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INDICE
Página
ÍNDICE 1
RESUMEN 6
INTRODUCCIÓN 7
MARCO TEÓRICO 9
MATERIALES Y MÉTODOS 10
RESULTADOS 11
CAPITULO 1 MECÁNICA DE SÓLIDOS DEFORMABLES
1.1 Clases de Sólidos 12
1.2 Propiedades de los sólidos 13
1.3 Deformación de los cuerpos sólidos 14
1.4 Esfuerzo 14
1.5 Deformación unitaria 15
1.6 Tracción y compresión por debajo del límite de elasticidad 16
1.7 Diagrama esfuerzo vs deformación 17
1.8 Coeficiente de Poisson 19
1.9 Deformación volumétrica 22
1.10 Deformación por cizalladura 25
1.11 Torsión 26
CAPÍTULO 2 MOVIMIENTO OSCILATORIO
2.1 Movimiento armónico simple 30
2.2 Cinemática en el movimiento armónico simple 34
2.3 Interpretación geométrica del MAS 39
2.4 Energía en el Movimiento Armónico Simple 40
2.5 El péndulo simple 48
2.6 Péndulo físico 50
2.7 Superposición de dos MAS de igual dirección y frecuencia 54
2.8 Superposición de dos MAS de igual dirección y diferente frecuencia 57
2.9 Superposición de dos MAS con direcciones perpendiculares 59
1
2.10 Oscilaciones amortiguadas 62
2.11 Factor de calidad 66
2.12 Oscilaciones forzadas 71
2.13 Resonancia 73
CAPITULO 3 MOVIMIENTO ONDULATORIO
3.1 Ondas mecánicas 81
3.2 Tipos de ondas 81
3.3 Ondas viajeras en una dimensión 82
3.4 Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio 84
3.5 Ondas armónicas 85
3.6 Velocidad y aceleración de partículas en una onda armónica 87
3.7 Rapidez de ondas en cuerdas 88
3.8 Rapidez de ondas transversales en una barra 89
3.9 Rapidez de ondas longitudinales en una barra 90
3.10 Rapidez de ondas longitudinales en una columna de fluido 93
3.11 Energía de ondas en una cuerda 95
CAPITULO 4: ONDAS SONORAS
4.1 Ondas sonoras armónicas 99
4.2 Intensidad de ondas sonoras 101
4.3 Niveles de intensidad: el decibel 103
4.4 Efecto Doppler 103
4.5 Reflexión y refracción del sonido 107
4.6 Principio de superposición 107
4.7 Interferencia de ondas que viajan en distintas direcciones 109
4.8 Ondas estacionarias 110
4.9 Modos normales de una cuerda 112
4.10 Ondas estacionarias longitudinales y modos normales 113
CAPÍTULO 5: HIDROSTÁTICA
5.1 Densidad 119
5.2 Densidad relativa 120
5.3 Peso específico 120
5.4 Presión 121
5.5 Variación de la presión con la profundidad 122
5.6 Presión atmosférica 124
5.7 Manómetro en U 125
2
5.8 Principio de Pascal 126
5.9 Principio de Arquímedes 127
5.10 Fuerzas sobre las paredes de un dique 129
CAPÍTULO 6: TENSIÓN SUPERFICIAL
6.1 Energía superficial 133
6.2 La tensión superficial como fuerza 134
6.3 Meniscos y ángulo de contacto 135
6.4 Presión producida por la curvatura de una superficie 137
6.5 Fenómenos Capilares 138
CAPÍTULO 7 HIDRODINÁMICA
7.1 Conceptos generales del movimiento de un fluido 142
7.2 Líneas de corriente 143
7.3 Tubo de flujo 143
7.4 Caudal 144
7.5 Ecuación de Continuidad 144
7.6 Ecuación de Bernoulli 145
7.7 Ecuación de Torricelli 147
7.8 Tubo de Venturi 149
7.9 Tubo de Pitot 150
7.10 Fuerza ascensional 150
7.11 Fuerza de rozamiento interno 151
7.12 Ley de Poiseuille 153
7.13 Ley de Stokes 156
7.14 Número de Reynolds 157
CAPÍTULO 8 LA TEMPERATURA
8.1 La temperatura y la ley cero de la termodinámica 161
8.2 Termómetro y escalas de temperatura 162
8.3 Termómetro de gas ideal a volumen constante 166
8.4 Dilatación: dilatación de los sólidos 168
8.5 Dilatación superficial 170
8.6 Dilatación volumétrica 171
8.7 Esfuerzo térmico 173
3
CAPÍTULO 9 DESCRIPCIÓN DE UN GAS IDEAL
9.1 Descripción macroscópica de un gas ideal 177
9.2 Ley de Boyle-Mariotte 177
9.3 Ley de Charles y Gay-Lussac 178
9.4 Ley de Avogadro y la ecuación de los gases ideales 178
9.5 Ecuación de Van der Waals 180
9.6 Modelo cinético molecular de un gas ideal 182
9.7 Definición microscópica de un gas ideal 182
9.8 Cálculo cinético de la presión 183
9.9 Interpretación molecular de la temperatura 184
9.10 Teorema de equipartición de la energía 186
CAPÍTULO 10: CALOR
10.1 Introducción 188
10.2 Equivalente mecánico del calor 188
10.3 Capacidad térmica de un cuerpo 189
10.4 Calor específico de un cuerpo 189
10.5 Calorimetría 190
10.6 Calores de transformación 191
10.7 Formas de transferencia de calor 192
10.8 Transferencia de calor por conducción 192
10.9 Transferencia de calor por convección 196
10.10 Transferencia de calor por radiación 199
CAPÍTULO 11 TERMODINÁMICA
11.1 Sistemas termodinámicos 201
11.2 Equilibrio termodinámico 202
11.3 Variables termodinámicas 203
11.4 Función de estado 203
11.5 Transformaciones termodinámicas 204
11.6 Diagramas P-V 204
11.7 Trabajo 205
11.8 Trabajo realizado por un gas ideal en procesos termodinámicos 206
11.9 Energía interna 208
11.10 Primera ley de la Termodinámica 209
11.11 Aplicaciones de la primera ley 2.09
11.12 Procesos adiabáticos para un gas ideal 211
11.13 Máquinas térmicas y la segunda ley de la termodinámica 213
4
11.14 Rendimiento de una máquina térmicas 214
11.15 Motores de combustión interna 214
11.16 Ciclo de Carnot 216
11.17 Refrigeradores y la segunda ley de la termodinámica 219
11.18 Coeficiente de Eficiencia 220
11.19 Refrigerador de Carnot 220
11.20 Teorema de Carnot 221
11.21 Escala termodinámica de temperatura 221
11.22 Procesos reversibles e irreversibles 222
11.23 Entropía y Calor 222
11.24 Variación de Entropía en procesos reversibles 226
11.25 Variación de Entropía en procesos irreversibles 227
LABORATORIOS
Laboratorio Nº 1: Movimiento Armónico Simple 233
Laboratorio Nº 2: Péndulo físico 236
Laboratorio Nº 3: Ondas estacionarias en una cuerda 238
Laboratorio Nº 4: Velocidad del sonido en el aire 241
Laboratorio Nº 5: Determinación del coeficiente de tensión superficial 245
Laboratorio Nº 6: Medida de la viscosidad por el método de Stokes 249
Laboratorio Nº 7: Cantidad de calor 252
Laboratorio Nº 8: Determinación del calor específico de un sólido 255
Laboratorio Nº 9: Fusión y solidificación de la naftalina 259
Laboratorio Nº 10: Calor latente de vaporización del agua 262
5
RESUMEN
El objetivo del presente trabajo de investigación ha sido elaborar un texto de naturaleza
teórico-práctico-experimental, redactado en lenguaje simple, que expone de manera clara y precisa,
los conceptos y las leyes más importantes de la mecánica de los cuerpos deformables, la
temperatura, el calor y la termodinámica; lo que le permite ser usado en el dictado de la asignatura
de F II que forma parte de los currículos de estudios de las diversas carreras de ciencias del país y
en especial de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad Nacional del
Callao.
