evidencia de la unidad 3 y 4

5/17/2018 Evidencia de La Unidad 3 y 4 - slidepdf.com

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHETUMAL

PROSESOR: DR. ING. SALVADOR FELIPE ESPINET VÁZQUEZ

ALUMNO: ERIBERTO CANO TAMAY

CARRERA: INGENIERIA CIVIL

EVIDENCIA DE LA UNIDAD 3 Y 4SEMESTRE:III

GRUPO:C TURNO:VESPERTINO

ASIGNATURA MODELOS DE OPTIMIZACION DE RECURSOS

HUMANOS



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INDICE

PORTADA…………………………………………………………………………...…….1

INVESTIGACION DE LA UNIDAD 3……………………………………………………3

ALGORITMOS ESPECIALES DE PROGRAMACION LINEAL………………….….3

EL PROBLEMA DE TRANSPORTE……………………………………………………7

EL PROBLEMA DE ASIGNACION…….……………………………………………..11

INTERPRETACION DE LOS TEMAS………………………………………………..21

ALGORITMOS ESPECIALES DE PROGRAMACION LINEAL…………………...21

EL PROBLEMA DE TRANSPORTE ………………………………………………...22

EL PROBLEMA DE ASIGNACION………………………………………………..…23

USO DE SOFTWARE…………………………………………..………………….….24

INVESTIGACION DE LA UNIDAD 4…………………………………….……….…27

MODELO DE FLUJO EN REDES……………………………………….……….…27

EL MODELO DEL CAMINO MAS CORTO…………………….……….………... 28

EL MODELO DE FLUJO MAXIMO……………………………………….……..…33EL MODELO DEL ARBOL DE EXPANSION MINIMA………………….…….….36

INTERPRETACION DE LOS TEMAS…………………………………….…….…40

MODELO DE FLUJO EN REDES………………………………………….………40

EL MODELO DEL CAMINO MAS CORTO………………………………..……..40

EL MODELO DE FLUJO MAXIMO………………………………………….…….41

EL MODELO DEL ARBOL DE EXPANSION MINIMA……………………........43

USO DE SOFTWARE…………………………………………………………...….45

DICCIONARIO DE LA TEORIA DE GRAFOS O REDES……………………..46

.



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INVESTIGACION DE LA UNIDAD 3

ALGORITMOS ESPECIALES DE

PROGRAMACION LINEAL

La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante elcual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuacioneslineales, optimizando la función objetivo, también lineal.

Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominadafunción objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas auna serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones

lineales.

Historia de la programación lineal

El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al

menos, a Joseph Fourier, después de quien nace el método de eliminación deFourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemáticodesarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y losretornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas delenemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industriaslo usaron en su planificación diaria.

Cronología[1]

Año Acontecimiento

1826 Joseph Fourier anticipa la programación lineal. Carl Friedrich Gauss resuelve ecuaciones lineales por eliminación "gaussiana ".

1902 Gyula Farkas concibe un método para resolver sistemas de desigualdades.

1947

George Dantzig publica el algoritmo simplex yJohn von Neumann desarrolló la teoría de la dualidad.Se sabe que Leonid Kantoróvich también formuló la teoría en formaindependiente.

1984Narendra Karmarkar introduce el método del punto interior para resolverproblemas de programación lineal.

http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier



http://es.wikipedia.org/wiki/Segunda_Guerra_Mundial



http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal#cite_note-50COSAS-0


http://es.wikipedia.org/wiki/1826




http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Gyula_Farkas_%28cient%C3%ADfico%29&action=edit&redlink=1



http://es.wikipedia.org/wiki/George_Dantzig


http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_simplex



http://es.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann


http://es.wikipedia.org/wiki/Leonid_Kantor%C3%B3vich




http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Narendra_Karmarkar&action=edit&redlink=1


















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Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmosimplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en elmismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicassimilares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economíaen 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, diseñó el llamado

Algoritmo del elipsoide, a través del cual demostró que el problema de laprogramación lineal es resoluble de manera eficiente, es decir, en tiempopolinomial.[2] Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo métododel punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo queconstituiría un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área.

El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programaciónlineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas laspermutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa (factorial de70, 70!) ; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas

en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptimamediante el planteamiento del problema como una programación lineal y laaplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reducedrásticamente el número de posibles soluciones óptimas que deben ser revisadas.

Variables

Las variables son números reales mayores o iguales a cero.

En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea un númeroentero, el procedimiento de resolución se denomina Programación entera .

Restricciones

Las restricciones pueden ser de la forma:

Tipo 1:

Tipo 2:

Tipo 3:

Donde:














http://es.wikipedia.org/wiki/Leonid_Khachiyan



http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Algoritmo_del_elipsoide&action=edit&redlink=1


http://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo_polinomial



http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal#cite_note-Kha79-1






http://es.wikipedia.org/wiki/Factorial

















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A = valor conocido a ser respetado estrictamente; B = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado; C = valor conocido que no debe ser superado; j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de restricciones); a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos;

X = Incógnitas, de 1 a N; i = número de la incógnita, variable de 1 a N.

En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N =M; N > M; ó, N < M.

Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede serdeterminado, y puede no tener sentido una optimización.

Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el mismoproblema.

Función Objetivo

La función objetivo puede ser:

Ó

Donde:

f i = coeficientes son relativamente iguales a cero.

Programación entera

En algunos casos se requiere que la solución óptima se componga de valores

enteros para algunas de las variables. La resolución de este problema se obtieneanalizando las posibles alternativas de valores enteros de esas variables en unentorno alrededor de la solución obtenida considerando las variables reales.Muchas veces la solución del programa lineal truncado esta lejos de ser el óptimoentero, por lo que se hace necesario usar algún algoritmo para hallar esta soluciónde forma exacta. El más famoso es el método de 'Ramificar y Acotar' o Branch andBound por su nombre en inglés. El método de Ramificar y Acotar parte de la



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adición de nuevas restricciones para cada variable de decisión (acotar) que al serevaluado independientemente (ramificar) lleva al óptimo entero.

Aplicaciones

La programación lineal constituye un importante campo de la optimización porvarias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operacionespueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casosespeciales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes yproblemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de lasmatemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismosmucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución. Una serie dealgoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimizaciónconstituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal.Históricamente, las ideas de programación lineal han inspirado muchos de losconceptos centrales de la teoría de optimización tales como la dualidad, la

descomposición y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Delmismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y laadministración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos oreducir al mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos sonla mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de lasfinanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, laplanificación de campañas de publicidad, etc.

Otros son:

Optimización de la combinación de cifras comerciales en una red lineal de

distribución de agua. Aprovechamiento óptimo de los recursos de una cuenca hidrográfica, para

un año con afluencias caracterizadas por corresponder a una determinadafrecuencia.

Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de unsistema de obras hidráulicas;

Solución de problemas de transporte.

http://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo_real






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PROBLEMAS DE TRANSPORTE

Ejemplo

Éste es un caso curioso, con solo 6 variables (un caso real de problema detransporte puede tener fácilmente más de 1.000 variables) en el cual se aprecia lautilidad de este procedimiento de cálculo.

Existen tres minas de carbón cuya producción diaria es:

La mina "a" produce 40 toneladas de carbón por día; La mina "b" otras 40 t/día; y, La Mina "c" produce 20 t/día.

En la zona hay dos centrales termoeléctricas que consumen:

La central "d" consume 40 t/día de carbón; y, La central "e" consume 60 t/día

Los costos de mercado, de transporte por tonelada son:

De "a" a "d" = 2 monedas De "a" a "e" = 11 monedas De "b" a "d" = 12 monedas De "b" a "e" = 24 monedas De "c" a "d" = 13 monedas De "c" a "e" = 18 monedas

Si se preguntase a los pobladores de la zona cómo organizar el transporte, tal vezla mayoría opinaría que debe aprovecharse el precio ofrecido por el transportistaque va de "a" a "d", porque es más conveniente que los otros, debido a que es elde más bajo precio.

http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_transporte




http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Progr_Lineal.PNG








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En este caso, el costo total del transporte es:

Transporte de 40 t de "a" a "d" = 80 monedas Transporte de 20 t de "c" a "e" = 360 monedas Transporte de 40 t de "b" a "e" = 960 monedas

Total 1.400 monedas.Sin embargo, formulando el problema para ser resuelto por la programación linealse tienen las siguientes ecuaciones:

Restricciones de la producción:

Restricciones del consumo:

La función objetivo será:

La solución de costo mínimo de transporte diario resulta ser:

Xb-d = 40 resultando un costo de 12 x 40 = 480 monedas Xa-e = 40 resultando un costo de 11 x 40 = 440 monedas Xc-e = 20 resultando un costo de 18 x 20 = 360 monedas Total 1.280 monedas.

120 monedas menos que antes.

http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal

Problemas de Transporte

Los modelos de transporten juegan un papel importante en la gerencia logística yen la cadena de insumos para reducir costos y mejorar servicios. Por lo tanto, elobjetivo es encontrar la manera más efectiva en termino de costos paratransportar bienes.






