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I

TEORÍA DE LA ELASTICIDAD

INTRODUCCIÓN A LA ELASTICIDAD

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OBJETIVOS

• Establecer, con claridad, el concepto de sólido deformable y, en particular, elde sólido elástico (Tema 1).

• Conocer los distintos tipos de sólido que, en cuanto a su geometría, se consi-deran en la Teoría de la Elasticidad y en la Resistencia de Materiales y defi-nir las distintas formas de trabajo de los mismos (Tema 1).

• Definir el concepto de tensión o esfuerzo interno por unidad de superficie enun sólido cargado (Tema 2).

• Estudiar cómo varía y cómo se representa el vector tensión en los distintospuntos de un sólido elástico (Tema 2).

• Conocer y representar desplazamientos y deformaciones en los puntos de unsólido elástico cargado, estableciendo los límites que deben tener uno y otras,de acuerdo con las hipótesis establecidas para el estudio de los sólidos defor-mables (Tema 3).s

• Estudio de las relaciones existentes entre los estados de tensión y deforma-ción, describiendo los ensayos de laboratorio que permiten establecerlas porvía experimental (Tema 4).

ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES I

26

• Establecer, con claridad, el concepto de sólido deformable y, en particu-lar, el de sólido elástico (tema 1).

• Conocer los distintos tipos de sólido que, en cuanto a su geometría, seconsideran en la Teoría de la elasticidad y en la resistencia de materiales ydefinir las distintas formas de trabajo de los mismos (tema 1).

• Definir el concepto de tensión o esfuerzo interno por unidad de superfi-cie en un sólido cargado (tema 2).

• Estudiar cómo varía y cómo se representa el vector tensión en los distin-tos puntos de un sólido elástico (tema 2).

• Conocer y representar desplazamientos y deformaciones en los puntos deun sólido elástico cargado, estableciendo los límites que deben tener unosy otras, de acuerdo con las hipótesis establecidas para el estudio de lossólidos deformables (tema 3).

• Estudio de las relaciones existentes entre los estados de tensión y defor-mación, describiendo los ensayos de laboratorio que permiten estable-cerlas por vía experimental (tema 4).

Tema I

Introducción a la elasticidad

1.1. Objeto de la Teoría de la Elasticidad y de la Resistenciade Materiales

1.2. Sólidos elásticos

1.3. Formas constructivas

1.4. Condiciones de equilibrio

1.5. Formas de trabajo en las secciones de un prismamecánico


27


28

1.1. OBJETO DE LA TEORÍA DE LA ELASTICIDADY DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES

El objeto, tanto de la Teoría de la Elasticidad como de la Resistencia deMateriales, es, en términos generales, el siguiente: Dado un sólido, de formacualquiera, en equilibrio, sometido a una solicitación exterior, determinar,en cada punto del mismo, los valores de los esfuerzos internos originados,así como los desplazamientos producidos.

La solicitación exterior a la que hacemos referencia puede ser de variostipos: mecánica, térmica o reológica (diferida en el tiempo), por citar sólolas más frecuentes. En lo que sigue y para mayor sencillez, consideraremos,por lo general, que el sólido está sometido a acciones mecánicas (fuerzas ypares), así como a las correspondientes reacciones que hacen posible suequilibrio. Esta suposición no resta generalidad a la resolución de los pro-blemas elásticos.

El problema que se presenta en un sólido sometido a una solicitaciónexterior y a uniones o vínculos con otros sólidos (figura 1.1) se traduce enque el mismo experimenta un estado dedeformación que hace que varíen las dis-tancias entre las partículas que lo constitu-yen (estén dispuestas o no según los ele-mentos de una red cristalina), lo queorigina una modificación de las fuerzasinternas de cohesión molecular que, porunidad de superficie, llamaremos estadotensional. Tanto la Teoría de la Elasticidadcomo la Resistencia de Materiales tienencomo objetivo relacionar la solicitaciónexterior con los valores de las tensiones yde los desplazamientos de los puntos del

29

Figura 1.1.

sólido, de forma que unas y otros no sobrepasen valores prefijados en aten-ción a criterios de seguridad, lo que conduce a dimensionar adecuadamen-te el sólido o a comprobar las condiciones de seguridad cuando éste estátotalmente definido en cuanto a su geometría.

La Elasticidad y la Resistencia de Materiales pueden considerarsecomo enfoques parciales de una ciencia más amplia que podemos deno-minar «Mecánica del sólido deformable», utilizando aquélla criterios másgenerales y métodos principalmente matemáticos, mientras que enResistencia de Materiales se hacen diversas hipótesis simplificativas. Encualquier caso, es necesario, antes de seguir adelante, definir qué seentiende por sólido deformable.

1.2. SÓLIDOS ELÁSTICOS

Para el estudio de los sólidos que se realiza en la Teoría de la Elasticidadse parte inicialmente de los postulados de la Mecánica, así como de las pro-piedades de los materiales (que se conocen experimentalmente) y de hipó-tesis referentes a las deformaciones de los sólidos. Ya que en Mecánica seconsidera que los sólidos son indeformables es necesario establecer lassiguientes categorías de los mismos

a) Sólido rígido

b) Sólido deformable

c) Sólido real

a) Sólido rígido: Se define como tal aquél en el que las distancias entresus partículas no varía, sea cual sea la solicitación a la que esté sometido.Este es el tipo de sólidos que considera la Mecánica y su consideración deja-ría sin objetivo tanto a la Elasticidad como a la Resistencia de Materiales. Sinembargo, tal suposición conduce a dos consecuencias erróneas:

1. No es posible la rotura de tal sólido, supuesto en equilibrio, lo queestá en contradicción con la realidad ya que para grandes valores delas cargas los sólidos se deforman y rompen.

2. No existe solución a los problemas hiperestáticos, entendiendo portales, en primera aproximación, aquéllos en que hay exceso de vínculoso uniones del sólido con otros sólidos.


30

b) Sólido deformable: Es aquél que ante una solicitación exterior sedeforma recuperando total o parcialmente su forma primitiva al desapare-cer dicha solicitación.

Se considera que los sólidos deformables cumplen las siguientes hipótesis:

1. Continuidad, lo que significa que no hay huecos entre sus partículas.

2. Homogeneidad, de forma que cualquier parte del sólido tiene las mis-mas propiedades que el mismo, en su conjunto o a nivel infinitesimal.

3. Isotropía, lo que quiere decir que sus propiedades son las mismas ovarían por igual en cualquier dirección considerada.

Si además se cumple la propiedad de elasticidad, por la que se admiteque el sólido recupera totalmente su forma primitiva al desaparecer la soli-citación exterior, el sólido deformable recibe el nombre de sólido elástico.La Resistencia de Materiales estudia, en general, los sólidos deformables,mientras que la Teoría de la Elasticidad considera solamente los sólidoselásticos, admitiéndose en la mayor parte de los problemas que las defor-maciones, ya sean elásticas o permanentes son muy pequeñas frente a lasdimensiones del sólido:

c) Sólido real: Es aquel sólido deformable en el que no se cumplen lashipótesis de continuidad, homogeneidad e isotropía. También recibe elnombre de sólido natural o verdadero.

En el estudio y desarrollo de la Teoría de la Elasticidad consideraremosque los materiales que constituyen los sólidos considerados permiten suponerque éstos tienen comportamiento elástico, al menos a nivel macroscópico.

1.3. FORMAS CONSTRUCTIVAS

Aunque la Teoría de la Elasticidad puede abordar el estudio de cual-quier tipo de sólido sometido a una determinada solicitación, en las apli-caciones prácticas la forma de los sólidos se reduce principalmente a losdos tipos que seguidamente detallamos: sólido tipo barra y sólido tipobóveda.

a) Barra: Definimos como barra o prisma mecánico un sólido en queuna de sus dimensiones, la longitud, es mucho mayor que las otras, conte-


31

nidas en su sección transversal (figura 1.2.) Tal definición equivale, geomé-tricamente a la siguiente: Una barra es el sólido engendrado por un áreaplana S, cuyo centro de gravedad describe una curva c, manteniéndose nor-mal a la misma. El área S recibe el nombre de sección transversal de labarra y puede variar a lo largo de su longitud.

La curva c recibe el nombre de eje o directriz de la barra o prisma mecá-nico; éste será alabeado, plano o recto si la directriz es alabeada, plana orecta.

En las aplicaciones constructivas, tanto en edificación como enmaquinaria, las barras no son alabeadas sino que están contenidas en unplano que es plano de simetría de las mismas. Ejemplos de sólidos tipobarra son las vigas y pilares, en edificación y los ejes de transmisión, enmaquinaria.

b) Bóveda: Corresponden a este tipo de sólidos los cuerpos en los queuna dimensión, el espesor, es mucho menor que las otras dos. Ejemplo deeste tipo de sólidos son las placas, bóvedas y cúpulas, en edificación y lascarcasas de todo tipo en máquinas y motores.

1.4. CONDICIONES DE EQUILIBRIO

Como es conocido, un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando todossus puntos se mueven con velocidad uniforme; si esta velocidad es nula sedice que el cuerpo está en reposo.


32

y

z

z

y

x co

S

S

S

Figura 1.2.

Las condiciones de equilibrio de un sólido sometido a una serie de car-gas son que la resultante de las mismas, , y el momento resultante, res-pecto de un punto cualquiera, , sean nulas, es decir:

[1.1]

Cuando las cargas están contenidas en un plano (por ejemplo el planox- y) las seis ecuaciones anteriores se reducen a tres:

[1.2]

Estas condiciones, necesarias y suficientes para los sólidos rígidos queestudia la Mecánica, son insuficientes para los sólidos deformables consi-derados en Elasticidad y en Resistencia de Materiales, puesto que en estosúltimos debe existir, además, equilibrio entre las cargas exteriores y losesfuerzos internos o tensiones, como, por ejemplo, las que actúan sobre lasuperficie S, sustituyendo a la parte B del prisma mecánico representado enla Figura 1.3, suponiendo se corte el mismo por dicha sección, conservan-do la parte A.

Por tanto, en los sólidos deformables deben cumplirse tanto las condi-ciones generales de equilibrio (equilibrio estático) como las que corres-ponden al proceso de deformación al que han sido sometidos (equilibrioelástico).

Si el cuerpo en estudio no cumpliese las condiciones [1.1] o [1.2], es decir,si no está en equilibrio, se introducen convencionalmente las fuerzas de iner-cia para restituir el mismo, de acuerdo con el principio de D’Alembert.

1.5. FORMAS DE TRABAJO EN LAS SECCIONES DE UNA BARRAPRISMÁTICA

Consideraremos la barra prismática representada en la figura 1.3,donde hemos considerado que la sección ideal S divide la barra en dos par-tes A y B.

R ; R ; R

M

x y z

x

= = =

=

∑ ∑∑0 0 0

0 ; M ; My z= =∑∑∑ 0 0

rM

rR

R ; R ; Mx y z= = =∑ ∑∑0 0 0


33

En la sección S hemos considerado un sistema de ejes coordenados,cuyo origen es el centro de gravedad de la sección, O; el eje Ox es tangenteal eje o directriz de la barra, estando contenidos los ejes Oy y Oz en el planode la sección (habitualmente coincidirán con los ejes principales de inerciade la sección).

Estudiamos el equilibrio de la parte A de la barra cuando se suprime laparte B de la misma sustituyéndola por la resultante, y el momento resul-tante de las fuerzas aplicadas y reacciones que actúan en dicha parte Bfigura 1.4.

rM

rR


34

y

z

z

y

x

F4

o

S

BA

F5F3

F1

F2

y

z

z

y

xo

S

R

F3

F1

F2

M

A

Figura 1.4.

Figura 1.3.

Ya que tanto la resultante como el momento resultante tienen, engeneral, componentes según los tres ejes coordenados, pueden existir hastaseis solicitaciones distintas sobre la sección S. Haciendo sucesivamente dis-tintas de cero las componentes de la resultante y del momento resultanteobtenemos, en principio, seis formas distintas de trabajo que, como vere-mos, se reducen a cuatro.

1.º) [Figura 1.5] [1.3]

En este caso el prisma mecánico está sometido, en la sección S a esfuer-zo longitudinal N que será de tracción cuando tienda a separar dicha sec-ción de la infinitamente próxima y de compresión en caso contrario. Comoveremos más adelante el esfuerzo longitudinal origina tensiones normalesσ y deformaciones longitudinales ε.

2.o) [Figura 1.6] [1.4]

En este caso se dice que la pieza, en la sección considerada está someti-da a esfuerzo cortante dirigido según el eje y: en esa dirección tiende a des-lizarse (cortarse) la sección S respecto de la infinitamente próxima.

3.o) [Figura 1.7] [1.5]

Análogamente al caso anterior, puede decirse que la solicitación es deesfuerzo cortante en la dirección del eje z.

r rM 0 ; R C k= = z

r rM 0 ; R C j= = y

rR

rM

r rM 0 ; R Ni= =


35

y

z

z

y

xo

S

F3

F1

F2

NA

Figura 1.5.

Las solicitaciones 2.a y 3.a son, en realidad, casos particulares del másgeneral:

[1.6]

representado en la figura 1.8. El prisma mecánico está sometido a esfuerzocortante en el plano yz. Las tensiones originadas son tensiones tangencia-les o cortantes, τ, y las deformaciones unitarias son deformaciones angula-res γ.

4.o) [Figura 1.9] [1.7]

En este caso la pieza está sometida, en su sección S, a momentor torsor MT.Esta solicitación produce tensiones cortantes τ y defomaciones angulares γ.

5.o) [Figura 1.10] [1.8]r r rR ; M M j= =0 y

r rR 0 ; M M iT= =

r rM ; R C j C ky z= = +0


36

y

z

z

y

xo

S

F3

F1

F2

A

Cy

y

z

z

y

x

o

S

F3

F1

F2

A

Cz

y

z

z

y

x

o

S

F3

F1

F2

ACz

Cy

R

Figura 1.6. Figura 1.7. Figura 1.8.

y

z

z

y

xo

S

MTA

F1

F3

F2

Figura 1.9.

La barra está sometida, en la sección S a flexión alrededor del eje y.

6.o) (Figura 1.11] [1.9]

Análogamente se dice que, en la sección S, la barra está sometida a fle-xión alrededor del eje z. Como vimos al considerar los casos 2.o y 3.o, las soli-citaciones 5.a y 6.a son un caso particular del más general:

[1.10]

Se trata de momento flector según una dirección contenida en el planoyz y se representa en la figura 1.12.

El momento flector origina tensiones normales σ y deformaciones lon-gitudinales ε.

Por tanto, puede hablarse de cuatro solicitaciones distintas en una sec-ción de un prisma mecánico: esfuerzo longitudinal, esfuerzo cortante,momento torsor y momento flector. Lo habitual es que se presenten a la vezvarias de estas solicitaciones simples.

El estudio de las tensiones internas y las deformaciones correspondien-tes a las distintas formas de solicitación es objetivo fundamental, comoveremos, de la Resistencia de Materiales. En la Teoría de la Elasticidad, porel momento, nos referiremos a las tensiones en los puntos de una secciónde un sólido elástico llamándolas tensiones normales (perpendiculares alplano de la sección) y cortantes (contenidas en dicho plano). Es, por tanto,muy conveniente, como se hace en el tema 2.o, definir claramente el vectortensión.

r rR 0 ; M M j M k= = +y z

r r rR ; M M k= =0 z


37

y

z

z

y

xo

S

F3

F1

F2

A

My

y

z

z

y

x

o

S

F3

F1

F2

A

Mz

y

z

z

y

x

o

S

F3

F1

F2

AMz

My

M


EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN

1. Establecer las diferencias entre sólido rígido, sólido deformable ysólido real.

2. ¿A qué forma constructiva puede asimilarse?

a) Una columna de alumbrado público.

b) La cubierta de un edificio.

c) Una tubería de pequeño espesor.

3. Enumerar las distintas formas de trabajo en las secciones de un pris-ma mecánico.

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN

1. Consultar el epígrafe 1.2.

2. a) Sólido tipo barra.

b) Sólido tipo bóveda.

c) Sólido tipo bóveda en cuanto al estado de tensiones y deforma-ciones originado por el fluido que pueda transportar.

Sólido tipo barra si forma, además, parte de una estructura resis-tente (considerando, por ejemplo, los efectos originados por supropio peso).

3. Ver epígrafe 1.5.


38

Tema 2

Estado de tensiones en los puntosde un sólido elástico

2.1. Concepto de tensión. Componentes intrínsecas

2.2. Ecuaciones de equilibrio interno

2.3. Tensión correspondiente a un plano de orientaciónarbitraria. Matriz de tensiones

2.4. Planos y tensiones principales

2.5. Representación gráfica del estado tensional en elentorno de un punto: Elipsoide de Lamé y cuádricasindicatrices y directrices de tensiones

2.6. Círculos de Mohr

2.7. Tensión esférica y tensión desviadora

2.8. Condiciones en el contorno

39

40


41

ESTADO DE TENSIONES EN LOS PUNTOS DE UN SÓLIDO ELÁSTICSO

2.1. CONCEPTO DE TENSIÓN. COMPONENTES INTRÍNSECAS

Consideremos un sólido elástico, de forma cualquiera, figura 2.1, some-tido a un conjunto de fuerzas en equilibrio, y supongamos que está dividi-do en dos partes A y B por un plano, siendo abcd la sección de separaciónentre A y B.

Estudiemos un elemento de superficie ∆S alrededor de un punto P de lasección de corte. De las condiciones de equilibrio elástico deducimos laexistencia de unas fuerzas internas que actúan sobre la superficie abcd,siendo su resultante y su momento resultante equivalentes a la acciónde la parte B, suprimida, sobre la parte A, conservada. Sea ∆F

—la resultante

de las fuerzas que actúan sobre el elemento ∆S.

Definiremos como tensión, , en el punto P y según el plano de corte, ala expresión:

[2.1]

Por tanto, el véctor tensión es el límite al que tiende la relacióncomo consecuencia de la hipótesis de continuidad.

Por lo general, el vector tensión es oblicuo al plano, por lo que tendrá(ver figura 2.1), una componente σ, normal al plano y una componente τcontenida en el plano; σ y τ reciben, respectivamente, los nombres de ten-sión normal y tensión tangencial y se conocen como componentes intrínse-cas del vector tensión . Ya que las componentes del vector tensión sonortogonales entre sí, se verifica:

[2.2]f 2 = +σ τ2 2

rf

rf

rf

∆∆

FS

→

f limS 0

FS

dFdS

→→ →

=→

= =∆

∆∆

rf

rR

rM

Debe insistirse en que el vector tensión se refiere a un plano, existien-do por tanto infinitos vectores tensión en un punto de un sólido elástico.

De la ecuación [2.1] se deduce que la tensión tiene dimensiones de fuer-za por unidad de superficie, expresándose habitualmente en kg/cm2 o enkg/mm2. Si se utiliza el Sistema Internacional de unidades (S.I.), la tensiónse puede medir en pascales (1 Pa=N/m2), aunque es más usual hacerlo enmegapascales (1MPa=106 N/m2).

2.2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO

Consideremos el sólido elástico de forma cualquiera representado en lafigura 2.2, y en él un paralelepípedo elemental, construido alrededor unpunto P y con aristas paralelas a los ejes coordenados x, y, z. Si aislamoseste elemento (figura 2.3), sobre cada una de sus caras existirán tensionesnormales y tangenciales, como ocurre en cualquier plano en el entorno deP. Estas últimas, las descomponemos en las direcciones de los dos ejescoordenados paralelos al mismo, contenidos en el plano.

Representaremos, por tanto, en cada cara del elemento, el vector ten-sión con tres componentes: una normal al plano, σ, con un subíndice queindica el eje coordenado al que es paralela y dos tensiones tangenciales, τ,

rf


42

τ

Bσ

b

F1

a

d

cA

f

F3

F5

F4F2

P

Figura 2.1.

con dos subíndices, correspondientes el primero al eje coordenado perpen-dicular al plano, y el segundo al eje coordenado al que es paralela.

Así pues, sobre la cara ABCD, actúan las tensiones σx , τxy , τxz .

Asímismo, sobre la cara CDD’C’, actúan las tensiones σy , τyx , τyz .

Finalmente, sobre la cara CBB’C’, el estado tensional tiene por compo-nentes σz , τzx y τzy.

Los valores de las tensiones en las caras opuestas del paralelepípedo,cuyas dimensiones son dx, dy y dz, son, en virtud de la continuidad y de que,por tanto, las tensiones son funciones continuas de x, y, z:

• Cara A’B’C’D’

σ σ∂σ

∂

τ τ∂τ

∂

τ τ∂τ

x xx

xy xyxy

xz xzx

xdx

xdx

'

'

'

= +

= +

= + zz

xdx

∂

ESTADO DE TENSIONES EN LOS PUNTOS DE UN SÓLIDO ELÁSTICO

43

y

F1

F3

F4

F2

x

z

B

y

z

C

D'

τyz

A

x

B'

C'

D

τyx

τ'xy

τ'xzτ'xz

τ'zy

τxz

A'

O

τzx

τzy

τ'yz

τ'yx

τxy

σy

σx

σ'y

σ'z

σz

σ'x

Figura 2.2. Figura 2.3.

— Cara AA’B’B

— Cara ADD’A’

Los valores de las tensiones en estas caras los hemos obtenido aplican-do el desarrollo en serie de Taylor, restringido a sus primeros términos.

El paralelepípedo elemental de la figura 2.3 estará en equilibrio bajo laacción de las tensiones representadas y de las fuerzas de masa o volumen f

–v

que actúan sobre el mismo, cuyas componentes en las direcciones de losejes coordenados llamaremos X, Y y Z y que supondremos aplicadas en elcentro de gravedad del elemento, es decir el punto P.

El equilibrio del elemento supone el planteamiento de seis ecuaciones:tres relativas a rotación y tres relativas a traslación.

Considerando, en primer lugar, un eje paralelo al y que pase por P, laecuación de nulidad de momentos de las distintas fuerzas respecto almismo, será:

σ σ∂σ

∂

τ τ∂τ

∂

τ τ∂τ

y yy

yx yxyx

yz yzy

ydy

ydy

'

'

'

= +

= +

= + zz

ydy

∂

τ τ τ τxz xz zx zxdy dzdx

dy dzdx

dx dydz

d2 2 2

+ − −' ' xx dydz2

0=

σ σ∂σ

∂

τ τ∂τ

∂

τ τ∂τ

z zz

zx zxzx

zy zyz

zdz

zdz

'

'

'

= +

= +

= + yy

zdz

∂


44

Las restantes fuerzas ligadas a las tensiones no dan momentos respectoal eje, ya que son paralelas al mismo o lo cortan. Tampoco dan momentorespecto dicho eje las fuerzas del volumen, puesto que están aplicadas en elpunto P.

Desarrollando la expresión anterior:

Simplificando y despreciando los infinitésimos de orden superior, obte-nemos:

[2.3]

Considerando, análogamente las ecuaciones de equilibrio en rotaciónalrededor de ejes paralelos a x y z, se obtienen las expresiones:

[2.4]

[2.5]

Las expresiones [2.3], [2.4] y [2.5] representan una importante propie-dad de las tensiones tangenciales o cortantes, conocida como teorema dereciprocidad de las tensiones tangenciales.

Las componentes de las ten-siones tangenciales en un puntocorrespondientes a dos planosortogonales entre sí, en direcciónperpendicular a la arista de sudiedro, son iguales (figura 2.4).

Estudiando ahora el equili-brio de traslación, proyectemosen la dirección del eje x todas lasfuerzas que actúan sobre el ele-mento:

τ τ∂τ

∂τxz xz

xzzdy dz dx dx dz dy dx

x+ +

− xx zxzxdx dy dzz

dz dx dy dz− +

=τ∂τ

∂0

τ ττ τ

yz zy

xy yx

=

=

τ τxz zx=


45

τ

τ

Figura 2.4.

Sustituyendo σ'x, τ'yx y τ'zx por sus expresiones y simplificando, teniendoen cuenta el teorema anterior, se obtiene:

[2.6]

Análogamente:

[2.7]

[2.8]

Las expresiones [2.6], [2.7] y [2.8] se conocen como ecuaciones de equi-librio interno.

Las fuerzas de masa o de volumen X, Y, Z más habituales son las debi-das a la acción de la gravedad, siendo también importantes las fuerzas deatracción magnética.

En el caso de que el cuerpo no se encuentre en equilibrio, se considera-rían, como ya indicamos anteriormente, las fuerzas de inercia, cuyas com-ponentes, por unidad de volumen, dirigidas según los ejes coordenados son–axρ, –ayρ y –azρ, donde ax, ay y az son las componentes de la aceleración y ρ,la densidad del sólido.

Como hemos visto, de los 18 valores de las componentes de la tensiónque corresponden a las seis caras del paralelepípedo elemental considera-dos sólo hay 6 valores independientes: σx , σy , σz , τxy , τxz , τyz , que constitu-yen el tensor de tensiones en los puntos de un sólido elástico. No utilizare-mos, sin embargo, el cálculo tensorial, pues, como veremos en el puntosiguiente, es más sencilla la representación matricial.

− + − + −σ σ τ τ τx x yx yx zxdy dz dy dz dx dz dx dz dx' ' ddy dx dy Xdx dy dzzx+ + =τ ' 0

∂τ∂

∂τ∂

∂σ∂

xz yz z

x y zZ+ + + = 0

∂τ∂

∂σ∂

∂τ∂

xy y yz

x y zY+ + + = 0

∂σ∂

∂τ∂

∂τ∂

x xy xz

x y zX+ + + = 0


46

En cuanto a los signos de las tensiones tangenciales y normales, se con-sideran estas últimas positivas si son de tracción (negativas en caso contra-rio), mientras que aquéllas son positivas si, en plano visto (desde el octan-te positivo), tienen el mismo sentido que los semiejes positivos a los que sonparalelas, estando dirigidas en sentido contrario en planos ocultos.

2.3. TENSIÓN CORRESPONDIENTE A UN PLANO DEORIENTACIÓN ARBITRARIA. MATRIZ DE TENSIONES

Consideremos un punto A en el interior de un sólido elástico y supon-gamos conocido el estado tensional en los tres planos, paralelos a los coor-denados que se indican en la figura 2.5. Estudiemos cuál es el estado ten-sional que corresponde a un plano de orientación cualquiera que pasa porA, definido por los cosenos directores α, β, γ que la normal N a dicho planoforma con los ejes coordenados x, y, z. Trazando a una distancia infinita-mente pequeña del punto A un plano paralelo al dado, constituimos untetraedro ABCD, que estará en equilibrio por la acción de las fuerzas queactúan sobre sus cuatro caras.

Siendo dS el área de la cara BCD, las áreas de las caras del tetraedroparalelas a los planos coordenados serán:


47

B

y

z

C

τyz

Ax

D

τyx

τxz

τzx

τzy

τxy

σy

σx

σz

fN

(fx, fy, fz)y

x

z

A

Figura 2.5.

Como se indica en la figura 2.5, la tensión sobre la cara BCD es , sien-do sus componentes según los ejes coordendos fx, fy, fz.

Estableciendo las ecuaciones de equilibrio del tetraedro, se cumplirá:

Sustituyendo las expresiones de dS1, dS2 y dS3 y simplificando, seobtiene:

[2.9]

Expresiones que pueden escribirse en forma matricial:

o bien:

[2.10]

donde u– es el vector unitario según la normal al plano.

rf

dS

dS1

2

(área cara ACD) = d S

(área cara

αABD) = d S

(área cara ABC) = d S

βγdS3

rf T u = [ ] [ ]�

f

f

f

x

y

z

x

xy

xz

=

σ τ ττ σ ττ τ

� xy xz

y yz

yzz zσ

αβγ

f

f

f

x x xy xz

y xy y yz

z xz yz

= + +

= + +

= +

σ α τ β τ γτ α σ β τ γτ α τ ββ σ γ+

z

f dS dS dS dS

f dS dS dSx x xy xz

y xy y

= + +

= + +

σ τ ττ σ τ

1 2 3

1 2 yyz

z xz yz z

dS

f dS dS dS dS3

1 2 3= + +τ τ σ


48

La matriz [2.11]

es simétrica y recibe el nombre de matriz de tensiones.

De acuerdo con la expresión matricial anterior si se conoce la matriz detensiones en un punto se puede conocer el vector tensión correspondien-te, en ese punto, a un plano definido por su normal, con vector unitario u–.Podemos, por tanto, establecer que si se conoce la matriz de tensiones entodos los puntos de un sólido elástico puede conocerse el estado tensionalen dichos puntos.

2.4. PLANOS Y TENSIONES PRINCIPALES

De los infinitos planos que pasan por un punto del interior de un sólidoelástico, se denominan planos principales aquéllos para los que el vectortensión sólo tiene componente según la normal. A continuación comproba-remos que hay, en cada punto, tres planos principales, denominándose ten-siones principales a las correspondientes a cada uno de ellos.

De la definición anterior, se deduce

Siendo , como ya hemos dicho, el vector unitario según la normal alplano.

O bien, en forma matricial:

[2.12]

Expresión que puede escribirse:

[2.13]

T xy

xz

[ ]

=x xy xz

y yz

yz z

σ τ τ

τ σ ττ τ σ

T I u−[ ] [ ] =σ 0

rf T u u = [ ] [ ] = [ ]� σ

ru

r rf u= σ

rf


49

es la matriz unidad.

Desarrollando la expresión [2.13] se obtiene el siguiente sistema deecuaciones:

[2.14]

Al ser [2.14] un sistema homogéneo, las únicas soluciones distintas dela trivial α=β=γ=0, se obtendrán a partir de la ecuación de compatibilidad:

[2.15]

Las raíces de esta ecuación cúbica en σ son los autovalores o valores pro-pios de la matriz de tensiones [T], que son las tensiones principales en elpunto del sólido elástico que estamos considerando. Ya que los valores de lastensiones principales han de ser independientes del sistema de referenciaOxyz adoptado, los coeficientes de la ecuación han de ser invariantes, porserlo el de σ3. A partir de esta condición, es fácil comprobar que las tres raí-ces de la ecuación [2.15], también llamada ecuación característica, son rea-les, siendo sus valores σ1 , σ2 y σ3. Supondremos, en lo que sigue σ1 ≥ σ2 ≥ σ3

Podemos comprobar que las normales a los planos principales (a los quecorresponden las tensiones principales σ1 , σ2 y σ3) son ortogonales entre sí,recibiendo el nombre de direcciones principales.

Si consideramos las raíces σ1y σ2, de acuerdo con [2.12] podemos escribir:

[2.16]

I[ ] =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

T u u

T u u

[ ] [ ] = [ ][ ] [ ] = [ ]

1

2

σ

σ1 1

2 2

xy xz

xy

σ σ τ ττ

x −

-y yz

xz yz z

σ σ ττ τ σ --σ

= 0

σ σ α τ β τ γ

τ α σ σ β τ γ

τ α

x xy xz

xy y yz

xz

−( ) + + =

+ −( ) + =

+

0

0

ττ β σ σ γyz z+ −( ) =

0


50

Multiplicando escalarmente la primera ecuación por u–2 y la segunda poru–1, si restamos miembro a miembro, obtenemos:

[2.17]

(El superíndice T indica matriz transpuesta)

El segundo miembro de esta ecuación es directamente,

[2.18]

mientras que el primero puede escribirse:

[2.19]

Al ser la matriz de tensiones simétrica, se cumple [T]=[T]T y, por tanto,sustituyendo en [2.19], queda:

[2.20]

por lo que, de [2.18] se deduce que u–1 y u–2 son perpendiculares entre sí(u–1 · u–2 = 0), ya que, en general será σ1 ≠ σ2.

Procediendo análogamente, se puede comprobar que u–1 · u–3 = 0 y queu–2 · u–3 = 0, por lo que las direcciones principales 1, 2 y 3 forman un triedrotrirrectángulo.

Si elegimos como ejes coordenados las direcciones principales, lamatriz de tensiones se escribe:

[2.21]

En la figura 2.6 se representa un elemento de volumen cuyos ejes sonparalelos a las direcciones principales y sometido al estado tensional seña-lado en [2.21].

u T u u T u u u uT T T

2 1 1 2 1 2 1 2 1[ ] [ ][ ] − [ ] [ ][ ] = [ ] [ ] − [σ σ ]] [ ]Tu2

T[ ] =

σσ

σ

1

2

3

0 0

0 0

0 0

u T u u T u u T u u T uT T T T2 1 1 2 1 2 1 2 0[ ] [ ][ ] − [ ] [ ][ ] = [ ] [ ][ ] − [ ] [ ][ ] =

u T u u T u T u u uT T T

2 1 1 2 1 2 1[ ] [ ][ ] − [ ] [ ][ ] = [ ][ ]( ) [ ] − [[ ] [ ][ ]TT u2

σ σ1 2 1 2−( ) � u u.


51

Una vez conocidos los valores de las tensiones principales, la obtenciónde las correspondientes direcciones principales se reduce a sustituir en laecuación matricial [2.13], σ por las raíces σ1, σ2 y σ3 de la ecuación caracte-rística.

Por ejemplo, para σ = σ1

O bien, desarrollando:

o lo que es lo mismo:

[2.22]

σ σ α τ β τ γ

τ α σ σ β τ γx xy xz

xy y yz

−( ) + + =

+ −( ) +

1 1 1 1

1 1 1

0

11

1 1 1 1

0

0

=

+ + −( ) =

τ α τ β σ σ γxz yz z

σ σ τ ττ

x

xy

− 1 xy xz

σσ σ τ

τ τy yz

yz

− 1

xz σ σ

αβγ

z −

=

1

1

1

1

0

T I u−[ ] [ ] =σ1 1 0


52

1

y

z

x

σ2

2

3

σ2 σ3

σ3

σ1

σ1

Figura 2.6.


53

Como fácilmente puede comprobarse, las ecuaciones [2.22] no son line-almente independientes, por lo que es necesario utilizar una ecuación adi-cional, basada en la relación entre los cuadrados de los cosenos directores:

[2.23]

para poder obtener la dirección u–1 (σ1, β1, γ1).

2.5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL ESTADO TENSIONALEN EL ENTORNO DE UN PUNTO: ELIPSOIDE DE LAMÉ YCUÁDRICAS INDICATRICES Y DIRECTRICES DE TENSIONES

Si en la ecuación matricial [2.12] suponemos que la matriz [T] está refe-rida a los ejes o direcciones principales, tal como se indica en [2.21], lascomponentes del vector tensión son:

Despejando α, β, γ y sustituyendo en [2.23] obtenemos:

[2.24]

La expresión [2.24] es la ecuación deun elipsoide que se llama elipsoide deelasticidad o de Lamè, que se represen-ta en la figura 2.7 y que es el lugar geo-métrico de los extremos del vector ten-sión en un punto. Los semiejes delelipsoide son los valores σ1 , σ2 y σ3 de lastensiones principales; si dos de éstasson iguales, el elipsoide es de revolu-ción y si las tres son iguales, el extremodel vector tensión recorre una superfi-cie esférica.

α β γ12

12

12 1+ + =

f f fx y z2

12

2

22

2

32 1

σ σ σ+ + =

f f fx y z= = =σ α σ β σ γ1 2 3; ;

rf

1

σ2

2

3 σ3σ1

A

Figura 2.7.

Con la ayuda del elipsoide de Lamè sabemos la distribución del módu-lo del vector tensión en un punto P de un sólido elástico para los infinitosplanos que pasan por el mismo, pero no es posible conocer el signo del vec-tor tensión ni el plano al que pertenece; para ello se utilizan las cuádricasindicatrices y directrices de tensiones.

Las cuádricas indicatrices son el lugar geométrico de los extremos delvector , definido como sigue:

[2.25]

donde [2.26]

Si llamamos x, y, z las coordenadas del punto Q (supuesto que P es elorigen de coordenadas), se cumple:

[2.27]

De [2.26] y [2.27] obtenemos:

o bien [2.28]

Según los signos de σ1 , σ2 , σ3 las cuádricas directrices serán un elipsoideo hiperboloides de una o dos hojas y para un plano determinado, dado porel vector unitario u–, se puede determinar si el sólido está sometido a trac-ción o compresión.

Las cuádricas directrices de tensiones, por su parte, son el lugar geomé-trico de los extremos del vector , definido como sigue:PR

→

σ σ σ σσ1

22

23

2 1x y z+ + = = ±

σ σ σ σ σ σ σ= + +12

22

32x y z

x y z= = =α

σβσ

γσ

; ;

σ σ α σ β σ γαβγ

σ α= = ( )

=

rf u. 1 2 3 1

222

23

2+ +σ β σ γ

PQ→

=1

σru

PQ→


54

[2.29]

Procediendo de modo análogo al seguido en el estudio de las cuádricasindicatrices, se obtiene la ecuación:

[2.30]

La discusión según los valores de σ1 , σ2 , σ3 conduce, como en el casoanterior, a que las cuádricas directrices de tensiones sean un elipsoide ohiperboloides de una o dos hojas y para un cierto vector , ligado a unplano determinado se puede determinar si en dicho plano la tensión nor-mal es de tracción o compresión.

Para ambas familias de cuádricas, cuando el vector o el vectorse sitúa sobre la generatriz del cono asintótico a los hiperboloides de una odos hojas, el estado tensional es de cortadura pura.

2.6. CÍRCULOS DE MOHR

La representación gráfica del elipsoide de Lamé, complementada con lascuádricas indicatrices y directrices de tensiones permite relacionar en forma

PR f i j k→

= = + +( )1 11 2 3σ σ

σ α σ β σ γr

τ σ

τ

σ

α

f

σ

σ

τ

ταf

PQ→

PR→

rf

x y z2

1

2

2

2

3

1σ σ σ

+ + = ±


55

Figura 2.8.

biunívoca el vector tensión correspondiente a uno de los planos que pasanpor un punto del interior de un sólido elástico con dicho plano. Sin embar-go, es poco utilizada, por ser una representación espacial en la que es nece-sario dibujar superficies de segundo orden: elipsoides e hiperboloides. Esmás sencilla y tiene muchas aplicaciones prácticas la representación planade los círculos de Mohr, que exponemos seguidamente y para la que se adop-ta un sistema de ejes coordenados σ−τ, como se indica en la figura 2.8.

Utilizaremos, para uno cualquiera de los infinitos planos que pasan porun punto de un sólido elástico, definido por los cosenos directores de sunormal (α, β, γ), las siguientes relaciones:

a) Norma del vector f–

(ver figura 2.8).

b) Tensión normal, σ:

c) Relación entre los cuadrados de los cosenos directores:

Agrupando las ecuaciones disponemos del siguiente sistema en α2, β2, γ2:

[2.31]

Si en el sistema [2.31] hacemos α=cte., lo que equivale a buscar el lugargeométrico de los extremos de los vectores tensión f

–correspondientes a

planos cuya normal está situada según las generatrices de un cono de revo-lución de eje x, obtenemos un sistema de tres ecuaciones con dos incógni-tas β2 y γ2, cuya solución exige que se cumpla la condición de compatibilidad(teorema de Rouché-Frobenius):

σ α σ β σ γ σ τσ α σ β σ γ σ

12 2

22 2

32 2 2 2

12

22

32

+ + = +

+ + =�

α β γ2 2 2 1+ + =

1 2 2 2= + +α β γ

σ σ α σ β σ γ= + +12

22

32

f f f fx y z2 2 2 2 2 2

12 2

22 2

32 2= + = + + = + +σ τ σ α σ β σ γ


56

[2.32]

Desarrollando por los elementos de la primera columna y dividiendopor (σ2−σ3) se obtiene:

o bien: [2.33]

La ecuación [2.33] representa una familia de circunferencias concéntri-

cas, c1, con centro en el punto de coordenadas , referidas al

sistema cartesiano adoptado, σ−τ.

σ τ σ α σ σ

σ σ α

2 212 2

12

+ −

−22

32

2 3σ σα1 2− 1 1

= 0

σ σ2 3

2+

, 0

σ τ σ σ σ σ σ α σ σ σ σ2 22 3 2 3

23 1 1 2 0+ − +( ) + + −( ) −( ) =

σ τ σ α σ σ α σ σ α σ σ2 212 2

12

2 32

2 31 0+ − − −( ) +( ) + −( ) =


57

σ3

σ2

σ1

O C B Aσ

M

D

E

γ

β

α

τ

Figura 2.9.

Para α = 0, se obtiene la circunferencia, C1, de radio , como

puede deducirse de la figura 2.9, en la que se supone σ1 >σ2 >σ3 .

Procediendo análogamente y haciendo, por tanto, sucesivamente β=ctey γ=cte, se obtienen las familias de circunferencias c2 y c3:

[2.34]

[2.35]

cuyos centros son, respectivamente

Para β=0, se obtiene la circunferencia C2:

[2.36]

de radio

Para γ=0, se obtiene la circunferencia C3:

[2.37]

de radio

Las circunferencias C2 y C3 se representan también en la figura 2.9.

Los puntos sobre C1 representan los extremos de los vectores tensióncorrespondientes a planos paralelos al eje x. Análogamente los puntos situa-dos sobre C2 representan los estados tensionales en planos paralelos al ejey, siendo los puntos situados sobre C3 los correspondientes a los vectorestensión según planos paralelos al eje z (se supone que los ejes x, y, z coin-ciden con las direcciones principales). El resto de los estados tensionales,correspondientes a cualquier otro plano, están representados por los pun-tos del área rayada en la figura 2.9, como demostramos a continuación.

r =−σ σ2 3

2

σ σ1 2

2−

σ τ σ σ σ σ σ2 21 2 1 2 0+ − +( ) + =�

σ σ1 3

2−

σ τ σ σ σ σ σ2 23 1 3 1 0+ − +( ) + =�

σ σ σ σ1 3 1 2

2 2

+

+

, ,0 y 0

c32

1 2 1 22

2 3 1: 23σ τ σ σ σ σ σ γ σ σ σ σ+ − +( ) + + −( ) −( ) == 0

c22

3 1 3 12

1 2 3: 22σ τ σ σ σ σ σ β σ σ σ σ+ − +( ) + + −( ) −( ) == 0


58

Sea M el punto representativo del estado tensional en uno de esos pla-nos, dado por las componentes σ y τ del vector . Por este puntopasan tres circunferencias c1, c2, c3, concéntricascon las C1 , C2 , C3 (que reciben el nombre de círculos de Mohr).

Si reescribimos la expresión [2.33]:

[2.38]

Es fácil comprobar que el segundo miembro de [2.38] puede escribirsecomo sigue:

Los dos primeros términos del interior del corchete equivalen al cua-drado de la distancia del punto M al centro de la circunferencia C1, mien-tras que el tercero es el cuadrado del radio de la misma, por lo que el pri-mer miembro de [2.38] es la potencia, con signo cambiado, del punto Mrespecto a la circunferencia C1.

Ya que hemos supuesto σ1 >σ2 >σ3, α2 (σ3−σ1)(σ1−σ2)<0 y la potencia es posi-tiva (M es exterior a C1).

Análogamente, de [2.34] se llega a β2 (σ1−σ2)(σ2−σ3)>0 y la potencia de Mrespecto C2 es negativa (M interior a C2).

Finalmente, de [2.35] llegamos a γ2 (σ2−σ3)(σ3−σ1)<0 por lo que la potenciade M respecto a C3 es positiva (M exterior a C3).

Queda demostrado, por tanto que el punto M, representativo del estadotensional, está situado sobre el área rayada indicada en la figura 2.9.

Los círculos de Mohr permiten, como vemos, determinar las compo-nente intrínsecas del vector tensión correspondiente a uno de los infinitosplanos que pasan por un punto del interior de un sólido elástico. Sin embar-go, no conocemos cómo relacionar ese vector tensión con la orientación delplano correspondiente, lo que también puede hacerse con la ayuda de estarepresentación gráfica.

rf OM=

→

− + − +( ) + = − −+

σ τ σ σ σ σ σ σσ σ2 2

2 3 2 32 3

2

2++ −

−

τσ σ2 2 3

2

2

α σ σ σ σ σ τ σ σ σ σ σ23 1 1 2

2 22 3 2 3−( ) −( ) = − + − +( ) +


59

Consideremos (figura 2.10), el punto D en que la circunferencia c1, quepasa por M, corta a C2. La potencia de este punto respecto de C1 es la mismaque la de M, por estar ambos puntos en una circunferencia concéntrica conesta última. (En la figura 2.10 sólo representamos la mitad de los círculosde Mohr, ya que al no haberse definido un signo para τ, la mitad inferior delos mismos es, simplemente, repetición de la superior).

La potencia de M y de D respecto a C1 es:

[2.39]

Expresión que podemos igualar, con

[2.40]

De [2.39] y [2.40] se deduce [2.41]

o también: [2.42]

Es decir, el ángulo a es, en valor absoluto, el que forma la normal alplano considerado con la dirección principal 1 (correspondiente a σ1).

Si consideramos ahora el punto H en que la circunferencia c3, que pasapor M, corta a C2, obtenemos, análogamente, dos expresiones de la poten-cia de M (y de H) respecto a C3:

[2.43]

[2.44]

De [2.43] y [2.44] se deducen las expresiones:

[2.45]

[2.46]

(b es el ángulo que forma la normal al plano con la dirección principal 3).

cos b = ±γ

cos2 2b = γ

P32

2 3 3 1= − −( ) −( )γ σ σ σ σ

P HI HA JB HA b b3 2 3 1 3= ⋅ = ⋅ = −( ) ⋅ −( )σ σ σ σcos cos

cos a = ±α

cos2 2a = α

P12

3 1 1 2= − −( ) −( )α σ σ σ σ�

P DK DC GB DC a1 1 2 1 3= = = −( ) −( )� . . cos . cosσ σ σ σ aa


60

Vemos, de acuerdo con [2.42] y [2.46] que podemos obtener gráficamentela relación entre el vector tensión y la orientación del plano correspondiente.

Por tanto, como se indica en la figura 2.9, las circunferencias concén-tricas con C1 , C2 y C3 que pasan por el punto M permiten obtener los cose-nos directores α, β, γ de la normal al plano al que corresponde la tensiónrepresentada por M.

Por lo que se refiere a la tensión cortante máxima, ésta corresponde alos puntos D y E (figura 2.9), siendo su valor:

[2.47]

La orientación correspondiente, de acuerdo con la construcción de lafigura 2.10, es:

[2.48]

2.7. TENSIÓN ESFÉRICA Y TENSIÓN DESVIADORA

Supongamos conocida, en la referencia principal, la matriz de tensionesdada por la expresión [2.21]:

T[ ] =

σσ

σ

1

2

3

0 0

0 0

0 0

O

M

σC O1 B O2 O3 A

D

H

GK

J

a b

I

τ

C3

C1

C1

C3 C2

1

2 2, 0,

1±

τ σ σmax =

−1 3

2


61

Figura 2.10.

Este estado tensional se puede considerar que equivale a la superposi-ción de otros dos, estado tensional esférico y estado tensional desviador,expresados por sus matrices de tensiones, [T1] y [T2].

[T] = [T1] + [T2] [2.49]

siendo [2.50]

y (2.51]

En las expresiones [2.50] y [2.51] es:

[2.52]

tensión media o hidrostática, ligada, como veremos al estudiar el estado dedeformación, al cambio de volumen experimentado por un sólido e igual ala tensión normal correspondiente a un plano cuya normal forma ángulosiguales con los ejes coordenados y que recibe el nombre de tensión normaloctaédrica.

Efectivamente, utilizando la expresión [2.26]:

y

haciendo , obtenemos:

[2.53]

σ0 es la tensión normal octaédrica, coincidente con la tensión media antesdefinida.

σσ σ σ

01 2 3

3=

+ +

α β γ= = ± 1

3

σ σ α σ β σ γ= + +12

22

32

σσ σ σ

m =+ +1 2 3

3

T2

1 0 0

0[ ] =−σ σ m

2 mσ σ− 0

0 3 m0 σ σ−

T1

0 0

0 0

0 0[ ] =

σσ

σ

m

m

m


62

La tensión tangencial octaédrica será:

[2.54]

donde

Sustituyendo en [2.54]:

[2.55]

Como veremos más adelante, la matriz desviadora [T2], está ligada alcambio de forma del sólido.

2.8. CONDICIONES EN EL CONTORNO

Las ecuaciones [2.6], [2.7] y [2.8], de equilibrio interno, son necesariaspara el equilibrio en cualquier punto del sólido elástico, pero no son aplica-bles a los puntos más próximos a la superficie del sólido, ya que para ellos elcorrespondiente paralelepípedo elemental queda cortado por la superficie decontorno, siendo admisible sustituir esta última por el plano tangente, por loque los paralelepípedos contiguos a la misma toman la forma de tetraedro.

En estas condiciones, son aplicables a dichos elementos ecuaciones aná-logas a las [2.9], sustituyendo las componentes de la tensión, fx, fy, fz por X

–,

Y–, Z

–que son las componentes de la fuerza de superficie f

–s (figura 2.11).

τ σ0 02

02= −f

n

fs

τ σ σ σ σ σ σ σ σ0 12

22

32 1 2 3

2

1 2

13 3

13

= + +( ) −+ +

= −(( ) + −( ) + −( )2

2 3

2

3 1

2σ σ σ σ

f02 1

222

32

3=

+ +σ σ σ


63

Figura 2.11.

Las ecuaciones de equilibrio en el contorno son, pues:

[2.56]

En las expresiones [2.56], α, β, γ son los cosenos directores de la normala la superficie en el punto considerado.


1. La matriz de tensiones en un punto P del interior de un sólido elás-tico, referida a un sistema coordenado Oxyz, es:

Estando expresadas sus componentes en kg/mm2. Se pide:

a) Determinar tensiones y direcciones principales.

b) Componentes según los ejes coordenados del vector tensión corres-pondiente a un plano cuya normal forma ángulos iguales con los ejescoordenados.

c) Componentes intrínsecas del vector tensión correspondiente al planoanterior.

d) Determinar las tensiones tangenciales máximas y los planos a quecorresponden, refiriendo éstos a los ejes coordenados.

e) Superficie engendrada por las normales a los planos en que la ten-sión normal es nula, indicando las zonas del espacio en que es posi-tiva o negativa.

2. La matriz de tensiones en un punto P del interior de un sólido elás-tico es, referida a un sistema cartesiano ortogonal OXYZ:

T( ) =−12 12

12 6

0 0

0

0

3

X

Y

Z

x xy xz

xy y yz

xz yz

= + +

= + +

= + +

σ α τ β τ γ

τ α σ β τ γ

τ α τ β σ zzγ


64

Estando expresadas sus componentes en kg/mm2. Se pide:

a) Tensiones y direcciones principales.

b) Componentes intrínsecas del vector tensión correspondiente a losplanos cuya normal forma ángulos iguales con:

b1) los ejes coordenados.

b2) los ejes principales.

c) Tensión cortante máxima y planos correspondientes.

3. El estado de tensiones en un punto del interior de un sólido elásticoreferido a un sistema cartesiano ortogonal OXYZ, se representa en la figu-ra, en la que los valores indicados se miden en kg/mm2.

Se pide:

a) Tensiones y direcciones principales

b) Obtener las componentes, referidas al sistema OXYZ, del vector ten-sión que actua en un plano cuya normal forma ángulos iguales conlos ejes coincidentes con las direcciones principales.

c) Valores de las tensiones octaédricas.

z

y

x

2

23

1

0

T[ ] =

3 29 7

7 -3 2

2 3 2

9

3 − 22


65

4. Las tensiones principales en un punto P del interior de un sólido elás-tico son:

σ1 = 2 kg/mm2 ; σ2 = –1 kg/mm2 ; σ3 = –1 kg/mm2

Se pide:

a) Componentes intrínsecas del vector tensión correspondiente a un planocuya normal exterior tiene por cosenos directoresreferidos a las direcciones principales.

b) Tensiones cortantes máximas y planos a que corresponden.

c) Planos en que no existe tensión normal. Tensión cortante correspon-diente a dichos planos.

5. En un punto P de un sólido elástico, el estado de tensiones según unode los infinitos planos que pasan por el mismo viene dado por sus compo-nentes intrínsecas, σ = 6 kg/cm2 y τ = 3 kg/cm2. Las tensiones principales enel mismo punto son σ1 = 12 kg/cm2 ; σ2 = 6 kg/cm2; σ3 = 0, estando orienta-das las direcciones principales respecto a los ejes coordenados como seindica en la figura.

Se pide:

a) Orientación del plano citado respecto a las direcciones principales yrespecto a los ejes coordenados.

b) Matriz de tensiones en el punto P, en la referencia OXYZ.

c) Tensión cortante máxima y planos correspondientes.

Z

30o

2

3

Y

X 1

030o

1 2/ , 1 2, 1/2( )


66

6. La ecuación característica correspondiente a la matriz de tensionesen un punto de un sólido elástico es la siguiente:

σ3− 8σ2 + 4σ +48 = 0

Se pide:

a) Calcular las tensiones principales.

b) Determinar analítica y gráficamente las componentes intrínsecas delvector tensión correspondiente a un plano cuya normal exterior tienepor cosenos directores

c) Tensiones cortantes máximas y planos correspondientes.


1. a) Será necesario resolver la ecuación:

Las tres tensiones principales son σ1 = 12 kg/mm2; σ2 = 3 kg/mm2

y σ3 = –18 kg/mm2

• Dirección principal 1

−−

24 12

1

0 0

0

2 6 0

-9

=

⇒

−αβγ

α1

1

1

10

0

0

24 ++ =− =− =

12 0

12 6 0

9 0

1

1 1

1

1

βα β

γα 22

12

12

1 1

1

1

5

2

50

+ + =

⇒ = = =

β γ

α β γ; ; 1

T I u T I−[ ][ ] = ⇒ − =

− −

σ σ

σ

0 0

12 12 0

2 6- 0

0 0

1 σ3-

=3

σσ

σ σ σ

= ⇒

− − − − = ⇒

0

12 6 144 0 2

:

( )( ) ++ − =

= − ± + = − ± ⇒

6 216 0

3 9 216 3 15

σ

σ ; soluciones 112 y –18

1

20; ;

1

2−


67


68

• Dirección principal 2, coincide con el eje z (0, 0, 1)

• Para determinar la tercera dirección principal realizamos el pro-ducto vectorial u–3 = u–1 × u–2

Por tanto las direcciones y tensiones principales son:

b) Los cosenos directores de la normal al plano indicado son:

por tanto

expresados en kg/mm2

c)

σ = = + + = + =f u. . . . kg m01

3

18

3

1

3

3

3

1

3

183

33

7 mm2

f f fx y z= = =018

3

3

3; ;

f T u

f

f

fy

z

[ ][ ] ⇒

=−

=

12x 12 0

2 6 0

0 3

1

0

=

13

13

13

0

183

33

1

3

1

3

1

3, ,

σ σ12

2212

1

53 0=

=/ , , ; /kg2

50 kgmm mm ,, , ; / , ,kg

-1

50 1 18

2

503

2( ) = −

σ mm

u

i j k

3 0=1

5

2

50 0 1

2

5

1

5

2

53

3= − ⇒

=

=i j

α

β −−

=

1

503γ


69

d) La tensión tangencial máxima es:

estando la dirección de la normal a los planos correspondientes (referida a

los ejes principales) representada por

Para pasar este vector unitario a la referencia de los ejes coordenados,se procede así:

siendo [u–] = vector de referencia xyz; [u–'] = vector referido a ejes principales.

[R] = matriz de cambio de base, formada por los vectores fila corres-pondientes a las direcciones principales.

que son los cosenos directores pedidos de la normal al plano de tensión tan-gencial máxima respecto de los ejes coordenados xyz.

R[ ] =

1

5

2

50 0

0

1

22

5

1

5- 0

;

αβγ

=

1

5

2

50 0

0

11

- 0

T

2

5

1

5

1

20

1

2

=

3

10

0

1

10;

; ;α β γ= = =3

10

1

100

u R u u R uT

' '[ ] = [ ][ ] → [ ] = [ ] [ ]

1

20

1

2, , ±

τ σ σmax /=

−=

+=1 3 2

212 18

215 kg mm

τ σ= − =

+

− = − =f 2 2

2 2

218

3

3

37 111 49 7 87, kg mm/ 2

e) La superficie es el cono asintótico de las cuádricas indicatrices detensiones:

Si la normal al plano es exterior al cono, la tensión normal es positiva;en caso contrario es negativa.

2. a) Para obtener las tensiones principales y las correspondientesdirecciones hay que resolver la ecuación:

T I u−[ ][ ] =

−

σ

σ

0

9

, que se cumple

7 3 2

9- -3 2

2 -

7

3 3

σ

22 2-σ

σ σ

=

−( ) −( ) − − − −

0

9 2 9 2 7 9 2 7 9 2 92

. . . . . σσ σ σ

σ σ σ

( ) − −( ) − −( ) =

+ −( ) −( ) −

9 2 9 7 2 0

81 18 2 252

2

2

.

−− −( ) − −( ) =

− + − − = → −

36 9 49 2 0

20 32 512 0 203 2 3

σ σ

σ σ σ σ σσ σ2 32 512 0+ + =

σ σ σ12

22

32 2 2 20 12 3 18 0x y z x y z+ + = ⇒ + − =


70

Z' ≡ III

X' ≡ I

Y' ≡ II

Una raiz es σ = –4. Aplicando la Regla de Ruffini

Las otras dos raices son:

• Direcciones principales:

P kg mm T I uara 16σ σ σ= = −[ ][ ] =

−

12

1 0

7

/

7 3 2

-77 -3 2

2 -3 2 -143

1

1

1

αβγ

=

→

− + + =0

0

0

7 7 3 2 01 1 1α β γ

7 7 3 2 0

3 2 3 2 14 0

1 1 1

1 1 1

α β γ

α β γ

− − =

− − =

S

α β γ

γ α β

12

12

12

1 1 1

1

7

3 2

+ + =

= −( ). uustituyendo:

3 2.7

3 2α β α β

α

1 1 1 1

1

3 214

0

18

− − −( ) =

−− − + =− + = → =

18 98 98 0

80 80 01 1 1

1 1 1 1 1

β α βα β α β γ� ; ==

= = = ± = ±

0

2 112

1

2

1

212

12

1 1α α α β� ; ; ;

σ σ σ σ σ σ3 2 220 32 512 4 24 128 0− + + = +( ) − +( ) =

–20 32 512

–4

1

–4 96 –512

1 –24 128 0

σ σ

σ

2 24 128 0

12 144 128 12 416

8

− + =

= ± − = ±

σ σ σ12

22

316 8 4= = = −� ; ;kg mm kg mm kg m/ / / mm2


71

La tercera dirección principal puede obtenerse de la relación:

u–3 = u–1 x u–2

b) En el 1.er caso (b1) los cosenos directores, referidos a los ejes OXYZ

son: 1

3

1

3

1

3, ,

u

i j k

3

1

2

1

2= 0

-12

12

1

2

12

12

1

2

43

= − −

= −

i j k

kσ gg mm/ , ,2 12

12

1

2- -

− = −

12σ 8

212

1

22kg mm/ , ,

− =

= =

�1

2

1

20

Para

1σ

σ σ

16 2

2

kg mm/ , ,

88

1

2/ análogamente:

7

kg mm ,

3 2

1 -3 2

2 -3 2

7

3 6

=

→

αβγ

2

2

2

0

0

0

α β γ

α β γ

α

2 2 2

2 2 2

2

7 3 2 0

7 3 2 0

3 2

+ + =

+ − =

−− − =

+ + =

3 2 6 0

12 2

22

22

22

β γα β γ�

+ = → = −

+ = =

8 8 0

3 2 3 2 6

2 2 2 2

2 2 2

α β α β

α α γ γ� ; 2

66 26

2

2 1 4 1

2

22

22

22

22

=

+ + = =

α

α α α α α� ; ; 22 2 2; ;= ± = =12

12

22

β γ∓


72

En el 2.o caso (b2), actuando en la referencia principal:

f T u

f

= [ ][ ]

=

7 3 29

9 -3 2

2 -3 2 2

7

3

=

+ +

+

1

31

31

3

9 7 3 2

3

7 99 3 2

32

3

9 7 3 23

−

= =+ +σ f u. ++

+ −+ = =

= − =

7 9 3 23

23

343

11 33

1

2

2 2 2

,

;

kg/mm

τ σf f66 3 2

3

16 3 2

343

256 18 96 2 256 18

2 2

2

+( )+

−( )+

= + + + + −f

996 2 43

5523

184

184349

7 452

2

+ = =

= − =τ , kg/mm

f =6 0 0

8 0

1

0

00

1

31

31

3

–0 –4

=

−

= =

�

·

16

38

34

3

σ f u1163

83

43

203

6 67

2563

643

2

2 2

+ − = =

= − = + +

, kg/mm

τ σf1163

203

112203

8 212 2

2−

= −

= , kg/mm


73

c)

Los planos correspondientes, en la referencia principal, vienen defini-dos por su normal [u–]

3. a) La matriz de tensiones, con los ejes de la figura, es:

Las tensiones y direcciones principales se obtienen resolviendo la ecua-ción [T-σI] [u–] = 0

(A)

una solución es σ = 1

Las otras soluciones se obtienen como sigue:

T[ ] =

1 0

0 3

0 2

0

2

0

u1

20

1

2, , ±

τσ σ

max =−

=+

=1 3 2

216 4

210 kg/mm

-

3 2

20 3 4 0

3

2−= ⇒ − + − =

=+ ±

σσ

σ σ

σ 99 162

3 52

4

1

4 112

22

+=

±

= =

�

–

/ ; /σ σkg mm kg mm ;; /σ 321= − kg mm

1 0

0 3

−−

σσ

0

2

00 2

0

-σ=

1 0

0 3

−−

σσ

0

2

00 2

0

-σ

αβγ

= 00

0


74

• Direcciones principales: Sustituyendo los valores de σ (σ1, σ2, σ3) en laecuación (A) se obtiene:

La dirección principal 3 se obtiene: u–3 = u–1 × u–2

b) La matriz de tensiones, en la referencia principal, es:

y el vector tensión será:

−−

3 0

0

0 2

0

1 2

-4

=

⇒

−αβγ

α1

1

1

10

0

0

3 ++ + =− + =

+ − =

0 0 0

0 2 0

0 2 4 0

1 1

1 1 1

1 1 1

β γα β γ

α β γ�

α β γ

α β γ γ

12

12

12

1 1 1

1

0 2

+ + =

= =; ; 112

12

12

1; ;+ = = = ±

= ±

=

4 115

1

52

5

4

1

1

γ γ γ

β

σ kg // , ,

/ , ,

mm

kg mm

2

22

01

5

1 1 0

2

5

0

= ( )σ

T '[ ] =4

0

0

0 0

1 0

0 -1

u

i j k

3 = 02

50

1

51 0

1

5

2

5

3

= j k–

σ == −

1 01

5

2

52 –kg mm/ , ,


75

Para obtener este vector en la referencia OXYZ, aplicaremos la ecuación:[f'] = [R] [f] siendo [R] la matriz de cambio de base.

Podemos escribir: [f–] = [R]T [f']

c) Las tensiones octaédricas son:

R[ ] =α β γα β γα

1 1 1

2 2 2

3 ββ γ3 3

2

5

1

5

=

0

1 0 0

1

5–

2

50

f T u = [ ][ ] =' '

4

0

0

0 0

1 0

0 -1

1

31

31

3

=

−

4

31

31

3

σ σ σ σ

τ σ σ

01 2 3 2

0 1

34 1 1

343

1 33

13

=+ +

=+ −

= =

= −

, kg/mm

22

2

2 3

2

3 1

2 2 2 2

0

13

3 2 5

13

9 4

( ) + −( ) + −( ) = + +

= + +

σ σ σ σ

τ 22513

38 2 05 2= = , kg/mm

f =

0 1 0

2

50

1

551

50 –

2

5

4

31

3

−−

=

1

3

1

37

156

15


76

4. a)

b) Como puede comprobarse dibujando los círculos de Mohr, la tensióncortante máxima vale

τ

2 = σ1

D

C

B A

σ2 = σ3 = –1σba

τ σ σmax =

−=

+=1 3 2

22 1

232

kg/mm

f T u

f

f

f

x

y

z

= [ ][ ]

=2 0 0

-1 0

0 -1

0

0

=

-

-

121

212

1

1

212

= + + = + + =

=

f f f fx y z2 2 2 2 1

12

14

74

σ σσ α σ β σ γ

τ

12

22

32 2

2

214

112

114

14

+ + = − − = −

=

kg/mm

f −− = − = =σ 2 22816

116

2716

34

3kg/mm


77

Los planos correspondientes se definen por el vector

aunque, realmente no están totalmente definidos por estar reducido el círcu-lo C1 a un punto y coincidir C2 con C3 (todas las direcciones contenidas en elplano ortogonal a la dirección principal 1 son principales).

c) Los puntos C y D corresponden a planos de tensión normal nula:σ=0 ; τ=1,33 kg/m2 , a= arc tg 1,33 = 53,13o ; b= 36,87o: referidos a las direc-ciones principales (con la salvedad indicada en b).

5. a) Dibujamos los círculos de Mohr.

Llamando [u–] al vector unitario correspondiente al plano, en la referen-cia OXYZ, y [u–']al mismo vector en la referencia principal, escribiremos:[u–'] = [R] [u–], siendo [R] la matriz de cambio de base, constituida por losvectores fila que definen los ejes principales respecto de los OXYZ.

a b arctg= = =

= =

4 01 5

69 44,,

,

cos

o

o69,44 =0,35

=

α γ

β 11-0,35 0,352 2

0 87− = ,

τ

C2

P

σ1 = 12 σσ2 = 6σ3 = 0

b

C3C1

a

C3C1

1

20

1

2, , ±


78

b) [T']=[R][T][R]T 1

[T'] = matriz de tensiones en la referencia principal

[T] = matriz de tensiones en la referencia OXYZ

[T] = [R]T[T'][R]

T '[ ] =1 0

0

0

2 0

6 0

0 0

0

[ ] =T

1 0

033

2-12

12

32

0

2 0

6 0

0

1 0

0

0 0

0

32

1 0

012

-12

32

0

=

R[ ] =

1 0

0

0

0

32

12

--12

32

conocido

; 'u[[ ] [ ] = [ ] [ ]

[ ] =

, '

'

,

,

,

es u R u

u

T

0 35

0 87

0 35

[ ] =

0

32

; u

1 0

0 -12

12

32

0

00 35

0 87

0 35

0 35

0 58

0 74

,

,

,

,

,

,

=


79

1 Esta operación se justifica en el Tema 4.

c)

Orientación respecto a los ejes principales.

Nota Otra forma de resolver el apartado a) es obtener las soluciones delsistema:

De la 2.a ecuación: 2α 2 + β 2 = 1; β 2 = 1 –2α 2. Sustituyendo en la 1.a:

Valores muy aproximados a los obtenidos gráficamente.

Teniendo en cuenta los signos, hay 8 orientaciones distintas de la nor-mal al plano, respecto a los ejes principales por tanto, respecto a los ejesOXYZ.

144 36 1 2 45 72 9972

18

2 2 2 2α α α α β+ −( ) = → = = =� ; ; 22

2 2

2

114

34

18

34

1 118

34

18

18

= − =

+ + = = − − =

=

γ γ

α

;

;; ;

; = 0,87 ; =

β γ

α β γ

2 234

18

0 33

= =

= ± ± ±, 00,33

σ α σ β σ γ σ τσ α σ β σ γ σ

12 2

22 2

32 2 2 2

12

22

32

+ + = +

+ + =

� α β γ

α β

2 2 2

2 2

1

144 36 36 9 45

+ + =

→+ = + =

� 12 6 62 2α βα

+ =22 2 2 1+ + =

β γ

1

2

1

2, 0, ±

kg/cmmax2τ σ σ

=−

=−

=1 3

212 0

26

=

1 0

0

0

0

32

-12

12

32

2

1 0

3 3 3

0

0

0

0 0

2 0

=

1 0

092

3 32

3 32

32

0


80

6. a) Las raíces de la ecuación σ3 −8 σ2 + 4 σ + 48 = 0, se obtienen comosigue:

Una raíz es σ = −2 −8 −32 −8 +48 = 0

Aplicando la regla de Ruffini:

Las dos raices restantes se obtienen resolviendo la ecuación:

Las tensiones principales son, por tanto:

σ1 = 6; σ2 = 4; σ3 = –2;

b) Ya que no se conoce la matriz de tensiones referida a los ejes OXYZ,el vector indicado sólo se puede referir a los ejes principales, respecto a loscuales la matriz de tensiones es:

Las componentes intrínsecas se obtienen como sigue:

σ = f–

· u– = [u–]T [T][u–] = σ1α 2 + σ2β 2 + σ3 γ 2 en la referencia principal.