Específicamente el texto “FÌSICA II PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS“ procura
introducir en forma clara y precisa los conceptos fundamentales para la comprensión de la
asignatura en referencia y, asimismo, pretende preparar al estudiante para que emprenda con éxito
el estudio de otras asignaturas relacionadas a éste nivel de pregrado. En el capítulo 1 se estudia los
sólidos y sus propiedades elásticas desde un enfoque básico. En el capitulo 2 se destaca la
importancia de las oscilaciones y sus aplicaciones, de igual forma se analiza el movimiento
ondulatorio (capítulo 3), las ondas sonoras (capítulo 4) y sus aplicaciones. Los capítulos 5, 6 y 7
corresponden al estudio de los fluidos en reposo, de los fenómenos de superficie y de los fluidos en
movimiento. El capítulo 8 se desarrolla un enfoque macroscópico de lo que es la temperatura, para
luego tratar la dilatación de sólidos y líquidos, continuando luego con una descripción
macroscópica de un gas ideal (capítulo 9) y la ecuación de estado que lo caracteriza. El capítulo 10,
destaca la importancia del calor y sus formas de propagación. Finalmente el capitulo 11 desarrolla
las leyes de la termodinámica y sus aplicaciones.
El texto se basa (en su plan general y en algunas extensiones de su contenido), en los textos
mencionados en los referenciales, así como algunas notas de consulta. En cada capítulo se
presentan interesantes ejercicios de aplicación a un nivel adecuado y, adicionalmente, se incluyen
algunas prácticas de laboratorio que complementan los temas tratados, lo que le da un carácter
integral y funcional a la obra.
El resultado muestra que en contraste con los textos elaborados por otros autores, el texto
“FISICA II PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS“ hace más dinámico y fácil el proceso de
enseñanza aprendizaje de esta asignatura.
6
INTRODUCCION
El curso de Física II que se dicta en las diferentes carreras profesionales de ciencias, se estudian los
conceptos fundamentales de la mecánica de los sólidos deformables, el movimiento oscilatorio,
ondas mecánicas, estática y dinámica de fluidos y la temperatura el calor y la termodinámica. La
comprensión de estas partes de la Física y el desarrollo de destrezas para la solución de problemas
en la asignatura, son reforzados con ejemplos de aplicación. Asimismo la comprensión de los
conceptos y las leyes correspondientes al curso, están ligados a la verificación experimental que
pueda realizarse, por lo que se propone algunas arreglos experimentales simples que puede permitir
la verificación como reafirmamiento de los conceptos vertidos.
El desarrollo del curso de Física II generalmente comprende sesiones teóricas, sesiones de
discusión de problemas y sesiones experimentales, tanto en Ciencias como en la mayoría de las
carreras profesionales de Ingeniería, por lo que no es posible adoptar solamente un texto como guía
de clase. A los ya introducidos en el mercado.
Los estudiante que siguen la carrera de ciencias deben aprender los conceptos fundamentales de la
mecánica de los sólidos deformables, el movimiento oscilatorio, ondas mecánicas, estática y
dinámica de fluidos; temperatura, calor y termodinámica para poder avanzar en otras asignaturas
que forman parte de la currícula de estudios.
En la revisión de los libros editados para el dictado de la asignatura de Física II, se encuentra que
hacen una exposición extensa en los conceptos, generando dificultad en su comprensión, insertan
tablas que si bien es cierto sirven de referencia para la solución de los problemas propuestos, se
halla que un porcentaje de los elementos de la tabla no son usados. La mayoría de autores no hacen
referencia a prácticas experimentales, razón por la cual ésta se complementa con el uso de un
manual de laboratorio.
En tal sentido, el problema de la investigación consistió en elaborar un texto de naturaleza teórico
práctico y experimental, que oriente adecuadamente el desarrollo sistemático y concreto de la
asignatura de Física II para estudiantes de ciencias.
Los principales objetivos planteados para la investigación consideran introducir en forma
equilibrada los conceptos y fenómenos mas importantes de la mecánica de los cuerpos
deformables, el calor, la temperatura y termodinámica de modo que proporcione una base sólida
para un estudio posterior de otras asignaturas e iniciar a los estudiante en el método científico de
comprobación de hipótesis a través de la solución de problemas y el uso de equipos experimentales
que le permitan ganar destreza.
7
La importancia del presente trabajo radica en el hecho que el Texto: FISICA II PARA
ESTUDIANTE DE CIENCIAS es un instrumento que facilita el proceso de enseñanza-aprendizaje,
de acuerdo con los objetivos y contenidos de los programas oficiales de la asignatura de Física II
que se desarrolla en la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad Nacional del
Callao y en otras universidades del país.
8
MARCO TEORICO
De acuerdo a las sumillas presentadas en las currículas de estudio de la Escuela Profesional de
Física y de la Escuela Profesional de Matemática de la Facultad de Ciencias Naturales y
Matemática, en la asignatura de Física II se estudian las propiedades mecánica de los sólidos
deformables, movimiento oscilatorio, ondas mecánicas, estática y dinámica de fluidos;
temperatura, calor y termodinámica.
Muchos autores, Tipler & Mosca (2010), Serway (2005), Sears (2005), Resnick (1996), entre otros
han escrito textos relacionados a esta asignatura, generalmente dirigidos a estudiantes de ingeniería,
en la que la exposición de los conceptos y las definiciones son demasiado extensas y no hacen
referencia a prácticas experimentales. Algunos autores como Vásquez (2001), presenta una teoría
reducida que acompañan con pocos problemas resueltos. Otros como Goldemberg (1972), hace
referencia al aspecto experimental de esta asignatura, pero muy pocos problemas resueltos.
Finalmente tenemos casos extremos como Frish (1979) que sólo expone temas teóricos, Irodov que
sólo presenta una colección de problemas propuestos, y Mainers (1980) sólo exponen el aspecto
experimental.
9
MATERIALES Y MÉTODOS
El texto “FISICA II PARA ESTUDIANTE DE CIENCIAS“ se ha desarrollado considerando el
ordenamiento clásico de los temas tal como lo proponen muchos autores que se citan en los
referenciales, Tipler, Serway, Sears, Resnick, entre otros. Se ha seleccionado y resuelto una
diversidad de problemas propuestos en los textos publicados por los autores anteriormente citados.
Las prácticas experimentales han sido diseñadas para ser realizadas con equipos, accesorios y
materiales básicos no sofisticados que debe hallarse en todo laboratorio de física.
La información ha sido procesada en un PC usando Microsoft Word for Windows 2003,
cumpliendo así con los requisitos exigidos en las directivas vigentes, mediante el cual se han
escrito todos los informes, editado todo el formulismo matemático y elaborado los esquemas y
dibujos relacionados a los diversos temas desarrollados.
El método empleado es el inductivo-deductivo que permite desarrollar la Física en forma concreta
y ordenada. Este método ha hecho posible mostrar el desarrollo del formulismo que describe cada
uno de los conceptos, así como también, el análisis de las soluciones de los problemas resueltos.
10
RESULTADOS
El resultado del presente trabajo de investigación es el texto “FISICA II PARA ESTUDIANTE
DE CIENCIAS” cuyo contenido se expone en once capítulos, distribuidos en el orden señalado en
el índice y que se presenta en las páginas siguientes.
En cada capitulo se expone en forma clara y directa los principales conceptos y leyes asociados a
los temas tratados. En cada uno de los capítulos, se hace una exposición teórica clara y concisa con
algunos ejemplos de aplicación para una buena comprensión.
Se han planteado diez guías de laboratorio relacionadas a los temas interés de la asignatura, las
mismas que pueden ser realizadas con equipamiento básico no sofisticado, empleando materiales
sencillos.
El uso del texto “FISICA II PARA ESTUDIANTE DE CIENCIAS” permitirá al estudiante unificar
los conceptos teóricos con los prácticos y los experimentales, favoreciendo de esta manera el
proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura de Física II, la misma que concuerda con la
propuesta silábica para su dictado.
11
CAPÍTULO 1
SÓLIDOS
Los sólidos se caracterizan por poseer forma y volumen propio, debido a que las fuerzas
que mantienen unidas a las partículas son intensas. Los sólidos tienen una función muy importante
en la vida de los seres vivos, es en base a los cuerpos sólidos que el hombre construye herramientas
o estructuras necesarias para la vida tal como la conocemos, como por ejemplo enseres, puentes,
plataformas, edificios, etc, de ahí el interés del estudio de cómo se comporta un sólido cuando es
sometido a diferentes tipos de ensayos, aunque éste sea un estudio elemental del amplio tema de la
resistencia de materiales.
