I Unidad

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Vectores

Contenido

Operaciones con vectores 2

Producto escalar y vectorial de dos vectores 4

Componentes de un vector 3 3

Vectores como desplazamiento 3 1

Ejemplo de otras cantidades y vectoriales 5

Conceptos

Mecánica. Es una rama de la física. Su objetivo es describir (con la cinemática) y explicar (con la dinámica) el movimiento de los cuerpos.

Cinemática. Describe el movimiento de los cuerpos sin preocuparse de las causas que lo producen.

Dinámica. Describe el movimiento de los cuerpos considerando las causas que lo producen, y las causas del movimiento son las fuerzas

Conceptos

SISTEMAS DE MAGNITUDES Y UNIDADES. Medir una magnitud consiste en compararla con una cantidad arbitraria fija de la magnitud. Una medición se expresa con un número seguida de un símbolo de la unidad usada. magnitudes físicas fundamentales.

Sistema Internacional (SI)

Conceptos

Vectores Así como la derivada no existe en la naturaleza, y siendo, paradójicamente, su función esencial de explicar gran parte de la naturaleza, tenemos que los vectores tampoco existen en la naturaleza ... Y su función esencial es explicar parte del mundo físico

Conceptos

Vectores Rigurosamente hablando, el vector, los vectores o los espacios vectoriales son modelos matemáticos sobre los cuales podemos tomar decisiones que, hasta el momento, explican de buena manera la naturaleza newtoniana

Conceptos

Vectores

Nos referimos a los vectores como una magnitud física representada con una línea con una saeta que parecen flechas. La punta del vector (de la flecha) nos da una buena idea del sentido donde lanzamos o aplicamos este vector

Conceptos

Magnitud Vectorial Son entidades matemáticas que cuentan con: • Módulo • Dirección • Sentido

Magnitudes Físicas

Magnitud Escalar

Son magnitudes físicas que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida tales como: • Masa • Presion • Volumen • Temperatura

Magnitudes físicas

Escalares

Vectoriales

Asociadas a propiedades que pueden ser caracterizadas a través de una cantidad

Asociadas a propiedades que se caracterizan no sólo por su cantidad sino por su dirección y su sentido

Magnitudes físicas

Masa, densidad, temperatura, energía, trabajo, etc

Velocidad, fuerza, cantidad de movimiento, aceleración, torque,

etc.

Escalares

Vectoriales

SR: Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio.

Bases para el estudio del movimiento

mecánico

x(t)

y(t)

z(t)

Se le asocia

• Observador • Sistema de Coordenadas

y

x

z • Reloj

Movimiento plano Coordenadas Cartesianas

y (m)

x (m)O

origenabcisa

orde

nada (x,y)

Q (-2,2)

P (8,3)

Coordenadas Polares

O

origen

(r,θ)

θ

Movimiento plano

Relacion entre (x,y) y (r,θ)

y (m)

x (m)O

origenabcisa

orde

nada (x,y)

θ

r

θcosrx =θrseny = θtan=

xy22 yxr +=

Vectores

Notación A Módulo A > 0

A

Dirección ϕθ,

x

y

z

θ

ϕ

Ap

ϕx

y

Propiedades de Vectores

• Dados A y B, si A = B entonces A = B • Todo vector se puede desplazar paralelamente a si mismo

A

B

C

CBA

==

Suma de Vectores

B A

R

B A C

C Ley del polígono

El vector resultante es aquel que vector que va

desde el origen del primer vector hasta el extremo del

ultimo

A

B

C

D

Entonces si se tiene los siguientes vectores

El vector resultante de la suma de todos

ellos será:

A B

C

D

DCBAR

+++=

R

Propiedades de Vectores A

Opuesto -A

Nulo 0 =

A + ( ) -A

Vector unitario AA

=μ

µµ= ˆAA

Propiedades de la suma de Vectores

Ley Conmutativa

ABBAR +=+=

Ley Asociativa

C)BA)CBAR

++=++= ((

Diferencia

B-AR

=

)B(-AR

+=A B A

-B R

Ley conmutativa

¿Como se explica esta regla?

