elasticidad y resistencia de materiales i

7/28/2019 Elasticidad y Resistencia de Materiales I

1/398

CAPTULO 1

TENSIN


2/398

Hoy trataremos algn aspecto del diseo

de una vasija o depsito de pared delgada(t/r


3/398


4/398

F 0=

M 0=

F3

F1 S

f

n

S

dS

fd

S

f

s

rrr =

0

lim

CONCEPTO DE VECTOR TENSIN

Unidades: N/m2=Pa

Como en la prctica 1 Pa es de pequeamagnitud, utilizaremos, en general, MPa

F 3

F2F1


5/398

s

lim=normaltensin

0s

nsobrefproyn

rr

=

s

lim=ltangenciatensin0s

sobrefproyr

=

n

df

COMPONENTES INTRNSECAS DEL VECTOR TENSIN

222 =n


6/398

Area=A/cos

A

P

Area=A/cos

A

P

Tensiones en una barra sometida a una carga de traccin

P PP P

G

Demos un corte a la barra por una seccin que forma un ngulo

con el plano vertical

La resultante de la distribucin de tensiones debe ser horizontaly pasar por el c.d.g. de la seccin transversal de la barra


7/398

Area=A/cos

A

P

Area=A/cos

A

P

x

y

x

y

P N

V

( )

0sincos

090coscos0

=++

=++=

VNP

or

VNP

Fx

( )

0cossin

090sinsin

0

=

=

=

VN

or

VN

Fy

En realidad, las fuerzas N y V sern las resultantes de una distribucin detensiones, las cuales las supondremos uniformes sobre la seccin de corte

Planteando el equilibrio:


8/398

P N

V

P N

V

sin

cos

PV

PN

=

=

rea de la seccin de corte:cos

AArea =

Como, por definicin, latensin es fuerza divididapor rea:

( ) 2cos12

cos2 +==A

P

A

P

2sin2cossin A

P

A

P

==

P

P

Por tanto:


9/398

es mxima cuando es 0 180 es mxima cuando es 45 135 maxmax 2

1 =

A

P=max

A

P

2max =

-1

-0.5

0

0.5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

Angle

Stress/(P/A)

Ten

sin

(/0

)

ngulo

A

P=max

0


10/398

El signo de la tensin tangencial cambia cuando el ngulo es mayor de 90

Ntese que: ()= -(90+)

P


11/398

VASIJAS ESFRICAS A PRESIN

rt2

t

pr

2=

pr

2

Fuerza ejercida porla presin interna:

Fuerza ejercida porla tensin actuante:

De la igualdad entreambas, resulta:

r

r

t

p


12/398

Estado tensional en un punto de la vasija

Puntoelstico

t

pr

2=

es mucho mayor que p !


13/398

VASIJAS CILINDRICAS A PRESIN

Direcc

inlon

gitudinal

Direccin circunferencial

r

t

h

ha

a

Punto elstico


14/398

Clculo de la tensin longitudinal:

art2


pr2

Fuerza ejercida porla tensin actuante:

De la igualdad entreambas, resulta:

t

pra

2

=

rt

Punto elstico

p

a

a


15/398

Clculo de la tensin circunferencial:

rlp2


Fuerza ejercida por

la tensin actuante:

hlt2De la igualdad entre

ambas, resulta:

t

prh =

r

t

l l

p

h

h


16/398

Estado tensional en los puntos de la vasija cilndrica:

h es mayor que a, y ambas son mucho mayores que p !

t

prh =

tpra 2=


17/398

a

a

h=2a

Forma de rotura msprobable


18/398

Ejemplo: Determinar el espesor tde la vasija de la figura, realizadacon acero inoxidable austentico, sabiendo que su radio es r y que

contiene un gas a una presin p. Considrese un coeficiente de seguridad .

Tensin mxima:

t

prmx=


19/398

Y la resistencia a traccin del material?

Volveremos a ello en el captulo 3

Deformacin

Tensin

Hormign Acero

Deformacin

Tensin

u

yu

y


20/398

Los elementos estructurales, olos componentes de mquinasdeben ser diseados demanera tal que las tensiones

que se producen en su senosean menores que laresistencia del material.

El factor de seguridad tiene encuenta, principalmente:Las incertidumbres de los valoresde las propiedades del material

La incertidunbre del valor de lascargas actuantesLa incertidumbre del anlisisEl comportamiento a largo plazo delelemento estructuralLa importancia del elementoconsiderado en la integridad de laestructura de la que forma parte

Lgicamente el factor de seguridaddebe ser una cantidad mayor que launidad

COEFICIENTE DE SEGURIDAD

admisibletensinresistenciaCoeficiente de seguridad

adm

R ===

En vasijas a presin, suele oscilar entre 4 y 8


21/398

R

admmxt

pr==

R

prt


22/398

PERO, EN LA REALIDAD, NOS ENCONTRAREMOS

CON ESTRUCTURAS DE MAYOR COMPLEJIDAD,TANTO DE FORMA COMO DE ESTADO TENSIONAL


23/398

TENSOR DE TENSIONES

x

y

z

P

x

y

z

P

x

y

z

P

z

zy

zx

x

y

z

P

z

zy

zx

y

x

y

z

P

yz

yx

x

y

z

P

x

xz

xy

y

x

y

z

P

yz

yx

y

x

y

z

P

yz

yx

x

y

z

P

x

xz

xy

x

y

z

P

x

xz

xy


24/398

P

z

y

x

0 zx

zy

xz

xyyx

yzzx

zy

z

y

x

dx

dz

dy

zdy

PUNTO ELSTICO TRIDIMENSIONAL


25/398

xejecaraslasenopuestasyigualestensiones0 x = xFyejecaraslasenopuestasyigualestensiones0 y = yFzejecaraslasenopuestasyigualestensiones0 = zzF

zyzyyzx dzdxdydydxdzM === yz00xzxzzxy dxdydzdzdxdyM === zx00

yxyxxyz dydxdzdxdydzM === xy00

P

z

y

x

0zx

zy

xz

xyyx

yz

zx

zy

z

y

x

dx

dz

dy

zdy


26/398

La igualdad entre las tensiones tangenciales,actuando sobre planos ortogonales entre s,puede demostrarse, por ejemplo, estableciendoel equilibrio de un pequeo paraleleppedo deespesor dz. Apliquemos la fuerza Vx:

Vx=yxdxdz

x

y

dx

dy


27/398

El equilibrio requiere que,

sobre la cara inferior, acte

una fuerza igual y de signo

contrario, lo que producir

un par:

Este par debe estar equilibrado por

otro (antihorario) consecuencia de

dos fuerzas verticales Vy actuando

sobre las caras verticales:

Vx=yxdxdz

x

y

Vy=xydydz

Vx=yxdxdz

x

y

Vx=yxdxdz

Mz

=Vx

dy=yx

dxdydz

dy


28/398

( ) ( )xyyx

xyyx dxdydzdydxdz

=

=

Utilizando: = 0zM

obtenemos:

Conclusin:Si sobre un plano en las proximidades de un punto, existe

una tensin tangencial, sobre un plano ortogonal al anteriordebe existir una tensin tangencial del mismo valor.

Vx=yxdxdz

x

y

Vy

=xy

dydz

dy

dx


29/398

Teniendo en cuenta que, sobre cada una de las caras

del paraleleppedo infinitesimal considerado (punto elstico),actan tres componentes del vector tensin correspondiente,se obtendran, en total, 18 valores de los que slo hay6 valores diferentes entre s, a saber:

x y z yz zx xy, , , , ,

En un slido, estas componentes, sern funciones continuas

de las coordenadas cartesianas del punto x,y,z.

( ) ( ).......,,,,, zyxzyxxyxyxx

==


30/398

= d+d+: zxxy nmdldxEje xx

= d+d+: yzy nmdldyEje xyy

=

d+d+: zyz nmdldzEje zxz

TENSIONES ACTUANDO EN UN PLANO CUALQUIERAz

y

x

zx

zy

xz

xyyx

yz

z

y

x

z

y

x

C

B

A

P

u = l i + m j + n k

kji *z*y

*x

*rrrr

++=


31/398

TENSOR DE TENSIONES(o Tensor de Cauchy)

Augustin-Louis CAUCHY

(1789-1857)

x

y

z

[ ]{

=

x xy zx

xy y yzxz yz z

T[ ]1 244 344

l

mn

rn[ ]{

[ ] [ ]nTrr

=

u

u

*


32/398

( ) k)z,y,x(Zj)z,y,x(Yi)z,y,x(Xz,y,xfvrrrr

++=

FUERZAS INTERNAS POR UNIDAD DE VOLUMEN

y

x

z

dVfFd V = rrintdV

Fuerza interna, porunidad de volumen


33/398

Ejemplo 2: slido en movimiento (fuerzas de inercia)

kzjyixadVadmfv

r&&

r&&

r&&rr

r

++=== /

zzyxZyzyxYxzyxX &&&&&& === ),,(,),,(,),,(

Ejemplo 1: slido sometido a la accin de la gravedad segnel eje y

X(x,y,z)yZ(x,y,z)seran nulas y la funcin Y(x,y,z)= -g

( ) jgzyxfvrr =,,y

x

z


34/398

ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO

xx x dx

x

= +

xyxy xy

zxzx zx

dxx

dxx

= +

= +

dx


35/398

yx

y

yz

y

yx

yz

z

zxzy

z

zx

zy

X +xx

+xyy

+zxz

= 0

Y + xyx

+ yy

+ yzz

= 0

Z +zx

x+yz

y+z

z= 0


36/398

ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO

Sobre la superficie exterior del slido (contorno) pueden, o no,actuar tensiones que, directamente, se apliquen al slido

dfFd contorno =rr

z

y

x

d

Fuerza, por unidad

de superficie, en elcontorno

FUERZA, POR UNIDAD DE SUPERFICIE, QUEACTA SOBRE EL CONTORNO

( ) ( ) ( ) kz,y,xZjz,y,xYiz,y,xXf

rrrr

++=


37/398

PQ

x

y

P

jf

rr

=

Q 0f

rr

=

EJ EMPLO:


38/398

Y, sin embargo, en los puntos muy prximos a la superficie del slidopueden existir tensiones internas.