En la mecánica del cuerpo rígido consideramos que un cuerpo sólido no se deforma al ser
sometido a fuerzas. Este sistema es una idealización de la realidad, dado que ayuda a simplificar el
análisis del sólido en diversas circunstancias. Sin embargo en la realidad los sólidos se deforman en
mayor o menor grado cuando son sometidos a fuerzas exteriores y esto lo observamos en vigas,
barras, cuerdas, etc. que forman parte de una estructura mecánica, de ahí que nos interesemos por
conocer el comportamiento de los cuerpos sólidos cuando son sometidos a esfuerzos.
1.1.CLASES DE SÓLIDOS
En principio los cuerpos sólidos se dividen en dos tipos que se diferencian uno de otro muy
sensiblemente por sus propiedades físicas, a saber:
1.1.1. Sólidos cristalinos, que son cuerpos cuya forma geométrica es regular. Los cuerpos
cristalinos están limitados por caras planas que concurren en las aristas y en los vértices.
Generalmente las caras se disponen simétricamente unas respecto a las otras. En un sólido
cristalino, los átomos o moléculas que lo constituyen se colocan en forma regular y
periódica definiendo una red cristalina, la que es característica para cada sustancia y se
extiende a todo el volumen del cuerpo. Los cristales tienen orientados de determinada
manera ciertos planos, por los cuales muchos de ellos se fragmentan fácilmente. También
los cuerpos cristalinos tienen una temperatura determinada de fusión. Dentro de los sólidos
cristalinos tenemos:
a) los monocristales, que es un cristal de forma mas o menos regular, cuya
característica es la anisotropía, según la cual un cuerpo homogéneo tiene diferentes
propiedades en diferentes direcciones; por ejemplo el coeficiente de dilatación térmico
de un sólido cristalino es diferente según las distintas direcciones, las propiedades
mecánicas, ópticas y eléctricas son diferentes según las direcciones;
12
b) los policristales poseen estructura cristalina fina, es decir, están formados por
un gran número de cristales estrechamente unidos y dispuestos al azar. Es debido a esta
orientación azarosa de los cristales que un policristal revela propiedades isotrópicas.
1.1.2. Los sólidos amorfos, son sustancias que en estado condensado no tienen estructura cristalina.
Los sólidos amorfos son isótropos, es decir tienen las mismas propiedades en todas las
direcciones. Los cuerpos amorfos siempre ofrecen superficies irregulares de ruptura, por
ejemplo el vidrio al romperse presenta superficies irregulares, se forman trozos de forma
completamente irregular y casual. Los sólidos amorfos a diferencia de los cristalinos, se
reblandecen con el aumento de la temperatura; el cuerpo pasa del estado sólido al líquido de
un modo continuo, su viscosidad disminuye y empiezan a comportarse como líquidos
viscosos corrientes. Como ejemplo tenemos las diferentes materias vidriosas, el alquitrán, los
betunes, etc.
1.2. PROPIEDADES DE LOS SÓLIDOS
Las propiedades de los sólidos se estudian considerando las características que los distinguen de
los fluidos y se deben principalmente a que sus átomos no se arreglan caóticamente como en los
fluidos. Estas propiedades pueden ser físicas como las propiedades escalares, vectoriales y
tensoriales, o pueden ser mecánicas y que están relacionadas con la habilidad del material para
soportar esfuerzos mecánicos. Son propiedades mecánicas:
Elasticidad, es la propiedad mecánica de ciertos materiales de sufrir deformaciones
reversibles cuando se encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la
forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan.
Plasticidad, propiedad mecánica del material que le permite adquirir grandes deformaciones
residuales sin fractura.
Ductibilidad, propiedad mecánica que permite a un material soportar deformación plástica
bajo tracción, como se da en la producción de hilos (alambres) por ejemplo.
Maleabilidad, propiedad que permite a un material soportar deformación plástica bajo
esfuerzos de compresión, láminas por ejemplo.
Fragilidad, que es la ausencia de plasticidad. Es decir el material se destruye sin presentar
deformación residual cuando la carga sobre ellos es excesiva.
Dureza, propiedad mecánica que permite a un material soportar grandes esfuerzos sin gran
deformación unitaria.
Resistencia, propiedad mecánica que determina el más gran esfuerzo que el material puede
soportar sin ruptura o deformación excesiva.
Tenacidad, propiedad que permite al material soportar grandes golpes.
13
1.3. DEFORMACIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS
Bajo la acción de fuerzas exteriores, todo cuerpo se deforma. La deformación de un sólido es el
cambio de forma y/o volumen provocado por la actuación de una o varias fuerzas o algún otro
fenómeno físico. La naturaleza de la deformación depende tanto del fenómeno físico que la
provoca así como de su magnitud.
En función del fenómeno físico que la provoca podemos distinguir: deformaciones mecánicas,
las provocadas por la aplicación de fuerzas, y deformaciones térmicas debidas a cambios de
temperatura.
Las deformaciones mecánicas pueden ser provocadas por tracción si la elongación es positiva o
compresión si la elongación es negativa. Se caracteriza porque la longitud del sólido varía en la
dirección en la que actúa la fuerza, pero la forma geométrica se mantiene.
La deformación por flexión se caracteriza por una alteración en la curvatura de la pieza como
en el caso de una viga apoyada en su extremo que se curva por la acción de un peso situado
sobre ella. Este caso lo observamos claramente en el trampolín de una piscina.
La deformación por torsión se produce cuando en una barra se tuerce un extremo mientras se
fija el otro, como cuando queremos escurrir un trapo o toalla empapado de agua.
1.4. ESFUERZO
Cuando se aplica una fuerza a un sólido deformable, ésta es compensada por las fuerzas
internas del cuerpo (fuerzas de enlace), son las fuerzas internas las que equilibran a las fuerzas
externas por lo que la acción de la fuerza externa se distribuye en toda la sección transversal del
material. Es por ello que el efecto que provoca en él depende tanto de la fuerza aplicada como
del área de la sección del cuerpo sobre la que se aplica. Por esta razón es conveniente hablar de
fuerzas por unidad de superficie conocido como esfuerzo o fatiga y que se define como:
[1.1]
Las unidades del esfuerzo son de N/m2 en el sistema internacional. Observamos que si el
sentido de las fuerzas es el de alejarse de la barra, la barra se encuentra en estado de tracción, si
el sentido de las fuerzas es hacia la barra, se dice que la barra se encuentra en estado de
compresión; de esta forma entonces, se debe tener en cuenta cómo es que se aplican los esfuerzos
sobre el sólido, ya que estos van a producir diferente deformación en el mismo, y de acuerdo a
ello es que podemos definir los esfuerzos como esfuerzo normal y esfuerzo tangencial o cortante.
1.4.1. Esfuerzo Normal: Son aquellos debidos a fuerzas perpendiculares a la sección transversal
Si consideremos una barra sometida en sus extremos a fuerzas iguales y opuestas de magnitud
F, la barra está en equilibrio bajo la acción de estas fuerzas y por lo tanto, toda parte de la
14
misma está también en equilibrio. A la relación de la fuerza distribuida en el área transversal se
le denomina Esfuerzo ó Fatiga Normal expresado por
[1.2]
Esta relación es válida también para fuerzas de compresión. El esfuerzo aplicado sólo
produce cambio de volumen del sólido mas no produce cambio en la forma del cuerpo, esto
es, la geometría se mantiene.
1.4.2. Esfuerzo Cortante: Si actúan fuerzas tangenciales y de sentidos contrarios en las caras
opuestas de un cuerpo, las caras tienden a deslizarse uno con respecto a la otra y se producirá
una deformación por deslizamiento. En la figura 1.2 la mano ejerce sobre la cubierta del libro
una fuerza tangencial hacia la derecha, la
superficie ejerce una fuerza en sentido contrario,
luego el esfuerzo cortante es:
[1.3]
también conocido como esfuerzo tangencial o de
cizalladura. Este tipo de esfuerzo produce un
cambio en la forma del cuerpo, es decir, la geometría del sólido cambia cuando sobre él actúa
un esfuerzo cortante.