T[ ] =6 0

0

0

0

4 0

00 -2

;

= [ ][ ] =f T u

6 0 0

4 0

0 -2

0

0

−

1

20

1

2

σ σ

σ

2 10 24 0

5 25 24 5 16

4

− + =

= ± − = ±

–8 4 48

–2

1

–2 +20 –48

1 –10 24 0


81

La solución gráfica se obtiene utilizando los círculos de Mohr.

c) La tensión cortante máxima es τmax=4 y corresponde a los planos

, por lo que uno de ellos coincide con el plano definido en b).1

2

1

2, 0, ±

τ

σ = 2σ

τ = 4

τ

σ

σ =

+ − −

= − =

=

61

24 0 2

1

2

62

22

2

61

2

2 2

.

f ii j k i k

f

+ − −

= +

= + = +

4 0 21

2

6

2

2

2362

42

18 22

.

==

= − = − =

20

20 4 42 2τ σf


82

Tema 3

Estado de deformaciónen el entorno de un punto

3.1. Relaciones entre desplazamientos y deformaciones

3.2. Matriz de giro

3.3. Matriz de deformación

3.4. Vector deformación unitaria. Direcciones principalesde deformación

3.5. Componentes intrínsecas del vector deformación

3.6. Representaciones gráficas del estado de deformaciónen el entorno de un punto

3.7. Deformaciones octaédricas

3.8. Ecuaciones de compatibilidad

83

84


85

3.1. RELACIONES ENTRE DESPLAZAMIENTOSY DEFORMACIONES

Como señalamos en el epígrafe 1.1, los sólidos deformables experimen-tan, simultáneamente, un estado de deformación y un estado tensional.Estudiado este último en el capítulo anterior, realizaremos en éste el análi-sis del proceso de deformación, que presenta analogías y diferencias con elanálisis de la tensión.

Restringiremos nuestro estudio al campo elástico, considerando, ade-más, que tanto los desplazamientos experimentados por los puntos del sóli-do como las deformaciones propiamente dichas son de pequeña magnitud.

Representamos con u,v,w las componentes del desplazamiento de unpunto genérico de un sólido (punto O en la figura 3.1) según tres direccio-nes x,y,z, ortogonales entre si.

y

z

xO

d r

P

P

d r

P1

P2

O

Figura 3.1.

Supondremos que u, v y w son funciones uniformes y continuas de lascoordenadas del punto y que también lo son sus derivadas primeras ysegundas.

Consideremos la modificación experimentada por el vector OP—

= dr,—

queune el punto O con un punto genérico P de su entorno. Puede considerarseque OP

—pasa a la posición final O'P'— en tres etapas:

1. Traslación paralelamente a sí mismo desde OP—

a O'P1— sin modifica-

ción de su módulo.

2. Giro por el que O'P1— pasa a la posición O'P2

— , sin alteración tampocode su módulo.

3. Deformación propiamente dicha , que supone modificación desu longitud y de los ángulos que forma con los ejes coordenados.

Como veremos a continuación todas las fases de la deformación soninfinitesimales en aplicación de la hipótesis establecida anteriormente, loque permite su tratamiento, mediante el cálculo matricial, utilizando matri-ces infinitesimales.

Podemos llamar matriz infinitesimal a una matriz [M] que produce unatransformación infinitamente pequeña, lo que se cumple cuando la diferen-cia entre [M] y la matriz unitaria [I] es otra matriz infinitamente pequeña.

El desplazamiento del punto O (figura 3.2) es el vector δ0

→=OO'

— = ui–+vj–+wk–

mientras que el desplazamiento del punto P será δp

→= PP'

— = u'i–

+ v 'j–

+ w 'k–.

En virtud de la hipótesis de pequeños desplazamientos y de la suposi-ción de que u, v, w son funciones continuas y derivables, podemos escribir:

[3.1]

Pero como el vector OP—

= dr—

puede escribirse:

OP—

=dr—

=dxi–+dyj

–+dzk

–[3.2]

P P2 '( )

u uux

dxuy

dyuz

dz

v vv

xdx

v

'

'

= +∂∂

+∂∂

+∂∂

= +∂∂

+∂∂∂

+∂∂

= + ∂∂

+ ∂∂

+ ∂∂

ydy

v

zdz

w wwx

dxwy

dywz

dz'


86

podemos transformar [3.1] en la siguiente ecuación matricial:

[3.3]

Donde

[3.4]

La matriz [M] que produce la transformación es infinitesimal y puededescomponerse en suma de dos matrices también infinitesimales:

[3.5]

La matriz [P], como veremos seguidamente, produce el giro de un vec-tor, sin alteración de su módulo, y recibe el nombre de matriz de giro, mien-tras que la matriz de deformación, [D], produce la deformación propia-mente dicha.

3.2. MATRIZ DE GIRO [P]

A partir de [3.5] escribimos las componentes de la matriz [P]:

[3.6]

δ δp o M dr = + [ ]

PM M

u

yT

[ ] = [ ] − [ ] =

−

2

012

∂∂

∂ vv

x

u

z

w

x

v

x

u

y

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−

−

12

12

−012

∂∂

∂v

z

w

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

y

w

x

u

z

w

y

v

z

−

−

12

12

0

MM M M M

P DT T

[ ] = [ ] − [ ] + [ ] + [ ] = [ ] + [ ]2 2

M

ux

uy

uz

vx

vy

vz

w

[ ] =

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ xx

w

y

w

z

∂∂

∂∂

ESTADO DE FORMACIÓN EN EL ENTORNO DE UN PUNTO

87

Como vemos, la matriz [P] es hemisimétrica, esto es, sus términos rec-tangulares son simétricos con el signo cambiado.

Análogamente a la expresión [3.2], podemos escribir (figura 3.2):

O'P'—=d'r—

=dx'i–+dy'j

–+dz'k

–[3.7]

O'P'—=OP—

+PP'— –OO'— es decir d'r—=dr

—+δp—

–δ0—

[3.8]

O bien, en forma matricial, teniendo en cuenta [3.3] y [3.5].

[d'r—]=[dr

—]+[M][dr—]=[I+P]+[D][dr

—] [3.9]

La transformación [I+P] [dr—] , conserva el módulo del vector, [dr

—] por loque [I+P] ha de ser una matriz ortogonal, de forma que su matriz trans-puesta coincide con su matriz inversa1.

Comprobemos que los elementos de la matriz [P] [3.6] permiten que[I+P] sea ortogonal.

De la definición de matriz ortogonal, se ha de cumplir:

[3.10]


y

z

xO

PO

P

[P] dr

dr

[D] dr

[I+P] dr

d r

y

z

xO

PO

P

d r

d r

δo

δp

I P I P IT+[ ] +[ ] = [ ]�


88

1 Véase, por ejemplo, la obra «Elasticidad» de Luis Ortiz Berrocal, capítulo 3.

Desarrollando:

[3.11]

donde se han despreciado los infinitésimos de orden superior.

Para que se cumpla [3.10] ha de ser:

[P]T= –[P] [3.12]

Lo que se cumple al ser [P] hemisimétrica.

Podemos comprobar finalmente, que los elementos de la matriz [P] sonlas componentes px, py, pz del vector giro p–, en un entorno del origen decoordenadas O, al que corresponde el desplazamiento δ0

–, con componentes

u, v, w.

[3.13]

siendo:

[3.14]

Por tanto,

[3.15]

El producto [P] [dr→] es igual al producto vectorial p

→× dr

→, que represen-

ta el giro como cuerpo rígido del vector dr→

([P] [dr→] es ortogonal a dr

→).

Los componentes de p→son iguales a las de la mitad del vector rotacio-

nal del vector δ→= ui

–+ vj

–+ wk

–.

I P I P I I PT T+[ ] +[ ] = [ ] + [ ] [ ] + [ ]( )� P

P

p p

p p

p p

z y

z x

y x

[ ] =

-

0 -

-

0

0

pwy

vz

puz

wxx y= −

= −

12

12

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

; = −

; pvx

uyz

12

∂∂

∂∂

rp p i p j p kx y z= + +


89

En la figura 3.3 se indican los términos de la ecuación matricial [3.9],incluyéndose el producto [D] [dr

—] , que representa la deformación del vec-tor [dr

—] a la que nos referimos en el epígrafe siguiente.

3.3. MATRIZ DE DEFORMACIÓN [D]

Tal como hemos visto en el punto 3.1, la transformación de los puntosde un sólido elástico está compuesta de una traslación y un giro, ambos sinmodificación del módulo de cualquier vector dr

—que une dos de esos pun-

tos y una deformación propiamente dicha con modificación tanto de lasdimensiones como de la orientación de dicho vector. La deformación estádeterminada por la matriz de deformación, [D], que podemos escribir apartir de [3.5].

[3.16]

La matriz [D] es, como vemos, una matriz simétrica, en la que sus ele-mentos se corresponden con las deformaciones experimentadas por el parale-lepípedo elemental, de dimensiones dx, dy, dz, representado en la figura 3.4.


y

xA

dx

dy

dz

O

B

C

z

y

z

x

DM

ux

u

T

[ ] [ ] + [ ] ==M

2

12

∂∂

∂∂ yy

vx

uz

wx

v

x

+

+

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

12

12

++

∂∂

∂∂

u

y

v

y

12

12

1

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

v

z

w

y

w

x

u

z

+

+

22

∂∂

∂∂

∂∂

w

y

v

z

w

z+


90

Dicho paralelepípedo se deforma tal y como se indica en la figura 3.5,siendo las proyecciones de dicho estado de deformación sobre los planoscoordenados las representadas en las figuras 3.6, 3.7 y 3.8 (en las que se hanincluido los desplazamientos u, v, w, del punto O).

Siendo u, v, w los desplazamientos del punto O según los ejes coorde-nados x, y, z, el desplazamiento del punto A, en dirección x será:

[3.17]

Por tanto, el aumento de longitud del segmento OA, será:

[3.18]

Por lo que el alargamiento unitario en dirección x es:

[3.19]

Análogamente los alargamientos unitarios en las direcciones y, z son:

[3.20]

Cuando εx, εy o εz sean negativos reciben el nombre de acortamientos.

ε ∂∂

ε ∂∂y z

vy

wz

= =� ;

ε ∂∂x

ux

=

∆dxux

dx= ∂∂

uu

xdx+

∂∂

y

B

O A

A1

A

O1

B1B

dx

dy

u

x

ν

C

O A

A2

O2

C1C

dx

dz

u

x

εA

ε

C O

B

B2

O3

C2

b

y

z

C

B


91


Veamos cuál es la variación del ángulo inicialmente recto que formanlas direcciones correspondientes a los segmentos OA y OB (figura 3.6).

El desplazamiento del punto A en la dirección y es . El segmen-to OA pasa a la posición O1A1, experimentando un giro infinitesimal.

[3.21]

El desplazamiento del punto B en la dirección x es . El segmen-

to OB se convierte en O1B1, siendo el giro infinitesimal experimentado:

[3.22]

Sumando [3.21] y [3.22], obtenemos:

[3.23]

Siendo γxy la variación del ángulo inicialmente recto formado por lasdirecciones Ox y Oy, que consideraremos positiva si dicho ángulo disminu-ye y negativa en caso contrario.

Procediendo análogamente con las direcciones representadas en lasfiguras 3.7 y 3.8, obtenemos:

[3.24]

[3.25]

Sustituyendo las componentes de la deformación del paralelepípedo ele-mental, dadas por las expresiones anteriores en la matriz [D], se obtiene:

vvx

dx+∂∂

uuy

dy+∂∂

γ ∂∂

∂∂yz

w

y

v

z= +

γ ∂∂

∂∂xz

uz

wx

= +

γ ϕ ϕ ∂∂

∂∂xy

v

x

u

y= + = +1 2

ϕ ∂∂2

1

1

= =B B

O B

u

y

'

'

ϕ ∂∂1

1

1

= =A A

O A

v

x

'

'


92

[3.26]

Como hemos comprobado, la matriz de deformación es simétrica por loque en el entorno del punto O han de existir tres direcciones ortogonalesentre sí tales que la aplicación de la matriz [D] sobre un vector orientadosegún cualquiera de ellas sólo cambiará su módulo. Tales son las direccio-nes principales de deformación a las que nos referimos seguidamente.

3.4. VECTOR DEFORMACIÓN UNITARIA. DIRECCIONESPRINCIPALES DE DEFORMACIÓN

Como hemos visto la deformación experimentada por un vector [dr—] es

[D] [dr—]. Si consideramos, en la misma dirección un vector unitario

la deformación correspondiente es un vector que llamaremos vector defor-

mación e– y que, en forma matricial, escribiremos:

[3.27]

o bien:

[3.28]e

x xy xz

xy[ ] =

ε γ γ

γ ε

12

12

12 yy yz

xz yz

�

z

12

12

12

γ

γ γ ε

αβγ

e D u[ ] = [ ] [ ]�

udrdr

=

D

x xy xz

xy[ ] =

ε γ γ

γ ε

12

12

12 yy yz

xz yz

�

z

12

12

12

γ

γ γ ε


93

donde α, β, γ son los cosenos directores de la dirección u–, respecto a los ejescoordenados x, y, z. En aquellos casos en que el vector deformación seacolineal con la dirección u–, se verificará:

[3.29]

o lo que es lo mismo:

[3.30]

Sustituyendo las componentes de la matriz [D], la ecuación anteriorequivale al sistema de ecuaciones siguiente:

[3.31]

La única solución del sistema [3.31] distinta de la trivial α=β=γ=0, seobtiene haciendo nulo el determinante del mismo, es decir:

[3.32]

Esta ecuación, totalmente análoga a la obtenida en el capítulo anteriorpara determinar las tensiones principales, permite obtener los valores delas deformaciones principales ε1 , ε2 , ε3 .

ε ε γ γ

γ ε

x xy xz

xy y

−12

12

12

−−

−

ε γ

γ γ ε ε

�12

12

12

yz

xz yz z

== 0

ε ε α γ β γ γ

γ α ε ε β γ

x xy xz

xy y yz

−( ) + + =

+ −( ) +

12

12

0

12

12

γγ

γ α γ β ε ε γ

=

+ + −( ) =

0

12

12

0xz yz z

D I u−[ ] [ ] =ε 0

e D u u[ ] = [ ] [ ] = [ ]� ε


94

Una vez obtenidos los valores de las deformaciones principales, lasdirecciones principales se obtienen sustituyendo las raíces de la ecuación[3.32] en las ecuaciones [3.31], teniendo en cuenta, como vimos en el casode las tensiones principales, la relación entre los cuadrados de los cosenosdirectores de la dirección correspondiente: α 2

i + β 2i + γ 2

i = 1, donde i=1, 2, 3,sucesivamente.

Las direcciones principales de deformación I, II y III son ortogonalesentre sí y coinciden, como veremos en el tema 4, con las direcciones prin-cipales de tensión. En la figura 3.9 se representa un elemento de volumen,cuyas caras son ortogonales a las direcciones I, II y III.

La matriz de deformación referida a los ejes o direcciones principales dedeformación es:

[3.33]

3.5. COMPONENTES INTRÍNSECAS DEL VECTORDEFORMACIÓN

En el elemento representado en la figura 3.9 sólo se producen deforma-ciones longitudinales, no habiendo, de acuerdo con [3.33] variaciones de

D[ ] =ε

εε

1

2

0 0

0 0

0 0 33

Figura 3.9.


95

los ángulos inicialmente rectos que forman entre sí las direcciones princi-pales I, II y III. Si consideramos cualquier dirección, de las infinitas quepasan por un punto de un sólido elástico, el vector deformación, definidoen [3.27], tendrá, por lo general, componentes tanto según dicha direccióncomo en dirección ortogonal a la misma (figura 3.10).

A la proyección del vector e– según la dirección considerada la llamare-mos deformación longitudinal, ε, mientras que la otra componente recibeel nombre de deformación angular .

Podemos escribir:

[3.34]

[3.35]

Si bien puede pensarse que denominamos a la deformación angular conpor similitud con los elementos rectangulares de la matriz de deforma-

ciones, podemos comprobar que la mitad de la variación del ángulo inicial-mente recto entre una dirección cualquiera definida por un vector unitariou– y otra dirección ortogonal a la misma es, precisamente la deformaciónangular.

Consideremos (figura 3.11) dos direcciones, definidas por los vectoresunitarios u–(α, β, γ ) y u–' (α', β', γ ').

ε

γ

eu

12

O

P

O1

dr

dr1

dr1

dr

P1

P1

P

(α β γ )(αβγ)

θ θ + δθ


γ2

e2 22

4= +ε γ

ε = e u� .

γ2


96

Sobre dichas direcciones definimos los vectores dr—

= OP—

y dr'—

= OP'—, que

forman entre sí el ángulo θ:

[3.36]

o, en forma matricial:

[3.37]

Tras la transformación los vectores dr—

y dr'—

se convierten en dr1—

= O1P1— y

en dr'1—

= O1P'1—, mientras que el ángulo entre sus direcciones pasa a ser θ+dθ.

Podemos escribir, análogamente a [3.36]:

[3.38]

o bien:

[3.39]

De acuerdo con [3.9], escribimos:

[3.40]

Sustituyendo en la expresión anterior:

[3.41]

Ya que las matrices [P] y [D] son infinitesimales, sus productos son infi-nitésimos de orden superior, que despreciamos de acuerdo con la hipótesis

cos

'

+d+ + + +

T

θ θ( ) = [ ] [ ]

dr I P D I P D dr

T

1

ddr dr1 1. '

dr I P D dr

dr I P D dr

1

1

= + +[ ]

= + +[ ] ' '

cos +d. dr

r . r

T

1'

1 1'θ θ( ) =

dr

d d

1

cos +d. dr

r . r1'

1 1'θ θ( ) =

dr

d d1

cos.

'dr'

r'

T

θ = = [ ] [ ]dr

dr du u

T

cos. dr'

r . r'θ =

drd d


97

de pequeños desplazamientos y deformaciones. Además, [P]T=-[P], por loque [3.41] queda como sigue:

[3.42]

Ahora bien,

[3.43]

Análogamente, [3.44}

Si escribimos en vez de los vectores dr—

y dr'—, los productos de sus módu-

los por los vectores unitarios u– y u'–, la expresión [3.42] se convierte en:

[3.45]

Según [3.37],

Además,

Por lo que, sustituyendo, se obtiene:

[3.46]

Simplificando, y despreciando infinitésimos de orden superior, queda:

[3.47]ε ε θ θ θ+( ) − = [ ] [ ][ ]' cos 'd sen u D uT

2

1 2+ +( ) −( ) = + [ ] [ ][ ]ε ε θ θ θ θ' cos cos 'd sen u D uT

c d d sen send cos + = os -dθ θ θ θ θ θ θ θ( ) = −cos cos senθε ε ε ε1 1 1 1+( ) +( ) ≈ + +' '

cos 'θ = [ ] [ ]u uT

1 1 2+( ) +( ) ( ) = [ ] [ ] + [ ] [ ][ε ε θ θ' cos ' '+d u u u D uT T ]]

dr dr1 1' ' '= +( )ε

ε ε=−

= +( )dr dr

drdr dr1

1 1por lo que

cos'

'+d+

r . r

T

1

θ θ( ) = [ ] =dr I D dr

d d

2

1

ddr dr

d d

dr D dr + [ ]

T

1

T

r . r

' ''

1

2 d dr . r1 1

'


98

Despejando dθ, se obtiene:

[3.48]

[3.49]

Se hace dθ = −γ, porque, de acuerdo con lo señalado anteriormente, elaumento de un ángulo inicialmente recto, debe considerarse negativo.

Por tanto,

[3.50]

γ es la variación del ángulo inicialmente recto que forman las direcciones u–

y u'–.

Pero, de acuerdo con la figura 3.10, es la proyección del vector e– endirección ortogonal a la suya.

3.6. REPRESENTACIONES GRÁFICAS DEL ESTADO DEDEFORMACIÓN EN EL ENTORNO DE UN PUNTO

Análogamente a como vimos en el tema anterior, con la ayuda de dis-tintos lugares geométricos, podemos establecer gráficamente la relaciónentre el vector deformación en un punto de un sólido elástico y la direccióncorrespondiente.

Consideramos en primer lugar las representaciones gráficas espacia-les: elipsoide de deformaciones y cuádricas indicatrices y directrices dedeformación.

El elipsoide de deformaciones es el lugar geométrico del extremo delvector deformación en un punto de un sólido elástico. Su ecuación, en lareferencia principal es:

γ2

γ2

= [ ] [ ][ ]u D uT

'

d u D uTθ γ= − [ ] [ ][ ] = −2 '

du D u

sen

T

θε ε θ

θ

θ π

=− [ ] [ ][ ] + +[ ]2 ' ' cos

Cuando =2

, os =0c senθ θ; = 1


99

[3.51]

La ecuación de las cuádricas indicatrices de deformación, correspon-

diente al lugar geométrico del extremo del vector , es:

[3.52]

Siendo, x, y, z las coordenadas del punto Q y u– el vector unitario segúnuna de las direcciones que pasan por el punto en cuestión.

Las cuádricas directrices de deformación, lugar geométrico de los extre-

mos del vector responden a la ecuación:

[3.53]

Por las mismas razones expuestas en el análisis del estado tensional, larepresentación gráfica espacial es poco utilizada, por lo que omitimos lasfiguras correspondientes así como la discusión de qué tipo de cuádricas(elipsoides e hiperboloides, reales o imaginarios) son las representadas por[3.52] y [3.53] según los valores y los signos de ε1 , ε2 y ε3.

Mucho más eficaz que la representación espacial es la representacióngráfica plana de las componentes intrínsecas del vector deformación e–,dada por los círculos de Mohr de deformaciones.

El razonamiento es el mismo que el seguido en el punto 2.6, sin más que

sustituir las componentes intrínsecas del vector tensión f–(σ, τ) por las com-

ponentes intrínsecas del vector deformación

Puede comprobarse, por tanto, que el extremo del vector deformaciónse situará sobre el área rayada en la figura 3.12, siendo exterior a las cir-cunferencias C1 y C3 e interior a la circunferencia C2.

Las expresiones matemáticas de las circunferencias C1, C2 y C3 son:

e ε γ� ,12

x y z2

1

2

2

2

3

1ε ε ε

+ + = ±

ORe

=ε

ε ε ε12

22

32 1x y z+ + = ±

OQ u=1

ε

e e ex y z2

12

2

22

2

32 1

ε ε ε+ + =


100

[3.54]

[3.55]

[3.56]

En la figura 3.12 se han representado únicamente la mitad de las cir-cunferencias C1, C2 y C3, así como el área encerrada entre ellas, ya que nose ha definido signo alguno para la deformación angular unitaria γ.

La utilización de los círculos de Mohr de deformaciones permite obte-ner gráficamente las componentes intrínsecas del vector deformación en unpunto según una dirección determinada, así como resolver el problemainverso, aunque, como ya se indicó al estudiar los círculos de Mohr de ten-siones, no exista correspondencia biunívoca entre el punto representativodel estado de deformación y la dirección correspondiente.

3.7. DEFORMACIONES OCTAÉDRICAS

Al igual que en el estudio de la tensión, podemos llamar vector defor-mación octaédrica, e–o, al correspondiente a una dirección que forma ángu-los iguales con los ejes coordenados (se supone, para mayor sencillez, queéstos coinciden con las direcciones principales de deformación).

C

C

12 2

2 3 2 3

22 2

14

0

14

:

:

ε γ ε ε ε ε ε

ε γ

+ − +( ) + =

+ − εε ε ε ε ε

ε γ ε ε ε ε ε

3 1 3 1

32 2

1 2 1 2

0

14

+( ) + =

+ − +( ) +C : == 0


101

ε3 ε2 ε1 ε

e

γ12

Figura 3.12.

Las componentes intrínsecas de la deformación octaédrica sonsiendo:

[3.57]

y deduciéndose de la relación:

[3.58]

Podemos también descomponer la matriz de deformación [D], en lareferencia principal,

[3.33]

en la suma de otras dos:

[D] = [D1] + [D1] [3.59]

siendo

[3.60]

y

[3.61]D2

1 0

[ ] =−ε ε

ε0 0

0 22 0

3 0

−−

ε

ε ε� 0

0 0

D1

0

0[ ] =ε

ε0 0

0 0

0 0 εε0

D[ ] =ε

εε

1

2

0 0

0 0

0 0 33

e02

02

021

4= +ε γ

γ 0

12

εε ε ε

01 2 3

3=

+ +

ε γ0 0

12

,


102

La matriz [D1] produce sólo un cambio de volumen, al desplazarse para-lelamente a sí mismas las caras del elemento de volumen representado enla figura 3.4, mientras que la matriz [D2] produce cambio de forma y no devolumen.

Las matrices [D1] y [D2] reciben, respectivamente los nombres de matrizesférica de deformación y matriz desviadora.

3.8. ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD

A lo largo del presente tema, hemos establecido las relaciones entre lascomponentes del vector desplazamiento en un punto de un sólido elástico(u, v, w), con las componentes del giro y de la deformación. Es evidente que,conocido el campo de desplazamientos en dicho sólido, si u, v y w son fun-ciones continuas y derivables de las coordenadas de sus puntos, puedenobtenerse, a partir de ellas, las componentes de la deformación. ¿Es posibleresolver el problema inverso, esto es, conocidas las componentes de la defor-mación, se pueden determinar, sin ninguna restricción, las componentes delvector desplazamiento en todos los puntos del sólido elástico?

Es fácil ver que las deformaciones no pueden ser arbitrarias. Las com-ponentes de la deformación (elementos de la matriz de deformación) sonseis, mientras que el vector desplazamiento tiene sólo tres componentes, loque exige la existencia de relaciones entre aquéllas. A esta razón matemáti-ca se añade otra razón física aún más importante: si las deformaciones delos puntos de un sólidos elástico fuesen arbitrarias, los paralelepípedos ele-mentales como el de la figura 3.4, se convertirían en elementos de volumendeformados (figura 3.5), que muy difícilmente encajarían unos con otros, loque está en contra de las hipótesis básicas de homogeneidad, continuidade isotropía, admitidas en nuestro estudio (tal encaje de elementos defor-mados sólo es posible en casos muy aislados, como en la deformación cons-tante en todos los puntos del sólido).

Para establecer las relaciones que deben existir entre las componentesde la deformación volvamos a la ecuación [3.5], que nos expresa la des-composición de la matriz de la transformación en un punto de un sólidoelástico en suma de dos matrices, de giro y de deformación:

[M]=[P]+[D] [3.5]


103

Teniendo en cuenta, tanto [3.4] como [3.15] y [3.26], podemos escribir:

[3.62]

A partir de estas expresiones podemos escribir las ecuaciones diferen-ciales exactas, du, dv, dw:

[3.63]

Las condiciones de integrabilidad de las ecuaciones [3.63] se obtienenigualando las derivadas cruzadas:

[3.64]

De las ecuaciones [3.64] podemos deducir las derivadas de las compo-nentes del giro, px, py y pz respecto de las variables x, y, z.

∂ε∂

∂γ∂

∂∂

∂γ∂

∂∂

∂γ∂

x xy z xy z xz

y x

p

x z

p

z= − − =

12

12

12

;yy

p

y x

p

x z

y

p

y

y xz y x

xy z

+ + =

+

∂∂

∂γ∂

∂∂

∂ε∂

∂γ∂

∂∂

;12

12

== = − −∂ε∂

∂ε∂

∂γ∂

∂∂

∂γ∂

∂∂

y y yz x yz x

x z y

p

y x

p

x; ;

12

12

== +

− = +

12

12

12

∂γ∂

∂∂

∂γ∂

∂∂

∂γ∂

∂

xy z

xz y yz x

z

p

z

y

p

y x

p

∂∂∂γ

∂∂

∂∂ε∂

∂ε∂

∂γ∂

∂x z

p

z y x z

pyz x z z xz y; ;12

12

+ = = −∂∂z

duux

dxuy

dyuz

dz dx px xy z= + + = + −

∂∂

∂∂

∂∂

ε γ12

ddy p dz

dvvx

dxvy

dyvz

dz

xz y+ +

= + +

12

γ

∂∂

∂∂

∂∂

== +

+ + −

=

12

12

γ ε γxy z y yz xp dx dy p dz

dw∂∂∂

∂∂

∂∂

γ γwx

dxwy

dywz

dz p dxxz y y+ + = −

+12

12 zz x zp dy dz+

+

ε

∂∂

ε ∂∂

γux

uy

px xy z= = −12

∂∂

γ

∂∂

γ

uz

p

vx

p

xz y

xy z

= +

= +

12

12

∂∂

ε ∂∂

γ

∂∂

vy

vz

p

w

y yz x= = −12

xxp

w

ypxz y yz x= − = +

12

12

γ ∂∂

γ ∂∂

εw

z z=


104

[3.65]

Podemos escribir ahora las expresiones diferenciales exactas de lascomponentes del vector giro, dpx, dpy, dpz:

[3.66]

Las condiciones de integrabilidad de las ecuaciones [3.66] son, una vezmás, las que se obtienen igualando las derivadas cruzadas:

[3.67]

Como puede comprobarse las tres últimas ecuaciones [3.67] están repe-tidas por lo que las condiciones de integrabilidad se reducen a seis que sonlas llamadas ecuaciones de compatibilidad de deformaciones.

22∂ ε

∂ ∂∂

∂∂γ

∂∂γ

∂∂γ

∂x yz xz xy

y z x x y z= − + +

;∂∂ γ∂ ∂

∂ ε∂

∂ ε∂

∂ ε∂ ∂

∂∂

∂γ

2 2

2

2

2

2

2

xy x y

y x

x y y x

x z y

= +

= − zz xy yz yz y

y z x y z z∂∂γ

∂∂γ

∂∂ γ∂ ∂

∂ ε∂

+ +

=;2 2

22

2

2

2

2

+

= − + +

∂ ε∂

∂ ε∂ ∂

∂∂

∂γ∂

∂γ∂

∂γ∂

z

z xy yz xz

y

x y z z x yy x z x zxz z x

= +

;

∂ γ∂ ∂

∂ ε∂

∂ ε∂

2 2

2

2

2

dpy z

dxy zx

xz xy yz y= −

+ −1

212

∂γ∂

∂γ∂

∂γ∂

∂ε∂

+ −

= −

dyy z

dz

dpz

z yz

yx

∂ε∂

∂γ∂

∂ε∂

12

12

∂∂γ∂

∂γ∂

∂γ∂

∂xz xy yz

xdx

z xdy

+ −

+12

12

γγ∂

∂ε∂

∂γ∂

∂ε∂

xz z

zxy x

z xdz

dpx y

−

= −

12 + −

+ −dxx y

dyx y

y xy yz xz∂ε∂

∂γ∂

∂γ∂

∂γ∂

12

12

dz

∂∂

∂γ∂

∂γ∂

∂∂

∂γ∂

p

x y z

p

yx xz xy x yz= −

=12

12

;yy z

p

z y z

p

x z

y x z yz

y x

− = −

= −

∂ε∂

∂∂

∂ε∂

∂γ∂

∂∂

∂ε∂

;12

112

12

∂γ∂

∂∂

∂γ∂

∂γ∂

∂xz y xy yz

x

p

y z x� ; ;= −

pp

z z x

p

x x y

y xz z

z xy x

∂∂γ

∂∂ε∂

∂∂

∂γ∂

∂ε∂

= −

= −

12

12

;∂∂∂

∂ε∂

∂γ∂

∂∂

∂γ∂

∂γp

y x y

p

z xz y xy z yz xz= − = −

12

12

;∂∂ y


105


1. El vector desplazamiento en los puntos de un medio elástico tiene decomponentes:

u = 4ay2 ; v = 2ax2 ; w = az2 ; (a = 10–3).

Se pide:

a) Matriz de deformación de un punto P (x, y, z)

b) Vector desplazamiento para Q (1, 1, 1)

c) Giro en un entorno de Q.

d) Direcciones principales en Q.

e) Transformada de una esfera de radio dr0 y centro en Q.

2. Las componentes de la deformación de los puntos de un medio elás-tico son:

Se pide:

a) Comprobar que el estado de deformación es físicamente posible.

b Obtener las expresiones de los vectores giro y desplazamiento, sabien-do que ambos son nulos en un entorno del origen.

c) Deformaciones y direcciones principales en el punto P de coordena-das (1, 1, 1).

3. En el cubo representado en la figura se realizan una serie de medi-das mediante la utilización de galgas extensométricas en las direccionesindicadas. Sabiendo que los valores de las medidas obtenidos son:

εa = 100.10–6 ; εb = 200.10–6 ; εc = 200.10–6 ; εd = 200.10–6

εe = 350.10–6 ; εf = 150.10–6

ε ε ε

γ γx

xy

k

k kx

= = =

= =

2 0 0

4 4

; ;

;

y z

xz;; ; k=10

yz-4γ = +( )2 2k y z


106

Calcular:

a) La matriz de deformaciones.

b) Las deformaciones y direcciones principales.

c) Las componentes intrínsecas del vector deformación asociado a ladirección coincidente con el eje «Z».

4. El sólido en forma de paralelepípedo mostrado en la figura estásometido a un campo de desplazamientos dado por:

a) Determinar la matriz de deformación en todos los puntos del sólido.

b) Determinar el aumento de volumen del sólido.

Siendo a = 104 m.

δr r r ur

= + +( )12

2 2 2

ax i y j z k

z

y

x

1m

1m

10 m


107


1. a) La matriz de deformación es:

b)

c) La matriz de giro [P] es:

P[ ] =

–p p

p 0 –p

–

z y

z x

0

pp p 0y x

=

012

12

∂∂

∂∂

∂∂

uy

vx

uz

−

−−

−

∂∂

∂∂

∂∂

wx

vx

uy

12

012

12

∂∂

∂∂

∂

vz

wy

−

ww

x

u

z

w

y

v

z∂∂∂

∂∂

∂∂

−

−

12

0

rδ Q a i j k= + +( )4 2

= =� ;∂∂

∂∂

ux

uy

0 8aayuz

vx

axvy

; ; ; ;∂∂

∂∂

∂∂

= = =0 4 0∂∂∂

∂∂

∂∂

vz

wx

wy

= =

=

0 0

0

;

;∂∂∂wz

az

D

a

=

[ ] =( )

2

0 2 2y+x

2y+x

0

2 0a( ) � 0

00 z2a

D

x xy xz

xy[ ] =

ε γ γ

γ

12

12

12

ε γ

γ γ ε

y yz

xz yz z

12

12

12

=

∂∂

∂ux

12

uuy

vx

uz

wx∂

∂∂

∂∂

∂∂

+

+

12

122

∂∂

∂∂

∂∂

uy

vx

vy

+

12

12

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

vz

wy

u

z

w

x

+

+

12

∂∂

∂∂

∂∂

v

z

w

y

w

z+


108

d) Aplicamos la ecuación [D–εI][u–]=0 (A)

• Para el punto

Ha de cumplirse:

• Para ε1=6a, sustituyendo en (A)

− + =− =− =

6 6 0

6 6 0

4 0

1 1

1 1

1

a a

a a

a

α βα β

γ

; 1

a12

12

12

1 1

12

1

0

2 1

+ + =

= =

=

β γ

α β γ

α ; 1α β= =

= +

1

1

1

21

2

1

2u i j

6 0

6 - 0

0

− εεa

a

0 2 -

; ;

a

a a

εε ε ε= → = − = =0 2 36 02 2 ±±

= = = −

6

6 2 61 2

a

a a aε ε ε� ; ; 3

D

a

a =6 0

6 0 0

0 0

0

2a

Para ;Q p ak1 1 1 2, ,( ) = −r

[ ] =P

00 2 0

2

2y–x

x–2y

a

a

( )( ) � 00

0 0

;

0

rpp p i p j p kx y z= + +

�rp a x= 2 −−( )2y k


109

• Para ε2 = 2a, u2– = k– α2= β2=0 ; γ2=1

e) El punto Q (1, 1, 1) pasa a Q' (1+4a ; 1+2a ; 1+a)

Si hacemos coincidir un sistema de ejes coordenados con los ejes prin-cipales y origen en Q', las longitudes iniciales dr0 según los ejes principalesse convierten en dr0 (1+ε1) ; dr0 (1+ε2) ;dr0 (1+ε3)y la esfera se convierte enun elipsoide.

2. a) Al ser las componentes de la deformación constantes o funcioneslineales de las coordenadas de los puntos del sólido, las seis ecuaciones decompatibilidad [3.67] se convierten en identidades, por lo que el estado dedeformación es físicamente posible.

b) Las componentes del vector giro las obtendremos integrando lasecuaciones diferenciales:

dpy z

dxyx

xz xy yz y= −

+ −12

12

12

∂γ∂

∂γ∂

∂γ∂

∂ε∂zz

dyy z

dz

dpz

z yz

yx

+ −

= −

∂ε∂

∂γ∂

∂ε∂

12

112

12

12

∂γ∂

∂γ∂

∂γ∂

xz xy yz

xdx

z xdy

+ −

++ −

= −

12

12

∂γ∂

∂ε∂

∂γ∂

∂ε∂

xz z

zxy x

z xdz

dpx y

+ −

+ −dxx y

dyx

y xy yz∂ε∂

∂γ∂

∂γ∂

12

12

12

∂∂γ∂

xz

ydz

x y z x' ' ' '2

1

2

2

2

2

2

3

2

2

1 1 11

1+( )+

+( )+

+( )= ⇒

ε ε ε�

++( )+

+( )+

−( )=

6 1 2 1 61

2

2

2

2

2a

y

a

z

a

' '

u u u

i

3 1 2= =� x

j k

1

2

1

20

0 0 1

= −1

2

1

2i j


110

Sustituyendo:

Ya que es nulo el giro en un entorno del origen, serán px0 = py0 = pz0 = 0y, por tanto,

El vector desplazamiento se obtiene integrando las ecuaciones diferen-ciales exactas:

Sustituyendo:

Al ser nulo el desplazamiento en un entorno del origen,

u v w u k x y v k x z0 0 020 2 2= = = = +( ) = +( )� ; ; ; w k x y

k x y i k x z j k x y

= +( )= +( ) + +( ) + +(

2

2 2 2

2 2

2 2 2r

δ )) k

du kdx kdy dz

dv kdx dy kzdz

dw

= + += + +

=

2 2 0

2 0 4

4

.

.

kkxdx kydy dz

u

+ +

2 0 .

u k x y u

v k x z

+

= +( ) +

= +

2

2

2

0

2(( ) +

= +( ) +

v

w k x y w

0

2 20

2

du dx p dy p dz

dv

x xy z xz y= + −

+ +

ε γ γ1

2

1

2

== +

+ + −

=

1

2

1

2γ ε γxy z y yz xp dx dy p dz

dw112

12

γ γ εxz y yz x zp dx p dy dz−

+ +

+

p k y z p kx p

p k y z i

x y= −( ) = − =

= −( ) −

2 2 0

2

; ; z

r22kxj

dp dx kdy kdz

dp kdx dy dz

d

x

y

= + −

= − + +

0 2

2 0 0

.

. .

pp dx dy dz

p

z= + +

0 0 0. . .

p k y z p

z

x = − +

0

2( ) xxo

y yo

z zo

p kx p

p p

= − +

=

2


111

c) En el punto P, las componentes de la deformación son:

La matriz de deformación es, por tanto:

Las deformaciones principales se obtienen resolviendo la ecuación[D–εI][u–]=0 cuya solución no trivial se deduce de:

Una raiz es ε' = −3; las otras dos raices se obtienen, aplicando la regla deRuffini:

Por tanto, será:

ε ε

ε

' '

',

– ,

2 5 2 0

5 25 82

5 37

0 37

− − =

=± +

–2 –17 –6

–3 –

1

33 +15 +6

1 –5 –2 0

k

2 2 2

2 3

2

−−

εε

'

'

3

0 2 24 8 9 2 0

2

2

−= ⇒ −( ) + + − −( ) =

εε ε ε ε

ε

'

' ' ' '

'22 3 3 224 8 18 9 0 2 17 6 0− + + − + = ⇒ − − − =ε ε ε ε ε ε' ' ' ' ' '

D

k k k

k k

k k

=2 2 2

2 0 3

2 3 0

ε ε εγ γ γx y z

xy xz yz

kk k k

= = =

= = =

2 0 04 4 6

; ;; ;


112

Las deformaciones principales se obtienen multiplicando los valoresobtenidos para ε' por k=10–4:

ε1 = 5,37 · 10–4 ; ε2 = 0,37 · 10–4 ; ε3 = 3 · 10–4

Las direcciones principales se obtienen sustituyendo las raices ε1 , ε2 , ε3

en la ecuación [D–εI][u–]=0.

De la 2.a y 3.a ecuaciones –8,37β1 + 8,37γ1 = 0

β1=γ1

Sustituyendo en la 1.a:

Sustituyendo en la ecuación

Para .ε ε= = − = −

+

−2

40 37 10 0 37

2 0 37

, ,

,

k

k k � 2k 2k

2k 0,337k 3k

2k 3k 0,37k

=

αβγ

2

2

2

0

0

0

3 41 1 0 541 0 64312

1 1 1

1

, , ,β β γ α= + ± = = ±

=

; ;

u 00 643 0 541 0 541, , ,i j k+ +

α β γ12

12

12 1+ + =

− + = = =3 37 4 04

3 371 19

1 1 1 1 1,

,,α β α β β� ;

− + + =− + =+

3 37 2 2 0

2 5 37 3 0

2 3

1 1 1

1 1 1

1

,

,

α β γα β γα β

�

11 15 37 0− =

, γ

Para .

- ,

ε ε= = =−1

45 37 10 5 37

2 5 37

, , k

k k �

- ,

2 2

2 5 37

k k

k k � 3

2 3

k

k k −−

=

5 37

0

0

0

1

1

1, k

αβγ


113

La tercera dirección principal se obtiene directamente calculando:

Por tanto, las deformaciones y direcciones principales son:

3. a) Las galgas o bandas extensométricas son dispositivos eléctricosque permiten determinar la deformación longitudinal del sólido sobre elque se aplican, en la dirección definida para cada una de ellas. Las galgaspueden estar agrupadas formando una roseta de medidas extensométricasy miden el alargamiento o el acortamiento unitarios en el punto del sólidoen que están aplicadas.

La roseta a-b-c se encuentra aplicada sobre un plano paralelo al XY, porlo que podemos obtener directamente, el valor de εy:

εy = εa = 100 · 10–6

ε

ε1

4

2

5 37 10 0 643

0

= ( )= −

−, ,

,

. ; 0,541 ; 0,541

337 10

3 1

4

3

. 0,766 ; 0,454 ; 0,454

.

− −( )= −ε 00 4− ( )0 ; -0,706 ; 0,706

u

i j k

3 0 643= , 0,541 0,541

-0,766 0,454 00,454

= − +0 706 0 706, ,j k

+ + =+ + =

2 37 2 2 0

2 0 37 3 0

2

2 2 2

2 2 2

,

,

α β γα β γα 22 2 2

2 2

3 0 37 0

2 63 2 63 0

+ + =

− = =

β γ

β γ β

,

, , ; 2 γγ

α β α β

α β γ

2

2 2 2

22

22

22

2 37 4 04

2 37,

,+ = = −

+ + =

� ; 2

11 4 85 1 0 454 0 76622

2 2⇒ = = = ± =, , ,β β γ α� ; ; 2 ∓

u22 0 766 0 454 0 454= − + +, , ,i j k


114

Los valores de εx y γxy se obtienen a partir de las medidas εb y εc.

Como γ es 0, tanto en la dirección b como en la c:

Sumando las dos ecuaciones:

400 · 10–6= εx + 100 · 10–6 ; εx = 300 · 10–6

Sustituyendo en la 1.a ecuación:

La roseta d-e está aplicada según un plano paralelo al YZ. Por tanto,

εz = εd = 200 · 10–6

La dirección e es: 0, ,1

2

1

2

2 10 150 102

6 600 · · 10 50 · ;-6xy

− −= + +γ

γxy == 0

ε ε γ

ε

b x xy

c

= = + +

=

−200 1012

10012

12

200

6. . 10-6

. . 10-61012

10012

12

6− = + −

ε γx xy

Dirección b:1

2

1

2, 0

Dirección c:1

,

−22

1

2, 0

. ; es deci

,

= = [ ] [ ][ ]ε e u u D uT

rr:

= (xε ε α ε β ε γ γ αβ γ αγ γ βγ2 2 2+ + + + +y z xy xz yz AA)


115

Aplicaremos la ecuación (A) en la que α=0 y εy y εz son conocidos:

La galga extensométrica f, aplicada sobre un plano paralelo al XZ nospermitirá determinar el valor de γxz, a partir de los valores conocidos de εx

y εy (aplicaremos nuevamente la ecuación (A)

La dirección f es

La matriz de deformación es:

b) Las deformaciones y direcciones principales se obtienen de la ecuación:[D–εI][u–]=0

10

34−

− 0 –1

0 1–

εε 22

–1 2 2–εε ε ε

=

−( ) −( ) −( ) −

0

3 1 2 1 −−( ) − −( ) =ε ε

ε

4 3 0

D

xxy xz

xy yz

xz

[ ] = y

εγ γ

γε

γ

γ

2 2

2 2

22 2

10

3006

z

γεyz

= −

0 –100

0 100 200

–1000 200 200

3 0 –

= −10 4

11

0 1 2

–1 2 2

ε γf xz= = + +−15012

200 1012

6· 10 300 · 10 ·-6 -6 112

100 102

2006− = = −−· ; · 10-6γγxz

xz

1

20, ,

1

2

ε γe yz= = + +− − −350 10 100 1012

200 1012

6 6 6· · ·112

2002

400 10 6· 10 ; ·-6yz= = −γ

γyz


116

El orden correcto de las deformaciones principales es, pues:

ε1 = 4,15 · 10–4 ; ε2 = 2,51 · 10–4 ; ε3 = 0 · 66–4

En cuanto a las direcciones principales sustituiremos los valores de ε1 ,ε2 y ε3 en la ecuación [D–εI][u–]=0

• Para ε = ε1

• Para ε = ε2

0,49 0 –1

0

2

10 4− –1,51 2

–1 2 –0,51

=

αβγ

2

2

2

0

0

0

10 4−

–1,15 0 –1

0 –3,15 2

–1 2 –2,15

=

− − =

�

αβγ

α γ

1

1

1

1 1

0

0

0

1 15 0,

−− + =− + − =

+ +

3 15 2 0

2 2 15 01 1

1 1 1

12

12

,

,

β γα β γ

α β γγ α α α

α

12

12

1

2

1

2

12

1 0 73 1 15 1

1 0 53

= → + −( ) + −( ) =

+

, ,

, ++( ) = =

= = −

1 32 11

2 85

0 59

12

1

,,

,

;

; 1

α

α β 00 43 0 68, ,; 1γ = −

− + − − + − + =− +

ε

ε ε ε ε εε

6 11 6 1 12 4 0

6

2 3

3 εε ε ε ε εε

2 3 2

14

6 7 0 6 6 7 0

2 51 10

− − = − + + =

= →−

;

·, εε ε

ε

2

2

3 49 2 76 0

3 49 3 49 4 2 762

3

− − =

=+ ± +

=+

, ,

, , , ,· 449 4 872

4 15 10 0 66 1024

±

= + = −− −

,

, ,ε ε� · ; ·344


117

γ α

β α β α

1 1

1 1 1

1 15

3 15 2 3 02 33 15

= −

− − = = −

,

, ,,,

; 1 == −0 73 1, α

Las deformaciones y direcciones principales son:

La dirección Z es (0, 0, 1):

4. a) Apartir de los componentes del vector δ– obtenemos las compo-nentes, de la deformación:

δ = + + = + +( ) = =ui v j wka

x i y j z k uxa

vya

12 2 2

2 2 22 2

; , ,, wza

=2

2

e D u[ ] = [ ][ ] = −10 4

3 0 –1

0 1 2

–1 22 2

=

−

−

0

0

1

10

1

2

2

4

= = =

= − =

−e

e

2 82

2 2

9 10 2

12

. ; · 10–4ε ε

γ ε 99 10 4 10 58 8· · · 10-4− −− =

ε

ε1

2

4 15 0 59

2 51

= ( )=

, ,

,

· 10 ; –0,43 ; –0,68–4

· 10 ,78 ; 0,50 ; –0,38

· 10

–4

–

0

0 663

( )= −ε , 44 ; –0,75 ; +0,630 18,( )

0 4, 99 0

1 51 2 0

2 0 51 0

2 2

2 2

2 2 2

α γβ γ

α β γ

− =− + =− + − =

,

,

αα β γ α α α

α

22

22

22

22

2

2

2

2

22

1 0 65 0 49 1+ + = → + ( ) + ( ) =, ,

11 0 42 0 24 11

1 660 78

22

2

+ +( ) = =

=

, ,,

,

;

;

α

α ;

x

2 2β γ= =

= =

0 50 0 38

3 1 2

, ,

u u u

i j

–0,43 –0,68

0,7

k

0 59,

88 0,50 0,38

= − +0 18 0 75 0 63, , ,i j k


118

γ αβ α β α

2 2

2 2 2

0 49

1 51 0 98 0 0 65

=− + = =

,

, , ,; 2

La matriz de deformaciones será:

b) Al ser nulas las deformaciones angulares, γxy , γxz , γyz , el paralelepípe-do se deforma desplazándose sus caras paralelamente a sí mismas, por loque el aumento de su volumen será igual a la diferencia entre el voluménfinal Vf y el volumen inicial Vi.

Vi = 1 x 1 x 10 = 10 cm3 (dimensiones en metros).

Va a af =

+

+

= +1+1

1010

11

1 0 000, 11 10 0 001 1 0 0001 10 003( ) +( ) +( ) =

=

, , ,

–

cm3

∆V V Vj i == =0 003 30003, cm cm3 3

D

x xy xz

xy y[ ] =

ε γ γ

γ ε

�12

12

12

12

12

12

γ

γ γ ε

yz

xz yz y

=

xxa

ya

0 0

0 0

0 0zz

a

a

x

=1

0 0

0 yy

z

0

0 0

= ; = ;u

x

x

a

v

y

y

a

wx y z

=

=∂∂

=∂∂

=∂∂

ε ε εzz

z

a

uy

vx

uz

wxxy xz

=

+ =0; + =0;γ γ=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

+ =0γ yz

vz

wy

=∂∂

∂∂


119

Tema 4

Relaciones entre los estados de tensióny de deformación

4.1. Introducción

4.2. Ecuaciones generales

4.3. Determinación experimental de las relaciones entretensiones y deformaciones. Ley de Hooke

4.4. Deformación transversal. Módulo de Poisson

4.5. Principio de superposición de efectos

4.6. Leyes de Hooke generalizadas

4.7. Ecuaciones de Lamé

122


123

TÍTULO DE CAPÍTULO

4.1. INTRODUCCIÓN

En los capítulos anteriores hemos estudiado, por separado, el estado detensión en los puntos de un sólido elástico (tema II) y el estado de defor-mación en el entorno de dichos puntos (tema III). Aunque hemos estudia-do tensiones y deformaciones en forma absolutamente independiente, nodebemos perder de vista que unas y otras están originadas por la solicita-ción a la que está sometido el sólido, de forma que, como ya indicamos enel Tema I, pueden considerarse deformaciones y tensiones como causa yefecto, por lo que no pueden ser independientes entre sí.

Si bien pueden llegarse a establecer las ecuaciones constitutivas (o derelación entre tensiones y deformaciones) utilizando razonamientos basa-dos en la Termodinámica, es más usual establecer dichas ecuaciones porvía experimental, a partir de los resultados de determinados ensayos delaboratorio, a los que nos referimos más adelante.

Estudiaremos en primer lugar las leyes de comportamiento para un sóli-do cualquiera para pasar posteriormente a considerar dichas leyes introdu-ciendo las hipótesis básicas supuestas para los sólidos elásticos: continui-dad, homogeneidad e isotropía.

4.2. ECUACIONES GENERALES

En el caso más general, cada una de las componentes de la tensión puedeescribirse en función de las componentes de la deformación como sigue:

[4.1]

σ ε ε ε γ γ γσ ε ε ε γ γ γσ ε ε ε γ γ γτ

x x y z xy xz yz

y x y z xy xz yz

z x y z xy xz yz

x

k A B C D E Fk A B C D E Fk A B C D E Fk

= + + + + + +

= + + + + + +

= + + + + + +

=

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3

4

[4.1]

Se obtienen, como se ve, seis ecuaciones con 42 parámetros, que sereducen a 36 si establecemos la hipótesis de que inicialmente no hay nin-guna tensión, por lo que los términos independientes se anulan.

La condición de homogeneidad obliga a que los coeficientes de la ecua-ción [4.1] sean constantes, de forma que las propiedades físicas del sólidodeben ser las mismas en cualquier punto del mismo.

La hipótesis de continuidad exige, como ya vimos en los capítulos 2 y 3,que las componentes de la tensión y las de la deformación sean funcionescontinuas de las coordenadas de los puntos del sólido elástico.

En ausencia total de isotropía (materiales anisótropos) existirían, enprincipio, 36 constantes elásticas, si bien puede demostrarse que sólo 18son distintas. Si el grado de anisotropía disminuye, lo hace también elnúmero de constantes elásticas distintas (9 en el caso de materiales ortogo-nalmente isótropos y ortótropos como la madera; 5 en el caso de materia-les transversalmente isótropos como los plásticos reforzados).

En el caso de que los materiales sean isótropos, lo que con gran aproxi-mación cumplen los más utilizados en las aplicaciones constructivas (hormi-gones y aceros), el número de constantes elásticas distintas es de sólo 2.

Cualquiera que sea el grado de anisotropía las constantes elásticasdeben determinarse experimentalmente, a través de la realización de ensa-yos de laboratorio, siendo el más utilizado el de tracción, que describimosen el epígrafe siguiente.

4.3. DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LAS RELACIONESENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES. LEY DE HOOKE

Como hemos indicado, la determinación de las constantes elásticas sehace habitualmente por vía experimental, mediante la realización de loscorrespondientes ensayos de laboratorio.

τ ε

x

xy x

k

k A B

=

= + +

1

4 4 44 4 4 4 4

5 5 5 5 5 5 5

6 6 6 6 6 6 6

ε ε γ γ γτ ε ε ε γ γ γτ ε ε ε γ γ γ

y z xy xz yz

xz x y z xy xz yz

yz x y z xy xz yz

C D E Fk A B C D E Fk A B C D E F

+ + + +

= + + + + + +

= + + + + + +


124

El conocimiento de las propiedades mecánicas de un material se realizasometiendo a una pieza del mismo cuyas características geométricascorresponden al sólido tipo barra, definido en el Tema 1 y que recibe elnombre de probeta, a una de las solicitaciones simples definidas en dichocapítulo. Para que los resultados del ensayo sean extrapolables a cualquiersólido constituido por dicho material y sean, por tanto, representativos delcomportamiento del mismo, el ensayo ha de ser homogéneo, lo que quieredecir que los estados de tensiones y deformaciones originados por la solici-tación sean idénticos en la mayor parte de los puntos de la probeta y duran-te la mayor parte de la ejecución de la prueba mecánica. Tal condición secumple con gran exactitud en el ensayo de tracción y, con algunas limita-ciones, en el de compresión. El primero de ellos, al que nos vamos a referirseguidamente, se realiza sobre probetas de materiales metálicos (por ejem-plo, el acero), mientras que el segundo se utiliza para estudiar el compor-tamiento de los materiales pétreos, como el hormigón.

En el ensayo de tracción se somete a una probeta, habitualmente cilín-drica, sobre la que se ha marcado una longitud, llamada distancia entrepuntos a un esfuerzo de tracción, N, que se aumenta progresivamente hastala rotura de la pieza. En la figura 4.1 se representa una probeta típica paraensayo de tracciòn, en la que se indican la zona de ensayo (zona calibrada)y las cabezas de amarre a la máquina de ensayo.

Si la probeta tiene una sección transversal de área S0, correspondiente asu diámetro inicial D0, la tensión normal que se produce viene dada por laexpresión:

RELACIONES ENTRE LOS ESTADOS DE TENSIÓN Y DE DEFORMACIÓN

125

Figura 4.1.

[4.2]

Cada fibra longitudinal de la probeta experimenta un alargamiento uni-tario, ε, que se mide por el cociente entre el alargamiento absoluto, ∆L0 y lalongitud inicial L0.

[4.3]

La variación de la tensión σ en función del alargamiento unitario ε serepresenta en la figura 4.2. y recibe el nombre de diagrama de tracción.

La primera parte del diagrama, representada por una línea recta, per-mite ver que, inicialmente hay proporcionalidad entre tensiones y defor-maciones, cumpliendo el material la ley:

σ = Eε [4.4]

Esta relación recibe el nombre de ley de Hooke (científico británico quela estableció en 1638). La constante de proporcionalidad E es la pendientede la rama recta del diagrama y recibe el nombre de módulo de Elasticidadlongitudinal o módulo de Young y tiene las dimensiones de una tensión, alser el alargamiento unitario ε adimensional.

La ley de Hooke se cumple hasta que la tensión alcanza el valor corres-pondiente al punto p, recibiendo el nombre de límite de proporcionalidadσp. Si durante el periodo de proporcionalidad se descarga la probeta, estadescarga se produce también en forma proporcional, de manera que nohaya deformaciones permanentes, lo que caracteriza al campo elástico deldiagrama.

Al aumentar el esfuerzo aplicado sobre la probeta, el diagrama deja deser recto, presentando, según el material de ensayo, ciertas particularidades.

En una primera zona (del punto p al punto e), siguen sin aparecer defor-maciones permanentes, lo que, aproximadamente, equivale a que la des-carga coincida con la línea de carga. Precisamente el punto e, marca el pasodel campo elástico al campo elasto-plástico. La tensión correspondiente

σ = NS0

ε = ∆LL

0

0


126

recibe el nombre de límite elástico σE. En todo el campo elástico, las defor-maciones ε son muy pequeñas (ε es la deformación total que desaparece,como queda dicho, en el proceso de descarga).

Pasado el punto e, los incrementos unitarios de longitud siguen siendomuy pequeños (incluso inferiores al 0,1%) aunque mayores que los ante-riores, apareciendo ya deformaciones permanentes al descargar la probeta.Esto ocurre hasta un punto f, a partir del cual las deformaciones aumentanrápidamente, estirándose el material sin que sea necesario aumentar losesfuerzos que se ejercen sobre la probeta. (En el ensayo se observa que elvalor del esfuerzo aplicado se mantiene, aparentemente, constante). Estefenómeno recibe el nombre fluencia (cedencia según la normativa vigentesobre ensayos de laboratorio) y al valor correspondiente de la tensión σF se

a

r

u

cb

ep

0

f

Periodo de estricción

Campo plástico

Campo elasto-plástico

Campoelástico

Periodo de fortalecimiento


127

Figura 4.2.

le da el nombre de límite de fluencia. En el caso en que la tensión no sólose mantenga constante, sino que disminuya, cabe hablar de un límite supe-rior de fluencia (σFS) y un límite inferior (σFi). El fenómeno de fluencia sedebe a los desplazamientos entre las partículas del material, originados porlas tensiones cortantes, que, como sabemos, son máximas en planos incli-nados 45o con la dirección del esfuerzo aplicado.

A partir del comienzo de la fluencia (más estrictamente, a partir dellímite de elasticidad), la deformación ya no es puramente elástica, sino que,al descargar la probeta, aparecen deformaciones permanentes, como puedeobservarse en la línea ab de la figura 4.2. En la figura 4.3 se indica, en formasimplificada, y, a la vez detallada, el proceso de descarga.

Si el material ha entrado en el campo plástico, los alargamientos sonmucho mayores y la descarga determina un valor grande de la deformaciónpermanente (OB en la figura 4.3). La longitud del segmento BC, nos deter-mina la deformación elástica y, como se ve en la figura, es mucho máspequeña que la permanente.

Si, cargada y descargada la probeta, en la que se ha producido la defor-mación permanente o residual descrita, volvemos a someterla a esfuerzosde tracción, prácticamente obtenemos la misma recta BA (en sentido inver-so) y, al llegar al punto A y seguir cargando la probeta su representación

AD

CB

F

0


128

Figura 4.3.

será la curva AD, como si fuese prolongación de la curva anterior. De estaforma, aumenta el límite elástico del material, a la vez que disminuye lacapacidad de deformación (que se medirá a partir del alargamiento resi-dual OB).

El proceso descrito en el párrafo anterior recibe el nombre de «endu-recimiento por deformación» y ha sido explicado en forma esquemática,ya que las líneas representativas de carga y descarga no son rectas coinci-dentes (ni siquiera son rectas), lo que da lugar a los denominados ciclos dehistéresis.

Pasado el escalón de fluencia o relajación, vuelve a ser necesario incre-mentar los esfuerzos (y, por tanto, las tensiones) para aumentar las defor-maciones. La zona curva correspondiente del diagrama se conoce comoperíodo de fortalecimiento, presentando un máximo (punto r, figura 4.2), alque corresponde el valor de la tensión σR, tensión de rotura o resistencia ala tracción del material. Sin embargo, la rotura de la pieza no se producepara esta tensión sino para un valor menor, dado por el punto u. La expli-cación de este fenómeno es la siguiente: a lo largo de todo el proceso decarga, la probeta se alarga longitudinalmente y simultáneamente va dismi-nuyendo el área de su sección transversal. Antes de alcanzarse el máximodel diagrama, el alargamiento es prácticamente uniforme a lo largo de cadafibra, mientras la disminución de sección, debida, como veremos, al efectoPoisson, es prácticamente imperceptible. Sin embargo, la parte final delgráfico σ-ε corresponde al proceso que se representa en la figura 4.4, en laque puede observarse que, en una pequeña longitud, las fibras se alarganmucho más que en el resto, produciéndose, en consecuencia, una fuerte dis-minución de la sección transversal o estricción. Esta última parte del dia-grama, es conocida como zona de ahusamiento, fluencia localizada o estric-ción. Al disminuir de modo importante la sección en esa zona, disminuyetambién el esfuerzo necesario para romper la probeta, lo que, en cada caso,queda registrado por el equipo de medida de la máquina. La disminuciónde sección es de mayor importancia que la del esfuerzo de tracción, por loque, si refiriésemos la tensión a la sección instantánea de la probeta, elvalor de la misma, en lugar de reducirse (hasta el punto u), seguiría aumen-tando hasta la rotura. Sin embargo, es práctica habitual, y así lo recogen lasdistintas normativas, determinar la tensión por el cociente entre el esfuer-zo aplicado y el área de la sección transversal inicial S0, de acuerdo con laexpresión [4.2], lo que justifica el diagrama obtenido.


129

El diagrama descrito corresponde a un acero de bajo contenido en car-bono, material utilizado en estructuras metálicas de edificación.

Para otros materiales, la relación entre tensiones y deformaciones esdistinta, aunque, en términos generales, pueda hablarse de dos tipos dis-tintos de diagramas: los correspondientes a los metales frágiles y los obte-nidos sometiendo a tracción a un metal dúctil.

El diagrama de tracción de los metales frágiles (figura 4.5) se caracteri-za por el hecho de producirse la rotura en la parte ascendente de la curva,sin gran deformación antes de la misma. Ejemplos de metales frágiles sonla fundición, los bronces y latones y los aceros especiales (aceros templadosy aceros aleados, con gran contenido en carbono).

En los metales dúctiles la rotura se produce, tras un máximo de la tensión,después de una gran deformación (con independencia de que se presente ono el fenómeno de fluencia). En la figura 4.6 se representa el diagrama detracción correspondiente a un metal dúctil. Entre los metales dúctiles ademásdel acero ordinario cabe citar al aluminio, al cobre y al zinc, entre otros.

Fluencia localizada

ττ


130


Figura 4.4.

En la tabla 4.1 se representan las características mecánicas de diversosmateriales, tanto metálicos como no metálicos, obtenidos a partir delcorrespondiente ensayo de tracción.

A) Materiales metálicos

B) Materiales no metálicos


131

MaterialMódulo deelasticidad(kg/cm2)

Límite deproporcionalidad

(kg/cm2)

Límite mínimode fluencia(kg/cm2)

Tensión derotura mínima

(kg/cm2)

Acero A-37 ... 2.100.000 1.920 2.400 3.700

Acero A-42 ... 2.100.000 2.160 2.600 4.200

Acero A-52 ... 2.100.000 2.880 3.600 5.200

Acero para hormigónprecomprimido ...

2.100.000 – 12.500 16.000

Aleaciones alumnioAlMgSI ...AlMg ...AlCu4Mg ...

.725.000

.725.000

.725.000

–––

1.1001.0004.100

2.5002.5004.500

Cobre laminado ... 1.120.000 0 0 2.000 a 2.300

Latón laminado .800.000 .650 4.500

MaterialMódulo de elasticidad

(kg/cm2)Tensión de rotura

(kg/cm2)

Madera ... 400.000 600 a 1.400

Hormigones de cementoRegulares ...Buenos ...Muy buenos ...

250.000350.000400.000

153040

Tabla 4.1. Ensayo de tracción


132

4.4. DEFORMACIÓN TRANSVERSAL. MÓDULO DE POISSON

Como hemos visto en el punto anterior, a la vez que la probeta se alar-ga longitudinalmente disminuyen las dimensiones de su sección transver-sal y, por tanto, el área de esta última. Tal disminución es particularmenteimportante en las proximidades de la rotura pero existe en todo el procesode carga.

Consideremos la barra prismática representada en la figura 4.7, sometidaa esfuerzo de tracción F, restringiendo nuestro estudio al campo elástico.

Como sabemos, la barra incrementa su longitud en ∆ l , siendo el alar-gamiento unitario εx, que de acuerdo con la expresión [4.3] valdrá:

Al mismo tiempo se producen deformaciones transversales εy, εz, igualesentre sí en virtud de la hipótesis de isotropía, con menor valor absoluto ysigno contrario al de εx.

El matemático francés Poisson estudió, basándose en la teoría molecu-lar de la estructura de los materiales, los valores de dichas deformacionestransversales, obteniendo la ecuación:

[4.5]

Donde µ es el coeficiente o módulo de Poisson.

ε ε µεy z x= = −

ε xll

= ∆

l

F F F

y

y

z zx x

l + ∆ l

Figura 4.7.

En los materiales isótropos es µ=0,25, mientras que en aceros puedetomarse µ=0,3 y en el hormigón µ=0,1.

Si conocemos el valor del módulo de Poisson, puede obtenerse fácil-mente el aumento de volumen de una barra sometida a tracción.

El volumen inicial de la barra de la figura 4.7 es:

V = Sl [4.6]

Una vez deformada la barra su longitud será l1=l (1+ εx), mientras que elárea de su sección transversal valdrá S1= S(1-µεx)2, por lo que el nuevo volu-men es:

V1= l1S1 = l (1 + εx) S (1 + µεx)2 [4.7]

Despreciando infinitésimos de orden superior podemos escribir:

V1= Sl (1 + εx –2µεx) [4.8]

Por lo que el aumento de volumen es:

∆V = V1 – V = Slεx(1 – 2µ) [4.9]

Y la variación unitaria:

[4.10]

El valor de µ ha de ser inferior a 0,5 pues, en caso contrario, disminuiráel volumen al someter una barra a tracción, lo que no puede producirse. Haymateriales, como la goma y la parafina, en los que el coeficiente de Poissontoma un valor próximo a 0,5, permaneciendo en consecuencia el volumen dela barra prácticamente constante cuando es sometida a tracción.

De acuerdo con ley de Hooke [4.4] podemos escribir los valores de lasdeformaciones unitarias según las direcciones x, y, z indicadas en la barratraccionada de la figura 4.7:

[4.11]ε σ ε ε µ σx

xz

x

E E= = = − ; y

∆VV x= −( )ε µ1 2


133

Todo lo indicado para la barra prismática sometida a tracción es igual-mente válido cuando el esfuerzo al que está sometida es de compresión1; eneste caso la pieza se acorta longitudinalmente, presentándose dilatacionestransversales que se calculan utilizando las fórmulas [4.5] y [4.11], toman-do para µ el mismo valor que en el caso de tracción.

