FLUJO EN CANALES

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rea de Mecnica de Fluidos

Escuela Politcnica Superior Guillermo Schulz Curso de Complementos de Ingeniero Gelogo

HIDRULICA

FLUJO EN CANALES

1. INTRODUCCIN AL FLUJO EN CANALES. 2. FLUJO SIN ROZAMIENTO EN CANALES. 3. ENERGA ESPECFICA. 4. FLUJO POR DEBAJO DE OBSTCULOS. 5. RESALTO HIDRULICO. 6. FLUJO CON ROZAMIENTO EN CANALES. 7. PROBLEMAS.

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1. INTRODUCCIN AL FLUJO EN CANALES.

1.1. CARACTERSTICAS DEL FLUJO EN CANALES. Tiene lugar cuando la superficie libre del lquido es el contorno superior. La superficie libre se mantiene a una presin constante, generalmente la atmosfrica.

La seccin del flujo, en general, no es fija y puede variar. Es ms complejo que el flujo en tuberas. Al ser la presin constante, el flujo tiene lugar bajo la accin del peso del fluido. Se encuentra en ros, canales, etc. y en tuberas que no van llenas. Mientras que en la mayora de las tuberas la seccin es circular, en los canales y ros puede ser muy variada y compleja; por tanto, escoger un coeficiente de rozamiento es ms difcil.

1.2. TIPOS DE FLUJO EN CANALES.

Se puede clasificar el flujo en canales de varias formas, las principales son: Uniforme: la velocidad del fluido no cambia ni en magnitud ni en direccin y la superficie del lquido es

paralela al fondo del canal. Solo ocurre cuando la seccin del canal es constante. No uniforme: la superficie del lquido no es paralela al fondo (tambin se llama variado). El cambio de

profundidad puede ser brusco o suave y entonces tenemos dos subdivisiones: -Flujo variado rpido -Flujo variado gradual Permanente: la velocidad (profundidad) no vara con el tiempo. No permanente: la velocidad (profundidad) vara con el tiempo. Laminar Turbulento: en el nmero de Reynolds se toma como longitud caracterstica la profundidad hidrulica media.

En estas condiciones el Reynolds crtico es aproximadamente 600. Las fuerzas gravitatorias son muy importantes en flujos con superficie libre. Puesto que la presin en la

superficie es constante, (generalmente atmosfrica) las fuerzas gravitatorias son las nicas fuerzas que causan el flujo en rgimen permanente.

La relacin entre las fuerzas de inercia y las fuerzas gravitatorias puede expresarse de forma adimensional mediante un grupo adimensional llamado nmero de Froude:

ygvF =

donde: v: velocidad (media)del fluido y: profundidad del flujo

Subcrtico o tranquilo: si el nmero de Froude es menor que 1 En este caso la velocidad del lquido es pequea y una perturbacin puede propagarse aguas arriba. Si F = 1 el flujo se denomina crtico.

Supercrtico o rpido: si el nmero de Froude es mayor que 1. En este caso una perturbacin no puede propagarse aguas arriba.

El flujo ms simple de tratar es el permanente uniforme, pues el flujo no cambia ni con la distancia ni con el

tiempo) Los canales suelen tener una pendiente muy pequea (1/1000) En la prctica el flujo variado se halla con ms frecuencia. El flujo laminar raramente ocurre en casos de inters prctico: la seccin tiene que ser muy pequea, la velocidad

muy pequea o la viscosidad extremadamente alta.

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1.3. VELOCIDAD DE PROPAGACIN DE ONDAS GRAVITATORIAS DE PEQUEA AMPLITUD.

Considrese una perturbacin en forma de una pequea elevacin de la superficie del lquido. Se va a calcular la velocidad de propagacin de la misma, suponiendo despreciables los efectos del rozamiento.

Se aplica la ecuacin de continuidad al volumen de control de la figura:

0bycb)dyy)(dvc( =+

Despreciando trminos de segundo orden: dvydyc = Aplicando la ecuacin de Bernoulli:

g2c

yg

pg2

)dvc()dyy(

gp 2Atm

2Atm ++=

+++

0g2)dv(

gdvcdy

2

=+

0dvcdyg = Entre ambas ecuaciones, se llega a la expresin:

ygc = Esta velocidad es adicional a la velocidad del lquido en el canal. Cuando la velocidad de propagacin iguala a la

del lquido, y las dos tienen la misma direccin la velocidad total vale v + c; si el sentido es opuesto entonces el frente de onda es estacionario y aparece un fenmeno denominado resalto hidrulico. Cuando v < c el rgimen es subcrtico, y si v > c el rgimen es supercrtico. 2. FLUJO SIN ROZAMIENTO EN CANALES.

