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Tema 2

TEORA DE PERTURBACIONES ESTACIONARIAS

2.1. TEORA DE PERTURBACIONES ESTACIONARIAS

Como sabemos, el operador hamiltoniano juega un papel especial en mecnica cuntica. Sus valorespropios determinan los posibles niveles energticos del sistema correspondiente y, por lo tanto, elvalor de los cuantos de energa que el sistema puede absorber o emitir. El hamiltoniano est asu vez relacionado de forma directa con el operador de evolucin temporal, de modo que puedeescribirse el estado del sistema en todo instante en funcin de los vectores y valores propios delhamiltoniano estacionario. En denitiva, calcular estos autoestados y autoenergas es uno de losproblemas fundamentales que se nos plantea. Por desgracia, tan slo unos pocos hamiltonianos tienenuna solucin analtica exacta, de manera que en general hay que recurrir a mtodos aproximados.. Un mtodo de clculo aproximado de los autoestados y autovalores de un hamiltoniano es ladenominada teora de perturbaciones estacionarias. En este mtodo tratamos de obtener lasolucin para un hamiltoniano H a partir de las soluciones conocidas de otro hamiltonianoH0. Llamaremos hamiltoniano no perturbado a H0 y hamiltoniano perturbado a H. La diferenciaH = H H0 es lo que se denomina perturbacin. Ntese que aqu la perturbacin no es algo quese aada fsicamente al sistema en un momento dado. Nada depende del tiempo.

En realidad, el mtodo de perturbaciones no es privativo de la mecnica cuntica, sino que esun mtodo totalmente general para resolver problemas de valores propios. Si acaso, su aplicacin enmecnica cuntica es ms sencilla porque aqu estamos trabajando necesariamente con operadoreslineales autoadjuntos y podemos aprovechar las ventajas que ofrecen stos.

2.2. PERTURBACIONES PARA NIVELES NO DEGENERADOS

Consideremos un hamiltoniano H0 del cual conocemos una base de autoestados |(0)j conautoenergas E(0)j , es decir,

H0|(0)n = E(0)n |(0)n con n = 0, 1, 2, . . .

Supondremos que las autoenergas estn ordenadas, E(0)0 E(0)1 E

(0)2 , ... y, de acuerdo con la

notacin que estamos introduciendo, el nivel energtico con energa E(0)n ser no degenerado si E(0)n1 b > c.

Supongamos que las partculas interactan dbilmente entre s siendo la energa potencialde interaccin V = A (r1 r2), con A > 0.Considerando V como una perturbacin, evale las correcciones a las energas obtenidaspara los casos siguientes:i) Las partculas no son idnticas.ii) Las partculas son idnticas y de espn cero.iii) Las partculas son idnticas y de espn 1/2, y sus espines son antiparalelos.iv) Las partculas son idnticas y de espn 1/2, y sus espines son paralelos.Solucin:Ya se han resuelto en el tema anterior las energas y las autofunciones espaciales de los casos planteados.i) Puesto que las partculas no son idnticas, la funcin de onda espacial no tiene que cumplirningn requisito de simetra. Entonces la funcin de onda del estado fundamental no perturbadopodr escribirse como

0 (r1, r2) = 111 (r1)111 (r2)

siendo la energa correspondiente

E0 = 111 + 111 =2~2

m

(1

a2+

1

b2+

1

c2

)ii) Si las partculas son bosones de espn 0, la funcin de onda se reduce a la parte espacial que debeser simtrica respecto al intercambio de partculas. La funcin de onda del apartado anterior cumpleeste requisito, de modo que el resultado es el mismo que antes.

iii) Puesto que ahora las partculas son fermiones, la funcin de onda total debe ser antisimtrica. Silos espines son antiparalelos, la parte espinorial puede ser antisimtrica y, por tanto, la parte espacialpuede ser simtrica. De nuevo la funcin de onda de los dos apartados anteriores cumple este requisitoy el resultado es otra vez el mismo. La parte espinorial sera el singlete antisimtrico |0 0iv) Sin embargo, si los espines de las partculas son paralelos, la parte espinorial es simtrica y laespacial ha de ser antisimtrica. Puesto que no puede construirse una funcin antisimtrica no nula

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2.3. PERTURBACIONES PARA NIVELES DEGENERADOS

con las dos partculas en sus estados fundamentales por separado, una de las partculas tiene que estaren el primer estado excitado 211(x, y, z), ya que al ser a > b > c los niveles energticos asociados ala coordenada x son menores que los asociados a las otras coordenadas. En resumen

(a)0 (r1, r2) =

12

[211(r1)111(r2) 111(r1)211(r2)

]con la parte espinorial |1 1, estados a los que corresponde un valor de la energa

E0 = 211 + 111 =2~2

m

(5

2a2+

1

b2+

1

c2

).

