Estadística: Unidad II

Ing. Luis Fernando Aguas, Mtr.

Son los datos recolectados que aún no se han organizado. Por ejemplo, las estaturas de 100 estudiantes tomados de la lista alfabética de la universidad.

Datos en bruto

Se llama a lo datos numéricos en bruto dispuestos en orden creciente o decreciente de magnitud.

A la diferencia del número mayor y el número menor se le conoce como el RANGO DE DATOS. Por ejemplo, si la estatura mayor de los estudiantes es de 74(pulgadas - in) y la menor es de 60 in, el rango es 74-60 = 14 in

Ordenaciones

Al organizar una gran cantidad de datos en bruto, suele resultar útil distribuirlos en CLASES o CATEGORÍAS y determinar la cantidad de datos que pertenece a cada clase, esta cantidad se le conoce como la FRECUENCIA DE LA CLASE.

A la disposición tabular de los datos en clases con sus respectivas frecuencias se le conoce como DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS o TABLA DE FRECUENCIAS

Distribuciones de frecuencia

La siguiente tabla es una distribución de frecuencias de las estaturas de 100 estudiantes de la Universidad.

Distribuciones de frecuencia

Estatura (in)

Cantidades de estudianres

60-6263-6566-6869-7172-74

51842278Total 100

A los datos organizadosy resumidos en la distribución de frecuenciasde les llama datos agrupados

Al símbolo que representa la clase, como 60-62 se le conoce como intervalo de clase

A los números de los extremos, 60 y 62 se les conoce como límites de clase

El número menor (60) es el límite inferior de la clase

El número mayor (62) es el límite superior de la clase.

Un intervalo de clase que no indique el límite de clase superior o el límite de clase inferior se conoce como intervalo de clase abierto, por ejemplo: personas que sean de “65 años o mayores”

Intervalos de clase y límites de clase

Si las estaturas se registran a la pulgada más cercana, el intervalo de clase 60-62 comprende todas las mediciones desde 59.5 hasta 62.5 in. Estos números son las fronteras de clase o los límites de clase reales, el menor (59.5) el la frontera inferior de la clase y el número mayor (62.5) es la frontera superior de la clase.

Fronteras de clase

Las fronteras de clase se obtienen sumando el límite superior de un intervalo de clase al límite inferior del intervalo de clase inmediato superior y dividiendo entre 2.

Algunas veces, las fronteras de clase se usan para representar las clases. Por ejemplo, las clases de la tabla del ejemplo pueden indicarse como 59.5-62-5, 62.5-65.5

Fronteras de clase

Es la diferencia entre sus fronteras superior e inferior y se le conoce también como amplitud de clase, tamaño de clase o longitud de clase. Si en una distribución de frecuencias todos los intervalos de clase tienen la misma amplitud, esta clase común se denota c.

c es igual a la diferencia entre dos límites inferiores de clases sucesivas o entre dos límites superiores de clases sucesivas. Por ejemplo, en los datos de la tabla, el intervalo de clase es c = 62.5-59.5 = 65.5-62.5 = 3

Tamaño o amplitud de un intervalo de clase

Es el punto medio del intervalo de clase y se obtiene sumando los límites de clase inferior y superior y dividiendo entre 2. Así, la marca de clase del intervalo 60-62 es (60+62)/2 = 61, a la marca de clase se le conoce también como punto medio de clase.

La marca de clase

1. En el conjunto de los datos en bruto, se determina el número mayor y el número menor y se halla, así, el rango (la diferencia entre los números mayor y menor).2. Se divide el rango en una cantidad adecuado de intervalos de clase de una misma amplitud. Si esto no es posible, se usan intervalos de clase de diferentes amplitudes o intervalos de clase abiertos. La cantidad de intervalos suele ser de 5 a 20.3. Se de termina la cantidad de observaciones que caen dentro de cada intervalo de clase, es decir, se encuentran las frecuencias de clase.

Reglas generales para formar una distribución de frecuencias.

Los histogramas y los polígonos de frecuencia son dos representaciones gráficas de las distribuciones de frecuencias.

Histogramas y polígonos de frecuencias

Consiste en un conjunto de rectángulos que tienen: a) sus bases sobre un eje horizontal (el eje x), con sus centros coincidiendo con sus marcas de clase, y b) áreas proporcionales a las frecuencias de clase

Histogramas de frecuencias

Histogramas

Histograma que muestra los puntos medios y las frecuencias de clase

Es una gráfica de línea que presenta las frecuencias de la clase graficadas contra las marcas de clase

Polígonos de frecuencias

Polígono

El polígono de frecuencias se ancla con sus extremos, 58 y 76Polígono de frecuencias de las estaturas de los estudiantes.