4.5. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE EFECTOS

Las expresiones de las deformaciones transversales en una barra some-tida a tracción que acabamos de obtener, nos indican que su existencia noestá ligada a que en sus direcciones actúen tensiones. Si la superficie de labarra no fuese libre o actuasen sobre la misma otras cargas, pueden origi-narse otras tensiones y deformaciones que se sumarán a las anteriores envirtud del principio de superposición de efectos que puede enunciarsecomo sigue: «El efecto producido por varias cargas actuando simultánea-mente es igual a la suma de los efectos producidos por cada una de ellas,actuando separadamente».

De acuerdo con este principio los efectos de una fuerza son indepen-dientes de que existan previamente otras cargas aplicadas, por lo quedichos efectos son iguales a los que produciría si la barra estuviese descar-gada. Considerando un sólido elástico de forma cualquiera, sometido a laacción de cargas F1, F2 ... Fn, el principio puede expresarse como sigue:

e = k1F1 + k2F2 + ...... + knFn [4.12]

Donde e es el efecto mecánico considerado y los coeficientes k1, k2 ... kn

han de ser constantes.

Si queremos determinar los componentes de la matriz de tensiones enlos puntos del sólido, cuando actúan simultáneamente las acciones exterio-res F1, F2 ... Fn, el principio implica que tales componentes son la suma delas que produce cada carga actuando por separado, lo que debe cumplirseal ser lineales las ecuaciones de equilibrio interno [2.6], [2.7] y [2.8] y de equi-librio en el contorno [2.56] que relacionan las tensiones con las fuerzas devolumen y con las fuerzas de superficie que actúan sobre el sólido.


134

1 Se supone que la barra no es esbelta.

El principio de superposición se cumplirá también para las componen-tes de la matriz de deformación en los puntos del sólido, siempre que sealineal la relación entre tensiones y deformaciones, dada por la ley deHooke. En todo caso deberá cumplirse la hipótesis de pequeños desplaza-mientos y pequeñas deformaciones que no inciden en la forma de actuarlas cargas.

4.6. LEYES DE HOOKE GENERALIZADAS

Consideremos, en el entorno de un punto del interior de un sólido elás-tico un elemento de volumen como el representado en la figura 4.8, cuyoslados están orientados según las direcciones principales de tensión, some-tido a un estado de tensión dado por las tensiones principales σ1, σ2, σ3.

La deformación que experimenta el elemento se reduce al desplaza-miento paralelamente a sí mismas de las caras normales a las tensiones σ1,σ2, σ3, por lo que no se producen deformaciones angulares, siendo por tantolas direcciones principales de deformación coincidentes con las direccionesprincipales de tensión2.

σ2

σ1

σ3


135

Figura 4.8

2 Esto no ocurrirá, en general, en los materiales anisótropos.

Las deformaciones principales ε1, ε2, ε3, en virtud del principio de super-posición, son:

[4.13]

Las ecuaciones [4.13] son las leyes de Hooke generalizadas, en el casoparticular en que las direcciones principales son coincidentes con los ejescoordenados y relacionan las componentes de las matrices de tensión ydeformación en la referencia principal.

En el caso general (figura 4.9), el elemento de volumen estará orientadoen una referencia cualquiera Oxyz y estará sometido tanto a tensiones nor-males como a tensiones tangenciales. El elemento experimenta tanto defor-maciones longitudinales como angulares. Para obtener, en el caso general,las relaciones entre tensiones y deformaciones (leyes de Hooke generaliza-das) supondremos conocidas, en la referencia principal, tanto la matriz detensión como la de deformación:

[4.14]

[4.15]

D '[ ] =ε

ε1 0 0

0 0

02

00 ε

σ µ σ σ

3

1 2 3

1

=

− +( ) E0 0

01

2 1Eσ µ σ− + σσ 3( ) 0

0 01

3 1 2Eσ µ σ σ− +( )

T '[ ] =σ

σ1 0 0

0 0

02

0 σ 3

ε σ µ σ σ

ε σ µ σ σ

ε

1 1 2 3

2 2 1 3

3

1

1

= − +( )

= − +( )

=

E

E

113 1 2E

σ µ σ σ− +( )


136

Hemos designado con [T'] y [D'] las matrices de tensión y deformaciónen la referencia principal, siendo [T] y [D] dichas matrices en la refenciaOxyz.

Si conocemos, en la referencia Oxyz los vectores [u–], unitario según unade las direcciones que pasan por el punto del sólido elásico, [f

–] y [e–], ten-

sión y deformación según esa dirección, dichos vectores, en la referenciaprincipal, serán [u–'], [f

–'] y [e–'], cumpliéndose:

[4.16]

La matriz de cambio de base [R], constituida por vectores fila unitarioscorrespondientes a las direcciones principales I, II y III, conserva el módu-lo de los vectores y es, por tanto, ortogonal.

Recordando las expresiones [2.10] y [3.27], podemos escribir:

Si sustituimos [u–'] por su expresión según la primera ecuación [4.16],queda:

Es decir:

[4.17]T R R T

D R R D

'

'

[ ][ ] = [ ][ ][ ][ ] = [ ][ ]

T R u R T u

D R u R D u

'

'

[ ][ ][ ] = [ ][ ][ ][ ][ ][ ] = [ ][ ][ ]

f T u R T u

u D u R D

' ' '

' ' '

= [ ][ ] = [ ][ ][ ][ ] = [ ][ ] = [ ][[ ][ ]u

u R u

f R f

e R e

'

'

'

[ ] = [ ][ ] = [ ] [ ] = [ ][ ]


137

Como conocemos las matrices [T'] y [D'], según las expresiones [4.14] y[4.15], obtendremos las matrices [T] y [D], multiplicando las ecuaciones[4.17] por la matriz [R]T.

[4.18]

Recordemos que la matriz de cambio de base, [R] es:

[4.19]

Y que al conservar los módulos de los vectores sobre los que se aplica,es ortogonal (su inversa coincide con su transpuesta).

Los vectores fila de la matriz [4.19] son los vectores unitarios según lasdirecciones principales I, II y III.

Las ecuaciones matriciales [4.18] pueden escribirse:

[4.20]

12

12

12

12

12

12

x

x xy xz

xy y yz

xz yz z

3

3

3

ε γ γ

γ ε γ

γ γ ε

α α αβ β βγ γ γ

σ

=

1 2

1 2

1 2

x

σ τ ττ σ ττ τ σ

α α αβ β βγ γ γ

σσ

σ

α β γα β

x xy xz

xy y yz

xz yz z

3

3

3 3

1

=

1 2

1 2

1 2

1

2

1 1

2

0 00 00 0

22

3 3

2

3

γα β γ

R[ ] =

α β γα β γα β γ

1 1

2 2

3 3

1

2

3

T R T R

D R D R

T

T

=

=

'

'


138

[4.21]

Identificando los términos diagonales, por ejemplo σx y εx:

σx = σ1α 12 + σ2α 2

2 + σ3α 33 [4.22]

[4.23]

Si en esta última ecuación restamos y añadimosserá:

ε σ α σ α σ α µ α α α σ σ σ µ σ α σ α σ αx E= + + − + +( ) + +( ) + + +( )[ ]1

1 12

2 22

3 32

12

22

32

1 2 3 1 12

2 22

3 32

µ σ α σ α σ αE 1 1

22 2

23 3

2+ +( )

σy

τxyτyz

σz

σx

τyz

ε σ µ σ σ α σ µ σ σ α σ µ σ σ α

σ α σ α σ α µ α σ σ α σ σ α σ σ

x E E E

E

= − +( )[ ] + − +( )[ ] + − +( )[ ] =

+ + − +( ) + +( ) + +( )[ ]{ }

1 1 1

1

1 2 3 12

2 1 3 22

3 1 2 32

1 12

2 22

3 32

12

2 3 22

1 3 32

1 2

1E

0 0

0 1

1 2 3

ε

σ µ σ σ

− +( )[ ]

1

xEE

0

0 0 1E

1

2

3

σ µ σ σ

σ µ σ σ

α β γα β γα β γ

2 1 3

3 1 2

1 1

2 2

3 3

− +( )[ ]− +( )[ ]


139

Figura 4.9.

Teniendo en cuenta [4.22] y que los vectores fila o columna de la matriz[R] han de ser unitarios3, se obtiene:

[4.24]

Pero σ1+σ2+σ3=σx+σy+σz, ya que la suma de las tensiones normales segúntres planos ortogonales entre sí es un invariante, como puede comprobarsedesarrollando la ecuación [2.15].

Por tanto, [4.25]

Análogamente se obtienen:

[4.26]

[4.27]

Identificando ahora los términos rectangulares en [4.20] y [4.21], por

ejemplo

[4.28]τ σ α β σ α β σ α βxy = + +1 1 1 2 2 2 3 3 3

τ γxy xy y 12

:

ε σ µ σ σz z x yE= − +( )[ ]1

ε σ µ σ σy y x zE= − +( )[ ]1

ε σ µ σ σx x y zE= − +( )[ ]1

ε σ µ σ σ σ µσx x xE= − + +( ) +[ ]1

1 2 3


140

3 Por definición de matriz ortogonal, ha de cumplirse:

R R I R R IT T[ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]= =� ; desarrollandoo:

1

2

α β γ

α β γ

α β

1 1

2 2

3 33

1 2

1 2

3

3

γ

α α α

β β

1 0 0

03

3

β

γ γ γ1 2

= 1 0

0 0 1

α α1 2 3

3

3

α

β β β

γ γ γ

1 2

1 2

1

2

α β γ

α β γ

α

1 1

2 2

3ββ γ

3

1 0 0

0 1 0

03

=

0 1

[4.29]

Si en [4.29] restamos y añadimos será:

[4.30]

Teniendo en cuenta [4.28] y que los vectores de dos filas o dos colum-nas de [R] son ortogonales entre sí, se obtiene:

[4.31]

Si hacemos:

[4.32]

queda

[4.33]

Procediendo análogamente, se obtienen:

[4.34]

[4.35]γτ

yzyz

G=

γ τxz

xz

G=

γτ

xyxy

G=

Ε2 1 +( ) =

µG

12

1γ µ τxy xy= +Ε

1 1 1 2 2 2 3 3 3γ µ σ α β σ α β σ α βx + + +( )[ ]

12

11 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3γ σ α β σ α β σ α β µ α β α β α β σ σ σ µ σ α β σ α β σ α βxy = + + − + +( ) + +( ) +[Ε

µ α β σ α β σ α β σΕ 1 1 1 2 2 2 3 3 3+ +( )

12

1 1 1

1

1 2 3 1 1 2 1 3 2 2 3 1 2 3 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 2 3 2 2 1 3 3

γ σ µ σ σ α β σ µ σ σ α β σ µ σ σ α β

σ α β σ α β σ α β µ α β σ σ α β σ σ α β

xy = − +( )[ ] + − +( )[ ] + − +( )[ ] =

= + + − +( ) + +( ) +

Ε Ε Ε

Ε 33 1 2σ σ+( )[ ]{ }


141

G es el módulo de elasticidad transversal y, de acuerdo con su definicióntendrá las mismas dimensiones que E y un valor menor, que en el acero debajo contenido en carbono, para el que E=2,1.106 kg/cm2 y µ=0,3, es:

4.7. ECUACIONES DE LAMÉ

Las expresiones [4.25] a [4.27] y [4.33] a [4.35] permiten obtener lasdeformaciones en función de las tensiones, en los puntos de un sólido elás-tico, en el caso general, mientras que las ecuaciones [4.13] expresan estasrelaciones en la referencia principal. Unas y otras son conocidas como leyesde Hooke generalizadas.

Obtengamos ahora las ecuaciones inversas, esto es las expresiones delas componentes de la tensión en función de las componentes de la defor-mación.

Escribiremos en primer lugar los invariantes lineales de las matrices detensión y deformación, estableciendo la relación entre ambos:

[4.36]

[4.37]

Si sumamos miembro a miembro las ecuaciones [4.25] a [4.27], obtenemos:

[4.38]

Podemos reescribir el sistema de ecuaciones [4.25], [4.26] y [4.27] comosigue:

[4.39]

σ µσ µσ εµσ σ µσ εµσ µσ σ ε

x y z x

x y z y

x y z z

− − =− + − =− − + =

ΕΕΕ

∆Ε

Θ= −1 2µ

∆ = + +ε ε εx y z

Θ = + +σ σ σx y z

G = ( ) ≈2 1, . 102 1+0,3

800.000 kg cm6

2


142

Despejando σx:

Haciendo operaciones:

Sustituyendo las expresiones [4.37] y [4.32] y haciendo:

[4.40]

σx = λ∆ + 2Gεx [4.41]

Análogamente:

σy = λ∆ + 2Gεy [4.42]

σz = λ∆ + 2Gεz [4.43]

De las ecuaciones [4.33] a [4.35] obtenemos:

τxy = Gγxy [4.44]

τxy = Gγxy [4.45]

τxy = Gγxy [4.46]

Las ecuaciones [4.41] a [4.46] son las llamadas ecuaciones de Lamé,recibiendo λ y G el nombre de coeficientes de Lamé.

λ µµ µ

=+( ) −( )

Ε1 1 2

σ µµ µ

ε ε ε εµx x y zx=

+( ) −( ) + +( ) ++

Ε Ε1 1 2 1

σ

ε µ µε µε µ

µ µµ µµ µ

ε µ µε µ µε µ

µ µx

x

y

z x y z=

−

−−

−− −

=−( ) + +( ) + +( )[ ]

+( ) −( )

--

--

ΕΕ

Ε Ε1

11

11

1 1 11 1 2

2

2


143

Vemos, pues, que existen 4 constantes elásticas en cada material isótro-po: E, µ, λ y G, siendo sólo dos de ellas independientes, de acuerdo con loindicado en el punto 4.1.

La determinación del módulo de elasticidad longitudinal E se realizamediante el ensayo de tracción (eventualmente utilizando el ensayo decompresión). Ya que la determinación, utilizando el ensayo de esfuerzo lon-gitudinal (tracción o compresión), del coeficiente de Poisson, µ, es compli-cada, suele obtenerse como segunda constante elástica el módulo de elasti-cidad transversal G, utilizando el ensayo de torsión de un tubo de pareddelgada, ensayo que puede considerarse prácticamente homogéneo.

Finalmente veamos que el invariante lineal de la matriz de deformaciónes, precisamente, el incremento unitario de volumen. Para ello, considere-mos el elemento de volumen de la figura 4.8 o 4.9, considerando que la lon-gitud de sus aristas es unitaria.

El volumen inicial es: V= 1 . 1 . 1

El volumen final es:

V' = (1+εx) (1+εy) (1+εz)

Despreciando infinitésimos de orden superior:

[4.47]

En el caso en que el sólido esté sometido a una presión hidrostática uni-forme, se cumple:

σx = σx = σx = –p


∆Ε

= −−( )3 1 2µ p

V

V V V

VV

x y z

x y z

x y z

'

'

= + + +( )= − = + +

= + +

1 ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε

∆

∆== ∆


144

Si hacemos: [4.48]

Donde K es el módulo de compresibilidad volumétrica, obtenemos:

[4.49]

La disminuación unitaria es proporcional a la presión hidrostática einversamente proporcional al módulo de compresibilidad volumétrica.


1. Para el cubo de la figura, con 12 cm de lado y sometido al estado ten-sional que se indica, calcular:

a) Tensiones y direcciones principales, utilizando la representacióngráfica.

b) Componentes intrínsecas del vector tensión asociado al plano paraleloal eje X, y cuya normal forma 60o con el eje Y, en sentido antihorario.

c) Vector de deformación asociado a la dirección OA y su variación delongitud.

Datos: E = 2 x 106 kg/cm2; µ = 0,3 G = 0,8 x 106 kg/cm2

∆ = − pK

K =−( )Ε

3 1 2µ


145

2. Las componentes cartesianas del vector desplazamiento δp, de unpunto P de un sólido elástico vienen dadas por las expresiones:

u = (2x + 4y – 3)10–4 ; v = (2z2 + 1)10–4 ; w = (y2+ 2x2)10–4

Se pide:

a) Obtener el giro y el desplazamiento en el origen de coordenadas.

b) Obtener las matrices de deformación y de tensiones, en el origen decoordenadas.

c) Tensiones y direcciones principales en el origen de coordenadas.

Datos:

E = 2,1 · 106 kg/cm2 ; µ = 0,3

3. Se somete un prisma mecánico recto de sección b x c (b=6 cm, c=5 cm)y longitud a=12 cm a un esfuerzo de compresión simple en dirección lon-gitudinal mediante la aplicación de una fuerza P = 3000 kg uniformementerepartida en sus caras extremas. El valor medido de la deformación trans-versal unitaria es de 0,15 x 10–4. Sabiendo que el módulo de elasticidad esE = 2 x 106 kg/cm2 se pide:

a) Calcular el valor del coeficiente de Poisson del material.

b) La deformación angular de dos rectas contenidas en una sección lon-gitudinal plana de simetría del prisma, bisectrices de los ejes desimetría de dicha sección.

4. Considérese un cuerpo homogéneo y elástico de forma paralelepipé-dica cuyas dimensiones son a=4 cm, b=4 cm, c=5 cm, alojado dentro de unhueco de iguales dimensiones de otro material (que suponemos indeforma-ble). Mediante una placa rígida, de peso y rozamiento despreciables, seaplica una fuerza de 300 kg. perpendicularmente a la cara formada por lasaristas a,b que comprime al cuerpo elástico.

Calcular:

a) Las fuerzas laterales ejercidas por las paredes rígidas sobre el para-lelepípedo.


146

b) Variación de altura experimentada por el mismo.

Datos:

E = 2 · 106 kg/cm2 ; µ = 0,3

5. Un cuerpo, cuyo módulo de elasticidad es E=2 x 106 kg/cm2, se intro-duce en un depósito cerrado. Al someter éste a una presión interna de 40atmósferas el cuerpo experimenta una disminución unitaria de volumenigual a 3 x 10–5. Calcular los valores del coeficiente de Poisson, µ, y delmódulo de elasticidad transversal G. No se considerará el efecto de la fuer-za de la gravedad.

6. El bloque de acero de la figura está sometido a presión uniforme entodas sus caras.

a) Sabiendo que el cambio de longitud de la arista AB es de –24µm,calcular:

1) El cambio de longitud de los otros dos bordes.

2) La presión p aplicada a las caras del bloque.

b) Determinar el cambio de volumen del bloque de acero cuando se lesomete a una presión hidrostática p=180 MPa. Tómese E=200 GPa yµ=0,29.

C

D

B

A

8 cm

6 cm

4 cm


147


1. a) De acuerdo con la figura la matriz de tensiones es:

Las tensiones principales se obtiene a partir de la expresión [T––σI][u–]= 0,

que conduce a la ecuación:

Una solución es σ = 100, obteniéndose las otras dos de:

Por tanto, las tensiones principales son:

σ1 = 100 kg/cm2 ; σ2 = 35 kg/cm2 ; σ3 = 15 kg/cm2

En la figura se han representado las circunferencia de Mohr C1 , C2 , C3 ,así como la circunferencia c3 , concéntrica con C3 que pasa por el punto M(de coordenadas τ = 25, τ = 10), obteniéndose los ángulos a = 90o y b = 45o

que forma la normal al plano considerando con los ejes principales I y III(c1 coincide con C1 , al estar situado M sobre esta última.

25 10

250 25

2–

–– –

σσ

σ10

= ⇒ ( ) 1100 0=

625 50 100 02+ =σ σ– –

σ σ2 50 525 0– + =

σ = ±25 625 525– == ±25 10

25 0 10

0 100

–

–

σσ

10 0

0

25

0

– σ=

[ ]Tx xy xz

xy y yz

xz yz

=

σ τ ττ σ ττ τ

�

0

σ z

=25 0 10

100 00

10 0 25


148

Podemos escribir, para:

σ1 = 100 kg/cm2 (0, 1,0)

Estando referidos los cosenos directores a los ejes X, Y, Z. El vectororientado según la normal al plano está contenido en el plano yz, forman-do ángulos de 60o y 30o con los ejes, su expresión es:

El vector tensión correspondiente es: [f–] = [T] [u–]

Sus componentes intrínsecas son:

σ τ

σ

= ⋅ = + +

⋅ +

f u j k j k5 3 50

25 32

12

32

f =25 0 10

0 100 0

10 0 25 3/2

0

1 2/

=

0

25

5 3

5

3 2/

u j k j k= cos cos60 30o o+ =12

+3

2

σ3=15 kg/cm , 0 –2 1 2 1 2( )

σ2=35 kg/cm 0 +2 1 2 1 2( )

τ

M

a c1

c3

c3

c2

τ

b


149

Al mismo valor de σ habríamos llegado aplicando la expresión:

c) La dirección OA forma ángulos iguales con los ejes x, y, z; el vectordeformación correspondiente es: [e–]=[D][u–] la matriz [D] es:

ε σ µ σ σx x y zE= + =

×+( )

1 12 10

25 0 3 100 256– ( – , = ×

= + =×

−– ,

– ( –

6 25 10

1 12 10

100

6

6ε σ µ σ σy y x zE00 3 25 25 42 5 10

1

6, ,

– (

+( ) = ×

= +

−

ε σ µ σ σz z x yE =×

+( ) = ×

=

−12 10

25 0 3 25 100 6 25 1066– , – ,

γτ

xyxxy

yz xzxz

G G= = = =

×= × −0

100 8 10

12 5 1066γ γ

τ;

,,

[ ]D

x xy xz

xy y=

12

12

12

ε γ γ

γ ε 12

12

12

γ

γ γ ε

yz

xz yz z

:

σ σ α σ β σ γ τ αβ τ αγ τ βγ

σ

= + + + + +

= ×

x y z xy xz yz2 2 2 2 2 2

25 0222 2

10012

253

22 0 0

12

2 0 0+ ⋅

+

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

= + × =

32

2 012

32

1004

25 34

43 75σ , kg/cm2

σ =5022

25 34

43 75 5 32 2 22

+×

= = = ( ) +, ; – ;kg/cm 2 2τ σf f 55025 3

23043 74

3043 74 43 75 33

2

2

2

+

=

= =

,

, – ,τ ,,61 kg/cm2


150

La deformación longitudinal es:

También es:

La variación máxima es:

2. a) El desplazamiento, en el origen de coordenadas, tiene las siguien-tes componentes:

Las componentes del giro, son los términos rectangulares de la matrizde giro [P].

u v w

i j0

40

40

0

3 10 10 0

3

= − = =

= − +( )− − . ; ;

Por tanto, 10-4r

δ

∆

∆

l OA

l

= ⋅ = × + +

= ×

−

−

ε 14 17 10 12 12 12

2 94 10

6 2 2 2

4

,

, cmm

ε ε α ε β ε γ γ αβ γ αγ γ βγ= × + + + + + =

=

2 2 2

6 25

y z xy xz yz

– , ×× + × × + ×

=−13

42 513

6 2513

12 513

10 14 16, – , , , 77 10 6– −

ε = ⋅ = = ⋅− −e u 1042 5

314 17 106 6:

,,

[ ]

– , ,

D = −10

6 25 0 6 256 0 42 5 0

6 25 0 6 25

,

, – ,

=

=

:

[ ]

u

e D u

1 3

1 3

1 3

== −10

6 25 0 6 256

– , ,

0 42 5 0

6 25 0 6 25

,

, – ,

=

−

1 3

1 3

1 3

10

0

24 54

0

6 ,


151

b) La matriz de deformación es:

D[ ] =

12

12

12

x xy xz

xy y

ε γ γ

γ ε 12

12

12

yz

xz yz z

γ

γ γ ε

=

+ux

∂∂

∂∂

12

u

y

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

v

x

u

z

w

x

v

x

+

+

12

12

uu

y∂∂∂

vy

122

12

1

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

v

z

w

y

wx

uz

+

+

22

∂∂

∂∂

∂∂

wy

vz

+

wz

[ ] = −D 10

2

4

122

4+012

0+4x

12

0+4

( ) ( )

( ) 0012

4z+2y

12

4x+012

2y+4z

( )

( ) (( )

= −

0

10

24

x2 2

2 0 +2z

x +2z

y

y2 0

P[ ] =

–p p

p 0 –pz y

z

0

xx

y x–p p 0

0

=

12

12

∂∂

∂∂

∂∂

∂u

y

v

x

u

z

w−

−∂∂

∂∂

∂∂

x

vx

uy

−

012

12

12

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

vz

wy

wx

uz

−

−

−

012

∂∂

∂∂

wy

vz

= −

pw

y

v

zx

12

∂∂

∂∂

== −( ) = −( )

= −

− −12

10 2 4 10 2

12

4 4· y z y z

puz

wxy

∂∂

∂∂

= −( ) = −

=

− −12

10 0 4 10 2

12

4 4· ·x x

pvxz

∂∂

−−

= −( ) = −

=

− −∂∂uy

p p ix

12

10 0 4 2 104 4· ·

r ++ + = −( ) − − −p j p k y z i xj ky z 10 2 2 24

En el origenn:

p ·0 = − −2 10 4 k


152

En el origen de coordenadas (0, 0, 0), será:

Es decir, en el origen de coordenadas es:

Para obtener las componentes de la matriz de tensiones, aplicaremos lasecuaciones de Lamé:

La matriz de tensiones, en el origen de coordenadas es, por tanto:

T[ ] =

562 320 0320 242 0

0 0 242

σ λ ε σ λ ε σ λ ετ

x x y y z zG G e G= + = + = +∆ ∆2 2 2; ;

xyy xz z yz z; ;= = =

=+

G G Gxy x yγ τ γ τ γ

λ µΕ1 µµ µ µ

ε ε ε

λ

( ) −( ) ( ) = + +

=

1 2

0

; G=2 1+

;Ε

∆ x y z

,33 2 1 101 3 0 4

1 21 1026

6· ··

· ;,

, ,,

,= =G11 10

2 1 30 8 10 2 10

66 4.

.· ; ·

,,= = = −∆ ε

σ

x

xx = +1 21 1 2 1 2 0 1 2, · 0 · · 0 · ,8 · 0 ·6 -4 6 ·· 0 = kg/cm

· 0 · · 0

-4 2

6 -4

1 562

1 21 1 2 1σ y = =, 2242

1 21 1 2 1 242

kg/cm

· 0 · · 0 kg/

2

6 -4σ z = =, ccm

· 0 · · 0 kg/cm

2

6 -4 2ττ

xy

xy

= =

=

0 8 1 4 1 320,

ττ yz = 0

ε ε ε γx y z04

0 042 10 4 10= = =− −� · ; =0 ; ·xy0 ; xz0 yz0γ γ= = 0

D[ ] =

−0

4102 2 02 0 00 0 0


153

c) Las tensiones y direcciones principales se obtienen de la ecuaciónmatricial: [T–σI][u–]=0

Los valores de las tensiones principales se obtienen resolviendo laecuación:

Una raíz es σ=242 y las otras se obtienen de:

Para hallar las direcciones principales hacemos, sucesivamente σ=σ1 ;σ=σ2 ; σ=σ3 en la ecuación matricial [T–σI][u–]=0

562 760760

760

000

198 320 0 0320 518 0 00 0 518 0

1

0

1

1

1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

12

12

12

1

−−

−

=

− + + =+ − + =

+ + − =

+ + =

=

320 0320 242 0

0 0 242

;

αβγ

α β γα β γ

α β γ

α β γ

γ α β β

β

1 1 1

2

320198

1 62

1

= =

+

,

562 242 320 0136004 804 102400 0

804 33604 0

402 402 33604 402 128000402 358 760 44

760 242 44

2

2

2

2

−( ) −( ) − =

− + − =

− + =

= ± = ±= ± = =

= = =

σ σ

σ σσ σ

σσ σ σ

σ σ σ

-; ;

Por tanto, Kg/cm ; Kg/cm ; Kg/cm12

22

32

320 0

320

562 − σ242 0

0

− σ00 242 −

=σ

0


154

La dirección principal II es el eje z. Por tanto:

La dirección principal III se obtiene, simplemente, haciendo:

3. a) Ya que la sección transversal es constante, puede admitirse que,salvo en las proximidades de los puntos de aplicación de la carga P (extre-mos de la barra), la tensión de compresión σx es, en todas las secciones:

Puesto que la deformación transversal unitaria es:

P P

σ x

Pb c

= = =� . . 5

kg/cm230006

100

u u u

i j k

3 1 2 0 851= =x , 0,525 0

0 0 1

= 0 525, i −−

= −( )

0 851

44 0 525 0 8513

,

, , , ,

j

σ kg/cm 02

σ 2 242 0 0= ( )� kg/cm 12 , ,

. ;

Kg/cm 02

β

β βα

σ

212

12

1

1

1

1 62 1 1

1 3 624 0 5250 851760 0 851 0 525

=

+( ) =

= ==

= ( )

,

,

, ,,

, , , ,


155

b) El plano de simetría es el plano x y

(antes de la deformación)

(después de la deformación)

y' y x'

x1

1

α = 45o

α

x1+ εyα'

1– εx

ε ε µε µ σ

µ

y z xx= = − = −

= −−( )

Ε

0 15100

2 106, . 10.

-4 ; . 0,15=0,3µ = 2

y

x

z

σx

P


156

El ángulo α (antes de la deformación) se convierte en el ángulo α'.

La variación del ángulo entre x' e y' será:

Se puede obtener también esta variación angular, haciendo un cambiode ejes:

(x, y, z) (x', y', z')

Los vectores unitarios según x', y', z' son

Obtendremos la matriz de deformación en la referencia Ox'y'z' [D'], apartir de la matriz de deformación en la referencia Oxyz, [D].

D R D RT

'[ ] = [ ][ ][ ] [ ] =; D

2 2xxy xz

x

εγ γ

γ yyy

yz

xz yzz

2 2

2 2

εγ

γ γε

= −10 4

-0,5 0 0

0 0,,15 0

0 0 0,15

- Según x' 0

- Según y'

1

2

1

2

1

2

, ,

,

− 0

- Según z' 1

1

2

0 0

,

, ,

( )

tg

tg

y

x

αεε

α

',,

'

=+−

=+−

−

−

1

11 0 15 101 0 5 10

4

4

··

== =

− =

1 000065 45 00186

0 00186

, ' ,

' ,

; oα

α α

2 0 00186 0 003724 6 5 10 5· ·, , ,= = −o rad


157

[R] es la matriz de cambio de base:

El valor positivo de γx’y’ (variación del ángulo, inicialmente recto, forma-do por x’ e y’) indica que el ángulo disminuye.

4. a) La fuerza P se reparte sobre la cara superior, de dimensiones a · b,originando la tensión σx:

R[ ] =

1

20

1

2

1

20

0 0

1

2

–

1

1

[ ] = −D ' 10

1

2

4

220

–1

2

1

20

0 0 1

−0 5, 0 0

0 00,15 0

0 0 0,15

11

2–

1

20

1

2

1

20

0 0 1

1

2

[ ] = −D ' 10

1

2

4

0

–1

2

1

20

0 0 1

–0,5

2

0,5

20

0,15

2

0,,15

20

0 0 0,15

= −10 4

–0,352

0,652

00

0,652

–0,352

0

0 0 0,15

·

=γ x y' ' ,

20 65

2; · · 10–510 0 65 10 6 54 4− −= =γ x y' ' , ,

σ x

Pa b

= − = − = −� · · 4

kg/cm23004

18 75,


158

Sobre las paredes del paralelepípedo, actuarán unas tensiones σy y σz,que han de impedir la dilatación transversal (en las direcciones y, z) delmismo (puesto que la cavidad es indeformable).

Como no hay dirección privilegiada, σy=σz

Ha de ser εy=εz=0

Las resultantes serán:

Y b c

Y Z

= − = −= ≈ −

8 04 8 04 5

161

, ,· · · 4 ·

kg

ε σ µ σ σ

σ µσ µσ σ µ

y y x z

y x y

= − +( ) =

− − = =

10

0

Ε

; y

σσµ

σ σµσ

µ

x

y zx

1

10 3 18 75

1 0 38 04

−

= =−

=−

−= −

, ,,

,·

kkg/cm2

b

c

aY

Z

XP


159

b) El acortamiento unitario longitudinal será:

La variación de altura será el producto de εx por la dimensión c=5 cm.

5. La presión medida en atmósferas es prácticamente la misma cuandose mide en kg/cm2.

En este caso es:

σ σ σ

µ

x y z p

VV

p

= = = −

= − = − −( )−

−

∆Ε

3 101 2

3

3 10

5

5

.

. ==−

= =

=

1 22 10

2 1040

0 5

0

6

µ

µ

µ

.. 3 . 40

1–2.

,

,225

2 12 2

2 510 0 86G =

+( ) = ( ) = =Ε

µ. 10

2 1+0,25.

6

,, 10 kg/cm

kg/cm

6 2

2G = 800 000.

1 7613 6 980 1012928 1 033

11 2

2

cm de mercurio76 . . Kg/cm

1 Kg/cm

2

2

atmdynas cm

atmVV x y z x y z

≤≥

= =

≈

= + + = − + +( )

, / ,

∆Ε

ε ε ε µ σ σ σ

∆c = − = −− −5 6 96 10 3 45 106 5· · · cm, ,

ε σ µ σ σ σ µ σ

ε

x x y z x y

x

= − +( ) = −

=

1 12

12

Ε Ε� .

·· 10· 2 · ·6 − − −( ) = −18 75 0 3 8 04 6 96, , , , 110 6−


160

6. a) Al estar sometido el bloque de acero a presión uniforme en todassus caras, la deformación unitaria en cualquiera de las tres direcciones y(arista AB), x (arista BD), z (arista BC) es:

b)

∆ ∆ ∆Ε

V Vp

x y z= = + + = =− −( )

=−

· ;·ε ε ε ε

µ3

3 1 2 3 1180 10 0 42200

1 134 10

6

3

· ·· 10

·

9

,

,∆ = − − ; · · · 4 · 10 c–3∆V = − = −1 134 8 6 0 218, , mm3

ε ε ε σ µ σ σ

σ σ σ

ε ε ε

x y z x y z

x y z

x

p

= = = − +( )

= = = −

= =

1Ε

yy z

yy

yy

p

l

ll m

= = −−( )

= = − = −

εµ

ε µ

1 2

24 24

Ε

∆∆; . m . cm

. 10-4

10 24 10

8

24

6 4− −= −

=

=−

l cmy

yε88

.

. ·

= − = =

= = − =

−

−

3 10

3 10 6

4

4

ε εx z

x BDl l∆ ∆ −− = −

= = −

−

−

18 10 18

3 10

4

4

· cm

· ·

µm

l lz BC∆ ∆ 44 12 10 12

1 23

4= − = −

=− −( ) −

−· cm

; ·

µ

εµ

m

p

Ε110

1 0 29

2 10

3 10

49

4

−

−

=− −( )

=

p

p

2 .

00 ·

.

,

·· 00 .·

00 ·2 101 2 0 29

6 101 0 58

14 29 5

−=

−=

, ,, 99

142 9

· 107 Pa

p MPa= ,


161

Tema 5

Iniciación al estudio de la resistenciade materiales

5.1. Principios fundamentales en Resistencia de Materiales.

5.2. Distintos tipos de apoyos.

5.3. Sistemas isostáticos e hiperestáticos.

5.4. Condiciones de seguridad.

5.5. La seguridad según el Código Técnico de la Edificación(CTE).

INICIACIÓN AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES

165


166

5.1. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES EN RESISTENCIADE MATERIALES

Como hemos visto al comienzo del tema 1, la Elasticidad y la Resistenciade Materiales son, en realidad, enfoques parciales de la «Mecánica del sóli-do deformable». En el estudio de la Teoría de la Elasticidad, desarrollado enlos capítulos anteriores, hemos planteado la resolución de los problemasque se presentan en los sólidos cargados, considerando que éstos son elás-ticos y estableciendo las leyes que relacionan las solicitaciones exteriorescon las tensiones originadas por las mismas en todos los puntos de aqué-llos, así como los desplazamientos experimentados por dichos puntos.Estas leyes utilizan, en la mayor parte de los casos, un gran aparato mate-mático, lo que comporta que la resolución de las ecuaciones diferencialesque las expresan sea, generalmente, difícil por métodos ordinarios.

En Resistencia de Materiales, por el contrario, se hacen, habitualmente,simplificaciones avaladas por la experiencia, que permiten plantear y resol-ver los problemas elásticos por procedimientos mucho más sencillos, deforma que los casos reales se reducen en la práctica a esquemas más sim-ples. De lo anterior se deduce que la Resistencia de Materiales es una cien-cia semiempírica que permite obtener las soluciones de los problemas elás-ticos en forma tanto más aproximada cuanto más cerca de la realidad esténlas simplificaciones aludidas.

Aunque es habitual considerar que los sólidos se encuentran en régimenelástico, en Resistencia de Materiales y en materias relacionadas (como laTeoría de Estructuras y el estudio de los procesos de conformado de mate-riales), se considera, en ocasiones, comportamiento plástico, esto es, seadmite la presencia de deformaciones permanentes, cuando los materialesson dúctiles (con gran capacidad de deformación).

Hay ocasiones, sin embargo, en que no es posible establecer las simpli-ficaciones citadas, por lo que es necesario utilizar los métodos más riguro-


167


168

sos de la Teoría de la Elasticidad, como indicaremos en su caso. Cuando seanecesario utilizar métodos matemáticos complejos y el material se encuen-tre en régimen plástico, la ciencia que complementa a la Resistencia deMateriales es la «Teoría de la Plasticidad», cuya consideración está más alláde los objetivos de esta obra.

El carácter semiempírico de la Resistencia de Materiales, antes citado,hace indispensable, para su desarrollo, la utilización de ensayos experi-mentales que permiten conocer el comportamiento de los sólidos frente adistintas solicitaciones: este comportamiento depende tanto del materialconstitutivo del sólido como de las características geométricas de esteúltimo.

En Resistencia de Materiales se consideran dos tipos de problemas:

a) Problema directo o de dimensionamiento: Conocida la solicitación aque ha de estar sometido un sólido, establecer sus dimensiones de formaque las tensiones y deformaciones en todos sus puntos no rebasen unosvalores prefijados1.

b) Problema inverso o de comprobación: dado un sólido con dimensio-nes conocidas, comprobar que, ante un estado de solicitación determinado,las tensiones y deformaciones no superan dichos valores.

En la mayor parte de los casos, como veremos en los próximos temas, elsólido a considerar será tipo barra (ver 1.3), sometido a las distintas solici-taciones simples, si bien estudiaremos también algunos casos de solicita-ción sobre sólidos en que una dimensión (el espesor) es mucho menor quelas otras dos (sólido tipo bóveda).

Supondremos que el sólido es continuo, homogéneo e isótropo y, por logeneral, que su comportamiento es elástico, con independencia de que elmaterial sea frágil o dúctil y admitiremos el cumplimiento de los tres prin-cipios siguientes:

1. Principio de superposición de efectos

Se ha establecido en el tema 4.

1 La tensión, como se expone en el tema 2, es el esfuerzo interno por unidad de superficie, mien-tras que en el término «deformaciones» englobaremos desplazamientos y deformaciones unitarias.


169

2. Principio de Saint - Venant

La solución de un problema elástico es tanto más exacta cuanto más seaproxima la distribución supuesta de las fuerzas de superficie a la que real-mente actúa sobre el contorno del sólido.

En muchos casos, para simplificar el problema y obtener al menos unasolución, suficientemente aproximada, se admite sustituir la solicitaciónexterior por otra equivalente (con la misma resultante y el mismo momen-to resultante). Tal es el caso (figura 5.1) de la barra prismática sometida aesfuerzo longitudinal.

En la barra de la figura se admite que el esfuerzo F se aplica, en formadistribuida, en los extremos de la misma, por lo que la distribución de ten-siones internas difiere de la real, pero esto sólo ocurre en las proximidadesde los puntos de aplicación de la carga, por lo que los errores resultantes seconcentran junto a dichos puntos, amortiguándose rápidamente hasta unadistancia del extremo del orden de la máxima dimensión de la seccióntransversal, como se indica en la figura 5.2.

l

∆ll

l

∆ll

Figura 5.1

Figura 5.2

Lo expuesto es la aplicación del principio de Saint-Venant que admiteque, a partir de una pequeña distancia de los puntos del contorno en que seaplican las cargas concentradas, la distribución de tensiones internas coin-cide con la obtenida si aquéllas se aplican en forma distribuida.

El principio, comprobado por la experimentación, es aplicable a todotipo de sólidos aunque es principalmente aplicado en el estudio de barrasprismáticas sometidas a las distintas solicitaciones simples.

3. Principio de estabilidad del equilibrio del sólido

Se entiende por rigidez la mayor o menor oposición que presenta unsólido a deformarse y, como veremos al estudiar las solicitaciones simples,depende tanto del material constitutivo del mismo como de su geometría, adiferencia de la resistencia que depende sólo del tipo de material.

El principio de estabilidad del equilibrio establece que el sólido es losuficientemente rígido para que los desplazamientos provocados por lascargas a que pueda estar sometido no incidan en la forma de actuar éstas,lo que equivale a considerar que tanto los desplazamientos como las defor-maciones unitarias tienen valores pequeños.

Hay problemas, relativamente frecuentes en la práctica, en los que esteprincipio no es aplicable (y, en consecuencia, tampoco puede aplicarse el desuperposición de efectos): tal es el caso de las barras esbeltas comprimidas,en las que se produce el fenómeno de pandeo o flexión lateral, que será estu-diado más adelante. Un ejemplo clásico de no aplicación del principio es elproblema representado en la figura 5.3, en el caso límite en que α= 0.

α α

∆α

ll

170


Figura 5.3

El enunciado del problema es: «Determinar los esfuerzos en las barrasAC y CB así como el desplazamiento vertical, δ, del punto C, cuando actúala carga P».

Al estar las dos barras articuladas en sus extremos A, B y C, estaránsometidas a esfuerzos de tracción que por simetría tendrán el mismo valorN (figura 5.4).

Proyectando según la vertical, obtenemos:

[5.1]

Considerando despreciable la variación del ángulo α (∆α ≅ 0), podemosescribir:

[5.2]

Cuando las dos barras están alineadas, como se indica en la figura 5.5,la aplicación de la expresión [5.1] llevaría al resultado absurdo N = ∞. Eneste caso no es posible despreciar el incremento del ángulo ∆α y escribire-mos: CC1 = δ = ltg∆α, como se deduce de la figura 5.6.

P Nsen N Psen

= =22

αα

;

∆l C CNl

ESsen

Nl

ESsen

Pl

= = =

=

' , o bien:

=

1

2

δ α

δα EESsen2α

171


Figura 5.4

El alargamiento unitario experimentado por las dos barras será:

[5.3]

Al ser ∆α pequeño, es: tg∆α ≈ ∆α, y sustituyendo:

[5.4]

En la expresión [5.4] hemos sustituido por su desarrollo enserie de Taylor limitado a sus dos primeros términos.

De la figura 5.6 deducimos:

P = 2Nsen∆α ≈ 2N∆α [5.5]

De donde:

[5.6]

En aplicación de la ley de Hooke, será: y, por tanto,

[5.7]εα

= = =∆∆

ll

NES

PES2

ε δ δ α= − = + − = +

− = + ( ) −AC AC

ACl l

l ltg1

2 2 221 1 1 1∆

ε α α α= + ( ) − = + ( ) − = ( )1 1 12

12

22 2

∆ ∆ ∆

1 2+ ( )∆α

∆lNl

ES=

N P=2∆α

172


Figura 5.5

173


Sustituyendo el valor ε dado por [5.4]:

[5.8]

Despejando ∆α:

[5.9]

Finalmente (ver figura 5.6) es:

[5.10]

Por lo que podemos decir que el desplazamiento del punto C de aplica-ción de la carga P no es proporcional al valor de la misma, como ocurrecuando el ángulo α es suficientemente grande.

El resultado [5.4] es consecuencia de que, en este caso, la deformaciónδ sí incide en la forma de actuar de la fuerza P, por lo que no puede apli-carse el principio de estabilidad del equilibrio.

5.2. DISTINTOS TIPOS DE APOYOS

En el ejemplo desarrollado en el epígrafe anterior, hemos consideradodos sólidos (barras AB y BC), unidos entre sí y a otros sólidos, mediante

∆α ∆ασ

δ α= =l l PES

. ∆ 3

∆α = PES

3

∆∆

αα

( ) =2

2 2P

ES

Figura 5.6

las articulaciones A, B y C, pero no hemos definido en qué consisten esasuniones. Antes de estudiar las barras prismáticas sometidas a las distintassolicitaciones simples, es necesario definir los mecanismos de unión quevinculan a un sólido con otros y a los que ya hicimos referencia al princi-pio del capítulo 1. Tales mecanismos de unión reciben, generalmente, elnombre de apoyos y se clasifican, ejecutan y representan como se exponeseguidamente.

Un mecanismo de apoyo impedirá uno o varios de los posibles movi-mientos del sólido elástico en el punto del mismo en que esté situado (engeneral, tres desplazamientos según los ejes coordenados x, y, z y tres girosalrededor de cada uno de dichos ejes). Por cada movimiento impedido, elsólido queda sometido, por medio del apoyo, a las correspondientes reac-ciones que, por tanto, serán como máximo tres esfuerzos y tres pares. En lamayor parte de los problemas que estudiemos se considerará que las cargasactúan en un plano (plano xy), por lo que los movimientos a impedir en losapoyos o vínculos serán los desplazamientos según las direcciones de losejes x e y y el giro alrededor de un eje perpendicular al plano (eje z), redu-ciéndose, por tanto, las componentes de la reacción en dichos vínculos ados esfuerzos y un par.

Los principales tipos de apoyo en el plano son los que detallamos segui-damente: apoyo articulado móvil, apoyo articulado fijo y empotramiento.

a) Apoyo articulado móvil

Figura 5.7 Figura 5.8

174


Este apoyo permite el desplazamiento en dirección x y el giro alrede-dor de un eje perpendicular al plano xy, representándose esquemática-mente en la figura 5.7, en la que se muestra la unión de una barra (sólose representa el extremo de la misma) con el mecanismo de apoyo en elpunto A.

En A existe existe una rótula o articulación cilíndrica, cuyo eje es per-pendicular al plano xy, disponiéndose también, como se indica en la figu-ra, rótulas cilíndricas que facilitan el movimiento en dirección x. Haycasos en los que debe impedirse no sólo el movimiento vertical (haciaabajo) del punto A, sino que es necesario también evitar que dicho puntose levante, por lo que el apoyo debe ser de doble efecto, como se indica enla figura 5.8.

El apoyo articulado móvil sólo produce una reacción, en dirección deldesplazamiento impedido (VA en las figuras 5.7 y 5.8), lo que equivale adecir que se conoce la dirección y el punto de aplicación de la reacción, des-conociéndose únicamente su magnitud.

El apoyo articulado móvil se puede ejecutar, en la práctica, de distintasformas, como se indican en las figuras 5.9, 5.10 y 5.11.

Figura 5.9

175


En el primer caso, la parte superior del apoyo está unida a la barra, cuyogiro alrededor del eje normal al plano se efectúa en torno a la rótula cilíndri-ca, representada en A. El pequeño desplazamiento en dirección x está permi-tido por los rodillos cilíndricos inferiores.

En el 2.º caso, se dispone una placa de apoyo de superficie convexa, de laque sobresalen unas espigas de forma cónica que entran en taladros realiza-dos en el ala inferior de la barra superior. Al ser estos taladros de forma ras-gada, se permite el movimiento en dirección x, mientras que el giro está faci-litado por la convexidad de la placa.

En la figura 5.11 se representa dicha barra superior, con los taladrosindicados, cuando se trata de una lámina plana, a diferencia del caso ante-rior en que se trata de un perfil laminado (IPN ó IPE), pieza diseñada parasolicitación de flexión, que estudiamos en los temas 8, 9 y 10.

b) Apoyo articulado fijo

Tal y como se indica en la figura 5.12, este apoyo sólo permite el giroalrededor de un eje perpendicular al plano xy.

176



El apoyo articulado fijo origina dos reacciones en la dirección de losmovimientos impedidos (VA y HA en la figura 5.12), por lo que podemos decirque conocemos el punto de aplicación de la reacción de apoyo (punto A enla figura), pero no su magnitud ni su dirección.

Las figuras 5.13, 5.14 y 5.15 muestran diversas formas de ejecutar el apoyoarticulado fijo, análogas a las correspondentes al apoyo articulado móvil.

Figura 5.12

Figura 5.13Figura 5.14


177

Las diferencias con las disposiciones constructivas correspondientes alapoyo articulado móvil hacen que no sea posible el pequeño desplazamien-to en dirección x: no hay rodillos que permiten este movimiento (figura5.13, en que la parte inferior del apoyo está unida rígidamente a otro sóli-do) o no existen los taladros rasgados a los que nos referimos anteriormen-te, como se representa en las figuras 5.14 y 5.15

c) Apoyo empotrado (figura 5.16)

Con este tipo de apoyo se impiden todos los movimientos del punto A enque la barra prismática se une a otro sólido; por lo que se desconoce tanto

la magnitud y la dirección de la reac-ción como su punto de aplicación, loque significa que un apoyo empotradoorigina una reacción horizontal, HA,una reacción vertical, VA y un par deempotramiento MA (este último permi-te fijar A como punto de aplicación dela reacción).

178


Figura 5.15

Figura 5.16

179


En las figuras 5.17, 5.18 y 5.19 se indican las representaciones máscomunes de los tres tipos de apoyos.

5.3. SISTEMAS ISOSTÁTICOS E HIPERESTÁTICOS

Los mecanismos de apoyo descritos en el apartado anterior, cuandoestán dispuestos en distintos puntos de un sólido elástico, deben garantizarla imposibilidad de desplazamiento del mismo como cuerpo rígido. Porello, los movimientos permitidos por los apoyos articulados fijos y móvilesdeberán ser compensados por los restantes apoyos.

Como hemos indicado, cada tipo de apoyo origina una o varias fuerzasde reacción, cuyo conocimiento es necesario para el estudio de los estadosde tensión y deformación que experimentan los puntos del sólido.

Para determinar las reacciones en los vínculos se considera el sólido comorígido y se plantean las condiciones de equilibrio estático, seis en el casogeneral y tres en el caso de cargas contenidas en un plano, dadas por lasexpresiones [1.1] y [1.2], respectivamente, que reproducimos seguidamente:

[1.1]

[1.2]

R R R

M M M

R R M

x y z

x y z

x y z

= = =

= = =

= = =

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

0 0 0

0 0 0

0 0 0

; ;

; ;

; ;

Figura 5.17. Apoyo articulado móvil.

. Figura 5.18. Apoyo articulado fijo. Figura 5.19. Apoyo empotrado.

180


Si las condiciones de sustentación originan 6 incógnitas de reacción enel caso general ó 3 cuando se trata de cargas coplanarias, el sistema es isos-tático, siendo los vínculos existentes los necesarios para impedir el despla-zamiento del sólido.

Cuando el número de incógnitas en los apoyos supera al de ecuacionesdisponibles de la Estática, se dice que el sistema es hiperestático, siendonecesario considerar las pequeñas deformaciones que experimentan lospuntos del sólido, para determinarlas. Estas deformaciones (corrimientos ygiros) han de ser, como sabemos y en aplicación de los principios funda-mentales de la Resistencia de Materiales, muy pequeñas respecto a lasdimensiones del sólido. Se llama grado de hiperestaticidad de un sistema alexceso entre el número de incógnitas en sus vínculos y el número de ecua-ciones de la Estática aplicables.

En las figuras 5.20 y 5.21 se muestran ejemplos de barras isostáticas ehiperestáticas, representadas, en casi todos los casos, por una línea rectaque corresponde a su eje, suponiendo, por lo general, cargas contenidas enel plano vertical que contiene a dicho eje.

No debe perderse de vista lo expuesto al principio de este apartado enrelación a que no debe ser posible el desplazamiento como cuerpo rígidodel sólido, por lo que la sustentación representada en las figuras 5.22 y 5.23no es utilizable (aunque en el 2.º caso el número de incógnitas sea, aparen-temente, coincidente con el de ecuaciones de la Estática)2.

2 El sistema representado, con tres incógnitas en sus apoyos es, en realidad, hiperestático para car-gas verticales e hipostático y desplazable para cargas horizontales.


181


Tanto en un caso como en otro, la barra insuficientemente apoyada sedesplazaría como cuerpo rígido cuando estuviese sometida a esfuerzoshorizontales.

5.4. CONDICIONES DE SEGURIDAD

A) Introducción

En los cuerpos sometidos a la acción de un sistema de cargas y que estu-dian tanto la Teoría de la Elasticidad como la Resistencia de Materiales, seproducen deformaciones y, como consecuencia de las mismas, se originaun estado tensional, por lo que es necesario asegurarse de que cada uno dedichos cuerpos se encuentra en buenas condiciones de resistencia.

La resistencia de un sólido elástico está asegurada cuando los valores delas cargas exteriores son tales que pueden ser aumentados (multiplicándo-los por un coeficiente n) antes de que se produzca su agotamiento. El ago-tamiento de un sólido elástico se presenta cuando se produce su rotura(sólidos frágiles) o su deformación permanente (materiales dúctiles). Elcoeficiente n, mayor que la unidad, es el coeficiente de seguridad.

La condición indicada es prácticamente imposible de comprobar, expe-rimentalmente, para cada sólido y cada material. Sólo en algunos casos, enlos que se ha de construir un gran número de piezas (por ejemplo, una bielade automóvil), se puede realizar esta comprobación, sometiendo a roturauna de las piezas de la serie.

Por lo indicado en el párrafo anterior, la condición referente a las fuer-zas exteriores se sustituye, en la práctica, por una condición análoga, rela-tiva a las tensiones internas; esto es posible porque, en general, las tensio-nes son proporcionales a las cargas, si bien existen importantesexcepciones, correspondientes a los casos de inestabilidad y pandeo, a losque nos referimos en el apartado D.


Antes de realizar el estudio de la seguridad por el método clásico (o detensiones admisibles) o por el de coeficientes de mayoración y minoración(apartados B y C), debemos precisar las razones por las que las tensionesque realmente se presentan en un sólido elástico sometido a cargas, debenestar muy alejadas de las que producen la rotura (materiales frágiles) o lagran deformación del mismo (materiales dúctiles).

Tales razones son:

a) Grado de conocimiento del sistema de fuerzas exteriores:

En muchas ocasiones se pueden valorar, con gran exactitud, las fuer-zas exteriores que van a actuar. Pero, en otros casos, este conocimientono es tan exacto (acción del viento, empujes de tierras, acciones sísmi-cas y otras acciones dinámicas, etc...)

b) Grado de dominio del cálculo:

Debe considerarse esta circunstancia porque hay muchos casos enque el cálculo se basa en hipótesis simplificadoras que sólo se corres-ponden aproximadamente con la realidad, por lo que los valores calcu-lados para las tensiones no son auténticos.

c) Incertidumbre respecto a las propiedades del material:

La hipótesis de homogeneidad de los sólidos elásticos se cumple engrado diferente según el material utilizado, siendo más exacta en loscasos de aceros y hormigones (en los que se puede suponer que, almenos en una obra concreta, sus características no varían) que paraotros materiales como la piedra y la madera. Para estos últimos el coe-ficiente de seguridad ha de ser, necesariamente, mayor.

d) Inseguridad sobre las dimensiones de los sólidos y sobre su montaje:

Podemos citar, como ejemplos, el espesor de las chapas laminadasque constituyen una viga armada o la carcasa de un motor o la coloca-ción de las armaduras en las piezas de hormigón armado.

Nos referimos, en los puntos siguientes, a las condiciones de seguridadligadas al máximo valor de la tensión normal, σ, o de la tensión tangencialo cortante, τ, con independencia de que el sólido esté sometido a solicita-


182

ción simple o compuesta. El estudio exacto de los criterios de agotamientode los materiales elásticos y de los correspondientes coeficientes de seguri-dad se expondrá en los capítulos finales del texto Elasticidad y Resistenciade Materiales II.

B) Tensión admisible

En el método de cálculo llamado «clásico», utilizado en nuestro paíshasta hace pocos años, conocidas las características mecánicas del materialy la máxima tensión interna que se produce en un sólido elástico, ha decomprobarse que ésta sea inferior a la tensión de servicio o tensión admi-sible, σadm.

La relación entre la tensión límite, σlim, y la tensión admisible, σadm, es elcoeficiente de seguridad, n:

[5.11]

siendo σlim la tensión de rotura, σr, para los materiales frágiles y la tensiónde fluencia, σf, en los materiales dúctiles. Para estos últimos es usual con-siderar coincidentes, a los efectos de las condiciones de seguridad, los valo-res del límite elástico, σe y de la tensión de fluencia, σf. Por tanto, en cadaproblema, bastará con realizar la comprobación:

[5.12]

Cuando la tensión determinante no es la tensión normal σ, sino la ten-sión cortante, τ, se establece, análogamente la tensión cortante admisible,τadm y la comprobación a realizar es:

τmax ≤ τadm [5.13]

C) Coeficientes de mayoración y minoración

El procedimiento expuesto en el apartado anterior resuelve el problemade la seguridad de una forma parcial, pues parece evidente que, para fijar unvalor para el coeficiente de seguridad n, será necesario considerar las con-diciones de trabajo de la construcción o máquina que se estudia, así comola evaluación cuantitativa de las consecuencias del agotamiento del sólido.

σ σmax ≤ adm

σ σadm n

= lim


183

Estos condicionantes, así como los ya indicados en el apartado A hacenaconsejable descomponer el coeficiente de seguridad en dos factores, corres-pondientes a la determinación imperfecta del valor de las cargas aplicadas,así como al imperfecto conocimiento de la resistencia del material.

Se llama acción característica (carga característica) a aquélla cuya posibi-lidad de superarse sea inferior al 5%; análogamente se llama resistencia carac-terística a aquélla cuya probabilidad de no alcanzarse sea inferior al 5%.

Supondremos, en todos los problemas, que las cargas (y las tensionesinternas por ellas originadas) han alcanzado su valor característico e igual-mente supondremos que los valores de la resistencia del material son, tam-bién, valores característicos.

Llamaremos coeficiente de mayoración de cargas γc al número por elque hay que multiplicar éstas para que el sólido esté en condiciones de ago-tamiento, lo que se produce cuando la tensión interna multiplicada por γc

alcanza el valor de la tensión de uso σu.

La tensión de uso σu es igual al límite elástico σe=σf (en el caso de mate-riales dúctiles) o la tensión de rotura, σr, divididas por el coeficiente deminoración de la resistencia de material γm.

Lo anteriormente expuesto se expresa como sigue:

γc σmax ≤ σu [5.14]

o bien:

[5.15]

donde σlim tomará el valor σe o σr según el tipo de material.

Comparando las expresiones [5.11] y [5.14], se deduce que el coeficien-te de seguridad n, del método «clásico» y los coeficientes de mayoración decargas, γc y de minoración de la resistencia de material, γm, pueden consi-derarse relacionados entre sí por la expresión:

n = γcγm [5.15]

En muchos casos el coeficiente de minoración de resistencia γm se escri-be expresando el tipo de material al que se refiere: así, cuando el material

γ σ σγcm

maxlim≤


184

es acero es usual escribir γa en vez de γm; si se trata de hormigón, será fre-cuente escribir γh.

En ocasiones, en vez de dar los datos de la tensión límite (σe o σr) y delcoeficiente γm se da, directamente, el valor de la tensión de cálculo:

Si la tensión decisiva es la tangencial un razonamiento análogo lleva ala expresión:

[5.16]

D) Coeficiente de seguridad en los casos de inestabilidad

Como sabemos, en los casos de inestabilidad, las deformaciones origi-nadas por la acción de las cargas, inciden en la forma de actuar éstas, lo quetiene como consecuencia el que no se pueda establecer proporcionalidadentres las acciones exteriores y tensiones internas.

Limitando el estudio al de las barras comprimidas de gran esbeltez(pandeo), el procedimiento de cálculo utilizado en España, consiste en dis-minuir la resistencia del material, al suponer que las cargas (y las tensionesinternas) están multiplicadas por un coeficiente ω=ω (λ) siendo λ la esbeltezde la pieza.

Las expresiones a utilizar utilizando el criterio de tensiones admisiblesson:

[5.17]

Si se utilizan los coeficientes de mayoración y minoración las fórmulasa emplear son:

[5.18]

ω γ σ σγ

σ σω γ γ

cm

c m

ómaxlim

maxlim

≤

≤

ω σ σ σ σωmax max≤ ≤admadmó

γ τ τc umax ≤

σ σγum

= lim


185


186

Coeficiente de ponderación γs

si el efecto de la acción es:

Hipótesis de carga Clases de acción Desfavorable Favorable

CASO I

Acciones constantes ycombinación de dos accionesvariables independientes

Acciones constantes 1.33 1.33 1.00Ia (1) Sobrecargas 1.33 1.50 0.00

Viento 1.50 1.33 0.00

Acciones constantes 1.33 1.00Ib Sobrecargas 1.50 0.00

Nieve 1.50 0.00

Acciones constantes 1.33 1.00Ic Viento 1.50 0.00

Nieve 1.50 0.00

CASO II

Acciones constantes ycombinación de tres accionesvariables independientes

Acciones constantes 1.33 1.00Sobrecargas 1.33 0.00Viento 1.33 0.00Nieve 1.33 0.00

CASO III

Acciones constantes ycombinación de cuatro accionesvariables independientes, inclusolas acciones sísmicas

Acciones constantes 1.00 1.00Sobrecargas r (2) 0.00Viento 0,25(3) 0.00Nieve 0,50(4) 0.00Acciones sísmicas 1.00 1.00

(1) Para el efecto desfavorable se considerarán los valores de las dos columnas.

(2) r es el coeficiente reductor para las sobrecargas, de valor:Azoteas, viviendas y hoteles (salvo locales de reunión) r=0.50Oficinas, comerciales, calzadas y garages: r=0.60Hopitales, cárceles, edificios docentes, templos, edificios de reunión y espectáculos y salas de reu-nión de hoteles: r=0.80Almacenes: r=1(Tabla 4.5 de la norma sismocorresistente PDSI-74 Parte A) (*)

(3) Sólo se considerará en consrucciones en situación toográfica expuesta o muy expuesta(Norma Básica NBE AE-88)

(4) Sólo se considerará en caso de lugares enlos que la nieve permanece acumulada habitualmente másde treinta días seguidos, en el caso coantrario el coeficiente será cero.

(*) También recogida en la NCSE-94. Norma de Construcción Sismorresistente.

Tabla 5.1. Coeficientes de ponderación

Los problemas de pandeo se presentan, habitualmente, en barras largaspertenecientes a estructuras de acero. Las fórmulas serán:

[5.19]

Algunos reglamentos establecen distintos valores para los coeficientesde mayoración de cargas, según el tipo de estas últimas. Tal es el caso de lanorma de estructuras metálicas NBE EA-95, en la que aquéllos reciben elnombre de coeficientes de ponderación, γS y tienen los valores que se indi-can en la tabla 5.1, para los distintos tipos de solicitación.

Cuando el coeficiente de ponderación o mayoración no es el mismo paratodas las solicitaciones, no puede aplicarse directamente la expresión [5.15],para determinar el coeficiente de seguridad, n.

Por lo que a la resistencia de cálculo se refiere, la citada norma estable-ce los siguientes valores para el límite elástico σe del acero (Tabla 5.2)

Para otros tipos de acero se tomará el límite elástico garantizado por elfabricante. Si no existe esta garantía, el límite elástico σe se obtendrá median-te ensayos, de acuerdo con los métodos estadísticos y se tomará:

donde:

σm es el valor medio de los límites elásticos obtenidos y δ es la desviacióncuadrática media relativa de los resultados de los ensayos.

σ σ δe m= −( )1 2

ω γ σ σγ

σ σω γ γ

ce

a

e

c a

ómax

max

≤

≤


187

Tabla 5.2. Valores del límite elástico

Tipo de acero Límite elástico σ kg/cm2

A37 2400A42 2600A52 3400

La resistencia de cálculo del acero viene fijada por la expresión:

[5.20]

donde:

γa es el coeficiente de minoración, con valores; γa=1 para los aceros conlímite elástico mínimo garantizado, y γa=1.1 para aceros cuyo límite elás-tico sea determinado por métodos estadísticos.

Otras normativas establecen los valores de la resistencia de cálculo y delos coeficientes de mayoración y minoración para piezas o estructuras eje-cutadas en otros materiales. En este sentido puede consultarse la normaEHE-98 «Instrucción de hormigón estructural».

Las normas establecen también limitaciones para las deformacionesexperimentadas por los puntos de un sólido cargado. Estas deformacionesse calculan a través de los métodos que se describen en los capítulossiguientes para los valores característicos de las cargas aplicadas, sin apli-car coeficientes de mayoración.

La próxima entrada en vigor de los Eurocódigos Estructurales modifica-rá los valores de los coeficientes de seguridad y de las resistencias de cálculode los materiales empleados en la construcción de máquinas y edificios.

5.5. LA SEGURIDAD SEGÚN EL CÓDIGO TÉCNICODE LA EDIFICACIÓN (CTE)

La reciente entrada en vigor del Código Técnico de la Edificación,modifica, de acuerdo con lo establecido en su Documento BásicoSeguridad Estructural (DB-SE), la denominación y los valores de los coe-ficientes de seguridad que reciben el nombre de coeficientes parciales ycoinciden con los indicados en los Eurocódigos Estructurales y en la futu-ra Instrucción para el empleo de acero estructural (EAE). Para el dimen-sionamiento o comprobación de los distintos elementos estructurales seconsidera el estado límite último o de agotamiento, debiendo comprobar-se no sólo la resistencia de barras o estructuras, sino, también, la estabili-dad de las mismas.

σ σγue

a

=


188

5.5.1. Verificaciones

En la verificación de los estados límite mediante coeficientes parciales,para la determinación del efecto de las acciones, así como de la respuestaestructural, se utilizan los valores de cálculo de las variables, obtenidos apartir de sus valores característicos, multiplicándolos o dividiéndolos porlos correspondientes coeficientes parciales para las acciones y la resisten-cia, respectivamente.

a) Se considera que hay suficiente resistencia de la estructura portan-te, de un elemento estructural o de una unión entre elementos, sipara todas las situaciones de dimensionado se cumple la siguientecondición.

Ed ≤Rd [5.21]

Siendo:

Ed valor de cálculo del efecto de las acciones

Rd valor de cálculo de la resistencia correspondiente.

b) Se considera que hay suficiente estabilidad del conjunto del edificioo de una parte independiente del mismo, si para todas las situacio-nes de dimensionado se cumple la siguiente condición.

Ed,dst ≤Rd,Stb [5.22]

Siendo

Ed,dst valor de calculo del efecto de las acciones desestabilizadoras

Ed,stb valor de cálculo de las acciones estabilizadoras.

Los valores de cálculo de los efectos de las acciones se obtienen a partirde las combinaciones de las mismas que se indican a continuación, obte-niéndose las tensiones correspondientes mediante las expresiones que sededucirán, en los capítulos siguientes.

El valor de cálculo de la resistencia de un elemento o unión entre ele-mentos se obtienen de cálculos basados en sus características geométricas


189

190


y de la resistencia de cálculo, fd, de los materiales implicados que en gene-ral puede expresarse como cociente entre la resistencia característica, fk, yel coeficiente de seguridad del material.

La resistencia de cálculo fk será el límite elástico, fy (= σe) en los mate-riales dúctiles o la tensión de rotura, fu (= σr) en materiales frágiles.

5.5.2. Combinación de acciones

• El valor de cálculo de los efectos de las acciones correspondiente auna situación persistente o transitoria, se determina mediante combinacio-nes de acciones a partir de la expresión

[5.23]

Es decir, considerando la actuación simultánea de:

a) Todas las acciones permanentes, en valor de cálculo (γG · Gk), inclui-do el pretensado (γp · P).

b) Una acción variable cualquiera, en valor de cálculo (γQ · Qk), debien-do adoptarse como tal una tras otra sucesivamente en distintos aná-lisis.

c) El resto de las acciones variables, en valor de cálculo de combinación(γQ · ψ0 · Qk).