1.5. DEFORMACIÓN UNITARIA
15
Figura 1.1. Barras sometidas a esfuerzos de tracción (izquierda) y compresión (derecha)
Figura 1.2. Fuerza tangencial aplicada al lomo de un libro. La razón de la fuerza al área cons-tituye el esfuerzo cortante
Si un cuerpo está sometido a una tensión o compresión sufre deformación a lo largo de la tensión
aplicada. Es de interés considerar la deformación por unidad de longitud, así, definimos la
deformación unitaria longitudinal:
= /Lo; [1.4]
donde = L = L - Lo
Los cuerpos también sufren deformación por esfuerzos cortantes, donde los planos moleculares
tienden a deslizarse, de forma similar a como lo hace el libro en la figura [1.2], dando lugar a
deformación por cizallamiento o cortadura. Así, definimos la deformación unitaria por
cizalladura
[1.5]
dado que las deformaciones elásticas son pequeñas.
1.6. TRACCIÓN Y COMPRESIÓN POR DEBAJO DEL LÍMITE DE
ELASTICIDAD
En física e ingeniería, el término elasticidad designa la propiedad
mecánica de ciertos materiales de sufrir deformaciones reversibles
cuando se encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de
recuperar la forma original si estas fuerzas exteriores cesan. Sabemos
que un cuerpo está formado por partículas o moléculas entre las cuales
actúan fuerzas. Estas fuerzas moleculares se oponen a cambios de
forma del cuerpo cuando sobre él actúan fuerzas externas. Si un
sistema exterior de fuerzas se aplica al cuerpo, sus partículas se
desplazan y estos desplazamientos mutuos continúan hasta que se
establece el equilibrio entre el sistema exterior de fuerzas y las fuerzas
internas. En este caso diremos que el cuerpo está en estado de
deformación.
Durante la deformación, las fuerzas exteriores que actúan sobre el cuerpo realizan trabajo,
y este trabajo se transforma total o parcialmente en energía potencial de deformación.
Ejemplo de esta acumulación de energía en un cuerpo deformado, es el caso de un muelle de
reloj.
Si las fuerzas, causa de la deformación del cuerpo disminuyen gradualmente, el cuerpo
vuelve total o parcialmente a su forma primitiva y durante esta deformación inversa la
16
Figura 1.3. Barra sometida a tracción por la carga mg.
energía potencial de deformación acumulada en el cuerpo se recupera en forma de trabajo
exterior.
Sea, por ejemplo, una barra cilíndrica cargada en su extremo tal como se indica en la figura
1.3. Bajo la acción de esta carga (despreciando el peso de la barra), la barra se alarga cierta
cantidad L. El punto de aplicación de la carga se desplaza en su dirección y la carga realiza
un trabajo positivo durante este movimiento.
Cuando se merma la carga, el alargamiento de la barra también merma, el extremo
parcialmente cargado se desplaza hacia arriba y la energía potencial de deformación se
transforma en el trabajo al desplazar la carga en sentido contrario a su dirección. Así, diremos
que el cuerpo es perfectamente elástico si recobra su forma original de forma completa al
descargarlo, y que es parcialmente elástico si la deformación producida por las fuerzas
exteriores no desaparece por completo al descargarlo. Luego, a la propiedad que tienen los
cuerpos de recuperar su forma primitiva al descargarlos se denomina elasticidad.
1.7. DIAGRAMA ESFUERZO vs DEFORMACIÓN.
Se debe al trabajo de R. Hooke (1635-1703) el establecimiento de la relación básica entre
esfuerzo y deformación elástica de un sólido. Cuando
un cuerpo es sometido a un test de tracción, se obtiene
una curva típica, como la que se muestra en la figura
1.4. Aparecen fuerzas intermoleculares que se oponen
a la fuerza aplicada, originándose un estado de
equilibrio que se manifiesta macroscópicamente por la
deformación experimentada por el sólido, que se
mantiene en estado de reposo. Si la fuerza por unidad
de área aumenta de valor, el alargamiento
experimentado por el cuerpo será en la misma
proporción, siempre que aquélla no supere cierto valor
máximo, correspondiente al señalado como A en la
figura 1.4 que muestra el esfuerzo frente a la
deformación experimentada por el cuerpo. Si el esfuerzo supera el valor correspondiente al
punto A, la proporcionalidad directa desaparecerá, y el cuerpo se deformará más con el
aumento de fuerza aplicada. Sin embargo, mientras no se supere el valor del esfuerzo
correspondiente al punto B, el cuerpo recuperará su forma inicial cuando el esfuerzo sea
reducido o eliminado. A partir de este valor, un aumento del esfuerzo implicará un
crecimiento no lineal de la deformación, de tal forma que, si cesa el esfuerzo, el cuerpo no
recupera su forma anterior, manteniendo una deformación residual. Cuando el esfuerzo
adquiere un valor relativamente grande, correspondiente al punto C, el cuerpo se rompe
17
Figura 1.4. Deformación de una probeta sometida a tracción.
definitivamente. Los puntos A, B y C, reciben los nombres respectivos de límite de
proporcionalidad, límite de elasticidad y punto de fractura.
Hasta el punto A se cumple la ley que Hooke descubrió: “las deformaciones son
proporcionales a los esfuerzos deformantes”, que se expresa matemáticamente mediante la
igualdad,
= E [1.6]
siendo E la constante de proporcionalidad que expresa una proporcionalidad directa
(recordemos que es válida siempre que no se sobrepase el punto A de la figura [1.4) entre el
esfuerzo aplicado (fuerza por unidad de área) y la deformación relativa del cuerpo, siendo la
constante de proporcionalidad E, dependiente únicamente del tipo de material del que está
hecho el cuerpo, pero independiente de su geometría. Al coeficiente E se le denomina
módulo de Young.
Tabla 1. Valores de algunos módulos elásticos correspondientes a algunas sustancias.
Material Módulo de Young (GPa)
Tensión de fluencia F
(MPa)
Módulo de Corte (GPa)
Módulo de volumen
(GPa)
Coef. de Poisson
Acero in. 195 550 0.24 - 0.28
Latón 100 35 80 0.32 - 0.42
Alumini
o
70 25 70 0.32 - 0.36
Bronce 95
Cobre 110 -120 300 38 120 0.33
Níquel 204 460
Plata 82.7 0.37
Concreto 20 5 - 35 0.1 - 0.15
Vidrio 48 - 78 0.2 - 0.3
Roble 11 117 trac.
59 comp
Granito 52 5 tración
145 comp
Podemos ahora calcular el trabajo realizado en la deformación
elástica de un cuerpo. En un proceso infinitesimal el trabajo es: dW
= F dl y éste se acumula en forma de energía elástica en el sólido.
18
Figura 1.5. Trabajo realizado en la tracción de una barra.
El trabajo producido por la fuerza de tracción F al aumentar la longitud de la barra en una
cantidad infinitesimal d(L) = d(L) = L d es dado por
W = F d(L) = F L d
Como F = A, y = E; al reemplazarlo en la expresión anterior, tenemos:
De esto se deduce que durante el alargamiento unitario de la barra desde cero hasta cierta
magnitud , se efectúa un trabajo de , esto es, cada unidad de volumen de la barra
deformada contiene la siguiente cantidad de energía elástica
[1.7]
que se constituye en una densidad de energía elástica almacenada en el cuerpo.
1.8. COEFICIENTE DE POISSON
Siempre que una barra se somete a tracción (o compresión), además de sufrir un estiramiento
(o engrosamiento para la compresión) en la dirección de la fuerza aplicada, la muestra sufre un
estrechamiento (o dilatación) en sus dimensiones transversales. Si la barra es de forma de
paralelepípedo regular, con el eje X a lo largo del esfuerzo de tracción aplicado, las
dimensiones transversales Y y Z de la barra disminuirá en una magnitud ΔY y ΔZ. Luego las
deformaciones transversales debido a la tracción son: εY = ΔY/Yo y εZ = ΔZ/Zo; y la razón entre
la deformación transversal a la longitudinal nos da el coeficiente de Poison o coeficiente de
deformación transversal, así:
[1.8]
Esto es debido a que el material es considerado isotrópico, y el signo menos se debe a que
el ancho final es menor que el inicial para las direcciones Y y Z, con ello, va a ser positivo.