En un punto P prximo al contorno del slido, deber existir equilibrio entrelas tensiones y las fuerzas, por unidad de superficie, aplicadas.

x

y

zknjmilurrrr

++=

f

r

yx

y

yz

z

zx

zy

x

xy

zx

nmlX zxxyx ++=

nmlY yzyxy ++=nmlZ zyzzx ++=

Ecuaciones de equilibrio

en el contorno:

Contorno delslido

P


39/398

CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA

[ ]

[ ]

[ ][ ]

[ ]

T tensor de tensiones en P referido al sistema x, y,z

T tensor de tensiones en P referido al sistema x , y ,z

R matriz del cambio de ejes

u = componentes de un vector unitario respecto al sistema x, y,z

u c

=

=

=

=

r

romponentes de un vertor unitario respecto al sistema x , y ,z

[ ] [ ][ ][ ][ ] [ ] [ ][ ]RTRT

RTRTT

T

=


40/398

x

y

x

y

x

y

[ ]

=

R

cossen

sencos

CASO BIDIMENSIONAL:

y


41/398

xyxy

x

y

xy

x

y

xy

=

xy

y

x

22

22

22

yx

y

x

sencoscossencossen

cossen2cossen

cossen2sencos


42/398

TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES

Sea un slido sometido a un sistema de cargas, P unpunto cualquiera del slido (punto genrico) y [T] elcorrespondiente tensor de tensiones afecto a dicho punto.existir algn plano, que pase por las proximidades

(a distancia infinitesimal) del punto P, tal que el vectortensin correspondiente, sea ortogonal a dicho plano(es decir, que el vector tensin no tenga componente segn

el plano o, lo que es lo mismo, que sobre dicho plano noacta ninguna tensin tangencial)?

n

df

u

df

=0

, ,


43/398

[ ] [ ] [ ]T u = rr

[ ] [ ]u = rr

[ ] [ ] [ ]0I- =uTr

Vector tensin en una direccin cualquiera:

Vector tensin en la direccin que buscamos:

knjmilu

rrrr

++=

( )

( )( )

=++

0=n+m+l0=n+m+l

0

zyz

yzy

zx

xy

zxxyx nml

( )


44/398

0=

zyzzx

yzyxy

zxxyx

( )

( )( )

=++

0=n+m+l0=n+m+l

0

zyz

yzy

zx

xy

zxxyx nml

Para que este sistema tenga solucin distinta de la trivial:

3 I12 + I 2 I 3 = 0

1 x y z

2 2 2

2 x y y z z x yz zx xy

3

I

I

I T

= + +

= + +

=

Ecuacin caracterstica: Invariantes:


45/398

Tensiones principales

max int min

321

max

max

min

min

int

int

Direcciones y tensiones principales:


46/398

Direcciones y tensiones principales:

1 0 0

0 2 0

0 0 3

Tensor de tensiones:

I1 = 1 + 2 + 3I 2 = 12 + 23 + 31I 3 = 123

Invariantes:

1

2 2 22

2 2 23 2

x y z

x y x z y z xy xz yz

y z xy xz yz x yz y xz z xy

I

I

I

= + +

= + +

= +

Las tensiones tangencialessobre los planos principalesson nulas

1

z

y

x

2

3


47/398

TENSIN HIDROSTATICA Y TENSIONES DESVIADORAS

3331321

cahidrostatiI

pzyx =

++=

++==

444 3444 214342144 344 21desviadoracomp.

zyzzx

yzyxy

zxxyx

cahidrostaticomp.tensionesdetensor

'

''

+

00

0000

=

p

p

p

zyzzx

yzyxy

zxxyx

ppp zzyyxx === ';';'

( )27 2792

3

0

321

3

13

21

22

1

IIIIJ

IIJ

J

+=

=

=Invariantes del tensor desviador:


48/398

yy


49/398

P

n +

x

y

P

n +

P

nn + +

x

yCul es el lugar geomtrico delextremo del vector tensin total,correspondiente a dicho punto,cuando variemos el ngulo ?

cos

sen

1

2

y

x

11

2

2

2 =yx

Coordenadas del extremo del vector tensin:

CASO TRIDIMENSIONAL:


50/398

xy

z

=

1 0 00 2 0

0 0 3

lm

n

x= 1 ly= 2 m

z= 3 n

x2

12 +

y2

22 +

z2

32 = 1

CASO TRIDIMENSIONAL:

I1=Suma de las longitudes

de los tres semiejes del elipsoide

I2=proporcional a la suma de lasreas de las tres elipses queintercepta el elipsoide con losplanos principales

I3=proporcional al volumen del

elipsoide

12

3

EL CIRCULO DE MOHR: APLICACION A SITUACIONES


51/398

Otto MOHR(1835-1918)

BIDIMENSIONALES

-Tensiones normales: positivas si son de traccin-(negativas si fueran de compresin)- Tensiones tangenciales:

+ -


52/398

yxy

x

u

y

x

n

Signos a considerar para la construccindel crculo de Mohr:- La tensin normal ser positivasi es de traccin

- La tensin tangencial es positiva si,desde el centro del punto elstico,produjera un giro en sentido horario

>0

n>0 TRACCION

u


53/398

x x xy

y xy y

cos

sen

=

2 2

n x xy y

yx

xy

cos sen2 sen

sen2 sen2 cos22 2

= + +

=

y

xy

x

u

y

x

n


54/398

x y x y

n xy

x y

xy

cos2 sen22 2

sen2 cos22

+

= +

=

que corresponden a la ecuacin de una circunferencia

(en un plano cuyos ejes fueran y (Plano de Mohr)de centro:

(x+y )/2

y radio:

14(xy )

2+xy2

Existe una correspondencia biunvoca entre cada direccinid l t l ti t di


55/398

que consideremos en el punto elstico en estudio y un

punto del crculo de Mohr correspondiente a ese puntoelstico: a cada direccin que pasa por las proximidadesdel punto P le corresponde un punto del crculo de Mohrcuya abcisa es la componente normal del vector tensin

que acta sobre la direccin considerada y cuya ordenadaes la componente tangencial de dicho vector tensin

Una vez dibujado elcrculo de Mohr, puedenobtenerse, por ejemplo,los valores de las tensionesprincipales as como lasdirecciones sobre lasque actan.

C

+0

2,yx

xyx ,

xyy ,

( ) ,2

( )max

( )max

12

PASOS PARA EL DIBUJO DEL CRCULO DE MOHR


56/398

A

B

A

B

C

A

B

C

AB

OBTENCIN DE LAS TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES


57/398

Direccin

principal 1

Direccinprincipal 2

Planoprincipal 1

Planoprincipal 2 x

y

1

2

xx

y

y

xy

y

x

12

x

y

2

yx +

xy

xy

max

PROPIEDADES CIRCULO DE MOHR:


58/398

Obtencin del Polo del Crculo de Mohr:


59/398

x

y

(x,-xy)

(y,xy)

POLO

Otros aspectos del crculo de Mohr.


60/398

Otros aspectos del crculo de Mohr.

A (,)

B

C

A

Direcciones en las que elngulo del vector tensincon la normal al plano sobreel que acta es mximo

A qu direccin representa el POLO del crculo de Mohr?


61/398

(x,-xy)

(y,xy)

POLO

SOFTWARE DISPONIBLE EN LA RED


62/398

http://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/mohreng.html

http://www.eng.usf.edu/~kaw/software/

http://www.umoncton.ca/turk/CdeMohr.xls

TENSIONES TANGENCIALES MXIMAS(Problemas bidimensionales)


63/398

( )

=0

x

y

z

=0

=0

x

y

z

max

max 2

maxIII

=

Direccin deIII

Direccin deIII

=0

max

=0

=0

max

2max

I

=

=0

max

=0

max

2max

II =

I II I IImax Mximo de , ,

2 2 2

=

Direccin deIII

TENSIONES TANGENCIALES MXIMAS


64/398

=

2,

2,

2deMximo 323121max

TENSIONES TANGENCIALES MXIMAS

(Problemas tridimensionales)

Ms, en la web, sobre crculo de Mohr:


65/398

http://www.engin.umich.edu/students/support/mepo/ELRC/me211/mohr.html

, ,


66/398

CAPTULO 2

DEFORMACIN

Al aplicar cargas a un slido, ste se deforma.