Los valores de los coeficientes de seguridad, γ, se establecen en latabla 5.3 para cada tipo de acción, atendiendo para comprobaciones deresistencia a si su efecto es desfavorable o favorable, considerada glo-balmente.

Para comprobaciones de estabilidad, se diferenciará, aún dentro de lamisma acción, la parte favorable (la estabilizadora), de la desfavorable (ladesestabilizadora).

Los valores de los coeficientes de simultaneidad, ψ se establecen en latabla 5.4.

γ γ γ γ ψG,j k,j Pj 1

Q,1 k,1 Q,ii 1

0,iG P Q⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅≥ >

∑ ∑ QQk,i

191


Tabla 5.3. Coeficientes parciales de seguridad (γγ) para las acciones

Tabla 5.4. Coeficientes de simultaneidad (ψψ)

(1) En las cubiertas transitables, se adoptarán los valores correspondientes al uso desde el que seaccede.

Las categorías A a H son las indicadas en el Documento Básico Acciones en la Edificación (DB-AE)del Código Técnico de Edificación.

Tipo deverificación

Tipo de acciónSituación persistente o transitoria

Desfavorable Favorable

Resistencia

PermanentePeso propio, peso de terrenoEmpuje del terrenoPresión del agua

1,351,351,20

0,800,700,90

Variable 1,50 0

Estabilidad

Desestabilizadora Estabilizadora

PermanentePeso propio, peso de terrenoEmpuje del terrenoPresión del agua

1,101.351,05

0,900,800,95

Variable 1,50 0

ψψ00 ψψ11 ψψ2

Sobrecarga superficial de uso• Zonas residenciales (Categoría A)• Zonas administrativas (Categoría B)• Zonas destinadas al público (Categoría C)• Zonas Comerciales (Categoría D)• Zonas de tráfico y de aparcamiento de vehículos ligeros con un

peso total inferior a 30 kN (Categoría F)• Cubiertas Transitables (Categoría G)• Cubiertas accesibles únicamente para mantenimiento

(Categoría H)

0,70,70,70,7

0,7 (1)

0

0,50,50,70,7

0,7 (1)

0

0,30,30,60,6

0,6 (1)

0

Nieve• Para altitudes > 1.000 m.• Para altitudes ≤ 1.000 m.

0,70,5

0,50,2

0,20

Viento 0,6 0,5 0

Temperatura 0,6 0,5 0

Acciones de variables del terreno 0,7 0,7 0,7


192

• El valor de cálculo de los efectos de las acciones correspondiente auna situación extraordinaria, se determina mediante combinaciones deacciones a partir de la expresión.

[5.24]

Es decir, considerando la actuación simultánea de:

a) Todas las acciones permanentes, en valor de cálculo (γG · Gk), inclui-do el pretensado (γp · P).

b) Una acción accidental cualquiera, en calor de cálculo (Ad), debiendoanalizarse sucesivamente con cada una de ellas.

c) Una acción variable, en valor de cálculo frecuente (γQ · ψ1 · Qk),debiendo adoptarse como tal, una tras otra sucesivamente en distin-tos análisis con cada acción accidental considerada.

d) El resto de las acciones variables, en valor de cálculo casi perma-nente (γQ · ψ2 · Qk).

En situación extraordinaria, todos los coeficientes de seguridad (γG, γP,γQ), son iguales a cero si su efecto es favorable, o a la unidad si es desfavo-rable, en los términos anteriores.

• En los casos en los que la acción accidental sea la acción sísmica,todas las acciones se tendrán en cuenta según la expresión

[5.25]

Llamamos G a cualquier acción permanente, Q a cualquier acción varia-ble y P a la acción de pretensado, caso de existir, de la que se indica unejemplo de aplicación en el capítulo siguiente.

5.5.3. Materiales

Nos referimos, a continuación, a las características mecánicas de losaceros contemplados en el Documento Básico Seguridad Estructural-Acero(DB-SE-A) del Código Técnico de la Edificación; para otros materiales pue-den consultarse los correspondientes Documentos Básicos, excepto parahormigones, en que deberá utilizarse la Instrucción EHE.

G P A Qk,j dj 1

2,i k,ii 1

+ + + ⋅≥ >

∑ ∑ψ

γ γ γ ψ γ ψG,j k,j P dj 1

Q,1 1,1 k,1 Q,ii 1

2,i k,iG P A Q Q⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅≥ >

∑ ∑


193

5.5.3.1. Aceros en chapas y perfiles

a) Los aceros considerados, son establecidos en la norma UNE EN10025 (Productos laminados en caliente de acero no aleado, para cons-trucciones metálicas de uso general) en cada una de las partes que lacomponen, cuyas características se resumen en la tabla 5.5.

b) En el CTE se contemplan igualmente los aceros establecidos por lasnormas UNE-EN 10210-1:1994 relativa a Perfiles huecos para cons-trucción, acabados en caliente, de acero no aleado de grado fino y enla UNE-EN 10219-1:1998, relativa a secciones huecas de aceroestructural conformado en frío.

c) Las siguientes son características comunes a todos los aceros:

• Modulo de Elasticidad: E 210.000 N/mm2

• Módulo de rigidez: G 81.000 N/mm2

• Coeficiente de Poisson: ν 0,3• Coeficiente de dilatación térmica: α 1,2 · 10–5 (ºC)–1

• Densidad ρ 7.850 Kg/m3

5.5.3.2. Tornillos, tuercas y arandelas

En la tabla 5.6 se resumen las características mecánicas mínimas de losaceros de los tornillos de calidades normalizadas en la normativa ISO.

Tabla 5.5. Características mecánicas mínimas de los aceros

(*) Como puede fácilmente comprobarse, 1 N/mm2 = 1 MPa.

Designación

Espesor nominal t (mm)

Tensión de límite elásticofy (N/mm2) (*)

Tensión de roturafu (N/mm2) (*)

t ≤ 16 16 < t ≤ 40 40 < t ≤ 63 3 ≤ t ≤ 100

S235 235 225 215 360

S275 275 265 255 410

S355 355 345 335 470

S450 450 430 410 550

5.5.3.3. Resistencia de cálculo

Se llama resistencia de cálculo, fyd, al cociente de la tensión de límiteelástico y el coeficiente de seguridad del material:

[5.26]

Siendo:

fy Tensión del límite elástico del material base (tabla 5.5). No seconsiderará el efecto de endurecimiento derivado del conforma-do en frío o de cualquier otra operación.

γM Coeficiente parcial de seguridad del material.

En general, se tomará γM = 1,05, auque en problemas de inestabilidades usual utilizar un coeficiente γM = 1,1; en el cálculo y comprobación deuniones se consideran valores superiores del coeficiente parcial de seguri-dad del material.

5.5.4. Inestabilidad

En las barras esbeltas comprimidas deberá hacerse la comprobación apandeo, de forma que se verifique:

N ≤ Nb.Rd = χAFyd [5.27]

Nb,Rd: Resistencia última de la barra a pandeo.

N: esfuerzo de compresión ponderado, de acuerdo con 5.5.2.

f fyd

y

M= γ


194

Tabla 5.6. Características mecánicas mínimas de los aceros,de los tornillos, tuercas y arandelas

Clase 4,6 5,6 6,8 8,8 10,9

Tensión de límite elástico fy (N/mm2) 240 300 480 640 900

Tensión de rotura fu (N/mm2) 400 500 600 800 1.000

A: área de la sección de la pieza.

χ: coeficiente de reducción por pandeo, función de la esbeltez.

fyd: resistencia de cálculo del acero.

Como puede comprobarse este procedimiento, que se expone en eltema es similar al de los coeficientes ω (norma EA-95), teniendo en cuen-ta queω > 1 y que χ < 1.


1. Determinar, en el sistema indicado en la figura, los valores de los esfuer-zos en las barras AB y BC, así como el desplazamiento vertical del punto C.Las barras son de acero, con módulo de elasticidad E=2,1.106 kg/cm2. La sec-ción es circular (φ = 15 mm)

2. Determinar el grado de hiperestaticidad de los sistemas siguientes(se supondrá que las cargas son coplanarias con los ejes de las piezas repre-sentadas).

l=1.50 m l=1.50 m


195

3. ¿Cuál es, de acuerdo con el «método clásico de cálculo», el coefi-ciente de seguridad de un muro de presa construido con hormigón enmasa, si el coeficiente de mayoración de cargas es γc=1,6 y el de minoraciónde la resistencia del hormigón, γh=1,5?

4. En el muro de presa del ejercicio anterior, ¿cuál es la tensión decálculo σu, en el hormigón, si éste tiene una resistencia característica devalor 250 kg/cm2 ?


1. De acuerdo con las expresiones [5.6] y [5.9] el esfuerzo N vale:

Sustituyendo los datos numéricos:

Para el cálculo del desplazamiento, aplicamos la expresión [5.10] paralos valores numéricos dados:

2. a) Grado de hiperestaticidad (G.H.)=1 b) G.H.=1 c) G.H.=2

3.

4. σ u = =2501 5

166 67,

, � kgcm2

n c h= × = × =γ γ 1 6 1 5 2 4, , ,

δπ

= = ×× × ×

=l PES

cm3

623

150 2500

2 1 10 1 54

13 15, , ,

N =× ×

= ×2500 2 1 101 5

42

184 202 154 8132

3 62 1

3( ,,

) , ,π

2214158= � kg

N P P ESP

P ES= = =2 2 2

3

23 13

∆α( )


196

Tema 6

Esfuerzos longitudinales

6.1. Características de la tracción y la compresión simples.

6.2. Relación entre tensiones y deformaciones.

6.3. Cálculo de barras prismáticas sometidas a tracción ocompresión.

6.4. Barra prismática sometida a esfuerzo longitudinal,teniendo en cuenta el peso propio.

6.5. Sólido de igual resistencia a tracción o compresión.

6.6. Barras de sección variable. Coeficiente de concen-tración de tensiones.

6.7. Trabajo interno de deformación en barras sometidasa tracción o compresión.

6.8. Tubos y depósitos de pared delgada sometidos a pre-sión interior.

6.9. Anillos delgados giratorios.

6.10. Problemas hiperestáticos en tracción y compresiónsimples.

6.11. Barras pretensadas.

6.12. Tensiones de origen térmico.

6.13. Tensiones derivadas del montaje.

197

198


199

ESFUERZOS LONGITUDINALES

6.1. CARACTERÍSTICAS DE LA TRACCIÓNY LA COMPRESIÓN SIMPLES

En el capítulo 1 hemos estudiado las diversas formas de trabajo en unasección de un prisma mecánico.

Cuando en dicha sección la solicitación se reduce a un esfuerzo dirigidosegún la línea media o directriz de la pieza decimos que la barra está some-tida a esfuerzo longitudinal, que será de tracción si el esfuerzo tiende aseparar la sección de la infinitamente próxima (figura 6.1) y de compresiónen caso contrario (figura 6.2).

Supondremos, en adelante, que toda la barra está sometida a esfuerzolongitudinal, lo que ocurre habitualmente en piezas de directriz recta (figu-ras 6.3 y 6.4).

y

z

z

y

xo

SF1

F2

A N

F3

y

z

z

y

xo

S

F3

F1

F2

A N

N N xN Nx x



Sin embargo, hay casos de piezas curvas en que las disposiciones cons-tructivas y geométricas permiten suponer que, en todas sus secciones, lasolicitación es de esfuerzo longitudinal, habitualmente de compresión,como ocurre en ciertos tipos de arcos, cuyo estudio abordaremos en la asig-natura «Elasticidad y Resistencia de Materiales II». En la figura 6.5 repre-sentamos una porción de pieza curva en la que, en la sección indicada, laresultante de las fuerzas exteriores está dirigida según la tangente a la direc-triz de dicha pieza.

En la figura 6.5 se ha supuesto un reparto uniforme de las tensionesinternas que equivalen a la solicitación exterior, lo que puede hacerse envirtud de las hipótesis que se establecen en el estudio de las piezas someti-das a esfuerzo longitudinal:

1.a Las secciones planas antes de la deformación se mantienen planasdespués de la misma. Tal es la hipótesis de Bernoulli que, en gene-ral, se cumple para cualquier tipo de solicitación simple1.

2.a Se cumple la ley de Hooke, por lo que existe proporcionalidad entretensiones y deformaciones.

La consecuencia de ambas hipótesis es que, en todas las secciones de lapieza, las fibras se alargan o acortan por igual, por lo que el reparto de ten-siones es uniforme, escribiéndose, en el caso de tracción (figura 6.6)

[6.1]

N

σ x S=

Ν


200

1 En las piezas sometidas a torsión la hipótesis de Bernoulli sólo se cumple en algunos casos (pie-zas de sección circular).

Figura 6.5

y, en el caso de compresión (figura 6.7):

[6.2]

La distribución de tensiones dada por [6.1] o [6.2], en las que S es el áreade la sección transversal, es exacta cuando la solicitación en las seccionesextremas está repartida uniformemente, como se indica, en el caso de trac-ción, en la figura 6.8.

En caso contrario, en virtud del principio de Saint-Venant, la distribu-ción de tensiones se considera uniforme a partir de una pequeña distanciade los puntos de aplicación de las cargas N (extremos de la barra en los casosrepresentados), mientras que en dichos puntos dicha distribución no es uni-forme, estando más cargada la fibra central y las adyacentes a la misma (sesupone que la carga N va dirigida según el eje de la pieza lo que ha de ocu-rrir si la solicitación es sólo esfuerzo longitudinal)2. Por lo que a las defor-maciones se refiere serán, en el caso de tracción, alargamiento longitudinal,y contracción lateral (debida al efecto Poisson). Los valores unitarios son:

[6.3]

σ x S= −

Ν

xN

xx N x

xx

ε x

l

l=

∆


201

Figura 6.8


2 En secciones oblicuas, como puede comprobarse utilizando los círculos de Mohr, existen tantotensiones normales como tangenciales, siendo estas últimas máximas para planos orientados a 45o res-pecto a la sección recta.

[6.4]

Si la solicitación es de compresión las deformaciones unitarias son:

[6.5]

[6.6]

En la figura 6.9 se representa el aspecto de la pieza deformada cuandola solicitación es de tracción. Análogamente se representaría la pieza defor-mada si está sometida a compresión.

6.2. RELACIÓN ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES

De acuerdo con la ley de Hooke, los valores de las tensiones y de lasdeformaciones unitarias están relacionados entre sí por las expresiones.

[6.7]

cuando la solicitación es de tracción y por las expresiones:

ε ε µy z

ll

= = −∆

ε ε µy z

ll

= = ∆

ε x

ll

= –∆

N N

l+∆l

l

ε σ

ε ε µ σ

xx

y zx

=

= = −

Ε

Ε


202

Figura 6.9

[6.8]

para solicitación de compresión.

En las ecuaciones [6.7] y [6.8] las tensiones y deformaciones respondena las expresiones obtenidas en el epígrafe anterior.

La obtención experimental de la relación entre tensiones y deformacio-nes unitarias y la determinación del valor del módulo de elasticidad longi-tudinal E se realiza a través de los correspondientes ensayos de tracción yde compresión. El primero de ellos ha sido expuesto en el capítulo 4, en elque también se indican los valores de las tensiones límites y del módulo deElasticidad para distintos materiales.

Por lo que se refiere al ensayo de compresión, no suele realizarse sobremateriales metálicos que presentan resistencia similar a tracción que acompresión, pues, al ser las correspondientes probetas piezas esbeltas, seproduciría el fenómeno de pandeo o inestabilidad. No obstante, para pro-betas no esbeltas y para materiales dúctiles se obtendría, mediante esteensayo un diagrama similar al representado en la figura 6.10, en el que losperiodos de proporcionalidad, fluencia o cedencia y rotura son análogos alos obtenidos en el ensayo de tracción.

ε σ

ε ε µ σ

xx

y zx

=

= =

–Ε

Ε


203

θ

ε


De la figura 6.10 se deduce que el periodo de cedencia está menos mar-cado que en el ensayo de tracción.

Si se trata de metales blandos no hay prácticamente periodo de propor-cionalidad, produciéndose una gran deformación transversal sin llegar aproducirse la rotura (figura 6.11).

En los materiales pétreos, de mucha mayor resistencia a compresiónque a tracción, la relación entre tensiones y deformaciones se obtiene expe-rimentalmente utilizando, exclusivamente, el ensayo de compresión.

En la figura 6.12 se representan las curvas correspondientes al ensayode compresión realizado sobre dos probetas de hormigón de distinta resis-tencia característica: σr=150 kg/cm2 (1) y σr=500 kg/cm2 (2). Ambas probe-tas se han fabricado de acuerdo con lo establecido en la instrucción EHE-98, y se han ensayado después del periodo de fraguado de 28 días, señaladotambién en dicha norma.

De la figura se deduce que el hormigón no sigue realmente la ley deHooke, siendo tal comportamiento más acusado cuando la resistenciacaracterística es más pequeña. También se indican en la figura 6.12, para elhormigón de menor resistencia, los ángulos para los que se determinan los


204

EhR

EhO

σσr(2)

σr(1)

(2)

(1)

A2

A1

BO

Figura 6.12

módulos de elasticidad tangente y secante, dados por las pendientes de latangente en el origen (módulo tangente, Eho) y de la recta OA1 que une elorigen con el punto A1 del diagrama en que se produce la rotura (módulosecante Ehr). (Se ha supuesto que, para los dos tipos de hormigones, el acor-tamiento correspondiente a la rotura es el 0,35% de la longitud inicial, deacuerdo con la normativa vigente). Como se deduce de la figura, el módulosecante es, aproximadamente, 1/3 del módulo tangente.

En la Tabla 6.1 se indican se indican los valores característicos de dis-tintos materiales pétreos, deducidos de los correspondientes ensayos decompresión.

a) Hormigones

b) Fábrica de ladrillo

c) Fábrica de piedra


205

Tabla 6.1. Materiales pétreos

Material E (kg/cm2) σσuu == σσrr // γγmm (kg/cm2)

Hormigón 150.000 a 300.000 80 a 160

Material E (kg/cm2)

Ladrillos macizos ordinarios con mortero de cemento (200 kg/m3) 16

Material σσuu == σσrr // γγmm (kg/cm2)

Clase de piedra Sillería Mampostería

Sillería (h>30 cm)con mortero de cemento

(300 kg/m3)

Sillarejos (h<30 cm)con mortero de cemento

(200 kg/m3)

Escuadra con morterode cemento (300 kg/m3)

GranitoSienitaBasalto

80 48 32

Arenisca cuarzosaCaliza dura

40 24 19

Arenisca calizaCaliza blanda

24 16 13

6.3. CÁLCULO DE BARRAS PRISMÁTICAS SOMETIDAS A TRACCIÓN O COMPRESIÓN

Si bien las piezas que trabajan fundamentalmente a tracción son loscables y tirantes, con escasa rigidez a cualquier otra solicitación, estudia-mos seguidamente el diseño (determinación de las características geomé-

tricas de la pieza) y la comprobación de barrasmás rígidas, capaces de trabajar tanto a trac-ción como a compresión.

Consideremos (figura 6.13) una barra pris-mática, de peso despreciable, cuya seccióntransversal es constante y que está sometida ados esfuerzos longitudinales N, iguales y desentido contrario, que originan, en todas lassecciones, tensiones normales de tracción

dadas por la expresión [6.1]:

Si queremos determinar el área S, conoci-dos el valor del esfuerzo N y los coeficientes de

mayoración de cargas, γc, y de minoración de la resistencia del material, γm,así como el límite elástico del mismo, σe, aplicaremos la expresión:

[6.9]

o bien:

[6.10]

En las expresiones [6.9] y [6.10] hemos supuesto que se trata de unmaterial dúctil. (En el caso de materiales frágiles, como hemos visto en eltema anterior, el límite elástico se sustituye por la tensión de rotura σr).

Por lo que se refiere al alargamiento experimentado por la barra de lafigura 6.13, se obtiene a partir de la expresión [6.3], correspondiente al alar-gamiento unitario:

[6.3]ε x

ll

= ∆

σ x

NS

=

S c m

e

≥γ γ

σΝ

γσ

σγ

cu

e

mS

Ν≤ =


206

N

N

l

Figura 6.13

[6.11]

Si la barra estuviese sometida a compresión, suponiendo que no seaesbelta, se obtienen expresiones análogas tanto para el dimensionamientode su sección transversal como para el acortamiento experimentado.

En ocasiones interesa determinar el diagrama de desplazamientos de lassecciones rectas de la barra prismática, que es la representación gráfica deldesplazamiento u de sus puntos en dirección longitudinal:

[6.12]

Esta expresión se utiliza cuando el esfuerzo N varía a lo largo de la lon-gitud de la barra y coincide con el alargamieno o acortamiento experimen-tado por la misma cuando x=l.

6.4. BARRA PRISMÁTICA SOMETIDA A ESFUERZOLONGITUDINAL, TENIENDO EN CUENTA EL PESO PROPIO

Consideremos la barra AB representada en la figura 6.14, cuya seccióntransversal es constante y de longitud l, sometida al esfuerzo N y a su pesopropio.

u dxS

dxx

x x

= =∫ ∫ε ��

� �0 0

ΝΕ

∆Ε

ΝΕ

� � �l l ll

Sxx= = =ε σ


207

N

l

B

A

x

θA

θx

N

A

θx

Figura 6.14

Supondremos conocidos el área de la sección transversal, S y el pesoespecífico del material de la barra, γ. Asimismo, consideraremos que labarra está empotrada en su extremo superior y libre en el inferior, como seindica en la figura.

En estas condiciones, en una sección situada a distancia x del extremoinferior, se cumplirá:

N + γSx = σxS [6.13]

de donde:

[6.14]

El valor máximo de la tensión de tracción, σx, se da en el extremo supe-rior B, siendo su valor:

[6.15]

Si se quiere dimensionar el área de la sección sin que la tensión supereel valor límite, σadm (epígrafe 5.4), se obtiene:

[6.16]

Cuando sea γl=σadm el valor S se hace infinito, por lo que no puedeemplearse una barra de sección constante, sino de sección variable.

Por lo que se refiere al alargamiento experimentado por la barra, lodeterminaremos considerando un elemento de longitud dx, en el que puedeconsiderarse constante la tensión σx. Será:

El alargamiento total coincidente con el desplazamiento del punto Arespecto a B, será:

ε σ γxxdx dx

Sx dx� � � �= = +

Ε Ε

Ν1

σ γx Sx= +Ν�

σ γmax = +ΝS

l�

Sladm

=−

Νσ γ �


208

[6.17]

Es decir, el alargamiento es elmismo que el que produciría el esfuer-zo N incrementado en la mitad delpeso de la barra.

El estudio realizado para la barrade la figura 6.14 es similar al de labarra sometida a su peso propio,apoyada en su extremo inferior(figura 6.15), cargada en su extremolibre, en la que las tensiones σx sonde compresión y la variación de lon-gitud es un acortamiento σx, por loque no es necesario exponer su cál-culo detallado.

6.5. SÓLIDO DE IGUAL RESISTENCIA A TRACCIÓN O COMPRESIÓN

El estudio realizado en el punto anterior, en el que consideramos unabarra de sección constante, conduce a obtener el área S necesaria en la sec-ción más cargada, por lo que en las demás secciones, menos cargadas, lastensiones serán más pequeñas, lo que puede hacer pensar que el materialestá, en parte, desaprovechado. Un aprovechamiento óptimo del material seproduciría si el área de la sección transversal variase de tal forma que latensión fuese constante en todas las secciones. El sólido así diseñado reci-be el nombre de sólido de igual resistencia, que estudiamos seguidamente,suponiendo que la sustentación y las cargas originan tensiones de compre-sión (figura 6.16).

∆Ε

Ν

∆ΝΕ

� � �

��

l dxS

x dx

ll

S

x

ll

= = +

= +

∫∫ ε γ

γ

1

00

�� lS

lS

l S2

2 2Ε ΕΝ= +

γ


209

N

l

Figura 6.15

Llamando S al área de la sección situada a distancia x del extremo supe-rior, en la sección infinitamente próxima, el área será S+dS. El peso de labarra situado por encima de S es P', mientras que, en la sección inifinita-mente próxima, dicho peso pasa a ser P'+dP'.

De acuerdo con la definición de sólido de igual resistencia, se cumplirá:

[6.18]

De donde, podemos escribir:

[6.19]

Como dP'=γSdx, puesto que, en la longitud elemental dx, puede consi-derarse S constante, se obtiene:

[6.20]γ σ γ

σSdxdS

dSS

dx= ⇒ =

ddS S

′=

+ ′=

Ρ Ρ Ρ σ

Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ+ ′=

+ ′ + ′+

= =S

dS dS

cteσ

P

x

dx

So

P’

S

S+dSl


210

Figura 6.16

Integrando la ecuación diferencial [6.20]:

(L indica logaritmo neperiano)

Para x=0, S=So, por tanto C=LSo; sustituyendo:

o bien

[6.21]

Si el área de la sección transversal varía según esta última expresión, latensión es la misma en todas las secciones, tratándose de un sólido de igualresistencia a la compresión.

La variación de longitud experimentada por el sólido es

[6.22]

Mientras que el volumen del sólido será:

[6.23]

Si hubiésemos considerado el sólido colgado en su extremo superior ysometido, además de a la carga P, a su peso propio, habríamos estudiado,análogamente, el sólido de igual resistencia a la tracción.

Tanto en un caso como en otro, el ahorro de material que se obtienecomo consecuencia de considerar el sólido como de igual resistencia nocompensa las dificultades que se generan para construirlo, por lo que, lomás habitual es considerar que el sólido tiene sección constante.

V Sdx S e dx S e

V

xl

xll

= = =

=

∫∫ 00

0

00

� � �

�

�γσ

γσσ

γ

σγ

SS e e S Sl

l00

0� � �γσ σ

γ−

= −( )

∆Ε Ε

��

l dx dxl

x

ll

= = =∫∫ ε σ σ

00

LSS

x S S ex

00= ⇒ =

γσ

γσ� �

LS x LS= +γσ 0

LS x C= +γσ


211

6.6. BARRAS DE SECCIÓN VARIABLE. COEFICIENTE DE CONCENTRACIÓN DE TENSIONES

Cuando la sección transversal de la barra sometida a esfuerzo longitu-dinal no es constante las expresiones [6.1] y [6.2] sólo son aplicables parauna variación suave de las secciones. En caso contrario, la determinaciónexacta de las leyes de variación de las tensiones y de sus valores máximosdebe hacerse utilizando las técnicas de la Teoría de la Elasticidad o recu-rriendo a procedimientos experimentales (extensometría o fotoelasticidad),como ocurre en los sólidos representados en las figuras 6.17, y 6.18, en losque supondremos que la sección transversal tiene espesor constante, δ.

Cuando la sección varía en forma brusca, se produce el fenómeno deconcentración de tensiones señalado en las figuras 6.17 y 6.18, en las que latensión máxima σmax se obtiene multiplicando por un coeficiente k (coefi-ciente de concentración de tensiones) el valor σ obtenido suponiendo repar-to uniforme en el área S=b.δ, es decir:

σmax = kσ [6.24]

m n

P

P

σmax

b

dm n

σmax


212


En el caso de la barra con muescas (figura 6.17), es k=2, si las muescasson semicirculares o rectangulares, mientras que en la barra con taladro dela figura 6.18 es k=3.

Por lo que se refiere al alargamiento o acortamiento experimentado poruna barra sometida a esfuerzo longitudinal, se obtendrá mediante lasexpresiones:

[6.25]

si la sección varía de modo continuo y

[6.26]

para cambios bruscos de sección.

En la expresión [6.26] se ha tenido en cuenta no sólo la posible varia-ción de la sección, sino también del esfuerzo longitudinal, la longitud sobrela que actúa e incluso el material de la barra.

6.7. TRABAJO INTERNO DE DEFORMACIÓN EN BARRASSOMETIDAS A TRACCIÓN O COMPRESIÓN

Consideremos una barra prismática sometida a esfuerzo de tracción N(figura 6.19), que supondremos que se aplica en forma estática, es decir,aumentando poco a poco desde su valor inicial (cero) a su valor final (N),por lo que no se producen aceleraciones sensibles.

N N

l

l + ∆l

∆ΝΕ

� ll

Si i

i i

= ∑

∆ΝΕ

� ldl

S

l

= ∫0


213

Figura 6.19

Al aplicarse el esfuerzo en forma estática existe proporcionalidad entreel valor del mismo y el alargamiento experimentado por la barra, como seindica en la figura 6.20.

Para un valor intermedio del esfuerzo Ni el alargamiento correspon-diente es ∆il. Si Ni aumenta en dNi el alargamiento se incrementa en d(∆il),siendo el trabajo elemental realizado para este aumento de esfuerzo.

dT = Nid(∆il) [6.27]

expresión en que se han despreciado los infinitésimos de orden superior. Eltrabajo total desarrollado al aplicar la fuerza N será:

Como, en virtud de la ley de Hooke es: , podemos escribir:

[6.28]T N lN lES

ESl

l= = = ( )12

12 2

2 2

∆ ∆� �

∆Ν

� ll

ES=

T d ll

ld l

l

li i

li

i

l

= ( ) = ( ) =∫ ∫( )Ν ∆ Ν

∆∆

∆ Ν∆

∆∆ ∆

��

�

0 0

2

2212

= Ν∆ � l

O B

N

Ni

dNi

∆i l

∆l

d(∆il)

A


214

Figura 6.20

que son las tres expresiones del trabajo interno de deformación en unabarra sometida a tracción. La misma expresión se obtiene cuando la barraestá sometida a esfuerzo de compresión N, acortándose .

En el caso general, el trabajo interno de deformación originado por losesfuerzos normales es:

[6.29]

6.8. TUBOS Y DEPÓSITOS DE PARED DELGADA SOMETIDOS A PRESIÓN INTERIOR

Aunque el estudio de los sólidos tipo bóveda o laminares sometidos a dis-tintas solicitaciones será abordado de forma general más adelante3, estudia-remos a continuación este tipo de sólidos cuando constituyen depósitos otubos de pared delgada que transportan o almacenan un fluido a presión p.

Tal problema, como veremos seguidamente, es un ejemplo de sólidosometido a tensiones normales en dos direcciones perpendiculares entre síy se presenta con mucha frecuencia en las aplicaciones prácticas.

Consideremos (figura 6.21) un depósito cilíndrico, de pared delgada,que está sometido a una presión interior p, siendo su espesor e y su radiomedio r (e<<r).

r

e

xx

y

y

e

Tdl

ES

l

= ∫12

2

0

Ν


215

3 Ver texto base de la asignatura Elasticidad y Resistencia de Materiales II.

Figura 6.21

Si aislamos una porción de tubo de longitud a y damos, en el mismo uncorte diametral 1-1', según se indica en la figura 6.22, determinaremos lastensiones circunferenciales de tracción, σy, analizando el equilibrio de laparte conservada.

La carga que actúa en el elemento de área a·rdα, es:

dF = par dα [6.30]

siendo sus componentes horizontal y vertical:

dH = par senα dα[6.31]

dV = par cosα dα

La suma de las componentes horizontales sobre el elemento considera-do se anula como se desprende, por razones de simetría, de la figura 6.23,mientras que la resultante vertical vale:

[6.32]V dV p r d p r sen p= = = =[ ]∫∫2 2 2 22

0

0

2

0

2

a � a acosα α α π

ππ

rr

e

r

dYy

y

1’

dH

dY

dH

αdα

e

1

par dαα

σy·e σy·e

a


216

Figura 6.22

Esta fuerza será equilibrada por las tensiones σy que representan laacción de la parte suprimida del elemento sobre la parte conservada:

V = 2σyae [6.33]

Igualando [6.32] y [6.33], obtenemos:

[6.34]

Además de las tensiones circuferenciales σy, existen tensiones longitudi-nales σx , también de tracción, como se pone de manifiesto en la figura 6.23,en la que se representa un elemento longitudinal del depósito, limitado poruno de sus fondos y una sección transversal.

La resultante de las presiones sobre el fondo es R=p·πr2 y debe ser equi-librada por las tensiones σx, que actúan sobre el área rayada:

R = pπ r2 = σx2π re

De donde:

[6.35]

Las tensiones longitudinales σx tienen un valor mitad que las circunfe-rrenciales σy, estando ambas originadas por la presión p.

Las disposiciones constructivas de las tuberías de pared delgada someti-das a presión interna p permiten, habitualmente, suponer que, además de las

σ x

pre

=2

p σx

σ y

pre

=


217

Figura 6.23

tensiones circuferenciales σy, dadas por [6.34], aparecen también tensioneslongitudinales σx, cuyo cálculo se realiza utilizando la ecuación [6.35].

En la figura 6.24 se señala un elemento sobre la superficie de un tubode pequeño espesor, sometido al estado tensional biaxial σx, σy, que hemosestudiado en el presente epígrafe.

6.9. ANILLOS DELGADOS GIRATORIOS

Un problema similar al de los tubos y depósitos sometidos a presióninterna, se presenta en el estudio de un anillo circular delgado que gira alre-dedor de un eje, normal a su plano, que pasa por su centro (figura 6.25),con velocidad angular ω.

d

a

ra

bP’ dα

σx σx

σy

σy


218

Figura 6.24

Figura 6.25

En este caso se produce una presión radial uniforme p', cuyo valordeterminamos a continuación.

Sobre un elemento del anillo, cuya masa es dm, actúa una fuerza cen-trífuga:

dFc = ω 2r dm [6.36]

donde ω2r es la aceleración y dm se escribe como sigue:

[6.37]

donde S es el área de la sección transversal del anillo, γ el peso específicodel material que lo constituye y g la aceleración de la gravedad.

La presión p' valdrá, de acuerdo con lo indicado en la figura:

[6.38]

Siguiendo el razonamiento expuesto anteriormente, se cumplirá:

2p' ar = 2σyS [6.39]

Es decir:

[6.40]

Haciendo σy=σ (no existe más tensión que la circunferencial), se obtiene:

[6.41]

donde v es la velocidad periférica, v=ω r . El alargamiento unitario de la cir-cunferencia media del anillo es:

[6.42]ε σ γ= =

Ε Ε� �v

g

2

σ γ ω γ= =

gr

vg

2 22� �

γ ω σ�a

� a �S

gr r Sy

2 =

′ = =pdF

rd grc

a� Saα

γ ω 2

dmS

grd=

γ α�


219

Siendo, por tanto, el alargamiento circunferencial:

[6.43]

Podemos determinar el nuevo radio r' igualando las dos expresiones dela longitud de la nueva circunferencia media:

Es decir:

[6.44]

Por lo que el aumento de longitud del radio es:

[6.45]

En el caso de los tubos y depósitos de pared delgada el cálculo de lavariación de longitud del radio es algo más complicado, pues, de acuerdocon la figura 6.24 es:

Para µ=0,3, sería , por lo que, siguiendo el mismo procedi-

miento de cálculo obtendríamos:

[6.46]∆Ε

rpre

= 0 85 2,

ε y

pre

=0 85,

Ε

εσ

µ σ µyy x pr

epr

e= − = −

Ε Ε Ε Ε2

∆r r rv r

gE= ′ − = γ � 2

′ = +r rv r

gE

γ � �2

2 2 22 2

π π π π γ� � �

� ��

�′ = + = +r r l r

v

gEr∆

∆ � ��

l rv r

gE= =2

2 2

π ε π γ


220

6.10. PROBLEMAS HIPERESTÁTICOS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN SIMPLES

Como hemos visto en el capítulo anterior, hay ocasiones en que elnúmero de incógnitas de reacción así como de esfuerzos canalizados porlas barras de un sistema es mayor que el número de ecuaciones de la está-tica (3 en el caso de cargas coplanarias con la barra o con el sistema debarras en estudio). Tales sistemas son hiperestáticos y su resolución exigeplantear tantas ecuaciones de compatibilidad de deformación como sea elgrado de hiperestaticidad del sistema.

Expondremos a continuación la solución de algunos problemas hipe-restáticos clásicos en Resistencia de Materiales cuando la barra o conjuntode barras están sometidas únicamente a esfuerzo longitudinal, planteandotambién un método general de resolución aplicable a los sistemas consti-tuidos por varias barras articuladas entre sí.

a) Barra con extremos rígidos sometida a esfuerzo longitudinal en unasección intermedia (figura 6.26).

El problema queda resuelto al determinar las reacciones RA y RB en losextremos A y B de la barra.

Se trata de un problema hiperestático de grado 1, pues hay dos incóg-nitas, las reacciones RA y RB y sólo una ecuación de la estática: suma deesfuerzos horizontales nula:

[6.47]

C

PA B

ba

C

l

F R R Ph∑ = ⇒ + =0 Α Β


221

Figura 6.26

La ecuación complementaria la obtenemos obligando a que la variaciónde longitud de la barra sea nula. Para ello consideramos el sistema equiva-lente representado en la figura 6.27, que podemos considerar superposiciónde dos casos:

• El tramo AC, sometido a tracción RA

• El tramo BC, sometido a compresión RB.

La variación total de longitud de la barra ha de ser nula, por lo que igua-laremos el alargamiento experimentado por el tramo AC con el acorta-miento que sufre el tramo BC:

[6.48]

(Se ha supuesto sección constante).

E es el módulo de elasticidad del material de la barra y S el área de susección transversal.

De [6.48], despejando RA se obtiene:

[6.49]R RbaΑ Β=

R aS

R bES

Α Β

Ε=

RBRA

RB

RB

RARA

baC

P

l

b

a


222

Figura 6.27

Las ecuaciones [6.47] y [6.49] permiten resolver el problema. Así:

[6.50]

[6.51]

b) Conjunto simétrico de tres barras articuladas, cargado en el nudocomún (figura 6.28): se desea determinar los esfuerzos en las barras, asícomo el desplazamiento de dicho nudo común. (Las barras son del mismomaterial con módulo de elasticidad, E, siendo las áreas de sus seccionestransversales, S1 y S2)

Las ecuaciones de la estática se reducen a 2:

La primera de ellas conduce a:

X2senα = X2' senα [6.52]

F

F

h

v

∑∑

=

=

0

0

α αl1 l2

S2

R Rb

a

Pb

a bΑ Β= =+

R Rba

P

Ra b

aP R

Pa

a b

B + =

+= ⇒ =

+

Β

Β Β


223

Figura 6.28

Por tanto:

X2 = X2' [6.53]

La suma de esfuerzos verticales, como se indica en la figura 6.29 deter-mina la ecuación:

X1 + 2X2 cosα = P [6.54]

La ecuación [6.54] no permite obtener ambos esfuerzos: para ello, utili-zaremos la ecuación de compatibilidad de deformación que se deduce de lafigura 6.30. Despreciando por ser infinitesimal la variación del ángulo α ,escribimos:

δ2 = δ1 cosα [6.55]

Los valores de los alargamientos de las barras son, en virtud de la ley deHooke:

[6.56]X l

ES

X l

ES2 2

2

1 1

1

= cosα

δ δ11 1

12

2 2

2

= =X l

S

X l

SΕ Ε� � � � � � � �

α α

δ2

α α

δ1A


224


O bien, teniendo en cuenta que la longitud de la barra central y las de

las barras laterales se relacionan entre si por la expresión

Sustituyendo en [6.54):

[6.57]

[6.58]

[6.59]

El descenso vertical del punto A es:

[6.60]

c) Procedimiento general en sistemas de barras articuladas. El métodode cálculo que se expone seguidamente se aplica a sistemas constituidos pordos o más barras articuladas en sus extremos (nudos), donde actúan las car-gas, lo que, en consecuencia, origina que las barras estén sometidas sólo aesfuerzos longitudinales. El método es una particularización, para estos sis-temas, del Método de los Desplazamientos o de la Rigidez para el cálculo deestructuras planas, cuya exposición general queda fuera de los objetivos delas asignaturas «Elasticidad y Resistencia de Materiales I» y «Elasticidad yResistencia de Materiales II».

δα

11 1

1

1

3 2

1

11 2

1= =

+

X l

ES

PlSS

EScos�

XP

SS

2

2

3 2

1

1 2=

+

cos

cos

α

α�SS

2

1

XP

SS

13 2

1

1 2=

+ cos α�

XS

SP1

3 2

1

1 2+

=cos α

ll

21=

cosα

X XSS2 1

2 2

1

= cos α

X XS

SP1 1

3 2

1

2+ =cos α


225

Consideraremos las siguientes etapas en la aplicación del método (figu-ras 6.31, 16.32 y 6.33).

1.o Se numeran las barras, asignando a cada una un sentido de orienta-ción mediante un vector unitario, u– i .

2.o Se numeran los nudos, asignándoles un desplazamiento δn.

3.o Se calcula el desplazamiento experimentado por las barras concu-rrentes a cada nudo, según su dirección.

[6.61]

El alargamiento, experimentado por cada barra, será:

[6.62]

y su relación con el esfuerzo normal Ni será:

[6.18]

4.o Se plantean las ecuaciones de equilibrio de cada nudo, suponiendotodos los esfuerzos normales de tracción.

[6.64]Ν � .� ±( ) =∑ r ru Fn

∆ΝΕ

� ll

Sii i

i i

=

∆ � l ui in im n m i= − = −( ) ⋅δ δ δ δr r r

δ δi n iu=r r

� .�

n

k

i

δn

ui

uk

i

ui

δn

δm

m

in

ui

Ni

Nk

Ni

n

Fn


226

Figura 6.31 Figura 6.32 Figura 6.33

Como ejemplo, para el nudo n de la figura 6.33, tendríamos:

[6.65]

5.o Se sustituyen en las ecuaciones de equilibrio las expresiones de losesfuerzos normales en función de los desplazamientos de los nudos.

[6.66]

Quedando:

[6.67]

La resolución de este sistema nos permite obtener los desplazamientosδi de los nudos. El cálculo de los esfuerzos normales se realiza mediante laecuación [6.67].

El método expuesto facilita, en gran manera, la resolución de los pro-blemas hiperestáticos en sistemas de barras pues, incluso en el sencilloejemplo planteado en el apartado b), es complicado establecer las ecuacio-nes de compatibilidad de deformación.

6.11. BARRAS PRETENSADAS

Estudiamos a continuación el problema, representado en la figura 6.34,de una barra constituida por dos materiales, sometida a esfuerzo longitu-

∑ −( ) ±( ) =ESl

Fn m n

r r rδ δ 1

ΝΕ

∆Ε

ii i

ii

i i

in m i

S

ll

S

lu= = −( ) ⋅

r r rδ δ

− + − =Ν Ν Νi i j j k k nu u u Fr r r r


227

Figura 6.34

1

2

NN

E1S1

E2S2

l

dinal: Se trata de un cilindro macizo (1), cuya sección transversal tiene áreaS1, con módulo de elasticidad E1, colocado en el interior de un tubo (2),cuyo módulo de elasticidad es E2 y con sección transversal de área S2. Lasbarras 1 y 2 tienen la misma longitud l y están unidas en sus extremos deforma que se alargan o acortan por igual.

El esfuerzo N se reparte entre las barras 1 y 2 dando origen a los esfuer-zos N1 y N2.

N = N1 + N2 [6.68]

La hiperestaticidad del sistema, de grado uno, se resuelve expresando laigualdad de los alargamientos experimentados por las barras:

[6.69]


De donde:

[6.70]

Las tensiones en cada barra son:

[6.71]

σ

σ

11

1 1

1 1

1 1 2 2

22

2 2

2 2

1 1

= =+

= =

Ν Ν

Ν Ν

S S

E S

E S E S

S S

E S

E S ++

E S2 2

Ν ΝΕ

Ν ΝΕ

22 2

1 1 2 2

11 1

1 1 2 2

=+

=+

S

E S E S

S

E S E S

Ν Ν Ν21 1

2 22

E S

E S+ = Ν Ν

Ε ΕΕ

=+

21 1 2 2

2 2

S SS

N lE S

N lE S

SE S

1

1 1

2

2 21 2

1 1

2 2

= =� � ;� � Ν ΝΕ

∆ ∆ ∆� � �l l l= =1 2


228

Al aumentar el esfuerzo N, uno de los dos materiales alcanzará elvalor límite de la tensión antes que el otro, que, por tanto, estará malaprovechado.

Se puede evitar este inconveniente recurriendo a la técnica del preten-sado que consiste en someter, antes de unir las dos barras, a una de ellas(por ejemplo la 1) a un esfuerzo de tracción X, por lo que quedará someti-da a una tensión X/S1. A continuación se unen entre sí las dos barras, deforma que sus extremos sean perfectamente solidarios, destensando segui-damente la barra 1, lo que equivale a someter al conjunto a un esfuerzo decompresión, –X, que se reparte entre las barras de la misma forma que elesfuerzo N, dando origen a las tensiones:

[6.72]

Las tensiones en las barras tras el proceso de pretensado son:

[6.73]

Si posteriormente se somete al conjunto al esfuerzo N, éste se repartiráentre las barras según las expresiones [6.70] y [6.71], por lo que las tensio-nes alcanzan los valores siguientes:

[6.74]σ1

1 1

1 1

1 1 2 2 1

1 1

1 1 2 2

= −+

++

=XS

XS

E SE S E S

NS

E SE S E S

XS11 1

1 1

1 1 2 2

22

2 2

1 1 2 2

+−

+

= −+

+

N XS

E SE S E S

XS

E SE S E S

NσSS

E SE S E S

N XS

E SE S E S2

2 2

1 1 2 2 2

2 2

1 1 2 2+=

−+

XS

XS

E S

E S E S

XS

E S

E S E S

1 1

1 1

1 1 2 2

2

2 2

1 1 2 2

−+

−+

�

�

−+

−+

XS

E SE S E S

XS

E SE S E S

1

1 1

1 1 2 2

2

2 2

1 1 2 2

�

�


229

De acuerdo con estas expresiones, se pueden determinar los valores delos esfuerzos X (de pretensado) y N para que las tensiones σ1 y σ2 alcancena la vez sus máximos valores posibles.

La técnica de pretensado se utiliza principalmente en el hormigón, cuyaresistencia a tracción es prácticamente nula, por lo que se le somete pre-viamente a esfuerzos de compresión (hormigón precomprimido).

6.12. TENSIONES DE ORIGEN TÉRMICO

Por medio de la Teoría de la Elasticidad se comprueba que un salto tér-mico T puede originar un estado tensional, aunque el sólido tenga susten-tación isostática. En el caso en que T no dependa de las coordenadas de lospuntos de dicho sólido sólo aparecen tensiones si la sustentación es hipe-restática.

Estudiemos la barra biempotrada de la figura 6.35, sometida a un salto tér-mico T igual para todos sus puntos:

Si la barra fuese isostática, aumentaría de longitud, siendo el alarga-miento:

∆l =kTl [6.75]

siendo k el coeficiente de dilatación lineal del material de la barra.

Como la sustentación es hiperestática el alargamiento [6.75] está impe-dido lo que equivale a que la barra esté sometida a una tensión de compre-sión que produzca un acortamiento igual, en valor absoluto, al dado pordicha expresión.

l


230

Figura 6.35

Podemos escribir:

[6.76]

Si en vez de aumentar la temperatura se produce una disminución de lamisma la barra quedaría sometida a tensiones de tracción σ=EkT. Tanto enun caso como en otro, los valores de las tensiones térmicas son independien-tes de las características geométricas (longitud y sección) de la barra.

6.13. TENSIONES DERIVADAS DEL MONTAJE

En ocasiones, en la fabricación de barras y piezas metálicas, se cometenpequeños errores de forma que no hay exactitud entre las dimensiones de dise-ño de las mismas y las realmente ejecutadas. Si el sólido tiene sustentaciónisostática tales errores no dan origen a estado tensional alguno, lo que sí ocu-rre cuando se trata de varias barras articuladas entre sí, que constituyen unsistema hiperestático, pues es necesario forzar dichas barras para unirlas, loque origina un estado de autotensiones o tensiones originadas en el montaje.

Un ejemplo de lo antedicho es el mismo conjunto de tres barras articu-ladas entre sí antes considerado, cuando está descargado (figura 6.36), exis-tiendo un error en la longitud de la barra central que, en lugar de la dimen-sión exacta l1 mide l1+a. Para hacer posible la unión se fuerzan las barrasde forma que la barra central disminuya de longitud (figura 6.37), con loque dicha barra queda comprimida, mientras que las dos barras lateralesestán sometidas a tracción.

A

B C D

S2

l1

S1 S2

α αl2 A

B C D

δ2

α α

aδ1

ε σ= − =∆ � ll E

σ = − = − = −El

lkT ll

EkT∆ Ε� �


231


Por efecto del montaje aparecen los esfuerzos X e Y, indicados en lafigura 6.38, cuya determinación constituye un problema hiperestático deprimer grado, pues no disponemos más que de una ecuación de la estática:

[6.77]

o bien

[6.78]

El análisis de la deformación nos permite obtener la ecuación comple-mentaria. Así, de la figura 6.37, deducimos:

[6.79]

donde δ1, es el acortamiento experimentado por la barra central y δ2 la pro-yección en dirección vertical del alargamiento de cada barra lateral:

Aplicando la ley de Hooke, escribimos:

[6.80]

[6.81]

(En la expresión [6.80] se toma para la longitud de la barra central elvalor l1 en vez de l1+a, al ser a<<l1).

δα α2

2

2

1

22

1= =

cos cosYlES

YlES

δ11

1

=Xl

ES

δ δ1 2+ = a

YX

=2cosα

X Y− =2 0cosα

C

A

B D

a ay

x

y


232

Figura 6.38


[6.82]

De donde obtenemos los valores de los esfuerzos X e Y:

[6.83]

En vez de utilizar el procedimiento desarrollado en este ejemplo, se puedeseguir el método general expuesto en el epígrafe 6.10, como se hace en lasolución de algunos de los ejercicios que se proponen a continuación.


1. La barra vertical de la figura es de sección circular de radio 15 cm. yestá sometida exclusivamente a su propio peso (γ=7.850 Kg/m3). Los extre-mos de la barra son empotramientosperfectos. Se pide:

a) Determinar las reacciones en losextremos superior e inferior.

b) Calcular el trabajo interno dedeformación, siendo E=2.106 kg/cm2.

XaE

lS S

YaE

lS

=+

=+

11 2

3

11

1 12

21 1

�

cos �

cos α

α22 2

3S cos α

aXlES

YlES

XlES

XlES

X= + = + =1

1

1

22

1

1

1

232cos cosα α

�ll

ESl

ES1

1

1

232

+

cos α


233

l = 6 m

2. Una barra circular cuyo diámetro varía como se representa en lafigura, está sometida a las cargas que se indican; si a=10 cm., se pide:

a) Valor máximo de la carga P para que en ningún punto del sólido sesobrepase el límite elástico del material.

b) Para la carga máxima calculada en el apartado anterior, calcular:

1. Diagrama de esfuerzos normales

2. Desplazamiento total de las secciones A, B, C, D

Nota: La figura es una sección longitudinal de la barra. Despréciense losposibles efectos de pandeo.

Datos: E=2,1.106 Kg/cm2, σe=230 Kg/cm2.

3. Dado el conjunto de tres barras, arti-culadas en sus extremos que se indica en lafigura, determinar los esfuerzos en las mis-mas, así como el desplazamiento verticaldel punto D. Todas las barras son delmismo material y de la misma sección.

Datos: E, S.

1m 0,5m 0,75m

1,5P2PP

A BC

D

1,5a 2a

a


234

A B

C

P

D

0,5 l0,6 l

0,8 l

l

4. En la estructura de la figura, las barras laterales tienen un coeficien-te de dilatación térmica de valor α1=10–4 oC-1, mientras que el coeficiente dedilatación térmica de la barra central es α2=10-6 oC–1. El conjunto se sometea un incremento de temperatura de valor ∆T=120 oC. Se pide:

a) Esfuerzos en cada barra.

b) Corrimiento vertical del punto A.

Todas las barras son de la misma sección S=2,5 cm2 y del mismo mate-rial E=1,2.106 Kg/cm2.

5. Una varilla de aleación de aluminio, de 2 m. de longitud y 5 cm. dediámetro, con sus extremos fijos, se enfría a partir de 95oC ¿A qué tempera-tura la tensión de tracción en la varilla será igual a la mitad del límite elás-tico del material, suponiendo que la varilla no está sometida incialmente aningún esfuerzo? No se considerarán los posibles efectos del pandeo.

Datos: σe=414 MPa ; E=73 GPa ; α=23.10-6 oC-1

6. Se aplica una fuerza axial de tracción a la barra de la figura cons-tituida por un núcleo de latón (E=105 Gpa) y un casco de aluminio (E=70Gpa) cuyos extremos están solidariamente unidos. Longitud de las barrasL=300 mm. Se pide:

a) Valores de las tensiones tanto en el núcleo de latón como en el cascode aluminio.

b) Alargamiento experimentado por el conjunto.

B C D

A

45o 45o4m


235

Tómese como diámetro del latón 25 mm; diámetro del aluminio 60 mm:


1. a) La única ecuación de la estática aplicable en este caso es:

El problema es hiperestático de grado 1. Dando un corte a distancia xdel extremo superior:

ΝΝ

ΡΝ

A X

X A

X

A

P X

X P

Sx

X Sx

− + == −

== −

0

γγ

NA

x

X

Px

NA

B

A

NB

x l

F SlV A B= → + =∑ 0 Ν Ν γ

ALUMINIO

LATÓN

F

l

F = 200 kN

F


236

Como la barra no varía de longitud, el acortamiento total será nulo:

Sustituyendo los datos numéricos:

b)

TX dx

ES ESSx dx

ESSxA

ll

= = −( ) = −∫∫12

12

12

162

00

2

γ γΝ 665

12 2 10 15

785010

15 1

0

2

6 2 62

( ) =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ −

∫l

dx

xπ

π 6665

14 10 15

7850 15

0

600 2

6 2

2 2 4

=

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

∫ dx

ππ

1101665

2 7850 1510

165122 2

2

6x + − ⋅ ⋅ ⋅

π� .� 1 � x

=⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

∫0

600

6 2

2 2 4

12

14 10 15

7850 1510

600

� dx

Tπ

π 332

2

6

2

31665 600

2 7850 15 166510

6002

+ ⋅ −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

π =

=� � � kg·cm0 196,

S

l m

=

= =

= =

π

γ

� cm

� � cm

� kg/m �

2

3

15

6 600

7850785010

2

6 kkg/cm

� kg

3

Ν ΝA B= =⋅

⋅ ⋅ ⋅ =78502 10

15 600 1 66562π .

01

20

0 0

2

= = −( )

− = → =

∫ ∫X

ESdx

ESSx dx

Sll

l

A

l

A A

γ

γ

Ν

Ν Ν

�

γγ SlB2

= Ν


237

2. a) Ya que la pieza ha de estar en equilibrio, en el extremo D (empo-tramiento) se producirá una reacción RD=4,5P, como se indica en la figura.

El diagrama de esfuerzos normales será:

Para determinar el valor de P, debemos calcular primero las áreas de lassecciones transversales de la barra en sus distintas zonas:

• Tramo AB:

• Tramo BC:

• Tramo CD:

S a a a a

S

= ( ) − ( )

= −

=

π π4

2 1 54

4 2 25

1 7

2 2 2 2, ,

, 554

43 752

2π π��

acm= ,

Sa y

xy

yx

yx

S

x

=+( )

= = = =

=+

π

π

2

4505

1010 10

105

2

� � �

�

;

2

4

Sa

cm= =⋅

=π π π�

� �2 2

2

4104

25

P3 P 4,5 P

A B

C D

P

2 P 1,5 P

4,5 P1,5 aa 2 a


238

En el tramo AB, será:

En el tramo BC, es:

Pmax será más pequeña cuanto menor sea el área (para x=0)

En el tramo CD:

El valor que debe tomarse para que en todos los puntos de la barra seaσ< 230 kg/cm2 será, evidentemente, el más pequeño de los calculados,Pmax=6021 kg.

4 543 75

230 7021,

,;max

max

�� kg

PP

π= =

Pmax =⋅

=230 25

36021

π� kg

3

105

4

2

P

xmax

π �

=230

+

PP Kgmax

max;25

230 18064π

= =� � �

y


239

b) El diagrama de esfuerzos normales será, por tanto:

Todos los esfuerzos son de compresión.

Por lo que se refiere a los desplazamientos de las secciones rectas, al serD empotramiento, será uD=0.

3. Llamando a las incógnitas N1, N2, N3, las ecuaciones de la estáticanos dan:

F sen

tg

F sen

H

V

= → =

=

= → +

∑ 0

0

2 3

2 3

1 2

Ν Ν

Ν Ν

Ν Ν

cos ;α αα

α� ++ =

+ + =

= =

∑ Ν

Ν Ν Ν3

1 3 3

45

0 8

cos

cos

cos,

αα α α

α

P

sen tg P

lll

sen

tg

= = =

= = =

0 8 0 635

0 60 8

0 7534

, ; ,

,,

,

� � α

α

u u lC D CD= + = +− ⋅

⋅ ⋅= −∆ 0

27095 752 1 10 43 75

7 0416, ,,

π⋅⋅

= + = − ⋅ −

−

−

10

7 041 1018064

2

3

3

cm

� .�u u l

dxB C BC∆ ,

,11 104

105

7 041 1018064

62

0

50

3

xπ +

=

= − ⋅ −

∫

−

x

,000

2 1 10 507 041 10

18064

60

50

23

,,

⋅ +( )= − −

−

∫ −

πdx

xx

0002 1 10

150

7 041 101806

650

03

,,

⋅ ⋅ +

= − ⋅ −−

π x

44002 1 10

150

1100

7 041 10 2

6

3

,

,

⋅ ⋅−

= − ⋅ −−

π

uB ,, ,

,

738 10 9 779 10

9 779 1

3 3⋅ = − ⋅

= + = − ⋅

− − cm

u u lA B AB∆ 006021 100

2 1 10 2513 430 103

63− −−

⋅⋅ ⋅

= − ⋅,

,π

cm


240

Pmax=6021 kg 27095 kg=4,5Pmax18064 kg=3Pmax

Sustituyendo:

Se trata de un problema hiperestático de grado 1; la ecuación comple-mentaria la obtendremos considerando el desplazamiento del punto P y lasdeformaciones de las barras.

α

δ

D

u3

δy

u2 δx

u1

y

x

α

p

DN1

N2

N3

αα

Ν Ν Ν Ν

Ν Ν Ν

2 3 3

3 3

34

3

34

35

45

= =

+ ⋅ + =

� � � 4 � � (1)

� �

2

1

;

;P 55 3 4 51 2 3Ν Ν Ν+ + = P � � (2)

F sen

tg

F sen

H

V

= → =

=

= → +

∑ 0

0

2 3

2 3

1 2

Ν Ν

Ν Ν

Ν Ν

cos ;α αα

α� ++ =

+ + =

= =

∑ Ν

Ν Ν Ν3

1 3 3

45

0 8

cos

cos

cos,

αα α α

α

P

sen tg P

lll

sen

tg

= = =

= = =

0 8 0 635

0 60 8

0 7534

, ; ,

,,

,

� � α

α


241

Sustituyendo

35

45

35 2

45

35

45 2

2 1

3 1

Ν ΝΕ

ΝΕ

ΝΕ

l

ES

l

S

l

S

l

S

x

x

= +

= − +

δ

δ

= +

= − +

34

32

43

4

2 1

3 1

Ν ΝΕ

ΝΕ

Ν

l

ES

l

S

l

Sl

x

x

δ

δ22

912

92

1612

2 1

3

Ε

Ν ΝΕ

ΝΕ

S

lES

lS

l

S

x

x

= +

= −

δ

δ ++

16

21Ν

Εl

S

35

45

35 2

45

35

45 2

2 1

3 1

Ν ΝΕ

ΝΕ

ΝΕ

l

ES

l

S

l

S

l

S

x

x

= +

= − +

δ

δ

= +

= − +

34

32

43

4

2 1

3 1

Ν ΝΕ

ΝΕ

Ν

l

ES

l

S

l

S

l

x

x

δ

δ22

912

92

1612

2 1

3

Ε

Ν ΝΕ

ΝΕ

S

lES

lS

l

S

x

x

= +

= −

δ

δ ++

16

21Ν

Εl

S

35

45

35 2

45

35

45 2

2 1

3 1

Ν ΝΕ

ΝΕ

ΝΕ

lES

lS

l

SlS

x

x

= +

= − +

δ

δ

= +

= − +

34

32

43

4

2 1

3 1

Ν ΝΕ

ΝΕ

Ν

lES

lS

l

Sl

x

x

δ

δ22

912

92

1612

2 1

3

Ε

Ν ΝΕ

ΝΕ

S

l

ES

l

S

l

S

x

x

= +

= −

δ

δ ++

16

21Ν

Εl

S

δ y

N l

S= 1

2Ε

δ δ δ= +

=

= + = +

= −

x yi j

u j

u i j i j

u i

1

2

3

0 8 0 645

35

0 6

� ;

, ,

, ++ = − +

= ⋅ =

= ⋅ = +

0 835

45

45

35

1 1

2 2

, j i j

l u

l u

y

x

∆

∆

δ δ

δ δ δ yy

x yl u

ll

Sl

S

∆

∆Ν

ΕΝ

ΕΝ

3 3

11 1 1

35

45

0 5

= ⋅ = − +

=⋅

= =

δ δ δ

, 11

22 2 2 2

33 3

2

0 6 35

lS

ll

S

l

S

l

S

ll

Ε

∆Ν

ΕΝ

ΕΝΕ

∆Ν

=⋅

= =

=⋅

,

ΕΕΝ

ΕΝΕS

l

S

l

S= + = +

0 8 45

3 3,


242

Sumando las dos últimas ecuaciones:

Simplificando:

Despejando N2 en (1) y sustituyendo en (2) y (3):

Los signos de los esfuerzos son los indicados en la figura inicial (N1 y N2,tracciones y N3, compresión).

En cuanto al desplazamiento vertical de P, coincide con la componenteδy del desplazamiento absoluto δ:

δ

δ

y

y

lS

PlS

PlS

= =

=

ΝΕ Ε

Ε

1

20 593

2

0 296

,

,

100 125 100

100 182 0

1 3

1 3

Ν Ν

Ν Ν

+ =

− + =

P307 100 0 326

34

0 244

3 3

2 3 2

1

Ν Ν

Ν Ν Ν

Ν

= =

= =

P P

P

� �

� �

; ,

; ,

== =9150

0 5933 1Ν Ν Ρ� �; ,

594

4 5

1834

32 25

1 3 3

3 3 1

Ν Ν Ν

Ν Ν Ν

+ + =

+ =

P20 25 20

50 27 64 0

1 3

1 3 3

Ν Ν

Ν Ν Ν

+ =

− − =

P 20 25 20

50 91 0

1 3

1 3

Ν Ν

Ν Ν

+ =

− =

P

18 32 25 32 3 1Ν Ν Ν+ = ( )�

9 16 252

2 3 1ΝΕ

ΝΕ

ΝΕ

lS

l

Sl

S+ =


243

4. a) Por efecto del salto térmico la barra central quedará traccionaday las laterales comprimidas, siendo los esfuerzos correspondientes X e Y.

Problema hiperestático:

u i j u j j

l u

l u

1 2

1 1

2

1

2

1

2

1

2

= + = =

= ⋅ =

= ⋅

� � � �; ; δ δ

δ δ

δ

∆

∆ 22

1 2

1 1 11

1 12 2

1

2

=

=

= − =

δ

α α

∆ ∆

∆ ∆ ∆

l l

l l TYl

E Sl; ll T

Xl

E S22

2 2

∆ +

X Y

X Y X Y

− =

− = → =

2 45 0

22

20 2

cos º

·

y yA

B C

45º 45º l=4mx

D

y

yA

B C D

u1

δ

u2


244

Sustituyendo:

Sustituyendo :

1 2 2 5 120 100 21

2

2

22 1 2, ,⋅ ⋅ ⋅ −

= +

= +Y

Y Y (( )

=⋅ ⋅

+−

=

=

Y

X

1 2 2 5 120

1 2100 2

1

220983

, ,� kg

YY

b l l TXl

ST

X

2 29674

2 2 22

2 22

=

) = = + = +

� kg

Ä δ α α∆ ∆Ε

∆Ε22 2

2

6610 120

296741 2 10 2 5

Sl

= ⋅ +⋅ ⋅

−δ, ,

⋅ =400 4� cm

X Y= 2

α α

α

1 11

1 12 2

2

2 2

1

1

2

10

l TYl

Sl T

XlS

∆Ε

∆Ε

− = +

= −441

2

26

2

45400

1 2400 2

10

� � � cm

� �

;cos º /

;

ll

l

= = =

= −α ==

= = ⋅ = =

400

1 2 10 2 51 26

1 2

� cm

kg/cm � cm �2 2Ε Ε , ; , ;S S ∆∆T C

Y

=

⋅ −⋅⋅ ⋅

=−

120

10 400 2 120400 2

1 2 10 2 5104

6

º

., ,

−−

−

⋅ ⋅+

⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ −

6

6

4

400 120

2

400

2 1 2 10 2 5

10 400 210

X

, ,

−− ⋅

=⋅ ⋅

+

6

6

400

2120

4001 2 10 2 5 2

2, ,

XY

11 2 2 5 100 400 2400

2120 400

22, ,⋅ ⋅ ⋅ −

= +

XY

⋅ ⋅ −

= +1 2 2 5 120 100 21

2 22, ,

XY


245

5. Si los extremos de la varilla no fuesen fijos, si se le somete a una dis-minuación de temperatura ∆T experimentará un acortamiento ∆l=-αl∆T,siendo el acortamiento unitario:

Como se impide la variación de longitud, ha de existir una tensión detracción σ que anule dicho acortamiento, tanto total como unitario, deforma que:

siendo εT el alargamiento unitario producido por la tensión σ:

Por tanto:

Sustituyendo:

207 73 10 23 10

20773 23

10 123 29

3

3

6

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=⋅

=

−

∆

∆

T

T , � ºº C

1 2 2 5 120 100 21

2

2

22 1 2, ,⋅ ⋅ ⋅ −

= +

= +

YY Y (( )

=⋅ ⋅

+−

=

=

Y

X

1 2 2 5 120

1 2100 2

1

220983

, ,� kg

YY

b l l TXl

ST

X

2 29674

2 2 22

2 22

=

) = = + = +

� kg

Ä δ α α∆ ∆Ε

∆Ε22 2

2

6610 120

296741 2 10 2 5

Sl

= ⋅ +⋅ ⋅

−δ, ,

⋅ =400 4� cm

σ α

σ σ

α

= +

= =

= ⋅

= = ⋅

− −

Ε ∆

Μ

Ε

T

P

C

GP

e

2207

23 10

73 73

6 1

a

a

º

1103 ΜΡa

0 = + = − +ε ε α σT T∆

Ε

ε α= = −∆

∆l

lT


246

Por tanto, como ∆T es disminución de temperatura, la tensión de trac-ción será igual a la mitad del límite elástico a la temperatura T’:

6. a) Llamamos X e Y a los esfuerzos en el latón y en el aluminio. Secumplirá:

X+Y=F=200 KN

Ya que las dos barras son solidarias, el alargamiento experimentado porlas mismas será igual

Las tensiones valen:

• En el latón:

• En el aluminio:

XlS

YlS

G GP

S

l l a al a

l

Ε ΕΕ Ρ Ε= = =

=⋅

; ;

,

� a � a105 70

2 52π44

4 914

6 2 5 23 37

105

2 2= = −( ) =, ; , ,� cm � � � cm2 2S

Xl

a

π

⋅⋅=

⋅=

⋅⋅

=4 91 70 23 37

105 4 9170 23 37

0, ,

;,,

,Yl

X Y� � � 332

0 32 200 1 32 200 151 51

Y

Y Y K Y KN Y KN

X

, ; , ; ,+ = = =Ν � �

== 48 49, KN

T C' , , º= − = − = −95 95 123 29 28 29∆Τ �


247

σ

σ

ll

aa

X

S

Y

S

= =⋅

=

= =

48 49 104 91

9875

151 5

3,,

/

,

� cm2Ν

11 1023 37

64833⋅

=,

/� cm2Ν

b) El alargamiento es el mismo en el latón y en el aluminio como ya seha tenido en cuenta. Para determinarlo en cm. expresaremos X(o Y) en N yEl (o Ea) en N/cm2.