En este caso, la ecuacin de la energa para flujo estacionario sin rozamiento es:

y1

y2

cteg2

vz

gp 2 =++

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Si las lneas de corriente son rectas y paralelas, la presin en cualquier punto depende de su profundidad (si el flujo fuese variado habra aceleracin en la direccin perpendicular a las lneas de corriente, pues las lneas de corriente no seran paralelas); por tanto, se puede expresar:

yzg

p =+ siendo y la profundidad del canal, con lo que la ecuacin de la energa se puede expresar como:

cteg2

vy

2

=+ En la prctica nunca hay una distribucin uniforme de velocidad debido al contorno. Como los contornos pueden

ser muy raros, cada canal tiene su distribucin de velocidades particular. La velocidad mxima ocurre en un punto ligeramente por debajo de la superficie libre.

Veamos el caso de un canal de seccin rectangular de anchura constante, b, sin rozamiento, en el que el flujo

pasa un obstculo:

Aplicando continuidad entre la entrada del canal y un punto situado sobre el obstculo:

Qbyvbyv ==

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Aplicando Bernoulli entre la entrada del canal y un punto situado sobre el obstculo:

g2v

hyg2

vy

22

++=+ Diferenciando estas dos ecuaciones respecto a la coordenada x:

dxdvy

dxdyv0 +=

dxdv

gv

dxdh

dxdy0 ++=

Eliminando dv/dx entre ambas ecuaciones, se llega a:

22 F1dx/dh

ygv1

dx/dhdxdy

==

Esta expresin es esencial para entender el flujo en canales abiertos. Segn cual sea el valor del nmero de Froude, F, el signo de dy/dx (de la variacin de la superficie libre del canal) cambia. Veamos las diferentes posibilidades:

F < 1: entonces dy/dx tiene el signo opuesto al de dh/dx. Esto es, si h aumenta, y decrece y el flujo se acelera. Si h disminuye, y aumenta y el flujo se decelera.

F > 1: entonces dy/dx tiene el mismo signo que dh/dx. Esto es, si h aumenta, y aumenta y el flujo se decelera. Si h disminuye, y disminuye y el flujo se decelera.

F = 1: entonces dy/dx tendra que ser infinita. La nica forma de mantener una pendiente finita es que dh/dx

= 0. Por tanto solo se puede tener F = 1 en lugares donde dh/dx=0. En los flujos crticos, el flujo alcanza un Froude = 1 en la cresta de un obstculo. Entonces, pueden aparecer dos

situaciones, segn sea la condicin aguas abajo:

1. El flujo puede mantener su estado original. 2. El flujo puede pasar suavemente al otro estado.

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3. ENERGA ESPECFICA. Combinando la ecuacin de continuidad Qbyvbyv == , con la de la energa:

g2v

hyg2

vy22

++=+

se obtiene:

hyg2)b/Q(

yyg2)b/Q(

y 22

2

2

++=+

Se denomina energa especfica a:

2

2

yg2(Q/b)

yH += por lo que la anterior ecuacin puede expresarse como:

hHH +=

La variacin de la profundidad con la energa especfica se puede representar grficamente:

Se ha representado la lnea y = H: la coordenada horizontal es y, igual que la vertical. La distancia horizontal

entre dicha lnea y una lnea de caudal constante (por unidad de anchura) Q/b es igual a la energa cintica: -Cada curva Q/b tiene un valor mnimo de H -Para cada valor de energa especfica existen dos estados posibles: 1. Ms profundidad y menos energa cintica (subcrtico). 2. Menos profundidad y ms energa cintica (supercrtico).

H

y

y = H

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Veamos en primer lugar cual es el valor mnimo de H; se deriva H respecto a y, obtenindose que esa condicin

se da para

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g(Q/b)

y/

= , y la energa especfica mnima es y

23H = . A esta condicin le corresponde un nmero

de Froude igual a 1, y a dicha profundidad se le denomina crtica, yc:

{ } F1yg

vyvdcontinuidaporygQ/bg

(Q/b)y

cc

3c

3/12

c =====

=

Por tanto la energa especfica mnima ser:

3/12

c g(Q/b)

23y

23H

==

El nmero de Froude se puede expresar tambin como: 2/3

c3

3c

yy

yg

ygygy

Q/byg

vF

====

Si y > yc (rama superior de la curva), F < 1: Flujo subcrtico. Si y < yc (rama inferior de la curva), F > 1: Flujo supercrtico.