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Un distribuidor que tiene m depósitos con un abastecimiento de productos a i ith enellos, debe enviar dichos productos a n centros minoristas geográficamentedispersos, cada uno con una demanda de clientes dada e j, la cual debe sercubierta. El objetivo es determinar el mínimo costo posible de transporte dados loscostos por unidad de transportar entre el ith depósito y el jth centro minorista, el

cual es Cij.En el problema siguiente el objetivo es encontrar la forma mas efectiva detransportar los productos. Tanto como la oferta y la demanda en cada fuente seencuentra determinada. Por ejemplo, la fuente (u origen) 3 tiene 800 unidadesdisponibles mientras que el destino 1 necesita por lo menos 1100 unidades. Cadaruta desde un origen a un destino se le asigna una unidad de costo de transporte.

http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640S/SpanishIN.htm#rintro

Ejemplo Numérico: el Problema del Transporte

El objetivo es encontrar la manera más efectiva de transportarproductos. La siguiente tabla presenta un resumen de la oferta y lademanda en cada origen (por ejemplo: el depósito) O1, O2 y destino(por ejemplo: el mercado) D1 y D2, junto con el costo unitario detransporte.

Matriz de CostoUnitario deTransporte

D1 D2 Oferta

O1 20 30 200O2 10 40 100Demanda 150 150 300

Xij representa la cantidad de productos enviados desde el origen ihasta el destino j. La formulación de PL del problema deminimización del costo total de transporte es la siguiente:

Min 20X11 + 30X12 + 10X21 + 40X22

Sujeta a:X11 + X12 = 200X21 + X22 = 100X11 + X21 = 150X12 + X22 = 150

Como este problema de transporte es equilibrado (oferta total =demanda total) todas las restricciones están en forma de igualdad.






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Además, cualquiera de las restricciones es redundante (si se sumandos restricciones cualquiera y se resta otra obtenemos la restricciónrestante). Borremos la última restricción. El problema entoncesqueda así:

Min 20X11 + 30X12 + 10X21 + 40X22Sujeta a:X11 + X12 = 200X21 + X22 = 100X11 + X21 = 150todas

Este problema de PL no se puede resolver mediante el métodográfico. Sin embargo, el método algebraico no tiene ningunalimitación con respecto a la dimensión de PL. Nótese que tenemos

tres ecuaciones con cuatro variables de decisión restringidas.Fijando cualquiera de las variables en cero obtenemos:

X11 X12 X21 X22 Costo Total de Transporte0 200 150 -50 No factible

200 0 -50 150 No factible150 50 0 100 850050 150 100 0 6500*

Ahora poniendo cualquier y dos (o más) las variables para poner

cero de a, es fácil de ver, inspeccionando las tres ecuaciones quetodas las otras soluciones son no factible.

Por lo tanto, la estrategia óptima es X11 = 50, X12 = 150, X21 = 100,y X22 = 0, con un costo total de transporte mínimo de US$6.500.

Si lo desea, puede resolver este problema con Modul Net.Exe en elpaquete WinQSB para verificar estos resultados.

Para obtener una versión más detallada del Método Algebraico, visiteel sitio Toward the Simplex Method

http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640s/spanishd.htm#rtransportPr

http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640a/partIV.htm









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Problema de la asignación

El problema de la asignación es encontrar un matching de peso máximo en ungrafo bipartido ponderado. Es uno de los problemas fundamentales deoptimización combinatoria de la rama de optimización o investigación operativa enmatemática.

Una descripción apropiada de lo que trata de lograr el modelo de asignación es:“La mejor persona para el trabajo”

El problema de asignación tiene que ver con la designación de tareas aempleados, de territorios a vendedores, de contratos a postores o de trabajos aplantas, etc. En otras palabras, a la disposición de algunos recursos(maquinas opersonas) para la realización de ciertos productos a 'costo mínimo.

Una definición más formal pudiera ser:

Problema de Asignación: Caso particular del problema de Transporte donde los asignados son recursos destinados a la realización de tareas, losasignados pueden ser personas, máquinas, vehículos, plantas o períodosde tiempo. En estos problemas la oferta en cada origen es de valor 1 y lademanda en cada destino es también de valor 1.

Historia

El problema de asignación tuvo su origen en la revolución industrial, ya que elsurgimiento de las máquinas hizo que fuera necesario asignar una tarea a untrabajador.

Thomas Jefferson en 1792 lo sugirió para asignar un representante a cada estado,pero formalmente aparece este problema en 1941, cuando F.L. Hitchcook publicauna solución analítica del problema, pero no es hasta 1955 cuando Harold Kuhnplantea el Método húngaro, que fue posteriormente revisado por James Munkresen 1957; dicho método está basado fundamentalmente en los primeros trabajos deotros dos matemáticos húngaros: Dénes Köning y Jenö Egervary.

http://es.wikipedia.org/wiki/Matching



http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grafo_bipartido&action=edit&redlink=1


http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grafo_ponderado&action=edit&redlink=1



http://es.wikipedia.org/wiki/Optimizaci%C3%B3n_combinatoria


http://es.wikipedia.org/wiki/Optimizaci%C3%B3n_%28matem%C3%A1tica%29



http://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_operativa



http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica





http://es.wikipedia.org/wiki/Revoluci%C3%B3n_industrial



http://es.wikipedia.org/wiki/Thomas_Jefferson


















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Hoy en día en pleno apogeo de la globalización este problema surge cada vez conmayor frecuencia el uso de este problema de la rama de la investigación deoperaciones, podemos decir que es la aplicación del método científico paraasignar los recursos o actividades de forma eficaz, en la gestión y organización desistemas complejos, su objetivo es ayudar a la toma de decisiones.

Definición del problema de asignación

En su forma más general, el problema es como sigue:

Hay un número de agentes y un número de tareas . Cualquier agente puedeser asignado para desarrollar cualquier tarea, contrayendo algún coste quepuede variar dependiendo del agente y la tarea asignados. Es necesariopara desarrollar todas las tareas asignar un solo agente a cada tarea paraque el coste total del asignación sea minimizado.

Este tipo de problemas son lineales, con una estructura de transporte, sólo que laoferta en cada origen es de valor uno y la demanda en cada destino es también devalor uno. Sería muy ineficiente resolver este tipo de problemas por medio delmétodo simplex o por medio del de transporte. Debido a la estructura propia de losproblemas de asignación, existen métodos de solución llamados algoritmos deasignación que son más eficientes que el simplex o que el método de transporte.

Los problemas de asignación presentan una estructura similar a los de transporte,pero con dos diferencias: asocian igual número de orígenes con igual número dedemandas y las ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la demanda encada destino.

La restricción importante para cada agente es que será designado a una y solouna tarea.

Características

El problema de asignación presenta las siguientes características:

El Problema de Asignación debe estar equilibrado, es decir, que las ofertasy las demandas sean igual a 1. Un elemento importante para el problemade asignación es la matriz de costos, si el número de renglones o columnas

no son iguales el problema esta des balanceado y se puede obtener unasolución incorrecta, para obtener una solución correcta la matriz debe sercuadrada.

Si el número de agentes y tareas son iguales y el coste total de laasignación para todas las tareas es igual a la suma de los costes de cadaagente (o la suma de los costes de cada tarea, que es lo mismo en estecaso), entonces el problema es llamado problema de asigna miento lineal .




http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_simplex






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Normalmente, cuando hablamos de problema de asignación sin ningunamatización adicional, nos referimos al problema de asigna miento lineal.

Oferta: Cantidad que representa la disponibilidad de el articulo en la fuente/fabricade donde proviene. 4

Demanda: Cantidad de artículos que necesita recibir el destino para cumplir susnecesidades. 4

Diferencias con el Modelo de Transporte y Asignación

Los problemas de asignación son un caso particular de los problemas detransporte y constituyen la clase mas sencilla de los problemas lineales, en el cuallos trabajadores representan las fuentes y los puestos representan los destinos.

En el problema de transporte existen m orígenes y n destinos, y el flujo se

realiza desde un origen hacia cada uno de los diferentes destinos. Si eneste caso permitimos el flujo en ambos sentidos (de origen a destino ydestino a origen) se puede hablar de un problema de m + n orígenes y m +n destinos. A este tipo de problemas se les conoce con el nombre deproblemas de transbordo (transhipment problems ) o transporte con nodosintermedios.

En el caso mas general, cada punto origen o destino pude ser un punto detransbordo, es decir, cada origen puede evitar o transportar a otrosorígenes o a distintos; y los destinos pueden transportar a su vez a otrosdestinos o volver a los orígenes. Un punto conserva su identidad, origen o

destino, solamente cuando sea respectivamente, un punto queoriginalmente disponga de un suministro o un punto que tenga unademanda a satisfacer.

En los problemas de asignación las ofertas en cada origen es de valor uno,como lo es la demanda en cada destino; una gran diferencia con respecto alos problemas de transporte.

Formas de represtentacion de un problema de asignación

1. Red.

2. Modelo de programación lineal.3. Matriz de costos.4. Tabla de transporte.

Asignación Inicial

Implica asignar números a las celdas para satisfacer las restricciones de oferta ydemanda. Para realizar esto se puede emplear alguno de estos métodos: El



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método de la esquina noroccidental, el método de menor costo y el método deaproximación de Vogel.

Elementos del problema de asignación

Tabla de transporte

Tabla de transporte: Otra forma de plantear el problema de transporte (recordemos que el problema de asignación es un caso especial del de transporte)es mediante una tabla llamada tabla de transporte, la cual tiene forma de matrizdonde los renglones representan las fuentes y las columnas los destinos o

trabajos.

En las casillas que se encuentran en la esquina se colocan los coeficientesde costo.

