve términos, que se pueden escribir en forma matricial como:
x'2 x'y' x'z'
(r • ti' =[x y zl• x' y' y2 z'y'
x'z' y'z' z'2
Por otro lado:
r2r2 = r/2(
X2 +y2 +z2)
Que puede ser expresado en forma matricial de la siguiente forma:
43
fr.r92 .{.5c y zi. O r' 2 O Y
O O r'2 _ _/
Y la expresión:
30,.r92 _rs2r2 =[ x y z
--• 3.rn — r2 Uy' 3xz'
3x'y' 3y'2 — r' 2 3y'z'
3x'z' 3y'z' 3y' — r' 2
_ _/ Reemplazando esta expresión matricial en (*) y como la integrac'ém es sobre la distribución de carga; es decir sobre los puntos r'= ri(x1,yr,z1), en los términos que dependen de r = r(x,y,z) pueden salir de la integral como un factor común. Entonces tendremos:
1 <-1 V4(r). 5 Qr
4zsor Siendo:
7=k
x-•
QP=Q y
3x'2 - r'2 3xy' 3xz'
3x'y' 3y'2 - r'2 3y'z' dq'
3x'z' 3y'z' 3y' - r' 2 \_
Q es una expresión tensorial llamada MOMENTO CUADRUPOLAR ELÉCTRICO.
Si observamos que el momento cuadrupolar
44
Q=
Q, ,. ay ar,
Q= ay Q=
Donde se ha puesto:
Q11 Q12 QI3
0,, Q22 Q23
Q3I 032 Q33
1 3x'2
1.12 kilt
2
_ 1 3/2 rr2
2
= -1 3z' 2 -r' 1 2
= -2-3 x'y' dg'
Q, = Qz= = -3 x'z'dq' 2
45
Q»,=Qyz= 2 .115/d41
Nos basta con evaluar 5 integrales, ya que
Q.+Qyy+Q. =0 Entonces nos es suficiente evaluar dos términos de la diagonal y el siguiente se puede obtener en forma algebraica
+ Q „, = -Q.
Si la distribución de carga fuera discreta, para evaluar V,. debemos de sustituir la integral por la sumatoria r' por r, .
La ecuación del potencial se puede escribir como:
1 [Q p•r r•Qrj = V
frcco r r3 1- 5
Apliquemos al anillo de densidad uniforme:
Sea el anillo de densidad uniforme A y radio a. Calculemos el potencial eléctrico en cualquier punto del espacio, en una aproximación hasta el orden cuadrupolar. Hallemos también para puntos sobre el eje Z perpendicular al eje del anillo
r >> r'
Hallemos V = 1 p•r r•Qr
+ + 4/rto
[Q r r3
__Q Q L 27r a
Entonces el primer término 1/1(r9
47re 27ra
o r 22asor
Calculemos p • e
Tenemos que: p = fridq'
Con dq' = 2,dr
= = Áad9
entonces
"=1 Y para ís :
r'Áad0
PI = x7 +// +
Con z' = O r = xT + yj + zE
Y en coordenadas cilíndricas:
= pCosift + pSen01 p=a Entonces hallemos p :
P = (pCos, + pSentif)dq' O
= f(pCos0. + pSen)iad0 o
= .1a 2 1(Cos, +Sen#P0 o
= .1a 2 ksenO) t —(Cos9)02 71:1 Hallemos Qn
1 2ff '211 = a = — 1(3x r2 — rt2Wqt
n 2 o
Con x' 2 --(aCos0)2 = a 2Cos 29
46
Entonces:
a11 = -2 f(3a2Cos2 0 - a2)Áad0
2 = I Áa
3 1(3Cos
20 -1)d0
2 o
Pero tenemos que:
Por lo que
Cos20 = 1+ Cos29 2
3cos20 - 1= 3Co32 0 - (Sen2 0 +Cos219) =2Cos20 - sen2 9 _ I + 3 cos20
2 Entonces:
[14 + 3 1Cos2010]
2a3 2. 2.