En general εT es proporcional a ε, por lo que: εT = - μ ε.
Para una muestra incompresible, el valor sería μ = 0,5. Experimentalmente su valor varía
usualmente entre 0,25 a 0,5, siendo típicamente 0,3 para muchos materiales. El valor de μ = 0
lo tienen los cuerpos porosos como el corcho por ejemplo, que no varían las dimensiones
transversales en la tracción,
19
Ejemplo 1.1 Un alambre de cobre de 2m de largo y 1 mm de diámetro se utiliza para elevar un
objeto de 5 kg de masa a rapidez constante. ¿Qué alargamiento experimenta el alambre si el
módulo de Young es 1,151011 Pa?
Solución: Puesto que el objeto es elevado con velocidad constante, la fuerza que ha de vencer el
alambre coincide con el peso del objeto. De acuerdo con la ley de Hooke para la tracción
experimentada por el alambre de cobre, tendremos que E = = F /A
Ejemplo 1.2. Una pequeña anilla está colgada del techo mediante dos alambres, uno de cobre de 3
m de longitud y 5 mm2 de sección, formando un ángulo A = 30º con la horizontal, y otro de acero
de 2 m y 2mm2, formando un ángulo B = 60º con la horizontal. ¿Cuánto se alargarán cada uno de
los alambres al colgar de la anilla una pesa de 30 kg?.
Solución: Se representa la situación descrita mediante un esquema. El cable de acero está sometido
a la fuerza de tracción Ta, mientras que el cable de cobre experimenta la fuerza de tracción Tc.
Como el sistema está en equilibrio se cumplirá que,
Ta sen 30º + Tc sen 60º - P = 0
Tc cos 60º - Ta cos 30º = 0
De este sistema resultan los valores de ambas fuerzas,
Ta = 255 N y Tc = 147 N
Luego, dado que el módulo de Young es E = / los
alambres de cobre y de acero se alargan respectivamente:
y
Ejemplo 1.3. Se tienen dos barras unidas de longitudes L
1
y L
2
; de módulos elástico E
1
y E
2
y
secciones transversales A
1
y A
2
tal como se muestra en la figura. Al aplicarse una fuerza F en el
extremo, se observa que éste extremo se desplaza una longitud . Determine el alargamiento que
sufre cada una de las barras y la magnitud de la fuerza aplicada.
Solución: La deformación de una barra sometida a tracción es:
20
Como las dos barras están sometidas a la misma tracción, las deformaciones para cada barra son:
; y
entonces la deformación total es:
= 1
+ 2
= FL
1
/E
1
A
1
+ FL
2
/E
2
A
2
De donde hallamos el valor de F que es:
Que al reemplazar en cada una de las deformaciones tenemos:
;
Ejemplo 1.4. La barra horizontal rígida AB esta
soportada por 3 cables verticales, como se
muestra en la figura. Esta barra soporta una carga
de 24000 kg, hallar los esfuerzos de tensión en
cada cable y la posición de carga aplicada para
que AB permanezca horizontal si el módulo de
Young para el acero es Eac = 201010 Pa; para el
bronce Ebron = 9,51010 Pa y para el cobre ECu =
111010 Pa
Solución: El peso es W = 240009,8 = 235200 N.
De las condiciones de equilibrio y el diagrama de cuerpo
libre mostrado, tenemos que:
21L2L1
x
F3
F2
F1
W
Fv = F1 + F2 + F3 – W = 0
A = - W(0,8 – x) + F2(0,8) + F3(1,2) = 0
La fuerza de tensión en c/u de los cables es:
Para que la barra permanezca horizontal, las deformaciones que sufren los cables debe ser el mismo,
esto es L1 = L2 = L3. Aplicando la primera condición de equilibrio:
De donde
Luego, L = 6,4210-4 m
Por lo tanto, los esfuerzos en cada cable son: 1 = 3,21108 Pa; 2 = 4,07108 Pa y 3 = 1,96108
Pa
Para la segunda condición de equilibrio tenemos:
- 0,8W + Wx + F2(0,8) + F3(1,2) = 0
Que es la distancia a partir de F2 a la que debe actuar el peso W para que la barra se mantenga
horizontal.
1.9. DEFORMACIÓN VOLUMÉTRICA
Sea una barra en forma de paralelepípedo rectangular la cual se somete a esfuerzos normales
x, y, z uniformemente distribuidos por cada una de las caras de modo que las deformaciones
producidas en cada una de las direcciones son:
En el eje X: De la definición de módulo tenemos que E = x /x,
de modo que la deformación debido a la tracción a lo largo del
eje X es
[1.9]
La tracción a lo largo del eje X ocasiona un estrechamiento en las dimensiones transversales de
la barra, la que es contemplada por el coeficiente de Poisson, así, las contracciones
transversales son:
22
Figura 1.6. Deformación multilateral de un sólido.
, de donde y = - x y z = - x
Que al reemplazar por su valor nos da:
[1.10]
Dado que se considera que el material es isotrópico.
Veamos ahora lo que ocasiona la tracción a lo largo del eje y: la deformación a lo largo del eje
Y es
[1.11]
y las contracciones laterales se obtienen a partir del coeficiente de Poison
, de donde x = - y; y z = - y
Reemplazando (11) es las deformaciones transversales tenemos:
[1.12]
Del mismo modo, la tracción a lo largo del eje Z da lugar a la deformación
, [1.13]
Donde el coeficiente de Poisson es: . Entonces:
x = - z; y y = - z
Usando 1.13 en las expresiones, se tiene:
La deformación final a lo largo de los ejes X, Y y Z es:
[1.14]
[1.15]
[1.16]
23
Las ecuaciones 1.14, 1.15 y 1.16 representan la ley de Hooke Generalizada en una deformación
multilateral.
Veamos ahora cómo es la variación volumétrica unitaria. El volumen de la barra es V = Lx Ly Lz.,
siendo Lx Ly y Lz las dimensiones de la barra. Tomando logaritmo al volumen tenemos:
Diferenciando la expresión, nos da;
[1.17]
Que de acuerdo a la definición de deformación unitaria, éstas son las deformaciones a lo largo de
cada uno de los ejes por lo tanto,
[1.18]
Relación que expresa que la variación unitaria del volumen es igual a la suma de los alargamientos
unitarios a lo largo de las tres direcciones perpendiculares entre sí, de modo que haciendo el
reemplazo correspondiente de las ecuaciones 1.14, 1.15 y 1.16 obtenemos:
[1.19]
En este caso, la geometría del sólido no cambia. Como caso particular de deformaciones
homogéneas, consideremos un sólido que se somete a esfuerzos iguales en las tres direcciones (x
= y = z = ), como el sólido es isotrópico entonces son iguales también las deformaciones
unitarias del cuerpo (x = y = z ) Esta deformación por tracción o compresión volumétrica o
multilateral da lugar a:
[1.20]
y la deformación volumétrica unitaria es:
Donde el módulo volumétrico o módulo de compresibilidad B es:
[1.21]
Expresión que nos da una relación entre los módulos elásticos de Young, el coeficiente de Poisson
y el módulo de Compresibilidad. La inversa de esta expresión se conoce como coeficiente de
compresibilidad K
24
[1.22]
La energía elástica acumulada en el sólido por unidad de volumen, en la compresión volumétrica
será:
[1.23]
En todos los sólidos, la magnitud B debe ser positiva: el volumen del sólido aumenta con la
tracción y disminuye con la compresión. Dado que los sistemas mecánicos tienden a pasar al estado
de mínima energía potencial, al reemplazar [1.21] en [1.23] debemos considerar que 1 - 2 > 0 a
fin de que U sea positivo; y por tanto < 1/2, esto es, el coeficiente de Poisson no puede ser mayor
de ½.
Ejemplo 1.4. Supongamos que se comprime un bloque cúbico de un cierto material sólido en una
dirección únicamente, hasta conseguir un acortamiento del 1% en la misma. ¿En qué porcentaje
disminuirá el volumen del bloque si el coeficiente de Poisson es de 0.3?
