1. Factorizacin de polinomios MCS 1 Bachillerato Rafael Merelo

2. Recordemos la factorizacin de nmeros

420

210

105

35

7

1

2

2

3

5

7

420 = 2 2 3 57

• La factorizacin de polinomios es igual, hay que descomponer los polinomios en factores primos.

3. Cmo son los factores primos de los polinomios?

Hay de tres tipos

De grado 0, nmeros:1, 5, -2

De grado 1, polinomios del tipo (x-a) o (x+a):

• (x-5), (x+2)

De grado2, polinomios de grado dos sin races reales: x 2 +bx+c:(x 2 +x+1), (x 2 +1)

4. Vamos a ver ahora como se factoriza un polinomio 5. Polinomios de grado 1

Son del tipo P(x)=(ax+b)

Igualamos el polinomio a 0 y resolvemos la ecuacin ax+b=0

Obtenemos as la raz c

La factorizacin es a(x-c)

Observacin: c = b/a

6.

Igualamos a 0 y resolvemos la ecuacin

Obtenemos as la raz

La factorizacin es a(x-c)

Ejemplo 1

P(x) = 3x 9

3x-9 = 0. La solucin es x = 3

La raz del polinomio es 3

P(x)=3(x-3)

7.

Igualamos a 0 y resolvemos la ecuacin

Obtenemos as la raz

La factorizacin es a(x-c)

Ejemplo 2

P(x) = 5x 28

5x-28 = 0. La solucin es x = 28/5= 5,6

La raz del polinomio es 5,6

P(x)=5(x - 5,6)

8. Polinomios de grado 2

Son del tipo ax 2 +bx+c

Igualamos a 0 y resolvemos la ecuacin ax 2 +bx+c=0

Obtenemos as las races x 1y x 2

La factorizacin sera a(x- x 1 )(x- x 2 )

Si las dos races son iguales ser a(x- x 1 ) 2

Si las races no son reales, es un polinomio irreducible de grado 2. Sacamos factor comn la a

9. Ejemplo 3

Igualamos a 0 y resolvemos la ecuacin

Obtenemos as las races x 1y x 2

La factorizacin sera a(x- x 1 )(x- x 2 )

• P(x) = x 2- 12x + 7

• Resolvemos la ecuacin x 2+ 12x 7 =0

• La raices del polinomio son 3 y 4

• La factorizacin es (x 3)(x 4)

10. Ejemplo 4

Igualamos a 0 y resolvemos la ecuacin

Obtenemos as la races x 1y x 2

Si las dos races son iguales ser a (x - x 1 ) 2

P(x) = 4x 2+ 24x + 36

Resolvemos la ecuacin 4x 2+ 24x + 36 = 0

Tiene una raz doble: -3

La factorizacin es 4(x + 3) 2

11. Ejemplo 5

Igualamos a 0 y resolvemos la ecuacin

Obtenemos as las races x 1y x 2

Si las races no son reales, es un polinomio irreducible de grado 2. Sacamos factor comn la a

P(x) = 3x 2+3 x + 6

Resolvemos la ecuacin 3x 2+3 x + 6 = 0

No tiene soluciones reales

La factorizacin es 3(x 2+ x + 2)

12. Polinomios de grado 3

El polinomio es de la formaax 3+bx 2 +cx+d=0

Las races son divisores de d/a

Hallamos los divisores de d

Buscamos undivisor de d que sea raz del polinomio, sustituyendo la x por el divisor, y comprobando que sale 0

Hallamos el factor correspondiente a la raz. Si la raz es a, el factor es x-a

Dividimos por Ruffini el polinomio entre el factor.

Obtenemos al dividir un polinomio de segundo grado, que podemos factorizar siguiendo el mtodo anterior.

Juntamos el factor obtenido en 3 con la descomposicin obtenida en 5

13. Ejemplo 6

P(x) = x 3 3x 2-x + 3

divisores de 3: 1, -1, 3 Y -3

P(1)= 1 3 3 1 2- 1 + 3 = 1 3 1 + 3 = 0

raz 1 factor (x - 1)

cociente : x 2- 2x 3

x 2- 2x 3 = (x + 1)(x 3)

P(x) = x 3 3x 2- x + 3 = (x - 1)(x + 1)(x 3)

Hallamos los divisores de 3

Buscamos un divisor de 3 que searaz del polinomio.

Hallamos el factor correspondiente a la raz.

Dividimos por Ruffini el polinomio entre el factor.

Obtenemos al dividir un polinomio de segundo grado, que podemos factorizar siguiendo el mtodo anterior.

Juntamos el factor obtenido en 3 con la descomposicin obtenida en 5

14. Polinomios de grado 4

Hallamos los divisores del trmino independiente

Buscamos un divisor delindependiente que searaz del polinomio, sustituyendo la x por el divisor, y comprobando que sale 0

Hallamos el factor correspondiente a la raz. Si la raz es a, el factor es x-a

Dividimos por Ruffini el polinomio entre el factor.

Obtenemos al dividir un polinomio de tercer grado grado, que podemos factorizar siguiendo el mtodo anterior.

Unimos lo obtenido en el paso 3 y el 5

15. Polinomios sin trmino independiente

Si el trmino ms pequeo es de grado n, podemos sacar como factor comn x n

Nos queda un polinomio de la forma x n Q(x)

Q(x) lo factorizamos siguiendo los mtodos anteriores.