Una vez realizado esto, utilizamos alguno de los métodos (vogel, esquinanoroeste, costos mínimos) para obtener una solución inicial

Donde no exista un coeficiente de costo se le anota una M. 4

Matriz de costos: Es una matriz cuadrada de n*n, donde cada elementorepresenta el costo de asignar el enésimo trabajador al enésimo trabajo; renglones = trabajadores . Es la tabla en donde, se identifica, se evalúa y se cuantifica los

beneficios económicos, costos y riesgos de los productos/servicios, después dedefinir la necesidad el alcance y el alineamiento estratégico de losproductos/servicios, en donde se evalúa el beneficio total de la propiedad(características), una vez creada la matriz se demuestra el valor económico parala realización del producto o servicio correspondiente. 4

Matriz de Costos Reducida Es la matriz que se obtiene después de haberrestado el elemento más pequeño a cada renglón (reducción de renglones) yrestarle a esa nueva matriz el elemento más pequeño a cada columna (reducciónde columnas).

Distribución óptima: Sean un conjunto de fragmentos F = {F1 , F2,..., Fn} y unared formada por el conjunto de sitios S = {S1, S2,..., Sm} en la cual un conjunto deaplicaciones Q = {q1, q2,..., qq} se ejecutan. El problema de la asignación implicaencontrar la distribución óptima de F sobre S. (multi)

Método simplex: Método de solución de los problemas de programación linealdonde se obtiene una solución factible y óptima (en donde se pueden obtener

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_la_esquina_noroeste&action=edit&redlink=1


http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_costos_m%C3%ADnimos&action=edit&redlink=1



http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_de_aproximaci%C3%B3n_de_Vogel&action=edit&redlink=1




http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadrada



http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Sintitulo.png











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resultados como solución múltiple, solución no acotada, o que el problema notenga solución).

Solución Óptima: El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto desoluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se

llama solución máxima (o mínima según el caso).Red

Muchos problemas de redes son mas que una representación abstracta deprocesos o actividades, tales como el camino crítico en las actividades entre lasredes de un proyecto. guo)Para definir lo que es una red necesitaremos saber quees un nodo: Es uno de los elementos de una lista enlazada, de un árbol o de ungrafo. Cada nodo será una estructura o registro que dispondrá de varios campos,y al menos uno de esos campos será un puntero referencia a otro nodo, de formaque, conocido un nodo, a partir de esa referencia, será posible en teoría tener

acceso a otros nodos de la estructura.Una red consiste en una serie de nodos enlazados con arcos (o ramas). Lanotación para describir una red es (N,A), donde N es el conjunto de nodos y A esel conjunto de arcos.

Casos especiales

Oferta y demanda desiguales. Cuando la oferta y la demanda son desiguales, seasigna una actividad ficticia con un costo de cero para mantener la condición demétodo que debe ser igual número de ofertas y demandas

Problemas de maximización. Considere un problema de asignación en el que la

respuesta a cada asignación es una utilidad en vez de un costo. Considere lamatriz de utilidades del problema como la característica nueva la cual consiste enque el número que aparece en cada celdilla representa un beneficio en lugar de uncosto.

Problemas con asignación inaceptable. Supóngase que se está resolviendo unproblema de asignación y que se sabe que ciertas asignaciones son inaceptables.Para alcanzar esta meta, simplemente asigna un costo arbitrariamente grande

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol_%28teor%C3%ADa_de_grafos%29



http://es.wikipedia.org/wiki/Grafo


http://es.wikipedia.org/wiki/Nodo



http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Redes.png






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representado mediante la letra M. M es un número tan grande que si se le resta unnúmero finito cualquiera, queda todavía un valor mayor que los demás.

Problema de selección: Es un caso especial donde la función u objetivo esmaximizar pero el problema se trata igual que una minimización al multiplicar por (-

1).Método de selección

Cuando el problema de asignación es de maximización se le llama problema deselección

Balanceado

Se dice que un problema de asignación se encuentra balanceado, si los recursostotales son iguales a las demandas totales, en caso contrario se dice que no está

balanceado el problema.Además en el modelo, m = n (obtener una matriz cuadrada), en donde m númerode renglones y n es número de columnas.

Para lograr que el modelo este balanceado se pueden agregar trabajadores/tareasficticias con costos de cero.

Algoritmos y generalizaciones

El algoritmo Húngaro es uno de los muchos algoritmos que han sido diseñados

para resolver el problema del asigna miento lineal con un tiempo acotado por unaexpresión polinómica del número de agentes.

El problema del asigna miento es un caso especial del problema del transportador,que es un caso especial del problema del flujo de coste mínimo. El problema deasignación también puede ser resuelto por medio del algoritmo simplex (creado en1947 por el matemático George Dantzig).El método del simplex se utiliza, sobretodo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres omás variables, es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cadapaso. Cada especialización tiene algoritmos más eficientes tomando ventaja de suestructura espacial.

Si Xij=1 Si se asigna el trabajador i a la tarea j. Si X ij=0 No se asigna el trabajador ia la tarea j. Cij: Costo de asignar al trabajador i la tarea j.

Parámetro M: M es un numero muy grande en los problemas de asignación seutiliza para representar que al trabajador i no se le puede asignar la tarea j.

Modelo binario

http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_H%C3%BAngaro










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Problema Binario: Son los problemas en los cuales la variable X ij solo puede tomarvalores de 0 y 1; el problema de asignación es un problema binario.

Es un modelo de programación lineal donde en la solución las variables sólopueden tomar los valores de cero o uno.

Teorema Fundamental de la Asignación

Si a todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz derendimientos se le suma o se le resta una cantidad constante la asignación optimano varia.

Definición matemática formal

La definición formal del problema del asigna miento (o problema lineal delasigna miento) es

Dados dos conjuntos, A y T . de igual tamaño, juntos con una función peso C : A × T → R. Encuentra una biyección f : A → T como la función de coste:

está minimizada.

Normalmente la función peso es vista como una matrz cuadrada de valores realesC , con lo que el coste de la función queda así:

El problema es "lineal" porque la función coste a optimizar así como todas lasrestricciones contiene solo términos lineales.

Método Húngaro

Pasos para el método húngaro

Paso 1: Encontrar primero el elemento más pequeño en cada fila de la matriz decostos m*m; se debe construir una nueva matriz al restar de cada costo el costomínimo de cada fila; encontrar para esta nueva matriz, el costo mínimo en cadacolumna. A continuación se debe construir una nueva matriz (denominada matrizde costos reducidos) al restar de cada costo el costo mínimo de su columna.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_peso&action=edit&redlink=1



http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real



http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva












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Paso 2: Consiste en trazar el número mínimo de líneas (horizontales o verticales oambas únicamente de esas maneras) que se requieren para cubrir todos los cerosen la matriz de costos reducidos; si se necesitan m líneas para cubrir todos losceros, se tiene una solución óptima entre los ceros cubiertos de la matriz. Si serequieren menos de m líneas para cubrir todos los ceros, se debe continuar con el

paso 3. El número de líneas para cubrir los ceros es igual a la cantidad deasignaciones que hasta ese momento se pueden realizar (En algunos textos estepaso se atribuye a Flood).

Paso 3: Encontrar el menor elemento diferente de cero (llamado k) en la matriz decostos reducidos, que no está cubierto por las líneas dibujadas en el paso 2; acontinuación se debe restar k de cada elemento no cubierto de la matriz de costosreducidos y sumar k a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto pordos líneas (intersecciones). Por último se debe regresar al paso 2. (scrib2)

Paso 4: En caso de no encontrar una solución factible con los pasos anteriores

aplicar entonces este:1) Trace el número mínimo de lineas horizontales y verticales en la últimamatriz reducida que cubrirá TODAS las entradas cero.2) Selecciones el elemento no cubierto más pequeño y réstelo de todos loselementos no cubiertos; después, súmelos a todos los elementos en laintersección de dos líneas.3) Si no es posible encontrar una asignación factible entre las entradas ceroresultantes, repita es paso. De lo contrario regresé al paso 3 paradeterminar la asignación óptima.

Caso especial al aplicar el Método Húngaro cuando se trata de MaximizarCuando hay que pasar de maximizar a minimizar en lugar de operar con el mayorde toda la matriz podemos ir tomando el mayor de cada fila o columna e irrestándole todos los elementos de esa fila o columna con lo cual conseguiremosde camino obtener por lo menos un cero como mínimo en cada fila o columna. Sien alguna columna no hubiera ceros le quitamos el mayor a la columna..

Método de Flood

Este método es utilizado en aquellos casos donde no se ha podido hacer una

asignación óptima después de haber realiza el método húngaro.El método consta de los siguientes pasos: Paso 1: Señalar todas las filas que notienen una asignación. (Cuando se dice señalar puede ser una pequeña X a laizquierda de la fila o arriba de la columna)

Paso 2: Señalar todas las columnas que tengan un cero en la columna señalada.



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Paso 3: Señalar todas las filas que tienen una asignación en las columnasindicadas.

Paso 4: Repetir estos pasos hasta que no pueda señalarse más columnas o filas.(No hay más filas que no tengan asignación) Dibujar una línea por cada fila NO

señalada y por cada columna SI señalada.Paso 5: Encontrar el mínimo valor de los elementos no cubiertos y restarlo a todoslos elementos no cubiertos, y sumar este valor a cada elemento que se encuentreen la intersección de una línea horizontal con una línea vertical.

Paso 6: Realizar la asignación como en el método húngaro. (arqui)

Ejemplo

Una empresa de logística cuenta con 4 máquinas para realizar 3 tareas, cada

máquina realiza la tarea según el tiempo en que esta pueda ejecutarla. En lasiguiente tabla se muestran los tiempos en horas para dichas tareas.

Se plantea la red de la siguiente forma:

Ejemplo 1: Balanceando

Para resolver el problema usando el método Húngaro será necesario equilibrar latabla de costos, si se construye una tabla en base a la red tendremos 4 filas ≠ 3

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Tablawiki2.png






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columnas, por tanto será necesario agregar una nueva columna con costos 0, estosignifica que se añadirá una tarea falsa.