Si tratamos V como una perturbacin a primer orden, la correccin a la energa de cada uno delos estados sera

E = 0| V |0 =V

V

0 (r1, r2) V (r1, r2) 0 (r1, r2) d

3r1d3r2 =

= A

V|0 (r1, r1)|2 d3r1 = A

V|0 (r, r)|2 d3r

donde V designa el paraleleppedo. As, para los casos (i),(ii),(iii) tendramos que

E = A

V|111 (r)111 (r)|

2 d3r =A

V|111 (r)|

4 d3r =

= A

(8

abc

)2 a0

sin4x

adx

b0

sin4y

bdy

c0

sin4z

cdz =

=64A

abc

( 10

sin4 (u) du

)3=

64A

abc

(3

8

)3=

27A

8abc

por lo que la interaccin aumenta la energa.Por el contrario, para el caso iv)

E = A

V

(a)0 (r, r)2 d3r = 0ya que (a)0 (r, r) = 0, como corresponde a toda funcin antisimtrica.

2.3. PERTURBACIONES PARA NIVELES DEGENERADOS

La teora que hemos visto hasta ahora slo es aplicable, en general, cuando los estados propios delhamiltoniano no perturbado son no degenerados. Si hubiera degeneracin, es decir, si hubiera estados|(0)n y |(0)k distintos con E

(0)n = E

(0)k algunos denominadores en (2.7) y (2.8) se anularan y los

correspondientes coecientes c(1)nk y energas E(2)n se haran innitos. No obstante, cabe la posibilidad

de que la anulacin del denominador quede compensada por la anulacin de los elementos de matrizH kn del numerador. Es decir, las divergencias no aparecen si los elementos de matriz del hamiltonianode perturbacin entre los diferentes estados correspondientes a un mismo nivel degenerado son nulos.En tal caso, podemos seguir utilizando la teora de perturbaciones sin degeneracin. En caso contrario,es decir, si ((0)n , H

(0)k ) 6= 0 y E

(0)n = E

(0)k , entonces tenemos que modicar el mtodo anterior.

Estas mismas consideraciones nos permiten ver el camino a seguir. Supongamos, en efecto, que parael hamiltoniano H0 existe un nivel no perturbado E

(0)n con degeneracin gn, lo que quiere decir que a

dicho nivel est asociado no un nico estado sino un subespacio de estados E(0)n de dimensin gn. Dentrode dicho subespacio podemos elegir arbitrariamente cualquier conjunto de gn estados ortogonales paraformar una base. Lo que se hace normalmente es escoger estos estados de modo que sean tambinestados propios de algn otro operador que conmuta con H0. (Recordemos, por ejemplo, que en el

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FSICA CUNTICA II. TEORA DE PERTURBACIONES ESTACIONARIAS

caso del tomo de hidrgeno se toman estados que sean tambin estados propios de L2 y Lz). Llamemosentonces (0)n (con = 1, 2, . . . gn) a los estados escogidos como base ortonormal del subespacio E(0)nasociado a E(0)n .

Introduzcamos ahora la perturbacin. Como veremos, si la perturbacin no tiene las mismassimetras que el hamiltoniano H0, la degeneracin se romper. Si la ruptura es completa, el nivelE

(0)n degenerado se desdoblar en gn niveles En perturbados, a cada uno de los cuales corresponder

un nico estado |n. Ahora, para 0 tendremos evidentemente En E(0)n , pero ya no podemos

asegurar que n (0)n; lo nico que podemos asegurar es que n tiende a un estado del subespacio

asociado a E(0)n , esto es, que n

c(0)n

(0)n. Esto se debe, como hemos dicho, a que la perturbacin

no tiene la misma simetra que H0 y, por consiguiente, puede mezclar los estados propios de H0.Sin embargo, hemos dicho que la eleccin de los (0)n de partida no es nica. Qu pasara si

partiramos de unos (0)n que no estuvieran acoplados por la perturbacin, es decir, para los que(

(0)n, H

(0)n

)= 0? En este caso, no habra problemas de divergencias, como ya hemos dicho, y

podramos utilizar el mismo mtodo que en ausencia de degeneracin. En resumen, lo que tenemosque hacer es encontrar una base estados no perturbados adecuada a la perturbacin H que queremosestudiar. Esta es, en esencia, la idea que subyace al mtodo de perturbaciones en presencia dedegeneracin.

Vayamos ahora con el desarrollo formal del mtodo. Vamos a repetir todos los clculos discriminandoel que supondremos nico nivel degenerado E(0)n con degeneracin gn. Tenemos entonces

H0

(0)j = E(0)j (0)j para j 6= n y H0 (0)n = E(0)n (0)n = 1, 2, . . . , gnLas funciones de onda del hamiltoniano perturbado se escriben ahora3

|n =j 6=n

cn,j

(0)j +

cn,n

(0)ny la ecuacin (2.2) hay que reescribirla de la formaj 6=n

cn,jH(0)j +

cn,nH(0)n =

j 6=ncn,j

(En E(0)j

) (0)j +

cn,n

(En E(0)n

) (0)n .(2.14)

Multiplicando escalarmente esta ecuacin (2.14) por (0)k (k 6= n) obtenemosj 6=n

cn,jHkj +

cn,nHk,n = cn,k

(En E(0)k

). (2.15)

Anlogamente, multiplicando (2.14) por (0)n , perteneciente al nivel degenerado, obtenemosj 6=n

cn,jHn,j +

cn,n Hn,n = cn,n

(En E(0)n

). (2.16)

Sea de nuevo H = W . Introduz