67/398

Vamos a suponer que, las deformaciones que se producen dentrodel slido son pequeasde manera tal que, la geometra del slido

antes y despus de deformarse es, a efectos prcticos, la misma.

Slido deformadoSlido sin deformar

DEFORMACION LONGITUDINAL


68/398

DEFORMACION LONGITUDINAL

0

Lll=

xx = posicin geomtricau = desplazamiento experimentado


69/398

( )PQ

PQQPlimPx

x

=

0

( )[ ] ( )[ ]PuxQuxxOPOQQP +++==

( ) ( ) uPuQuPQQP ==

( )P

0xx

dxdu

xulimP ==

Configuracinsin deformar

Configuracindeformada


70/398

s

ss

AB

=

*lim

nalong

( )

1

1

+

s

s

ss

*

*

a lo largo de n

Slido

no deformado

Slido

deformado

A

B

n

s

A*

B*

s*

DEFORMACION ANGULAR, TANGENCIAL,DE CORTE O DE CIZALLADURA


71/398

DE CORTE O DE CIZALLADURA

htg yzyz =

yz

yx

z

yz

h


72/398

= RPQnguloQPRngulo

PR

PQPlim

= RPQngulo

PR

PQP 2

lim

Configuracinsin deformar

Configuracindeformada

Las tensiones tangenciales actuando en un punto elstico


73/398

son la causa de aparicin de las deformaciones angulares.Estas deformaciones no llevan aparejadas alargamientoso acortamientos del punto elstico sino que, simplemente,distorsionan su geometra.

yx

x

y

xy

yx

x

y

xy

2

2

2

+2

Considerando un punto elstico (dimensiones infinitesimales), podemosdeterminar sus dimensiones finales as como los ngulos girados por sus lados


74/398

xy

2yz

2zx

2

(1+x)dx (1+y)dy (1+z)dz

Punto elsticoantes de deformarse:

Punto elstico

deformadoy

x

z

dxdy

dz

ydy

zdz

2/yz

CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS (u,v,w)


75/398

DENTRO DE UN SLIDO

z

y

x

j

i

k P

Q

P*

Q*Q

P

d r d r*

0

P P*

Q Q*

Vector desplazamiento en P = PP* =P

Vector desplazamiento en Q = QQ* =Q

kwjviuPrrrr

++=

kwjviuQ

rrrr

''' ++=

u=u(x,y,z)v=v(x,y,z)w=w(x,y,z)

Funcionescontinuas dex,y,z


76/398

Relacin entre (u,y,z) y (u,v,w):

u' = u+

u

x dx+

u

ydy+

u

zdz

v' = v + vxdx + vydy + vzdz

w' = w+ wx

dx + wy

dy+ wz

dz

[ ] rdMPQr

rr

+=

[ ]

=

z

w

y

w

x

wz

v

y

v

x

vz

u

y

u

x

u

M

Descomposicin de la matriz [M]rr


77/398

[ ]

=

z

w

y

w

x

wz

v

y

v

x

v z

u

y

u

x

u

M

[ ] [ ]44444444 344444444 2144444444 344444444 21

simtricaDicahemisimtrW

z

w

z

v

y

w

z

u

x

w

y

w

z

v

y

v

y

u

x

v

x

w

z

u

x

v

y

u

x

u

z

v

y

w

z

u

x

w

y

w

z

v

y

u

x

v

x

w

z

u

x

v

y

u

+

+

+

+

+

+

+

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

02

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

10

=

P

Q

P*

Q*Q

P

d r d r*

[ ] rdMPQr

rr

+=

[ ] [ ]( ) rdDWPQr

rr

++=

d

r

r = dr

r +r

Q r

P[ ] [ ] rdDrdWrdrd rrrr ++=

[ ] [ ]( ) [ ] rdDrdWIrdrrr

++=

Descomposicin de movimientos


78/398

a) Traslacin de definida por

b) Giro definido por la matriz hemisimtrica

c) Deformacin definida por la matriz

1QPPQ

21 QPQP

QPQP 2


79/398

Los pasos a) y b) son comunes (traslacin + giro) paratodos los puntos del entorno del punto P, por lo que noproducen variacin relativa alguna (deformacin) de las

distancias entre el punto P y dichos puntos. Slo el pasoc) es el que produce deformaciones en el entorno delpunto P y el tensor correspondiente, que admite unarepresentacin a travs de la matriz [D] respecto alsistema de coordenadas que estamos empleando,se denomina Tensor de Deformaciones

INTERPRETACION FISICA DE LAS COMPONENTES DEL


80/398

TENSOR DE DEFORMACIONES

x =u

x

, y =v

y

, z =w

z

,

xy =uy

+vx

, xz =uz

+wx

, yz =vz

+wy

D[ ]=

x xy2

xz2

xy2

y yz

2 xz2

yz2

z

dyy

u


81/398

tg = = vx

tg = =uy

xy = + =uy

+vx

x

y

P A

B

P*A*

B*

vudy

dx

dxxv

xdx

uu

+

dyy

vv

+

DEFORMACIONES EN UNA DIRECCION CUALQUIERAr


82/398

Vector deformacin unitaria:

[ ] [ ] [ ] [ ] uDdrrdD

rrlimD

rrDlim 0r0r

v

rrr

r

====

Componentes intrnsecas de :r


83/398

Deformacin longitudinal unitaria, n, definida como:

[ ]( )

lnmnlmnml

uuD=u=usobre.proy

xzyzxy

2

z

2

y

2

xn

n

+++++=

=rrrrrr

Deformacin angular unitaria:

n /22n

2n

2

4

1 +=

Relacin:

[ ] uDvr

=

DIRECCIONES PRINCIPALES E INVARIANTESPara qu direcciones el vector deformacin es perpendicular al plano correspondiente?

yyDireccin 2


84/398

=

TICACARACTERISECUACION0ID

0322

13 =+ III

u

yxxyyxxy 2

1

2

1===

[ ][ ] 0

r

r

rr

==uID

uuD

xy//2xy//2

xy//2xy//2 x

x

Direccin 1

0322

13 =+ III


85/398

21

2

1

21

2

1

21

2

1

I

zyz

xzx

zyz

yzy

yxy

xyx

2

+

+

=

I zyx1 ++=

DI 3 =

(Invariante lineal)

(Invariante cuadrtico)

(Invariante cbico)

TENSOR DE DEFORMACIONES EXPRESADO


86/398

3

2

1

00

0000

EN EJES PRINCIPALES

3213

3132212

3211

=

++=++=

I

II

Invariantes:

RELACIN ENTRE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES DE TENSINY DEFORMACIN:


87/398

Para un slido con comportamiento istropo elstico lineal:

Si es cero, es tambin nula: Las direcciones principales de tensinCoinciden con las de deformacin.

G

=

max, max

min, min

int, int

DEFORMACIONES VOLUMETRICA Y DESVIADORA


88/398

inicialVol.

inicialVol.-finalVol.eV =

Volumen inicial= dx.dy.dzVolumen final= dx dydz 1+ x( )1+ y( )1+ z( )=

dx dy dz 1+ x + y + z + xy+.......

[ ](zyxV e ++= = I1

=


89/398

4444 34444 21

44 344 21

4444 34444 21

desviadoraComp

zyzxz

yzyxy

xzxyx

avolumetricComp

V

V

V

ndeformaciodeTensor

zyzxz

yzyxy

xzxyx

e

e

e

.

.'

2

1

2

12

1

'2

12

1

2

1'

00

00

00

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

+

=

VzzVyyVxx

zyxV

eeee

=== ++=

';';'

ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD

( ) k)(j)(i)(

rrrr


90/398

( ) k)z,y,x(wj)z,y,x(vi)z,y,x(uz.y.x ++=Las tres funciones u,v,w (campo de desplazamientos) no pueden expresarsearbitrariamente en funcin de x, y, z, sino que tendrn que verificar unasdeterminadas relaciones para que los campos de desplazamientos y de

deformaciones que experimenta el slido sean fsicamente posibles.

+

=

=

+

+

=

=

+

+

+

=

=

+

zyxzyxzxxz

zyxyxzzyyz

zyxxzyyxxy

xyxzyzzxzzx

xyxzyzyyzzy

xyxzyzxxyyx

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

;

;

;

CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA (2D)Conocidas las componentes del tensor de deformaciones(x,y,xy/2)en un punto referidas a un sistema cartesiano

d f i x y l l t d


91/398

de referencia x,y, veamos cuales son las componentes dedicho tensor respecto de otro sistema cartesiano x,ytal que, el su eje x, forma un ngulo . Llamemos (x,y,xy/2)a las componentes respecto del nuevo sistema de referencia.

x

xyxy

x

yxy

y

xy

/2yx /2x

yy


92/398

( )

2cos2sen

2sen2

2cos22

2sen2

2cos22

''

'

'

xyyxyx

xyyxyx

y

xyyxyx

x

+=

+=

+

++

=

xy /2

xy /2

yx /2

yx /2

x

CIRCULO DE MOHR EN DEFORMACIONES/2/2

24

2''

2

2' Ryxyx

x

+


93/398

42 Rx =+

42

R

2xy

2

yx +

=

yx

x

y

xy

2

2

xy

xy

CRITERIO DE SIGNOS:

y


94/398

x

y

xy

x

y

/2

Direccin y

Direccin x

12


95/398

CAPTULO 3

COMPORTAMIENTO

MECNICO DE MATERIALES

ut Tensio sic Vis

ENSAYO DE TRACCIN


96/398

Probeta plana

Probeta cilndrica

0AFS =

A = rea de la seccin transversal del fuste de la probeta

Tensin ingenieril


97/398

0lle

A0 rea de la seccin transversal del fuste de la probeta

Deformacin ingenieril

AF

A = rea real de la seccin transversal del fuste en unmomento dado

Tensin verdadera

ldld =Deformacin infinitesimal verdadera

0ln ll

( ) ( )eyeS +1ln1

Qu forma tienen las curvas tensin ingenieril-deformacin?