Ahora se tienen 4 filas = 4 columnas, por tanto el modelo esta balanceado y listopara aplicar el método Húngaro para su solución.

http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_asignaci%C3%B3n#Diferencias_con_el_Modelo_de_Transporte_y_Asignaci.C3.B3n









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INTERPRETACION DE LOS TEMAS

Algoritmos especiales de programación lineal

Programación lineal es muy importante en la solución de problemas que serelacionen con los modelos matemáticos, ya que con esto se nos facilita resolvercualquier problema de ecuaciones lineales, mas que nada es mas utilizado en eltrabajo de los ingenieros civiles , ya que su trabajo se remota mas en lasoperaciones matemáticas, pero no solo es empleado por los ingenieros si no quevarias personas como son los contadores, los administradores, los eléctricos etc.Emplean la programación lineal.

La programación lineal es u procedimiento o serie de pasos mejor conocido comoalgoritmo que se emplea para solucionar problemas indeterminados, formulado através de ecuaciones lineales, por eso es que se le llama programación lineal. Laprogramación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX),

El principal objetivo de la programación lineal es optimizar una función lineal, queconsiste en minimizar o maximizar la función, para que al usuario se le faciliteresolver dicho problema que se le presente.

Cuando se refiere a los algoritmos es casi lo mismo solo que los algoritmos son laserie de pasos que se llevan en la programación lineal para que este pueda

resolver dicho problema que se le presente a cualquier ingeniero o a otra persona.

El principal objetivo es optimizar la solución de cualquier problema que sepresente o sea maximizarla o minimizarla, pero todas las personas tratan de quelos problemas se miniminicen lo mas que se pueda y no maximizarla ya que estose le complicaría mas buscar la solución del problema. Por eso es que se utilizanlos algoritmos especiales para facilitar la resolución de cualquier problema deprogramación lineal o sea de ecuaciones lineales, esto principalmente lo utilizanlos ingenieros civiles y los informáticos que son los que se encargan de hacerestos tipos de programas, ya que los algoritmos se emplean en varios programascomo es en el caso de matlab, Excel y entre oros mas que se han ido inventando.



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EL PROBLEMA DE TRANSPORTE

El problema de transporte es muy importante en la vida diaria ya que es uno de losservicios que mas se utiliza en el planeta por los humanos para transportarse deun lugar a otro o parar transportar sus productos o bienes que necesitan para vivir.Los algoritmos especiales de programación lineal se encargan de buscar unasolución mas fácil para que al transportar algo esto se facilite y además tenga masbeneficios como es el ahorro de tiempo y en lo económico.

Esto se utiliza también en la ingeniería civil ya que en las obras se necesitatransportar varios materiales para que el albañil pueda trabajar y así se puedaconstruir la obra que se desee, el ingeniero debe de buscar la manera mas fácilde transportar los materiales parar ahorrar tiempo y dinero, por eso necesita deconocer los algoritmos de programación lineal parar que se le facilite encontrar lasolución ya que esto le sirve mucho.

Un ejemplo es cuando una empresa de construcción está realizando variasconstrucción en diferentes partes del municipio ,en poblados lejanos para podertransportar sus materiales debe de buscar la forma mas fácil de transportarlospara ahorrar tiempo y dinero, primero debe de analizar el problema, ver lasubicaciones en donde están construyendo, ver que materiales debe de transportar,ver las rutas como se relacionan uno con otros, ver los costos de los transportistapara llevar los materiales a cada lugar. Teniendo estos datos el ingeniero debe deaplicar los algoritmos de programación lineal para ver que ruta tomara para que eltransporte no le salga tan caro y así ahorre dinero y tiempo. Y así salgan ganandono solo el ingeniero y las empresas si no que también las demás personas quecontratan las construcciones. Por eso es muy importante analizar los problemasde transporte para buscar soluciones mas fáciles, no solo en la ingeniería civil seaplica si no que en varias cosas como los empresarios al transportar susproductos, los agricultores al transportar sus cosechas entre otros, por eso esmuy importante.



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PROBLEMA DE ASIGNACION

El problema de asignación viene relacionado con el problema de transporte, mas

bien es un caso particular del problema de transporte, o sea que el problema deasignación viene siendo una parte de resolver el problema de transporte. Elproblema de asignación es un valor que se le asigna al producto a cualquier cosa,también se le puede asignar a los empleados, a personas, maquinas entre otrascosas. En los problemas de asignación intervienen la demanda y la oferta, endonde la demanda y la oferta tienen que tener el mismo valor que es igual a 1. Endonde la oferta representa la cantidad que estarías dispuesto a producir losproductos a diferentes precios, y la demanda es la cantidad de que estaríasdispuesto a comprar el consumidor por cada uno de los precios a que puede serleofrecida.

Se puede decir que el problema de asignación es buscar que valor se le vaasignar a cada cosa, donde se relaciona con el transporte. Por ejemplo cuando setransporta material de construcción, al material que se esta transportando se ledebe de asignar un valor y ese valor los productos hoy en día ya lo tienen soloque varias de acuerdo en donde se encuentren, esto influye mucho con eltransporte, ya que si se encuentra en un lugar muy lejano el producto costara mascaro. Por eso se relaciona el problema de asignación con el problema detransporte. Por eso las construcciones en zonas rurales sale mas caro que en laszonas urbanas por la transportación del material, ya que el material cuesta mascaro, por eso los ingenieros deben de resolver los problemas de transporte y deasignación para buscar que la construcción no este tan cara. Por eso se le asignadiferentes valores a los productos, materiales, herramientas. para que eltransporte pueda ser pagado y así nadien salga perdiendo. Por eso también sedice que la demanda y la oferta deben de ser iguales ya que no se puede producirmas de lo que puedas vender.



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USO DE SOFTWARE

El uso de software es muy importante en la elaboración de los algoritmosespeciales de programación lineal, ya que el algoritmo realizado de cualquierproblema se lleva a cabo en un programa, pero parar que el programa delsoftware pueda funcionar bien el algoritmo debe de estar bien hecho ya que sinolo esta el programa no podrá funcionar bien y no nos daría una respuesta correctao simplemente el programa dirá error.

Existen varios programas de software que se utilizan parar resolver problemasque se presentan en la vida diaria como lo es el matlab, el lingo, el Excel y entreotros. Estos programas nos ayudan a facilitar el trabajo ya que sise nos presentaun problema cualquiera seria mas fácil de resolverlo, solo al empezar se noscomplicaría un poco al resolver el algoritmo, ya después de resolverlo al pasarloen el programa se debe de tener mucho cuidado en el tecleo ya que la ortografíaes muy importante, si se pone un signo mal o una letra el resultado no seproporcionaría como lo desean, el programa tendría un error.

Un ejemplo de este softwareseria el MATLAB que esempleado principalmente por los

ingenieros civiles, para que seles facilite el trabajo ya queemplean muchos problemas dela construcción. Para poderutilizar el matlab se necesitasaber como elaborar unalgoritmo, ya que el algoritmo sepasa al programa de MATLAB,para que este de la solución al

problema.la ventaja de este programa no solo resuelve programas lineales sino

que de cualquier tipo siempre i cuando se emplee correctamente los comandos, yaque si no se elabora correctamente no dará el resultado o dará otro. Por eso esimportante tener mucho cuidado al resolver un problema utilizando este programa.



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La instalación de este

programa es fácil ya que los

datos que se piden son

fáciles de dar, el crack lo

trae en el archivo , ya que el

único requisito es que la

computadora tenga una

capacidad de 1G de

memoria RAM, y ya lo

demás es mas sencillo. Una

vez instalado ya se puede

utilizar, solo que utilizarlo no

es tan sencillo ya que se recomienda conseguir en manual en donde explique

detalladamente los pasos para poder utilizar el programa. Este programa tiene

muchas funciones por eso es en poco difícil de utilizar

otro ejemplo de software

de programación lineales el LINGO: (LINearGeneralize Optimizer) esuna herramienta simplepara formular problemasde algoritmos deprogramación lineal y nolineal, resolverlos yanalizar su solución. Elresultado que LINGOproporciona la

optimización que ayudaa encontrar el mejorresultado: la gananciamás alta, o el costo másbajo. A menudo estos

problemas involucran el uso más eficiente de los recursos. Los problemas deoptimización son clasificados a menudo como lineales o no lineales, dependiendosi las relaciones en el problema son lineales con respecto a las variables.



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Uno de los rasgos más poderosos de LINGO es su aplicación en el lenguaje demodelo matemático. El cual permite expresar un problema de una manera muysimilar a la anotación matemática normal pudiendo también, expresar una serieentera de restricciones en una declaración compacta. Esto lleva a modelos queson mucho más fáciles de mantener.

Otro aspecto es la sección de los datos, que le permite aislar los datos de laformulación del modelo. De hecho LINGO puede leer datos incluso de una hoja decálculo separada, base de datos, o archivo de texto. Con datos independientes delmodelo, es mucho más fácil de hacer cambios, y hay menos oportunidad de errorcuando se realiza el modelo. El LINGO es parecido al MATLAB no es tan fácil deutilizar.Con estos programas se pueden también resolver los problemas de transporte ylos problemas de asignación ya que primero se debe de analizar el problema.

los algoritmos especiales de programación lineal es empleado por muchas

personas, también el complemento del Excel es un software para la solucionar

problemas de algoritmos especiales de programación lineal y existen muchos que

el hombre ha ido inventando con el paso del tiempo, existen antiguos que casi ya

no se utilizan ya que se han ido actualizando y ´porque tienen muchas ventajas en

la solución del problema, son mas eficaces.