Ε Ν Νl GP P= = ⋅ = ⋅ =⋅

105 105 10 105 10105 10

109 9 2

9

4a a m/ //

/

cm

cm

2

2Ε Ν

∆Ε

l

l l

lXlS

= ⋅

= =⋅

⋅

105 10

48490 30105 1

5

00 4 912 82 10 0 0282 0 2825

2

⋅= ⋅ = =−

,, , ,� cm � cm � mm


248

Tema 7

Teoría elemental de la cortadura

7.1. Tensión cortante pura.

7.2. Relación entre esfuerzo y deformación.

7.3. Medios de unión.

7.4. Uniones remachadas y atornilladas.

7.5. Observaciones sobre las uniones remachadasy atornilladas.

7.6. Uniones soldadas.

7.7. Los medios de unión en el Código Técnico de laEdificación.

249

250


251

TEORÍA ELEMENTAL DE LA CORTADURA

7.1. TENSIÓN CORTANTE PURA

Entre las solicitaciones simples en las secciones de un prisma mecáni-co, aquélla en la que el momento resultante es nulo y la resultante, en unasección determinada, de las cargas que actúan sobre un prisma mecánicoestá contenida en el plano de la sección, recibe el nombre de cortadurapura, como vimos en el capítulo 1 y se representa en la figura 7.1

Aunque, como veremos en el tema siguiente, la solicitación de esfuerzocortante puro es muy infrecuente en la práctica (pues, habitualmente, estáacompañado del momento flector) y el reparto de las tensiones tangencia-les que origina no es uniforme, en una primera aproximación, supondre-mos que se cumplen las siguientes hipótesis:

a) Mantenimiento de las secciones planas tras la deformación (hipóte-sis de Bernoulli).

y

Cz

Cy

y

R

A

F1

F2

F3

z

zx

S

O

Figura 7.1

b) Las tensiones coinciden en dirección con la resultante R– = C– y res-ponden a la expresión [7.1]:

[7.1]

siendo S el área de la sección transversal.

Admitiremos que las hipótesis establecidas pemiten dimensionar, sin erro-res significativos, los medios de unión entre distintas piezas prismáticas que,en ocasiones, sustituyen a los mecanismos de apoyo descritos en el capítulo 5.

7.2. RELACIÓN ENTRE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN

Al establecer las leyes de Hooke generalizadas (capítulo 4), obtuvimos, ana-líticamente, la relación entre la deformación angular unitaria γ y la tensióntangencial, τ, dada por la expresión:

siendo

τ = CS

γ τ=

G

GE

=+( )2 1 µ

C’

B’ A’0

D’θy θx

–τ

+τ

bdd1o

M +κ2

a

c

yθy

B

θx

C

y

D

A

x

45o

b1c1

a1


252


Podemos llegar a la misma expresión considerando la deformación delelemento abcd (figura 7.2), en el interior de una laja sometida a estadoplano de tensión, de forma que, en todos los puntos de la misma se cumplaσx=-σy; τxy=0.

En el círculo de Mohr correspondiente (figura 7.3) el punto C' repre-senta el estado tensional en la cara ab del elemento interior, mientras queel punto D’ es el representativo del existente en la cara ad. El elemento abcdestá sometido, por tanto, a tensión cortante pura de valor τ, coincidente, envalor absoluto, con las tensiones σx y σy. Tal solicitación produce la defor-mación del elemento, pasando a la posición a1b1c1d1, como se indica en lafigura, en la que puede verse que el elemento deformado conserva las lon-gitudes de sus aristas, variando los ángulos, inicialmente rectos, en sus vér-tices a,b, c y d. La figura 7.4 muestra dicha variación de ángulos y cómo elcuadrado abcd se ha convertido en el rombo a1b1c1d1.

Si giramos y trasladamos el elemento a1b1c1d1, situando d1 sobre d y c1

sobre c (figura 7.5), podemos interpretar, con gran sencillez, el significadode la distorsión angular unitaria, así como su expresión.

[7.2]γ γ≈ =� tgl

l

∆

a a” b”b

cd

∆l

l

a1

c1

c

a

b

d

b1

d1


253


En [7.2], ∆ l es el deslizamiento relativo de la arista ab respecto de cd(hemos supuesto que el elemento es cuadrado de lado l). Tal como se defi-nió en el capítulo 3, consideramos para γ signo positivo si el ángulo inicial-mente recto disminuye (vértices d y b) y negativo en el caso contrario (vérti-ces a y c).

Volviendo a la figura 7.2 y considerando en ella el triángulo Oab que, trasla deformación pasa a ser Oa1b1, podemos expresar las deformaciones lon-gitudinales unitarias εx y εy:

ó bien:

[7.3]

Análogamente:

[7.4]

Las longitudes de los segmentos Oa1 y Ob1 son, por tanto:

[7.5]

Podemos escribir:

tgObOa

Ob

Oa

π γµ τ

µ4 2

11

11

1

1

+

= =+ +

− +Ε

ΕΕτ

Oa Oa Oa

Ob Ob Ob

y

x

1

1

1 11

1

= −( ) = − +

= +( ) =

ε µ τ

ε

Ε

111

++

µ τΕ

ε σ µσ σ µσ µ σx x y x x x= −( ) = +( ) =+1 1 1

Ε Ε Ε

ε µ τx =+1Ε

ε σ µσ σ µσ µ τy y x y y= −( ) = − +( ) = −+1 1 1

Ε Ε Ε


254

Ya que Oa=Ob=l, la expresión anterior se simplifica:

[7.6]

Por otra parte, utilizando la expresión de la tangente del ángulo suma deotros dos y teniendo en cuenta los valores, muy pequeños, del ángulo y desu tangente, obtenemos:

[7.7]

Identificando las expresiones [7.6] y [7.7]:

[7.8]

Y, finalmente, [7.9]

siendo [7.10]

expresión coincidente con [4.32] y G, como vimos, recibe el nombre demódulo de elasticidad transversal, cuyo valor depende de las constantes elás-ticas E y µ. En el acero es µ=0,3 y E=2,1.106 kg/cm2, por lo que E toma el

valor aproximado

La relación [7.8] entre la deformación angular unitaria γ y la tensión tan-gencial τ que la origina puede representarse gráficamente, obteniéndose undiagrama γ−τ análogo al diagrama de tracción. En la figura 7.6 se represen-ta la curva γ−τ correspondiente a un material dúctil, obtenida a partir delensayo de torsión de un tubo de pared delgada. En dicha figura, los valoresτe y τr son, aproximadamente, iguales a: τe = 0,6σe ; τr = 0,6σr valores que jus-

G k=+( ) =

2 1 102 1 0 3

810 0006,

,.

.g/cm2

G =+( )

Ε2 1 µ

γ τ=

G

γ µ τ γµ

τ2

1 2 1=

+⇒ =

+( )Ε Ε

�

tgtg tg

tg tg

π γπ γ

π γ

γ

γ4 24 2

14 2

12

12

+

=+

−=

+

−

γ2

tgπ γ

µ τ

µ τ4 2

11

11

+

=+ +

− +Ε

Ε


255

tificaremos al considerar los criterios de agotamiento de los materiales dúc-tiles en la asignatura Elasticidad y Resisten de Materiales II.

7.3. MEDIOS DE UNIÓN

En muchas ocasiones, tanto en construcción de máquinas como en edi-ficación, es necesario unir adecuadamente las piezas que constituyen elcorrespondiente sistema, para que puedan ejercer correctamente las fun-ciones para las que han sido proyectadas. Si se trata de piezas metálicas, losprocedimientos más utilizados para la unión de las mismas y que recoge lanorma EA-95, a la que hemos hecho referencia anteriormente, son el uso deremaches, tornillos y de cordones de soldadura. En ocasiones, para garan-tizar el giro relativo de una pieza respecto de otra, es aconsejable el uso debulones, cuyo diseño, muy específico, no vamos a considerar, ni tampocoel de uniones realizadas con medios adhesivos, aún no suficientementeestudiadas.

Si bien en el cálculo de uniones remachadas, atornilladas y soldadas esde aplicación, como veremos, la teoría elemental de la cortadura, en sudiseño hay que considerar también otras formas de solicitación, como latracción y la compresión localizada (aplastamiento).

7.4. UNIONES REMACHADAS Y ATORNILLADAS

a) Los roblones o remaches han sido un medio clásico de unión en lasconstrucciones metálicas, que ha sido sustituido, en gran medida, por elempleo de tornillos y, sobre todo, por la utilización de las uniones soldadas.

τ

φ

τr

τe


256

Figura 7.6

Como se describe en los capítulos 2.4 y 5.1 de la norma EA-95, un rema-che (figura 7.7), consiste en una espiga de diámetro d con una cabeza, habi-tualmente de forma esférica (pueden ser también de cabeza bombeada oplana). La espiga está destinada a introducirse entre las piezas a unir en lasque, previamente se han realizado los oportunos taladros. El remache, pre-viamente calentado a una temperatura intermedia entre 1050o C (rojonaranja) y 950o C (rojo cereza) se coloca de forma que rellene completa-mente cada uno de dichos taladros, formándose por estampación la cabezade cierre a una temperatura no superior a 700o C (rojo sombra), como seindica en la figura 7.8.

Se recomienda que la longitud de la espiga del remache en bruto (antesde ejecutar la cabeza de cierre) sea:

[7.11]

Siendo d el diámetro de la espiga y Σ e la suma de los espesores de laspiezas a unir.

Igualmente se recomienda que el diámetro d1 de los taladros sea algo supe-rior al de la caña, d, para facilitar la inserción del remache (d1–d = 1 mm).

b) Los tornillos utilizados en la unión de piezas metálicas se clasificanen tornillos ordinarios (figura 7.9), tornillos calibrados (figura 7.10) y torni-llos de alta resistencia (figura 7.11).

ld

e= + ∑43

r

r1

h

d

l

d

l


257


Las dimensiones, tolerancias y disposiciones constructivas para torni-llos que vayan a ser utilizados como medios de unión entre piezas metáli-cas están detalladas en la norma EA-95 (capítulos 2.5 y 5.1). También endicha norma se indican las distancias mínimas entre centros de agujeros,así como de éstos a los bordes de las piezas. A título orientativo se aconse-ja utilizar la regla siguiente para elegir el diámetro tanto de los tornilloscomo de los remaches:

[7.12]

donde d es el diámetro de la espiga del remache o tornillo y e es el mínimoespesor de las piezas a unir, indicándose ambos valores en centímetros.

c) Cálculo de las uniones remachadas o atornilladas.

Como norma general consideraremos que estas uniones pueden trans-mitir fuerzas y momentos, a través del plano de costura, lo que equivale aque el esfuerzo a transmitir actúe en forma centrada (figura 7.12) o excén-trica (figura 7.13) respecto al centro de gravedad de la unión.

F F

F F

30o

r

30o

r

60o30o

rd2 d

d e= −5 0 2,


258

Figura 7.13

Figura 7.12

Figura 7.9 Figura 7.10 Figura 7.11.

En el caso general (figura 7.14), para determinar el esfuerzo Ci, que actúaen cada tornillo o remache, en el plano de la unión, se procede como sigue:

a) Se determina el centro de gravedad de la unión:

[7.13]

b) Se trasladan al c.d.g. de la unión todos los esfuerzos y pares que lamisma debe transmitir: F, M

c) Se determinan los esfuerzos cortante C—

Fi y C—

Mi en cada tornillo oremache, de acuerdo con las expresiones:

[7.14]

[7.15]

siendo k el vector unitario según el eje z, normal al plano de costura.

C Mk r

S rM ii

i i

ixS(*)=

∑ 2

C FS

SFii

i

=∑

.

r Si i∑ = 0

Figura 7.14

F

x

y

ri

G

CFi

CMi

M


259

* Se supone que el valor del esfuerzo cortante CMi es proporcional a la distancia ri al c.d.g. de la unión.

Finalmente, C—

i = C—

Fi+C—

Mi [7.16]

Las expresiones [7.14] y [7.15] se simplifican cuando todos los remacheso tornillos tienen la misma sección, quedando:

[7.17]

El cálculo de las uniones, en las que, de acuerdo con la norma EA-95, seprocurará que los remaches o tornillos utilizados sean, como máximo, detres tipos distintos, se realiza estudiando los efectos que el esfuerzo sobre elmás cargado [el que soporte el mayor esfuerzo Ci dado por la expresión[7.16] produce sobre la caña o espiga (cortadura) y sobre las piezas (chapaso láminas) a unir (compresión localizada o aplastamiento)].

Estudiemos el ejemplo sencillo de unión de dos chapasmetálicas que trans-miten un esfuerzo centrado de tracción F, representado en la figura 7.15.

Aunque la unión representada se ha realizado utilizando remaches, lastensiones indicadas son idénticas a las que aparecen cuando se realiza pormedio de tornillos. El fallo o colapso del enlace se produce por aplasta-

Figura 7.15

ca

bd

τ

a)

e2

d

e1

b)

c)

CFn

CM

rk r

Fi

Mii

i

=

=

∑ 2 x


260

miento [figura 7.15, a) y b)] de las chapas o por cortadura del remache[figura 7.15, c)].

1. Cálculo por aplastamiento

De acuerdo con el capítulo 3 de la norma EA-95, el agotamiento de launión se produce cuando el esfuerzo F, multiplicado por el correspon-diente coeficiente de mayoración alcanza el valor siguiente:

γcF = σσuSc [7.18]

donde:

γc= coeficiente de mayoración de cargas.

α= coeficiente cuyo valor es α=2 para tornillos ordinarios, α=2,5 pararemaches y tornillos calibrados y α=3 para tornillos de alta resistencia.

tensión de cálculo del acero de las chapas.

Sc= superficie comprimida, que se define a continuación.

En el cálculo por aplastamiento de las chapas, éstas se encuentran com-primidas, en forma desigual, sobre las superficies de los semianillos com-primidos, alcanzando valor máximo en el punto c y nulo en los puntos a y b.Como el reparto de las tensiones es muy complejo, se admite que éstas tie-nen valor constante en el área d.emin, siendo d el diámetro del remache o tor-nillo y emin el menor espesor de las chapas a unir. Por tanto,

Sc = n · d · emin [7.19]

(n es el número de remaches o tornillos que transmiten el esfuerzo).

2. Cálculo por cortadura

También de acuerdo con la normativa vigente, se producirá el agota-miento por cortadura cuando el esfuerzo F, mayorado, alcance el valor:

γcF = βσtnS [7.20]

donde:


σσγu

e

a

= =


261

β= coeficiente de valor β=0,8 para remaches y tornillos calibrados yβ=0,65 para tornillos ordinarios.

σt= resistencia de cálculo del remache o tornillo, siendo σt=2400 kg/cm2,en el caso de remaches, σt=2400 kg/cm2 (tornillos en acero 4D) yσt=3000 kg/cm2 (tornillo en acero 5D).

n= número de remaches o tornillos que transmiten el esfuerzo.

S= área de la sección del agujero.

En el caso en que la unión se realiza mediante tornillos de alta resisten-cia, el agotamiento por esfuerzo cortante se produce cuando:

γcF = 1,07 N0κn [7.21]

N0= esfuerzo de pretensado del tornillo, dado por la tabla 7.1.

κ= coeficiente de rozamiento entre tornillo y chapa. Se suele tomarκ=0,3 para superficies no tratadas y κ=0,45 (acero A-37), κ=0,52(acero A-42) y κ=0,60 (acero A-52), para superficies preparadas.

n= número de tornillos de alta resistencia que transmiten el esfuerzo.

La unión descrita, de costura simple, tiene el inconveniente de que, alno ser colineales los esfuerzos F a transmitir, aparece un momento flector


262

N0 en t

Diametro nominaldel tornillo (mm)

Acero A10t Acero A8t

TR 12

TR 16

TR 20

TR 22

TR 24

TR 27

5.5

10.3

16.2

20.2

23.3

30.6

3.9

7.3

11.5

14.4

16.6

21.8

Tabla 7.11. Esfuerzos de pretensado para tornillos de alta resistencia

que tiende a producir el combado de las chapas, como se

pone de manifiesto en la figura 7.16. Para evitar este efecto, se recurre a lautilización de dos cubrejuntas dispuestos por encima y por debajo de las cha-pas a unir, constituyendo una unión de doble costura (figuras 7.17 y 7.18).

El cálculo se realiza en forma análoga, teniendo en cuenta que, en laexpresión [7.19], emin será el menor valor entre e1 y 2e2, de las piezas com-primidas en el mismo sentido y que en [7.20], n será el número de seccionesque transmiten el esfuerzo en el mismo sentido (doble cortadura).

FF

a)F

e1

e2F2F2

Fe2

b)

F F

F Fe1

e2

e2

e2 e1F

F

M Fe e

=+1 2

2


263

Figura 7.16

Figura 7.18

Figura 7.17

En muchas ocasiones el cálculo de una unión remachada o atornilladatiene como objeto determinar el número de los elementos (remaches o tor-nillos) a disponer, conociendo el resto de los datos (carga a transmitir,características mecánicas de las chapas y de los medios de unión, diámetrode los agujeros...). Puede ser interesante determinar, a priori, si el númerode remaches o tornillos debe calcularse suponiendo que el fallo de la uniónse produce por aplastamiento de las chapas o por cortadura de aquéllos,para lo que basta con igualar las expresiones de n que pueden obtenerse de[7.18], [7.19] y [7.20], con lo que se obtendrá la relación entre el espesormínimo y el diámetro del taladro, a partir de la cual debe hacerse el cálcu-lo de una u otra forma. Se procederá de forma análoga si la unión fuese dedoble costura.

7.5. OBSERVACIONES SOBRE LAS UNIONES REMACHADASY ATORNILLADAS

En el epígrafe anterior hemos considerado las uniones entre piezasmetálicas realizadas a base de remaches o tornillos, restringiendo nuestroestudio al caso de aplastamiento de las chapas o de cortadura de los ele-mentos de unión. Sin embargo, un análisis más riguroso exige, por un lado,comprobar la resistencia de las chapas metálicas a las tensiones normalesque en ellas originan los esfuerzos F transmitidos y por otro, la comproba-ción de la resistencia a tracción de remaches o tornillos cuando las dispo-siciones constructivas hacen que estén sometidos a dicha solicitación.

Por lo que se refiere a las chapas, si el esfuerzo F es de compresión seconsidera que su sección resistente es igual al producto de su anchura porsu espesor, sin descontar agujeros. Por el contrario, si la fuerza F determi-na tracciones, el área resistente es la que se obtiene descontando a suanchura el producto n.d (número de tornillos o remaches alineados trans-versalmente multiplicado por su diámetro), con lo que se puede hablar delárea de la sección neta. (No se tiene, habitualmente, en cuenta el fenóme-no de concentración de tensiones estudiado en el capítulo 6).

En algunas ocasiones los elementos de unión pueden quedar sometidosa tracción, bien por disposiciones constructivas o como consecuencia de lasolicitación a transmitir. La norma EA-95, en su capítulo 3 indica cómodebe realizarse el cálculo en estos casos, señalándose que un roblón o rema-che sólo debe trabajar a tracción en casos excepcionales.


264

Finalmente, debe destacarse que aunque suele considerarse que elesfuerzo F a transmitir (acompañado o no de momento) se reparte unifor-memente entre todos los remaches o tornillos, estos no es así en la realidad,por lo que el estudio exacto de dicha distribución es un problema de múlti-ple hiperestaticidad que conduce a que algunos estén mucho más cargadosque otros (por ejemplo los de la primera y la última línea de los mismos endirección transversal al esfuerzo F), por lo que (en el análisis por cortadu-ra) pueden haber alcanzado y superado el valor de la tensión correspon-diente al límite elástico. No obstante, la experiencia demuestra que, inclu-so en este caso límite, es correcto suponer que el esfuerzo se reparte porigual entre todos los elementos de unión, pues aquéllos que han alcanzadotal tensión límite no toman mayor valor del esfuerzo, repartiéndose susincrementos entre los demás remaches o tornillos, menos cargados.

7.6. UNIONES SOLDADAS

La unión entre piezas metálicas a través de cordones de soldadura escada vez más utilizada, tanto en construcción de maquinaria como enestructuras de edificación. Por lo que a estas últimas se refiere, la normati-va a aplicar para el diseño y la ejecución de dichos cordones de soldadurase detalla en los capítulos 3.7 y 5.2 de norma EA-95.

Los dos tipos de unión soldada más importantes entre los consideradosen la norma son las uniones con soldadura a tope (figura 7.19) y las unio-nes con soldadura en ángulo, de las que se muestra un ejemplo sencillo enla figura 7.20.

F F

F F


265

Figura 7.19

Los procedimientos de soldeo autorizados para realizar uniones de fuer-za en estructuras de edificación se basan en el establecimiento de un arcoeléctrico entre las piezas metálicas a unir y un electrodo de material fusibleque se deposita, comomaterial de aportación, constituyendo el cordón de sol-dadura propiamente dicho. Sólo en casos especiales puede realizarse la sol-dadura por resistencia eléctrica, procedimiento en que el calentamiento ori-ginado por esta última produce la fusión y posterior unión de las piezas.

Si están bien ejecutadas las uniones soldadas a tope no precisan cálcu-lo, admitiéndose que su resistencia mecánica tanto a esfuerzos longitudi-nales como cortantes es la misma que la de las chapas unidas.

Las uniones soldadas en ángulo pueden ser, como se indica en la normaEA-95, planas (figura 7.21) y espaciales (figura 7.22); en el primer caso todoslos cordones (o sus aristas) se encuentran en el mismo plano, mientras queen el segundo los cordones se encuentran dispuestos en varios planos.

El cálculo de los cordones de unión por soldadura en ángulo, que res-tringiremos al caso de uniones planas, es extraordinariamente complejo,por lo que, en la práctica, se recurre a simplificaciones, avaladas por laexperiencia y recogidas en la normativa vigente.

En los casos más simples, en que se transmite un esfuerzo situado en elplano de los cordones y actuando en el centro de gravedad de los mismos(figura 7.20), el cálculo de los cordones en ángulo se realiza, considerandoque trabajan a cortadura pura, mediante la expresión:

[7.22]γ β σc uF al≤ ( )∑'

FF

l

a


266

Figura 7.20

donde:


β'= coeficiente comprendido habitualmente entre 0,75 y 0,85.

a= garganta de la soldadura.

l= longitud del cordón.

resistencia de cálculo del material de las piezas a unir.

Cuando el esfuerzo no actúa en el centro de gravedad de los cordones es

necesario superponer a las tensiones cortantes , las originadas por

el momento originado por dicha excentricidad, procediéndose en formaanáloga a la descrita al considerar las uniones remachadas o atornilladascon carga excéntrica.

El cordón de soldadura se realiza, por lo general, en forma que su sec-ción se asemeje a un triángulo isósceles (figura 7.23), aunque es frecuentetambién el cordón convexo (figura 7.24).

Tanto en un caso como en otro se toma como valor de a (garganta de lasoldadura):

[7.23]a a= 1

2

a aa aaa a aaa aaaaaaa aaτ γβ

=′∑

cF

al

σ σγu

e

a

= =


267


Cuando en el cálculo deba determinarse la longitud del cordón de sol-dadura, el valor que se obtenga utilizando la expresión [11.22] deberá incre-mentarse en 2a, para tener en cuenta los cráteres extremos, cuya resisten-cia no se considera.

7.7. LOS MEDIOS DE UNIÓN EN EL CÓDIGO TÉCNICODE LA EDIFICACIÓN

El código técnico de la Edificación introduce algunas modificaciones enel cálculo de los medios de unión en estructuras metálicas. Las más impor-tantes son las siguientes:

a) No se considera el uso de roblones o remaches.

b) No se distingue entre tornillos ordinarios y tornillos calibrados.

c) Se estudian en detalle las uniones constituidas por bulones o pasa-dores, cuando deba garantizarse libertad de giro.

d) Se considera , en algunos casos, la utilización simultánea de unionesatornilladas y uniones soldadas (uniones híbridas).

Estudiamos, a continuación, cómo se modifican los cálculos de las unio-nes atornilladas y soldadas, en los casos más frecuentes de solicitaciónsobre unas y otras.

7.7.1. Uniones atornilladas

Se consideran, al igual que al aplicar la norma EA-95, los casos de unio-nes realizadas mediante tornillos no pretensados o mediante tornillos pre-tensados (o de alta resistencia).

a

a1

a

a1


268


Deberá cumplirse siempre que el valor de cálculo del efecto de las accio-nes será inferior a la resistencia de cálculo de la unión.

7.7.1.1. Uniones mediante tornillos no pretensados

La resistencia de cálculo a cortante por tornillo tendrá como valor elmenor de la resistencia a cortante de las secciones del tornillo o aplasta-miento de la chapa de unión.

a) Resistencia a cortante en la sección transversal del tornillo:

[7.24]

Siendo

n número de planos de corte

fub resistencia última del acero del tornillo, que es igual a la tensiónde rotura fu (tabla 5.6).

A área de la caña del tornillo Ad o el área resistente del tornillo AS,según se encuentren los planos de cortadura en el vástago o laparte roscada del tornillo respectivamente.

γM = 1,25

b) Resistencia a aplastamiento de la chapa que se une:

[7.25]

Siendo

d diámetro del vástago del tornillo;

t menor espesor de las chapas que se unen;

fu resistencia última del acero de las chapas que se unen; segúntabla 5.5.

α es el menor de:

[7.26]e

3dp

3dff

1

0

1

0

ub

u

; ; ; ,− 14

1 0

Ff dt

t,Rdu

M

=2 5, α

γ

F nf A

v,Rdub

M

= ⋅⋅0 5,

γ


269

donde

e1 distancia del eje del agujero al borde de la chapa en la dirección dela fuerza que se transmite;

p1 separación entre ejes de agujeros en la dirección de la fuerza quese transmite;

d0 diámetro del agujero;

γM = 1,25

7.7.1.2. Uniones con tornillos pretensados

El apriete controlado de los tornillos, proporcionará al tornillo una fuer-za de pretensado de cálculo Fp·Cd que se tomará como:

FpCd = 0,7fybAs [7.27]

siendo

la resistencia de cálculo del acero del tornillo, con γM = 1,1

AS el área resistente del tornillo, definida como la correspondiente aldiámetro medio entre el interior y el de los flancos de la rosca segúnnorma DIN 13. En la tabla 7.2 se dan algunos valores.

a) Resistencia a cortante. La resistencia de cálculo a cortante de un tor-nillo pretensado, será:

[7.28]Fk n

FS,Rds

Mp Cd= ⋅

µγ '

Tabla 7.2. Área resistente del tornillo

f fyb

ub

M= γ


270

Diámetro (mm) 16 20 22 24 27 30

Área resistente (mm2) 157 245 303 353 459 561

Siendo:

n número de planos de corte.

kS coeficiente que toma los siguientes valores:

kS= 1,00 para agujeros con medidas normales;

kS= 0,85 para agujeros con sobremedidas o rasgados cortos;

kS= 0,70 para agujeros rasgados largos;

µ Coeficiente de rozamiento, que tomará los siguientes valores(que se corresponden con las categorías A a D de la tabla 7 de laUNE-ENV 1090-1:1997).

µ = 0,50 para superficies tratadas con chorro de granalla o arena, ypara superficies tratadas con chorro de granalla o arena y poste-rior tratamiento con aluminio;

µ = 0,40 para superficies tratadas con chorro de granalla o arena, ypintadas con un silicato alcalino de zinc;

µ = 0,30 para superficies limpiadas a cepillo metálico o con llama,con eliminación de partes oxidadas;

µ = 0,20 para superficies no tratadas.

γM' =1,25 en uniones con agujeros nominales y γM' =1,40 (agujeros consobremedida en dirección del esfuerzo).

b) Resistencia a tracción. El esfuerzo de calculo de tracción debe sermenor o igual que la fuerza de pretensado, Fp·Cd.

c) Solicitación combinada. En el caso de que actúen simultáneamen-te sobre el tornillo esfuerzos de tracción y cortante, la resistencia de cál-culo correspondiente al estado límite último se tomará de la siguienteexpresión:

[7.29]

Siendo

FtEd esfuerzo axil de cálculo del tornillo

Fk n F F

sRds pCd tEd

M

=−µ

γ( , )

'

0 8


271

7.7.2. Uniones soldadas

Al igual que la norma EA-95, el Código Técnico de la Edificación noprescribe, en general, el cálculo de las uniones soldadas a tope, si éstasestán bien ejecutadas.

La resistencia de un cordón de soldadura en ángulo es suficiente si laresultante de todas las fuerzas transmitidas por el cordón por unidad delongitud FW,Ed, no supera el valor de su resistencia de cálculo FW,Rd con inde-pendencia de la orientación del cordón.

La comprobación de resistencia por unidad de longitud de un cordón enángulo se realiza de acuerdo a la expresión:

[7.28]

Siendo

tensión tangencial de cálculo resistida por la soldaduraen cualquier dirección;

fu tensión de rotura de la chapa de menor resistencia de la unión;

βW coeficiente de correlación dado en la tabla 7.3 en función del tipode acero.

γM = 1,25

a espesor de la garganta del cordón en ángulo, definido como se indi-ca en la expresión [7.23] y en las figuras 7.23 y 7.24.

ff

vW,du

W M

=/ 3

β γ

F F fW,Ed W,Rd vW,d≤ = a


272

Acero fu(N/mm2) ββw

S 235 360 0,80

S 275 430 0,85

S 255 510 0,90

Tabla 7.3. Coeficiente de correlación βw


1. En la figura se representa una rótula o articulación dispuesta en launión de dos perfiles metálicos IPE que forman parte de una viga (barraprismática que trabaja principalmente a flexión) hiperestática. La articula-ción está constituida por dos cubrejuntas superpuestos al alma de la viga yunidos por cuatro remaches y un bulón o pasador. Se desea determinar lastensiones de cortadura en los remaches y de compresión localizada en elalma del perfil IPE, si el diámetro de los remaches es d=17 mm y el espesordel perfil es e=10,2 mm. (P=2000 kg).

2. Dos chapas unidas mediante doble cubrejuntas están sometidas a unesfuerzo de tracción P=12000 kg. Sólo quieren emplearse tres tornillos ordi-narios por cada lado. ¿Que diámetro deben tener dichos tornillos?. Se com-probará, además, que los cubrejuntas son suficientes.

PP100mm

PP 14mm

10 mm

10 mm

e

P

10,5 cmRemaches Bulón

6 cm6 cm


273

Acero 5D (σt = 3000 kg/cm2)(Tornillos)

Acero A-42 (σe = 2600 kg/cm2)(Chapas y cubrejuntas)

β = 0,8 ; α = 2

γc = 1,5 ; γa = 1,1

3. Calcular el esfuerzo que podría transmitir la unión de los dos hierrosplanos indicados en la figura, suponiendo que la tensión cortante máximaen los cordones de soldadura es de τmax=1020 kg/cm2. Tómese a (espesor degarganta) como 0,84 cm.

4. Determinar las longitudes de los cordones de soldadura que debentransmitir el esfuerzo excéntrico P=47.000 Kg entre las dos chapas de lafigura, de forma que la tensión cortante en cada cordón no supere el valorτ=950 Kg/cm2. El ancho de garganta es a=9 mm en ambos cordones.

5. Una chapa de acero de 150 mm de ancho y 12 mm de espesor, some-tida a un esfuerzo de tracción de 28000 kg (esfuerzo ya mayorado), necesi-ta ser empalmada. El empalme se efectúa por cubrejuntas dobles de 8 mmde espesor. Se pide:

a) Si el empalme se realiza con remaches de diámetro d=11 mm, dis-puestos en dos filas como indica la figura, determinar el número deremaches necesario.

• remaches: σt=2400 kg/cm2

10,79 cm

4,21 cmP

a aL2 a aaL1

P P

P

P

200 mm


274

• chapas: Acero A-37, con σe=2400 kg/cm2 γa=1

b) Si la unión se realiza mediante cordones longitudinales de soldadu-ra, determinar la longitud de los mismos

a (ancho de garganta) = 5 mm ; β' = 0,75

6. En la figura la fuerza neta dirigida hacia abajo P es de 26,4 kN encada una de las dos placas, anterior y posterior, de la ménsula. La distan-cia a es de 0,75 m. Determine el diámetro de los tornillos, de clase 5.6, nece-sarios para fijar la ménsula. No se considerará el posible efecto de aplasta-miento de las chapas.

Datos: fub=500N/mm2 ; γM=1,75

28000 kg

12 mm

N N

a aa a a aa aa aa a a aa ala aa aaaaaa aa aaaaab)

N

28000 kg

N

150

mm

100

mm

8 mmaa aa aa aa aa aaa)

8 mm


275


1. Puesto que no se trata de un problema de dimensionamiento no esnecesario mayorar la carga P para determinar las tensiones pedidas. Comola articulación debe permitir el giro alrededor del pasador, los cuatro rema-ches han de transmitir tanto el esfuerzo P=2000 kg, como el momentoM=2000 x 10,5 = =21000 kg x cm.

El esfuerzo P determina sobre cada remache el esfuerzo cortanteCp=2000/4=500 kg., mientras que el momento origina el esfuerzo:

Las proyecciones horizontal y vertical de CM son iguales a , por loque el remache más cargado soportará un esfuerzo :

C = +

+

=500 619

22

6192

21035

2 2

. . � kg

CM

22

CM = =21000

4 6 2619

� x�� kg

CM

rM rM = = =

421000 6 2, � donde� � � kg� ·� cm� y� � � � � cm

75mm75mm

100mm 100mm

Ménsula

Columna

TornillosMotor

a

P


276

• Cálculo por cortadura (doble cortadura):

• Cálculo por compresión localizada (aplastamiento):

2. a) Cálculo por aplastamiento de las chapas:

Con los datos numéricos:

b) Cálculo por cortadura (doble cortadura):

Se tomará este último valor.

c) Comprobación cubrejuntas:

Se trata de comprobar si la sección neta del cubrejuntas resiste elesfuerzo de tracción (N=P/2).

γ βσ π

π

c tP nd

d

= × × ×

× = × × × ×

24

1 5 12000 0 8 2 34

3000

2

2

, ,

dd = 1 26, � cm

1 5 12000 226001 1

3 1 4

0 9

,,

,

,

× = × × × ×

=

d

d � cm

γ ασ ασc u c uP S n d e= = × ×. · min

σ

σ

c

c

� ·� � ·� 1,02

� ·�� k

1 7 1035

10351 7 1 02

597

,

, ,

=

= = gg/cm2

τ π τπ

� ·� � ·�·

� � ;� � =1035� x� 4

2� ·� � ·�2

1 74

10352,

=11,7

� kg/cm22= 228


277

El valor calculado para σ es menor que por loque los cubrejuntas son válidos.

3. El esfuerzo es transmitido por los dos cordones de soldadura.

4. Llamando P1 al esfuerzo transmitido por el cordón 1 y P2 al transmi-tido por el cordón 2, ha de cumplirse:

P2

P1

P10,79 cm

4,21 cm

P a

a

l

= × ×

==

=

2

1020

0 84

200

ττ

max

max

,

l

� kg/cm

� cm

� m

2

mm � cm

� k

== × × ×=

20

2 1020 0 84 20

34272

P

P g

,

P a

a

l

= × ×

==

=

2

1020

0 84

200

ττ

max

max

,

l

� kg/cm

� cm

� m

2

mm � cm

� k

== × × ×=

20

2 1020 0 84 20

34272

P

P g

,

P P

A

A

σ u = =26001 1

2364,

� kg/cm2

S

P

S

n

c

n

= − ×( ) × =

= =×

10 2 1 26 1 7 48

2 1 5 60007

, ,

,

� cm2

σγ

,,481203= � kg/cm2


278

Sección A-A(Cubrejuntas superior)

Si la longitud de los cordones fuese dato, habría que determinar la posi-ción de su centro de gravedad y añadir a la carga P el par P . e (e=excentri-cidad de la carga P respecto a la línea paralela a su recta de acción que pasepor dicho c.d.g), para determinar la tensión cortante en cada cordón.

5. a) Suponiendo que el esfuerzo se reparte por igual entre todos losremaches, determinaremos el número necesario (en la mitad de la unión)por cortadura en los mismos (doble cortadura), o por aplastamiento de lachapa (o de los cubrejuntas). Para el caso de remaches α= 2,5 , β= 0,8

Son necesarios, por tanto, 16 remaches para la unión completa.

1 24

0 8 2400 19202

) * ; ,� n � � � kg/cτπ βσ βσ⋅ ⋅ = = ⋅ =

dNt t mm

� � � � n

� � � � � � � � �

2

τ

τ

π⋅ ⋅ ⋅ =

=

21 14

1920 28000

7

2. ,

n ,,

) * ; ,min

67 8

2 2 5

→

⋅ ⋅ = =

�

� � �

remaches

n d e Nc u uασ ασ ⋅⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ =

24001

6000

1 1 1 2 6000 2800

� kg/cm

� � � �

2

nc , , 00

3 5 4� � � � � � � � � � remachesnc = →,

P P

P P P

1 2

1 2 1

47000

4 21 10 7910 79

+ =

× = × =

� kg

� � ;� �, ,,

44 21

110 794 21

47000

13191

2

2

2

,

,,

P

P

P

+

=

=

� kg

�� kg� � ;� � � kgP

P a l

P l

1

1 1

1 1

33809

950 0 9

=

= × ×

= × × =

τ

, 333809 39 54

950

2 2

2

� � � � � � � � � � l � cm1 =

= × ×

= ×

,

P a l

P

τ

00 9 13191 15 422, ,× = =l � � � � � � � � � � l � cm2


279

b) El esfuerzo N ha de ser soportado por dos cordones de soldadura.

6. La unión entre la placa en ménsula y la columna transmite, a travésde los tornillos, la solicitación P = 26,4 kN, M = 26,4 · 0,75 = 19,8 mkN. Elesfuerzo P se reparte uniformemente entre los seis tornillos, por lo que cadauno de ellos está sometido, en la unión a la superficie de la conlumna a unesfuerzo vertical, FVi = 26,4/6 = 4,4kN. El momento M será soportado portodos los tornillos, de forma que se cumpla ΣFMi · ri = M.

ri = 100 mm para los tornillos centrales, parael resto.

FMi = (M/Σ r2i ) · ri ; Σ r2i = 4 · 1252 + 2 · 1002 = 82500

ri

FMi

FMi

FMi

FMi

FMi

FMi

ri = + =100 75 1252 2 � mm,

β σ' *

, ,

u a lN

l

× × × =

× × × × =

22

0 75 2400 2 0 528000

2

� � � � � �� cm

Se� tomará� � =162

� cm � cm

l

l

=

=

15 552

8

,


280

En los tornillos centrales es FMi = (M · 100) / 82500 = 19,8 ·1000 · 100) //82500 = 45kN.

En los demás tornillos es FMi = (M · 125) / 82500= 19,8· 1000 · 125) //82500 = 30kN.

Los tornillos mas desfavorablemente cargados son el superior y el infe-

rior de la columna derecha, en los que el esfuerzo total es

V = FVi + FMi cos α; tg α = 75/100 = 0,75; cos α = 0,8; sen α = 0,6

V = 4,4 + 30 · 0,8 = 28,4 kN; H = 30 · 0,6 = 18 kN

Se ha de cumplir, (0,5 fubx A)/γM ≥ 33,62; en el límite A=(33,62γM)/0,5 fubx

A=(πd2)/4 ≈ (33,62 · 1,75 · 1000)/0,5 · 500;

d2 = (4 · 33,62 · 1,75 · 1000)/π · 0,5 · 500;

d = 17,31 mm; se tomará d = 18 mm = 1,8 cm.

F V H= +2 2

α

100

FVi

75

FMi

H

V

F 28,4 18 � kN= + =2 2 33 62,


281

Tema 8

Flexión: análisis de tensiones

8.1. Generalidades

8.2. Vigas

8.3. Diagramas de esfuerzos cortantes y momentosflectores

8.4. Relaciones entre el momento flector, el esfuerzocortante y la carga

8.5. Tensiones originadas por el momento flector

8.6. Secciones transversales más utilizadas

8.7. Trabajo interno de deformación debido a losmomentos flectores

8.8. Tensiones originadas por el esfuerzo cortante

8.9. Indicaciones sobre las tensiones rasantes

8.10. Trabajo interno de deformación debidoa los esfuerzos cortantes.

8.11. Vigas armadas

283

284


285

FLEXIÓN: ANÁLISIS DE TENSIONES

8.1. GENERALIDADES

Iniciamos en este capítulo el análisis de barras prismáticas sometidas aflexión, solicitación presente en una gran mayoría de piezas y elementosque forman parte de sistemas o estructuras resistentes y a la que, en con-secuencia, vamos a dedicar un estudio extenso y detallado.

Se dice que una sección de una barra prismática está sometida a flexiónpura cuando la resultante de las cargas que actúan a uno u otro lado de lamisma es nula, estando contenido el vector momento resultante en su planoplano, como se indica en la figura 8.1, en la que se ha representado el casogeneral de flexión pura asimétrica, que no vamos a considerar, por elmomento. Cuando el vector momento va dirigido según uno de los ejesprincipales de la sección, diremos que la barra prismática está sometida, endicha sección a flexión pura simétrica (figuras 8.2 y 8.3).

M

F2

F1

F3

Mz

My

y

o

y

xz

zA

S

Figura 8.1

Aunque existen casos, que consideraremos, de barras prismàticas some-tidas, en todas sus secciones, a flexión pura, lo habitual es que el momentoflector esté acompañado del esfuerzo cortante. A dicha solicitación se laconoce con el nombre de flexión simple, representándose en las figuras 8.4y 8.5, los dos casos posibles de flexión simple simétrica [como puede verse,si el momento flector va dirigido según el eje Oz(Oy), el esfuerzo cortantelo hará según el eje Oy(Oz)].

8.2. VIGAS

Se conoce con el nombre de viga a una barra prismática, generalmenterecta, sometida a cargas (fuerzas y pares) que determinan flexión en unplano axial definido por su eje longitudinal y uno de los ejes principales de

z

A

F1

z

F2

F3

Cy

Mz

ox

S

y

z

z

y

xS

F3

F1

F2

A

My

Czo

F3

F1

F2 y

z

z

y

xS

A

My

o

y

z

z

y

xS

F3

A

F2

F1

Mz

o


286



inercia de su sección, que consideraremos constante a lo largo de la longi-tud de la barra1.

En la figura 8.6 se representa una viga sometida a varias cargas trans-versales y a las reacciones en los apoyos o vínculos A y B, que determinan,unas y otras, flexión simple en el plano xy.

Como veremos en este mismo capítulo, la solicitación indicada da ori-gen a tensiones normales σ y a tensiones tangenciales τ, cuyas leyes devariación obtendremos, y que corresponden a un estado de tensión cuasi-plano. (Los estados planos de tensión se estudian, en general y mediante laTeoría de la Elasticidad en la asignatura «Elasticidad y Resistencia deMateriales II»).

l

P1

P

P2

B21

1 2A

VA VB

P2

A

. . ..

P3P1

VA VB

B

x x


287

1 Las vigas de sección variable serán estudiadas al final del tema 9.

Figura 8.6

Figura 8.7

Consideremos (figura 8.7), una viga isostática sometida a flexión sim-ple y demos un corte en la misma por la sección recta 1-1'. Si prescindi-mos de la parte derecha (figura 8.8) o de la parte izquierda (figura 8.9) dela viga, la parte suprimida dará origen sobre la parte conservada, en la sec-ción del corte, a un esfuerzo resultante, Cx y a un momento resultante, Mx,que serán, respectivamente el esfuerzo cortante y el momento flector endicha sección.

Sobre la viga considerada actúan cargas concentradas (P1 y P2) y de dis-tribución uniforme (p es la intensidad de la carga por unidad de longitud),así como las reacciones en los apoyos, que serán verticales (VA y VB), al noactuar sobre esta viga isostática ninguna carga horizontal. Mediante doscortes infinitamente próximos, 1-1' y 2-2' (figura 8.7), aislamos el elementolongitudinal (o rebanada), representado en la figura 8.10 y para el que esta-blecemos los criterios de signos correspondientes al esfuerzo cortante y almomento flector.

M+dM

C M

C+dC

dx

M

1 2

21

Cx

Mx

VA

A Mx

P

BCx


288

Figura 8.10


Se considera que el esfuerzo cortante C es positivo cuando, tomandomomentos respecto de un punto interior del elemento, tiende a hacer girara éste en el sentido de las agujas del reloj (negativo, en caso contrario), loque equivale a decir que C es positivo si el elemento queda a su derecha.

Se consideran los momentos flectores positivos si tienden a curvar (flec-tar) la pieza con la concavidad hacia arriba (figura 8.11) y negativos en casocontrario (figura 8.12).

8.3. DIAGRAMAS DE ESFUERZOS CORTANTESY MOMENTOS FLECTORES

Por lo general, tanto el esfuerzo cortante, Cx, como el momento flector Mx,varían a lo largo de una viga sometida a cargas exteriores. Las representacio-nes gráficas de las leyes de variación de ambos efectos mecánicos, en funciónde la posición de las correspondientes secciones a lo largo de la viga, recibenlos nombres de diagramas de esfuerzos cortantes y de momentos flectores. Elconocimiento de ambos diagramas es de gran importancia, como veremos,en el cálculo de vigas. En la figura 8.13 representamos los diagramas corres-pondientes a la viga de la figura 8.7, cuyos valores no acotamos ya que nohemos establecido relaciones entre los valores de P1, P2 y p, ni entre la longi-tud en que está aplicada la carga distribuida y la longitud total de la viga. [Esusual escribir C y M junto a los correspondientes diagramas].


289

Figura 8.12

Figura 8.11

A continuación estudiamos varios ejemplos de obtención de diagramasde esfuerzos cortantes y momentos flectores en vigas isostáticas sometidasa flexión (en todos ellos se determinarán, en primer lugar, las reacciones enlos apoyos).

a) Viga apoyada en sus extremos sometida a carga uniformemente dis-tribuida (figura 8.14).

Dada la simetría geométrica y de carga, las reacciones verticales en losapoyos A y B son iguales.

En una sección a distancia x del apoyo A, el esfuerzo cortante es:

expresión válida en toda la longitud de la viga, anulándose para x=l/2 ytomando valores negativos para x>l/2; para x=l, Cl=-pl/2.

Cpl

pxx = −2

V Vpl

A B= =2

M

C

P1P

P2

2

1 1

2 BAVA


290

Figura 8.13

21

1

43

x

BA

pkgs/m·l

p·l2

p·l2l

2 43

– p·l2

p·l2

C+dC

M+dMC

dx

M

3 4

43

C

M+dM

C+dCdx

M

1 2

21

p·l2


291

Figura 8.16

Figura 8.14


Figura 8.15

Por lo que se refiere al momento flector, éste tiene por expresión, asi-

mismo en toda la longitud de la viga, , ecuación de una pará-

bola de eje vertical, cuyo valor máximo, Mmax=pl2/8, se alcanza en la seccióncentral de la viga, donde es nulo el esfuerzo cortante. En las figuras 8.15 y8.16 se representan los correspondientes diagramas de esfuerzo cortantes ymomentos flectores. Si consideramos dos rebanadas elementales 11'22' y33'44', observamos que se cumplen los criterios de signos enunciados en elepígrafe anterior (figuras 8.17 y 8.18).

Como se indica en la figura 8.16, en la representación gráfica de la leyde variación de momentos flectores no se sigue el convenio habitual dedibujar los valores positivos por encima del eje de abscisas, sino que hemospreferido dibujar las ordenadas del lado de las fibras extendidas que, comoveremos, se sitúan en la parte inferior de la viga, para momentos flectorespositivos. Este criterio de representación tiene ventajas importantes tantopara prever en qué sentido se producirá la deformación de la viga comopara señalar en qué zonas debieran situarse las armaduras metálicas cuan-do la viga en estudio se ejecute en hormigón armado.

b) Viga apoyada en sus extremos sometida a carga concentrada en unade sus secciones.

En este caso (figura 8.19), las reacciones verticales en los apoyos A y B son:

valores que se deducen de la aplicación de las ecuaciones de la estática:

Entre el apoyo A y el punto de aplicación de la carga P, el esfuerzo cor-

tante es mientras que el momento flector tiene por expresión:

M V xPbl

xX A= =

Mpl

xpx

x = −2 2

2

CPblx =

Σ

Σ

F V V P

M V l P b

v A B

B A

= + − =

= − =

0

0·

VPbl

PalA = =, VB


292

Para x=a, es y

Para las secciones situadas en el tramo b de la viga es más prácticotomar origen a la derecha (apoyo B) y obtener, de acuerdo con los criteriosde signos establecidos, los valores del esfuerzo cortante y del momento flec-tor, Cx’ y Mx’

Para x'=b, C'=-Pa/l ; M'=Pab/l, lo que nos indica que en la sección dondese aplica la carga, el esfuerzo cortante cambia de signo y el momento flec-tor es máximo.

C VPal

Pal

xB' '= − = − ; M'=V x'=B

MPab

la =CPb

lx =

P

B

VA= P·bl

VA= P·b

x x

a b

b

ll

P·bl

– P·al

+

Pb·al


293

Figura 8.19

Figura 8.21

Figura 8.20

En las figuras 8.20 y 8.21 se representan los correspondientes diagramasde esfuerzos cortantes y momentos flectores.

Las vigas isostáticas apoyadas en sus extremos, que hemos considerado enlos dos casos anteriores, suelen ser llamadas vigas simplemente apoyadas.

c) Viga perfectamente empotrada en un extremo y libre en el otro some-tida a carga distribuida (figura 8.22).

En esta viga, también llamada viga en ménsula, las reacciones en elempotramiento B son:

Las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantes, válidas en todala longitud de la viga son: Cx=–px ; Mx=–px2/2, alcanzando sus valoresmáximos en la sección de empotramiento:

En las figuras 8.23 y 8.24 se representan los diagramas correspondientes.

C plpl

l l= − = −; M2

2

B

pl2

2

A–

Pl

–

l

x

BA

P

V pl Mpl

B B= =;2

2


294

Figura 8.22

Figura 8.23

Figura 8.24

d) Viga en ménsula con carga concentrada en el extremo libre B (figu-ra 8.25).

Las reacciones en el empotramiento A son:

VA = P ; MA = P·l

En este caso, es más cómodo tomar origen en el extremo derecho B, porlo que los valores de los esfuerzos cortantes y los momentos flectores seexpresan como sigue, en la sección 1-1':

C' = P ; M' = –Px'

Los valores máximos se presentan en el empotramiento A:

C'A = P ; M'A = –Pl

En las figuras 8.26 y 8.27 se representan, análogamente con los casosanteriores, los diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes.

Pl –

+P

VA=P x

MA=PlP

l

BA1

1


295

Figura 8.25

Figura 8.26

Figura 8.27

Existen otros tipos de vigas isostáticas, principalmente las vigas apoya-das con uno o dos voladizos que serán estudiadas en los ejercicios que secontemplan al final del presente capítulo y del siguiente.

8.4. RELACIONES ENTRE EL MOMENTO FLECTOR,EL ESFUERZO CORTANTE Y LA CARGA

Consideremos nuevamente el elemento longitudinal representado en lafigura 8.10, que, como sabemos, se ha obtenido mediante dos cortes infini-tamente próximos 1-1' y 2-2' realizados sobre la viga representada en lafigura 8.7.

Ya que el elemento se encuentra en equilibrio, la suma de momentosrespecto al punto O (figura 8.28) debe ser nula:

[8.1]

de donde:

[8.2]

Es decir, el esfuerzo cortante es igual a la derivada del momento flectorrespecto a la variable x (distancia desde el extremo izquierdo de la viga).

Si en vez del elemento anterior consideramos el representado en la figu-ra 8.17 (obtenido en forma similar a partir de la viga apoyada representada

C M

M+dMx

Cx

1 2

21

Cx

Mx

dx

CdM

dxxx=

M C dx M dMx x x x+ − +( ) = 0


296

Figura 8.28

en la figura 8.14), la condición de equilibrio (figura 8.29) se expresa comosigue:

[8.3]

Si despreciamos los infinitésimos de orden superior, obtenemos lamisma expresión [8.2].

Si para este elemento establecemos también el equilibrio de fuerzas ver-ticales, obtenemos:

[8.4]

de donde:

[8.5]

es decir la intensidad de la carga distribuida p es igual a la derivada, consigno cambiado del esfuerzo cortante respecto a la variable x.

De las expresiones [8.2] y [8.5] se deduce:

[8.6]pd M

dxx= −

2

2

pdC

dxx= −

M C dx pdxdx

M dMx x x x+ − − +( ) =2

0

C pdx C dCx x x− − +( ) = 0

p·dxCx

O

dx

Mx+dMx

Cx+dCx

Mx

1 2

21


297

Figura 8.29

por lo que podemos decir, también, que la intensidad de la carga distribui-da p es la derivada segunda, con signo cambiado, del momento flector res-pecto a la variable x.

En la figura 8.30 representamos un elemento obtenido mediante doscortes infinitamente próximos a un lado y otro del punto de aplicación dela carga P, en la viga de la figura 8.19. Si establecemos el equilibrio deesfuerzos verticales, observamos que existe una discontinuidad en la ley deesfuerzos cortantes:

C'x = Cx–P [8.7]

aunque, en la realidad, la carga concentrada no existe, sino que está distri-buida en una longitud muy pequeña, infinitesimal, con lo que el elementoa considerar sería, nuevamente, el indicado en la figura 8.29.

A partir de las expresiones [8.1] a [8.7] podemos deducir las conclusio-nes siguientes:

a) Cuando en una viga existen cargas uniformemente repartidas, lasleyes de variación del esfuerzo cortante, C y del momento flector M,son funciones algebraicas continuas, de primero y segundo grado. Sip variase linealmente, C y M serían polinomios de segundo y tercergrado, respectivamente. Si el tramo de viga está descargado (p=0), Ces constante y M varía linealmente.

b) De la expresión [8.2] deducimos que el momento flector se hacemáximo en aquella sección de la viga donde se anule el esfuerzo cor-

Mx+dMx

Cx

Mx

Cx

P


298

Figura 8.30

tante (no es mínimo porque, como hemos visto, la derivada segundade M respecto a x es negativa).

c) Si en un tramo de una viga el esfuerzo cortante es nulo, el momentoflector es constante, de acuerdo con la definición de flexión pura,mientras que si C ≠ 0, el momento flector existe y es variable, por loque sólo se anulará en alguna sección determinada. Como conse-cuencia, se deduce que la solicitación de cortadura pura, considera-da en el capítulo anterior, sólo se presenta en secciones aisladas delas barras prismáticas sometidas a carga.

Debe hacerse, finalmente, una observación sobre lo expuesto en el pre-sente epígrafe: Si el origen de coordenadas se toma en el extremo derechode la viga y se considera un elemento como el de la figura 8.18, la aplicaciónde las condiciones de equilibrio (figura 8.31), conduce a las expresiones:

[8.8]

obtenidas teniendo en cuenta los criterios de signos establecidos paramomentos flectores y esfuerzos cortantes, por lo que el esfuerzo cortante yla carga por unidad de longitud p son las derivadas, con signo cambiado,del momento flector y el esfuerzo cortante respecto de la variable x' (dis-tancia al origen coordenadas, situado en el extremo derecho de la viga).

CdM

dx

pdC

dx

xx

x

''

'

'

'

= −

= −

3 4Cx

Mx

P dx

Mx + dMx

Cx + dCx

3 4


299

Figura 8.31

8.5. TENSIONES ORIGINADAS POR EL MOMENTO FLECTOR

a) Vigas sometidas a flexión pura.

Consideremos la viga indicada en la figura 8.32, cuyos diagramas de esfuer-zos cortantes y momentos flectores representamos en las figuras 8.33 y 8.34.

El tramo comprendido entre los puntos de aplicación de las cargas Pestá sometido, como vemos, a flexión pura; esta solicitación origina tensio-nes normales σ cuya ley de variación obtendremos a partir de la deforma-ción experimentada por dicho tramo.

M=P·a M=P·a

C D

1 2

21

P

P

–

+

+

P.a

P

B

VA=P

a

l

P

A C D

a

VB=P


300

Figura 8.32

Figura 8.34

Figura 8.36

Figura 8.33

En la figura 8.35 se representa el citado tramo de viga sometido a lospares de flexión M=P·a. Bajo la acción de estos pares la barra CD, cuya sec-ción transversal supondremos simétrica, se deforma de modo que su eje lon-gitudinal se transforma en una curva que recibe el nombre de línea elásticay que es de curvatura constante al serlo el momento flector, por lo que cons-tituye un arco de circunferencia con centro en O (figura 8.36). Este arco decircunferencia está contenido en el plano de flexión (plano xy) y todas susfibras se deforman según arcos circulares concéntricos con la línea elástica.Lo mismo ocurre con las demás fibras de la viga, estando sus centros de cur-vatura en una recta perpendicular al plano de la figura, que pasa por O.

En virtud de la deformación las fibras inferiores de la viga se alargan,mientras que las superiores se acortan, existiendo una capa de fibras cuyalongitud no se altera, que recibe el nombre de superficie neutra. Dichasuperficie determina, en su intersección con el plano axial de simetría, lafibra neutra que coincide con la línea elástica o deformada del eje geomé-trico de la barra. La superficie neutra corta a cada sección transversal de labarra según una recta n-n, que llamaremos línea neutra (figura 8.37).

n n

y

ds

z zM

x

dϕrM M

y

o

1 2´

dxa b b´

1 2´

2

2


301

Figura 8.36


Para el estudio de las tensiones originadas en la flexión pura, supondre-mos se cumplen las siguientes hipótesis:

1. Las secciones transversales de la barra, planas antes de la deforma-ción, se mantienen planas y ortogonales a las fibras deformadas(hipótesis de Bernoulli).

2. El material cumple la ley de Hooke, siendo iguales los módulos deelasticidad para tracción y compresión.

Por tanto, cualquier sección 2-2 gira, alrededor de su línea neutra, res-pecto a la infinitamente próxima, 1-1, conservándose plana, siendo dϕ elángulo girado, y pasando a la posición 2'-2'.

De la figura 8.36 deducimos que la longitud ab de una fibra situada adistancia y de la fibra neutra se incrementa en el segmento bb’=ydϕ. Ya quela longitud inicial es ab=dx, el valor del alargamiento unitario experimen-tado por la fibra es:

[8.9]

Ya que es dx=rdϕ, donde r es el radio de curvatura la expresión anteriorse convierte en:

[8.10]

La tensión originada, en virtud de la ley de Hooke, será:

[8.11]

Como vemos el momento flector da origen a tensiones normales σx, pro-porcionales a su distancia a la línea neutra y que serán tracciones en laparte inferior de la viga y compresiones en la parte superior. (Su ley devariación se representa en la figura 8.38).

La distribución de tensiones σx debe estar en equilibrio con la solicita-ción a la que esté sometida cada sección del tramo de viga en estudio, porlo que su resultante debe ser nula (no actúan esfuerzos normales, en direc-

σ x

y

r=

Ε

ε x

y

r=

ε ϕx

bb

ab

yd

dx= =

'


302

ción x) y su momento resultante respecto a la línea neutra debe ser equiva-lente al momento flector M:

[8.12]

Ya que E y r son constantes, la expresión [8.12] indica que la línea neu-tra pasa por el c.d.g. de la sección.

[8.13]

La integral es el momento de inercia, Iz, del área de la sección

respecto a la línea neutra de la misma, coincidente con el eje z, por lo que

podemos escribir:

valor que sustituimos en la expresión [8.11]:

[8.14]

Ecuación conocida como ley de Navier, que permite obtener el valor dela tensión en cualquier punto de la sección de la barra, en la que conside-raremos positivas las ordenadas y en la zona traccionada (mitad inferior dela sección).

Los máximos valores de σx se producen en los puntos más alejados de lalínea neutra, por lo que la mayor tensión de tracción (arista inferior de lasección) es:

[8.15]σ m

·ax t = =M h

IMWz z

2

σ xz

Ey

r

My

I= =

MEI

rEr

MI

z

z

= =, o bien:

y dSS

2∫

M ydSEy

rdS

E

ry dSx

S S S

= = =∫ ∫ ∫σ2

2

ΣΕσ σx x

SS

dSr

ydS= = =∫∫ 0


303

y la máxima tensión de compresión, correspondiente a la arista superior dela sección es:

[8.16]

En las expresiones [8.15] y [8.16], Wz es una característica geométricade la sección que recibe el nombre de módulo o momento resistente y vale:

[8.17]

Si la sección sólo presenta simetría respecto del eje y, hay que determi-nar dos módulos resistentes, Wz1 y Wz2, cuyos valores, de acuerdo con lafigura 8.39, son:

[8.18]

y las máximas tensiones de tracción y compresión tienen los valores:

[8.19]

y

y

z z

ez

e1

σ1

σ2

σ σ11

22

= =M

W

M

Wz z

;

WI

eW

I

ezz

zz

11

22

= =;

WI

hzz=2

σ m

·ax t = =

M hI

MWz z

2


304

Figura 8.39

En el cálculo de las secciones resistentes deberá comprobarse que lamáxima tensión normal es inferior a la tensión de cálculo del material,como ya vimos en el capítulo 5. Para secciones simétricas y para materia-les con igual resistencia a tracción y a compresión deberá cumplirse:

[8.20]

γc y γm son, respectivamente, los coeficientes de mayoración de cargas y deminoración de la resistencia del material, que suponemos presenta com-portamiento dúctil.

b) Cuando la viga está sometida a flexión simple, como en el caso de lafigura 8.6, existen, además de las tensiones normales originadas por elmomento flector, las tensiones tangenciales debidas al esfuerzo cortante. Yaque la distribución de estas últimas, como veremos, no es uniforme, las sec-ciones se alabean, no cumpliéndose la hipótesis de Bernoulli. Sin embargo,cuando el esfuerzo cortante C se mantiene constante a lo largo de la viga, elalabeo es el mismo para los puntos homólogos de las distintas secciones, porlo que puede aplicarse la hipótesis generalizada de Bernoulli-Navier, por laque dos secciones de una barra sometida a flexión simple pueden superpo-nerse mediante una traslación (debida al alabeo) y un giro (originado por elmomento flector), siendo de aplicación para el cálculo de las tensiones nor-males σ la ley de Navier. (Si C no fuese constante esta ley es sólo aproxima-da, aunque puede emplearse en la mayor parte de los casos).

8.6. SECCIONES TRANSVERSALES MÁS UTILIZADAS

Una vez establecida la ley de variación de las tensiones normales σx,originadas por el momento flector, es oportuno establecer los criteriosque permiten elegir la sección transversal más adecuada para las barrasflectadas.

a) Si el material resiste por igual a tracción y a compresión debe utili-zarse una sección simétrica como las indicadas en la figura 8.40, ya que, encaso contrario (como en la sección simple te, representada en la figura8.39), no se aprovecha al máximo la capacidad resistente del material.

γ γ σ σσγc

zc u

e

m

MW

= ≤ =max


305

Sin embargo, hay ocasiones en que la función constructiva de la barraexige que la sección no sea simétrica respecto al eje z, por lo que, en lamedida de lo posible, se distribuye el material entre cabeza y base de formaque el c.d.g. de la sección no esté muy alejado de la mitad de la altura. Tales el caso de los carriles de ferrocarril (figura 8.41).

b) Si el material presenta resistencias distintas a tracción y compresiónes aconsejable, en cambio, el empleo de secciones asimétricas, como se hace,en ocasiones, en las vigas de hormigón en simple te (figura 8.42), en las quela posición del centro de gravedad se determina de forma que se cumpla larelación , donde σtmax y σcmax son las máximas tensiones que debe

soportar la pieza.

σσ

t

c

ee

max

max

= 1

2

y

y

z z

θtmax

θcmaxy

h

y

zz

bb

y

z z

y

h


306

Figura 8.41

Figura 8.40

c) Además de las consideraciones resistentes es conveniente elegir lasección más económica, es decir, la de menor área. Estudiaremos seguida-mente las características resistentes de diversas secciones transversales.

• En el caso de sección rectangular, de base b y altura h (figura 8.40),el módulo resistente vale:

[8.21]

La sección rectangular es, dentro de ciertos límites, tanto más econó-mica cuanto mayor sea su altura h para la misma área S2.

• Si eligiésemos una sección circular, de diámetro d (figura 8.43), sumódulo resistente sería:

[8.21]

Comparemos esta sección circular con la sección cuadrada de igual área(figura 8.44), cuyo lado a determinamos a continuación:

S ad

ad

= = =22

2 2π π

, de donde

WI

h

d

d

dd S dz

z= = = =2

642

18 4

0 1254 2π π

. , .

WI

hbh

hbh Shz

z= = = =2

122

16

0 1673

2 ,

z

σtmax

σcmaxy

y

e2

e1

z


307

Figura 8.42

2 Si h es muy grande puede aparecer el fenómeno de pandeo, que estudiaremos más adelante.

Para la sección cuadrada, será:

[8.23]

z z

y

y

S2

h2

h2

S2

a

W a Sa Sd

Sdz = = = =16

16

16 2

0 1473 π,

y

y

z

d

z


308

Figura 8.44

Figura 8.43

Figura 8.45

De [8.22] y [8.23] deducimos que es más económica la sección cuadra-da que la circular de igual área.

Como la distribución de tensiones muestra que las mayores tensiones sepresentan en los puntos más alejados de la línea neutra la distribución idealsería la indicada en la figura 8.45.

El momento de inercia es:

y el módulo resistente:

[8.24]

Este límite no puede alcanzarse en la práctica, pues las dos mitades dela sección deben estar unidas entre sí, pero se tiende a esta situación enlas vigas laminadas I, cuyas características geométricas vienen indicadasal final de estas Unidades Didácticas. Para estos perfiles laminadosWz=0,30 a 0,40 S.h.

8.7. TRABAJO INTERNO DE DEFORMACIÓN DEBIDOA LOS MOMENTOS FLECTORES

En la figura 8.46 representamos un elemento de viga, de longitud dx,obtenido mediante el corte por dos secciones transversales infinitamentepróximas AB y CD de una viga sometida a flexión pura, por la acción de unmomento M que se aplica en forma estática, esto es, creciendo gradual-mente desde su valor inicial (nulo) a su valor final.

Si consideramos, dentro de este elemento, la fibra m-n, de área elemen-tal dS, el valor del trabajo desarrollado en su alargamiento dx será, deacuerdo con lo expuesto en el epígrafe 6.7:

[8.25]dT dS dx=12

σ ∆

WI

hSh Shz

z= = =2

12

0 5,

IS h

Shz =

=22 4

14

22.


309

Sustituyendo σ y ∆dx=εdx, a partir de las expresiones [8.10], [8.11] y[8.14], obtenemos:

[8.26]

Extendiendo el trabajo elemental dT a toda el área de la sección recta dela barra se obtiene el valor

[8.27]

puesto que

Si consideramos toda la longitud de la viga, obtenemos la expresióngeneral del trabajo interno de deformación, originado por los momentosflectores:

[8.28]

expresión válida tanto en piezas sometidas a flexión pura como en aquéllasen que la solicitación sea de flexión simple.

TM dxEIz

o

l= ∫

12

2

y dS IzS

2 =∫

12

2M dx

IzΕ

dTMyI

dSMyI

dxM y

IdSdx

z z z

= =12

1 12

2 2

2.Ε Ε

A C

M

B

X

D

m

. . X

M

n

dx


310

Figura 8.46

8.8. TENSIONES ORIGINADAS POR EL ESFUERZO CORTANTE

Como vamos a exponer, el esfuerzo cortante origina tensiones tangencia-les o cortantes que no se reparten uniformemente en la sección transversalcomo se supone en la teoría elemental de la cortadura. De acuerdo con el teo-rema de reciprocidad de las tensiones tangenciales, establecido en el capítu-lo 2, en el contorno de las secciones transversales de las barras sometidas aflexión las tensiones cortantes deben ser tangentes al mismo, pues, en casocontrario, debiera actuar, en sentido longitudinal y sobre la superficie lateralde la pieza un esfuerzo que, por unidad de superficie y en virtud de las ecua-ciones de equilibrio en el contorno, tuviese el valor τn (figura 8.47). Dichoesfuerzo no existe si la solicitación es de flexión.

Como consecuencia, si en el contorno de la sección transversal existenvértices, en ellos la tensión cortante ha de ser nula, pues han de serlo, nece-sariamente, sus dos componentes según las aristas que se cortan en ellos(figura 8.48). De acuerdo también con el teorema de reciprocidad de lastensiones tangenciales, si existen tensiones cortantes τ en el plano yz, apa-recen simultáneamente, tensiones iguales en los planos ortogonales a lasección, paralelos al plano xz, como se indica en la figura 8.49.