98/398

Deformacin

Tensin

Hormign Acero

Deformacin

Tensin

u

y

u

y

La curva tensin-deformacinTensiones importantes que aparecen en la curva.

Lmite elstico (y) a partir de este punto el material deja det l ti t i d d i t


99/398

e e s co (y) a pa de es e pu o e a e a deja decomportarse elsticamente, apareciendo, caso de incrementarla tensin, deformaciones remanentes en el material

Tensin ltima o resistencia a traccin (u) a partir de estepunto, se produce inestabilidad (estriccin)

Tensin de rotura (R)

uRy

Estriccin


100/398

Curva tensin-deformacin (cont)

Dominio elstico (Puntos 1 2)


101/398

Dominio elstico (Puntos 1 2)- Una vez retirada la tensin, el material recupera

su forma geomtrica original

- Existe proporcionalidad entre tensiones ydeformaciones

: Tensin (MPa)E : Mdulo de elasticidad(Mdulo deYoung) (MPa)

: Deformacin (adimensional)

- Punto 2 : L mite de fluencia: a partir de este punto,si cesa de actuar la tensin, la probeta sufre deformacionespermanentes. (Si se sobrepasara este punto, la probetano recuperara sus dimensiones originales)

E =

E =


102/398

Endurecimiento por deformacinSi la probeta fuesedenuevocargadadesdeel punto 4 la

Curva tensin-deformacin (cont)


103/398

p- Si la probeta fuese de nuevo cargada desde el punto 4, la

curva sera la que une los puntos 4 y 3, y que tendra unaPendiente idntica al mdulo de elasticidad.

- El material poseera, en el punto 3, un lmite elstico mayor.- Este incremento del lmite elstico aparente del material,

como consecuencia de un proceso de deformacin previo, sedenominaEndurecimiento por deformacin.


104/398

Qu diferencias observaramos si dibujramos la curva tensin-

deformacin utilizando tensiones y deformaciones ingenieriles

o verdaderas?


105/398

Tensin

Deformacin

Tensinverdadera

Tensiningenieril

Aqu, s esimportantela distincin

En la zona enla que vamos a trabajarno hay diferencias


106/398

E =Ley de Hooke

E=mdulo de Young o de elasticidad

Existen materiales en los que la parte lineal de la curvatensin-deformacin no aparece.


107/398

Material E (GPa)


108/398

Material E (GPa)

Acero 210

Hormign 25

Aluminio 70

Material Lmite elstico(MPa)

Tensin de rotura(MPa)


109/398

(MPa) (MPa)

Acero AISI 1020 205-350 380-600

Aluminio 2024-T6 345 427

Aluminio 7076-T61 470 510

Titanio 11 (Ti-6Al-2Sn-1.5Zr-1Mo-

0,35Bi-0,1Si)

930 1030


110/398

EFECTO POISSON

lR Simeon Poisson

(1781-1840)


111/398

R

R

ll

T

L

=

=

=cargaladeaplicacindelaaortogonaldireccinlasegnndeformaci

=cargaladeaplicacindedireccinlasegnndeformaci0

LT =

Para la mayora de los metales este coeficiente vara entre 0,28 y 0,32

L1 L2

EL ENSAYO DE CORTADURA


112/398

Q

h

21LL

Qmedia =

GLL

hQ

GLL

Qhh

GLL

Q

G

media

2121

21

tantan ==

==

G=

y

xy

x

SSSSSSSSSSSS

262524232221

161514131211

ECUACION CONSTITUTIVA DE UN MATERIAL


113/398

=

zy

zx

yx

z

y

zy

zx

yx

z

SSSSSS

SSSSSSSSSSSS

SSSSSS

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

2

2

2

Material con comportamiento istropoLas tensiones tangenciales no causan deformaciones longitudinales y

las tensiones normales no causan deformaciones angulares:

S14 = S15 = S16 = S24 = S25 = S26 = S34 = S35 = S36 = 0

S41 = S42 = S43 = S51 = S52 = S53 = S61 = S62 = S63 = 0


114/398

x

SSS

000


115/398

=

zy

zx

yx

z

y

x

zy

zx

yx

z

y

SS

S

SSS

SSS

SSS

44

44

44

111212

121112

121211

0000000000

00000

000

000

000

2

2

2

LEYES DE HOOKE GENERALIZADAS


116/398

E

E

E=

E

E

E=

E

E

E

z

y

y

z

X

Xz

z

x

y

x

X

Xy

z

z

y

y

X

X

===

=

=

=

===

=

DEFORMACIONES ANGULARES

0 zyx ==


117/398

( )

( )

E

+1=

E

+1-=

0z

y

x

yx

+

+==

+

1

1

1

OA

OB

24tg

x

yy

/2

B*

B


118/398

( ) ( ) +=+=

+

+=

+

=

+

E

12

E

12

1

1

21

21

2tg

4tg1

2tg

4tg

Despejando

x

y

44 344 21

xo45

A* A

G =

G =E

2 1 + ( )

( )EE ZYX

X +

=

LEYES DE HOOKE GENERALIZADAS


119/398

( )

( )

G

G

G

EE

EE

zyzy

zxzx

yxyx

yx

z

z

Zx

y

y

=

=

=

+

=

+

=

xvx

G2G2e

+=

ECUACIONES DE LAMGabriel Lam

(1795-1870)


120/398

zyzy

zxzx

yxyx

zvz

yvy

G

G

G

G2e

G2e

=

=

=+=

+=

zyxve ++= ( )( ) ( )

+12

E=G

21+1

E=

DEFORMACIN VOLUMTRICA

p 0 inicialVolumenV =


121/398

Mdulo de deformacin volumtrica, K :

VV

pK

/=

V

p

V00

0

VVV

finalVolumenV

=

=

Para materiales metlicos:

EKEG

8

3

3

1


122/398

CAPTULO 4

PLANTEAMIENTO GENERALDEL PROBLEMA ELSTICO

INCGNITAS Y ECUACIONES DEL PROBLEMA ELSTICO

Incgnitas: Desplazamientos (u,v,w), Tensor de tensiones (x,y,z,xy,xz,yz)y Tensor de Deformaciones (x,y,z,xy,xz,yz) 15 incgnitas!Ecuaciones:


123/398

+ + + =

+ + + =

+ + + =

xyx xzX 0x y z

xy y yzY 0

x y z

yzxz zZ 0x y z

= + +

= +

= +

2 yz xyx xz2y z x x y z

2y yz xyxz2

z x y x y z

2yz xyz xz2

x y z x y z

= +

= +

= +

2 22yz yz

2 2y z y z

2 2 2zx x z

2 2z x z x2 2 2

xy y x2 2x y x y

= +

= +

= +

x ( )x y zE E

y( )

y x zE E

z ( )

z x yE E

=

=

=

/Gxy xy

/Gzx zx

/Gyz yz

= +

= +

= +

e 2Gx v x

e 2Gy v y

e 2Gz v z

=

=

=

Gxy xy

Gzx zx

Gzy zy

Ecuaciones:

Equilibrio interno: Compatibilidad:

Constitutivas:

15 ecuaciones!

FORMULACION EN DESPLAZAMIENTOS:ECUACIONES DE NAVIER:

ClaudeLouisMarie Henri

NAVIER(1785-1836)Incgnitas: Los desplazamientos u,v,w encualquier punto del slido


124/398

cualquier punto del slido

+ + + =

+ + + =

+ + + =

r

r

r

X ( G) (div ) G u 0x

Y ( G) (div ) G v 0y

Z ( G) (div ) G w 0z

+ + + =

r r rr r

f ( G) gra d (div ) G 0v

Ecuacin fundamentalde la Elasticidad:

kwjviu

rrrr

++=donde:

FORMULACION EN TENSIONES:ECUACIONES DE MICHELL Y BELTRAMI

JohnHenry MICHELL(1863-1940)

Incgnitas: Las tensiones x,y,z,xy,xz,yzen cualquier punto del slido


125/398

+ =

+

+ = +

+ = +

r

r

r

2I1 X1 div f 2x v21 1 xx

2I1 Y1 div f 2y v21 1 yy

2I1 Z1 div f 2z v21 1 zz

+ = +

+

+ = +

+

+ = ++

2I1 Y Z1 ( )yz 1 y z z y

2I1 Z X1 ( )zx 1 z x x z

2I1 X Y1 ( )xy 1 x y y x

Ecuaciones de Michell:

en cualquier punto del slido

Ecuaciones de Beltrami: Eugenio BELTRAMI

(1835-1900)

Vf =constante


126/398

Vf = constante

+ + =

+ + =

+ + =

2I1(1 ) 0

x 2x2I

1(1 ) 0y 2y

2I1(1 ) 0

z 2z

+ + =

+ + =

+ + =

2I1(1 ) 0

yz y z2I

1(1 ) 0zx z x

2

I1(1 ) 0xy x y

ENERGA DE DEFORMACIN

x


127/398

F

Consideremos un muelle sometido a una fuerza F.F es proporcional al desplazamiento x: F=k.x

Determinemos el trabajo realizado por la fuerza cuando F= Fo:

ooxFW2

1=

Esta energa (trabajo) es almacenada por el muelle y liberadacuando la fuerza cesa de actuar.