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INVESTIGACION DE LA UNIDAD 4

MODELO DE FLUJO EN REDES

Los modelos de redes son aplicables a una extensa variedad de problemas dedecisión, los cuales pueden ser modelados como problemas de optimización deredes que pueden ser eficiente y efectivamente resueltos. Algunos de estosproblemas de decisión son realmente problemas físicos, tales como el transporte oflujo de bienes materiales. Sin embargo, muchos problemas de redes son mas queuna representación abstracta de procesos o actividades, tales como el caminocrítico en las actividades entre las redes de un proyecto gerencial.

La familia de redes de los problemas de optimización incluye los siguientesprototipos de modelos: Problemas de asignación, camino crítico, flujo máximo,camino mas corto, transporte y costo mínimo de flujos. Los problemas son

establecidos fácilmente mediante el uso de arcos de redes y de los nodos.¿Que es un Nodo? Es usualmente llamado vértice, o punto. Es usualmenterepresentado por un circulo. En las redes de transporte, estos deberían ser laslocalidades o las ciudades en un mapa.

¿Que es un Arco? Es usualmente llamado borde o flecha. Este podría ser directoo indirecto. La cabeza es el destino, y la cola el origen. La cabeza y la cola sonnodos que pueden estar tanto al origen como al final. En las redes de transporte,los arcos podrían ser los caminos, los canales de navegación en un río, o lospatrones de vuelo de un avión. Los arcos proporcionan la conectividad entre los

nodos. Una calle de una sola dirección podría ser representada por un arco,mientras que una calle de dos direcciones podría representada por un arco sindirección o por dos arcos que apuntan a direcciones opuestas.

Una red con n nodos podría tener tantos arcos como n! /[(n-2)! 2!] = n(n-1)/2. Siestán dirigidos, este número pudiese ser doble. Este enorme número de arcosposibles es una de las razones del porque existen soluciones de algoritmosespeciales para problemas de redes particulares.


Las técnicas de flujo de redes están orientadas a optimizar situaciones vinculadasa las redes de transporte, redes de comunicación, sistema de vuelos de losaeropuertos, rutas de navegación de los cruceros, estaciones de bombeo que

http://www.monografias.com/trabajos6/juti/juti.shtml



http://www.monografias.com/Computacion/Redes/



http://www.monografias.com/trabajos/transporte/transporte.shtml



http://www.monografias.com/trabajos12/fundteo/fundteo.shtml



http://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtml










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transportan fluidos a través de tuberías, rutas entre ciudades, redes de conductosy todas aquellas situaciones que puedan representarse mediante una red dondelos nodos representan las estaciones o las ciudades, los arcos los caminos, laslíneas aéreas, los cables, las tuberías y el flujo lo representan los camiones,mensajes y fluidos que pasan por la red. Con el objetivo de encontrar la ruta mas

corta si es una red de caminos o enviar el máximo fluido si es una red de tuberías.Cuando se trata de encontrar el camino más corto entre un origen y un destino, latécnica, algoritmo o el modelo adecuado es el de la ruta más corta; aunque existenotros modelos de redes como el árbol de expansión mínima, flujo máximo y flujode costo mínimo cada uno abarca un problema en particular. En este trabajo semencionan los modelos de redes existentes y los problemas que abarca cada unode ellos, además se describen los algoritmos que aplican estos modelos paraencontrar la solución optima al problema. Utilizando la terminología utilizada pararepresentarlos como una red.

MODELOS DE REDES Los problemas de optimización de redes se pueden representar en términosgenerales a través de uno de estos cuatro modelos:

Modelo de minimización de redes (Problema del árbol de mínimaexpansión).

Modelo de la ruta más corta. Modelo del flujo máximo. Modelo del flujo del costo mínimo.

http://www.monografias.com/trabajos16/flujo-redes/flujo-redes.shtml

MODELO DEL CAMINO MAS CORTO

Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origeny destino. A cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa.El objetivo es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la mínima distanciatotal) del origen al destino.

Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia delprocedimiento es que analiza toda la red a partir del origen; identifica de manerasucesiva la ruta más corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de susdistancias (más cortas), desde el origen; el problema queda resuelto en elmomento de llegar al nodo destino.

Algoritmo de la ruta más corta:







http://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtml



http://www.monografias.com/trabajos15/algoritmos/algoritmos.shtml



http://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtml






http://www.monografias.com/trabajos7/coad/coad.shtml#costo



http://www.monografias.com/trabajos34/el-trabajo/el-trabajo.shtml



http://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANT








http://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtml
















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1. Objetivo de la n-ésima iteración: encontrar el n-ésimo nodo más cercano alorigen. (Este paso se repetirá para n=1,2,… hasta que el n -ésimo nodo máscercano sea el nodo destino.)

2. Datos para la n-ésima iteración: n-1 nodos más cercanos al origen(encontrados en las iteraciones previas), incluida su ruta más corta y la

distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodosresueltos, el resto son nodos no resueltos.)3. Candidatos para el n-ésimo nodo más cercano: Cada nodo resuelto que

tiene conexión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltosproporciona un candidato, y éste es el nodo no resuelto que tiene laligadura más corta. (Los empates proporcionan candidatos adicionales.)

4. Cálculo del n-ésimo nodo más cercano: para cada nodo resuelto y suscandidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta máscorta desde el origen a este nodo resuelto. El candidato con la distanciatotal más pequeña es el n-ésimo nodo más cercano (los empatesproporcionan nodos resueltos adicionales), y su ruta más corta es la que

genera esta distancia.Formulación como un PL del problema de flujo de costo mínimo

Considere una red conexa dirigida en la que los n nodos incluyen al menos unnodo origen y al menos un nodo destino. Las variables de decisión son:

=flujo a través del arco , y la información dad incluye:

= costo por unidad de flujo a través del arco ,

=capacidad del arco ,

= flujo neto generado en el nodo i.

El valor de depende de la naturaleza del nodo i, en donde

, si i es un nodo fuente,

, si i es un nodo demanda,

, si i es un nodo de trasbordo.

El objetivo es minimizar el costo total de mandar los recursos disponibles a travésde la red para satisfacer la demanda dada.

http://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTES



http://www.monografias.com/trabajos7/sisinf/sisinf.shtml



http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml



http://www.monografias.com/trabajos36/naturaleza/naturaleza.shtml









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Usando la convención de que las sumas se toman sólo sobre arcos existentes, laformulación de programación lineal de este problema es

Minimizar

Sujeta a,

para cada nodo i,

y

para cada arco .

La primera suma en las restricciones de los nodos representa el flujo total que saledel nodo i mientras que la segunda representa el flujo total que entra al nodo i, así,la diferencia es el flujo neto generado en este nodo.

En lagunas aplicaciones, es necesario tener una cota inferior para el flujo

que pasa para cada arco . Cuando esto ocurre se hace una conversión de

variables, , donde se sustituye por en todo el modelo, a finde ajustar el modelo al formato anterior con restricciones de no negatividad.

No se garantiza que el problema tenga soluciones factibles, esto depende en partede qué arcos están presentes en la red y de sus capacidades. De cualquiermanera, para una red diseñada razonablemente, la condición necesaria másimportante es la siguiente.

Propiedad de soluciones factibles: una condición necesaria para que un problemade flujo de costo mínimo tenga soluciones factibles es que

.

Es decir, el flujo total generado en los nodos origen es igual al flujo total absorbidopor lo nodos destinos

. http://www.monografias.com/trabajos16/flujo-redes/flujo-redes.shtml







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Formulación como un PL de problema de la ruta más corta

El modelo de PL de la ruta más corta se construye de la siguiente manera:

1. Cada variable corresponde a un arco.

2. Cada restricción corresponde a un nodo.

Por lo tanto, si representa la cantidad de flujo en el arco (i,j), el modelo de laruta más corta con n nodos está dado como:

Minimizar

Sujeto a:

(fuente)

para toda k 1 o n

(destino)

para toda i y j.

La primera y última restricción señala que el flujo total (suma de variables) quesale del nodo 1 es igual a 1 y que flujo total que se recibe en el nodo n también esigual a 1. En cualquier nodo intermedio, el flujo total que entra al nodo es igual alflujo total que sale del mismo nodo. La función objetivo requiere que se minimice ladistancia total que recorre la unidad del flujo.

El Problema del Camino mas Corto

El problema es determinar la mejor manera de cruzar una red para encontrar laforma más económica posible desde un origen a un destino dado. Suponga queen una red dada existen m nodos y n arcos (bordes) y un costo C ij asociado concada arco (i a j) en la red. Formalmente, el problema del camino mas corto (CC) esencontrar el camino mas corto (menor costo) desde el nodo de comienzo 1 hastael nodo final m. El costo del camino es la suma del costo de cada arco recorrido.Defina las variables binarias Xij, donde Xij =1 si el arco (i a j) es sobre el CC y Xij =0 de lo contrario. Existen dos nodos especiales llamados origen y destino. Elobjetivo es encontrar el camino mas corto entre el origen y el destino.

http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml






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El la red siguiente, varios costos son asignados para el camino que va de un nodoa otro. Por ejemplo, el costo de ir desde el nodo 2 al 4 es 6. La función objetivoconsidera los costos de moverse de un nodo a otro, o de un origen a un destino.Las restricciones están divididas en tres grupos. La restricción del nodo de origendice que debe dejar el nodo 1 para ir al 2 o 3. La restricción del nodo intermedio

dice que si siempre que se dirija a un nodo usted deberá dejar ese nodo. El nodode destino es similar al nodo de origen dado que se puede alcanzar este nodo solodesde los nodos vecinos.