4. FLUJO POR DEBAJO DE OBSTCULOS.

Se tiene una compuerta deslizante que est parcialmente abierta. Se va a estudiar cmo vara el caudal que sale de la compuerta en funcin de su abertura.

La compuerta no es un obstculo que cambie la energa especfica del flujo, sino que simplemente cambia la

distribucin de energa entre cintica y potencial. La altura especfica es:

{ } ==+= ypequeamuyvg2vyH2

Aplicando la ecuacin de la energa entre antes y despus de la compuerta:

( )yyg2ybQ =

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La profundidad crtica vara con el caudal y por tanto con y:

( )[ ] 3/123/12c yyy2g(Q/b)y =

=

El nmero de Froude correspondiente es:

=

= 1

yy2

yyF

2/3c

Consideremos primero una abertura muy pequea: se tendra un flujo supercrtico. Si la compuesta se sigue

abriendo, y aumenta hasta que llega al valor = y)3/2(yc alcanzndose el F = 1 y entonces pasa el mximo caudal:

mx8Q b y g y27

=

Si la compuerta contina abrindose entonces el flujo se hace subcrtico y el caudal vuelve a decrecer. 5. RESALTO HIDRULICO.

Cuando el flujo es supercrtico las perturbaciones no pueden desplazarse aguas arriba. Si las condiciones existentes aguas abajo hacen que un flujo supercrtico pase a subcrtico, como el cambio no puede transmitirse aguas arriba para que haya un proceso de cambio gradual a travs del punto crtico, se produce una transicin de forma brusca, pasando el flujo directamente de supercrtico a subcrtico.

Esta transicin abrupta es lo que se conoce como resalto hidrulico. Este fenmeno tiene lugar con una gran disipacin de energa.

Para analizar el resalto hidrulico se aplican las ecuaciones bsicas del movimiento a un volumen de control que

contenga al resalto (se supone un canal de ancho constante b)

Aplicando cantidad de movimiento:

)byv(v)byv(vby2ygby

2ygF 2221112211x +==

que se puede simplificar como:

211

222

21 vyvy2yg

2yg =

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Aplicando continuidad

2211 yvyvQ/b ==

Entre las dos ecuaciones anteriores se llega a: ( )1F81

21

yy 2

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2 +=

Para determinar la prdida de energa utilizamos la ecuacin de la energa:

21

22

21 yy

g2v

g2vE +=

Usando la ecuacin de continuidad para eliminar u2 se llega a:

( )12

312

1 y/y41y/y

yE =

Esta ecuacin muestra que y2 tiene que ser mayor que y1 para que la disipacin de energa mecnica sea

positiva. (Al revs sera imposible pues no hay ningn manantial de energa en el resalto) Es interesante observar dos aspectos:

i) Para F menores que 1 la disipacin de energa es negativa. Por tanto el resalto hidrulico solo puede ocurrir cuando hay flujo supercrtico, o sea F > 1 y la altura (profundidad) de la superficie del agua tiene que incrementarse. ii) Se produce una disipacin muy pequea para 1 < F < 2. En esta zona el resalto aparece como una serie de ondulaciones estticas en el agua. Uno de los usos principales del resalto hidrulico es como disipador de energa. Los vertederos y aliviaderos de

las presas estn diseados para producir un resalto hidrulico con lo cual el flujo pasa a subcrtico y tiene una velocidad moderada. De lo contrario, la gran energa del agua del vertedero producira una gran abrasin en el lecho del ro y estructuras adyacentes. 6. FLUJO CON ROZAMIENTO EN CANALES.

Ahora se va a considerar el efecto del rozamiento en un canal. En una tubera la cada de presin contrarresta a la fuerza de rozamiento para mantener el caudal. En un canal, una suave pendiente en el fondo del mismo da una componente de la fuerza gravitatoria en el sentido del flujo que contrarresta el rozamiento.

21p zzh = Un canal de pendiente constante, con rugosidad uniforme y de seccin transversal constante, A, y permetro

mojado, Pm, se muestra en la figura. El flujo se llama uniforme y su profundidad se denomina profundidad normal. Para un canal de estas caractersticas la profundidad normal es la nica. Aguas arriba de la regin de flujo uniforme, la profundidad varia y el flujo se llama no-uniforme.