Si repitiramos la misma experiencia con una barra:


128/398

= +

== = = l l l

o oo ol lo

1U F dl F l2

Trabajo realizado por la fuerza externa (U) =Energa potencial almacenada en el slido

Elongacin

Ca

rga

F0

l0

Trabajoexterno

F

l0

l

Area = AVolumen = Al0

o oF A=

l l00

2

1AlU =

= +

== = = l l l

o oo ol lo

1U F dl F l

2


129/398

F

l0

Deformacin

T

ensin

F0/A

l0 /l0

Densidad

de energa dedeformacin,

E

o ol l = 00

2

densidad de energa =energa elstica almacenadapor unidad de volumen:

1

2 =

Como E = 2

21 E2 2E

= =

ENERGA DE DEFORMACIN POR CORTANTEENERGA DE DEFORMACIN

ya Consideremos un cubo de material

sometidoaunatensincortante que


130/398

xaa

sometido a una tensin cortantexyquecausa una deformacin angular xy

y

x

( ) ( ) 322

1

2

1aaaU xyxyxyxy ==

= xya

xy

xyxyxyxy aa 2

1/

2

1 33 ==

xy

DENSIDAD DE ENERGA (CASO GENERAL)

( ) +++++1


131/398

( )xzxzyzyzxyxyzzyyxx +++++=

2

( ) ( ) ( )2222222

1

2

1xzyzxyxzzyyxzyx

GEE

+++++++=

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2V x y z xy yz xz1 1

e G G2 2

= + + + + + +

V x y ze = + +

0

Expresando las deformaciones en funcin de las tensiones (Leyes de Hooke):

Expresando las tensiones en funcin de las deformaciones (Ecuaciones de Lam):

Solucin 1 Solucin 2 ' ' '' ''

UNICIDAD DE LA SOLUCION DE UN PROBLEMA ELASTICOConsideremos un slido sobre el que actan fuerzas internas (X,Y,Z) por unidad

de volumen y fuerzas sobre su contorno (X,Y,Z). Supongamos que existen dos

soluciones diferentes:


132/398

,......., ,.........x xy ,......., ,.........x xy

Ecs. Equil ibrio interno Ecs. Equil ibrio interno(Solucin 1) (Solucin 2)

0=+++zxz'

y

xy'

xx'X

0=+++

zxz''

y

xy''

xx''X

.....................

.....................

.....................

.....................Ecs. Equilibrio contorno Ecs. Equilibrio contorno(Solucin 1) (Solucin 2)

nxz'mxy'lx'X ++= nxz''mxy''lx''X ++=

.....................

...............................................................

+ Ecs. Compatibilidad + Ecs. Compatibilidad(Solucin 1) (Solucin 2)

0=+

+

z

)xz''xz'(

y

)xy''xy'(

x

)x''x'(

0)'''()'''()'''( =++ nxzxzmxyxylxx

.....................

.....................

.....................

Restando las ecuaciones anteriores:


133/398

+ 6 Ecs. Compatibilidad que contienen x'

x''

,.........,xy

'

xy''

,..........

.....................

El resultado que hemos obtenido es equivalente a decir que se ha encontrado unanueva distribucin tensional (diferencia entre los estados tensionales de lassoluciones 1 y 2), que verifica todas las ecuaciones del problema elstico, para elcaso de que el slido se encuentre libre de cargas actuantes sobre l (fuerzasinternas y de contorno nulas). Esto implica que el trabajo realizado por tales fuerzases nulo, ya que las fuerzas actuantes resultan ser nulas y, por tanto, la energaelstica almacenada, o su correspondiente densidad de energa, debiera sertambin nula, por lo que:

0)2,,,2,,,2,,,(21)2,,,2,,,2,,,(2,,,

21 =++++++= xzyzxyGzyxGve

.,.........'''''',,.........'''''' xyxyxyxxx ==Donde:

.,.........'''0''',,.........'''0''' xyxyxyxxx ====

''',.......,''' xyxyxx ==


134/398

no pueden existir dos soluciones distintas para un mismo problema elstico!

PRINCIPIO DE SUPERPOSICION

z


135/398

y

x ESTADO 1 ESTADO 2

'x...............'xy..................

'x................ 'xy ...................

''x ...............''xy..................

''x................''xy...................

ESTADO 1+2

x = 'x +''x...............xy = 'xy +''xy ...............

x = 'x +''x ................ xy = 'xy +''xy ...............

EJEMPLO:


136/398

q q

SAINT VENANT(1797-1886)

PRINCIPIO DE SAINT-VENANT

F1 F2

F3

F4

F5

Supongamos un mismo slido sometido, en las mismasregiones, a dos sistemas de cargas mecnicamente

equivalentes:


137/398

Principio de Saint-Venant: los estados tenso-deformacionales producidos por ambossistemas de cargas en cualquier punto del slido suficientemente alejado de la zona en

la que se aplican ambos sistemas (a distancias muy grandes en relacin con las propiasdimensiones de la zona de la superficie sobre la que actan el sistema de cargas 1 el 2), son, a efectos prcticos, idnticos.

Md

F

ESTADOS TENSO - DEFORMACIONALES IDENTICOSSI M =F.d


138/398

CAPITULO 5

ELASTICIDAD PLANA

Supongamos el slido de la figura, que posee forma cilndrica con sus generatricesparalelas al eje z, y que se encuentra sometido a la accin de las cargas indicadas.El valor de dichas cargas es independiente de la coordenada z, as como sus

componentes en dicha direccin (fuerzas distribuidas y de superficie paralelas alplano x-y).

y


139/398

Las ecuaciones de la Elasticidad, y la correspondiente solucin del problema,

se pueden plantear utilizando, solamente, las coordenadas (x,y).

z

x

yxy

y


140/398

xx

y

xy

xy

xy

dx

dyx

Tensionesen el planox-y

v

x

u

x

=


141/398

x

v

y

u

y

v

xy

y

+

=

=

Deformaciones en el plano x-y


142/398

TENSIN PLANA: Slo son distintas de cero las componentes, en elPlano, del tensor de tensiones.

Componentes tensionales no nulas: xyyx ,,dAh

y

xy


143/398

Hiptesis:- h


144/398

Hiptesis:- w=0-Las dos caras del slido no sufrendesplazamientos segn z- Las fuerzas interiores por unidad de volumeny las aplicadas en el contorno perimetral delslido no dependen de la coordenada z- u,v son funciones de slo x e y

dA

x

y

z

x

xy

y

x

xy

xy

z

dA

1) Un estado tensional en el que la tensin normal y las tensionestangenciales actuantes sobre las caras de la pieza son nulas.

2) Si x-y es el plano del slido bidimensional, las nicas componentes del

TENSIN PLANA


145/398

tensor de tensiones no nulas son: x,y ,xy

3)Las componentes: z ,xz ,yz seran nulas

u = u(x,y)

v = v(x,y)

w 0

D[ ]=

x xy

2 0

xy2 y 0

0 0 z

T[ ]=x xy 0

xy y 0

0 0 0

Desplazamientos Tensor de deformaciones Tensor de tensiones

DEFORMACIN PLANA1) Un estado deformacional en el que la deformacin longitudinal y lasdeformaciones angulares correspondientes a un plano paralelo a la seccin

transversal de la pieza son nulas.

2) Si x-y es el plano de la seccin transversal de la pieza las nicascomponentes del tensor de deformaciones no nulas son: x , y , xy


146/398

p x y xy

3) Las componentes : z , xz , yz seran nulas.

u= u (x,y)

v= v (x,y)

w=0

T[ ]=x xy 0

xy y 0

0 0 z

Desplazamientos Tensor de deformaciones Tensor de tensiones

D[ ]=

x

xy

2 0

xy

2 y 0

0 0 0

DEFORMACIN PLANA:

Ecuaciones de equilibrio interno:

Ecuaciones de equilibrio en el contorno:

0=++yx

Xxyx

0=++yx

Y yxy

X = l x +m xy


147/398

Ecuaciones de compatibilidad:

Ecuaciones constitutivas:

x xy

Y = l xy + m y

2xy2+2yx2=2 xyxy

( )( )

( )yxzzzxyy

zyxx

EE

EE

EE

+++

10

1

1

( )yxz +

x =1

E1 2( )x 1+ ( )y[

y =1

E 1 2

( )y 1+ ( )x[

xy =xy

G

x + y( )= 1

1 Xx+Yy

TENSIN PLANA:

Las Ecuaciones de equilibrio interno y de equilibrio en el contorno son las mismasque en el caso de deformacin plana. Las Ecuaciones de compatibilidad son:

2xy2+

2yx2=

2 xyxy

2z 2= 0


148/398

Ecuaciones constitutivas:

y20

2zx2= 0

2zxy = 0

x =x y

E

y = y xE

xy =xy

G

Estas tres ecuacionesno se han utilizado.La ecuacin deducidaes slo aproximada.

x + y( )= 1 + ( )Xx+Yy

x + y( )= 1

1 Xx+Yy

X Y

TENSIN PLANA:

DEFORMACIN PLANA:


149/398

x + y( )= 1 + ( )X

x +

Y

y

Aspectos de inters:- Slo una propiedad del material interviene en estas ecuaciones (el coeficiente

de Poisson, )- Si la fuerza por unidad de volumen que acta sobre el slido fuese constante(por ejemplo, la de la gravedad), las dos ecuaciones anteriores se convertiranen la siguiente:

x + y( )= 0

Sir George Biddell Airy(1801-1892)

FUNCION DE TENSIN O DE AIRY

La funcin de tensin de Airy permite una fcil resolucin de los problemaselsticos bidimensionales. Una vez conocida esta funcin, que la representaremos

por(x,y) por ser funcin de estas dos coordenadas, pueden obtenerse lastensiones mediante un proceso de derivacin de la misma.