Los vectores A y B pueden ser desplazados paralelamente para encontrar el vector suma

B

A

B

(Método paralelogramo)

B

Multiplicación de un vector por un escalar

Dado dos vectores ByA

Se dicen que son paralelos si BA

α=

BAsi

↑↑> 0α

BAsi

↑↓< 0αBAsi

==1α

A

B

AB

21=

A

B

AB

41−=

Ejemplo 8:

Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores

A B

C A B

C R = 2

Vectores unitarios en el plano

ijx

y

i Vector unitario en la dirección del eje x+ j Vector unitario en la dirección del eje y+

Vectores unitarios en el espacio

x y

z

i j

k

Representación de un

vector

x

y

z

θ

ϕ

A

Ax

Ay

Az

θsenAAx ϕcos=θsenAsenAy ϕ=

θcosAAz =222zyx AAAAA ++==

kAjAiAA zyx

++=

Observaciones:

Las componentes rectangulares de un vector dependen del sistema coordenado elegido.

La magnitud del vector no cambia. Permanece invariante en cualquier sistema coordenado

Determínese la resultante de los siguientes vectores

+A

4u 3u

B

BAR

+=7u

+

A

B

8u 4u =

BAR

+=

4u

Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud

¿Que sucede si los vectores no están en la misma dirección ? , ¿ podremos

determinar directamente su magnitud ?

A B

La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos tratar de

buscar otra forma de determinarla

BAR

+=

A

B

yA

xA

xB

yB

4u

3u

6u

yA

xA

xB

yB

4u 3u

6u

yx AAA

+=

yx BBB

+=

yy BA

+xx BA

+10u

5u

yyxx BABAR

+++=

Por Pitágoras podemos ahora determinar la magnitud del vector resultante

uR 55510 22 =+=

yA

xA

xB

yB

xCyC

xD

yD

yyyyy DCBAR

+++=

xxxxx DCBAR

+++=

xR

yR

15 u 5 u

yx RRR

+=105R =

x y

z (x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)

A

Dados los puntos indicados el vector que los une esta representado por

x y

z (x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)

A

k)z(zj)y(yi)x(xA 121212ˆˆˆ −+−+−=

Producto escalar de

dos vectores θABBA cos=⋅

cosθAAB =

Proyección de A sobre B

cosθBBA =

Proyección de B sobre A

1ˆˆ =⋅ ii1ˆˆ =⋅ jj

0ˆˆ =⋅ ji

0ˆˆ =⋅kj0ˆˆ =⋅ki

xAiA =⋅ ˆ

1ˆˆ =⋅kk

yAjA =⋅ ˆ

zAkA =⋅ ˆZZYYXX BABABABA ++=⋅

Producto vectorial de

dos vectores BAC

×=

θABC sen=

0ii

=× 0ˆˆ =× jj

0ˆˆ =×kk

kji ˆˆˆ =× ikj ˆˆˆ =×

jik ˆˆˆ =×

)kBjBiB()kAjAiA(BAC zyxzyx ++×++=×=

YZZYX BABAC −=

zxxzy BABAC −=

xyyxz BABAC −=

Demostrar:

Determinese la suma de los siguientes vectores: Ejemplo 1:

k5j8i3A ˆˆˆ ++=

kji-5B ˆ3ˆ2ˆ −+=

kji4C ˆ2ˆ7ˆ −−=

Ejemplo 2:

8m

10m

5m

A

B

C

Determine la suma de los vectores indicados

x

y

z

Ejemplo 9

Dados los vectores:

k3j5i4Bk5j3i3A

−+=

−+=

Determine : a) El producto escalar entre ellos.

b)el producto vectorial entre ambos e) el ángulo que forman entre sí.

Tarea 9c, 9d y 10