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Polinomios

Rafael Ramírez Ros

Dedicación: 4 horas

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Definiciones

Índice

1 Definiciones

2 Operaciones

3 Factorización

4 Taylor

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Definiciones

Polinomios

Un polinomio en la variable x es una expresión de la forma

P = P(x) = pnxn + pn−1xn−1 + · · ·+ p1x + p0 =∑n

k=0 pkxk ,

con pn 6= 0.El símbolo

∑nk=0 se lee así: “Sumatorio de los términos

que van desde k = 0 hasta k = n”.n es el grado del polinomio: gr[P] = n.Los polinomios constantes tienen grado cero: gr[p0] = 0.Los números p0,p1, . . . ,pn son los coeficientes.pn es el coeficiente principal (o lider).Si pn = 1, el polinomio es mónico. Si pn 6= 1, podemosnormalizarlo (dividir por pn) y convertirlo en mónico.

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Definiciones

Conjuntos de polinomios

Z[x ], Q[x ], R[x ] y C[x ] son los conjuntos formados portodos los polinomios en la variable x cuyos coeficientesson números enteros, racionales, reales y complejos,respectivamente.En cambio, los subconjuntos Zn[x ], Qn[x ], Rn[x ] y Cn[x ]solo contienen los polinomios de grado ≤ n.Z[x ] ⊂ Q[x ] ⊂ R[x ] ⊂ C[x ], pues Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.Si K = Z,Q,R,C, entonces

K = K0[x ] ⊂ K1[x ] ⊂ K2[x ] ⊂ · · · ⊂ Kn[x ] ⊂ · · · ⊂ K[x ].

Ejemplos:

x8 − 7x + 256 ∈ Z[x ], 2t3 − 5t/7 + 4 ∈ Q3[t ],

λ2 − πλ+ 1 ∈ R5[λ], x + 1 + i ∈ C1[x ].

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Operaciones

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Operaciones

Sumas, restas y productos

Sumar/restar→ Agrupar términos del mismo grado.Multiplicar→ Propiedad distributiva y agrupar términos.Ejemplo 1: (x3 + x2 + x + 2)− (x3−2x2 + 1) = 3x2 + x + 1.Ejemplo 2 (importante): Si z = a + bi ∈ C \ R, entonces

(x − z)(x − z̄) = x2 − zx − z̄x + zz̄

= x2 − 2 Re(z)x + |z|2

= x2 − 2ax + a2 + b2.

Ejemplo 3: La identidad de Sophie Germain dice que

(x2 + 2µx + 2µ2)(x2 − 2µx + 2µ2) = x4 − 2µx3 + 2µ2x2+

2µx3 − 4µ2x2 + 4µ3x+

2µ2x2 − 4µ3x + 4µ4

= x4 + 4µ4.

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Operaciones

Anillos de polinomios

gr[P(x)±Q(x)] ≤ max {gr[P(x)],gr[Q(x)]}.gr[P(x) ·Q(x)] = gr[P(x)] + gr[Q(x)].La operación suma de polinomios tiene elemento neutro: 0y elemento opuesto: −P(x) =

∑nk=0(−pk )xk , pues

P(x) + 0 = P(x), P(x) +(− P(x)

)= 0.

La operación producto de polinomios tiene elementoneutro: 1, pero los polinomios de grado ≥ 1 no tienenelemento inverso.K[x ], con K = Z,Q,R,C, es un anillo con las operacionessuma y producto. Es decir, esas operaciones sonconmutativas, asociativas, cumplen la propiedaddistributiva, tienen elemento neutro y la suma tieneelemento opuesto.

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Operaciones

Evaluación

Si P(x) ∈ K[x ] y α ∈ K es un número, entonces

P(α) = pnαn + pn−1α

n−1 + · · ·+ p1α + p0 ∈ K

también es un número.Ejemplos: Si P(x) = x2 − 2x + 2, entonces

P(1) = 12 − 2 · 1 + 2 = 1,

P(1± i) = (1± i)2 − 2(1± i) + 2 = 1± 2i + i2 − 2∓ 2i + 2 = 0,

P(2± i) = (2± i)2 − 2(2± i) + 2 = 4± 4i + i2 − 4∓ 2i + 2 = 1± 2i.