150/398

FUNCION DE TENSIN O DE AIRY

+ + =

xyxX 0

x y + + =

xy yY 0

x y

Ecuaciones de equilibrio interno (X e Y son valores constantes):

224

2

2

2

2

2

yxyxyx

xyyx

=

=

=

Derivando respecto de x

Derivando respecto de y


151/398

x =2y 2

y =2x2

xy = -2xy

- Xy - Yx

Si definimos una funcin (funcin de tensin o de Airy) de la que se pudiese obtenerlas tensiones actuantes en el slido, de tal manera que:

x + y( )= 0 2

x2+2

y 2

2y2+2x2

= 0

4

x4+ 2

4

x2y 2

+ 4

y 4= 0 2 = 0

para que estas tensiones fuesen la solucin de un problema plano, se tendra que cumplir:

La funcin debe ser biarmnica!

Baise Pascal(1623-1662)

FORMAS POLINMICAS DE LA FUNCIN DE AIRY

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1


152/398

1 No interesan:x y no dan lugar a tensiones

x 2 xy y2 Funciones

x

3

x

2

y xy

2

y

3

biarmnicasx4 x 3y x2 y2 xy 3 y 4 Funciones

x5 x4y x3y 2 x2 y3 xy4 y5 biarmnicas con solucionescondiciones

1 No interesan:x y no dan lugar a tensiones

x 2 xy y2 Funciones

x

3

x

2

y xy

2

y

3

biarmnicasx4 x 3y x2 y2 xy 3 y 4 Funciones

x5 x4y x3y 2 x2 y3 xy4 y5 biarmnicas con solucionescondicionesbiarmnicas con condiciones

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

= ax2 + bxy + cy2

y y

a 0 b=c=0 b 0 a=c=0

POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO

b

a2

c2

x

y

x

=

=

=


153/398

y

y

x

2c 2c

c 0 a=b=0

x

2a

2a

x

b

b

c2x =

POLINOMIO DE TERCER GRADO

= ax3 + bx2y + cxy2 + dy3

x=6dy+2cx

y = 6ax + 2by

xy = 2bx 2cy


154/398

x

y

x

y

x

y

+ x

y

00 === cbad 00 === dcba

00 === dcab

x

y

x

y

x

y

+ x

y

00 === cbad 00 === dcba

00 === dcab

xy y

POLINOMIO DE CUARTO GRADO

= ax4 + bx3y + cx2y 2 + dxy3 + ey4

2 =

4x4+ 2

4x2y 2

+4y4= 24a + 8c + 24e = 0


155/398

3a + c + 3e = 0 c = -3(a + e)POLINOMIO DE QUINTO GRADO

= ax5 + bx 4y + cx3y2 + dx 2y3 + exy 4 + fy 5

2 = 120a+ 24e + 24c( )x + 120f + 24b + 24d( )y = 0

5a + e + c = 0

5f+b + d = 0

CURVAS CARACTERISTICAS EN ELASTICIDAD PLANA

ISOSTTICAS Curvas envolventes de las tensiones principales

x

x

y

xy

xy

2

(x , xy)

El ngulo que forma la direccinprincipal mayor con el eje x ser:

tg 2 =2xy

=2 tg 1 tg

2


156/398

y

xy

(x , xy)

x y 1-tg

tg =yx

yx

2

+x y

2xy

yx1= 0

yx= x y

2xy

x y2xy

2

+1

Las dos familias de isostticas

Puntos singulares:

-Punto singular, circular o isotrpo

x = y xy = 0- Punto neutro

x = y = xy = 0


157/398

x y xy

En las proximidades de estos punto singulares, las isostticas puedentomar estas formas:

TIPO INTERSECTIVO

TIPO ASINTOTICO

120 MPa

60 MPa

x

y

60

A

B

C

D

50

cm

120 MPa

60 MPa

x

y

60

A

B

C

D

50

cm

60 MPa

x

y

60

A

B

C

D

50

cm

EJEMPLO:


158/398

50 cm50 cm50 cm

x

y

A

B C

D

9,5

Isostticas tipo II

Isostticas tipo I

x

y

A

B C

D

9,5

Isostticas tipo II

Isostticas tipo I

ISOCLINAS: Lugar geomtrico de los puntos en los que lastensiones principales son paralelas a una direccin prefijada,y que se denomina parmetro de la isoclina.

tg 2 =2xy

= cte


159/398

x

y

ISOSTATICAISOCLINA DE

PARAMETRO

Las propiedades de las isoclinas son las siguientes:- Todas las isoclinas pasan por un punto isotrpo.- Slo puede pasar una isoclina por un punto que no sea isotrpo.- Una isoclina de parmetro es idntica a otra de parmetro- Si un slido tiene un eje de simetra, y est simtricamente cargado respecto

a dicho eje, el eje de simetra es una isoclina.- En un borde sobre el que no actan tensiones tangenciales, el parmetro de

una isoclina que lo corta, coincide con el del ngulo de inclinacin de latangente al borde en el punto de corte.

2

CURVAS DE TENSION TANGENCIAL MAXIMA: envolventes de lasdirecciones en las que la tensin tangencial es mxima en cada uno desus puntos.

xx

y

xy

(x , xy)


160/398

y

xy 2

(x , xy)

tg 2 = x y

2xy=

2tg 1- tg2

,, tg =yx

yx

2

4xyx y

yx 1= 0

yx=

2xyx y

2xyx y

2

+ 1

dos familias

ISOCROMTICAS: aquellas curvas en las que la diferencia entrelos valores de las tensiones principales toma un determinadovalor: 1 - 2 = cte

max =1 - 2

2


161/398

ISOBARAS: lugar geomtrico de los puntos en los que: 1 = cte 2 = cte

x y2

x y

2

2

+ xy2

= cte

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADASPOLARES

El punto elstico en coordenadas polares:

xy

y

x

xyxy

yy

xxCoordenadas


162/398

r

y

x

x

y

xyxx

yy

xyxy

r

r

r

r

r

r

r

r

cartesianas

Coordenadaspolares

r: tensin radial: tensin circunferencialr: tensin tangencial o cortante

r

y

v , f u , fr

DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS POR UNIDAD DE VOLUMEN:

u = u (r,)v = v (r,)

Campo de desplazamientos:

Fuerzas internas por unidad de volumen:


163/398

xo

fr = fr (r,)fq= fq (r,)

TENSIONES EN UN PUNTO ELASTICO

x

TENSOR DE TENSIONES

z

r

rr

00

0

0

Tensin plana: z=0Deformacin plana z=0

Se sigue verificandoel teorema de reciprocidad

de las tensionestangenciales:

rr =

r r

ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO:

dr

r

+

drrr

r +

r


164/398

( ) 02

2 =+

++

++ drrdf

ddrdrddrddrrdr

rrd r

rrr

rrr

( ) 02

2 =+++

++

++ drrdfdr

dddrrdr

rrddrddr r

rrr

Segn r:

Segn :

r

rr +1rr +

r r+ fr = 0

1 r r

ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO (Cont.):


165/398

r + r + 2 r + f = 0

DEFORMACIONES:


166/398

r =ur

= 1rv +

ur

r =vr+

1

r

u

v

r

r =PA PA

PA=

dr+ u +ur

dr u

dr

dr=ur

=PB PB

PB=

v +vd + rd v

rd

rd+

u

r=

1

r

v+

u

r

r = 1 +2 =

vr

drv

rdr

dr+

u

d

rd

ECUACIONES CONSTITUTIVAS:

( )E

zr

r

++

-

E-

( )

+=

=

rz

z

E

0Tensin plana:


167/398

( )G

E

rr

z

=

rE

0z

rz

=

+=

Deformacin plana:

rz = z = 0

rz = z = 0

I1r = r + + z = cte

D.P. Z = r+ ( )T.P. Z = 0 r+ = cte

PLANTEAMIENTO DE UN PROBLEMA ELSTICO:

x + y = r+


168/398

y

( )+=+ ryxDEFORMACIN PLANA:

( )

r

ff

rr

ffdiv

rrrr

fdiv

rrv

vr

++

=

+

+

=

=+

1

11

1

1

2

2

22

2

r

r

r + ( )= 0

fr = 0f= cte.

