FÍSICA IGRADO

Ingeniería Mecánica

Prof. Norge Cruz Hernández

Tema 1. Magnitudes Físicas y Vectores.

Tema 1. Magnitudes Físicas y Vectores.

1.1 Introducción

1.2 Magnitudes físicas. Unidades. Análisis dimensional

1.3 Magnitudes escalares y vectoriales. Tipos de vectores.

1.4 Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores unitarios.

1.5 Producto escalar y vectorial.

Bibliografía

Clases de teoría:- Física Universitaria, Sears, Zemansky, Young, Freedman ISBN: 970-26-0511-3, Ed. 9 y 11.

1.3 Magnitudes escalares y vectoriales. Tipos de vectores.

Cantidad escalar: Son cantidades físicas que se pueden describir plenamente con un número y una unidad.

Cantidad vectorial: Son cantidades físicas que se tienen que describir con varios números: magnitud (el “qué tanto”) y dirección.

Vectores paralelos: Son los vectores que tienen la misma dirección.

a

b

La magnitud de un vector es el módulo del vector : a

Vectores iguales: son los vectores que tienen igual dirección, magnitud y sentido.

a

b

ba

Vectores antiparalelos: son dos vectores con igual dirección y sentidos opuestos, independientemente de las magnitudes de estos.

a

b

Negativo de un vector: un vector es el negativo de otro vector cuando tienen igual magnitud, dirección, y sentidos opuestos. Es un caso particular de un vector antiparalelo.

a

b

ba

Suma de vectores: La suma de un vector A y un vector B se obtiene al colocar A, y a continuación B, y el vector suma será el vector que se origina en la cola de A y se dirige a la cabeza de B.

a

b

bac

c

a

b

1.4 Suma de vectores. Componentes de un vector. Vectores unitarios.

La suma de dos vectores es conmutativa.

abba

ca

b

b

a

a

b

a

b

La resta de dos vectores

ba

a

b

)( ba

a

b

a

b

ba

El producto de un escalar por un vector.

a

2

a a

2

a

Componentes de un vector

y

A

xOyA

xA

A

yA

xA

yx AAA

Cada vector componente tiene la dirección de un eje de coordenadas, así solamente necesitamos un número para describirlo. De esta forma, cada vector A se puede definir como el par (Ax,Ay), conociendo además la dirección y sentido de cada vector componente.

cosAAx

AsenAy

22yx AAA

x

y

A

Aarctan

Suma de vectores a través de sus componentes

y

xO

A

y

xO

B

yA

xA

yB

xB

y

xO

A B

C

yA

xA

yB

xB

yyy BAC

xxx BAC

y

xO

Vector unitario: es un vector con magnitud 1, sin unidades. Su único fin es establecer una determinada dirección.

y

xO

A

j

i

jAiAA yxˆˆ

BAC

jBiBjAiAC yxyxˆˆˆˆ

jBAiBAC yyxxˆˆ

1.5 Producto escalar y vectorial.

Producto escalar: Se define el producto escalar entre dos vectores A y B como la magnitud de A multiplicada por la componente de B paralela a A. El resultado será un valor escalar y se denota como:

BA

En forma numérica esta definición se escribe de la forma:

BABABA

,cos

A

B

00 1800

AB

el producto escalar es conmutativo

Producto escalar empleando los vectores unitarios

BA

kAjAiAA zyxˆˆˆ

kBjBiBB zyxˆˆˆ

kBjBiBkAjAiA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ

x

y

zA

B

kkBAjkBAikBA

kjBAjjBAijBA

kiBAjiBAiiBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

x

y

z

i

jk

1ˆˆˆˆˆˆ kkjjii

0ˆˆˆˆˆˆ kjkiji

zzyyxx BABABABA

Producto vectorial: Se define el producto vectorial entre dos vectores A y B como un vector perpendicular al plano formado por A y B, con una magnitud igual a A·B·sen(A,B) y se escribe de la forma:

BAC

regla de la mano derecha

ABBA

el producto vectorial

NO es conmutativo

x

y

z

AB

C

Producto vectorial empleando los vectores unitarios

BA

kAjAiAA zyxˆˆˆ

kBjBiBB zyxˆˆˆ

kBjBiBkAjAiA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ

x

y

z

AB

C

kkBAjkBAikBA

kjBAjjBAijBA

kiBAjiBAiiBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

x

y

z

i

jk

0ˆˆˆˆˆˆ kkjjii

ikj

jkikji

ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

kBABAjBABAiBABABA xyyxzxxzyzzyˆˆˆ

x

y

z

AB

C

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BA

ˆˆˆ

kBABAjBABAiBABABA xyyxzxxzyzzyˆˆˆ

Interpretación geométrica del producto vectorial:

A

B

senBABAC

C

senB

α

β

λ

área(αβλ)=

2

senBA

1- Realizar los siguientes cambios de unidades: a) Expresar 9.81 m/s2 en km/min2

b) convertir 700 mm de mercurio en atm.c) ¿cuántos kg/m3 son 1 g/l?

2- Halle las dimensiones de las siguientes magnitudes en el SI, e indique también si son magnitudes escalares o vectoriales: velocidad, aceleración, fuerza, volumen, trabajo, superficie, densidad, presión, energía cinética, energía potencial gravitatoria.

3- Utilizando el análisis dimensional, averiguar cuál de las siguientes fórmulas físicas es la correcta:

2

2

R

va

2

2

2R

va

R

va

2

2R

va

donde a es la aceleración, v la velocidad y R la distancia

4- Sobre una partícula actúan tres fuerzas de 37, 25 y 30 N, que forman con la horizontal ángulos de 30º, 60º y 135º, respectivamente. Calcule la fuerza total que actúa sobre ella. Determine el vector que representa dicha fuerza, su módulo y el ángulo que forma con la horizontal.

5- Tres vectores , y de módulos a, 2a y 3a respectivamente,1a

2a

3a

están dirigidos según las diagonales de las tres caras de un cubo. Calcule su resultante al realizar la suma vectorial. Calcule también un vector unitario en la dirección de la diagonal del cubo.

1a

2a

3a

6- Una bombilla P cuelga del techo de la habitación como se indica en la figura. Calcule el vector de posición P.

a-) Con respecto al sistema A.b-) Con respecto al sistema B.

P

A i

jk

B

i

j

k

5m

4m

3m

1m

7- Hallar el ángulo β del acodado de la tubería que baja por la rampa en la siguiente figura.

β

3m

6m

2m