Considrese el volumen de control de la figura. La seccin transversal se considera rectangular. Las lneas de corriente son paralelas al fondo del canal y la distribucin de presiones es la hidrosttica. Como que la profundidad es constante no hay ningn gradiente de presin en la direccin del flujo y las nicas fuerzas que actan son las de gravedad y las de rozamiento. Suponemos que la velocidad es constante en la seccin del canal. Puesto que el flujo generalmente es turbulento el perfil de velocidades es bastante uniforme plano y por tanto la hiptesis es muy aproximada.

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Se aplican la ecuacin de cantidad de movimiento: 0LPsenPeso mP = donde: gLAPeso = pendienteL/hStgsen p0 ==

Sustituyendo: 0m

P SPAg=

Como se vio al estudiar el flujo en conductos, se puede relacionar la tensin en la pared con la energa cintica del flujo:

2v

4f 2

P = Combinando ambas expresiones, se obtiene:

ChezydeEcuacinSPACS

PA

fg8v 0

m0

m

==

donde: Chezyde.Coeffg8C =

hidrulicoRadioPA

m

Otra expresin utilizada es la de Manning: 2/10

3/2

m

SPA

n1v

=

Material " n " Fundicin 0.011-0.015

Hierro galvanizado 0.013-0.017 Bronce liso 0.009-0.013

Vidrio 0.009-0.013 Canales de tierra 0.023-0.027

Canales labrados en roca 0.040 Hormign 0.012-0.016

Ros en buenas condiciones 0.030 PVC 0.008-0.012

Madera 0.010-0.013

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7. PROBLEMAS.

1) En el canal de la figura, se produce un resalto hidrulico entre las secciones 1 y 2. Con los DATOS proporcionados y suponiendo flujo sin rozamiento, calclese: 1. El caudal circulante. 2. Caractersticas en la seccin 1. 3. Caractersticas en la seccin 2. 4. Caractersticas en la seccin 3. 5. Represntese la curva profundidad-energa especfica. DATOS: - y = 5 m; v 0 m/s - y1 = 0.5 m; y3 = 2 m - ancho b = 1 m

2) En el canal de la figura, se produce un resalto hidrulico entre las secciones 1 y 2. Con los DATOS proporcionados y suponiendo flujo sin rozamiento, calclese: 1. Profundidad del agua en las secciones 2 y 3. 2. Qu profundidades se tendran en dichas secciones si no hubiese resalto? 3. Represntese en ambos casos el diagrama profundidad-energa especfica. DATOS: - y = 6 m; v 0 m/s - y1 = 1 m - ancho b = 1 m; h = 0.5 m

3) Un depsito de 5 metros de profundidad posee una compuerta rectangular de 1 metro de ancho. 1. Calclese y represntese grficamente el valor del caudal y del nmero de Froude para los siguientes valores de elevacin de la compuerta, y: 0, 1, 2, 3, 4 y 5 metros. 2. Calclese el valor de la profundidad crtica y el caudal correspondiente.

DATOS: - y = 5 m; v 0 m/s - ancho b = 1 m

y8

1 2 3

1 2 3

y8h

y8

y

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4) La figura representa la seccin transversal de un tramo de un canal por el que circula un caudal de Q = 53.12 m3/s. En la seccin 1 la profundidad es y1 = 6 m y el ancho del canal es b = 1 m. Calclese el valor del desnivel h si se sabe que a continuacin existe un resalto hidrulico y que la energa especfica despus del resalto es de 11.3 m.

y1

h

Q

5) Se desea disear un colector en la ciudad de Mieres para recoger las aguas de lluvia. La pendiente del colector es del 3.5 por mil y el coeficiente de Manning es 0.016. Si la seccin transversal del canal es la representada en la figura calclese la altura mnima H, si se prev un cierto margen de seguridad 0.3 H, y se quiere captar un caudal de Q = 1000 l/s.

H

0.5 m

y

0.3 H

0.5 m 0.5 m

0.25 m

6) Un canal de seccin triangular posee una pendiente del 4 por mil y est fabricado de un material cuyo coeficiente de Manning es 0.020. Si el caudal circulante es de 2200 l/s, calclese: 1. La profundidad H. 2. La velocidad media. 3. El nmero de Froude.

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