TENSIN PLANA:

r + ( )= (1 + ) divfv

r + ( )= 0

FUNCIN DE TENSIN O DE AIRY

= (r,)=

r =1

+12

22


169/398

rr r =

2r2

r =1

r2 1

r2r

= r

1

r

2 = 2

r2+ 1

rr+ 1

r2

2

2

2

r2+ 1

rr+ 1

r2

2

2

= 0

++++++++= 11

3

11

0

2

0

2

0

2

00 cosln1

senlnln rrdcrbra

erdrrcrbra

EXPRESIN GENERAL DE LA FUNCIN DE TENSINO DE AIRY:


170/398

=

+

=

+

++++

+

++++

+++

2 2

2

22

2

11

3

11

sen11

cos11

senln1

cos2

2

n nnnn

n

n

n

n

nnnnn

n

n

n

n

nr

hr

grfre

nr

dr

crbrarrgr

frerc

r

DISCO GIRATORIO

rfr2=

r r f 0

Ecuacin de equilibrio interno:


171/398

r+ r + fr= 0

( ) 0rrdr

d 22r =+

r r = F

=dF

dr+ 2r2

r = C +C11

r2

3 + 8

2r2

= C C11

r2

1 + 38

2r2

DISCO MACIZO SIN TENSIONES SOBRE SU CONTORNO

r =3 +

8

2 (R2 r2 )

=3 +

82R2

1 + 38

2 r2r= 0, ( r)max = ( )max =

3 + 8

2

R

2

DISCO CON UN AGUJERO DE RADIO a


172/398

( r) r=a = 0 ( r)r=R = 0

r =3 +

82 R2 + a2

a2 R2

r2 r2

=3 +

82 R2 + a2

a2 R2

r2

1+ 33+

r2

( r)max r= aR ( r)max =3+

82 R a( )2

( )max r= a ( )max =

3+ 4

2

b2

+

1 3+ a

2

( )max > ( r)max

Si a 0 ( )max 2( )maxdisco macizo

a

TUBO CIRCULAR SOMETIDO A PRESION

p2

p1

= r( )= A ln r+ B r2 ln r+ C r2 +D


173/398

rr1

r2 r =1

r22 r1

2r1

2p1 r22p2 +

r12 r2

2

r2p2 p1( )

=1

r22 r1

2 r12p1 r2

2p2

r12r22

r2 p2 p1( )

r

= 0

0 0 0

AGUJ ERO EN MACIZO INDEFINIDO RODILLO

TUDO DE PARED DELGADA


174/398

r2 = p2 = 0

r = = r1

2

r2p1

r1 = 0 p1 = 0

r = = p2 (estado equitensional)

( ) ( )

( )

0

2

21

12122

12

2

22

2

2

1

==

=

=+=

rr

e

rpp

errrrrrr

rrr

CUA CON CARGA EN LA PUNTA

= N + P + M

N = A r sen

P = B r cos

1

FUNCIN DE AIRY:


175/398

M = C1

2sen2 cos2

r =1

r

r+

1

r222= 2A

cosr 2B

senr 2C

sen2r2

=2r2 = 0

r = r

1

r

=

c

r2 cos2 cos2( )

= r = 0 = 0

CAMPO TENSIONAL:

CONDICIONES DE CONTORNO:

N = (rcos

r sen) r d

P = (rsen

r cos) r d

M = r r2

d

A =N

2 + sen2

B =-P

2 sen2

C = Msen2 - 2 cos2

CILINDRO SOMETIDO A DOS CARGASA LO LARGO DE GENERATRICES OPUESTAS(PROBLEMA DE HERTZ)

HeinrichRudolfHERTZ

(1857-1894)


176/398

x = 2P

cos1 sen

21r1

+cos2 sen

22r2

1

D

y = 2P

cos31

r1+

cos3 2

r2

1

D

xy = 2P

cos

22 sen2r2

+cos

21 sen1r1

PLACA INDEFINIDA CON UN TALADRO CIRCULAR

En puntos muy alejados del agujero

(Principio de Saint-Venant):

x

yxy


177/398

00 === xyytx

x

r

r r =

t2+ t2

cos2

=

t2

t2 cos2

r = t2+ sen2

r

r

r

2t

r = t

2+ t

2cos2

= t2 t2

cos2

r

= t2+ sen2


178/398

Del Estado I (tubo sometido a presiones) conocemos su solucin:

rI =t2

1R2

r2

I = t2

1+R2

r2

rI = 0


179/398

La solucin Estado II es algo ms complicada. La funcin de Airy de esteproblema se conoce y de ella pueden obtenerse las tensiones:

= Ar2

+Br4

+

C

r2 + D cos2

rII =

1

r

r+

1

r222= 2A +

6C

r4+

4D

r2

cos2

II =

2

r2= 2A + 12Br2 + 6C

r4

cos2

rII =

r

1

r

= 2A + 6Br2

6C

r4

2D

2

sen2

= I + II

= Ar2 +Br4 +C

r2+ D

cos2

rII = 1r r +1r2

2

2 = 2A + 6Cr4 +

4Dr2

cos2

rI = t21 R

2

2


180/398

r = r+ r

= I +

II

r = rI + r

II

Las constantes A, B, C y D se determinan imponiendo las siguientescondiciones de contorno:

rr r2 2 r4 r2

II =2r2= 2A + 12Br2 +

6C

r4

cos2

rII =

r

1

r

= 2A + 6Br2

6C

r4

2D

2

sen2

2 r2

I = t2

1+R2

r2

rI = 0

r= R r= 0 r = 0r= r = t r = 0

( )

( )

( )

+

=

+

+

=

+

+

=

2senr

R2

r

R31

2

2cos

r

R31

2r

R1

2

2cosr

R4

r

R31

2r

R1

2

2

2

4

4t

r

4

4t

2

2t

2

2

4

4t

2

2t

r


181/398

r = 0

= t 2 t cos2

r = 0

Para r=R: ( )max = 3 t cuando =2

Para : = 2 r =

3 t2

R2

r2

R4

r4

= t2

2 +R2

r2 + 3

R4

r4

r = 0

2cos4312

12 2

2

4

4

2

2

++

=

r

R

r

R

r

R tt

r

( )

( )

+

+=

+

+

=

2cosrR31

2rR1

2

2cosr

R4

r

R31

2r

R1

2

4

4

t2

2

t

2

2

4

4t

2

2t

r


182/398

2sen2312

2cos312

12

2

2

4

4

4

4

2

2

+=

+

+=

r

R

r

R

r

R

r

R

t

r

tt

( )

( )

+

=

2senr

R2

r

R31

2

r2r2

2

2

4

4t

r

r = t 1 +3R4

r4 4

R2

r2

cos2

= - t 1+ 3 R4

r4

cos2

r = t 1- 3R4

r4+ 2

R2

r2

sen2

c=

c=

PLACA INDEFINIDA CON UN TALADRO SOMETIDAA TENSIONES CORTANTE EN SU CONTORNO:


183/398

c=c=

PLACA PLANA INDEFINIDA CON UN TALADRO ELPTICO

2bA

B

t

t

2b

A

B

t

t

A

B

t

t

( )( ) tB

tA b

a

=

+= 21


184/398

2a

t

2a

t

2a

t

A

2a

t

t

A

2a

t

tSi b 0 (el taladro elptico se convierte en una fisura):

( ) A

CAPTULO 6


185/398

TEOREMAS ENERGTICOS

LA ENERGA ELSTICA EXPRESADA EN FUNCIN DELAS CARGAS APLICADAS

Hasta ahora, habamos utilizado la siguiente expresin de la densidadde energa elstica:

( )xzxzyzyzxyxyzzyyxx +++++=

2

1


186/398

Que, integrada a lo largo de todo el slido, nos proporcionaba la energaelstica almacenada por ste.

Podramos expresar dicha energa en funcin de las cargasaplicadas al slido o en funcin de los desplazamientos queen l se producen?

( )2

Supongamos que las cargas aplicadas al slido crecen,progresivamente, desde cero hasta su valor final de una

manera continua. En ese caso, el trabajo W realizadopor todas las cargas que actan sobre el slido quedaraalmacenado como energa elstica de deformacin U enel slido y, por tanto:


187/398

WU=

El trabajo realizado por las cargas exteriores aplicadas a un slido es lamitad de la suma del producto de dichas cargas por los desplazamientosde sus puntos de aplicacin (en las direccin de las mismas, por supuesto).

=

=n

1i

ii dF

2

1W

Fi

i

ir


188/398

Si entre las cargas aplicadas existiera algn momento,bastara con tener en cuenta que:

- donde se dijera fuerza se debera decir momento- donde se dijera desplazamiento se debera decir giro- donde se expresara trabajo (W=Fd, en el caso de fuerzas)se debera escribir W=M.

di

Geometra sin deformar

Geometra deformada

2

F1

F2 1

21

F1

F2 1

d12

d2


189/398

2

d

P

W=1/2 P.d

EJEMPLOS:


190/398

M

W=1/2 M.