Considere la siguiente red dirigida (para una red indirecta, haga que los arcosestén dirigidos en ambas direcciones, luego aplique la misma formulación. Noteque en este caso usted tiene X ij y X ji variables). El objetivo es encontrar el caminomas corto desde el nodo 1al nodo 7.

Luego de correr el problema en cualquier paquete que solucione programaciónlineal, los resultados son:



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Ir desde 1 hasta el 3Ir desde 3 hasta el 5Ir desde 5 hasta el 6Ir desde 6 hasta el 7

Este es el camino mas corto con un total de 22 unidades de longitud.Construya el problema dual para el ejemplo numérico anterior y proporcione unainterpretación. Resuelva el problema dual mediante el Método Algebraico.

Note que, los resultados de los paquetes de programación lineal con respecto alanálisis de sensibilidad para los problemas de redes podrían ser engañosos. Porlo tanto, para el análisis de sensibilidad del camino más corto, lea el artículosiguiente:Arsham H., Análisis de Sensibilidad para el Problema del Camino más corto,Journal of Congresos Numerantium , Vol. 133, No. 1, 171-210, 1998.


EL MODELO DE FLUJO MAXIMOCaracterísticas:

1. Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina en un nodo,llamado fuente, y termina en otro nodo llamado destino.

2. Los nodos restantes son nodos de trasbordo.3. Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la

flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dad por la capacidad delarco. En la fuente, todos los arcos señalan hacia fuera. En el destino, todosseñalan hacia el nodo.

4. El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino.Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, estoes, la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra al destino.

El problema de flujo máximo se puede formular como un problema deprogramación lineal, se puede resolver con el método simplex y usar cualquiersoftware. Sin embargo, se dispone de un algoritmo de trayectorias aumentadas

http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-stat/opre/partIV.htm



http://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtml



http://www.monografias.com/Computacion/Programacion/


http://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtml



http://www.monografias.com/Computacion/Software/









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mucho más eficientes. El algoritmo se basa en dos conceptos intuitivos, el de redresidual y el de trayectoria aumentada.

Algoritmo de la trayectoria de aumento para el problema de flujo máximo:

1. Se identifica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoriadirigida del origen al destino en la red residual, tal que cada arco sobre estatrayectoria tiene capacidad residual estrictamente positiva. (Si no existeuna, los flujos netos asignados constituyen un patrón del flujo óptimo).

2. Se identifica la capacidad residual c* de esta trayectoria de aumentoencontrando el mínimo de las capacidades residuales de los arcos sobreesta trayectoria. Se aumenta en c* el flujo de esta trayectoria.

3. Se disminuye en c* la capacidad residual de cada arco en esta trayectoriade aumento. Se aumenta en c* la capacidad residual de cada arco en ladirección opuesta en esta trayectoria. Se regresa la paso 1.

Problema del Flujo Máximo

En una red con flujo de capacidades en los arcos, el problema es determinar elflujo máximo posible proveniente de los orígenes de forma tal de ahogar lascapacidades de flujos de los arcos. Considere una red con m nodos y n arcos conun flujo simple de bienes. Denote el arco de flujo (i a j) como X ij. Asociamos cadaarco a una capacidad de flujo, k ij. En esta red, deseamos encontrar el flujo total

máximo en la red, F, del nodo 1 al nodo m.En la formulación de la programación lineal, el objetivo es maximizar F. El montoque parte del origen por varias rutas. Para cada nodo intermedio, lo que entradebe ser igual a lo sale. En algunas rutas los flujos pueden tomar ambasdirecciones. La capacidad que puede ser enviada a una dirección en particulartambién es mostrada en cada ruta.



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Luego de resolver este problema de PL mediante el uso de LINDO (entre otrosoftware), obtenemos los siguientes resultados:

Enviar 10 unidades de 1 a 2Enviar 7 unidades de 1 a 3Enviar 3 unidades de 2 a 6Enviar 7 unidades de 2 a 4

Enviar 4 unidades de 3 a 6Enviar 6 unidades de 3 a 5Enviar 7 unidades de 4 a 7Enviar 8 unidades de 5 a 7Enviar 3 unidades de 6 a 3Enviar 2 unidades de 6 a 5Enviar 2 unidades de 6 a 7



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El flujo máximo es F= 17 unidades.


MODELO DEL ARBOL DE EXPAXION MINIMA

El modelo de minimización de redes o problema del árbol de mínima expansióntiene que ver con la determinación de los ramales que pueden unir todos losnodos de una red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramalesescogidos. No se deben incluir ciclos en al solución del problema.

Para crear el árbol de expansión mínima tiene las siguientes características:

1. Se tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. En su lugar seproporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada unasi se inserta en la red. (Las medidas alternativas para la longitud de unaligadura incluyen distancia, costo y tiempo.)

2. Se desea diseñar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisitode que haya un camino entre cada par de nodos.

3. El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice lalongitud total de las ligaduras insertadas en la red.

Una red con n nodos requiere sólo (n-1) ligaduras para proporcionar unatrayectoria entre cada par de nodos. Las (n-1) ligaduras deben elegirse de talmanera que la red resultante formen un árbol de expansión. Por tanto el problema

es hallar el árbol de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras.

Algoritmo para construir el árbol de expansión mínima:

1. Se selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir,se agrega una ligadura) al nodo distinto más cercano.

2. Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y seconectan estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos).Este paso se repite hasta que todos los nodos están conectados.

3. Empates: los empates para el nodo más cercano distinto (paso 1) o para elnodo no conectado más cercano (paso 2), se pueden romper en forma

arbitraria y el algoritmo debe llegar a una solución optima. No obstante,estos empates son señal de que pueden existir (pero no necesariamente)soluciones optimas múltiples. Todas esas soluciones se pueden identificarsi se trabaja con las demás formas de romper los empates hasta el final.

http://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtml



http://www.monografias.com/trabajos14/soluciones/soluciones.shtml






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Es un problema clásico de optimización combinatoria, formulado en 1926 porBoruvka quien lo planteó para resolver el problema de hallar la forma máseconómica de distribuir energía eléctrica en el sur de Moravia. La formulación deeste problema ha sido útil para la realización de muchas investigaciones en varioscampos como el transporte, electrónica, telecomunicaciones e investigación de

operaciones.

El modelo contempla un conjunto de arcos que conectan todos los nodos de la redsin crear un solo ciclo o vuelta. El problema consiste en determinar el árbol queminimiza la distancia de conexión total; se resuelve por el Algoritmo de Etiquetado.En cuanto a la introducción de datos y el proceso de solución es similar a losmodelos anteriores de este módulo.

http://www.eumed.net/libros/2006c/216/1k.htm

NOTACIÓN Y TERMINOLOGÍA

Red: Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de líneas que unenciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos (o vértices). Las líneas sellaman arcos (o ligaduras, aristas o ramas).

Los arcos se etiquetan para dar nombres a los nodos en sus puntos terminales,por ejemplo, AB es el arco entre lo nodos A Y B.

En un problema de programación lineal, las redes pueden representar un conjuntode estaciones, campos petrolíferos, almacenes, fabricas, sucursales, ciudades,interconectadas entre si a través de caminos, conductos, tuberías que permitenfluir productos para la comercialización o la distribución.

Arcos Dirigidos: Se dice que un arco es dirigido cuando el arco tiene flujo en unadirección (como en una calle de un sentido). La dirección se indica agregando unacabeza de flecha al final de la línea que representa el arco.

Al etiquetar un arco dirigido con el nombre de los nodos que une, siempre se

coloca primero al nodo de donde viene y después el nodo a donde va, esto es, unarco dirigido del nodo A al nodo B debe etiquetarse como AB y no como BA. OtraManera es A B.

Arcos No Dirigidos: Si el flujo a través de un arco se permite en ambasdirecciones (como una tubería que se puede usar para bombear fluido en ambasdirecciones), se dice que es un arco no dirigido.

http://www.monografias.com/trabajos6/proli/proli.shtml



http://www.monografias.com/trabajos12/alma/alma.shtml



http://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtml



http://www.monografias.com/trabajos/comercializa/comercializa.shtml



http://www.monografias.com/trabajos11/travent/travent.shtml










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También se les llama ligadura. Aunque se permita que el flujo a través de un arcono dirigido ocurra en cualquier dirección, se supone que ese flujo será en unadirección, en la seleccionada, y no se tendrá flujos simultáneos en direccionesopuestas.

Trayectoria: Una trayectoria entre dos nodos es una sucesión de arcos distintosque conectan estos nodos. Por ejemplo, una de las trayectorias que conectan losnodos O y T en la figura 1 es la sucesión de arcos OB-BD-DT (O B D T), yviceversa.

Cuando algunos o todos los arcos de una red son arcos dirigidos, se hace ladistinción entre trayectorias dirigidas y trayectorias no dirigidas.

Trayectoria Dirigida: Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j, es una sucesiónde arcos cuya dirección (si la tienen) es hacia el nodo j, de manera que el flujo delnodo i al nodo j, a través de esta trayectoria es factible.

Trayectoria No Dirigida: Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es unasucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) pueden ser hacia o desde el nodo j.Con frecuencia alguna trayectoria no dirigida tendrá algunos arcos dirigidos haciael nodo j y otros desde él (es decir, hacia el nodo i).

Ciclo: Un ciclo es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo. En lared no dirigida que se muestra en la figura 5 existen muchos ciclos, OA-AB-BC-CO.

Red Conexa: Una red conexa es una red en la que cada par de nodos está

conectado. Se dice que dos nodos están conectados si la red contiene al menosuna trayectoria no dirigida entre ellos. Se debe resaltar que no es necesaria que latrayectoria sea dirigida aun cuando la red sea dirigida. La figura 1 representa unared conexa.