Solución: A partir del coeficiente de Poisson y de la ecuación [1.6], podemos obtener la variación
relativa de las dimensiones transversales del bloque, De la ley de Hooke generalizada se tiene:
Donde se ha considerado que el único esfuerzo aplicado es a lo largo del eje x, por tanto los
esfuerzos a lo largo de los ejes y y z son cero. Luego, la variación volumétrica será:
Donde x = 0,01 y = 0,3
y el porcentaje es 0,4 %.
1.10. DEFORMACIÓN POR CIZALLADURA
En las deformaciones por cizallamiento (deslizamiento o cortadura), la forma del sólido
cambia pero no su volumen, por lo que V = 0. Este es otro caso particular de deformación
homogénea y la invariabilidad del volumen es dado por:
[1.24]
25
de modo que
[1.25]
y al despejar x y reemplazar en la ecuación 1.14, se halla:
que es el alargamiento o acortamiento unitario a lo largo de una arista cualquiera del sólido y
la tensión que actúa en la misma dirección, se relacionan mediante la ecuación:
En esta relación entra la magnitud E/(1+). Esta relación dividida por 2 se denomina módulo
de rigidez G
[1.26]
Ejemplo 1.5 Una barra encaja perfectamente en una cavidad perfectamente rígida, de
modo que sus dimensiones son invariables. Si se somete a una presión vertical,
determine la deformación unitaria de la barra.
Solución: Supongamos que la dirección de compresión es el eje Z. Debido a la
reacción de las paredes impidiendo la extensión lateral de la barra (x = y = 0), en ésta surgen las
tensiones transversales px y py. Sus magnitudes se determinarán de la condición de invariabilidad de
las dimensiones de la barra a lo largo de los ejes x e y, siendo así que por razones de simetría es
evidente que py = px. Usando la Ley de Hooke generalizada y considerando que la cavidad es rígida
Hallamos que las tensiones transversales se relacionan con las presiones pz mediante las igualdades:
La deformación axial de la barra se determina con la ecuación 1.16
1.11. TORSIÓN
26
Pz
La torsión, es una deformación por cizallamiento puro, pero no homogéneo. Esta se produce si
se fija un extremo de la barra y se tuerce el otro extremo. En este caso, distintas secciones de la
barra girarán en diferentes ángulos respecto de la base fija. Como con ello no varía la altura ni
el área de la sección de la barra, tampoco variará el volumen.
Es fácil determinar cómo se distribuye la deformación de deslizamiento en la torsión, según el
volumen de la barra. Para una barra de longitud L y sección circular de radio R, donde la parte
superior gira con respecto a la inferior un cierto ángulo . Cada
una de las generatrices AB de la superficie cilíndrica de la barra
se transformará en una línea inclinada AB’. Como la distancia
BB’ es igual a R, el pequeño ángulo de deslizamiento en la
superficie de la barra será:
tg = R /L [1.27]
Tomando ahora un radio r menor que R, se halla que sus
elementos también están sometidos a un deslizamiento, donde el
ángulo es ahora
r = r /L
menor que el ángulo de deslizamiento en la superficie de la barra. De esta manera, en la
torsión, distintos elementos de la barra sufren deslizamientos diferentes y éste será tanto
menor, cuanto más cerca del eje de la barra se halle el elemento.
A consecuencia de la deformación, en la barra torcida surgen fuerzas elásticas que equilibran
las fuerzas exteriores aplicadas. Como los elementos de la barra pueden girar alrededor del eje
de la misma, la ecuación de equilibrio, se reducirá a la igualdad de los momentos de las fuerzas
elásticas y de las fuerzas aplicadas. De esto se deduce que la magnitud de la deformación de
torsión debe determinarse por el momento de las fuerzas aplicadas con respecto al eje de la
barra, denominado momento de torsión. Para pequeñas deformaciones por deslizamiento, es
válida la ley de Hooke, y el ángulo de torsión de la barra es proporcional al momento de
torsión. Así, para determinar la fuerza que da lugar a la torsión sobre la barra se puede calcular
considerando una fuerza sobre un área dA = 2 r dr según se muestra en la figura 1.7. De la
definición de módulo de corte se tiene:
; de donde
Integrando desde el eje r = 0 a la superficie en r = R y de = 0 a , se tiene:
27
Figura 1.7. Barra sometida a torsión.
Que es la fuerza que tuerce el alambre y que es función del ángulo de torcedura así como del
módulo de rigidez de la barra, de su radio y de su longitud. El torque sobre un elemento de la barra
a una distancia r del eje es:
Integrando:
que representa el torque actuante sobre la barra de radio R y longitud L.
Para el caso de un péndulo de torsión oscilando, tenemos que al aplicar la segunda ley de Newton,
donde I es el momento de inercia de la masa oscilante. Comparando esta ecuación con la anterior,
se obtiene:
De donde y recordando que = 2f = 2/T entonces basta medir el periodo de
oscilación de la masa oscilante para determinar el módulo de torsión de la barra.
EJERCICIOS
1. Demostrar que el diámetro mínimo que debe tener un alambre de cierto material para soportar
una carga de magnitud P es
2. Del tejado de una casa cuelga un alambre de acero de 40 m de longitud y 2×10 -3 m de diámetro.
a)¿Qué carga máxima se puede colgar de éste alambre sin que llegue a romperse? b) ¿Cuánto
se alargará este alambre si de él se cuelga un hombre de 70 kg-f?, c) ¿se notará alargamiento
permanente cuando el hombre se suelte del alambre? El límite elástico del acero es 2,94×108 Pa
3. Un alambre de hierro de longitud L y coeficiente de Poisson µ , tiene atado a uno de sus
extremos una carga W. demostrar que la variación relativa del volumen del alambre es
4. Demostrar que para que una barra de longitud L y densidad que gira alrededor de uno de sus
extremos en un plano horizontal es necesario que la frecuencia de rotación sea
28
5. Demuestre que para que un alambre de longitud L y radio r no varíe su volumen al alargarlo es
necesario que tenga un coeficiente de Poisson igual a 0,5.
6. Una unión remachada de dos placas metálicas tiene 6 pernos de cierto material. La máxima
tensión que se puede ejercer sobre la banda es T kg-f y la fatiga por cizallamiento es como
máxima en los remaches en valor Z kg-f. Demostrar que el diámetro de cada remache es
7. Demostrar que la variación relativa de la densidad de una barra cilíndrica de longitud L y radio
R, cuando se somete a una compresión está dada por
8. Demuestre que para que un alambre de longitud L y radio r no varíe su volumen al alargarlo es
necesario que tenga un coeficiente de Poisson igual a 0,5.
9. Una barra de longitud L y masa m, cae verticalmente con una aceleración a. Calcule: a) la
deformación sufrida por la barra cuando a < g; b) la deformación sufrida por la barra cuando la
aceleración a es mayor que g. ¿Qué sucede cuando a = g?
10. Se tienen dos barras de longitudes L1 y L2, sección transversal A1 y A2, módulos de Young E 1
y E2, de masas m1 y m2 unidas por una cuerda inextensible, y que se mueven tiradas
horizontalmente con una aceleración “a”, tal como se muestra en la figura. Calcule la
deformación producida en cada barra.
29
m2m1
a
CAPÍTULO 2
MOVIMIENTO OSCILATORIO
En la naturaleza hay muchos movimientos que se repiten a intervalos regulares de tiempo, éstos
son llamados movimientos periódicos; así una partícula oscila cuando se mueve periódicamente
con respecto a la posición de equilibrio, como por ejemplo el movimiento de vaivén de un niño
meciéndose en un columpio, el movimiento de los planetas, el latido del corazón, la vibración de
las cuerdas de un instrumento musical, los electrones en una antena emisora o receptora, los átomos
en un sólido y en una molécula vibran unos respecto a otros, etc. Estos son llamados movimientos
periódicos y ocurren frecuentemente en la naturaleza, jugando un papel importante en diferentes
partes de la Física y la Ingeniería.