311

Figura 8.47

τn

τn

τt

τ

Supongamos (figura 8.50) que la barra es de sección rectangular. A dis-tancia y del eje z aparecen unas tensiones cortantes τxy, originadas por elesfuerzo cortante, que son iguales a las tensiones rasantes τyx igualmenterepresentadas en la figura. Para determinar las leyes de variación de unas yotras consideremos la viga, de sección rectangular, sometida a flexión sim-ple, indicada en la figura 8.51.

τxy

τyx

x

zz

y

y

C

τ

τn1

τn2

τ

ττ

x

z

z

x

y

y

τ


312

Figura 8.50


Mediante dos cortes infinitamente próximos 11' y 22' aislamos el ele-mento longitudinal de la figura 8.52 que se encuentra en equilibrio someti-do en sus caras 11' y2-2' a los esfuerzos y pares indicados, siendo la distri-bución de tensiones normales σ y σ1 la representada en dicha figura. Siaislamos ahora el subelemento mn2'1' estará en equilibrio si además deactuar sobre el mismo las tensiones normales, lo hacen también las tensio-nes rasantes τyx (iguales a las tensiones τxy que actúan en todos los puntosdel segmento m-m, en la sección transversal) (figura 8.53).

dx

τyx

x

C

xM M1=M+dM

1 2

C+dC=C1

m n

1 2

θ1

h2

τxym m

h z

ds

P

z

y

y y1

b

C

y

C

P1P2

B21

1 2

P3

A

x

dx


313


Figura 8.51

La condición de equilibrio de los esfuerzos longitudinales que actúansobre dicho subelemento es:

[8.29]

Las tensiones σ1 y σ, de acuerdo con la ley de Navier son:


[8.30]

Simplificando, queda:

[8.31]

La integral es el momento estático del área rayada respecto

del eje z.

Sustituyendo y despejando τyx:

como obtenemos, finalmente:

[8.32]

Veamos cuál es la expresión de m al variar y:

m ydS ybdy by b h

yy

h

y

h

yh= = = = −

∫ ∫

1 11

2 2 22

2

12

2 2 4

τ τyx xyz

CmbI

= =

τ yx

dMdx

C= = ,

τ yxz

dMdx

mbI

=

m ydSy

h= ∫

2

τ yxz

y

hbdx

dMI

ydS= ∫1

2

M dM

IydS

M

IydS bdx

zy

h

zy

h

yx

+− − =∫ ∫

1 1

2 20τ

σ σ1 =+( ) =

M dM

Iy

My

Iz z

;

σ σ τ1

2 2

1 1

0dS dS bdxy

h

y

h

yx− − =∫ ∫


314

Por tanto:

[8.33]

La expresión [8.33] indica que la tensión tangencial varía parabólica-mente a lo largo de la altura de la sección, anulándose en los bordes supe-rior e inferior y alcanzando el valor máximo en la línea neutra o eje z-z,para y1=0, como se indica en la figura 8.54.

Como Iz=bh3/12, se obtiene

[8.34]

Es decir la tensión tangencial máxima es un 50% superior que la tensión

media τ = Cbh

τ max

·= =

Ch

bh

Cbh

2

381

12

32

τmax

τ max = ChIz

2

8

τ xyz

CI

hy= −

2 4

2

12


315

Figura 8.54

Si la viga fuese de sección circular (figura 8.55), se supone que en todoslos puntos de la recta mm, paralela al eje z, las tensiones tangenciales τ tie-nen la misma componente vertical τxy, estando dirigidas hacia el punto Adonde se cortan las tensiones correspondientes a los puntos m. De estaforma, para determinar las tensiones cortantes τxy, constantes para el áreaelemental dS=bdy, podemos utilizar la misma fórmula [8.32] en que losvalores de b y m son, respectivamente:

Por tanto:

[8.35]τ xy

z

C R y

R y I

C R y

I=

−( )−( )

=−( ).

23

2 3

212 3 2

212 1 2

212

zz

m ydS bydy R y ydy Ry

R

y

R

y

R= = = −( ) = − −∫ ∫ ∫

1 1 1

223

2 2 1 2 2 yy

m R y

y

R2 3 2

212 3 2

1

23

( )

= −( )

αm m

z z

τ τ

R

A

C

y b

y1

dy

y

b R y R y= − = −( )2 2212 2

12 1 2


316

Figura 8.55

La tensión tangencial τxy varía parabólicamente, siendo nula para y1=Ry máxima, en la línea neutra (y1=0), donde τxy=τ=τmax; teniendo en cuenta

que obtenemos:

[8.36]

La tensión tangencial máxima es un 33% superior que la tensión

media .

La expresión [8.35] permite conocer la ley de variación de las tensionesτxy, componentes verticales de las tensiones tangenciales τ. Para determinarlas componentes horizontales τxz es necesario realizar cálculos más com-plejos, basados en la Teoría de la Elasticidad, que permiten comprobar quesus valores son muy pequeños frente a los de las componentes verticales. Lomismo puede decirse para cualquier otra sección transversal simétrica, porlo que para todas ellas se emplea, para determinar la ley de variación de lastensiones τxy, la fórmula:

[8.37]

Esta expresión es generalmente conocida como fórmula de Zhurawski,científico ruso que la obtuvo por primera vez. Al ser variable de unos pun-tos a otros en una sección la tensión τxy, también lo será la deformaciónangular unitaria, γxy, por lo que la sección se alabea.

Para la sección en I, muy utilizada en estructuras metálicas, la fórmu-la [8.37] es de aplicación inmediata en la parte vertical (alma) de lamisma, originando una distribución parabólica, como se indica en la figu-ra 8.56).

Por lo que se refiere a las alas, las tensiones tangenciales originadas porel esfuerzo cortante C son muy pequeñas, nulas en los bordes superiores einferiores y con distribución muy compleja (predomina en las alas la com-ponente τxz, que, en general, no se considera en el cálculo).

τ xyz

Cm

bI=

CRπ 2

τπ πmax

·= =

CRR

CR

2

4 2

34

43

IR

z =π 4

4


317

En la práctica, dada la pequeña diferencia entre τmin y τmax, se admite que latensión cortante τxy se reparte uniformemente en el área del alma, es decir:

[8.38]

8.9. INDICACIONES SOBRE LAS TENSIONES RASANTES

La importancia de las tensiones rasantes se pone de manifiesto consi-derando la viga de la figura 8.57, constituida por dos barras superpuestas,de ancho b y altura h (figura 8.58).

zz

b

h

z

z z

zh

τδxy

C

h=

1

h1

δ

zzh

y1

b

τmin.

h h1τmax.


318

Figura 8.56


P

Ya que la carga P se reparte entre las dos barras, la resistencia de la vigaconjunta, dada por su módulo resistente, será doble de la correspondientea una de ellas:

[8.39]

Si se impide el deslizamiento de una barra respecto de otra (mediante lacorrespondiente unión soldada, si se trata de vigas metálicas), lo que equi-vale (figura 12.59) a considerar una barra única, de doble altura, el módu-lo resistente valdrá:

[8.40]

La comparación de las expresiones [8.39] y [8.40] hace ver que la resis-tencia a la flexión es doble en este último caso que en el de dos barras inde-pendientes, de forma que aparecen unas tensiones rasantes τ, no represen-tadas en la figura, que se oponen al deslizamiento.

8.10. TRABAJO INTERNO DE DEFORMACIÓN DEBIDOA LOS ESFUERZOS CORTANTES

Estudiemos el elemento longitudinal de una viga sometida a flexión sim-ple que se representa en la figura 8.60. El valor de la tensión tangencial parala fibra m-n, situada a distancia y de la fibra neutra viene dado por la fór-mula [8.37].

2h

b b

zz

W b h bhz = ( ) =16

2 416

2 2.

W bhz = 216

2.


319

Figura 8.59

siendo b el ancho de la sección transversal a la altura de dicha fibra. Paratodas las fibras m-n situadas a distancia y de la superficie neutra, se pro-duce un deslizamiento del plano 2-2' respecto al 1-1', γxydx, donde

Suponiendo que las cargas se aplican estáticamente, las tensiones tan-genciales crecen gradualmente desde cero hasta su valor final, por lo que eltrabajo elemental desarrollado será:

[8.41]

donde hemos sustituido el área elemental dS, donde actúan las tensionespor el producto bdy.

Si consideramos el trabajo correspondiente a toda la sección será:

[8.42]

Cγ = 0

hM

M+dM

C+dC

21

2'1'dx

γ = 0

γmax

m ny

dTdxG

bdydxG

C mb I

bdy

C dxG

xyS zS

= = =

=

∫ ∫2 2

2

22 2

2 2

2

τ

IImb

dyC dxGSz S

2

2 212∫ =

'

dT dS dxG

bdydxxy xyxy= =

12

12

2

τ γτ

·

γ γτ

xyxy

G= =

τ xyz

Cm

bI=


320

Figura 8.60

donde [8.43]

Si extendemos el trabajo a toda la longitud de la viga, obtenemos:

[8.44]

S' tiene las dimensiones de un área y recibe el nombre de sección redu-

cida. Su expresión en función del área S de la sección transversal es

El coeficiente β se puede obtener para cualquier sección transversal,determinando S’, a partir de la expresión [8.43].

En el caso de la sección rectangular es b=cte, y el momentoestático m responde a la expresión:

El cálculo de la integral se realiza como sigue:


1 144120

653 2

5

S bh

bhbh'

=( )

=

mb

dyb h

y dyb h

S h

h h2

2

2 22

2

0

2 4

4 4 2 16∫ ∫ ∫= −

= +−

yyh

y dy

b hy

y hy

o

42

2

4 5 23

2

2 16 5 6

−

=

= + −

hh

S

bh

m

bdy

bh

2 5

2 5

2132

1160

148

28

480

= + −

= =∫bbh5

120

m

bdy

S

2

∫

mb h

y= −

2 4

22

Ibh

z =3

12

SS

' =β

Τ = ∫12

2C dxGSo

l

'

1 12

2

S Imb

dyz S'

= ∫


321

Para la sección circular el cálculo de S' es algo más laborioso que parala rectangular [b no es constante, sino que vale b=2(R2 – y2)½ ], obteniéndo-se para S’ el valor S’=9S/10.

En la secciones I la sección reducida S' es prácticamente igual al áreadel alma de la viga (δ.h1).

8.11. VIGAS ARMADAS

Como hemos visto (epígrafe 8.6), la forma más adecuada de seccióntransversal es el perfil doble te, del que existen distintas variedades comer-ciales (IPN, IPE, HEB,...), que es el más adecuadado para soportar las ten-siones σ, originadas por el momento flector, principalmente por medio delas alas o cabezas superior e inferior, mientras que las tensiones τ sonsoportadas por el alma del perfil. En ocasiones no podemos disponer deperfiles comerciales, por lo que debemos recurrir a las vigas armadas, en lasque las tensiones rasantes tienen especial importancia.

En la figura 8.61 se representa un elemento de longitud dx, de una vigaarmada constituida por tres piezas planas de acero que corresponden alalma y a las cabezas de la misma.

M

M+dM

C+dC

x

dx

C

N

z

y

b

N+dN

S

σ + dσ

σ + dσ

56

56

S bhS

' = = , de dondde β = =65

1 2,


322

Figura 8.61

Con independencia del procedimiento de unión de las cabezas al alma,determinaremos, seguidamente, el esfuerzo horizontal, dN, que tiende aseparar unas de otras en el elemento considerado.

En la figura se indican los valores de los esfuerzos cortantes y momen-tos flectores en los extremos del elemento, así como los valores N y N +dN,correspondientes a las resultantes de las tensiones σ y σ + dσ sobre el árearayada, S. No se representa más que la distribución de tensiones σ + dσ, ori-ginada por el momento flector M+dM en el extremo derecho del elemento,siendo análoga la correspondiente al momento M.

Podemos escribir:

[8.45]

La integral representa el momento estático del área rayada, S respectodel eje z y la representaremos como sigue:

Sustituyendo:

Análogamente:

[8.46]

Despejando el valor de dN:

[8.47]dNdM

Im

z

=

N dNM dM

IydS

M dM

Im

z zS

+ =+

=+

∫

N dN d dSM dM

IydS

S zS

+ = +( ) =+

∫ ∫σ σ

NMmIz

=

ydS mS∫ =

N dSMy

I

NMyI

dSMI

ydS

S z

zS Z S

= =

= =

∫

∫ ∫

σ σ, como


323

Este esfuerzo ha de ser equilibrado por tensiones tangenciales τ (tensionesrasantes), que suponemos se reparten uniformemente en el plano de unión delhierro plano superior (llamado habitualmente platabanda), con el alma.

La superficie en que actúan dichas tensiones es S=b.dx. Por tanto:

, despejando τ:

[8.48]

Pero como sabemos (apartado 8.4): por tanto:

[8.49]

Si en vez de un elemento de longitud dx, considerásemos un tramo deviga de longtiud l el esfuerzo rasante sería:

Si se trata de vigas armadas remachadas o atornilladas, las cabezasestán constituidas por platabandas y angulares como se representa en lafigura 8.62. Para este tipo de vigas es de gran interés el cálculo de los rema-ches o tornillos de unión de patabandas y angulares y los de unión de angu-lares y alma.

Suponiendo conocido el diámetro de tornillos o remaches debe estu-diarse la separación entre ellos, que recibe el nombre de paso de remacha-do o atornillado.

Si nos referimos a la unión de platabanda y angulares, el paso será e1,con lo que el esfuerzo a absorber por los remaches o tornillos será:

[8.50]NCmI

ez

1 1=

N b lCm

Il

z

= =τ . .

τ = CbI

mz

CdMdx

=

τ =1

bI

dM

dxm

z

dN bdxdM

Im

z

= =τ


324

N1 es el esfuerzo que tiende a separar la platabanda del resto de la vigay, en su expresión m es el momento estático del área de la platabanda res-pecto al eje z (figura 8.62 a).

En el caso de la unión entre angulares y alma el esfuerzo N2 que tiendea separar el conjunto de la cabeza (platabanda y angulares) del resto de laviga es:

[8.51]

Donde e2 es el paso de remachado o atornillado y m’ es el momento está-tico del área de platabanda y angulares respecto al eje z (figura 8.62 c).

En el caso de vigas armadas soldadas (ver figura 8.63) se procede enforma análoga teniendo en cuenta que el valor del esfuerzo N será el obte-nido en el caso general:

[8.52]NCmI

lz

=

NCmI

ez

2 2= '

h1δ

h

b

z z

a) b)

e2

e1 e1 b

z z

c)


325

Figura 8.62

donde m es el momento estático del área de la platabanda respecto al eje zy l es la longitud de la viga.

También se forman vigas soldadas reforzando vigas laminadas con pla-tabandas soldadas.

Si los cordones son continuos el cálculo de la unión soldada se reduce ala determinación de su garganta «a», mediante la expresión: N=2β’alσu (verapartado 8.6).

En el caso de cordones discontinuos es necesario también el cálculo delpaso e entre los mismos (figura 8.64), de acuerdo con la expresión:

[8.53]NCmI

e alz

u= = 2β σ' '

e e e

Z

Z

Z

Z

l ' l ' l ' l '

zzh

a

b

Z

Z

Z

Z

x x

l


326

Figura 8.63

Figura 8.64


1. Dada la viga indicada en la figura, se pide:

a) Diagrama de momentos flectores

b) Diagrama de esfuerzos cortantes

c) Perfil IPE necesario

Datos: a=1,8 m ; b=3,6 m ; p=1000 kg ; q=2000/3 kg/m ;σadm=1200 kg/cm2

2. Determinar en la viga de la figura, los diagramas de momentos flec-tores y esfuerzos cortantes, así como el perfil IPN.

Acero A-37, con

σe (Límite elástico)= 2400 Kg/cm2

γc (Coeficiente mayoración cargas)= 1,5

γa (Coeficiente minoración resistencia)= 1,15

A1,40 m

P = 2.420 kg

B1,90 m 2,50 m

P2 = 1.055 kg/mP1 = 1.320 kg/m

A

q

a

p q

ab/2 b/2C D E B


327

3. Para reforzar una viga IPN-500 se le añaden, soldándolas, unas pla-tabandas de 25 cm de anchura y 1 cm de espesor. Calcúlese el valor W enel caso en que las platabandas se dispongan la una encima y la otra debajo,así como si se colocan ambas en la parte de abajo. Calcúlese asimismo ladesventaja que se tiene en el segundo caso por asimetría de la sección.

4. El sistema isostático de la figura está constituido por las barras AB,BD y CE cuyas longitudes son respectivamente 4, 4 y 1 metros. Se pide:

a) Reacciones en los apoyos.

b) Diagramas de momentos flectores, esfuerzos normales y esfuer-zos cortantes.

c) Perfil IPN de las barras, supuestas de la misma sección.

No se tendrán en cuenta los posibles efectos de pandeo.

Acero A-42b

σe = 2600 Kg/cm2

γc (Coeficiente mayoración de cargas) = 1,6

γa (Coeficiente minoración de resistencia) = 1,15

5. La sección de una viga armada remachada está constituida por unalma de 700 x 12 mm. y las cabezas superior e inferior, compuestas cada unapor dos hierros angulares de 120 x 120 x 12 mm. y una platabanda de 300 x12 mm. El esfuerzo cortante máximo (reacción) es de 60 t. El diámetro de

A

4 m

C

D

E

45o

B2 m

2 m

2.000 Kg

90o

2.000 Kg/m


328

los taladros del remachado de unión de los angulares con el alma y las pla-tabandas es d=23 mm. Calcular los pasos de remachado en los cordones, deforma que la tensión cortante no supere el valor τmax=1200 Kg/cm2.


1. a) y b) Por razones de simetría las reacciones en A y B son:

VA=VB=p/2+qa=500+2000/3 . 1,8

VA=VB=1700 kg.

M V xqx

C V qxx

M CA

A

o o= −

= −

≤ ≤

= =2

2 0 1 80 17

,; 000

1980

500

1 8

1 8

kg

mkg

kg

M

C

M V x qaA

,

,

=

=

= − xxa

x x

C V qaA

−

= − −( )= − = −

21700 1200 0 9

1700 1

,

2200 500

1 8 3 6

19801 8 1

=

≤ ≤

=

, ,

, ,

x

M Cmkg ; 88

3 6 3 6

500

2880 500

== =

kg

mkg ; kgM C, ,

700

mm

300 mm

12 mm

12 mm


329

En el resto de la viga las leyes son simétricas (en función de x’).

c) El momento flector máximo es:

para el cual W=252 cm3

2. Cálculo de las reacciones:

VA+VB=1320·1,4+2420+1055·4,4=8910 Kg

VA·4,4=1320·1,4.5,1+2420·2,5+1055·4,4·2,2

VA=5838 Kg ; VB=3072 Kg

M mKg

W cm

max

max

=

= = −

2880

2880001200

240 23 IPE 220

A

q

a

p q

ab/2 b/2C D E B

VA VB

x x'

1700

1700

500500

C

1980 19802880

M


330

Para 0<x<1,4

C=–1320x

M=–1320 x2/2=–660x2

Co=0 ; Mo=0

C1,4=–1848 Kg ; M1,4=–1294 mkg

Para 1,4<x<3,3

C=–1320·1,4+5838–1055(x–1,4)=3990–1055(x–1,4)

M=-1848(x–0,7)+5838(x–1,4)–1055(x–1,4)2/2

C1,4=3990 kg ; M1,4 = –1294 mkg

C3,3=1985,5 kg ; M3,3 = 4383 mkg

M=0=–1848(x–0,7)+5838 (x–1,4)–527,5(x–1,4)2

x=1,74 m

Mmax, para C=0=3990 –1055(x–1,4)

x=5,18 m (fuera del tramo)

Para 0<x’<2,5

C'=–3072+1055x'

M'=3072x'-527,5x'2

C'o=–3072 kg ; M'o=0

C'2,5=–434,5 kg ; M'2,5=4383 mKg


331

El momento flector máximo es Mmax=4383 mkg

Ha de cumplirse

Se adoptará el perfil IPN-240, cuyo módulo resistente es W=354 cm3.

γ σ σγ

γ σγ

γ γ

ce

a

c

nec

e

anec

c aM

WW

M

max

max m.

≤

≤ =; aax , . , .σ e

cm= =1 5 1 15 438300

2400315 3

+

–1.294 mkg

4.383 mkg

1,74 m

3.990 kg

1.985,5 kg

1.848 kg434,5 kg

3.072 kg

+

––

C

M

A

1,40 m

P = 2.420 kg

B1,90 m 2,50 m

P2 = 1.055 kg/mP1 = 1.320 kg/m

VA VB

x x


332

3. En el primer caso el momento de inercia de la sección completa es:

En el segundo caso es necesario determinar el centro de gravedad de lasección:

50

11

25

zzo zo

yG

x G z

I

I

z

z

= + +

=

68740 21

12251 25125 5

10125

3 2· · · ,

77

2101257

263894 3

cm

cm

4

WI

hzz= = =

50

1

25


333

El módulo resistente mínimo (con el que hay que realizar los cálculos)es 787 cm3 menor que en el primer caso (un 20% menor).

4. a)

V V

a m b m

M

A D+ = + =

= =

2000 4 2000 10000

2

2

1

2

· kg

;

Σ AA

Da b V

=

+ + +( ) = +

0

2000 4 2 2000 4 44

2· ·

D

A

4 m

C

E

45o

B 2 m

2 m

2.000 kg

90o

2.000 kg/m

180 27 25 21 180 25 2

180 27 25 21

· · · · ·

· · ·

+ = +( )=

+y

y

G

G 1180 25 221 35

687401

1225 2 25 2 23

+=

= + +

.,

· · ·

cm

zoI 66

230 5 65 95215

952152

2

2I I

W

z zo

z

= − =

( ) =

· ,

max

cm4

11 354460

9521525 27 21 35

31

3

,

,min

=

( ) =+ −( ) =

cm

Wz 007 3cm


334

b) Tramo AB:

C V x x

M V xx

x

A

A

= − = −

= − = −

2000 5864 2000

20002

5864 102

0000 4

5864 0

5864

2

4

xx

C

C

o

≤ ≤

= =

= −

kg ; Mo

88000 2136

7456

0 2 932

4

= −

=

= =

kg

mkg

; m

M

C x

M

,

mmax = 8596 mkg

N=0

5864

2,932 mC

2136

+

–

M

7456+8596

+16000 22000 43

24

4

2

16000 80006000

+

= +

+ +

VD

224 1

1

2

4136 5864

= +

= =

V

V V

D

D A

.

kg ; kg


335

• Tramo BC:

• Tramo CE:

CN

2000 kgx

( ) = −

=

1

21510

5

C= 5864–8000 kg

N 8864 80001

21510

2

−( ) = −

= −

kg compresión( )

·M V xA 0000 4 2 5864 8000 16000

2136 16000

· x x x

M x

−( ) = − +

= − +

mkg

mkg

4 42

2

7456

4435

≤ ≤ +

=

=

x

M

M

B

C

cN

c

1510N

1510

M

7456

4435

+


336

• Tramo CD:

N

C

1414

2924

1510

2924

1510 14145864

2136

0

++

5849

1414

7456 7456

M

8596

14144435

C = – V ·1

2= –4136·

1

2= –2924 kg

N = –2924 kg

M' = V ·x

D

D '' = 4136 x'

' ·M o = = =0 41362

25849; M' mkgC

M

2924

C

2924

N 5849C

VD

N

x

C

N

= + =

= − = −

20001

21414

20001

21414

kg

kg (compressión)

=– '' ; · mkgM x Mc2000 20001

21414= − = −


337

c) El momento flector máximo es:

5. La fórmula a aplicar, en cada caso es:

donde F es esfuerzo transmitido por la unión remachada, m es el momen-to estático respecto de z del área situada por encima (cabeza superior) o pordebajo (cabeza inferior) de dicha unión, e es el paso de remachado e Iz elmomento de inercia de la sección completa.

F nd= · · max

π τ2

4

FCm

bIb e

Cme

Iz z

= =· ·

30012

y

y

z z

12

700

M

M

WW

MC

e

anec

c a

max

max ma.

=

≤ ≥

8596 mkg

;γσγ

γ γ xx

, . , .

σ e

necW

IPN

≥ =

−

1 6 1 15 8596002600

608

300

cm3

( cm3W = 653 )


338

alma platabandas angulares

a) Remaches de unión de platabandas y angulares:

b) Remaches de unión de angulares y alma:

Se tomará e1=2e2=26 cm (lo que está del lado de la seguridad).

F nd C m m

Ie

z2

21 2

2

2

42 2 3

41200= =

+( )→· ·

· · ,·max

π τ π==

= =

60000 3020236872

13

2

2

·e

e cm n nº de secciiones que trabajan a cortadura=2[ ]

F nd Cm

Ie

z1

21

1

2

42 2 3

41200

6000= = → =· ·. . ,

·max

π τ π 00 1282236872

30 7

1

1

.

,

e

e n= =cm nº de remachess=2[ ]

I

m

z =

= =

236872

30 1 2 35 6 121

cm

(platabanda)

4

. , . , 882

2 27 5 31 6 17382

cm

(angulares) cm

3

3m = =. , . ,

Iz = = + +

112

1 2 70 21

12301 2 301 2 35 63 3 2, · · , · , · ,

+ +( )4 368 27 5 31 62, · ,


339

Tema 9

Deformación de vigas sometidas a flexión

9.1. Introducción.

9.2. Ecuación diferencial de la línea elástica.

9.3. Ecuación universal de la elástica de una vigade rigidez constante.

9.4. Teoremas de Mohr.

9.5. Método de la viga conjugada.

9.6. Efecto del esfuerzo cortante en la deformaciónde vigas sometidas a flexión simple.

9.7. Vigas de sección variable.

9.8. Resortes de ballesta.

342


343


9.1. INTRODUCCIÓN

El conocimiento de las deformaciones que experimentan las barras pris-máticas sometidas a flexión es de particular importancia, ya que no sólo esnecesario conocer la máxima tensión originada en cada una de sus seccio-nes, sino que también debe comprobarse que los desplazamientos y losgiros producidos son inferiores a ciertos valores límite.

Según las aplicaciones en las que se utilizan las vigas, las correspon-dientes normativas acotan los valores máximos que pueden alcanzar lasdeformaciones de las mismas: los giros y desplazamientos verticales queexperimentan sus secciones. Así, en edificación, la norma EA-95, en sucapítulo 3.4 establece los límites que no deben superar los desplazamien-tos verticales (habitualmente llamados flechas): En una viga apoyada ensus extremos (figura 9.1), la flecha máxima no debe ser mayor que l/400,mientras que en ménsulas o voladizos, no superará el valor a/300 (figura9.2). En naves industriales provistas de puentes-grúas, los caminos derodadura de los mismos (vigas carril) deben diseñarse de tal forma que laflecha máxima no supere 1/1000 de la luz o distancia entre dos apoyos con-secutivos.

El Código Técnico de la Edificación establece unas limitaciones simila-res para las deformaciones, al considerar el estado límite del servicio, supo-niendo, para diversas combinaciones de las cargas que actúan sobre un ele-mento estructural, que éstas han alcanzando su valor característico, sinmultiplicarlas por coeficiente parcial alguno; de igual forma se procedía alutilizar la norma EA-95, pues se consideraba, para determinar las defor-maciones, la actuación de las cargas no mayorada.

En muchas ocasiones las limitaciones impuestas a flechas y giros resul-tan determinantes en el dimensionamiento de las barras flectadas, mientrasque su diseño por resistencia permitiría elegir secciones más reducidas, de

menor área, S, y momento de inercia, Iz, lo que puede hacer pensar en unmal aprovechamiento del material que la constituye. Tal conclusión es erró-nea, ya que, aunque las tensiones internas originadas en la flexión simplesean más bajas, los límites impuestos a las deformaciones lo son, princi-palmente, por razones constructivas (las flechas en las vigas pueden serexcesivas para los elementos que sobre ellas se disponen, como los tabi-ques, cerramientos y ventanales, que podrían agrietarse) o funcionales (enlas vigas carril las flechas deben ser muy reducidas para facilitar el despla-zamiento del correspondiente puente-grúa); en determinados casos, la exis-tencia de deformaciones importantes en la flexión puede facilitar el fenó-meno de inestabilidad o pandeo, cuando actúen, además, esfuerzoslongitudinales de compresión.

Estudiaremos, seguidamente, diversos métodos para calcular las defor-maciones originadas por el momento flector (integración de la ecuacióndiferencial de la línea elástica, teoremas de Mohr y utilización de la vigaconjugada), mientras que las que produce el esfuerzo cortante serán consi-deradas en el apartado 9.6, en el que se indica que son muy pequeñas, porlo general.

Al final del capítulo se exponen distintos casos de vigas de secciónvariable que, siendo menos rígidas, tienen sus adecuadas aplicacionesconstructivas.

En estas figuras, como en la mayor parte de los ejemplos y en los ejer-cicios de autocomprobación representaremos la viga sin deformar por lalínea recta correspondiente a su eje, indicándose también su deformada olínea elástica.

l

f

f

a


344


9.2. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA LÍNEA ELÁSTICA

Consideremos la viga AB indicada en la figura 9.3, sometida a flexión porla acción de cargas no representadas en la misma. Por la acción flectora, el ejese deforma convirtiéndose en la línea elástica, dibujada en trazo grueso y enla que marcamos los puntos P y P', correspondientes a dos secciones infinita-mente próximas. La separación entre P y P', medida sobre la línea elástica esdl, siendo dx su proyección horizontal. Elegimos los ejes coordenados comose indica en la figura, con el eje y positivo dirigido en el sentido de las fibrastraccionadas, tal como hicimos en el capítulo anterior al estudiar la represen-tación de los momentos flectores. De esta forma las flechas positivas corres-ponden a desplazamientos hacia abajo y las negativas al caso contrario.

Si llamamos ϕ al ángulo que la tangente en P forma con el eje x, las tan-gentes en P y P' formarán el ángulo dϕ, lo mismo que ocurre con las nor-males en dichos puntos.

A B

ϕdϕ

y

x dx

dl

r

PP

dϕ

ESFUESZOS LONGITUDINALES, CORTDURA Y FLEXIÓN

345

Figura 9.3

Podemos escribir: dl = rdϕ,de donde despejamos la curvatura :

[9.1]

Para pequeñas deformaciones, dl ≅ dx

Teniendo en cuenta, además, que, como hemos visto en el epígrafe 8-5,

es , obtenemos:

[9.2]

Para establecer el signo de esta ecuación, observamos que, de acuerdocon el criterio de signos establecido para los momentos flectores, para valo-res crecientes de estos últimos (concavidad de la elástica hacia arriba), lapendiente dy/dx es decreciente y, por tanto, d2y/dx2 es negativa, ocurriendolo contrario cuando M es negativo. En consecuencia:

[9.3]

A la misma fórmula llegamos a partir de la expresión de la curvatura,1/r, en coordenadas cartesianas:

[9.4]

si consideramos que, al ser la pendiente dy/dx muy pequeña, podemos des-preciar su cuadrado frente a la unidad.

1

2

2 2

2r

M

EI

d y

dxdx

dx

d y

dxZ

= ≅ =

1

r

M

EIZ

=

ϕ ϕ≅ =tgdy

dx

1

r

d

dl=

ϕ

1r

d y

dx

M

EIZ

2

2= −

1

1

2

2

23 2r

d y

dx

dydx

= ±

+

/


346

Es más usual escribir la ecuación diferencial de la línea elástica en laforma:

[9.5]

Teniendo en cuenta las expresiones [8.2] y [8.6] podemos escribir:

[9.6]

[9.7]

Si se tratase de vigas muy flexibles, la ecuación diferencial de la líneaelástica sería:

[9.8]

Para efectuar la integración de la ecuación [9.5] es necesario conocer lasleyes de variación de M e IZ. En la mayor parte de los casos es IZ constantey M = M (x), por lo que si M es nulo en una sección intermedia de la viga,el punto correspondiente de la línea elástica es un punto de inflexión, puesla curvatura se anula.

La función representiva de la línea elástica, y = f(x) presenta las siguien-tes particularidades:

a) y no puede ser discontinua, pues, en ese caso, se cortaría la defor-mada del eje de la pieza.

b) la derivada primera, dy/dx, ha de ser también contínua, ya que, encaso contrario, aparecería un punto anguloso para el que la curvatu-

EId ydx

dCdx

d Mdx

pZ

4

4

2

2= − = − =

EId y

dx

dM

dxCZ

3

3 = − = −

EId y

dxMZ

2

2= −

EI

d ydx

dydx

MZ

2

2

2 3 2

1+

= −/


347

ra se hace infinita, por lo que el momento M debiera tomar el valorinfinito en la sección correspondiente.

c) la derivada segunda d2y/dx2, sólo es discontinua cuando lo es la ley demomentos flectores, lo que sólo ocurre en la sección donde se apli-ca un par exterior.

d) La derivada tercera d3y/dx3, es discontinua en los puntos de aplica-ción de las cargas concentradas (puntos en los que hay discontinui-dad en la ley de esfuerzos constantes).

La derivada cuarta, d4y/dx4, es discontinua en los puntos en que losea p.

Veremos, seguidamente, dos ejemplos de obtención de la línea elásticamediante la integración de su ecuación diferencial. (Se supone que se tratade vigas de sección constante, por lo que el producto EIz, que recibe el nom-bre de módulo de rigidez a la flexión, también lo es).

1. Viga apoyada con carga uniformemente distribuida (figura 9.4).

La expresión de la ley de variación del momento flector es:

por lo que la ecuación diferencial de la línea elástica es:

Integrando dos veces, obtenemos:

EIdy

dx

pl x p xC

plx

px C

EI y

Z

Z

= − + + = − + +2 2 2 3 4 6

2 3

12 3

1

== − + + + =−

+ + +pl x p x

C x Cpl

xp

x C x C4 3 6 4 12 24

3 4

1 23 4

1 2

Mpl

xpx

= −2 2

2

EId y

dxM

plx

pxZ

2

2

2

2 2= − = − −


348

Para determinar las constantes de integración C1 y C2, consideraremoslas condiciones de contorno:

• Punto A (x=0) ; y=0

• Punto B (x=l) ; y=0

De la primera se deduce C2=0, mientras que de la segunda obtenemos:

Por tanto, la ecuación de la elástica es:

y la ley de giros:

El giro en el apoyo A(x=0) es:

ϕ Ax Z

dy

dx

pl

EI=

==0

3

24

012 24 24

4 4

1 1

3

= − + + ⇒ =pl pl

C l Cpl

A

l

B

x

ϕAϕB

ϕA ϕB

2P·l

2P·l

P

EI ypl

xp

xpl

xZ = − + +12 24 24

3 43

EIdy

dx

plx

px

plZ = − + +

4 6 242 3

3


349

Figura 9.4

mientras que el giro en el apoyo B (x=l) es:

(*)

Los giros en A y B, aunque iguales en valor absoluto, tienen distintosigno.

La flecha en el punto medio es:

2. Viga apoyada sometida a carga concentrada P (figura 9.5).

En este caso hay dos leyes distintas de variación del momento flector:

Por tanto, habrá dos ecuaciones diferenciales de la línea elástica:

a)

Integrando dos veces:

EIdy

dx

Pb

l

xCZ = +

– 2

12

f yEI

pl l p l pl ll= = − + +

=

=

/27

3 4 31

12 8 24 16 24 2

ppl

EI

pl

EIZ Z

4 41

96

1

384

1

48

5

384− + +

=

ϕ BZ ZEI

pl pl pl pl

EI= − + +

= −

1

4 6 24 24

3 3 3 3

MPb

lx a

MPb

lx P x a a

= ≤ ≤

= − −( )

� 0 x

≤≤ ≤x l

EId y

dx

Pb

lx x a

Z

2

20= − ≤ ≤�


350

(*) El giro en el apoyo B es en sentido contrario al que se produce en A.

b)

Integrando dos veces:

La determinación de las cuatro constantes de integración C1 , C2 , C1' y C2'se realiza atendiendo a la continuidad de la línea elástica y de la ley de girosy aplicando las condiciones de contorno (y=0 para x=0 y para x=l).

Las condiciones de continuidad, para x=a, exigen se cumpla C1=C1' ,C2=C2' .

De la primera condición de contorno: 0=C2

EI yPb

l

xC x CZ = − + +

2 3

3

1 2

EIdy

dx

Pb

lx

P x aC

EI yPb

l

x P

Z

Z

= − +−( )

+ ′

= − +

2 2

2 3

21

3 xx aC x C

−( )+ ′ + ′

6

3

1 2

EId ydx

Pbl

x P x a a x lZ

2

2 = + −( ) ≤ ≤–

x

ϕAϕB

A

y

l

a

o

P

B

C

x

ϕAϕB

VB=P·al

VA= P·al

b


351

Figura 9.5

De la segunda:

Como l-a=b,

Por tanto, las ecuaciones de la elástica y de la ley de giros son:

El giro en A es:

El giro en B es:

La flecha bajo el punto de aplicación de la carga P es:

yEI

Pb

la

Pb

ll b a

Pb

lCZ

= − + −( )

=

1

6 6 63 2 2

EIal ab a

Z

2 2 3− −( )

ϕ Bx l Z

dy

dx EI

Pb

ll

Pb Pb

ll b=

= − + + −=

1

2 2 62

22 2(( )

=

= −( ) − −( )

16 2

2 2 2

EIPb

ll b

Pbl

l blZ

= − − +( )Pbl EI

l bl bZ6

2 32 2

ϕ Ax Z

dy

dx

Pb

lEIl b=

= −( )=0

2 2

6

EI yPb

lx

Pb

ll b x

EIdydx

Pbl

xPb

Z

Z

= − + −( )= − +

6 6

2

3 2 2

2

66

0

6

2 2

3

ll b

x a

EI yPb

lx

P x aZ

−( )

≤ ≤

= − +−( )

�

33

2 2

2

2

6 6

2 2

+ −( )

= − +−( )

+

Pb

ll b x

EIdy

dx

Pb

lx

P x a PbZ 66

2 2

ll b

a x l

−( )

≤ ≤�

CPbl Pb

l

Pb

ll b1

32 2

6 6 6= − = −( )

06 6

23

1= − +−( )

+Pbl P l a

C l


352

La flecha máxima se obtiene para el punto en que la tangente a la elás-tica es horizontal. Para determinar la sección correspondiente haremosnula la expresión dy/dx.

de donde:

sustituyendo en la ecuación de la elástica, se obtiene:

valor que puede comprobarse que difiere muy poco del correspondiente alpunto medio de la viga (x=l/2).

Si la carga fuese centrada (figura 9.6), es a=b=l/2 y los valores de losgiros en A y B y de la flecha máxima (que se produce para x=l/2) son:

ϕ B

P l= −

�

// 26

232 4 16

22 2 2

l EIl

l l PlEIZ Z

− +

= −

=

xl b

=−2 2

3

A

l

B

P

y f

ϕA ϕB

ϕA ϕB

2P

2P

x

yPb l b

l EIZ

max

/

=−( )� 2 2

3 2

9 3

02 6

32 2 2 2 2 2= − + −( ) ⇒ = −Pb

lx

Pb

ll b x l b


353

Figura 9.6

9.3. ECUACIÓN UNIVERSAL DE LA ELÁSTICA DE UNA VIGA DERIGIDEZ CONSTANTE

Como hemos visto, en un ejemplo sencillo, la integración de la ecuacióndiferencial de la elástica exige determinar dos constantes de integración porcada tramo de la viga en que sea distinta la ley de momentos flectores. Esfácil darse cuenta de la complicación a la que conduce este método cuandohay diversidad de cargas actuando sobre una viga. Sin embargo, cuando elmódulo de rigidez a flexión EIz es constante en toda la longitud de la viga,el número de constantes de integración se reduce a dos y las distintas leyesde la elástica pueden integrarse en una sola que recibe el nombre de ecua-ción universal de la línea elástica.

Sea la viga de longitud l indicada en la figura 9.7, sometida a un siste-ma arbitrario de cargas, que pueden ser también reacciones de apoyo,actuando sobre las secciones indicadas. Con los ejes adoptados, la ecuacióndiferencial de la elástica es:

d y

dx

M

EIZ

2

2= −

µ q

y

ab

cd

P

x

l

ϕ B

P l= −

�

//

ma

26

232 4 16

22 2 2

l EIl

l l PlEI

f y

Z Z

− +

= −

= xx /

// /

= =−( )

=yP l l l

l EI

PlEIl

Z Z2

2 2 3 232 4

9 3 48


354

Figura 9.7

o bien:

[9.5]

Planteemos e integremos las ecuaciones diferenciales en los distintostramos de la viga:

• Para 0 ≤ x ≤ a, M = 0

• Para a ≤ x ≤ b, M = µ

• Para b ≤ x ≤ c, M = µ–P(x–b)

• Para c x d M P x b qx c

EId y

dxx aZ

≤ ≤ = − −( ) −−( )

= − −( )

, µ

µ

2

24

2

2

00+P x-b +q

x-c

+

( ) ( )

= − −( ) −

2

4

2;

EIdydx

x a Px b

Z µ (( )+

−( )+

2 3

42 6q

x cc

EId y

dxx a EI

dy

dxxZ Z

23

23= − −( ) ( ) = − −µ µ0

+P x-b ; aa Px b

c

EI yx a

Px b

cZ

( ) −( ) +

= −−( )

+−( )

+

+2

3

3

2 3

3

2

2 6µ xx k+ 3

EId y

dxx a EI

dy

dxx aZ Z

22

22= − = − −( ) = − −( )µ µ µ0

+; cc2

EI yx a

c x kZ 2

2

2 22= −

−( )+ +µ

EId y

dxEI

dy

dxc EI y c x kZ Z Z

21

21

1 1 1 10= = = +� ; ;

EId y

dxMZ

2

2= −


355

• En el tramo final de la viga (x>d) supondremos que actúan simultá-neamente, las cargas q y -q, con lo que la ley de momentos flectores será:

Para determinar las constantes de integración aplicaremos, en primerlugar las condiciones de continuidad de la línea elástica y de su primeraderivada (ley de giros).

• Para x=a

• Para x=b

• Para x=c

y y k k

dy

dx

dy

dxc c

3 4 3 4

3 43 4

= → =

= → =

y y k k

dydx

dy

dxc c

2 3 2 3

2 32 3

= → =

= → =

y y k k

dydx

dydx

c c

1 2 1 2

1 21 2

= → =

= → =

M P x b qx c

qx d

EId y

dxxZ

= − −( ) −−( ) +

−( )

= − −

µ

µ

2 2

25

2

2 2

aa

EIdy

dxZ

( ) ( ) ( ) ( )

= −

0+P x–b +q

x-c–q

x-d2 2

5

2 2

µµ x a Px b

qx c

c

EI yZ

−( ) −( )+

−( ) ( )++ –q

x-d2 3 3

5

5

2 6 6

== − −( ) +−( )

+−( ) ( )

+µ x a Px b

qx c

c x2

3 4 4

56 24 24–q

x–d++ k5

= −−( )

+−( )

+4

2 3

2 6EI y

x aP

x bZ µ qq

x cc x k

−( )+ +

4

4 424


356

• Para x=d

En consecuencia, las constantes de integración quedan reducidas a dos:

[9.9]

[9.10]

Las constantes c y k se determinan por los valores correspondientes algiro y a la flecha en el origen de coordenadas.

[9.11]

[9.12]

En estas condiciones, tanto la línea elástica como su primera derivada (leyde giros), pueden escribirse de una vez, como se indica seguidamente:

[9.13]

[9.14]

En [9.13] y [9.14] se han utilizado los símbolos < > que indican que eltérmino en que aparecen sólo tiene sentido a partir del punto en que se apli-que el momento, el esfuerzo concentrado o varíe la carga distribuida a lolargo de la viga.

Si existen varias cargas concentradas, varios momentos aplicados o dis-tintos tramos en cargas distribuida, hay que modificar las expresiones[9.13] y [9.14], de forma que los términos no constantes estén afectados deun sumatorio:

EIdy

dxEI EI x a P

x bq

x cZ Z Z= = − < − > +

< − >+

< − >ϕ ϕ µ0

2 3

2! 33 3

3

! !−

< − >q

x d

EI y EI x EI yx a

Px b

qx c

Z Z Z= + −< − >

+< − >

+< −ϕ µ0 0

2 3

2 3! !

>>−

< − >4 4

4 4! !q

x d

EI y k k EI yZ x Z1 0 1 0( ) = = ==

EIdy

dxEI c cZ

x

Z1

0

0 1

= = ==

ϕ

k k k k k k= = = = =1 2 3 4 5

c c c c c c= = = = =1 2 3 4 5

y y k k

dydx

dy

dxc c

4 5 4 5

4 54 5

= → =

= → =


357

en la ecuación universal de la elástica y:

en la ley universal de giros.

9.4. TEOREMAS DE MOHR

Cuando no es necesario conocer en toda la longitud de una viga tantola ley de desplazamientos como la ley de giros, es más útil el empleo deotros procedimientos, basados en la ecuación diferencial de la línea elás-tica1, que permiten obtener flechas y giros en determinadas secciones,sin necesidad de integrar dicha ecuación, lo que resulta muy laborioso enla mayor parte de los casos, pese a las simplificaciones indicadas en elepígrafe anterior: Consideraremos, en primer lugar, los teoremas deMohr, para exponer posteriormente (apartado 9.5) el método de la vigaconjugada.

En la figura 9.8 se representa una viga biapoyada sometida a flexión,así como el diagrama de momentos flectores correspondiente a las cargasindicadas.

Las tangentes a dos secciones infinitamente próximas que, tras la defor-mación, están separadas entre sí por la longitud elemental dl, forman elángulo dϕ, de forma que

o biendl rd= ϕ dr

dlMdl

EIZ

ϕ = =1

∑ < − > ∑< − >

∑< − >µ x a P

x bq

x c2 3

2 3! !!

∑< − >

∑< − >

∑< −µ x a

Px b

qx2 3

2 3! !cc >4

4!


358

1 Existen otros métodos, basados en consideraciones energéticas, que estudiaremos en«Elasticidad y Resistencia de Materiales II».

En el caso, habitual, de vigas de muy pequeña curvatura podemosescribir:

[9.15]

La expresión [9.15] indica que el ángulo elemental dϕ, que forman entresí las tangentes en dos puntos infinitamente próximos de la línea elástica esigual al cociente entre el área elemental Mdx, medida en el diagrama demomentos flectores, y el módulo de rigidez a la flexión EIz. Ya que estaexpresión se verifica para todo elemento dl, si consideramos todos los ele-mentos de longitud comprendidos entre dos puntos a y b de la elásticapodemos escribir:

dMdx

EIZ

ϕ =( )

dϕϕa,b

dx

xb

xa

x

xb–x

b


359

Figura 9.8

[9.16]

La ecuación [9.16] es la expresión del primer teorema de Mohr, quepuede enunciarse como sigue: “El ángulo que forman entre sí las tangentesen dos puntos de la elástica es igual al área del diagrama de momentos flec-tores comprendida entre dichos puntos, dividida por el módulo de rigideza la flexión”.

Cuando la viga es de sección constante, la expresión anterior se trans-forma en:

[9.17]

Si consideramos ahora la distancia vertical desde el punto b de la elás-tica a la tangente en a, será igual a la suma de los segmentos interceptadospor las tangentes en los extremos de cualquier elemento dl en la ordenadatrazada desde b. La longitud de cada segmento, teniendo en cuenta que ladeformación es muy pequeña, vale:

[9.18]

que representa el momento estático del área elemental Mdx respecto a lavertical en b. Sumando dichos segmentos, obtenemos:

[9.19]

La ecuación [9.19] es la expresión del segundo teorema de Mohr, cuyoenunciado es el siguiente: «La distancia vertical de un punto b de la elásti-ca a la tangente en otro punto a de la misma es igual al momento estáticodel área del diagrama de momentos flectores, divididos por el módulo derigidez a la flexión EIz, comprendida entre las ordenadas de dichos puntos.El momento estático se tomará respecto a la ordenada correspondiente alpunto b, desde donde se calcula la distancia».

bcMdx

EIx x

Zba

b= −( )∫

x x dMdx

EIx x

bZ

b−( ) = −( )� ϕ

ϕa b

Za

b

EIMdx

,= ∫

1

ϕ a bZ

a

b Mdx

EI, = ∫


360

Si la viga es de sección constante, la fórmula [9.19] se convierte en:

[9.20]

Debe hacerse la observación importante de que la aplicación de los teo-remas de Mohr al cálculo de flechas y giros exige el conocimiento de algu-na sección de la viga en que la tangente a la línea elástica sea horizontal (ola normal, vertical). En caso contrario, la aplicación de las expresiones[9.16] y [9.19] no permite determinar dichas deformaciones, como se dedu-ce fácilmente de la figura 9.8.

9.5. MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA

La restricción mencionada para la utilización de los teoremas de Mohr(conocimiento de secciones en que la tangente a la elástica sea horizontal)no se presenta cuando se calculan las deformaciones aplicando el métodode la viga conjugada que es, por tanto, absolutamente general. El métodoconsiste en la aplicación de las siguientes consideraciones:

En primer lugar escribiremos las expresiones de la ecuación diferencialde la línea elástica y la que relaciona el momento flector, en la misma viga,con la carga unitaria p:

[9.3]

[9.6]

Si llamamos,

[9.21]

podemos escribir

[9.22]d y

dx

2

2= − � p

p = M

EIZ

d y

dx

M

EIZ

2

2= −

pd M

dx= −

2

2

bcEI

Mdx x xZ

ba

b= −( )∫

1


361

Consideremos que la viga cuya deformación estamos estudiando, en laque la ley de momentos flectores viene dada por M, se descarga, volviéndo-se a cargar con una carga ficticia p, definida en [9.21].

En la nueva viga, que llamaremos viga conjugada de la viga original,aparecerá una ley de momentos flectores M que cumplirá la relaciónsiguiente con la carga p:

[9.23]

Identificando las expresiones [9.22] y [9.23] se obtiene:

y = M [9.24]

Es decir, la línea elástica y de la viga original coincide con el momento

flector en su viga conjugada (la misma viga cargada con )

Si derivamos respecto a x la expresión [9.24], obtenemos:

[9.25]

Esta última expresión indica que la ley de giros en la viga original coin-cide con la de esfuerzos cortantes en la viga conjugada.

Cuando la viga es de sección constante, la carga ficticia en la viga con-jugada es la superficie del diagrama de momentos flectores en la viga ori-ginal, por lo que las flechas y los giros se obtendrán dividiendo los momen-tos flectores y los esfuerzos cortantes en la viga conjugada por el módulo derigidez a la flexión EIz.

Por lo que se refiere a la sustentación de la viga conjugada, ha de ser laadecuada para que las condiciones de contorno de la línea elástica y y de laley de momentos flectores M sean las mismas.

Si la viga dada está apoyada en sus extremos lo mismo ocurrirá con laviga conjugada, siendo nulos en dichos puntos tanto los desplazamientosverticales reales como los momentos flectores ficticios.

dy

dx

d

dx= =M C

p = M

EIZ

d

dx

2

2

M p= −


362

No ocurre lo mismo cuando se trata de una viga en ménsula como laindicada en la figura 9.9, cuyo diagrama de momentos flectores se repre-senta en la figura 9.10.

La viga conjugada debe estar sustentada como se indica en la figura9.11, de forma que en su extremo libre A no exista momento flectorM (des-plazamiento real nulo), mientras que en B debe existir un empotramiento,

A

P·l

B

·l

B

P·l

A

A B

P

l


363

Figura 9.9

Figura 9.10

Figura 9.11

en el que las reacciones VB y MB se identifican con el giro y el desplaza-miento vertical en el extremo libre de la viga dada.

En el estudio de la deformación de las vigas en voladizo, como la repre-sentada en la figura 9.12, se puede emplear también el método de la vigaconjugada con la sustentación a la que acabamos de hacer referencia,teniendo en cuenta, además, que un apoyo intermedio en la viga real debeser sustituido por una articulación (mecanismo que, como vimos en el ejer-cicio 1 del capítulo 7, ha de permitir el giro, por lo que el momento de car-gas y reacciones situado a uno u otro lado del mismo ha de ser nulo).

En la figura 9.13 representamos la correspondiente viga conjugada.

Sin embargo, como se comprueba en los ejercicios de autocomproba-ción, es más cómodo sustituir el voladizo por la acción que produce sobreel tramo entre apoyos aplicando el principio de superposición para el estu-dio de la deformación en dicho tramo.

C AB

l

BAC

F

P

a


364

Figura 9.12

Figura 9.13

Por lo que se refiere a la deformación del tramo en voladizo se aplicatambién el principio de superposición, considerando en primer lugar elmismo como empotrado y añadiendo el giro como cuerpo rígido queexperimenta cuando el apoyo gira (como apoyo extremo de la viga bia-poyada).

En las figuras 9.14, 9.15 y 9.16 se indican los razonamientos aplicadospara el cálculo de las deformaciones en la viga de la figura 9.12.

9.6. EFECTO DEL ESFUERZO CORTANTEEN LA DEFORMACIÓN DE VIGAS SOMETIDASA FLEXIÓN SIMPLE

Como hemos visto (apartado 8.8), las tensiones tangenciales τ, origina-das por el esfuerzo cortante en la flexión, son variables, por lo que las sec-ciones se alabean, como se indica en la figura 9.17, manteniéndose el ángu-lo inicialmente recto que forman las fibras extremas AC y BD con la secciónrecta (γ=0), mientras que la distorsión angular unitaria es máxima para la

F

C

a

A

f1c

ϕA

C Af2c

F+p·a

l

BA

MA


365

Figura 9.14


fibra neutra o eje de la pieza OO, que tras la deformaciòn para la posiciónOO1 (γmax).

En el estudio de la deformación de la pieza, consideraremos la distor-sión media o deslizamiento medio, γm=dy1/dx o, lo que es lo mismo, el ángu-lo que se desvía el eje respecto a su posición inicial, siendo dy1 el desplaza-miento relativo entre las secciones, infinitamente próximas, AB y CD.

Para determinar el desplazamiento relativo dy1 igualaremos el valor deltrabajo externo desarrollado por el esfuerzo cortante C, con el del trabajointerno de deformación realizado por las tensiones tangenciales que aquélorigina:

[9.26]

de donde:

[9.27]γ βm

C

GS

dy

dx= =� 1

1

2

1

2

2

C dxC dx

GSmγ β=

C

B

OO

C A

D

C + dCdx

γ = O

γ max

γ m dy1

γ = O

90o

90o

O1


366

Figura 9.17

Cuando las secciones no sean infinitamente próximas y estén separadasentre si una longitud a, el deslizamiento relativo entre ambas será:

[9.28]

Si la viga está apoyada en sus extremos, la integración se extiende desdex=0 hasta x=l/2. Puede comprobarse, para los distintos tipos de carga a queesté sometida dicha viga, que el valor de la flecha y1, originada por losesfuerzos cortantes es del orden del 3% de la producida por los momentosflectores, por lo que, habitualmente, no se tiene en cuenta en el estudio dela deformación de las barras flectadas.

9.7. VIGAS DE SECCIÓN VARIABLE

Las expresiones utilizadas para conocer el estado de tensiones y defor-maciones en las piezas sometidas a flexión simple han sido deducidas,suponiendo que la sección transversal se mantiene constante. Cuando lasección varía en forma gradual, dichas expresiones pueden también apli-carse, sin gran error, a las vigas de sección variable. En caso contrarioaparecen importantes concentraciones de tensiones, siendo los corres-pondientes coeficientes de aumento de tensiones similares a los obtenidosen el tema 6 para las piezas de sección variable sometidas a esfuerzo lon-gitudinal.

Entre las vigas de sección variable las de mayor interés son aquéllas enque la tensión normal máxima σmax, se mantiene constante, recibiendo elnombre de vigas de resistencia uniforme, en las que se cumplirá

[9.29]

siendo k constante. Despejando el módulo resistente obtenemos:

[9.30]WM

k=

σ max = =kM

W

y dxC

GSdxm

aa

1 00= = ∫∫ γ β


367

por lo que el módulo resistente de la sección debe variar proporcionalmen-te a como lo haga el momento flector M2.

Por lo que se refiere a la deformación, ya que, como hemos visto, la

expresión de la curvatura es: podemos escribir:

[9.31]

por lo que la ecuación diferencial de la línea elástica es, de acuerdo con[9.2]:

[9.32]

(se supone M positivo).

Cuando h sea constante, la elástica es un arco de circunferencia.

Estudiamos seguidamente la deformación de dos vigas de resistenciauniforme, utilizadas frecuentemente:

a) Viga en ménsula de sección rectangular, con ancho constante y altu-ra variable, sometida a carga uniformemente repartida (figura 9.18).

Si llamamos hx la altura que corresponde a la sección situada a distan-cia x del extremo derecho de la viga, donde situamos el origen de coorde-nadas, se cumplirá:

siendo hl la altura de la sección de empotramiento. Simplificando, obtene-

mos o bienx

h

l

hx l

2

2

2

2= hh

lxx

l=

px

bh

pl

bhk

x l

2

2

2

2

216

216

= = =σ max

d y

dx

k

Eh

2

2

2= −

1 22

2 2r

MEI

hh

MEW h

kEhZ

= = =�//

1r

M

EIZ

=


368

2 Para M=0, teóricamente podría ser W=0, lo que no es físicamente posible, debiendo tener la sec-ción, en todo caso, las dimensiones suficientes para resistir el esfuerzo cortante.

Es decir, la altura de la sección varía linealmente con x; suponiendo queel borde superior de la viga es horizontal, la altura hx varía como se indicaen la figura 9.19.

La flecha en el extremo libre B (figura 9.20) se calcula a continuación,aplicando el segundo teorema de Mohr:

donde Il es el momento de inercia de la sección de empotramiento.

fE

M xdx

I E

pxx

bhdx

E

px

bB

x

Z

l

x

= = =∫1 1 2

112

1 21

12

0

2

3

3

hhl

xdx

plEbh

dxpl

E

l

ll

l

l

3

33

00

3

3 0

46

21

1

∫∫

∫

=

= =�

2223

4

bh

plEI

ll

=

fB

B

blhx

A

x

A

l

P

B


369

Figura 9.18

Figura 9.19

Figura 9.20

Si la viga fuese de sección constante puede comprobarse fácilmente,aplicando también el segundo teorema de Mohr que la flecha sería:

lo que nos indica que la viga de resistencia uniforme estudiada esmuchomenos rígida que la de sección constante, ya que la flecha obtenida es cua-tro veces mayor.

Las vigas de sección rectangular de ancho constante y altura variablelinealmente son muy utilizadas en piezas en voladizo que formen parte deestructuras de hormigón, con independencia de que puedan considerarse ono como vigas de resistencia uniforme (lo que depende del tipo de carga aque estén sometidas).

b) Viga en ménsula de sección rectangular de anchura variable y alturaconstante, h, sometida a carga concentrada en su extremo (figura 9.21).

A Bblbx

A

l

P

B

x

h

fplEIB

Z

=4

8


370

Figura 9.21

Figura 9.22

Procediendo en forma análoga a la empleada en el ejemplo anterior,obtenemos:

siendo bl el ancho de la sección de empotramiento A.

Simplificando:

de donde

El ancho b varía linealmente como se indica en la figura 9.22.

La flecha en el extremo libre, por aplicación de 2.o teorema de Mohr, seobtiene como sigue:

Siendo Ip el momento de inercia de la sección de empotramiento.

La flecha obtenida es, como puede fácilmente comprobarse 1,5 vecessuperior que la correspondiente a una ménsula de sección constante, some-tida a la misma solicitación. Las vigas de altura constante y ancho b varia-ble son la base de los resortes de ballesta o resortes de flexión que estudia-remos en el epígrafe siguiente.

En ocasiones es necesario reforzar un perfil metálico con platabandas uni-das a sus alas, habitualmente por medio de cordones de soldadura: Se tratadel caso de la viga de gran longitud, l, de la figura 9.23, sometida a un sistemade cargas que origina el diagrama de momentos flectores representado.

fE

M x dx

I E

Px dx

b h E

PB

x

Z

l

x

= = =∫1 1

112

1 120

2

3

xxbl

xhdx

PlEb h

xdxPl

E

l

ll

l

l

2

300

3 0

312

2

∫∫

∫

=

=11

1223

3

b h

PlEI

ll

=

x

b

l

bx l

= bb

lxx

l=

Px

b h

Pl

b hk

x l

16

16

2 2

= = =σ max


371

El perfil metálico sin reforzar, con módulo resistente Wo sólo puedesoportar momentos flectores iguales, como máximo al valor Wo.σadm. Lospuntos 0 de la figura indican que, a partir de ellos es necesario el refuerzo:si éste se realiza mediante dos platabandas, el módulo resistente del con-junto será W1, siendo W1.σadm el máximo momento flector que puede admi-tir la nueva sección resistente, determinándose por los puntos 1 de inter-sección con el diagrama de momentos flectores la zona en que es necesarioun nuevo refuerzo. Procediendo en forma análoga mediante la sucesivasuperposición de platabandas se obtiene la línea quebrada del diagramaque indica los máximos momentos flectores que puede absorber cada sec-ción compuesta y que, necesariamente, ha de ser envolvente del diagramade momentos flectores a que está sometida la viga3 (Cada longitud teóricase ha incrementado en 2b para facilitar la unión entre platabandas).

La viga considerada en la figura 9.23 constituye una buena aproxima-ción a una pieza prismática de igual resistencia a la flexión (viga de resis-tencia uniforme).

w0 w1 w2 wx w2 w1 w0

01

2 21

0

l

mon

,M

b

b

b b

b

bl1

l2

l3

M1

=W1σ a

dm

w0 w1 w2 w2

M0

=W0σ a

dm

M2

=W2σ a

dm

M3

=W3σ a

dm


372

Figura 9.23

3 Se ha considerado, como criterio de seguridad, no sobrepasar las tensiones admisibles, definidasen el tema 5.

9.8 RESORTES DE BALLESTA

A partir de la viga de ancho variable y altura constante, de igual resis-tencia a la flexión en todas sus secciones podemos obtener, a partir de unahoja triangular de ancho n.b, un número par, 2n, de hojas longitudinales deancho b/2 (figura 9.24).

Unificando las tiras que tengan la misma numeración y superponiendolas hojas resultantes se obtiene la pieza compuesta indicada en las figuras9.25 (alzado) y 9.26 (planta) que recibe el nombre de resorte de flexión o deballesta, de hojas triangulares (en realidad, rectángulos acabados en untriángulo).

La disposición indicada en estas dos últimas figuras es más favorable,siendo el valor de la tensión máxima en el material flexible que constituyeel resorte el mismo que en la viga triangular en planta de la figura 9.24.

En efecto, en esta pieza, la tensión normal máxima,σ, originada por elpar P·l, en la sección de empotramiento es:

mientras que, para n hojas de ancho b superpuestas es:

σ =( )

Pl

nb h16

2

bnb

4

43

3

2

2

1


373

Figura 9.24

En estas expresiones P es la carga vertical en el extremo del resorte y lsu longitud.

En la práctica los resortes de ballesta se realizan con hojas rectangula-res dispuestas en la forma indicada en la FIGURA 13.27, correspondiente aun resorte completo y que se ha aplicado como elemento importante parala suspensión de vehículos, empleándose tanto en automóviles como envagones de ferrocarril.

PP

l l

b

h

P

σ = =( )

�P l n

bh

P l

nb h

/16

16

2 2


374

Figura 9.25

Figura 9.26

Figura 9.27


1. Una viga de longitud 1=10 m está sometida a la acción de una cargauniformemente repartida q=1000 kg/m. Se pide:

a) Determinar la longitud de los voladizos para que el perfil IPN seamínimo, determinando dicho perfil para σadm=1600 kg/cm2.

b) Calcular el valor del descenso vertical de la sección correspondienteal punto medio de la viga. E=2,1.106 kg/cm2.

2. Dada la viga indicada en la figura se pide:

a) Diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores.

b) Determinar la relación entre P y q para que la flecha en C sea igual ala flecha en D multiplicada por 1,5: (yC=3/2 yD)

Considérense como datos E e I.

3. Una viga de madera, de sección cuadrada de 25x25 cm, está apo-yada en A y B, y en sus extremos se aplican las cargas P, como se indicaen la figura. Determinar el máximo valor de P y la flecha en el puntomedio. Se despreciará el peso propio de la viga. Datos: σadm=70 kg/cm2.E=105 kg/cm2.

xx

FC Da a a a a

A E

Pq

a l–2a a

q


375

4. La ecuación de la línea elástica de la viga simplemente apoyada de lafigura es: y=Ax2 + Bx, donde A y B son constantes. Determinar y represen-tar las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantes sabiendo que ladeformación transversal es nula en los apoyos y mide 25 mm en el puntomedio de la viga. La viga está constituida por un perfil de acero IPN-200.

(E=2,1.106 kg/cm2)

5. Una viga metálica de 30 cm de canto está apoyada como se indica enla figura y cargada en los voladizos con una carga uniformemente distri-buida q=1000 kg/m. Se pide:

a) Diagrama de esfuerzos cortantes.

b) Diagrama de momentos flectores.

c) Tensión normal máxima.

d) Flecha en el punto medio.

Datos: Iz=9785 cm4 ; E=2,1x106 kg/cm2

y

x

M N

2,5 m

0,9 m 5,4 m 0,9 m

A B

P P


376

6. Una barra de sección circular, empotrada en un extremo y libre porel otro va disminuyendo de diámetro linealmente con la longitud desde elextremo empotrado hasta el extremo libre, en cuyo punto el diámetro es lamitad del correspondiente al extremo fijo.

Se desea calcular el corrimiento vertical en el extremo libre, cuandosobre la barra actúa una fuerza vertical P sobre el extremo libre. Diámetroen el empotramiento Dl. Momento de inercia en el empotramiento Il

P

l

Z Z

Y

Y

30 cm

A B

3 m

qq

6 m 3 ma aa a aaESFUESZOS LONGITUDINALES, CORTDURA Y FLEXIÓN

377

7. Determinar, en la viga de la figura, de sección rectangular y concarga lineal variable (nula en el centro de la viga y de valor P kg/m en losextremos) la ley de variación de su altura h en función de x, suponiendo queel ancho b se mantiene constante, de forma que la viga sea un sólido deigual resistencia a la flexión.

Se tomará, para la sección en C, h=ho


1. a) Para que el perfil sea mínimo es necesario que el momento flectoren los apoyos coincida, en valor absoluto, con el momento flector en el cen-tro del vano, C.

Sustituyendo los voladizos por su acción sobre el tramo entre apoyos.

V Vq l a

Mqa q l a qa

l

A B

c

= =−

= − +−

=

−

�

�

( )

( )

(

22

22

8 2

2

2 2 2

aa a

l a al a a al l

al l

)2 2

2 2 2 2 2

8

4 4 8 4 4 0

2 4

=

+ − = ⇒ + − =

=− ± 22 24

42 2 2

4

22

2

+=

− ±

= − ±

l l l

al l

µ=2

qa2

B

VB

CA

q µ=2

qa2

VA l–2a

A

l/2

C

X

P

B

P

l/2


378

La única solución válida es:

Se utilizará un perfil IPN-180, para el que W=161 cm3, I=1450 cm4.

b) La flecha se obtiene por superposición de las correspondientes a lacarga q y a los pares µ en la viga apoyada en sus extremos, de longitud l-2a:

2. a) Las reacciones verticales en B y E se calculan como sigue:

V V qa P

V a qa a Pa Pa

V qa

B E

B

B

+ = +

⋅ − ⋅ − + =

=

2 2

3 2 3 0

2 ; � � � � �� V PE = 2

f f fl a

EI

l a

EI= + =

−−

−( ) =⋅1 2

4 25 2

384

2

81

2 1( )

,

µ�

(*)

110 14505 586

384214452 586

8

2 5

6

4 2

⋅⋅

−⋅

= −f , 22� cm

al l l

l

Mqa

= − + =−

= =

=

22

22 12

0 207 2 07

2

2

�� m.