Importante: Si P(x) ∈ R[x ] y z = a + bi ∈ C, entonces

P(a− bi) = P(z̄) = P(z) = P(a + bi).

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Operaciones

División entera

Teorema

Dados dos polinomios P(x),Q(x) ∈ K[x ] tales que Q(x) 6= 0,existen dos únicos polinomios C(x),R(x) ∈ K[x ] tales que

1 P(x) = Q(x)C(x) + R(x),2 gr[R(x)] < gr[Q(x)], o bien R(x) = 0.

Diremos que P(x) es el dividendo, Q(x) es el divisor, C(x)es el cociente y R(x) es el resto.Si el resto es cero, diremos que Q(x) es un divisor de P(x)o, equivalentemente, que P(x) es un múltiplo de Q(x).Ejemplo 1: x2 ± 2µx + 2µ2 son divisores de x4 + 4µ4.Ejemplo 2: x5 + x2 + x + 1 es un múltiplo de x + 1.

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Operaciones

Ruffini

Dado P(x) =∑n

k=0 pkxk y un número α, calculamosC(x) =

∑n−1k=0 ckxk y un número r operando así:

pn pn−1 · · · p2 p1 p0α αcn−1 · · · αc2 αc1 αc0

cn−1 cn−2 · · · c1 c0 r

siendo la tercera línea la suma de las dos primeras.C(x) es el cociente y r es el resto de dividir el dividendoP(x) entre el divisor Q(x) = x − α. O sea,

P(x) = (x − α)C(x) + r .

Evaluando esta identidad en x = α, vemos que r = P(α).Ejemplo: Comprobar que x + 2 es un divisor de x4 − 16.

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Factorización

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Factorización

Raíces

α es una raíz de P(x)⇔ P(α) = 0⇔ P(x) = (x − α)Q(x).α tiene multiplicidad k cuando

P(α) = P ′(α) = · · · = P(k−1)(α) = 0, P(k)(α) 6= 0,

o cuando P(x) = (x − α)kQ(x) con Q(α) 6= 0.La raíz α es simple si k = 1, múltiple si k ≥ 2, doble sik = 2, triple si k = 3, etcétera.Ejemplo: Las raíces de P(x) = 2x3 − 10x2 + 16x − 8 son1 (simple) y 2 (doble). O sea, P(x) tiene tres raícescontadas con multiplicidad.

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Factorización

Factorización compleja

Teorema Fundamental del Álgebra

Todo polinomio con coeficientes complejos de grado n tieneexactamente n raíces complejas contadas con multiplicidad.

Todo P(x) = pnxn + pn−1xn−1 + · · ·+ p0 ∈ C[x ], pn 6= 0, tieneRaíces z1, . . . , zm ∈ C; yMultiplicidades k1, . . . , km ∈ N con k1 + · · ·+ km = n

tales que P(x) = pn(x − z1)k1 · · · (x − zm)km = pn∏m

j=1(x − zj)kj .

Esto es la factorización compleja de P(x). Además,∑raíces = −pn−1/pn,

∏raíces = (−1)np0/pn.

En ambos casos, las raíces están contadas con multiplicidad.

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Factorización

Factorización real

Si z = a + bi es una raíz de P(x) ∈ R[x ] de multiplicidad k ,entonces z̄ = a− bi es raíz de la misma multiplicidad.Recordamos que (x − z)(x − z̄) = x2 − 2ax + a2 + b2.Agrupando los factores complejos conjugados de lafactorización compleja, obtenemos la factorización real

P(x) = pn ·r∏

j=1

(x − αj)lj ·

c∏j=1

(x2 − 2ajx + a2j + b2

j )kj ,

donde α1, . . . , αr son raíces reales de multiplicidadesl1, . . . , lr y a1 ± b1i, . . . ,ac ± bc i son parejas de raícescomplejas conjugadas de multiplicidades k1, . . . , kc .Un polinomio de grado impar tiene, al menos, una raíz real.