Entre los sistemas que tienen un movimiento periódico algunos realizan su viaje de ida y de
vuelta sobre el mismo camino, éstos son conocidos como sistemas oscilatorios. Además, si el
movimiento es descrito mediante una función armónica, es decir en términos de una función seno o
coseno, el movimiento se clasifica como Movimiento Armónico. El Péndulo y el sistema masa-
resorte son ejemplos típicos del Movimiento Armónico, y son la base para estudiar el movimiento
en otros sistemas, como lo son las Ondas Mecánicas, y eventualmente nos permitirán entender
algunas de las características de las Ondas en general
2.1. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
Consideremos un sistema de masa m unido al extremo de un
resorte fijo en la pared tal como se muestra en la figura 2.1. Este
sistema se halla en una posición de equilibrio cuando el resorte no
esta deformado, posición que identificamos como x = 0. Cuando el
sistema es sacado de la posición de equilibrio mediante a una
fuerza, el resorte ejerce la misma acción (ley de Hooke) pero en
sentido contrario y que es directamente proporcional al
desplazamiento x desde el equilibrio según la ecuación
Fx = - kx [2.1]
donde k es la constante de fuerza y representa la fuerza necesaria para desplazar la partícula una
unidad de distancia, x es el desplazamiento desde la posición de equilibrio. El signo negativo de la
30
fuerza en la ecuación [2.1] indica que se trata de una fuerza restauradora, por lo que Fx va a la
izquierda cuando el desplazamiento x es hacia la derecha y viceversa. Esta es la característica del
movimiento armónico simple
Suponiendo que no actúa ninguna otra fuerza sobre el cuerpo, y aplicando la segunda ley de
Newton Fx = m.ax
m ax = - k x
[2.2]
Observamos que la aceleración es proporcional al desplazamiento del bloque y de sentido contrario
al mismo. Los sistemas que se comportan de esta forma se dice que exhiben movimiento armónico
simple. Luego, un objeto se moverá con movimiento armónico simple si la aceleración del objeto
es proporcional al desplazamiento pero con sentido opuesto.
Considerando que el movimiento vibratorio es a lo largo del eje X, al aplicar la definición de la
aceleración en la ecuación [2.2] (donde obviamos el subíndice x dado que el
movimiento es en una dimensión), obtendremos:
o
[2.3]
que es una ecuación diferencial de segundo orden que relaciona la aceleración y el desplazamiento.
Esta ecuación es la representación matemática del movimiento armónico simple.
Es necesario hallar una función que sea solución a la ecuación [2.3]. Para ello debemos hallar
una función x(t) cuya segunda derivada sea similar a la función original con signo cambiado. Las
funciones trigonométricas seno y coseno muestran este comportamiento ya que son funciones que
se repiten cada 2 radianes, de modo que una solución a la ecuación diferencial es:
[2.4]
Para probar si x(t) es solución de 2.3, derivamos [2.4] dos veces respecto al tiempo y luego
reemplazamos en [2.3]; así, la primera derivada es:
y la segunda derivada es: y reemplazamos en 2.3, entonces
31
finalmente [2.5]
expresión que nos dice que [2.4] es solución de [2.3] sólo si la frecuencia angular viene dada por la
ecuación [2.5], donde x(t) representa el desplazamiento respecto al punto de equilibrio, A, ω y
son constantes del movimiento. La cantidad (ωt + ) es el ángulo de fase o fase del MAS y
caracteriza unívocamente el estado dinámico del oscilador; es la fase inicial o constante de fase
que corresponde a t = 0 y expresa el punto en el ciclo donde comienza el movimiento. Se ha
planteado la solución en términos de la función coseno, pero también se puede expresar en
términos de una función seno ya que entre ellas hay una diferencia de fase de /2.
Puesto que la función seno o coseno varían
entre -1 y +1, el desplazamiento de la partícula
oscila entre x = - A y x = + A. El
desplazamiento máximo a partir del punto de
equilibrio es la amplitud A del movimiento
armónico simple y expresa los límites
máximos de desplazamiento.
El periodo T es el tiempo que demora la
partícula en realizar un ciclo completo de su
movimiento, esto es, el tiempo para el cual el valor de x en t se repite en el instante t + T. esto es,
x(t) = x(t+T). aplicando esta condición tenemos
A cos(ωt + ) = A cos[ω( t + T) + ] = A cos(ωt + + ωT)
La función coseno y la función seno, repiten su valor cada vez que la fase aumenta en 2π radianes
de modo que ωT = 2 o ω = 2/T,
Por tanto el movimiento armónico simple es periódico y su periodo es
[2.6]
Al inverso del periodo se le llama frecuencia f del movimiento. La frecuencia representa el
número de oscilaciones que hace la partícula en la unidad de tiempo y se expresa por:
[2.7]
Las unidades de medida en el Sistema Internacional son s -1 o ciclos/s llamado Hertz (Hz). Cuando
las frecuencias son altas, se usa como unidad de frecuencia Kilohertz (KHz) igual a 103 Hz,
Megahertz (MHz) igual a 106 Hz, Giga Hertz (GHz) igual a 109 Hz.
32
Figura 2.2 Gráfica de x vs t para un MAS. La amplitud es A, T es el periodo y la constante de fase.
ω se denomina frecuencia angular y sus unidades son rad/s. Esta relación especifica el número de
ciclos de movimiento que se realizan por unidad de tiempo.
La ecuación diferencial del sistema oscilante en función de es dado por
[2.8]
Luego, para el sistema masa resorte, podemos expresar el periodo y la frecuencia del movimiento
en función de la masa y la constante elástica del resorte como:
[2.9.a]
[2.9.b]
Como se observa, el periodo y la frecuencia dependen sólo de la masa de la partícula y de
la constante elástica del resorte y no de los parámetros del movimiento como son A y . En la
figura 2.3 se ilustra dos oscilaciones con diferente amplitud e igual periodo, observamos que ambas
oscilaciones llegan a sus posiciones de equilibrio simultáneamente, independientemente de su
amplitud. Esta propiedad es importante en música, de modo que el tono de las notas musicales es
independiente de su intensidad.
2.2. CINEMÁTICA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Una partícula que se mueve a lo largo del eje x, tiene un MAS cuando su desplazamiento x
desde la posición de equilibrio, varía en el tiempo de acuerdo con la relación x = A cos (ωt + δ). La
rapidez de una partícula que tiene un MAS se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación
[2.4], esto es:
33
Figura 2.3. Representación gráfica del movimiento oscilatorio posición vs tiempo para dos amplitudes diferentes del sistema masa – resorte. Observamos que el periodo es el mismo, independientemente de la amplitud de oscilación.
[2.10]
que demuestra que vx también oscila armónicamente con frecuencia angular ω, y está acotada entre
- ωA y + ωA. Por tanto ωA es el máximo valor que puede tener la rapidez, y se da cuando la fase
(ωt + ) es múltiplo impar de /2 y la rapidez es cero cuando la fase es múltiplo entero de , es
decir cuando x = A. Como – sen = cos ( + /2), la ecuación 2.10 puede expresarse como:
que representa una diferencia de fase de /2 radianes entre la velocidad y la posición. Es decir, la
velocidad está adelantada /2 radianes respecto a la posición.
Derivando respecto al tiempo la ecuación [2.10], tenemos:
[2.11]
Vemos que la aceleración oscila armónicamente con frecuencia angular ω y amplitud ω2A es decir,
está acotada entre - ω2A y + ω2A. Teniendo en cuenta que cos ( + ) = - cos , podemos expresar
[2.11] como
ax = ω2A cos(ωt + + )
Que representa una diferencia de fase de radianes entre la aceleración y la posición. Es decir, la
aceleración está adelanta /2 radianes respecto a la velocidad y radianes respecto a la posición.
Por otro lado, las ecuaciones [2.2] y [2.11] nos dan expresiones de la misma aceleración, por lo que
comparando estas expresiones tenemos:
que justifica el valor asumido en la ecuación [2.5] al reemplazar el valor de la aceleración en la
ecuación [2.3]. Esta expresión indica también que: en el movimiento armónico simple, la
aceleración es directamente proporcional y de sentido opuesto al desplazamiento.
34
En la figura 2.4 se representa las variables x, v y a en función del tiempo. La ecuación 2.4 es
solución general de la ecuación diferencial que describe el movimiento armónico simple, donde la
constante de fase δ y la amplitud A se deben elegir para satisfacer las condiciones iniciales del
movimiento.