( ), ,

max ==⋅

= =1000 2 07

22144 52 214452

2,, .� m� kg � cm� kg

Wneccadm

M= = =max

σ2144521600

134� cm3

V Vq l a

Mqa q l a qa

l

A B

c

= =−

= − +−

=

−

�

�

( )

( )

(

22

22

8 2

2

2 2 2

aa a

l a al a a al l

al l

)2 2

2 2 2 2 2

8

4 4 8 4 4 0

2 4

=

+ − = ⇒ + − =

=− ± 22 24

42 2 2

4

22

2

+=

− ±

= − ±

l l l

al l


379

* Ver solución ejercicio 5.

valores que podían estimarse por razones de simetría.

C qx

Mqx x a

C M

C qaa

= −

= −

≤ ≤

= =

= −2

0 0

2

00 0

� ��

�

;

�� ;

( )

Mqa

C qa qx

M qa x aqx

a =−

= −

= − −

2

2

2

2

22

≤ ≤= = −

= =

� �

� � �

� � �a x a

C qa Mqa

C M

a a

a a

2 20 0

2

2 2

;

;

==

≤ ≤

′ =′ = − ′

≤ ′ ≤

C

Ma x a

C P

M Pxx a

0

02 3

0

�

� ��

� � �

′ = ′ =′ = ′ = −

′ = −′ =

C P M

C P M Pa

C P

M

a a

0 0 0;

;

−− ′ + ′ −( )

≤ ′ ≤′ = − ′ = −

Px P x aa x a

C P M Pa a

22� �

� � �;

′′ = − ′ =

′ =′ = − ′ + ′ −( ) − ′

C P M

C

M Px P x a P

a a2 2 0

0

2

� �;

xx aa x a

−( ) =

≤ ′ ≤2 0

2 3�

+

_

qa

qa_

+

P

P

C

xx

FC Da a a a a

A E

Pq

M

Pa__

qa2

2

V V qa P

V a qa a Pa Pa

V qa

B E

B

B

+ = +

⋅ − ⋅ − + =

=

2 2

3 2 3 0

2 ; � � � � �� V PE = 2


380

b) Utilizaremos el método de la viga conjugada.

La viga representada es equivalente a la original; por tanto, VB=qa ;VE=P, pues prescindimos de los cortantes transmitidos por los voladizos.

La viga conjugada será la indicada en la página siguiente:

R R

R R

B E

B E

+ = − − + −

+ =

12 2 2 6

22 2 3

0

Paqa

xqax qx

a

112 6

312

13

12

23

2 22

Paqa

a Pa a Paqa

+

⋅ = ⋅ − + = − −R R RB B E 22 2

2 2

2

0

2 2

+ −

− + −

∫ qaxqx

dx

qaqax

qx

a�

33

36

1124

1811

0

3 4

2

a x dx

aPa qa

Pa q

a−( )

⋅ = +

= +

∫ �

R

R

B

Baa

aqa

qaxqx

a x da

3

2 2

0

72

2 2M RC B= ⋅ + − + −

−( )∫ � xx

Pa qaa

qa Pa qaMC = +

− = +2 3 4 3

1811

72324 18

11 44 4

3 43 4

72324

18272

172

4 2

−

= + = +

qa

Pa qaPa qaMC

yyEI

Pa qaC = + 1

724 23 4

P

VE

E

q

VB

Paqa2

2

C qx

Mqx x a

C M

C qaa

= −

= −

≤ ≤

= =

= −2

0 0

2

00 0

� ��

�

;

�� ;

( )

Mqa

C qa qx

M qa x aqx

a =−

= −

= − −

2

2

2

2

22

≤ ≤ = =−

= =

� �

� � �

� � �a x a

C qa Mqa

C M

a a

a a

2 20 0

2

2 2

;

;

==

≤ ≤

′ =′ = − ′

≤ ′ ≤

C

Ma x a

C P

M Pxx a

0

02 3

0

�

� ��

� � �

′ = ′ =′ = ′ = −

′ = −′ =

C P M

C P M Pa

C P

M

a a

0 0 0;

;

−− ′ + ′ −( )

≤ ′ ≤′ = − ′ = −

Px P x aa x a

C P M Pa a

22� �

� � �;

′′ = − ′ =

′ =′ = − ′ + ′ −( ) − ′

C P M

C

M Px P x a P

a a2 2 0

0

2

� �;

xx aa x a

−( ) =

≤ ′ ≤2 0

2 3�


381

Análogamente:

′ = − ⋅

= + − = +

M R

R R

D E

E B

.� aPa

a

Paqa

Paqa

2

23

2

223

12 6

12

33 2 3

2 3 2 3

6 1811

72

818 72

49 7

− −

= + = +

Pa qa

Pa qa Pa qaRE 22

49 72 3

49 72

2 3 3 3 4

′ = +

− = + −MDPa qa

aPa Pa qa

�PPa Pa qa

yEI EI

Pa qaD

3 3 4

3 4

3 9 72

172

8

= +

=′

= + MD

B

Pa

RE

C D E

x

_ _

a a a

RB

2qa2

R R

R R

B E

B E

+ = − − + −

+ =

12 2 2 6

22 2 3

0

Paqa

xqax qx

a

112 6

312

13

12

23

2 22

Paqa

a Pa a Paqa

+

⋅ = ⋅ − + = − −R R RB B E 22 2

2 2

2

0

2 2

+ −

− + −

∫ qaxqx

dx

qaqax

qx

a�

33

36

1124

1811

0

3 4

2

a x dx

aPa qa

Pa q

a−( )

⋅ = +

= +

∫ �

R

R

B

Baa

aqa

qaxqx

a x da

3

2 2

0

72

2 2M RC B= ⋅ + − + −

−( )∫ � xx

Pa qaa

qa Pa qaMC = +

− = +2 3 4 3

1811

72324 18

11 44 4

3 43 4

72324

18272

172

4 2

−

= + = +

qa

Pa qaPa qaMC

yyEI

Pa qaC = + 1

724 23 4


382

Imponiendo la condición

3. El máximo momento flector se produce en los apoyos A y B y se man-tiene constante a lo largo de toda la longitud de la viga.

RA=RB=P

Dibujamos los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores.

0,9P –

M

–P+ P

C

0,9P –

M

–P+ P

C

RB0,9 m 5,4 m 0,9 m

RA

P P

A B

y y

EIP a qa

EIPa qa

C D=

+ = +

32

172

4 232

172

83 4 3 4

+ = +

=

=

8 4 24 3

16

16

3 4 3 4

4 3

Pa qa Pa qa

qa Pa

Pqa


383

La tensión máxima es:

Para calcular la flecha aplicamos la ecuación universal de la líneaelástica:

Para x=0,9 m=90 cm, y=0 ; Para x=6,3 m = 630 cm, y=0

Sustituyendo en la ecuación universal, particularizada para x=3,6m ==360 cm.

EI y EI EIl / ( , ) ,,

2

3

0 018 360 1 5442025 5 360

6= − ⋅ + ⋅ +

⋅−−

⋅

= −

2025 5 2706

2 139

3

2

,

,/yl � cm� � � � � � (el� punto�� medio� se� levanta)

0 902025 5 90

6

0 6302

0 0

3

0 0

= ⋅ + +⋅

= ⋅ + +

EI EIy

EI EIy

ϕ

ϕ

,

0025 5 6306

2025 5 5406

0 018

3 3

0

, ,

,

⋅−

⋅

= −ϕ � raad y cm� � � � �; ,0

1 544=

EIy EI x EIyPx P x

= + + −−

ϕ0 0

33

3

90

3! !

σ

σ

maxmax

max

;

=

= =

M

W

I cm W cm

Z

Z Z

112

2516

254 4 3 3� � � �

=== =

=

70

0 9 90

7090

16

2�

� �

�

Kg cm

M P mKg P cmKg

P

/

, .max

225

70 25

6 902025 5

3

3

� � �; ,P Kg=⋅⋅

=

y

y

z z 25 cm


384

4. Determinaremos las constantes A y B aplicando las condiciones decontorno:

Para:

constante en toda la viga, que está sometida, por tanto a flexión pura.

C

M

14381

M

M NM=14381 mkg

x y

x y

= = =

= =

2 5 250 0

1 25 125

, ;

, ;

� m � cm� � � �

� m � cm� � � � == =

= +

= +

25 2 5

0 250 250

2 5 125 125

2

2

� mm � cm,

,

A B

A B

= += +

=

� � � � �0 62500 250

2 5 15625 125

0 62

A B

A B,

5500 250

5 31250 250

5 31250

A B

A B

A A

+

− = − −

− = − = −� � � �;55

312501

6250

01

625062500 250

10250

12

= −

= − +

= =

� B

B55

16250

125

2

2

2

2

2

y x x

d ydx

MEI

M EId ydx

EI

= − +

= + = + =; −−

= −⋅ ⋅

= −

13125

2 1 10 21403125

14380806

M,

� cmm� kg � m� kg≅ −14381


385

5. a) y b) Las reacciones en A y B, dada la simetría de la viga son:

(Resto de la viga simétrico).

c) La tensión normal máxima es la máxima tensión longitudinal y seproduce para el valor máximo del momento flector:

σ maxmax ;

/;= = = =

M

WW

Ih

Ih

IZ ZZ� � � � � � � � � � cm

22

9785 44 30

450000 302 9785

689 83

;

,max

� � � cm

� kg/

h =

=⋅

⋅=σ ccm2

M

C

4500 –

3000–

+3000

A

x

BVB

q q

VA3 m 3 m6 m

V V q

C qx x

Mqx

A B= = ⋅ = ⋅ =

= − = −

= −

3 1000 3 3000

1000

2

2

� kg

== −

≤ ≤

= == −

5000 3

0 0

30002

0 0

3

3

xx

C M

C

M

� �

�

� kg

;

== −

= − ⋅ + == −

4500

3 0

45003

� mkg

� mkg�

C q V

MA ≤≤ ≤x 6


386

d) Para calcular la flecha pedida estudiamos el tramo entre apoyos, sus-tituyendo los voladizos por su acción sobre dicho tramo:

Viga conjugada

(hacia arriba).

6. La flecha en B, de acuerdo con el segundo teorema de Mohr, es:

Iz es variable, al ser la sección variable, Id

Zx=

π � 4

64

fPx xdx

EIZ

l

= ⋅∫0

R R

M R

A B

l/2 A

= = −⋅ ⋅

= − ⋅

= −

4500 6 102

13500 104

4 2� kgcm

⋅⋅ + = − + =−

= = −

l l l l l l l

fEI

2 2 4 2 2 2 4 8

4500

2µ µ µ µ.

Ml/2 ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

= −100 6008 2 1 10 9785

0 982

6,, � cm

RA

µ=4500 mkgµ=4500 mkg

B4500

B

A

A

RB

σ maxmax ;

/;= = = =

M

WW

Ih

Ih

IZ ZZ� � � � � � � � � � cm

22

9785 44 30

450000 302 9785

689 83

;

,max

� � � cm

� kg/

h =

=⋅

⋅=σ ccm2


387

Veamos la ley de variación de dx

P

BA

f

PlPx

dx

l

Dl

b

b

dx

a

a

x Dl

2

ab

xl

a dD

b DD

dD

xl

ll

x

=

= −

= −

−

12 2

12 2

�

�

ll

ll

xl l

xl

DD

x

ld

D x

l

Dd

D x

l2

22 2 2

1−

= − = = +; ;� � � � � �

= +( )

= +( ) =+( )

D

lx l

ID

lx l

x l

l

Zl

2

64 16

4

4

44

�

π116

16

16

4

2

4

4

4 2

lI

fPx dx

EIl

x l

PlEI

x

x l

l

l l

=+( )

=+( )44

00

dxll

∫∫


388

Haciendo x+l=t : x=t-l, dx=dt

Para:

7. Calcularemos, en primer lugar las reacciones en A y en B. Por razo-nes de simetría, será:

De la figura:

y

x

P

ly

P

lx= =

/;

2

2

A

l/2

C x

P

B

P

l2

l/6 l/3VA VB

yPl4

V Vl

PPl

A B= = =

1

2 2 4

x t l

x l t l

fPl

EI

t l

tdt

ll

l

= == =

=−( )

0

2

16 4 2

4

2

;

;

�

�

∫∫ ∫=+ −

=

−

16 2

16

4 2 2

4

2

42

Pl

EI

t l tl

tdt

Pl

EIt dt

ll

l

ll

22 2 42 32

4

2

16

l

l

l

l

l

l

l t dt l t dt

PlEI

∫ ∫ ∫+ −

=− −

−− − +

= − + −

13

16 12

13

2

3 2

2 4 2

tlt

lt

PlEI l l

l

l

l

l ⋅⋅+ + −

= − +

8 3 4

16 1 12

1

3

2

2 2 2

4

lll

ll

ll

fPl

EI ll

−− + + −

=− − + +

=124

13

14

116 12 1 8 6

24163Pl

EIP

l

llEI

PlEIl l

3 3

2423

=


389

El momento flector en C es

El momento flector en un punto a distancia x de C es:

La viga será un sólido de igual resistencia a la flexión si σ es constante:

σ = = = = =MW

M

WMW

Wbh

Wbh

Pl

bh

C

C

X

XC x

X; ;� � � �02 2

2

6 6

24002

2 3

2

2

02

2 3

6

24 3

624

24 3=−

→ =−Pl Px

lbh

lh

l xl

hX X

� � 22

2 02

2

2 3

02

3

3

2424 3

1 8hh

ll x

lh

xlX = −

= −

= −

= −

h hxl

h hxl

X

X

02

3

3

0

3

3

18

18

MPl l

xPl l

xxy

x

MPl l

= +

− +

−

=

4 2 4 3 213

4 2++

− +

− = −xPl l

xx P

lx

Pl Pl

x4 3 6

224 3

2 23

MPl l Pl l Pl Pl Pl

C = − = −

= =4 2 4 3 4

12

13 4

16 24

2 2 2


390

Tema 10

Flexión asimétricay flexión hiperestática

10.1. Introducción.

10.2. Flexión desviada o asimétrica.

10.3. Casos prácticos de flexión asimétrica.

10.4. Vigas hiperestáticas. Generalidades.

10.5. Vigas hiperestáticas de un solo tramo.

10.5.1. Viga sobre dos apoyos articulados fijos.10.5.2. Viga apoyada en un extremo y perfectamen-

te empotrada en el otro.10.5.3. Viga perfectamente empotrada en sus dos

extremos.10.5.4. Vigas imperfectamente empotradas.

10.6. Vigas continuas

10.6.1. Ecuación de los tres momentos10.6.2. Asientos desiguales de los apoyos10.6.3. Apoyos extremos de la viga continua

10.7. Vigas Gerber

391

392


393


10.1. INTRODUCCIÓN

En el primer capítulo se establecieron, entre los sólidos deformables yde acuerdo con sus características geométricas, los dos principales tiposque se consideran tanto en Teoría de la Elasticidad como en Resistencia deMateriales: Barras y Bóvedas. También en dicho capítulo se definieron lasdistintas formas de trabajo a que pueden estar sometidas las secciones deuna barra o prisma mecánico: esfuerzo longitudinal, esfuerzo cortante,momento flector y momento torsor.

En el capítulo sexto se comenzó el estudio de las barras prismáticassometidas, en todas sus secciones, a una de las cuatro solicitaciones sim-ples. Tal estudio supone realizar tanto el análisis de las tensiones o esfuer-zos internos por unidad de superficie, así como el de las deformaciones ori-ginadas, como aquéllas, por la solicitación a que esté sometida cada barra;el estudio se completa habitualmente, con la consideración y resolución delos problemas hiperestáticos que se presentan cuando hay un exceso entreel número de incógnitas en los vínculos de las distintas barras y las ecua-ciones de equilibrio de la Estática (6 en general, 3 cuando las cargas y el ejede la barra son coplanarios).

Por lo que se refiere a las piezas sometidas a flexión, tanto en el caso enque en sus distintas secciones sólo existen momentos flectores (flexiónpura), como cuando éstos están acompañados de esfuerzos cortantes (fle-xión simple) se han realizado los análisis de tensiones (tema 8) y deforma-ciones (tema 9), quedando pendiente el estudio de los problemas hiperes-táticos, que abordamos en este capítulo, mientras que en los tres siguientescompletaremos el estudio de las barras prismáticas sometidas a solicitacio-nes simples así como el análisis de tensiones y deformaciones en las mis-mas, cuando están sometidas a una combinación de solicitaciones: solici-taciones combinadas o compuestas.

Antes de estudiar los distintos casos de vigas hiperestáticas exponemos, enforma breve, aquéllos casos de piezas sometidas a flexión, en que ésta no seproduce en uno de los planos principales de inercia de la pieza (flexión desvia-da o asimétrica) y a los que nos hemos referido al comienzo del capítulo 8.

10.2. FLEXIÓN DESVIADA O ASIMÉTRICA

Una sección de una barra prismática está sometida a flexión asimétricacuando el momento resultante de la solicitación que actúa a un lado u otrode dicha sección, está contenido en su plano y no está dirigido según unode los ejes principales de inercia. Si la resultante de dicha solicitación esnula, la sección está sometida a flexión asimétrica pura (figura 10.1) mien-tras que si dicha resultante está contenida en el plano de la sección, éstaestá sometida a flexión asimétrica simple (figura 10.2).

Este último caso es, en realidad, superposición de los indicados en lasfiguras 10.3 y 10.4, correspondientes a flexión simple alrededor de los ejesz e y, respectivamente.


y

z

z

y

xo

S

F3

F1

F2

AMz

Cy

y

z

z

y

xo

SF1

F2

A

F3

Cz

My


y

z

z

y

o

F3

F1

F2

AMz

M SMy

x

y

z

z

y

xo

SF1

F2

A N

F3

MzCz

Cy

My


394

En el análisis de tensiones y deformaciones originadas en la flexión asi-métrica supondremos que la barra es una viga recta (figura 10.5) y que estácargada en un plano longitudinal no coincidente con los planos principalesde inercia de la pieza (planos xy, xz en la viga de la figura 10.5), represen-tándose en la figura 10.6 su sección transversal, que supondremos constan-te en toda la longitud de la pieza. En dicha sección1, la línea s-s representala traza del plano de carga y forma un ángulo a con el eje y-y.

Se admite, como en el estudio de la flexión simétrica, que las seccionesse mantienen planas (hipótesis de Bernoulli) y que el material cumple la leyde Hooke, por lo que puede aplicarse el principio de superposición.

En una sección a distancia x del extremo derecho de la viga (figura10.5), el momento flector es M = Px, siendo sus componentes:

[10.1]M Px

M Px sen

z

y

= ⋅

= ⋅

cosα

α

Figura 10.5. Figura 10.6

P

x

z z

D C

s n

y

ns

BA

y

y

P90o-αα

β

y

z

FLEXIÓN ASIMÉTRICA Y FLEXIÓN HIPERESTÁTICA

395

1 El estudio es válido para cualquier tipo de sección transversal, aunque, para mayor sencillez, seha representado la rectangular.

La tensión normal longitudinal, sx , es:

[10.2]

No es necesario realizar una discusión sobre los signos de los sumandosde la expresión [10.2], ya que la consideración de la deformación de la piezapermite conocer fácilmente en qué zonas de la sección se suman o restanlas tensiones, tanto en tracción como en compresión.

La ecuación de la línea neutra, lugar geométrico de los puntos en que latensión es nula, se obtiene igualando a cero la expresión [10.2]:

[10.3]

La línea neutra es, por tanto, una recta que pasa por el origen de coor-denadas (c.d.g. de la sección), formando un ángulo b con el eje z, de formaque:

[10.4]

En general Iz Iy , por lo que los ángulos a yb son distintos, lo que se tra-duce en que la línea neutra n-n (figura 10.6) no es ortogonal al plano decarga, por lo que éste no coincide con el plano de la elástica, perpendiculara aquélla. Esta es la razón por la que la flexión asimétrica se llama tambiénflexión desviada.

Conocida la posición de la línea neutra, los puntos más cargados son losque están más alejados de la misma que, en el caso de la figura 10.6, son B(tracción) y D (compresión).

En el dimensionamiento o comprobación de la sección resistente se uti-lizarán las expresiones:

[10.5]σ α α σmax max

cos= +

≤M

I

sen

Iz y

adm

tgy

z

I

Itgz

y

β α= − =

y

I

z sen

Iz y

⋅ + ⋅ =cosα α0

σ α αx

z

z

y

y z y

M y

I

M z

IPx

y

I

z sen

I= + = ⋅ + ⋅

cos


396

si se utiliza el procedimiento «clásico» de cálculo ó

[10.6]

cuando se sigue el método de coeficientes de mayoración de cargas, y deminoración de la resistencia del material gm .

Por lo que se refiere a las tensiones tangenciales originadas por losesfuerzos Cy y Cz (figuras 10.3 y 10.4), vienen dadas por las expresiones:

[10.7]

m y m' son los momentos estáticos de las áreas rayadas en la figura 10.7(correspondiente a una sección de forma cualquiera), respecto de los ejes ze y, respectivamente, mientras que b y b' se indican en la misma figura.

Para el cálculo de las deformaciones se utiliza también el principio desuperposición, por lo que obtendremos flechas y giros originados tanto porMy como por Mz (las deformaciones originadas por los esfuerzos cortantes Cy,

τ

τ

xy

y

z

xz

z

y

C m

bI

C m

b'I

=

=

γ α α σγc

z y

e

m

MI

sen

I·

cosmax +

≤


397

Figura 10.7

n

n

zz

b

b

y

y

s

s

α

β

Cz son muy pequeñas y se desprecian en la mayor parte de los casos), reali-zando posteriormente su composición vectorial. Por ejemplo, la flecha total,en una sección cualquiera de una viga sometida a flexión asimétrica es:

[10.8]

obteniéndose fy y fz por cualquiera de los métodos expuestos en el estudiode la flexión simétrica2.

10.3. CASOS PRÁCTICOS DE FLEXIÓN ASIMÉTRICA

La solicitación de flexión asimétrica se presenta con frecuencia en lasaplicaciones prácticas, siendo los casos más importantes los correspon-dientes a las correas de cubierta o cerramiento en naves industriales y lasvigas carril de puentes-grúa.

a) Correas.

Reciben este nombre las vigas que sirven de apoyo al material de cubier-ta (figura 10.8) o de cerramiento (figura 10.9) que están dispuestas(«corren») longitudinalmente y que se apoyan, unas y otras en la estructu-ra principal del edificio. Las correas pueden calcularse como simplemente

f f fy z= +2 2


398

b

h

VIGAS CORREA

α

Figura 10.8

2 Es fácil comprobar que el plano de deformación no coincide con el plano de carga como sí ocua-rre en la flexión simétrica.

apoyadas en dos pórticos o armaduras de cubierta sucesivas, aunque esmás usual considerar que se trata de vigas continuas, apoyadas en varios deellos, con o sin articulaciones intermedias. (El estudio y cálculo de las vigascontinuas se expone en este mismo capítulo, epígrafe 10.6).

La existencia de flexión desviada hace aconsejable alejar, en lo posible,el área resistente de la línea neutra, por lo que las secciones transversalesidóneas son la corona circular (figura 10.10), cuando My=Mz y el tubo rec-tangular (figura 10.11), es el caso, más frecuente, Mz>My.

y

y

z z

y

zz

y

cerramiento

correasde fachadasoporte

Figura 10.9


399


Sin embargo, en la práctica constructiva es más usual el empleo de per-files laminados (I, U), adoptando las medidas necesarias que permitan dis-minuir el efecto de la flexión alrededor del eje y—y, de menor rigidez.

En la figura 10.12 representamos una correa dispuesta a lo largo de unfaldón de cubierta, con una inclinación a, sometida a carga vertical distri-buida, p.

Ya que los perfiles I tienen poca rigidez respecto al eje y—y, debe dis-minuirse el efecto del empuje lateral pz. Esto puede hacerse a través delmaterial de cubierta, si puede soportar esfuerzos de tracción (por ejemplola chapa metálica), transmitiéndolo a la correa cumbrera (figura 10.13),que deberá soportar, además de la carga vertical que le corresponda losesfuerzos F y F', resultantes de los empujes correspondientes a ambos fal-dones de la cubierta.

Cuando el material de cubierta no puede soportar esfuerzos de tracciónse recurre a transmitir los mismos a la cumbrera a través de varillas oredondos metálicos, de diámetro F, de forma que, en la dirección z, lascorreas están apoyadas en más puntos, con lo que las tensiones y deforma-ciones alrededor del eje y son mucho menores. En la figura 10.14 se repre-senta esta solución, indicándose también la disposición de los redondossuperiores que conducen el esfuerzo a la estructura principal (armadura decubierta o pórtico), descargando la correa cumbrera.

Como puede verse en esta última figura, los redondos o varillas se des-plazan entre sí ligeramente en tramos contiguos para poder realizar ade-cuadamente la labor de atornillado de los mismos al alma del perfil.

y

y

z

zPz

α α

PyP

z z

y

y

F’F

α



400

Si se trata de correas de fachada, para las que habitualmente se elige elperfil metálico U y que están sometidas, principalmente, a la acción delviento (figura 10.15), se transmite el esfuerzo de la misma forma a la máselevada, por lo que deberá ser reforzada.

Figura 10.15

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

Figura 10.14


401

b) Vigas carril de puente grúa

Los caminos de rodadura de los puentes-grúa deben diseñarse comosometidos a flexión desviada, pues además de a la carga vertical derivadadel peso de puente y carro, pueden estar sometidos al esfuerzo horizontalde frenado de este último como se indica en la figura 10.16.

Aunque pudiera disponerse para las vigas carril una sección tubularcomo la indicada en la figura 10.11, es habitual utilizar perfiles metálicosH, de mayor rigidez transversal o utilizar una sección compuesta a partirde un perfil I y un perfil U, dispuestos como se indica en la figura 10.17, enla que la cabeza superior, sobre la que actúa el esfuerzo de frenado tieneuna gran rigidez en dirección transversal.

10.4. VIGAS HIPERESTÁTICAS. GENERALIDADES

Abordamos, a continuación, el estudio de aquellas vigas en las que lascondiciones de sustentación determinan un número de incógnitas de reac-ción mayor que el de ecuaciones de equilibrio de la Estática, que por lo

y

z

y

y

y

z zG


402


general serán sólo tres, al suponer que las cargas son coplanarias con el ejede la barra, actuando por tanto, según uno de los planos principales de iner-cia de la misma.

El procedimiento de cálculo, que aplicaremos inicialmente a vigas de unsolo tramo entre apoyos, consiste en suprimir los enlaces en exceso (quesustituiremos por las reacciones incógnita), obteniendo, de acuerdo con elprincipio de superposición, una viga isostática equivalente, en la que lasdeformaciones serán iguales a las de la viga hiperestática inicial. Las ecua-ciones que permitan, junto con las de equilibrio estático, la determinaciónde las reacciones en los vínculos, se obtienen a partir de las condiciones dedeformación (desplazamientos y giros) en los enlaces suprimidos.

Como se pone de manifiesto en muchos casos prácticos, cuando losmecanismos de apoyo, definidos en el capítulo 5, no impiden completa-mente los movimientos de los puntos en los que se aplican, para lo que hansido diseñados, dan origen a modificaciones en las leyes de momentos flec-tores y esfuerzos cortantes en las vigas hiperestáticas en las que están situa-dos. Así (figura 10.18), un apoyo articulado móvil puede sufrir un descensoD como consecuencia de la falta de rigidez del elemento (soporte o muro)que lo sustenta. Lo mismo puede ocurrir en un apoyo articulado fijo o enun empotramiento. (Este último puede experimentar también un ciertogiro j como se indica en la figura 10.19).

α

α

x

y

y

∆


403


Para el cálculo de las incógnitas hiperestáticas, a partir de las condicio-nes de deformación en los vínculos, aplicaremos los métodos ya estudiadospara el cálculo de desplazamientos y giros, principalmente los teoremas deMohr y la viga conjugada.3

10.5. VIGAS HIPERESTÁTICAS DE UN SOLO TRAMOENTRE APOYOS

Estudiamos, seguidamente, para distintos tipos de carga, varios casosde vigas hiperestáticas, con distinta sustentación en sus extremos (si exis-ten voladizos, se sustituyen por la resultante y el momento resultante de lascargas que sobre ellos actúan, situados sobre el apoyo inmediato).

10.5.1. Viga sobre dos apoyos articulados fijos

En la figura 10.20 representamos una viga con este tipo de sustentación,sometida a carga uniformemente distribuida, siendo este caso el más fre-cuente en las aplicaciones.

Al ser los dos apoyos articulados fijos, las reacciones en los mismos ori-ginan cuatro incógnitas, dos por cada uno de ellos. Por razones de simetría,se cumplirá:

[10.9]F � V Vp

V A B= ⇒ = =∑ 02

;l

P kgs/mH A B H

VA VB

f


404

3 Existen otros procedimientos basados en los teoremas del trabajo interno de deformación y delos trabajos virtuales que se exponen en el texto base de Elasticidad y Resistencia de Materiales II (ter-cer curso de Graduado en Ingeniería mecánica).

Figura 10.20

[10.10]

El problema es hiperestático de grado 1 y la incógnita en exceso es lareacción horizontal H. Para determinarla, consideraremos que la viga enestudio equivale a la superposición de los dos estados de carga que se indi-can seguidamente, (figuras 10.21 y 10.22), suponiendo que el apoyo B esarticulado móvil. La fuerza H deberá impedir el desplazamiento Dl que seindica en la figura 10.23, para el primer caso de carga.

Figura 10.23

A B

–A

B

∆

Figura 10.22

Figura 10.21

A B

P

F � H H HH A B= ⇒ = =∑ 0;

A BH H


405

Para determinar Dl supondremos que la línea elástica correspondiente ala viga de la figura 10.21 es una parábola de ecuación

[10.11]

siendo f la flecha en el centro.

La longitud de la elástica es:

[10.12]

Al ser relativamente pequeña podemos escribir, aplicando el desarro-

llo en serie de Taylor, restringido a sus primeros términos:

[10.13]

Teniendo en cuenta [10.11]:


[10.14]

De esta última expresión deducimos:

[10.15]∆ll

=83

2f

'

/

= + + −( )

= +∫2 1

84 4

83

2

42 2

0

1 2 2fx x dx

f

= +

183

2

2

f

dydx

x � �dydx

x2

= −( )

= −( )42

12

822

2

4

f

ll

f

ll;

22

yf lx x

l=

−4 2

2

( )*

�

1 112

2 2

+

≈ +

dydx

dydx

dydx

l l'/ //

= = + = +

∫ ∫2 2 2 12 2

0

1 2 2

0

1 2

0

1

d dx dydydx

22

∫


406

* Consúltese Resistencia de Materiales de S. P. Timoshenko,

Este desplazamiento Dl será impedido por el esfuerzo H, que, en virtudde la ley de Hooke originará un alargamiento Dl.

[10.16]

Igualando las expresiones [10.15] y [10.16], obtendremos:

[10.17]

siendo la expresión de la tensión de tracción adicional:

[10.18]

valor, por lo general, mucho más bajo que el debido al momento flector

máximo .

De acuerdo con lo expuesto, aunque en la práctica constructiva es habi-tual que la sustentación en los extremos de una viga se aproxime a la corres-pondiente a apoyo articulado fijo, las tensiones originadas por la reacciónhorizontal H no se tienen en cuenta y se hace el estudio como si uno de losapoyos fuese articulado móvil4 (En general consideraremos nulas las reac-ciones horizontales en cualquier viga hiperestática sometida exclusivamen-te a cargas verticales).

Cuando se trata de vigas de gran longitud, como las que se disponencomo largueros en un puente metálico, es necesario realizar uno de los apo-yos como articulado móvil, para evitar los efectos desfavorables originadosal impedirse las dilataciones térmicas y otros movimientos horizontales delos extremos de la viga.

∆ll

=HES

Mp

max

2

= l8

σ'=HS

E8f3

2

2=l

H=ES8f3

2

l2


407

4 Si sobre la viga actuasen esfuerzos en direción longitudinal se supone que las reacciones hori-zontales son iguales en ambos apoyos.

10.5.2. Viga apoyada en un extremo y perfectamente empotradaen el otro

Para mayor sencillez supondremos que el extremo apoyado es articula-do móvil, por lo que el grado de hiperestaticidad es uno, ya que el númerode incógnitas es cuatro (tres en el extremo empotrado y una, la reacciónvertical, en el apoyo móvil), mientras que el número de ecuaciones de laestática es tres:

Cuando las cargas son verticales el número de incógnitas se reduce atres (las dos reacciones verticales y el par de empotramiento en el extremoempotrado), reduciéndose asimismo el número de ecuaciones a dos:

Estudiemos el caso representado en la figura 10.24, correspondiente auna viga con carga uniformemente distribuida p, con apoyo articuladomóvil en el extremo A y empotrada en el extremo B.

En la figura 10.25 se representa la viga equivalente, sustituyendo elapoyo A por la reacción incógnita X, que determinaremos por aplicacióndel 2.º teorema de Mohr, teniendo en cuenta que la tangente a la elástica enB ha de ser horizontal, como se indica en la figura 10.26.

A

p kg/m

B A

x

B

X

P

F � � � Mv∑ ∑= =0 0;

F � � � F � � � � Mv H∑ ∑ ∑= = =0 0 0; ;


408


Llamando Mx al momento flectoren la sección a distancia x del apoyoA, su valor será (figura 10.25):

[10.19]

La distancia vertical desde A hastala tangente en B ha de ser nula, por loque la aplicación del 2.º teorema deMohr, conduce a la expresión:

[10.20]

Es decir:

[10.19]

Conocida la incógnita hiperestática X se pueden establecer las leyes deesfuerzos cortantes y momentos flectores a lo largo de la longitud de la viga:

C8

p p8

p V ;� � � M8

pp2

=p

Bl ll l l ll l

= = = −( ) =3 5 3 2

2

– – – –22

8MB= −( )

C8

p px

M8

p xpx2

� 0 x

C8

p

x

x

2

0

= −

= −

≤ ≤

=

3

3

3

l

ll

l;; � � � M0 = 0

X3

pX=

38

pl l

l3 4

80− = ⇒

Xx –px2

dx Xx3

p2

x4

23

0

3 4

= = −

∫

ll

00

M Xx–px2x

2

=

10EIxM dx=0

zx

l

∫


409

BA

Figura 10.26

A

–

+ B

0,75

C

8p2

38

p3

V A=

8p

5V B

=8

p–

+

Figura 10.27

Figura 10.28

El momento flector es máximo para

En las figuras 10.27 y 10.28 se representan, respectivamente, los diagra-mas de momentos flectores y esfuerzos cortantes de la viga hiperestáticaestudiada.

Para completar el estudio de esta viga hiperestática determinaremos laflecha en la sección central así como el giro en el apoyo A, para lo que uti-lizaremos una vez más, el principio de superposición.

En las figuras 10.29 y 10.30 se representan la viga apoyada AB con cargauniformemente distribuida (se indica también su línea elástica) y su vigaconjugada, respectivamente.

x

Mxpl2

8

A B

A B

ϕ1A ϕ1B

Pkg/m

ϕ1A

M=0,� � para� x=0;� � x4

=3

l

M8

p8

lp2

964

9p128max = =

3 3 2 2

ll l

–

C :x8x =( ) =03

l


410

Figura 10.29

Figura 10.30

Análogamente, las figuras 10.31 y 10.32 muestran la misma viga sometida

al par y su deformada, así como su correspondiente viga conjugada.

El giro en A es: jA=j1A+j2A

La flecha en la sección central es: f = f1 + f2

f =5p384EI1

4

f =MEI EI

p px–

px1

13 2

/ · –21

24 2 2 2 20

=

∫

–– x dx

ϕA=p

48EIl3

ϕ2A2A

BB=

EI=–

1

EI

1 1

2M

M

EI

p

48EI

R

ll l

l l· · – –

1

3 6

3

= =

ϕ1A1A=

EI=

1EI

12

23

p8

p24EI

Rl

l l2 3

=

Figura 10.32

Figura 10.31

M =p8B

l2

MB

ϕ2Bϕ2A

A B

MB

A B


411

10.5.3. Viga perfectamente empotrada en sus extremos

En este caso (figura 10.33) el grado de hiperestaticidad es 3 , ya que haytres incógnitas en cada empotramiento y sólo tres ecuaciones de la estáti-ca, aunque cuando las carga son verticales, sólo hay cuatro incógnitas (sedesprecian las reacciones HA y HB), reduciéndose el grado de hiperestatici-dad a 2 (las ecuaciones de la estática son : SFV=0; SM=0)

Si estudiamos el caso representado en la figura 10.34 correspondiente auna viga biempotrada con carga P centrada, las reacciones verticales son

y los pares de empotramiento MA=MB=m, siendo, por tanto el

grado de hiperestaticidad 1.

Para determinar el momento m descompondremos la viga en las repre-sentadas en las figuras 10.35 y 10.36,

V VP

A B= =2

A

P

B

P2

P2

µ µ


A

P1P2

B

P

A

µ

BP2

P2

µ

f =–MEI EI

M M M2

2 B B =

=– · – · –1

6 212 2 2

13 2

BB

EIp

128EI

2 4

16= –

f=5p384EI

p128EI

2p384EI

p192EI

4 4

– = =4 4


412


representándose en las figuras 10.37 y 10.38 las correspondientes vigas con-jugadas.

En el primer caso, , mientras que del segun-

do deducimos

Por ser A empotramiento perfecto, será:

jA=j1A+j2A=0 [10.22]

[10.23]

Las leyes de esfuerzos cortantes y momentos flectores se representan enla figura 10.39.

Figura 10.39

C=P2

MP P

x

C =P2

� � M =–P8

C

o o

= +

≤ ≤

–

;

lx

l

l

8 2

02

112

12

P2

� � M =–P8

P4

P8

4

= + =

= ⇒ =

;l l l

M xl

0

P2

P2

P8

P8

P8/4

P16EI 2EI

P8

l l l2

0– ;µ µ= =� � �

ϕ2A2A=

R

EI EI 2EI= =– –

12µ µl l

ϕ1A1A=

EI EIP P

EIR

= =1 1

2 4 2 16

2l l l


A B

P4 + A Bµ


413

Las leyes y sus representaciones son simétricas en el resto de la viga.

La determinación de la flecha en la sección central puede hacersemediante el 2.º teorema de Mohr (la tangente a la elástica es horizontal enlos extremos empotrados y también en la sección central):

Aunque hemos sustituido los extremos empotrados por apoyos articula-dos fijos, como se indica en las figuras 10.35 a 10.38, no hemos considera-do las reacciones horizontales H por considerarlas de muy pequeño valor,como se indica en el epígrafe 10.5.1.

10.5.4. Vigas imperfectamente empotradas

Como hemos indicado anteriormente, en ocasiones los empotramientosson imperfectos, permitiendo un cierto giro j. Tal es el caso indicado en lafigura 10.40, en la que sus extremos A y B experimentan giros jA, jB.

El procedimiento de cálculo es el mismo que el seguido en el apartadoanterior, descomponiendo la viga en los casos de carga indicados en lasfiguras 10.41, 10.42 y 10.43, cuyas vigas conjugadas se representan en lasfiguras 10.44, 10.45 y 10.46.

Figura 10.40

P1

BA

ϕA

P2

x

ϕ B

P

2

1µBµA

2

1

VA VB

f=1

EIMx� dx=

p px x� dx=

1

EI

p– –

l

8 200

11

12

+

∫∫

ll

l l l

8 2 6

16 4 6 8

x px

f=1

EI

p p

2 3

0

2 3

12

+

+

–

=

p

EI

l3

192


414

Las ecuaciones complementarias para la resolución de este problemahiperestático (de grado 2) son análogas a la expresión [10.22]:

[10.24]

De la figura 10.44 deducimos:

[10.25]

En estas expresiones D es el momento estático del área del diagrama demomentos flectores isostáticos respecto del apoyo derecho B, mientras queY es el momento estático de dicha área respecto al apoyo izquierdo A.

En cuanto a los ángulos j2A, j2B, j3A, j3B, se obtienen a partir de las vigasconjugadas representadas en las figuras 10.45 y 10.46.

[10.26]

ϕ ϕ1Az

1Bz

DEI

� �YEI

�= =l l

;

A BµA

ϕ3A ϕ3B

B

ϕ2A

µA

A

ϕ2BP1P

BA

α1A

l

P2

xα1B

VA VB


A B

µA

B

µA

A

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

A 1A 2A 3A

B 1B 2B 3B

= + +

= + +

ϕ µµ

ϕ µ

2Az

AA

z

3Az

B

1EI 3EI

1EI

= =

=

ll l

l

ll

12

23

12

· ·

· ·113

12

13

ll

ll l

l

=

= =

=

µ

ϕ µµ

ϕ

B

z

2Bz

AA

z

3B

6EI

1EI 6EI

· ·

11EI 3EIz

BB

zll l

l12

23

µµ

· · =


415


En otras ocasiones, se producen descensos verticales (asientos) desigua-les en los extremos de una viga biempotrada (figura 10.47) o apoyada-empo-trada (figura 10.48), que dan origen a una flexión adicional a la originadapor las cargas que puedan actuar sobre las mismas. Esta flexión se pone demanifiesto en ambas figuras, en las que se indica la forma que debe adop-tar la línea elástica correspondiente.

µ

µ

26

2

∆µ µ

2µ

VB=

2µVA=

ϕ

A∆

B

ϕ

A B

∆

VA

µA

VB

A B∆


416


Figura 10.49

Figura 10.50

Figura 10.51

Para el estudio del primero de los dos casos considerados aplicaremos

el principio de superposición, considerando que es equivalente al giro sin

deformación de la viga (figura 10.49) al que se añaden los pares m, (figura

10.50) que corrigen los ángulos girados por las secciones extremas.

En la figura 10.51 se representa el diagrama de momentos flectorescorrespondiente a este último estado de carga.

El valor del par m se determina utilizando el 2.º teorema de Mohr:

[10.27]

De donde:

[10.28]

En el caso representado en la figura 10.48, procediendo análogamente,se llega a la expresión:

[10.29]

1.6. VIGAS CONTINUAS

Recibe el nombre de viga continua aquélla que se sustenta sobre más dedos apoyos, por lo que se trata de una viga hiperestática de varios tramos.

A

1

B

2 3 4

F1 F2 F3 F4 F5 F6

C DE

µ =Α3

2

EIz∆l

∆ = µ µ µ1 12 2 3 2

12 2 6

2

EI 6EIz

l l l l l l+

=–

zz

ϕ =∆l

µ =6

2

EIz∆l


417

Figura 10.52

La sustentación más sencilla, para una viga de n–1 tramos y n apoyos,es la indicada en la figura 10.52, un apoyo articulado fijo y n–1 apoyos arti-culados móviles.

Para esta sustentación el grado de hiperestaticidad es n–2, ya que elnúmero de incógnitas es 2 (apoyo articulado fijo) + (n–1) (apoyos articula-dos móviles)= n+1, mientras que el número de ecuaciones de la estática es3. Así:

G.H.=n+1–3=n–2 [10.30]

En el caso, frecuente, de que las cargas sean exclusivamente vertica-les el número de incógnitas es n (reacciones verticales en los apoyos),pero también se reduce a 2 el número de ecuaciones de la estática, nosiendo de aplicación SFH=0, por lo que el grado de hiperestaticidad es,también, n–2.

El grado de hiperestaticidad será mayor, como veremos, en el caso enque en los extremos de la viga se dispongan apoyos empotrados.

La utilización de vigas continuas es ventajosa respecto a la de vigas apo-yadas independientes, porque, como deducimos seguidamente, están some-tidas a menores momentos flectores que estas últimas a igualdad de longi-tudes y cargas, siendo también menores las deformaciones (giros y flechas)en aquéllas.

En comparación con otras vigas hiperestáticas, en las vigas continuasno tienen influencia las variaciones de temperatura ya que los apoyos arti-culados móviles permiten el deslizamiento (alargamiento o acortamiento)producido por las mismas; en cambio, al igual que aquéllas, son sensibles alos asientos diferenciales entre sus apoyos, a los que nos hemos referido enel apartado anterior.

10.6.1. Ecuación de los tres momentos

Consideremos dos tramos sucesivos de longitud ln y ln+1 de una viga con-tinua (figura 10.53). Al ser una única barra la viga indicada, su línea elásti-ca ha de ser representada por una función continua, y=f(x) así como su pri-


418

mera derivada, por las razones indicadas en el tema 95, cualquiera que seala posición del origen de coordenadas y el sentido positivo del eje x cuyadirección coincide con el eje de la pieza.

Precisamente esta condición de continuidad de la deformada y de suprimera derivada es la que da origen a la denominación de vigas continuasy no la característica de «continuar» de unos apoyos a otros.

De acuerdo con lo expuesto, en el apoyo n de la viga continua de la figu-ra 10.53, la tangente a la línea elástica es única, determinando ángulosen los dos tramos adyacentes, iguales en valor absoluto. Para determinarestos ángulos supondremos aislados los tramos ln y ln+1, sometidos a lascargas directamente aplicadas sobre los mismos y a los pares Mn–1, Mn, Mn+1,que supondremos producen flexión positiva, tal y como se indica en lasfiguras 1.54 y 1.55.

Mn+1

n

F

Mn

n+1


n–1

F2

MnMn–1

F1

n

αn+1n–1 n n+1

F2

n+1n

βn

F1 F3


419

5 En caso contrario el eje de la barra estaría cortado o la viga presentaría un punto anguloso, parael cual M=

Figura 10.53

Los valores de los ángulos bn y an+1 se obtienen por superposición de loscorrespondientes a los casos de carga representados en las figuras 10.56 y10.58 (tramo ln) y en las figuras 10.57 y 10.59 (tramo ln+1). (En todas estasfiguras se representan además los correspondientes diagramas de momen-tos flectores).

De acuerdo con los criterios de signos establecidos el ángulo bn tendrásentido positivo, ocurriendo lo contrario con el ángulo an+1. La condición decontinuidad exige que se cumpla la relación:

bn + an+1=0 [10.31]

α'n+1

F3

n+1nβ'n

F2

n–1 n

F1

+


Mn Mn+1+

Mn+1Mnn

n+1

αn+1

Mn

Mn–1Mn

Mn–1

n–1 n

+

βn



420

De las figuras 10.56 y 10.58, deducimos:

[10.32]

En la primera de las expresiones [10.32] Yn tiene el significado indicadoen el epígrafe 10.5.4, mientras que en la segunda Mn–1 y Mn son los momen-tos en los apoyos n–1 y n, cuyos valores son desconocidos y cuya determi-nación permite resolver el problema hiperestático planteado.

El ángulo total bn será la suma de los ángulos b'n y b''n:

[10.33]

Procediendo análogamente en el tramo ln+1, obtendremos para los casosde carga representados en las figuras 10.57 y 10.59:

[10.34]

teniendo igualmente Dn+1 el significado indicado en el epígrafe 10.5.4.

El ángulo total an+1 es, pues:

[10.35]

Aplicando la ecuación 10.31 y simplificando, obtenemos:

[10.36]

β =

β =

n' n

n z

n''

n zn n n n n

YEI

1EI

M M

l

ll l l

12

13

12

231– + lln

β =nn

n z z

n n n nYEI EI

M 2Ml

l l+ +

16 6

1–

α

α

n' n+1

n+1 z

n+1''

n+1 zn n+1 n+

DEI

1EI

M

=

=

l

ll l

12

23 11 n+1 n+1 n+1M+

12

23

l l

αn+1n+1

n+1 z z

n n+1 n+1 n+1DEI EI

2M M=

l

l l+ +

1

6 6

M 2M MY D

n–1 n n n n+1 n+1 n+1n

n

n+1

n+1

l l l ll l

+ + =+( ) +–


421

La expresión 10.36 es la formula de los tres momentos o ecuación deClapeyron, científico francés que la obtuvo por primera vez.

Aplicando la ecuación de los tres momentos n–2 veces a tres apoyos con-secutivos obtendremos las ecuaciones necesarias para resolver la hiperes-taticidad de la viga continua.

En la deducción de la fórmula de Clapeyron hemos considerado que la vigatiene sección constante en todos sus tramos; en caso contrario habría que sus-tituir en las expresiones 10.33 y 10.35 Iz por Izn e Izn+1, respectivamente.

Si, como ocurre en general para cargas verticales, se obtienen valoresnegativos de los momentos en los apoyos, ello significa que tienen sentidoscontrarios a los supuestos.

10.6.2. Asientos desiguales de los apoyos

También en el epígrafe 10.5.4. hemos indicado el efecto de flexión adicio-nal que produce el asiento diferencial entre los apoyos extremos de una vigahiperestática. En este apartado estudiamos el efecto producido por los movi-mientos verticales desiguales de los apoyos de una viga continua; para ellovolvemos a considerar los dos tramos sucesivos de longitudes ln, ln+1 , de laviga continua de la figura 10.53, suponiendo que están descargados y que losapoyos n–1, n, n+1 sufren descensos desiguales hn–1, hn, hn+1 (figura 10.60).

Como consecuencia de estos descensos verticales, en el tramo de vigaln se produce un giro de sus secciones extremas, negativo como se indicaen la figura 10.61, siendo su valor:

[10.37]β =n''' n n–1

n

h h–l

Figura 10.60

n–1

n–1 n

hn

n–1

hn–1


422

Análogamente, las secciones extremas del tramo de viga ln+1, experimen-tan un giro a'''n+1 , cuyo valor es (figura 10.62):

[10.38]

Cuando los asientos desiguales de los apoyos se presentan a la vez queactúan las cargas exteriores, los ángulos totales girados en los apoyos n,n+1 serán, en virtud del principio de superposición:

[10.39]

Sustituyendo en la ecuación [10.31] y teniendo en cuenta las expresio-nes de los distintos sumandos de bn y an+1 se obtiene, después de simplifi-car, la ecuación:

[10.40]

que es la expresión generalizada del teorema de los tres momentos.

M M M

Y D

n–1 n n n n+1 n+1 n+1

n n+1

l l l l

l ln n

+ +( ) + =

= +

2

6–++ +

1 1

6––

–EIh h h –h

zn+1 n n n+1

l ln n

β β + β + β

α α + α + α

n n'

n''

n'''

n+1 n+1'

n+1''

n+1'''

=

=

αn+1''' n+1 n

n+1

h h=

–l

hn–1 hn

n–1 n

n

ββ

hn–1

hn

n+1

n+1

n

αn+1

αn+1


423


10.6.3. Apoyos extremos de la viga continua

La aplicación de la fórmula de los tres momentos a tres apoyos sucesi-vos se simplifica cuando uno de los apoyos está situado en un extremo dela viga, pues el valor del momento correspondiente será nulo, salvo que seaconocido como en el caso de que esté aplicado un par exterior en dicha sec-ción o cuando se trata de vigas con voladizos (figura 10.63). En este últimocaso se sustituyen los voladizos por su acción sobre el resto de la viga: unesfuerzo cortante que se traslada al apoyo y no interviene en la flexión delos distintos tramos y un momento cuyo valor y sentido pueden determi-narse en cada caso.

Así, en la viga de la figura, los pares M0 y M3 valen:

[10.41]

Por lo que puede sustituirse la viga por la indicada en la figura 10.64

p kg/m

1

1 2 3

20 3

M0 M3

2 3

b3

1021a

M Pp

M Pp

o

3

=

=

1

2

2

2

2

2

aa

bb

–

– –


424

Figura 10.63

Figura 10.64

Si los extremos de la viga son apoyos empotrados, son necesarias nue-vas ecuaciones que pueden obtenerse de la condición de que el ángulo gira-do por las secciones extremas ha de ser nulo. Así, en la viga de la figura10.65 se cumplirá:

[10.42]

En las expresiones [10.42], D1 e Y3 tienen el significado conocido y M0,M1, M2 y M3 son los momentos en los apoyos. Las ecuaciones [10.42] sonconocidas, por algunos autores, como expresiones del teorema de los dosmomentos.

1.7. VIGAS GERBER

Las vigas continuas con articulaciones intercaladas entre los apoyos reci-ben el nombre de vigas Gerber, en honor del ingeniero alemán que las ideó.

Como ya sabemos una articulación es un dispositivo que, situado en unasección de una viga, permite el giro de la pieza, por lo que el momento, res-pecto de dicha sección, de las cargas y reacciones situadas a un lado u otrode la misma es nulo, lo que constituye una condición de equilibrio.

Puesto que, en general, una viga continua de n apoyos es hiperestáticade grado n–2, situando n–2 articulaciones obtenemos las n–2 ecuacionesnecesarias para que el problema sea isostático. Así, en el caso de la viga

0D

+26

M +16

M

0Y

+16

M +26

M

0 1

2 3

=

=

1

11 1

3

33 3

ll l

ll l

p kg/m

O1

3

1 2 3

2


425

Figura 10.65

continua de 6 apoyos de la figura 10.66, será necesario disponer 6-2=4 arti-culaciones para que el problema sea isostático.

La distribución de las articulaciones no puede ser arbitraria, ya quedebe impedirse que la viga sea geométricamente deformable. Por lo gene-ral se dispone una o ninguna en los tramos extremos, situándose dos o nin-guna en los tramos intermedios en forma alternada.

En las figuras 10.67 y 10.68 se muestran dos disposiciones correctas delas articulaciones para la viga de 6 apoyos considerada.

Una adecuada colocación de las articulaciones permite igualar losmomentos flectores negativos máximos (correspondientes a los apoyos)con los máximos momentos positivos que se producen en los tramos, conlo que el efecto de la flexión es mínimo, lo que permite reducir la secciónde estas vigas continuas, siendo ésta la principal ventaja de la utilización delas vigas Gerber que, además, no se ven afectadas por los posibles asientosdesiguales de sus apoyos por ser vigas isostáticas.

Por ejemplo, en la viga representada en la figura 10.69, se elige la posi-ción de la articulación A de forma que el momento flector negativo en elapoyo 2 sea igual al momento flector máximo positivo en el tramo 2–3.

Figura 10.68

Figura 10.67

Figura 10.66

1

2 3 4 5 6


426

La articulación A que convierte la viga continua en isostática, transmitetanto esfuerzos cortantes como esfuerzos normales (caso de existir éstos),anulando el momento flector, por lo que el tramo A–3 se comporta como side una viga biapoyada se tratase, mientras que el tramo 1–2–A es una viga

biapoyada con un voladizo 2–A, sometida a la carga p y a la cargaen el extremo (figura 10.70)

Por tanto:

[10.29]

De donde a1=0,1716 l

p

3A

P(–a1)2

A

P(–a1)

2p

a1

21

Figura 10.69

l l

l–a1a1

1 23

P

A

p p p2

l a l aa

a

l a a l la

– –

– –

1

2

11

12

212

1 1

8 2

2 4

( )=

( )+

+ = 44 4

6 0

12

12

12

12

a a

a a l l

+

+ =–

p l a– 1

2( )


427

Figura 10.70

Conocido el valor de a1 puede obtenerse el valor del momento máximo,que será el más pequeño posible al haberse igualado los valores extremospositivo y negativo.

En las estructuras metálicas las vigas Gerber se han empleado durantemuchos años como correas de cubierta, aunque su utilización es menor enla actualidad por la importancia de la mano de obra necesaria para realizarlas articulaciones. En cualquier caso, no deben usarse en elementos princi-pales de las estructuras, que precisan una mayor rigidez.


1. Dada la viga indicada en la figura determinar:

1.º Diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores origina-dos por la carga 2P.

2.º Diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores origina-dos por la carga P.

3.º Tensión normal máxima si la viga tiene sección rectangular delados a y h = 2a.

2. La viga de la figura está solicitada por una carga uniformemente dis-

ll

2P

lP

APOYOFIJO

APOYOMOVIL

2P

P h

a


428

tribuida de valor q= 500 kg/m, que forma un ángulo de 30º con el plano xyde la viga, como se indica en la figura. Se pide:

1.º Diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes.

2.º Perfil IPE necesario. Acero A-42 (se= 2.600 kg/cm2)Coeficiente de mayoración de cargas: gc = 1,5.Coeficiente de minoración de resistencia: ga= 1,1

3.º Flecha en el extremo del voladizo (E = 2,1 x 106 kg/cm2)

3. Para la viga prismática de la figura, se pide determinar:

a) Reacciones en los apoyos.

b) Diagrama de esfuerzos cortantes.

c) Diagrama de momentos flectores,

d) Flecha en el punto C.

Considérense datos tanto E como I.

A C B D

P (kg/m)

l/2 l/2 l/2

y

q = 500 kg/m

xl = 4 m

y

z

q30o


429

4. Determinar en la viga de acero de la figura:

a) Diagrama de esfuerzos cortantes.

b) Diagrama de momentos flectores.

c) Perfil IPE de la viga.

d) Flecha bajo el punto de aplicación de la carga

Datos se = 2.600 kg/cm2; gc = 1,5 (coeficiente de mayoración de cargas);ga = 1,1 (coeficiente de minoración de resistencia); E = 2,1 x 106 kg/cm2.

5. La viga de la figura está sometida a dos pares de valor M y 2M en lassecciones C y D. Se pide:

a) Diagrama de momentos flectores.

b) Diagrama de esfuerzos cortantes.

c) Giro en la sección A

Considérese como dato el módulo de rigidez a flexión, EI

6. La viga continua de la figura esta constituida por un perfil de aceroIPN-160. La carga distribuida en la viga es de 6000 kg/m; Determinar:

a) Diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes (acotadosen esfuerzos y longitudes). Tómese E= 2.100.000 kg/cm2.

A B

M 2M

C D

/3 /3 /3

AB

1,2 m

2.600 kg

0,6 m


430

b) Obtener también dichos diagramas cuando el apoyo central descien-de 15 mm.

7. En la viga continua de la figura, de sección constante, rigidez a fle-xión EI conocida, y cargada como se indica, se pide:

a) Valor que debe tener P para que el momento flector en el puntomedio del tramo BC sea nulo.

b) Diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes acotandosus valores para el valor de P calculado.

8. Dada la viga hiperestática de la figura, sometida a las cargas que seindican, se pide:

a) Diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes.

b) Giro de la sección B.

c) Flecha en D.

BA D E C

P Pa 2Pa

a a a a

A

/2 /2 /2 /2

B C D

P Pq

A B

4 m

C

4 m


431


1. Solución. 1º) VA×3l=2P× 2l ;

2.º) HA·3l=P·l ; HP

;� � HP

A B= =3

23

M

4Pl3

2Pl3 M

P

3� � M

P

32

4 2l l

l l' ';= =

C4P3

2P3

+–

MP

x'

CP

x'M ;� � Mx

x

o'

'

' '

–

=

=

≤ ≤=

2323

0 20 2

ll ==

= =

4

22

P3

C CP3o

l

l' ' –

M Px

C Px

M ;� � MP3

C C

x

x

o

o

=

=

≤ ≤= =

=

4343

00

4

l

ll

ll =

4P3

A BC

2VBVA

2Px x

V P;� � VP

A B= =4

3

4

3


432

Px

l

A BD

2lHBHA

x

C

P3 2P

3

+–

M

2P3

P3

C HP

MP

x

xC

P

3

M � � M

x A

x

o

o

= =

=

≤ ≤= =

= =

3

3

0 2

0

2

2

lC l

l;22P3

MP

3

l

ll

= –

C H2P

M2P

x'

x'

C2

x'

B

x'

o' '= =

=

≤ ≤= =– –

3

3

0 l

Cl

PP3

M � � MP3o

' '= =

0

2; l

l

3.º) Las tensiones de tracción producidas por losmomentos flectores se suman en el punto 4 (seccióntransversal); lo mismo ocurre para las tensiones decompresión en el punto 2.

Haremos las correspondientes superposiciones enlas secciones C y D de la viga.

• Sección C

a) Cargas verticales:

b) Cargas horizontales:

• Sección D

a) Cargas verticales:

b) Cargas horizontales:

σ σ4 2 4223H

DH2P3

16

H

2P3

26

MW'

� �P' '

·;= = = =

l l

aa al

a33

σ σ4 2 42

3VDV

2P3

16

V

2P3

46

MW'

� �P' ';= =

( )= =

l l

aa a

l

a33

σ

σ

σ σ σ

4 2

4 3

4 4 4

2HCH

P3

16

H

V H

MW'

P

2P

= =

=

= + =

l

a a

l

a

la

·

33 3 3+ =P 3Pla

la

σ

σ

4

4

2

4

4

3

2

23

VCV

P3

16

V

P3

46

MW

P

= =( )

= =

l

l

a

a a

la


433

1 4

32

a

h=2a

; idénticamente se opera en el punto 2.

Por tanto

2. Solución: 1.º) Se trata de un problema de flexión desviada que seresuelve aplicando superposición.

+ +

- -

MAy

AB

VA

qy=250 3kg/m qz=250 kg/m

MAy

A

VAl=4 m

x´

1000 3

2000 3

Cy Cz

My Mz

Bl=4 m

x´

1000

2000

y

y

zzqz

qy

q =q� cos� 30º= � kg/m

q =q� sen� 30º=

y

z

500 32

250 3

50

=

0012

250

250 3 4 1000 3

1000 3 25

·

–

=

× =

� kg/m

V = � kg

C =

A

y 00 3x

�

�

�

σ max = 3Pla3

σ σ σ4 4 4 3' ' '= + =V H

3Pl

a


434

2.º) Los momentos flectores máximos se superponen en el empotra-miento A. La tensión normal máxima es:

Con los datos numéricos:

Probamos IPE–200 Wz=194 cm3; Wy=28,5 cm3

Con IPE–300 Wz=557 cm3; Wy=80,5 cm3

1 52000 3 10

5572000 10

46602 2

,× + ×

=

80,5� kg/ccm � No� válido.2 > 2364

1 52000 3 10

1942600 10

132052 2

,×

+×

=

28,5� kg//cm � No� válido.2 > 2364

1 526001 1

2364,,

M

WMW

� kg/cmAy

z

AZ

y

+

≤ =

σ = +M

WMW

Ay

z

AZ

y

� � �

� � �

�

0 342

2000 32

2

M =25 � mkg

M =–M V x qx

Ay

y Ay A y

× =

+ · –22

3 1000 3250 3

2

4 1000

2

M =–2000 xx

H =250 � kg

C

y

A

+

× =

–

ZZ

AZ

Z

x

M � mkg

M

=

= =

= +

1000 250

25042

2000

2000 100

2

–

– 002

2

x–250x


435

Con IPE–400 Wz=1160 cm3; Wy=146 cm3

Con IPE–450 Wz=1500 cm3; Wy=176 cm3

3.º) La flecha será la suma vectorial de las flechas fy y fZ. Aplicando el2.º teorema de Mohr:

f =EI

qx'

x' dx'=1

EIq

f =EI

q

yz

y'

zy

yz

z

12 8

1

2

0

4l l∫ · ·

ll4

6

4

8

110 33740

2 5 3400

80 196f =

2,1� cm

f

y

z

× ×× =, – ,

==2,1

� cm

f= f fy2

z2

110 1680

2 5400

82 2676

4

× ×× =

+ =

, ,

00 196 2 267 2 2752 2. . ,+ = � cm

f fy

fz

dx´ x´

qyx´2

2

1 52000 3 10

15002000 10

20512 2

,×

+×

=

176� kg/ccm �2 < 2364

1 52000 3 10

11602000 10

25032 2

,×

+×

=

146� kg/ccm � No� válido.2 > 2364


436

IPE–450

3. Solución

El problema es hiperestático de grado 1. Resolveremos la hiperestatici-dad, obligando a que sea nulo el desplazamiento vertical del apoyo B.Previamente sustituiremos el voladizo BD por su acción sobre el apoyo B.

(El esfuerzo cortante en B, debido al voladizo, es y no interviene en laflexión del tramo).

Sustituiremos el apoyo B por la reacción hiperestática X.

Las leyes de momentos flectores, avanzando de derecha a izquierda son:

Aplicaremos el 2.º teorema de Mohr, obligando a que la distancia desdeel punto B de la elástica a la tangente a la misma en A sea nula, con lo quese cumple que el desplazamiento vertical de B sea nulo.

0EI

p8

Xx–px

xdxp8

Xx–p

x–2

= +

+ +12 2

2 2

– –l l l l

442

2

0

∫∫ xdxl

l l

Mp8

Xx–px

� 0 x

Mp8

Xx–p

x–4

2

= + ≤ ≤

= +

–

–

l

l l l

l2

2

2

2

2

≤ ≤� xl l2

A

P p2

8

/2 /2

BC

x X

/2/2/2

A

MA

VA

BC D

P P

A

p2

8

/2 /2

BC

p2l


437

La reacción vertical total en B es:

La reacción vertical A será:

El momento de empotramiento en A será:

Mp8

65p128

p2

34

Mp8

65

A

A

+ + +

=

=

– –

–

l ll

l l

l

2

2

0

pp128

3p8

p128

p128

l l l l2 2 2 2

16 65 48+ = + − +( ) = –

V p V p129p128

p128A B= = =l l

l l– –

V65p128

p2

129p128B = + =

l l l

X65p128

=l

2

+p8

x Xx2l– ––

pxdx

p8

x Xx –p

xp

x3

2 2

2 2 8

2 2

+ + +

–l l l

ddx

p8

xX

x3

–p

xp2 3

4

l

l

l

l

l

2

2

2

0

2

0

0

2 8

∫∫ =

+

+– –

ll l l

l

l

l2 2

2

2 6 20

28

xX

x3

–p

xp8

x

p16

2 33

2

+ +

=

–ll l l

ll l

ll l2 3 4

33

33

4 8 16 8 80+

X3

p8

+X3

–X3

p6

p6

– – + =

XX3

p

X3

p384

ll

l

34 1

641

12816

148

6 3 6

= + +

= + +

–

44 8–( ) =65p384

l


438

También puede obtenerse MA, tomando momentos respecto de A detodas las fuerzas exteriores.

Por tanto las reacciones son:

B) y C)

/2

B D

P

A

/2/2

x´p

128

p2

128x

128129p

y

+

-

p128

M0,42

p2

128p2

256

p2

8

p2

65p128

+

–

C

Vp

128� (hacia� abajo)� �

Mp128

� (hacia

A

A

= ↓

=

–

–

l

l2

�� la� derecha)�

V129p

128� (hacia� arriba)�B

→

=l2

↑↑

/2/2/2A

MA

VA

BC D

PM p V

M129p

128p

p

128

A B

A

– · ·

– –

l l l

ll

l

+ =

= + =

0

22

2


439

No se anula. No hay momento máximo relativo.

x= 0,6 l fuera del tramo

x= 0,42 l fuera del tramo

Cp 65p

xpx

== → +08 128 2

02 2 2

– –l l

C65

>= →

0128 2

l l

C –p

Mp

–p

x'

x'2

C

x'

x'

=

=

≤ ≤

l

l l

l128

128 128

02

oo

o

P

Mp

Cp

Mp

=

=

=

=

–

–

l

l

l

l

l

l

128

128

128

256

2

2

2

2

=

=

≤ ≤

= =C py

Mpy

y

C � � My

y

o o

–

;

2

2

02

0l

00

2 8

2 128

2 2

Cp

� Mp

�

Cp 129p

2 2

x

l l

l l

l l

= =

=

– ; –

– ++ = +

=

px65p

px

Mp

+65p

xpx

x

2

–

– –

l

l l

128

8 128 2

2

≤ ≤

= =

=

02

128 8

128

2

x

C65p

;� � M –p

C65p

o 0

2

l

l l

ll

–

– ++ =

= +

p p

Mp 65p p

=p

2

l l

l l l ll

2 128

8 256 8 256

2 2 2 2

–

– –


440

D) Para calcular la flecha en C aplicaremos también el 2.º teorema deMohr.

4. Solución: A) y B) En 1.er lugar habrá que resolver la hiperestaticidad,ya que existen tres incógnitas en los apoyos (MA, VA y VB), con sólo dos ecua-ciones de la estática (SM=0; SFy=0).

MA

VB=X

P·2000 kg

12=1,2 m 6=g 6 mVA

–Pa

P

F1

F2

X

X(a+b) +

fp

6144EIc = + l4

12 9 2– f5p

6144EIc =l4

fEI

p128

p128

x' –x' dxc =

=1

2

2

0

2 l l ll

–∫∫

=

1256 128 128

3 2 2

EIp256

–p

x'–p

x'+p

x'2l l l l

=

=

∫ ·dx'

EIp256

–3p

x'+p

x'2

0

3 2

2

1256 128

l

l l l

=

∫ ·dx'

fEI

p256

x'–3p x'

+p

c

2

0

3 2

2

1256 2 1

l

l l l228 2

12 512 4

0

3 2

2x'

EIp256

–3p

+p

3

2

=

=

l

l l l l l

3384 81

5123

4 5121

8 384

4l l3 pEI

= +

–· ·


441

Aplicaremos el principio de superposición para determinar el desplaza-miento vertical del punto B que igualaremos a cero.