Es la frecuencia de la clase dividida entre la suma de las frecuencias de todas las clases y generalmente se expresa como porcentaje. Por ejemplo la frecuencia relativa de la clase 66-68 es 42/100 = 42%, no olvidar que la suma de las frecuencias relativas de todas las clases es 1 o 100%.

Si a la tabla del ejemplo las frecuencias se sustituyen por frecuencias relativas, la tabla que se obtiene es una distribución de frecuencias relativas, distribución porcentual o tabla de frecuencias relativas.

Distribuciones de frecuencias relativas

Las representaciones gráficas de las distribuciones de frecuencias se obtienen a partir de los histogramas o polígonos de frecuencia, cambiando únicamente, en la escala vertical, las frecuencias por las frecuencias relativas y conservando la gráfica exactamente igual. A estas gráficas se las llama histogramas de frecuencias relativas y polígonos de frecuencias relativas respectivamente.

Distribuciones de frecuencias relativas

A la suma de todas las frecuencias menores que la frontera superior de un intervalo de clase dado se le llama frecuencia acumulada hasta ese intervalo de clase inclusive. Por ejemplo, en la tabla la frecuencia acumulada hasta el intervalo de clase 66-68 inclusive es 5+18+42=65, lo que significa que 65 estudiantes tienen una estatura menor a 68.5 in.

Distribuciones de frecuencias acumuladas y ojivas

A una tabla en la que se presentan las frecuencias acumuladas se le llama distribución de frecuencias acumuladas o simplemente distribución acumulada.

Distribuciones de frecuencias acumuladas y ojivas

Estatura in Cantidad de estudiantes

Menos de 59.5Menos de 62.5Menos de 65.5Menos de 68.5Menos de 71.5Menos de 74.5

05236592100

Distribuciones de frecuencias acumuladas

Tabla distribución acumulada. Para la distribución de las estaturas de los estudiantes.

Una gráfica que muestra las frecuencias acumuladas menores de cada frontera superior de clase respecto a cada frontera superior de clase se le conoce como gráfica de frecuencias acumuladas u ojiva.

Distribuciones de frecuencias acumuladas y ojivas

Es la frecuencia acumulada dividida entre la suma de todas las frecuencias (frecuencia total). Por ejemplo, la frecuencia acumulada relativa de las estaturas menores que 68.5 es 65/100=0.65 o 65%, lo que significa que el 65% de los estudiantes tienen estaturas menores a 68.5 in

Si en la tabla anterior colocamos las frecuencias acumuladas relativas en lugar de las frecuencias acumuladas, se obtiene una distribución de frecuencias acumuladas relativas y una gráfica de frecuencias acumuladas relativas u ojiva porcentual.

Distribuciones de frecuencias acumuladas relativas y ojivas porcentuales

Cuando se tienen poblaciones grandes puede esperarse que los polígonos de frecuencias, o los polígonos de frecuencias relativas, correspondientes a estas poblaciones estén formados por una gran cantidad de pequeños segmentos de recta de manera que sus formas se aproximen a las de unas curvas, a las cuales se les llama curvas de frecuencias o curvas de frecuencias relativas, respectivamente.

A las curvas de frecuencias se les llama polígonos de frecuencias suavizados.

Curvas de frecuencia y ojivas suavizadas

Tipos de curvas de frecuencias

Las curvas simétricas o en forma de campana se caracterizan porque las observaciones equidistantes del máximo central tienen la misma frecuencia.

Las curvas que tienen colas hacia la izquierda se dice que son sesgadas hacia la izquierda. La cantidad de años que viven hombres y mujeres son sesgadas hacia la izquierda, pocos jóvenes mueren, la mayoría muere entre los 60 y 80 años.

Tipos de curvas de frecuencias

Las curvas que tienen colas hacia la derecha se dice que son sesgadas hacia la derecha. Las edades a las que se casan tanto hombres como mujeres son sesgadas hacia la derecha, la mayoría se casa entre 20 y 30 años y pocos a los 40, 50, 60, 70 o más.

Las curvas que tienen aproximadamente las mismas frecuencias para todos sus valores se dice que son curvas distribuidas uniformemente, por ejemplo las máquinas dispensadoras de refresco.

Tipos de curvas de frecuencias

Las curvas de frecuencias en forma de J o en forma de J inversa son curvas en las que el máximo se presenta en uno de sus extremos.

Las curvas de frecuencias en forma de U son curvas que tienen un máximo en cada extremo y un mínimo en medio

Las curvas bimodales son curvas que tienen dos máximos

Las curvas multimodales tienen más de dos máximos

Tipos de curvas de frecuencias