Árbol de Expansión: es una red conexa para la n nodos, que contiene ciclos nodirigidos. Todo árbol de expansión tiene justo n-1 arcos, ya que este es el númeromínimo de arcos necesarios para tener una red conexa y el máximo numeroposible para que no haya ciclos no dirigidos.

La figura 6 representa una red conexa, la figura 7 muestra los cinco nodos de la

red conexa de la figura 6, ahora la figura 8 muestra el proceso para hacer crecerun árbol colocando una rama a la vez, hasta obtener un árbol de expansión. Encada etapa del proceso se tienen varias alternativas para el nuevo arco, por lo quela figura 8 muestra solo una de las muchas formas de construir un árbol deexpansión.

Capacidad de Arco: Es la cantidad máxima de flujo (quizás infinito) que puedecircular en un arco dirigido.

http://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtml



http://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCE







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Nodo Fuente: (o nodo de origen) tiene la propiedad de que el flujo que sale delnodo excede al flujo que entra a él.

Nodo Demanda: (o nodo destino) es el caso contrario al nodo fuente, donde elflujo que llega excede al que sale de él.

Nodo de Trasbordo: (o nodo intermedio) satisface la conservación del flujo, esdecir, el flujo que entra es igual al que sale.


http://www.monografias.com/trabajos16/romano-limitaciones/romano-limitaciones.shtml



http://www.monografias.com/trabajos/ofertaydemanda/ofertaydemanda.shtml










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INTERPRETACION DE LOS TEMAS

MODELOS DE FLUJO DE REDES

Los modelos de flujo de rede son muy utilizados para tomar decisiones decualquier problema que se presente, se utiliza para el problema de transporte yaque este modelo flujo de redes busca como minimizar las rutas para el transporte,como cuando un transportista de material tiene que distribuir material en varioslugares necesita conocer las rutas y como se conectan las rutas para buscar uncamino mas que se le facilite repartir el material así el transportista hará masrápido su material ahorrando tiempo y combustible.

Estos modelos de flujo de redes son muy importantes para el ingeniero civil ya queen varias ocasiones se le presenta hacer conexiones de cables, tuberías entre

otros, aquí es don de el ingeniero debe de buscar la manera de ahorrar masmaterial para que la construcción que este realizando no sea muy costosa. Poreso es que se utiliza este modelo para buscar rutas mas cortas.

En estos modelos se utilizan los nodos y los arcos, el nodos es llamado vértice, opunto es se representado por un circulo, es mejor conocido como un punto dondese debe de conectar algo o llevar algo. El arco llamado borde o flecha. Este podríaser directo o indirecto. La cabeza es el destino, y la cola el origen. La cabeza y lacola son nodos que pueden estar tanto al origen como al final. Los arcosproporcionan la conectividad entre los nodos.

Arco nodo

EL MODELO DEL CAMINO MÁS CORTO

El modelo del camino mas corto se encarga de encontrar la ruta mas corta pararllegar a los nodos que se desea llegar, esto lo usan los ingenieros civiles como porejemplo conectarlos poliductos en los registros para que después puedan pasarlos cable cuando se va a colar un techo el ingeniero debe de buscar la ruta mascorta para ahorrar poliducto y cable.



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Aaaa aaaaaa

Se necesita distribuir en todos los registros (A,B,C,D,E,F, y G ), si sale del registroA, debe de ir por el B del B se va en el C y D, después del D se va en el E y del Eva hacia el F y G. Por eso es importante usar el modelo de camino mas cortopara que se nos facilite y ahorremos material. También se usa para la resoluciónde problemas de transporte para que el conductor busque el camino mas cortopara realizar sus entregas.

El problema de la ruta más corta incluye un juego de nodos conectados dondesólo un nodo es considerado como el origen y sólo un nodo es considerado comoel nodo destino. El objetivo es determinar un camino de conexiones que minimizanla distancia total del origen al destino.

EL MODELO DE FLUJO MAXIMO

El modelo de flujo máximo trata de enlazar un nodo fuente y un nodo destino através de una red de arcos dirigidos. Cada arco tiene una capacidad máxima de

flujo admisible. El objetivo es el de obtener la máxima capacidad de flujo entre lafuente y el destino. Este modelo de de flujo máximo empieza por un nodo al quese le llama fuente y termina en nodo que se le llama destino y los nodos por dondeva pasando se les conoce como trasbordos

Muchos problemas pueden ser modelados mediante una red en la cual seconsidera que los arcos tienen la capacidad de limitar la cantidad de un productoque se puede enviar a través del arco.

A B C

FE

G

D



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Por ejemplo se necesita hacer un modelo de flujo máximo para la transportaciónde materiales de una constructora para pode realizar sus construcciones en dichoslugares con distancias diferentes.

7 9

f=0 f=0

3

9 8

Primero eliminamos el arco que tiene el valor de 8 que va del nodo 2 al N, paraeliminarlo se resta 8 y se pone un arco que vaya de n a 2 con el valor de 8 y f

tendría un valor de 8.pero también se le hace lo mismo del nodo 2 a s y se leresta 8 al arco que tiene el valor de 9 . Y a f se le suma el valor de 8

7 9

f=8 f=8

3

1 0

8 8

Ahora eliminamos el arco que tiene el valor de 7 que va del nodo S a 1, paraeliminarlo se le resta 7 y se pone un arco con el valor de 7 que vaya del nodo 1 a

S

1

2

N

S

2

N

1



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S y se le hace lo mismo al nodo 1 N, y se le resta 7 al valor del arco 9. Y a f se lesuma el valor de 7

7 2

f=15 0 7 f=15

3

9 8

8 8

Así es como se resuelve un ejemplo de modelo de flujo máximo. Y esto es muyimportante para los ingenieros ya que se utiliza mucho para resolver problemasque se le presente al ingeniero.

EL MODELO DEL ARBOL DE EXPANSION MINIMA

Este tipo de modelo del árbol de expansión mínima busca minimizar la suma delas longitudes que conectan a los nodos, para poder resolver un problema de estetipo primero se agarra un nodo cualquiera pero primero se debe de analizar cualse desea agarra para ver si se nos facilita el trabajo, mayormente se agarra de losextremos ya que esto nos facilita conectar todos los nodos. Y luego se vanconectando los nodos pero viendo cual es la ruta más cercana para conectarse.

Es un problema clásico de optimización combinatoria, formulado en 1926 porBoruvka quien lo planteó para resolver el problema de hallar la forma máseconómica de distribuir energía eléctrica en el sur de Moravia. La formulación deeste problema ha sido útil para la realización de muchas investigaciones en varioscampos como el transporte, electrónica, telecomunicaciones e investigación deoperaciones y también en la ingeniería civil ha sido de gran ayuda.

El modelo contempla un conjunto de arcos que conectan todos los nodos de la redsin crear un solo ciclo o vuelta. El problema consiste en determinar el árbol queminimiza la distancia de conexión total. En cuanto a la introducción de datos y elproceso de solución es similar a los modelos anteriores de este módulo.

S

2

N

1



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Por ejemplo el ingeniero necesita pasar varios cables en todos los registros paradespués poder techar un edificio, el ingeniero debe de ver como pasarlo pero alsumar la longitud en donde van a pasar los cables debe de ser la mínima.

7

2 5

5 2 4

1

4 3 7

1

4

Primero empezamos por el nodo G de ahí buscamos la ruta mas corta que seriahacia el nodo A de ahí se busca otra ruta la mas corta que seria hacia el nodo B,

de ahí se busca otra ruta mas cerca que seria el nodo C, de ahí se regresa al nodoB, de ahí se busca otra ruta mas cerca que seria el nodo E, de ahí se busca otraruta mas cerca que seria hacia el nodo D, de ahí se busca otra ruta mas cerca queseria el ultimo nodo el F.

7

2 5

5 41

4 3 7

1

4

G

C

E

D

A

F

B

G

C

E

D

A

F

B



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Después se hace la suma de todas las rutas que se tomaron para poder pasar portodos los cables.

AEM=∑Distancia de las aristas marcadas

AEM=2+2+1+3+1+5=14

Así es como se utiliza el modelo del árbol de la expansión mínima, por eso esmuy importante para los ingenieros civiles, y no solo para ellos si no que tambiénpara las demás personas, para resolver problemas de transporte entre otros.

USO DE SOFTWARE

El uso de los programas de software es muy importante en los modelos de flujo de

redes para resolver problemas ya que hay veces se nos complica un poco, encambio hacerlo en un programa seria mas fácil ya que esta diseñado para resolverestos problemas. En la actualidad se siguen inventando programas para resolverestos tipos de problemas, anteriormente existen programas que no son capacesde resolver problemas complicados pero hoy en día sean ido actualizando einventado nuevos programas capaces de resolver los problemas de modelos deflujo de redes complicados.



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Teoría de grafos

Diagrama de un grafo con 6 vértices y 7 aristas.

En matemáticas y en ciencias de la computación, la teoría de grafos (tambiénllamada teoría de las gráficas) estudia las propiedades de los grafos (tambiénllamadas gráficas). Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamadosvértices (o nodos) y una selección de pares de vértices, llamados aristas (edges en inglés) que pueden ser orientados o no. Típicamente, un grafo se representamediante una serie de puntos (los vértices) conectados por líneas (las aristas).

Historia

Puentes de Königsberg.

El trabajo de Leonhard Euler, en 1736, sobre el problema de los puentes deKönigsberg es considerado el primer resultado de la teoría de grafos. También seconsidera uno de los primeros resultados topológicos en geometría (que nodepende de ninguna medida). Este ejemplo ilustra la profunda relación entre lateoría de grafos y la topología.