Para determinar f1 y f2 aplicaremos el 2.º teorema de Mohr.

Sustituyendo los datos numéricos.

La reacción vertical en A será:

VA=2600–1348,15=1251,85 kg

El momento del empotramiento MA será igual a:

MA+1348,15·1,8–2600·1,2=0

MA=693,33 mkg, con el signo indicado en la figura.

Las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantes se deducen a con-tinuación:

M M V x=–693,33+1251,85x

C VA A

A

= += =

≤–

,1281 850 xx 1,2

� � � �

≤

� � � �

� � �

� � � �

�

X= � kg3 26001 2 0 8 0 6

21 81348 15

2

3

· · , , ,

· ,,

+( )=

X=

3P b

b

a a

a

2

3

23

2

+

+( )

fEI

P b

fEI

b X b

1

2

= × +

↓

= +( ) +(

1 12

23

1 12

a a a

a a– )) +( ) =+( ) ↑

+ =

+

23

13

0

223

3

2

aa

aa

bEI

Xb

f f

Pb

1 2

=+( )

Xba

3

3


442

P x´

MAVA

1,2 m 0,6 mVB

+

-

1281,85

C 1348,15 kg

-

+

M

693,33 mkg

0,55 m808,89

M � mkg;� � C � kg

M

0 0

1,2

= − =

=

693 33 1251 85

80

, ,

88 89 1251 85, ,� mkg;� � C � kg

M' V x'=1348,15x

1,2

B

=

= ''

C' V =–1348,15x' 0,6

M � � C

B

0'

o'

=

≤ ≤

= =

–

; –

0

0 13448 15

808 89 1348 15

,

, – ,

� kg

M � mkg;� � C � k0,6'

0,6= = gg

M 0 693,33+1251,85x 0

x 0,55� m

= → =

=


443

c) El momento flector máximo es Mmax=808,89 mkg

Se debe cumplir:

Teniendo en cuenta las unidades, será:

Tablas IPE–120

d) Para calcular la flecha pedida aplicaremos también el 2.º teoremade Mohr, ya que en A la tangente a la elástica es horizontal.

E=2,1·106 kg/cm2 ; I (tablas)=318 cm4

Sustituyendo la ley de momentos flectores, teniendo en cuenta las uni-dades queda:

El punto sube.

f=2,1·10

x 120–x6

1

31869333 1251 85

0

120

·– ,+( )( )∫ ddx=

=2,1·10

x–1251,85x6

21

3188319960 219555

·– +(( )

+

∫0

120

1

3188319960 219555

� dx=

=2,1·10

xx

6

2

·–

22 20 21

0

120

–1251,85x

� cm3

= – ,

f=EI

M dx 120–xx

1

0

120

∫ ( )

1 580889 26001 1

1 51 180889

2600

, ·,

, · , ·

W

W

nec

nec

≤

≥ == 51 33, � cm3

γ σγ

c max

nec

e

a

M

W≤


444

5. Solución: a) y b) El problema es hiperestático de grado 1. Para resol-ver la hiperestaticidad sustituimos el apoyo A por la reacción en él, X.

Aplicando el 2.º teorema de Mohr, la distancia desde el punto A de laelástica a la tangente en B (desplazamiento vertical de A) debe ser nula:

0=EI

Xx dx+ Xx–M xdx+ Xx–3M xdx�21

23

3

3

23

( ) ( )∫l

l

l

l

∫∫∫

+

0

0

3

3 3 2

l

l

0= Xx

Xx

Mx3 3 23

– +

l

l

l

l

3

3

3

Xx

Mx3 2

2

233

2–

� �

0=EI

M xdx

M =X·x;� � 0 x

M =Xx–M;� � x

x

x

x

1

3

3

0

·l

l

l

∫

≤ ≤

≤ ≤≤

≤ ≤

23

23

l

llM =Xx–3M;� � xx

/3A

M 2M

B

/3 /3

C D

x

/3

M

B

/3 /3

2M

X

A


445

C

3Ml

+

+

–

M

M

M

M

l/3 l/3 l/3

BM 2M

x

VBVB l/3

A

l/3 l/3

�

l

0= Xx3

30

–– –

– –

Mx

3Mx

XM

2 2

3

3

32 2

3 249

2

2

3 2 2

l

l

l

l

l l l99 2

49

0

3 213 2

59

0

22

=

=

– –

– –

3M

X M 3M

ll

l;; � � X

M 5M3Ml = + =

2 2


446

� X3M

=l

c) Para calcular el giro en A, aplicaremos el 1.er teorema de Mohr:

ϕA x0

0

=1EI

M dx=

=1EI

3Mxdx+

3Mx–M

3

3

l

l l

l

l

∫

∫

22l3

23

dx+3M

x–3M dx =

=1EI

3M

∫ ∫

ll

l

ll l l

l

l

l

x2

+3M x

2–Mx +

3M x2

–2

0

2 23

3

23

33Mx

=1EI

3M x2

23

A

2

0

l

l

lϕ

lll

l

l

l–M x –3M x3

23

23

[ ] [ ]

M3M

x

C3M

x3

M � � C3M

M

x

x

0 0=

=

≤ ≤= =

=

l

l

l l

l

00

3

;

MM;� � C3M

M3M

x–M

C3M

x

x

ll

l

l

l

3

3

=

=

=

≤≤ ≤= =

= =

x

M 0;� � C3M

C M;� � C3M

3

23

3 3

2 23

l l

l

l l

l l

=

=

≤ ≤=M

3Mx–3M

C3M

x

M –M;�x

x

l

l

ll

l

23

23

�� C3M

M =0;� � C3M

23

l

l

ll l

=

=

V =X3M

V =3M

V · 3M+M =

M =3M

3M=0

A

B

A B

B

=

+

l

l

l

ll

–

–

– ·

0


447

6. Solución: a) Para resolveer el problema, utilizaremos la fórmula delos tres momentos:

Cálculo de Yn=YA

q

B

l

A

x dx

ql2

x – q x2

2

M · +2M ·2 +M · =–6Y D

+=M6A B c

n

n

n+1

n+1

l l ll l

l+

EEI

M MA c= = 0

l

l=

1EI

3MA

2

ϕ22

–M3

–3M3

=1EI

3M2

–M3

–M

=M

A

l l l ll

l

ϕEEI

32

–13

–1 =MEI

32

–43

=MEI

9–86

l l


448

ϕA =M

6EIl

Sustituyendo:

Para los datos numéricos dados, es

Para obtener los diagramas consideraremos cada viga por separado:

B

6000 kg/mx

4 m

12000 kg·m

VBA

B

VBA

A

VA

M =– � kg mB

6000 48

120002·

–= ×

M =–q

B

l2

8

4M · =–6·2q

B

q

ll

ll4

243

2= –

Y =q

� ,� por� simetria,� � D Dq

A n+1 C

l l4 4

24 24= =

Y =Y =q

xqx

� dx·x

Y =q

xqx

n A

2

0

A2

3

l

l

l

2 2

2 2

–

–

∫

∫

0

3 4

A

� dx=q x q x

Y =q q

l ll

l l

2 3 2 4

6

0

4

–

–44

4

8

4 3

24=

–ql

V = � kg

V =

A

BA

6000 42

120004

9000

6000 4

2

12000

4

·–

·

=

+ == 15000� kg


449

No es necesario estudiar la viga BC, porque los diagramas serán simé-tricos a los obtenidos en la viga AB.

VA = VC = 9000 kg

VB = 2VBA = 30000 kg

b) Aplicaremos la fórmula de los tres momentos, considerando la vigadescargada y teniendo en cuenta el descenso del apoyo B:

C= x

M=x2

x 4C =

2 o

9000 6000

9000 60000

9000–

–

≤ ≤

�� kg;� � M

C =– � kg;� � M � mkg

M

o

4 4

==

0

15000 12000–

mmax

max

� para� C=0� � x= � m

M

→ =

= ×

90006000

1 5

9000 1

,

,, – ,

;

5 3000 1 5 6750

0 9000 0

2× =

= → =

� kgm

M x–3000x � �2 xx=90003000

m= 3

6000 kg/m

BA C

+ +

–

4 m 4 m

1,5 m

6750 kg·m6750 kg·m

1,5 m 12000 kg m

M

+––

+

1,5 m

C

1,5 m

15000 kg

9000 kg

9000 kg

15000 kg


450

Los diagramas se obtienen, también, considerando cada viga (solo la ABpues para la BC serán simétricos).

M · +2M ·2 M · = EI –h –h

+h –h

A'

B'

C' B A C Bl l l

l l+

– 6

=l 4� m;� � E=2,1·10 � kg/cm ;� � I� (tablas)=936 2� 55� cm � � h =1,5;

h =h =0;� � M =M =0

4M

4B

A C A'

C'

B'

;

·l = 122 2 110 9351 5

12 2

6· , · · ·,

;

· ,

ll� � =4� m=400� cm

MB' =

1110 9351 5

4 40055223 552 23

6

2

· · · ,

·,≈ � kg� cm= � kgm

C'138 +

M'

+552,23

x

l = 4 m

552,23 kg m

BA

V'A V'B


451

Para toda la viga, los diagramas son:

V’A = V’C = 138 kg

V’B = 2V’BA =276 kg

Los diagramas totales se obtienen superponiendo los dos casos:

MB = –12000+552,23=–11447 kgm

VA = VC = 9138 kg; VB = 29724 kg

C= x

M= xx2

x 4C =

2 o

9138 6000

9138 60000

913–

–

≤ ≤

88 0

14862 11448

� kg;� � M

C =– � kg;� � M � kgmo

4 4

==

–

CC=0;� � x= � cm Mmax

91386000

1 523 91381 523= → =, · , – 330001 523 6959

09000 1 5 3000 1 5 6

2

2

· ,

, – ,

=

= × × =

� kg

M 7750

0 9138 0

� kgm

M x–3000x � � x=0;� � x=913830

2= → = ;000

� m= 3 046,

B

6000 kg/mx

11448 kg

A

14862 kg9138 kg

V =V � kg

C'=

M'= xx

A'

BA' = ≈

≤ ≤

552 234

138

138

1380

,

44C = � � kg;� � M

C =138;� � M �o'

o'

4'

4'

138 0

552 23

;

,

=

= kkgm

138138

552,23+

+

M’

C’–


452

7. Solución: a) Aplicaremos la fórmula de Clapeyron o de los tresmomentos, a los apoyos A,B, C:

MA=0, por ser A apoyo extremo sin par aplicado.

• Cálculo de YA

En el tramo AB, el diagrama de momentos isostáticos se representa enla figura y es:

YP

· =P

A =1

2 4 2 16

3

ll l l

·

B

4

P

Pl

A

l

C

C 14862

148629138

9138

69596959

3,046 m 3,046 m

11448

M

6000 kg/m

BA4 m4 m

M · +2M M · = –Y

+D

A B CA Cl l l ll l

+( ) +

– 6


453

• Cálculo de DC

Por simetría MB=MC; por tanto:

Para cumplir la condición de momento nulo en el punto medio deltramo BC, estudiaremos dicho tramo sometido a la carga q y a los paresMB=MC.

El momento flector en el punto medio de BC es :

B C

q MCMB

M=0ql2

8

6

5–→ ll

l l lP q0

q P q

16 24 8

6

5 16 240+

= → +

=–

� �

8qp2

lB C

q

Dq

· =q

C =23 8 2 24

2 4

ll l l

·

2M MP q

5MP

B B

B

· · –

· –

2 616 24

61

2 3

2

l ll l

l l

+ = +

=66 24

6

5 16 24

+

= +

q

MP q

B

l

ll

–


454

b) Estudiaremos los diagramas en los tramos AB y BC.

Tramo AB

BA

qlx

VA VBA

8

ql2

C

+

–– 85 ql

83 ql

+M

8

ql2––34 l

163ql2

C= q q =– q

M= q x–q x–

3

8

5

838 2

l l l

l ll

l–

22

5

8

5

8

≤ ≤x

C =– q ,� � C =– q2

l

l ll l

M=0ql2

865

–→ lll l l

l

P q0

q P q

q

16 24 865 16 24

0+

= → +

=–

88 20680

6

6

5 16 24

– ; –

–

q P� � 10q 4q P

MP q

B

ll l

ll

= =

= +

= –ql2

8

V =q q 3q

8

V =q q 5q

8

C= q

M= q

A

BA

l l l

l l l

l

l

2 8

2 8

3838

– =

+ =

xx

xC = q � C = q �

M =0;� � M

o

o

2

2

≤ ≤02

38

38l

l ll

l

;

==q 2316

l


455

P=6q

ql

l6

=

Tramo BC

Los diagramas conjuntos se dibujan a continuación.

M

–– 8

ql2

8

ql2

––

+

––2

ql

2

ql

C

8

ql2

8

ql2

VBC VCB

B C

V =q

=V

C=q

–qx

M=–q

+q

x–qx

BC CB

2

l

l

l l

2

2

8 2 2

2

00

2

2

8

8

0

2

2

≤ ≤

=

=

=

=

x

C q

C q

M q

M q

0

l

l

l

l

l

l

l

–

–

–

= → =

=

Mq

+q

x–qx

+x

–x

2

2

08 2 2

0

8 2 20

2

2

–

–

l l

l l

M =q

� � M = qq q

M=0 q x–q

2l

ll

l l

l

l

316

38 2 8

38

22

2 2

; – –=

→ lll

l l

l

x– =

x=x– ;� � =x– x=58

x

x=

20

38 2 2

38

2

58

==45l

4x 4 x � � x4 4

Mq

+q

2 22 2

– ;–

–

l ll l l l

ll

+ = =±

=

=

2

2

02

4 2

82

ll l2

4 80–

q 2

=


456

8. Solución: a) Aplicamos el teorema de los tres momentos:

Cálculo de YA y DC.

Tramo AB (isostático)

Y 2 ·P

2· =

P

2A

3

=1

2a

aa

a

B

+

P

A

P/2

Pa/2

P/2 a a

M ·2 +2M 2 +2 +M ·2Y

2

D

2

M =

A B CA C

A

a a a aa a

( ) = +

–6

00;� � M =2PC a

P=ql

C

+

+

+

+– –

+

M

54l

85ql

85ql

163ql2

83ql

83ql

BA

2ql

8ql2

2ql2

––

C

P=ql

D

q


457

Tramo BC (isostático)

Una vez determinado el valor de MB, obtendremos los diagramas demomentos flectores y esfuerzos cortantes estudiando cada viga por separado.

Viga AB

CB

P/2P/2 a a

Pa

Pa/2

Pa/2

+–

D ·P

2+

3+

P

2=

=–P4

C

3

=

+

–1

2

1

2

2

3

113

aa

aa

aa

a

a

+ = +

=

P6

P3

P6

DP6

3 3 3

C

3

a a a

a

–

–

0+8 M +2P ·22

–2

PB

p2

p6

3 3

a a aa a

aa a

=

=– –6 3

12

2 116

=8 � M +4P =–P ;� � 8M =–5P ;� � M5

B2 2

B Ba a a a –PP8

a

VP

2

5P

8·2

P 5P

V3P

16� � V

13P

C=V

A

A BA

= =

= =

– –

;

a

a 2 16

16

AA

A

o

o

3P16

M=V x3P16

x

x

C =3P16

C

M

=

=

≤ ≤

=

·

0 a

a

==0

M =3P16a

x

––

M

3Pa/16

16a/13

5Pa/16

+

C

+13P/16

3P/16

––

VAVBA

85PaP

BA

a a


458

Viga BC

C=V P–13P16

M=3P16

x–P x–

xC =A – =

( )

≤ ≤

a

a aa

2

113P16

C

M =3P16

M6P16

P5P

8

2

2

=

= =

a

a

a

a

aa

a– –

MM3

16x=x– � �

13x16

= ;� � x16

= → =013

a a a;

C

x

VBC

+ 1613P

Baa

85Pa 2PaPa

VC

C

+M

163Pa

––85Pa

1619Pa

2Pa

10a/13


459

Los diagramas conjuntos son:

2PaCE

P

BDAa a

Pa

a a

C

++ 13P/163P/16–– 13P/16

M

163Pa

133Pa

1619Pa

2Pa

10a/13

85Pa

16a/13

V12

P +5P

813P

V3P

16

C3P16

M

BC

C

=

=

=

=

=

aa

a

16

–

–55P

8

3P

16x

x

C3P16

C

M –5P

8

M

o

oa

aa

a

= +

≤ ≤

= =

=0

aa

3P

16

M58

1316

x 0;� � x

=

= → + = =

a

a a01013

–

CC13P16

M5P

81316

x+P

xC

13Pa

=

= +

≤ ≤=

–a

a

a a2 116

M –19P16

M5P

8

13P

16P 2P

a

2a

=

= + + =

a

a aa a–


460

La reacción total en B es:

b) Consideramos el tramo AB

Vigas conjugadas

BA

a a

P5 Pa/8

V V V13P 13P 13P

V V V3P 13

B BA BC

A B C

= + = + =

+ + = +

16 16 8

16

PP 13PP

8 16= =

5Pa

R"A

8

R"B

B

f2

A

2a

5Pa8

APa2

R'A R'B

B

P

Bf1

A

aa

ϕB B'

B''=

EI+

EIP2

·5P

81 1 1

212

213

2R R( ) =

a

aa

a–

=

==PEI

P6EI

2 2a a14

512

– –


461

c) También en el tramo AB:

fEI EI

P– ·

P2

PEI1

'2 3

= =

=1 1

412

132

M l

aa a

aa

a·

114

112

1 1 16

52

–

·

= ↓

= =

P6EI

fEI EI

2P

3

2''

a

alMaa

a aa

aa

812

516

13

524

596

· ––P P

EI

f

3

=

22

3 3 3

1 2

P96EI

15P96EI

5P32EI

f f f

= ( ) = = ↑

= +

a a a20 5–

== = ( ) = ↓P6EI

5P32EI

P96EI

P96EI

3 3 3 3a a a a– –16 15


462

463

Tema 11

Torsión

11.1. Generalidades.

11.2. Teoría elemental de la torsión de barras desección circular.

11.3. Árboles de transmisión.

11.4. Torsión de barras prismáticas de sección nocircular

11.5. Trabajo interno de deformación debido a losmomentos torsores

11.6. Diagramas de momentos torsores


464

11.1. GENERALIDADES

Como sabemos, una barra prismática está sometida, en una de sus sec-ciones, a torsión, cuando la resultante de la solicitación que actúa a un ladou otro de la misma es nula y el momento resultante va dirigido según la tan-gente a la directriz de la pieza (figura 11.1).

La solicitación indicada, torsión pura o simple, está originada por elmomento torsor MT, que se representa por el vector correspondiente indi-cado en la figura 11.1 o por un par (figura 11.2) y da origen, como veremos,a tensiones tangenciales o cortantes.

Aunque las barras sometidas a torsión suelen ir acompañadas demomento flector y esfuerzo cortante (si son horizontales) o de esfuerzo lon-gitudinal (si su disposición es vertical) realizaremos nuestro estudio supo-

MTx

Figura 11.1

TORSIÓN

465

466


niendo que tales solicitaciones no existen o dan origen a pequeñas tensio-nes y deformaciones1.

Consideraremos, en primer lugar, las barras de sección circular macizao hueca sometidas a torsión, en las que se cumple la hipótesis de Bernoulli(secciones planas antes y después de la deformación), para considerar, pos-teriormente, el caso de barras prismáticas de sección cualquiera en las quedicha hipótesis no es válida.

11.2. TEORÍA DE LA TORSIÓN DE BARRASDE SECCIÓN CIRCULAR

Estudiemos la barra recta de sección circular constante de radio R,sometida a torsión por la acción de dos pares MT aplicados en sus seccio-nes extremas (figura 11.2). En la determinación del estado de tensiones ydeformaciones originado en dicha barra suponemos se cumplen las doshipótesis siguientes:

a) El material sigue la ley de Hooke.

b) Las secciones se mantienen planas y circulares, manteniéndose rec-tos todos sus radios (hipótesis de Bernoulli).

En estas condiciones, cada sección de la barra gira alrededor de su centrorespecto a cualquier otra sección. Si consideramos fija la sección superior A,la sección B, situada a distancia x gira respecto a aquélla el ángulo jx.

En la figura 11.3 aislamos un disco o porción de barra de longitud dx,obtenido mediante las secciones B y C, separadas, respectivamente, x yx+dx de la sección superior A, siendo el ángulo girado por una sección res-pecto a la otra dj. Si sobre este disco consideramos el elemento de superfi-cie abcd, tras la deformación adoptará la forma abc'd', ya que la distanciaentre las secciones no varía. El elemento está sometido a tensión cortantepura, siendo el valor de la distorsión angular unitaria:

γ γ γ= = =cc'ac

� � de� donde� cc'� � ac � dx; · ·

1 En el tema 12 se estudian las barras prismáticas sometidas a varias solicitaciones simples.

Pero, como se observa en la figura es también cc'=Rdj

Por tanto gdx=Rdj [11.1]

De donde: [11.2]

(q es el ángulo girado por unidad de longitud, que consideraremos cons-tante)

La distorsión g es producida por las tensiones tangenciales t que actúansobre los bordes del elemento y que se representan también en la figura 11.3.

El ángulo girado entre dos secciones es, en general:

[11.3]

El valor máximo del ángulo j es jl y corresponde a la sección inferiorde la barra (hemos supuesto fija la sección superior) jl=ql .

El eje geométrico de la barra permanece recto, mientras que las restan-tes fibras longitudinales se transforman en hélices; en particular la genera-triz 1-2 se transforma en la hélice 1-2'.

dx

2 2

x

B

C

A1MT

l

MTϕl

ab

d’c

c’d

dϕ

α

Rτ

ττ

dx

O

τ

�Rddx

Rγϕ

θ= =

�d

dxdx dx x

x

x x

ϕϕ

θ θ= = =∫ ∫0 0


467

TORSIÓN

De la misma forma que hemos analizado el elemento abcd de la super-ficie de la barra podemos estudiar un elemento similar en la superficie deun cilindro interno, de radio r, por lo que podemos escribir:

gr = qr [11.4]

La tensión cortante t correspondiente es:

t = Ggr = Gqr [11.5]

siendo su valor máximo en la superficie de la barra

tmax = GqR [11.6]

La expresión [11.5] indica que la tensión cortante varía linealmente conel radio r, representándose su ley de variación en la figura 11.4, en la que semuestran también las tensiones en el plano radial, iguales a las anteriores,en virtud del teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales.

Obtendremos la relación entre las tensiones cortantes t y el momentotorsor MT que las origina estableciendo las condiciones de equilibrio en unasección como la indicada en la figura 11.5.

De las figuras anteriores se deduce que la resultante de las tensiones t, apli-cadas sobre el elemento de área dS es nula, mientras que el momento resul-tante respecto del punto 0 es el momento torsor que actúa sobre la sección .

ro

R

dr

ds

τ


468


[11.7]

La integral es el momento polar de inercia Ip, por lo que susti-

tuyendo en [11.7]:

MT = GqIp [11.8]

De donde:

[11.9]

Sustituyendo en la expresión [11.5]:

[11.10]

La expresión [11.10] da el valor de la tensión cortante en un punto cual-quiera de la sección recta de una barra circular sometida a torsión. El valormáximo de la tensión, correspondiente a la periferia es:

[11.11]

El momento polar de inercia tiene la expresión:

donde D es el diámetro de la sección, que nos permite escribir dos nuevasexpresiones de la tensión máxima:

[11.12]

� M dSr G r dS G r dST2 2= = =∫ ∫ ∫τ θ θ

S S S

τ θ= =G rM rI

T

p

�M

GIt

p

θ =

r dS2

S∫

τπ πmax = =2M

R

16M

DT3

T3

τ θmax = =G RM R

IT

p

IR D

p

4 4

= =π π

2 32

469

TORSIÓN

La expresión [11.10] es análoga a la ley de Navier que permite obtener

las tensiones normales en una viga sometida a flexión , llamán-

dose análogamente módulo resistente a la torsión a la relación siguiente:

De lo expuesto se deduce que sólo en los puntos de la superficie de unabarra de sección circular se alcanza el valor máximo de la tensión cortante,por lo que si éste coincide con el mayor que pueda soportar el sólido, elresto de los puntos de la sección trabajan a menor tensión, lo que puedehacer pensar en una utilización inadecuada del material que lo constituye.Por esta razón, siempre que sea conveniente reducir el peso, es aconsejablela utilización de árboles o ejes huecos, para los que, cuando están someti-dos a torsión, se establecen las mismas hipótesis que para las piezas de sec-ción circular maciza, utilizándose la misma expresión [11.10] para el cál-culo de las tensiones cortantes:

[11.10]

En esta expresión siendo Ri y Re los

radios interior y exterior de la sección (figura 11.6)

WI

R

2I

DT

p p= =

σ =

MyIZ

I R RR R

Rp e ie i

e

= ( ) =

π π2 2

14 44 4

4– –

τ =M r

IT

p

DeDiRe

Ri

Figura 11.6

470


El valor máximo de la tensión se presenta igualmente en los puntos dela periferia de la barra y vale:

11.3. ÁRBOLES DE TRANSMISIÓN

La solicitación de torsión se presenta frecuentemente en las barras desección circular maciza o hueca destinadas a transmitir a distanciamomentos de rotación. Tales barras reciben el nombre de árboles de trans-misión y trabajan a torsión, considerándose empotradas en el extremo enque se aplican los pares resistentes.

Aunque habitualmente se usa indistintamente la denominación deárboles y ejes de transmisión, estos últimos se utilizan fundamentalmentecomo medios que sostienen órganos de máquinas, permitiendo el giro a sualrededor.

En la mayor parte de los casos es conocida la potencia H, en caballos devapor, a transmitir por el árbol, así como su velocidad de giro n, en revolu-ciones por minuto. A partir de estos datos y del momento torsor que de ellosse deduce, podemos calcular el diámetro del árbol, de forma que la tensióncortante no pase de un valor prefijado.

La potencia será igual al producto del par de torsión por la velocidadangular, w. Por tanto:

De donde:

MH

2 nHn

kgm=71620�Hn

� kg� cmT = =75 60

716 2·

,π

τπ

maxT e

p

T

ei

e

M RI

M

RRR

= =

2

134

4–

75H MM 2 n

60TT= =ω

π

471

TORSIÓN

11.4. TORSIÓN DE BARRAS PRISMÁTICAS DE SECCIÓNNO CIRCULAR

Hemos estudiado la torsión de barras prismáticas de sección circular,así como los casos más frecuentes en que se presenta esta solicitación enese tipo de barras. Sin embargo, en diversas aplicaciones constructivas seutilizan barras de secciones distintas que pueden estar igualmente someti-das a solicitación de torsión; tal es el caso de las barras rectangulares, uti-lizadas en estructuras de hormigón armado, así como de los perfiles lami-nados (I, U, H) que se emplean en estructuras metálicas, por lo que esconveniente considerar, como hacemos seguidamente, las barras prismáti-cas de sección cualquiera, sometidas a torsión.

En principio, cabe deducir de la teoría elemental que las tensiones tan-genciales máximas se presentan en los puntos más alejados del eje: experi-mentalmente se comprueba todo lo contrario.

La determinación de tensiones y deformaciones en barras prismáticasde sección cualquiera es un problema complejo que sólo puede resolversesatisfactoriamente utilizando la Teoría de la Elasticidad. .

En la figura 11.7 se representan las distribuciones de las tensiones tan-genciales en los bordes de una sección rectangular, de dimensiones a·b. Lasleyes de variación de las tensiones tangenciales, obtenidas mediante la uti-lización de la Teoría de la Elasticidad, se exponen en el texto de Elasticidady Resistencia de Materiales II.

a

bτ1

τmax

Figura 11.7

472


Cuando en un prisma mecánico una de la dimensiones de su seccióntransversal (el espesor) es mucho más pequeño que las restantes se dice quese trata de una pieza delgada (perfil delgado).

El estudio de la torsión de perfiles delgados se realiza a través de laTeoría de la Elasticidad y es de gran interés, pues muchos elementos metá-licos (carcasa de un motor, perfiles laminados...) presentan las característi-cas de los perfiles delgados y, con relativa frecuencia, pueden estar someti-dos a momentos torsores.

Los perfiles laminados tipo I, U, L presentan muy poca rigidez a la tor-sión, por lo que, en el caso de que formen parte de estructuras metálicas enlas que se presenta esta solicitación, deben utilizarse en la forma en quepresenten mayor resistencia a la misma. Los perfiles abiertos están someti-dos a tensiones mucho mayores que los perfiles cerrados, sobre todo en elcaso en que se impide el alabeo de sus secciones extremas2, por lo que esmuy conveniente combinarlos para constituir una sección tubular como seindica en las figuras 11.8 y 11.9 que representan las secciones transversalesde dos vigas cajón obtenidas, respectivamente, a partir de dos perfiles U ydos perfiles L.

200

150

100

100


2 El problema de la torsión no uniforme se expone asimismo en Elasticidad y Resistencia deMateriales II.

473

TORSIÓN

11.5. TRABAJO INTERNO DE DEFORMACIÓN DEBIDOA LOS MOMENTOS TORSORES

De la misma forma que hemos obtenido las expresiones del trabajointerno de deformación originado por los esfuerzos normales, los momen-tos flectores y los esfuerzos cortantes en una barra prismática, podemosdeterminar el que originan los momentos torsores.

Si consideramos la porción de barra obtenida mediante dos seccionesseparadas dx, el trabajo elemental será:

[11.14]

Si la barra es de sección circular, la tensión cortante t viene dada por laexpresión [11.10].

[11.10]

sustituyendo:

Pero la integral es el momento polar de inercia, por lo que:

[11.15]

Para toda la barra, de longitud l, el trabajo T vale:

[11.16]TM dxGI

T2

p

= ∫12 0

l

dTM

2GIdxT

2

p

=

r dS2

S∫

dTdx2G

dS2= ∫ τS

dTdx2G

M r dS

I

M dx

2GIr dST

2 2

p2

T2

p2

2

S= = ∫∫S

τ =M r

IT

p

474


Si jl es el ángulo total girado entre las secciones extremas, podemostambién escribir:

[11.17]

La expresión [11.95] es valida cualquiera que sea la sección transversal,mientras que [11.94], para barras de sección no circular se convierte en:

[11.18]

Donde q es el factor de torsión cuyo valor es igual a 1 para barras de sec-ción circular maciza o hueca y mayor que 1 en los demás casos. En generalpara secciones distintas de la circular podemos escribir:

Siendo, por tanto, la expresión general de T:

[11.19]

Al producto GIT se le llama, habitualmente, módulo de rigidez a la tor-sión, recibiendo IT (que tiene dimensiones de momento de inercia) el nom-bre de módulo de torsión.

11.7. DIAGRAMAS DE MOMENTOS TORSORES

Para el estudio y dimensionamiento de barras sometidas a torsión es muyútil conocer las leyes de variación a lo largo de su longitud de los momentostorsores a que están sometidas sus distintas secciones. Las representacionesgráficas de dichas leyes son los diagramas de momentos torsores.

Si consideramos la barra de sección circular de la figura 11.10, someti-da a los pares de torsión indicados, y en ella damos una sección ideal 1–1,

TM dxGI

T2

T

= ∫12 0

l

T =1

2M

T lϕ

T qM dxGI

T2

p

= ∫12 0

l

II

qT

p=

475

TORSIÓN

si conservamos la parte izquierda (figura 11.11), las tensiones que actúanen la sección originan un momento torsor antagonista, que estará dirigidoen el sentido de las agujas de un reloj (mirando desde un punto A situadosobre la normal exterior de la sección).

Análogamente, conservando la parte derecha, mirando desde un puntoA’ situado sobre la normal exterior a la sección de corte, las tensiones cor-tantes originan un par torsor con el mismo sentido de giro (figura 11.12).

Consideramos que el momento torsor es positivo si el originado porlas tensiones cortantes en la sección ideal de corte gira en sentido con-trario a las agujas de un reloj (mirando desde un punto situado sobre lanormal exterior a la sección) y negativo en caso contrario. Así, en la sec-

F 1

1 FF

F

MT MT

MT

F

A

F

F

MTA´

F

Figura 11.10

Figura 11.11

Figura 11.12

476


ción 1–1 de la barra de la figura 11.11 el momento torsor es negativo, mien-tras que en la barra de la figura 11.13, el momento torsor es negativo entodas sus secciones (en la misma figura se representa el correspondientediagrama de momentos torsores).

En la figura 11.14 se representa una barra empotrada en sus extremossometida a un par de torsión M en su sección C. En este caso, se trata deun problema hiperestático pues sólo disponemos de una ecuación paraobtener las incógnitas MTA y MTB:

MTA + MTB = M

La ecuación complementaria se obtiene a partir de que el ángulo totalgirado por la barra desde A hasta B debe ser nulo por tratarse de seccionesempotradas, jAB = 0, lo que obliga a que el ángulo girado por el tramo ACsea igual y contrario al girado por el tramo CB: Si la barra es de sección cir-cular constante la relación es:

En el caso general se aplicaría la expresión:

MT

MT

MT

MGI

=M bGI

TA

P

TA

P

a

M

GIdx+

M

GIdxT

T

T

T

b

0

0a

a

a

∫ ∫+

=

Figura 11.13

477

TORSIÓN

En la figura 11.16 se representa el correspondiente diagrama demomentos torsores. De este último se deduce la diferencia entre par de tor-sión aplicado M y momento torsor.

a b

M

CBA

MTAMTA

MTB MTB

M +

MTA –

MTB

Figura 11.14

Figura 11.15

Figura 11.16

478



1. Determinar qué longitud debe tener un redondo de acero de 1 cm dediámetro para que sufra un ángulo de torsión de 90º entre sus dos seccio-nes extremas.

Calcular también el trabajo interno de deformación en dicho redondo.

Datos; tmax =925 kg/cm2; G= 800.000 kg/cm2

2. Las poleas A,B,C, y D están montadas sobre el árbol de transmisiónABCD como se indica en la figura, transmitiendo los pares indicados, deforma que el conjunto se encuentra en equilibrio. Los árboles AB y CD sonde sección circular maciza mientras que el BC es hueco de 90 y 120 mm dediámetro interior y exterior respectivamente. Determinar:

a) Valores máximo y mínimo de la tensión cortante en el árbol BC.

b) Diámetro de los árboles AB y CD, sin rebasar el valor t =65 Mpa

3. Una pieza de acero de sección circular, de radio R=8 cm, y longitudL = 4m tiene los extremos perfectamente empotrados. Está sometida a tor-sión pura mediante la aplicación de un par de torsión en una sección situa-da a una distancia a=3m de uno de sus extremos. Se pide:

AB

C

DD

120 mm

0,9 mm 0,7 mm 0,5 mm

TA = 6 kN · m

TB = 14 kN · m

TC = 26 kN · m

TD = 6 kN · m

D

479

TORSIÓN

a) Valor máximo que puede alcanzar el par , siendo

tadm =1000 kg/cm2

b) Hallar la expresión q=q(x) del ángulo girado por las secciones, repre-sentándola gráficamente e indicando el valor máximo y la sección corres-pondiente.

(G= 800.000 Kg/cm2).

4. Calcúlese el diámetro de un árbol de acero que gira con una velocidadangular de 300 r.p.m. y transmite una potencia de 50 CV, sin que la tensióncortante sobrepase el valor t = 800 kg/cm2 y sin que el ángulo girado por uni-dad de longitud sea mayor que 0,5 grados/metro. Tómese G= 800.000 kg/cm2.


1. El ángulo girado j es:

Por otra parte:

De donde,

ϕτ

ϕπ

τ

=

= = = =

max

max2

G·R

� � � kg/cm � � G

l

902

925 80º ; ; 00 000. � kg/cm

�

� �

2

�

�

� �

�

M

I RT

P

max=τ

τ τ= =M

I� � ;�

M R

IT

P

T

P

rmax

·

ϕ θ= =· ·l lM

GIT

P

480


481

TORSIÓN

2.

� � � � �

0 5

2925

800000 0 5

,

,;

�

� cm

� �

R

l l

=

=×

×π

==× ×

×=

= =∫

800000 0 52 925

679

1

2 0

1

, π� cm

TM

GI� dT

2

p

lMM

2GI

I � � MR

I

TG

T2

p

p Tmax

p

×

= =×

=

=

l

Rπ π τ4 4

20 52

1

2

,;

ττ τ

π

max p2

2p

max p

2

I

R I

I

2GR

T

2 2

2 0 52

1

9258

4

l l=

=× × ,

000000 0 5679 142 59

×× =

,, � kg·cm

a) ;� � � � =�M

I� � =�

MI

� � � � � � � �

maxT

D2

pmax

TD

2

p

e i

τ τ

�� I R RD16

D16

� � � � � � �

p e4

i4 e

4i4

= ( ) =

π π2 2

– –

�� I D D

� � � � � � � � � M � kNm

� �

p e4

i4

T

= ( )= + =

π32

6 14 20

–

�� =�20000 0,06

maxτ π×

( )=

320 12 0 09

864 4, – ,

2229998� � Pa=86,23� MPa

� � � � � � � � � =�20000 0

minτ× ,,06

�0,0450,06maxπ τ

320 12 0 09

64672494 4, – ,( )

= = 88� � Pa=64,67� MPa

� � � � =�M

I� � I =�

3maxT

D2

ppb) ;τ

π22

D

� � � � � � � � � �

� � � � � � �

4

��

� ��

� ��

90 mm 120 mm

482


3. a) Será necesario, en primer lugar, determinar el diagrama demomentos torsores; para ello, habrá que determinar primero los valores delos pares de reacción MTA y MTB. MTA+MTB=M.

Se trata de un problema hiperestático en el que, para obtener los valo-res de MTA y MTB, tendremos en cuenta que el ángulo total girado por labarra ha de ser nulo, pues A y B son empotramientos perfectos:

MTA=M/4

MTB=3M/4MT +

–

–ϕmax

a=3 m

l=4 m

M

MTB

MTAMTAMTAMTAMTAMTAMTAMTAMTAMTAMTAMTAMTAMTAMTAMTA

� � � � � � � �

� � � � � � � � ��

� � � � � � � ��

� � � � � � � � � �

� � ��

� � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � � � =M

D=�

MD

� � � � � � �

maxT

D2

4

T3τ π π

32

16

�� D =�16M

� � M � kNm;� � � =65� MPa

�

3 T

maxT maxπτ

τ; = 6

�� D =�16·6000

� � D=� � m

�

3

π· ·; ,

65100 07796

�� D=� � mm=7,79� cm77 9,

483

TORSIÓN

a=3 m; L–a=1 m.

MTA·3=MTB; MTB=3MTA; 4MTA=M

; El mayor momento torsor es MTB, y para el

mismo se cumplirá la condición de resistencia:

b) El ángulo girado j = j(x) se expresa como sigue:

(x, x' son las distancias a los dos extremos de la barra).

jmax=j'max=0,016 rad (para x =3 m)

0 0= →( )

=∫M dx

GI

M ·

GI

M L– )

GIT

p0

LT

p

T

p

a a–

ϕπ

= = = =∫M dx

GIM ·xGI

x8·10

TA

p

TA

p5

082

2681004

x ·· ·

55 2110

8042

5

0

, · ·

''

−

= = =∫

x

M dx'GI

M ·x'GI

TB

p

TB

p

ϕx 000

15 61082

54

··

, · ··

x'8·10

x'5 π= −

τ τ

π

= ≤

= =

M R

I

IR

2� � M =M

M� � R=8� cm �

T

padm

p

4

T TB; ; ;3

4�� kg/cm

M

adm2

M

R2

adm3

τ

τππ

=

= → =

1000

3

2 8100

34

3· ·00

M=1072330� cm·kg 10.723� m·kg

M =2681� m·kg;TA

≈

�� M =8042� m·kg;TB

MM4TA = M

M4TA =

484


4. La potencia transmitida responde a la expresión:

H=MT·w

H=50CV=50·75 kgm/seg=50·75·100 cm kg/seg

La tensión máxima es:

R = 2,12 cm ; d = 4,24 cm

El ángulo girado por unidad de longitud es:

R= 3,23 cm; d=6,46 cm.

Tomaremos d= 6,46 cm 6,5 cm

θπ

θ

π= = =

=

MGI

MG

2MG R

� grados/metro�

T

p

T·R2

T44

0 5, == rad/cm

2MR

180

T4

12 100

2 180 100 800 000

π

ππ× ×

=. · ·

;;· · ·

· .� � R4 =

418010011936800 0002π

τπ π

π

max

· ·

·;

=

=

M R

I=

M R=

M

R

R�

T

p

T

R2

T3

3

4

2

800211936

�� R3 =211936

800

·

·π

50 75100

50 75100 60

· · ·

· · ·

=

= =

M2 ·300

60

M2 ·300

T

T

π

π111936� cmkg

Tema 12

Solicitaciones compuestas

12.1. Generalidades.

12.2. Flexión y cortadura.

12.3. Torsión y cortadura

12.4. Flexión y torsión de barras de sección circular.

12.1. GENERALIDADES

Una vez estudiados los estados de tensión y deformación originados enlas secciones de una barra prismática por las distintas solicitaciones sim-ples, podemos proceder al estudio de aquellos sólidos en que se presenten,simultáneamente, varias solicitaciones. Por lo general, los sólidos estánsometidos a dos o más de las cuatro solicitaciones simples (esfuerzo nor-mal, N, Momento flector, MF, esfuerzo cortante, C, y Momento torsor, MT),presentándose solamente aislado, en ocasiones concretas, el esfuerzo lon-gitudinal (caso de cables sometidos a tracción, principalmente).

En virtud del principio de superposición de efectos, de aplicación alconsiderarse comportamiento elástico de los materiales, los estados de ten-siones y deformaciones1 se obtienen sumando los originados por cada unade la solicitaciones actuando por separado.

En la figura 12.1 se representa una sección de un prisma mecánico,sometida, en principio, a todas las solicitaciones simples, representadas porlos vectores resultante, R y momento resultante , M, de las cargas que actú-an a un lado u otro de la misma y que, como sabemos, deben ser equiva-lentes a la resultante y al momento resultante de las tensiones internas ori-ginadas en dicha sección.

Cuando actúan simultáneamente N, y MF, ambas solicitaciones originantensiones normales, dirigidas longitudinalmente, que se suman algebraica-mente en todos los puntos de la sección considerada; en el caso en que coin-cidan el esfuerzo cortante y el momento torsor se producen tensiones tan-genciales t, que se suman algebraicamente si tienen la misma dirección yvectorialmente en caso contrario. En las demás combinaciones de carga

487

1 Se supone que deformaciones y desplazamientos son de pequeña magnitud.

aparecen tanto tensiones normales como tangenciales que dan origen, en lamayor parte de los casos, a un régimen elástico plano.

Consideraremos sucesivamente las combinaciones de momento flectory esfuerzo cortante, de esfuerzo cortante y momento torsor y de momentoflector y momento torsor, que se encuentran entre las más habituales en lapráctica.

Para esta última combinación de cargas (MF, MT) distinguiremos entrelos casos de barras de sección circular maciza o hueca, que se presentanprincipalmente en elementos de máquinas como los árboles de transmisióny los de barras no circulares, de pared delgada, más frecuentes en estruc-turas metálicas. Este último caso (flexión y torsión de perfiles delgados) seexpondrá detenidamente en el texto de Elasticidad y Resistencia deMateriales II, y, como veremos, constituye un capítulo o cuerpo de doctri-na diferente del desarrollado anteriormente, pues los sólidos correspon-dientes tienen ciertas particularidades geométricas que permiten conside-rarlos como intermedios entre barras y bóvedas, tipos fundamentales desólidos definidos en el tema 1.

La solicitación combinada de esfuerzo longitudinal y momento flector,acompañado este último o no del esfuerzo cortante es quizá la más impor-tante y será expuesta con amplitud a lo largo del tema 13 del presente texto(«Flexión Compuesta»).

z

F1

F2

F3


488

Figura 12.1

12.2. FLEXIÓN Y CORTADURA

Probablemente la solicitación compuesta más frecuente es la combina-ción de la actuación sobre las secciones de una barra prismática de momen-tos flectores y esfuerzos cortantes; esto es lo que ocurre en las piezas some-tidas a flexión simple, como la viga indicada en la figura 12.2. Comosabemos, las tensiones normales longitudinales sx y las tensiones tangen-ciales txy son originadas, respectivamente, por el momento flector M y elesfuerzo cortante C, en cada sección, siendo sus expresiones:

[12.1]

Los valores máximos de sx aparecen en los puntos más alejados de lalínea neutra de la sección, en los que la tensión txy es nula, mientras que losmayores valores de la tensión tangencial se producen, para cada sección, enla línea neutra, donde sx es nula. Las tensiones normales son habitualmen-te mucho mayores que las tensiones tangenciales, ocurriendo lo mismo conlas deformaciones transversales (flechas) originadas por los momentos flec-tores frente a las debidas a los esfuerzos cortantes (como se comprueba enel tema 9), por lo que habitualmente se dimensiona o comprueba la secciónpara el mayor valor del momento flector, Mmax, que, además, no suele coin-

x

P

A

x

x

y

τxy

τyx

σxσx

B

c

b

a

τyx

τyx

τxy

τxyσx σx

σ σxz

xyz

My

I� �

Cm

bI= =; ;

SOLICITACIONES COMPUESTAS

489

Figura 12.2


490

cidir con valores importantes del esfuerzo cortante (en las vigas isostáticasel momento se hace máximo cuando se anula el esfuerzo cortante). Sinembargo, en las proximidades de apoyos intermedios y empotramientos, enuna viga hiperestática, pueden coincidir los valores máximos de ambas soli-citaciones, por lo que es conveniente, estudiar la combinación de las ten-siones sx y txy , en los elementos indicados en la figura 12.2, situados en elplano longitudinal de simetría de la viga. En las figuras 12.3, 12.4 y 12.5 sedibujan los círculos de Mohr1 correspondientes a los elementos a, b, c, apartir de los cuales se pueden obtener los valores extremos de las tensionesnormales, así como el valor máximo de la tensión cortante; dichos elemen-tos corresponden a la sección transversal recta situada a distancia x delapoyo A (figura 12.2).

Para cualquiera de los elementos a, b, c, se cumplirá:

[12.3]

σσ σ

τ

σσ σ

τ

1

22

2

2

2 2

2 2

= +

+

=

+

x xxy

x xxy– 22

1 2

22

2 2τ

σ σ στmax

–= =

+

xxy

σx

σ1σ2

C

ADB o

C

2ατxy

–τxy

σx

σ1σ2

o

+τxy

–τxy

θ

σx

σ1 σ2

C

A D Bo

τxy

1 Los círculos de Mohr representados en las figuras 12.3, 12.4 y 12.5 se han dibujado de acuerdocon lo establecido en el capítulo 3 (Elasticidad plana en coordenadas cartesianas) del texto de la colec-ción Grado, Elasticidad y Resistencia de Materiales II, en el que también se indican las expresiones des1, s2 y smax. En el apendice 2 se expone en forma abreviada, esta materia.

La combinación indicada puede tener importancia en los extremos delalma de un perfil IPN ó IPE, para los cuales tanto el valor de sx como el detxy son elevados, como se indica en la figura 12.6 (recuérdese que es habi-tual considerar que la tensión cortante txy se reparte casi uniformemente enel alma de dichos perfiles).

12.3. TORSIÓN Y CORTADURA

Si bien en los árboles de transmisión sometidos a flexión simple ymomento torsor que consideraremos en el epígrafe siguiente, se superponenlas tensiones tangenciales originadas por este último y por el esfuerzo cor-tante, el caso más importante de solicitación compuesta de momento torsory esfuerzo cortante se presenta en el estudio de los resortes helicoidales.

Los resortes son elementos metálicos, generalmente realizados a base deaceros especiales (de gran resistencia mecánica), que se emplean en maqui-naria para producir distintos efectos mecánicos: absorber o producir dis-tintos esfuerzos, amortiguar choques, etc...

Los principales resortes metálicos se realizan mediante elementossometidos a flexión (resortes de ballesta, estudiados con anterioridad) otorsión (resortes helicoidales).

En las figuras 12.7 y 12.8 se representan dos resortes helicoidales cons-tituidos por una varilla de sección circular dispuesta según una hélice cilín-drica. En el primer caso el resorte termina en ganchos, mientras que en elsegundo las últimas espiras están engarzadas según un plano perpendicu-lar a su eje, en cuya dirección se ejerce el esfuerzo.

θ τ

τmax

y

y

A

Ae

xxh1/2

h

h/2

h1


491

Figura 12.6

En el cálculo de cualquiera de los resortes representados se considera secumplen las hipótesis siguientes:

1. Las espiras están suficientemente apretadas de forma que el ánguloj que la varilla forma con el plano perpendicular el eje del resorte esdespreciable, por lo que puede suponerse que cada espira se encuen-tra en un plano ortogonal a dicho eje2.

2. No se tiene en cuenta la curvatura inicial de la varilla, por lo que seaplicarán las fórmulas correspondientes a piezas prismáticas rectas.

3. Se supone, como se hace en el diseño de los elementos de unión, queel esfuerzo cortante se reparte uniformemente en la sección trans-versal de la varilla.

Mediante un corte axial ideal (figura 12.9), en la sección ab apareceránunas tensiones internas que estarán en equilibrio con las acciones externasque en la misma determinan los esfuerzos sobre la parte superior conser-vada. Dichas acciones son un esfuerzo cortante P y un momento torsorMT=PR, siendo R el radio del resorte.

P

B

Rd

A

P P

m n


492

2 Paraj j 12o el error cometido es despreciable.


El esfuerzo P origina unas tensiones tC, que consideramos uniforme-mente repartidas:

[12.3]

El momento torsor origina unas tensiones tT , que varían linealmentedesde el centro de la varilla a la periferia, alcanzando el valor máximo:

[12.4]

En la figura 12.10 se representan las tensiones en los puntos a y b de lasección de corte. En el punto a la tensión tangencial total es:

[12.5]τ τ τπ π πa = + = + = +

C T 2 3 3

4Pd

16PRd

16PRd

d4R

1

τ τπmax T

Td

nd32

3

M 16PR

d4= = =2

τπC nd

42

P 4P

d2= =

P

Bdδ

AP

l '

B''

Pa b

P

B'

β

dϕ


493


R

a’b’

ba

dα

b

d

a

τc

τc

τT

τT

MT

Figura 12.10

El desplazamiento relativo d entre los puntos A y B, donde se aplican lasfuerzas P se determina teniendo en cuenta sólo el efecto de torsión.

Para un elemento de longitud dl en la espira representada en la figura12.11, el ángulo de torsión dj es:

[12.6]

Considerando como un conjunto rígido a la parte inferior del resorte, elpunto B describe un arco BB' = l'dj, siendo la componente vertical de estearco BB''= dd, (figura 12.9):

[12.7]

Sustituyendo el valor de dj dado por [12.6] obtenemos:

[12.8]

El valor total del desplazamiento d entre los puntos A y B se obtienesumando los correspondientes a los originados por todos los elementos dla lo largo de toda la longitud del resorte:

[12.9]

En la expresión [12.9], n es el número de espiras del resorte.

12.4. FLEXIÓN Y TORSIÓN DE BARRAS DE SECCIÓN CIRCULAR

Los árboles y ejes circulares de sección circular trabajan, habitualmen-te, de forma que están sometidos a las acciones combinadas de flexión, cor-tadura y torsión. Tal es el caso del eje representado en la figura 12.12, car-

dPR d

GI

3

P

δα

=

dPR d

GI

3

P

δα

=

d BB'' BB'sen dR

Rdδ β ϕ ϕ= = = =ll

''

dl

ϕα α

= = =M d

GI

PRRd

GI

PR d

GIT

P P

2

P


494

gado en su extremo A con una carga vertical P, por medio de una polea, deradio R, considerándose el extremo B como empotrado.

Por efecto de la solicitación, el árbol está sometido a un momento tor-sor, MT = PR, constante en todas sus secciones y a un momento flectorvariable Mx = Px, acompañado de un esfuerzo cortante, P (flexión simple).

Las tensiones originadas por la solicitación son:

a) Tensiones normales, originadas por el momento flector, dirigidaslongitudinalmente.

b) Tensiones cortantes, producidas por el momento torsor.

c) Tensiones cortantes, debidas al esfuerzo P.

La sección más cargada es la correspondiente al empotramiento B, en laque el estado tensional, correspondiente a la fibra superior puede repre-sentarse en el elemento infinitesimal de la figura 12.13, en el que las ten-siones s, t toman los valores siguientes:

[12.10]

[12.11]

En estas expresiones d es el diámetro del árbol.

τπ

= = =M r

I

M 16PR

dT max

P

Td

nd32

34

2

σπ

= = =My

IM 32P

dmax

z

d

nd64

34

2 l

B

R

A

P

x


495

Figura 12.12

σ2

σ1

ττσ

τ

Figura 12.13

A partir de los valores de s y t, obtenemos los de las tensiones principa-les y la tensión cortante máxima, que nos permiten dimensionar adecuada-mente el diámetro d:

[12.12]

Si, por ejemplo, no debe sobrepasarse un determinado valor, tadm, de latensión tangencial, sustituyendo las expresiones [12.10] y [12.11] en la últi-ma de las ecuaciones [12.12], obtenemos:

o bien:

de donde:

[12.13]

En el caso en que el árbol fuese de sección circular hueca, el proceso decálculo sería análogo, teniendo en cuenta que en las expresiones [12.10] y[12.11] los momentos de inercia IZ e IP deben sustituirse por:

[12.13]

Siendo de y di los diámetros externo e interno de la sección anular.

Id32

dd

Id

16dd

Ze4

i4

e4

Pe4

i4

e4

=

=

π

π

1

1

–

–

16 162 2 2 2

π πτ

dP PR

P

dR

3 3 adml l( ) + ( ) = + ≤

dP

Radm

≥ +16 2 2

3

πτl

12

324

162

Pd

PRd3 3 adm

lπ π

τ

+

≤

σσ

σ τ

σσ

σ τ

τσ σ

σ

12 2

22 2

1 2

212

4

212

4

212

= + +

= + +

= =max

– 22 24+

τ


496


1. Dada la viga representada en la figura, se pide:

a) Diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes.

b) Perfil IPN con sadm = 1300 kg/cm3.

c) Para el perfil obtenido, calcular el máximo valor de la tensiónnormal s, comprobando, en la sección más cargada, los puntoscorrespondientes a la altura del alma, h1 + 2r

2. Determinar la tensión cortante máxima y el alargamiento de unresorte helicoidal, con los siguientesdatos:

P= 125 Kg ; R= 10 cm ; d (diámetro dela espira)=2 cm ; n (nº de espiras) = 20 ;G= 800.000 Kg/cm2

1,20 m

A B

P=8000 kg

q=400 kg/m

5,80 m


497

P

PR

3. La barra estabilizadora de un automóvil se esquematiza, a efectosresistentes como se muestra en la figura (A, B, C y D están contenidos enun mismo plano horizontal).

Sabiendo que la barra es de sección circular, determinar el radio míni-mo de la misma para que en ningún punto se superen las tensiones admi-sibles del material.

4. Dos fuerzas P1 y P2 de magnitud 15 kN y 18 kN, respectivamente, seaplican, como muestra la figura, al extremo A de la barra AB, que está sol-dada a un elemento cilíndrico BD de radio c= 20 mm. Sabiendo que la dis-tancia desde A al eje del elemento BD es a = 50 mm, determinar las tensio-nes normal y cortante en los puntos H y K de la sección transversal delelemento BD localizada a una distancia b= 60 mm desde el extremo B. Sesupone que todas las tensiones permanecen por debajo del límite de pro-porcionalidad del material, y que el elemento cilíndrico está empotrado enel extremo D.

D H

K

B

AP1=15kN

P2=18kN

b=60mma=50mm

A

B C D

2aa

P

a


498

P=400 kg

a=0,5 m

sadm=3200 kg/cm2

tadm=1850 kg/cm2


1. a) Determinaremos, en primer lugar los valores de las reaccionesverticales en los apoyos:

(VB dirigida hacia abajo)

9888

–

M

2865

8000 8480

545+

–C

1,20 m

A B

8000 kg

400 kg/m

5,80 m

x

VA VB

V � � V � kg;� � VA A B× = × + = =5 8 8000 7 40072

11345 542

, ; – 55� kg


499

• Para 0 x 1,2

C = –8000–400x

M = –8000x–200x2

C0 = –8000 kg ; M0 = 0

C1,2 = –8480 kg ; M1,2= –9888 kgm

• Para 1,2 x 7

C=–8000–400x+11345 = 3345–400x

M= –8000x–200x2+11345(x-1,2) = 3345x–200x2–13614

C1,2= 2865 kg ; M1,2= –9888 kgm

C7 = 545 kg ; M7 = 0

C = 0 x = 8,36 m

(fuera de la viga)

No hay momento máximo relativo.

M = 0 3345x–200x2–13614 = 0

La única solución valida es x = 7m.

b)

Se utilizará un perfil IPN-320 para el cual es:

W = 782 cm3 ; h1 =25,8 ; r = 1,15 cm ; h1 + 2r = 28,1 cm.

Las tensiones normales longitudinales son:

σ

σ

12

2

� kg/cm= =

=+ ×

988800782

1264

126425 8 2 1 15

3, ,

221110= � kg/cm2

VM

� cmnecmax

adm

3= = =σ

988800

1300761


500

La tensión cortante t se reparte en el área (h1 + 2r)· e ; e = r =1,15 cm.

Considerando un elemento contenido en el plano xy, alrededor delpunto M, estará sometido al siguiente estado tensional.

Valor obtenido también gráficamente utilizando el círculo de Mohr.

σσ σ

τ

σ

max

max

= +

+

= +

2 2

22

2 2

11102

11102 +

=

22262

1169σmax2� kg/cm

τ

σ2σ2

τ =×

=848028 1 1 15

262, ,

� kg/cm2

y

y

z z

M

3228,1

σ1σ2


501

τ

σ

σmax

2. Si damos una sección longitudinal, cortará al resorte por una espiraque está sometida a torsión (PR) y a esfuerzo cortante P.

(se supone que P se reparte uniformemente):

En cuanto al alargamiento, puede calcularse por la fórmula:

3. Será necesario determinar las leyes de variación de los esfuerzos cor-tantes, momentos flectores y momentos torsores a lo largo de las barras ABy BCD.

• Barra AB

P x a

C P

M Pxx

C P;� � M �

C P;� � M Po o=

=

≤ ≤= == =

–

–

–

– –0

0a

a a aa �

δα π

δ

π

π= = =

==

∫PR d

GIPR n

GPR nGd

6

3

p

n 3

d32

3

44

0

2 2 64·

44·125·1012,5� cm

3··

20800000 24 =

P

d

RP

aP τ

τπ π

τ

max

d

nd32

nd4

max 3 2

max

PR P

16PRd

4Pd

4 2= +

= +

=

2

44Pd

4Rd

4 1252

4 1022 2π π

1 1 836+

=×

+×

= �� kg/cm2

τmaxT

d

p

M

IPS

= +2


502

• Barra BCD

El momento torsor se mantiene constante a lo largo de toda la barraBCD; determinaremos las leyes de variación de esfuerzos cortantes ymomentos flectores. El sistema es hiperestático de grado 1. Llamando X ala incógnita hiperestática (reacción vertical en C) y aplicando el 2º Teoremade Mohr:

0

0

3

3

= ( ) ( )

= ( )

∫1EI

–Px+X x– x dx

–Px x–

a a

a

a

a

a

a

–

∫∫ ∫ ( )

=

+

dx+ X x– dx

Px3

Px2

a

3 2

a

a

a

a

a

23

3

0 –

+

( )

( ) +

a

a

a

a

a

a aa

3 3 3

3

Xx–

3

–P

27 –P2

3 3 992

8 0

4 0

2 2 3

3

a a a

aa

a

a

–

–

( ) + =

+ + =

X

26P3

P8X

3

–26P

3 3

3 ++ + =12 8 03 3P X

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

a a

�� X P;8 14=

xP

DBMT

MT=Pa X

C

D

xP

BC

xa 2a


503

X14P

8

7P

4= =

• Estudiamos, por tanto, la viga BCD como se indica a continuación:

Las leyes de esfuerzos cortantes y momentos flectores son:

C P

M Pxx

C P;� � M �

C P;� � M Po o=

=

≤ ≤= == =

–

–

–

– –0

0a

a a aa

aa

�

C P+7P4

3P4

M Px+7P4

x� –x

= =

= ( )

≤–

–≤≤

= =

= =

2aaa a

a a

C3P4

;� � M P �

C3P4

;� � M 2�3 3

–

MM=0 –x74

x� – 0

–4x x–

x ;� � � � x7

→ + ( ) =

+ =

= =

a

a

aa

7 7 0

3 733

–

–

7P

+

DC

42a

VD

3P4

Pa2

C

Pa7a/3

M

P

P x

BV

7P4

P

V P–7P4

–3P4

M7P4

� –PP2

D

D

D

+ =

= =

= × × =2 3a aa


504

La sección más desfavorablemente solicitada es la correspondiente alapoyo C, en la que es:

C = –P ; M = –Pa ; MT = Pa

Considerando dos secciones infinitamente próximas:

La tensión normal máxima será la tensión principal s1:

σσ σ

τσ

σ τ

σππ

1 2

22 2 21

24,

;

= ± + = ± +

= =

2 4 2

P 4PR

�R4

33

a a��

P 2PR

PR

PR

R2

3

3 3

3τπ

σπ π

π= =

= +

a a

a a

;

212

3222 2 2

42

12

16+

= +

+2PR

4PR

PR3 3 3

a a a

π π π116

212

32

2

1

2

PR

4PR

PR

3

3 3

a

a a

π

σπ π

= +

=44P

R4P

R

2PR

� �

3 3

3 adm

a a

a

2 22

1 2 31 1

π π

σπ

σ σ

+

= +( ) = =; 22002 400 50

1 2

2 400 50 1 2

= +( )

=+( )

· ·

· ·

π

π

R�

R·320

3

3

00� � � ;= 9 61,

σπ

τ

π

= =

=

MW

� � � M=P· ;� � � W=R

R4

MW

� � � M=P

R4

3

T

T

4

;

;

a

a;;� � � W =R

R2T

R2

34π π=

τ

σ2σ2

P

Pa=MT

C P

M Pxx

C P;� � M �

C P;� � M Po o=

=

≤ ≤= == =

–

–

–

– –0

0a

a a aa

aa

�

C P+7P4

3P4

M Px+7P4

x� –x

= =

= ( )

≤–

–≤≤

= =

= =

2aaa a

a a

C3P4

;� � M P �

C3P4

;� � M 2�3 3

–

MM=0 –x74

x� – 0

–4x x–

x ;� � � � x7

→ + ( ) =

+ =

= =

a

a

aa

7 7 0

3 733


505

Comprobación para

Dimensionamos para tmax:

Comprobación en línea neutra:

Por tanto R = 2,135 cm.

R = 2,135 cm

τπ πmax 3 3

3=2P 2

R=

2·400·50· 2·R

� � � R =2·40a

= 1850;00·50· 2·

�π 1850

9 73= ,

τ σ τπ πmax

23 3= =

2PR

2=2·400·50· 2

·2,12612

4 182+ =a

774 1850� kg/cm2 >

σσ σ

τσ

σ τ

σππ

1 2

22 2 21

24,

;

= ± + = ± +

= =

2 4 2

P 4PR

�R4

33

a a��

P 2PR

PR

PR

R2

3

3 3

3τπ

σπ π

π= =

= +

a a

a a

;

212

3222 2 2

42

12

16+

= +

+2PR

4PR

PR3 3 3

a a aπ π π

116

212

32

2

1

2

PR

4PR

PR

3

3 3

a

a a

π

σπ π

= +

= 44PR

4PR

2PR

� �

3 3

3 adm

a a

a

2 22

1 2 31 1

π π

σπ

σ σ

+

= +( ) = =; 22002 400 50

1 2

2 400 50 1 2

= +( )

=+( )

· ·

· ·

π

π

R�

R·320

3

3

00� � � ;= 9 61,

τπ

τπ

τπ

1 3 2

1 3

=2PR

� � � =PR2

=2·400·50

·2,135

a;

43

1= 330843 2 135

38� kg/cm � � � =400·

� kg/cm22

2

1

;,

τπ

τ

=

+ ττ22� kg/cm= <1346 1850

τ1

τ2


506

R= � cm3 9 61 2 126, ,=

4. Traslademos las cargas P1 y P2 al centro de gravedad de la sección Bde la barra cilíndrica.

M1 (flexión) = P1·a = 15·5 = 75 kNcm

M2 (torsión) = P2·a = 18·5 = 90 kNcm

La carga P1 produce compresión a lo largo de la barra BD; la tensión esconstante en toda la longitud y vale:

El momento M1 es constante en toda la lon-gitud de la barra BD y las tensiones máximasque produce valen:

El momento M1 es alrededor del eje y-y y las tensiones sm1 son máximas(de tracción ) a lo largo de la arista BK y nulas en la arista superior.

La sección situada a la distancia b=60 mm. del extremo B está someti-da a las siguientes solicitaciones:

• Esfuerzo normal de compresión P1= –15 kN.

• Momento flector alrededor de y-y; M1= 75 kNcm

• Esfuerzo cortante (en dirección y); P2= 18 kN

• Momento torsor; M2 = 90 kNcm

• Momento flector alrededor de z-z; M3 = 18 · 6 = 108 kNcm.

σπ π1

12 2

2=–P

c=–

kN

2=–1,194� kN/cm

· ·

15 yI

zF

Ez

yJ

σπ π π

σπ

M11

4 3 3

M1 24

=M

W;� � � W=

cc4

=c

=24

=75

3

14

· · ·

·== =

7511,94� kN/cm2

2π


507

DB

x

P1

P2

M1M2

La carga P2 produce tensiones tangenciales originadas por el esfuerzocortante P2 (constante a lo largo de toda la barra BD) y de valor máximo enlos puntos E,F de cada sección y valor nulo en los puntos I,J.

El momento torsor M2, originado por la carga P2 es constante a lo largode toda la barra BD y origina tensiones tangenciales máximas en el bordedel cilindro:

También originado por la carga P2 existe un momento flector, variablesegún la longitud x: M3 (flexión)= P2·x = 18x kN/cm.

Este momento M3 produce flexión alrededor del eje z-z de cada sección,originando tensiones máximas de tracción en J y de compresión en I.

Alrededor de H y K podemos construir unos elementos de superficiesobre los que actúan las siguientes tensiones:

s = 1,194 – 2,86 6 = 17,19 kN/cm2

t = 7,16 kN/cm2

s' = 11,94 – 1,194 = 10,75 kN/cm2

t' = 7,16 – 1,91 = 5,25 kN/cm2

τ

π π π

TmaxT

TT 2

T

4 3

=MW

;� � � M =M =90� kNcm

W =c

c=

c2

12

=222

90 90

2

3

Tmax 2

2= =4

=7,16� kN/cm3τππ·

τπ πCmax

22 2

2=Pc

=3 2

=1,91� kN/cm43

4 18·

σπ πmax

2

c4

32=

P x=

x

2xkN/cm3

4182 2826

·,=


508

Las tensiones máximas serán, de acuerdo con los círculos de Mohr:

En H:

B

H

K

σ

σ

τmax

σ1

σ

τ

τmax

σ2

τσ

τ

σ

τ

σσ

σ’

τ’

σ’

σσ σ

τ1=–2 2

17 192

17 192

72

22

– –,

–,

+ =

+ ,,

,

,,

16

19 78

17 192

7 1

2

2

σ

τ

12

max

=– � kN/cm

=

+ 662 =11,19� kN/cm2


509

En K:

σσ σ

τ2=' ' , ,'

2 210 75

210 75

2

22

2

+

+ = +

+ 55 25

12 8910 75

2

2,

, ; ',

σ τ22

max= � kN/cm � � � =

2225 25+ , =7,51� kN/cm2


510

56391444 nuevas ud s elasticidad y resistencia de materiales uned

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