ENERGA ELSTICA ALMACENADA POR UNA BARRA A TRACCIN

F

x

ooxFW21=

F


191/398

AE

LFFdUW

AE

FLL

ELd

A

F

22

1 2===

===

=

F

d

A

L

COEFICIENTES DE INFLUENCIA

Fi

Fi

Fi

iFr

jFr

Consideremos dos puntos i yj del slidosobre los que actan, respectivamente, lascargas:

r


192/398

i

ii

ji

j

Fj

i

ii

ii

ji

ji

j

Fj

iir

ji

r

Representemos por los vectoresdesplazamientos, de manera tal que:

= vector desplazamiento del punto icuando slo acta la carga:

= vector desplazamiento del puntoj

cuando slo acta la carga:

iFr

iFr

Si sobre el slido acta un sistema de cargas:

en los puntos: 1,2,n, el vector desplazamiento total en el punto i ser:

nFFFrrr

,......, 21

ir

iniii rrrr

+++= ........21F

i

i

Fi

i ijd = coeficiente de influencia: proyeccin deldesplazamiento que experimenta el punto


193/398

jd ij

1

jd ij

1

desplazamiento que experimenta el puntoi , sobre la recta de accin de cuando seaplica una carga unidad en el puntoj con lamisma direccin y sentido que

iFr

jFr

id = proyeccin del vector desplazamiento del punto i, segn la direccin dela fuerza cuando actan todas las cargas

iFr

niniii FdFdFdd +++= ........2211

FRMULAS DE CLAPEYRON EmileCLAPEYRON(1799-1864)

== =

n

iii dFWU

12

1

niniii FdFdFdd +++= ........2211Como:

n n

1


194/398

ji

i

ij

j

FFdWU = =

==

1 12

1

Cabe otra expresin alternativa a la anterior si consideramos que, del sistemade n ecuaciones: despejramos las fuerzas:

niniii FdFdFdd +++= ........2211

njnjjj dkdkdkF +++= ........2211

==== = =

n

j

n

j

n

mmjjmjj ddkdFWU

1 1 12

1

2

1

PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALESJ ean Baptiste Le Rond

DALEMBERT(1717-1783)

Se denomina desplazamiento virtual de un punto a undesplazamiento arbitrario, concebido matemticamente

y que no tiene lugar en la realidad, pero que es geomtricay fsicamente posible.El sistema al que se aplica este Principio debe encontrarseen equilibrio

Caso de una partcula puntual


195/398

x

y

zP

F1

F2

F3

PF1

F2F3

x

y

zP

F1

F2

F3

PF1

F2F3

r

= desplazamiento virtual

kji

kRjRiRFFFR

zyx

zyxr

rrr

rrrrrrr

++=

++=++= 321

1 2 3T F F F R 0

como R 0, T 0

= + + = =

= =

r r r r r r r r

rr r

Caso de un slido rgido

F1

F i1 Fi2 Fi3

Fini

..

F1

F i1 Fi2 Fi3

Fin

i

..

iFr

= fuerza exterior aplicada al slido en el punto i

ijFr

= fuerza interior que ejerce el puntoj sobre el i

kRjRiRR zyxr

rrr

++=


196/398

kMjMiMM zyxOr

rrr

++=

kzjyixrr

rrr

++=kji zyx

rrrr

++=

r

r

rr

r

r

,0 rMMMzRyRxRMrRT zzyyxxzyxOext =+++++=+=

00,0 ====== xzyx Rzyx

0

0

===

===

zyx

zyx

MMM

RRR

.

W

A

B

x

x

yBG

F?

NB

.

W

A

B

x

x

yBG

F?

NB

EJ EMPLO

.

A

B

G.yG

yB

.

A

B

G.yG

yB


197/398

y

xA

NA y

xA

NAxAxA

( ) ( ) 22222 Lyyxxyx BBAABA =++=+

AB

ABGA

B

AB x

y

xyyx

y

xy

2

1

2===

B

AA

B

AAGAext

y

xWFx

y

xWxFyWxFT

22

10 ====

Caso de un slido deformable


198/398

Caso de un slido deformable

QFr

r

22 u,Fr

r

33 u,Fr

r

u5

[ ]T

iFrConsideremos un slido en equilibrio bajo la accin de un sistema de

cargas , como se muestra en la figura. En cualquier punto genrico(Q) del slido, el tensor de tensiones verificar las ecuaciones deequilibrio interno. Sean los desplazamientos de los puntos del slido.

iur

iFr

iur

Sistema de fuerzas reales:

Sistema de desplazamientos reales:


199/398

Slido elstico en equilibrio bajo la accin de unsistema de fuerzas y unas ligaduras

Q11 u,Fr

44 u,Fr

r

u6u7

[ ]

QFr

iFr

Sometamos al slido anterior a un segundo sistema de fuerzas virtualescomo se muestra en la figura. Sean los desplazamientos virtuales de lospuntos del slido, los cuales no violan las condiciones de contorno del slido.

iur

2ur

33 u,Fr

r

F5

ijij

ij

ijSistema de tensiones virtuales:

Sistema de deformaciones virtuales:


200/398

Q11 u,Fr

4ur

F6 F7

Slido elstico en equilibrio bajo la accin de unsistema de fuerzas virtuales

= iiExt uFTr

r

Trabajo realizado por las fuerzas exteriores reales:

= ijij dVU

Energa interna virtual almacenada en el slido:


201/398

v

UTExt

=

Se puede demostrar que, estos dos trabajos virtualesson iguales:

Lgicamente, si el cuerpo considerado fuese un slido rgido:

0== UTExt

x

y

z f

fV

[T], [D]

d

x

y

z f

fV

[T], [D]

u

kji zyxr

rrr

++=

Campo de desplazamientos virtuales(fsicamente posibles) impuestos al slido:

De una manera ms formalista.


202/398

( )dVolU

dfdVolfT

Vyzyzxzxzxyxyzzyyxx

VVExt

+++++=

+=

rrrr

se llega a:

UTExt =

dfdVolfV V =+

rrrr

Trabajo virtual realizado por las fuerzas reales (por unidad de volumeny en el contorno) aplicadas al slido cuando se le imponen losdesplazamientos virtuales


203/398

( )dVol

V yzyzxzxzxyxyzzyyxx

+++++=

Trabajo virtual de las tensiones internas caso de que el slido sufriera

el campo de desplazamientos virtuales supuesto (las componentes detensin son las que, realmente, existen dentro del slido, mientrasque las componentes de deformacin que aparecen se deducendel campo de desplazamientos virtuales)

,

TEOREMA DE RECIPROCIDAD DE MAXWELL-BETTI J ames ClerkMAXWELL(1831-1879)

SISTEMA I SISTEMA II

Fi

Pi

Gj

Qj

SISTEMA I SISTEMA II

Fi

Pi

Gj

Qj

En un slido elstico, el trabajo realizado por un sistema de cargas para losdesplazamientos resultantes de aplicar otro sistema de cargas distinto esid ti l t b j li d l i t d l d l i t

{ }Fr

Gr

Gr


204/398

idntico al trabajo realizado por el sistema de cargas para los desplazamientosresultantes de aplicar el sistema de cargas .{ }F

r

G

qMdF =F

Q1P1

qj=q

di=d Q1

P1

qj=q

di=dM

FQ1

P1

qj=q

di=d

FQ1

P1

qj=q

di=d Q1

P1

qj=q

di=dM

Q1

P1

qj=q

di=dM

Sistema I Sistema IIjiij dd =

Una barra de longitud L se encuentra empotrada en su extremo B y sometida, deforma independiente, a dos sistemas de cargas diferentes (Sistema 1 y Sistema 2), talcomo se representa en la figura. Cuando acta el sistema de cargas 1, las flechas(desplazamientos verticales, y) que experimentan los puntos de la barra vienen dados

por la ecuacin (referida al sistema de ejes de la figura): ( ) ( )xLxLCFy += 22 , donde C

es una constante conocida. Determinar la flecha del punto A cuando acta sobre la barrael sistema de cargas 2.

F Sistema 1F

Sistema 2

BF Sistema 1

F

Sistema 2

B

EJEMPLO DE APLICACIN DEL TEOREMA DE RECIPROCIDAD


205/398

x

y L

F

L/2

AB A

B

L/2

x

y L

F

L/2

AB A

B

L/2

Sistema 1: flecha en el punto medio:C

FLf

I

8

5 3=

Teorema de reciprocidad:C

FLf

C

FLFfFfF IIA

III

A8

5

8

5 33===

TEOREMAS DE CASTIGLIANO

PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO:Carlo Alberto

CASTIGLIANO(1847-1884)

nmmnjiij ddkFFdU 21

21 ==

==

ijij dFdF

U


206/398

La derivada de la energa elstica respecto de una de lascargas aplicadas al slido es igual a la proyeccin deldesplazamiento del punto de aplicacin de la cargaconsiderada segn la direccin de la misma

ijij

iF

==

mnmn

m

Fdkd

U

SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO:


207/398

La derivada de la energa elstica de un slido respecto del

desplazamiento en uno de los puntos en los que acta unafuerza, proporciona la componente de dicha fuerza segn ladireccin del desplazamiento considerado

Sabiendo que la energa elstica almacenada en la viga de la figura toma el valor:

determinar el valor de la carga aplicada en la seccin 1.

[ ]221221 0047605110302

ddddEI

U ,,, +=

F1=P F2=2P

EJEMPLO DE APLICACIN DEL SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO

7/28/2019 Elasticidad y

elasticidad y resistencia de materiales i

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