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Factorización

Polinomios irreducibles

Un polinomio es irreducible (sobre un cuerpo K) si no sepuede escribir como un producto de polinomios de K[x ] degrado estrictamente menor.Todos los polinomios de grado uno son irreducibles.Sobre K = C, no hay más polinomios irreducibles.Sobre K = R, hay más: los polinomios de la forma

ax2 + bx + c, b2 − 4ac < 0.

Es decir, polinomios de grado dos y discriminante negativo.Sobre K = Q, hay muchos más.

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Factorización

Primer ejemplo: P(x) = x4 + 4

Buscamos las raíces cuartas de z = −4 = reθi, luego

r = |z| = | − 4| = 4, θ = Arg(z) = Arg(−4) = π.

Raíces en forma exponencial: zk = 4√

z = ρeiϕk , donde

ρ = n√

r =√

2, ϕk =θ

n+

2πn

k = (2k+1)π

4, k = 0,1,2,3.

Raíces en forma binómica: zk = ρ(cosϕk + i sinϕk ), luego

z0 = 1+i, z1 = −1+i, z2 = −1−i = z1, z3 = 1−i = z0.

x4 + 4 = (x − 1− i)(x − 1 + i)︸ ︷︷ ︸x2 − 2x + 2

(x + 1− i)(x + 1 + i)︸ ︷︷ ︸x2 + 2x + 2

.

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Factorización

Segundo ejemplo: P(x) = 3x3 − 19x2 + 36x − 10

Truco: Si α = n/d ∈ Q es una raíz de

P(x) = pmxm + · · ·+ p1x + p0 ∈ Z[x ],

entonces n es un divisor de p0 y d es un divisor de pm.

Ruffini con α = n/d = 1/3:3 −19 36 −10

1/3 1 −6 103 −18 30 0

Las soluciones de la ecuación 3x2 − 18x + 30 = 0 son

z =18 +

√−36

6= 3 + i, z̄ =

18−√−36

6= 3− i.

P(x) = (x− 13)(3x2−18x +30) = 3(x− 1

3)(x−3−i)(x−3+i).

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Factorización

MCD y MCM

Dados dos polinomios P(x) y Q(x),Su máximo común divisor D(x) = m.c.d.[P(x),Q(x)] es elpolinomio mónico del mayor grado posible que es undivisor común de P(x) y Q(x).Su mínimo común múltiplo M(x) = m.c.m.[P(x),Q(x)] esel polinomio mónico del menor grado posible que es unmúltiplo común de P(x) y Q(x).P(x) ·Q(x) = pn · qm · D(x) ·M(x), donde pn y qm son loscoeficientes principales de P(x) y Q(x), respectivamente.Una vez calculadas las factorizaciones de P(x) y Q(x):

D(x) =∏

(factores con los menores exponentes),

M(x) =∏

(factores con los mayores exponentes).

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Taylor

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Taylor

La fórmula

Si P(x) ∈ K[x ] es un polinomio de grado n y α ∈ K, entonces

P(x) = P(α) + P ′(α)(x − α) +P ′′(α)

2(x − α)2 + · · ·+ P(n)(α)

n!(x − α)n

=n∑

k=0

P(k)(α)

k !(x − α)k .

Si P(x) = pnxn + pn−1xn−1 + · · ·+ p1x + p0, entonces

p0 = P(0), p1 = P ′(0), p2 =P ′′(0)

2, . . . ,pn =

P(n)(0)

n!.

n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · n es el factorial de n.Notación: 0! = 1.

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Taylor

Una aplicación

Si C(x) y R(x) son el cociente y el resto de dividir P(x) ∈ Kn[x ]entre Q(x) = (x − α)l , donde α ∈ K y 1 ≤ l ≤ n, entonces

R(x) = P(α) + P ′(α)(x − α) + · · ·+ P(l−1)(α)

(l − 1)!(x − α)l−1,

C(x) =P(l)(α)

l!+

P(l+1)(α)

(l + 1)!(x − α) + · · ·+ P(n)(α)

n!(x − α)n−l .