En 1845 Gustav Kirchhoff publicó sus leyes de los circuitos para calcular el voltajey la corriente en los circuitos eléctricos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas



http://es.wikipedia.org/wiki/Ciencias_de_la_computaci%C3%B3n






http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_%28Teor%C3%ADa_de_grafos%29


http://es.wikipedia.org/wiki/Arista_%28Teor%C3%ADa_de_grafos%29



http://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler






http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_los_puentes_de_K%C3%B6nigsberg




http://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa





http://es.wikipedia.org/wiki/Gustav_Kirchhoff



http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:7_bridges.svg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:6n-graf.svg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:7_bridges.svg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:6n-graf.svg















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En 1852 Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores que plantea sies posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear cualquier mapa de paísesde tal forma que dos países vecinos nunca tengan el mismo color. Este problema,que no fue resuelto hasta un siglo después por Kenneth Appel y Wolfgang Haken, puede ser considerado como el nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de

resolverlo, los matemáticos definieron términos y conceptos teóricosfundamentales de los grafos.

GrafoArtículo principal: Grafo

En la figura, V = { a, b, c, d, e, f }, y A = { ab, ac, ae, bc, bd, df, ef }.

Un grafo es una pareja de conjuntos G = (V ,A), donde V es el conjunto de vértices,y A es el conjunto de aristas, este último es un conjunto de pares de la forma (u ,v )tal que . Para simplificar, notaremos la arista (a ,b ) como ab .

En teoría de grafos, sólo queda lo esencial del dibujo: la forma de las aristas noson relevantes, sólo importa a qué vértices están unidas. La posición de losvértices tampoco importa, y se puede variar para obtener un dibujo más claro.

Muchas redes de uso cotidiano pueden ser modeladas con un grafo: una red decarreteras que conecta ciudades, una red eléctrica o la red de drenaje de unaciudad.

Subgrafo

Un subgrafo de un grafo G es un grafo cuyos conjuntos de vértices y aristas sonsubconjuntos de los de G . Se dice que un grafo G contiene a otro grafo H si algúnsubgrafo de G es H o es isomorfo a H (dependiendo de las necesidades de la

situación).El subgrafo inducido de G es un subgrafo G' de G tal que contiene todas lasaristas adyacentes al subconjunto de vértices de G .

Definición:

Sea G=(V, A). G’=(V’,A’) se dice subgrafo de G si:



http://es.wikipedia.org/wiki/Francis_Guthrie



http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_cuatro_colores



http://es.wikipedia.org/wiki/Kenneth_Appel



http://es.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Haken






http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Grafo_ejemplo_1isom.png














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1- V’ V

2- A' A

3- (V’,A’) es un grafo

Si G’=(V’,A’) es subgrafo de G, para todo v G se cumple gr (G’,v)≤ gr (G,v)

G2 es un subgrafo de G.

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafos

Álex Sánchez aka 'electro'

Los grafos y su relación con las redes sociales

Escrito por Alex Sánchez el Aug 17, 2006 • (6)

Cada vez que he buscado información sobre redes sociales, me he encontradocon el concepto de grafo, e incluso en su propia definición, tal y como aparece enla versión española de la definición de “red social” de la Wiki pedía.

Grafos e Internet, el primero es conocido, pero los grafos no tanto. ¿Quédemonios es un grafo?

Los grafos como conceptos matemáticos formales, nos brindan la posibilidad detratar toda la maraña de información que nos ofrecen las redes sociales. Y porello, y porque es la manera mas clara de ver y dibujar una red social, vamos a verpor encima qué es un grafo y sus conceptos básicos.

Un grafo es un conjunto de vértices y aristas o arcos. Cada arista es una línea oarco que unen dos vértices del grafo o un vértice a si mismo.



http://www.alexsanchez.info/redes-sociales-teoria-de-grafos/#commentarea



http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Grafos1.jpg








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http://www.alexsanchez.info/redes-sociales-teoria-de-grafos/

Conceptos básicos de la teoría de grafos

Esta aproximación ya niega de por si la idea de la "neutralidad" de las redes.

Analizar redes sociales es ante todo determinar su estructura y por consiguienteestablecer los límites de posibilidad en la actuación tanto de los individuos queforman parte de ellas como de la red en su conjunto. El análisis de redes socialesnos dice sobre todo lo que puede y no puede pasar, no lo que pasará... a menosque no pueda pasar otra cosa.

Euler, con su forma de representar el problema de los siete puentes, nos dejó unaforma de describir redes. Nacía la teoría de grafos. Grafos como el que usó nosirven para representar redes sociales convencionales. ¿Qué podrían significardos enlaces entre dos nodos cuando además no son direccionales?. En realidad,los grafos están asociados con una forma particular de redes en las que las

relaciones entre los nodos siempre son simétricas. Sirven para representarrelaciones del tipo "se puede ir de A a B" o "X es familia de Y", en los que lamisma relación implica que "se puede ir de B a A" y "Y es familia de a X", pero nopara relaciones asimétricas, como "M presta dinero a N". Por eso los nodos estánunidos por líneas (también "aristas", "lazos" o "edges" en la notación inglesa) y nopor vectores con sentido (arcos o en inglés "archs").

Con todo, el lenguaje descriptivo de la teoría de grafos es la base de la notaciónen cualquier identificación topológica de una red. La red se define como unconjunto de nodos (también llamados puntos o vértices) que en análisis socialrepresentan a los actores de la red, unidos por líneas que representan la relación

o relaciones que les unen.

http://lasindias.net/indianopedia/Teor%C3%ADa_de_redes_sociales

Teoría de grafos

La teoría de grafos tiene su origen en el problema de los siete puentes deKönigsberg resuelto por Leonhard Euler.

Más tarde, otros problemas influyeron en el desarrollo de la teoría de grafos comoel estudio de las redes eléctricas, la enumeración de isómeros de hidrocarburos,...

Hoy en día es rara la disciplina científica o humanística que no utiliza la teoría degrafos. Como ejemplos podemos citar la psicología en dinámica de grupos, lasociología en los socio gramas, la física teórica, que usa los diagramas deFeynmann, donde se representan mediante líneas las partículas elementales, el



http://enciclopedia.us.es/index.php/Problema_de_los_puentes_de_K%C3%B6nigsberg




http://enciclopedia.us.es/index.php/Leonhard_Euler



http://enciclopedia.us.es/index.php/Hidrocarburo



http://enciclopedia.us.es/index.php/Psicolog%C3%ADa



http://enciclopedia.us.es/index.php/Sociolog%C3%ADa


http://enciclopedia.us.es/index.php/F%C3%ADsica



http://enciclopedia.us.es/index.php?title=Diagrama_de_Feynmann&action=edit&redlink=1




http://enciclopedia.us.es/index.php/Part%C3%ADcula_elemental
















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estudio de flujos en redes en programación lineal e investigación operativa, loscambios de variable en el cálculo diferencial...

Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy común, que noprecisa conocimientos matemáticos. Un grafo se parece a la figura siguiente, y

consta de vértices y de aristas que reúnen algunos de ellos.En la teoría de los grafos, sólo se queda lo esencial del dibujo: la forma de lasaristas no son relevantes, sólo importan sus extremidades (o cabos); la posiciónde los vértices tampoco, y se puede variar para obtener un grafo más claro, yhasta sus nombres se pueden cambiar. Estos cambios se llaman isomorfismos de grafos. Generalmente, se considera que colocar los vértices en forma depolígono regular da grafos muy líbeles.

Formalmente: Un grafo es una pareja G = (V, A), donde V es un conjunto depuntos, llamados vértices, y A es un conjunto de pares de vértices, llamadasaristas. Para simplificar, la arista {a,b} se denota ab.

En la figura, V = { a, b, c, d, e, f }, y A = { ab, ac, ae, bc, bd, df, ef }.

Una red de autovías que conectan ciudades, una red eléctrica, un alcantarillado sepueden modelizar con grafos.

En algunos casos es necesario imponer un sentido a las aristas, por ejemplo si sequiere representar la red de las calles de una ciudad con sus inevitablesdirecciones únicas. Las aristas son entonces pares ordenados de vértices, con(a,b) ≠ (b,a), y se define así grafos orientados (figura a la izquierda).En este grafo se ha autorizado una arista que tiene sus dos cabos idénticos: es un

http://enciclopedia.us.es/index.php/Investigaci%C3%B3n_operativa



http://enciclopedia.us.es/index.php/Ecuaci%C3%B3n_diferencial



http://enciclopedia.us.es/index.php/Archivo:Grafo_ejemplo_2.png








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rizo (o bucle), y aparece también una arista sin flecha: significa que la arista sepuede recorrer en cualquier sentido: es bidireccional, y corresponde o dos aristasorientadas.

En el ejemplo, V = { a, b, c, d, e }, y A = { (a,c), (a,d), (a,e), (b,e), (c,a),(c,c), (d,b) }.

Del vértice d sólo salen aristas: es una fuente. Del vértice e sólo entran aristas: esun agujero, o pozo.

Un ciclo es un camino, es decir una sucesión de aristas adyacentes, donde no serecorre dos veces la misma arista, y donde se regresa al punto inicial. Un ciclo hamiltoniano tiene además que recorrer todas los vértices.

http://enciclopedia.us.es/index.php/Teor%C3%ADa_de_grafos

http://enciclopedia.us.es/index.php/Archivo:Grafo_ejemplo_4_ciclo_hamiltoniano.png

evidencia de la unidad 3 y 4

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