4 o o Donde
Dr
i cos26, = o
Por lo tanto .1a3 r 1
Qo = —4 L211
Es decir:
„2
Q11 = 1- 4
Calculemos Q22:
47
au -
= —1
2,23 7
(3Sen -DO
2 o
Y con 3Sen 20 —1 = 2Sen 20 —Cos 20
= Sen 219 - COS20
I —3Cos20
2
Reemplacemos:
21(1 3COS29 Q22 =/id \
2 0 2 j
27,
= 2a3 10-3Cos20)10 4 0
Donde: 2x
1d0 = 2z o
3 2N fC0S29(2d9) = O
Por lo que
1 3
Q22 = k2ff)
= 1 q a3(2z). qa
22,u 4 Entonces
Oyy t
Podemos calcular Q ; para lo cual tenemos que:
Q33 = Q. = 4Qn + Q»,
48
2
qa 2 2
Calculemos Q12:
QI2 = Q21 = Q,=Q,
3 Dr 3 = x'y'dq =
2— 2a3 f SenoCos9c19 =
2 o o
= —3
Áts3 Sen 2 Yow = 0 4
QI2 =
Calculemos Q13
QI3 = Q3I = Qn=Q.
= —3
xz'clq' 2
Pero z' = O
Entonces
Q13 =
En forma similar para Qn
Q23 = °32 Qyz = °zy
3 Dr
r- f y'z'dq' = 0 2 o
Entonces
Q73 — Q32 = Qyz = = o
Entonces estamos en condición de hallar el TENSOR MOMENTO CUADRUPOLAR
49
Q=
rqa2 4
o
0 0
qa 2 4
1 0 0
0 1 0 qa 2
4 O
qa2
2_, 0 0 O o —2
Entonces
50
1 0 0
0 1 0
0 0 —2
r•Qr=[x y
Y
qa2
4
qa2 [ x y 21
4
Entonces
r • Q P -= [x y 21 4
„ 2 I
r • Q = (X2 + y2 — 2z 2 4
En coordenadas esféricas:
x = rSeneCoso
y = rSen6Cosy
z = rCos0
En el paréntesis:
x2 +y2 —2z2 = r2 (Sen2 6Cos 2 9 + Sen2 a9en2 — 2Cos2 O)
= r 2 (sen2 — 2Cos 2 O)
= r 2 - 3COS 20)
Por consiguiente:
„,,2,2 , r• Qr=
4" (3Cos20 —1)
Por lo tanto, el potencial en coordenadas esféricas es
Vfr,O) = (r)+v2(r)+v4(r)
= 1 {q O qa2r2 (3Cos2B —11 4n0 r r2 2? 2
fla {1 a2 (3Cos219-11 — 2e0 r 2r3L 2 )
Si el punto está sobre el eje Z:
En este caso
= ; r = rk; -= Z; 0 = 0
Por consiguiente
a2 3Cos0 v [1 2e0
2a
2zl
a2
2 ) [z
= —2e0
[1 —z --2---
z3
Este mismo resultado se pudo haber obtenido de
51
_ qa2r2 (3Cos20-1) 2 2
2r
v(4= 1 idg ibreo o r
1 2i .lad9 V(z). 4geo
¡7a2 +z 2
52
_ 1?a7 d9 tito o -Ja2 + z2
244fk 2 2)2 a + z
&so
a( 1 a y 1 — —
2c0 zç z 2 Expandiendo:
144-= /la 1(1- 1 a2 ----j-+ 2ao z 2z
CONCLUSIONES
Las coordenadas curvilíneas nos proporcionan técnicas que simplifican
los cálculos matemáticos.
Los factores de escala son una herramienta valiosa para la expresión del
volumen, áreas, gradiente, divergencia y laplaciano.
Se ha hecho un tratamiento conciso acerca de las componentes
contravariante y variantes de un vector en dos sistemas de
coordenadas.
en un sistema de coordenadas generalizadas los súper índices no
representan exponentes.
Con un ejemplo se aclara la reciprocidad de las componentes covariantes
de un tensor en coordenadas rectangulares y esféricas.
Se hace una aplicación a la expansión multipolar en el cálculo del
potencial en el anillo de densidad uniforme.
BIBLIOGRAFÍA
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