La constante de fase es importante cuando se quiere comparar el movimiento de dos o más
partículas oscilantes. Suponiendo que se conocen la posición inicial y la velocidad inicial de un
oscilador, esto es, en t = 0, x(0) = xo y v(0) = vo. Con esas condiciones, las ecuaciones 2.4 y 2.10 se
reducen a:
xo = A cos δ y vo = - ωA sen δ
que son dos ecuaciones de donde se pueden calcular los valores de la constante de fase δ y la
amplitud A. Dividiéndolas, se obtiene:
luego: ,
de donde [2.14]
Para hallar la amplitud elevamos al cuadrado las ecuaciones para xo y vo y luego sumamos:
35
, y
[2.15]
Luego, si se especifican las condiciones iniciales xo, ω y vo se puede conocer A y δ.
Para concluir esta descripción, podemos resumir algunas propiedades de una partícula que se
mueve con un movimiento armónico simple:
1. El desplazamiento, la velocidad y la aceleración varían senoidalmente con el tiempo, pero no
se encuentran en fase.
2. La aceleración de la partícula es proporcional al desplazamiento, pero en dirección opuesta.
3. El periodo y la frecuencia son independientes de la amplitud
Ejemplo 2.1: Exprese (a) la
ecuación de movimiento del muelle
que se nuestra en la gráfica posición
versus tiempo que se adjunta.
Evalúe los desplazamientos
respectivos en los instantes 1/3, 5/6
y 4/3 s. (b) la velocidad de la
partícula en t = 0 s, en t = 0,3 s, en t
= 1,3 s, en t = 1,8 s. (c) Repetir (b)
para la aceleración
Solución: De acuerdo a la teoría, el movimiento oscilatorio del muelle es dado por la expresión
[2.4]
Pero en la gráfica observamos que el desplazamiento es máximo absoluto en t = 1/3 s, 4/3 s, 5/6 s,
etc. Por tanto la función desplazamiento la podemos expresar como
36
Al relacionar los términos con la gráfica, tenemos:
Amplitud: A = 10 cm. que corresponde a la máxima elongación.
Frecuencia angular: ω = 2 f = 2/T. El periodo en nuestro gráfico corresponde al tiempo entre
dos máximos sucesivos, luego T = 7/3 s – 1/3 s = 2,0 s.
Por tanto ω = rad/s
La fase inicial la hallamos para t = 0, y x(0) en la gráfica corresponde a 5 cm, por lo tanto:
x(0) = 5 = 10 sen ( + /2)
+ /2 = arc sen (0,5) = /6 rad
Luego = - /3
Luego, usando la función coseno, la ecuación del movimiento oscilatorio del muelle es
Evaluando el desplazamiento en los tiempos propuestos, tenemos:
Finalmente , que corresponde al extremo
opuesto de la oscilación.
(b) Al derivar la ecuación del movimiento respecto al tiempo, tenemos:
Luego, v(1/3) = - 10 sen (1/3 - 1/3) = – 10 sen 0 = 0 cm/s
que corresponde a los puntos de retorno de la oscilación
v(5/6) = - 10 sen (5/6 - 1/3) = – 10 sen (/2) = - 10 = - 31,42 cm/s
que corresponde a la máxima velocidad con la cual pasa por el punto de equilibrio.
v(4/3) = - 10 sen (4/3 - 1/3) = – 10 sen = 0 cm/s
(c) La aceleración se obtiene al derivar respecto al tiempo la expresión de la velocidad:
; luego:
37
a(1/3) = -102 cos (1/3 – 1/3) = -102 cm/s2
a(5/6) = -102 cos (5/6 – 1/3) = 0 cm/s2
a(4/3) = -102 cos (4/3 – 1/3) = +102 cm/s2
donde a(1/3) es la aceleración máxima dirigida hacia abajo, a(5/6) corresponde al punto de
equilibrio y a(4/3) corresponde a la máxima aceleración que posee el sistema en el extremo
inferior, donde la aceleración está dirigida hacia arriba.
Ejemplo 2.2
Se estira un muelle hasta que su longitud aumenta 5 cm. A continuación se suelta y se le deja
oscilar libremente, de forma que da 30 oscilaciones completas en 5 segundos. Halle: (a) La
ecuación del movimiento, considerando que su estudio se inicia cuando se halla en la posición más
estirada. (b) La posición en la que se encuentra el muelle a los 10 s de iniciado el movimiento. (c)
El tiempo que tarda el muelle en alcanzar la posición de equilibrio desde que está en la posición de
máximo estiramiento.
Solución:
(a) Dado que en el enunciado se menciona que la posición inicial de estudio ( t = 0) coincide con un
máximo, utilizaremos la ecuación 2.4 para describir el movimiento.
De esta manera su desfase inicial será nula y para t = 0, x(0) = A.
La amplitud del muelle coincide con la elongación máxima, luego A = 5 cm = 0,05 m
La frecuencia por definición es el número de oscilaciones por unidad de tiempo, por tanto = 6 Hz
entonces
ω = 2 = 12 rad/s
por tanto x = 0,05 cos(12t) m
(b) Evaluamos la función x en t = 10 s x = 0,05 cos(120) = 0,05 m
El muelle se encuentra en su posición de elongación máxima positiva (estirado al máximo).
(c) Cuando el muelle pase por la posición de equilibrio la elongación es cero, por tanto
0 = 0,05 cos (12t) arc cos 0 = 12t = /2 t = 1/24 s = 0,042 s
2.3. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL MAS
38
Considere una partícula que se mueve sobre una circunferencia de radio A, con velocidad angular ω
constante; la velocidad lineal vale v = ωA. El desplazamiento angular de la partícula respecto al eje
x viene dado por
θ = ωt + δ [2.16]
siendo el desplazamiento angular en el instante inicial t = 0 y ω = v/A es la velocidad angular de
la partícula. Si proyectamos el movimiento de la partícula sobre el eje x, tenemos
x = A cos θ = A cos(ω t + δ)
El punto proyectado sobre un diámetro de una partícula que se mueve con movimiento circular
uniforme realiza un movimiento armónico simple. Luego, cuando una partícula se mueve con
velocidad constante en una circunferencia, su proyección sobre el diámetro de la circunferencia se
mueve con movimiento armónico simple.
En la figura 2.5 (b) observamos que la proyección de la rapidez sobre el eje x es:
v = - ω A sen(ω t + δ)
de igual forma, la proyección de la magnitud de la aceleración sobre el eje x es:
ax = - ω2A cos(ω t + δ)
expresiones concordantes con las dadas por las ecuaciones 2.4, 2.10 y 2.11 del movimiento
armónico simple.
39
Figura 2.5: Partícula en movimiento circular uniforme (a) proyección del movimiento sobre el eje x. (b) La rapidez v de la partícula y su proyección sobre el eje x. (c) La aceleración de la partícula y su proyección sobre el eje x.
Ejemplo 2.3 Una partícula se mueve sobre una circunferencia de radio 40 cm con una velocidad
constante de 80 cm/s. Hallar: a) La frecuencia. b) El período del movimiento. c) Escribir una
ecuación para el componente x de la posición de la partícula en función del tiempo t, suponiendo
que la partícula está sobre el eje x en el instante t = 0.
Solución: Dado que la rapidez es v = ωA, entonces, la frecuencia angular es:
La frecuencia
b) El período T = 1/f = s.
c) Usando la ecuación 2.4, tenemos que en t = 0 la partícula está sobre el eje x, por tanto =
0, luego x(t) = 40 cos 2t cm
2.4. ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
La partícula al oscilar alrededor de la posición de equilibrio, lo hace intercambiando energía
cinética y energía potencial. Usando la definición de energía cinética, y la ecuación 2.10 de la
rapidez de una partícula con movimiento armónico simple, se obtiene:
[2.17]
Pero sen2 = 1 – cos2 , entonces la expresión de la energía cinética Ec es:
[2.18]
donde se ha usado la ecuación 2.4. Pero mω2 = k, entonces podemos expresar la energía cinética
como
[2.19]
Así observamos que la energía cinética es máxima en el punto de equilibrio (x = 0) y cero en los
extremos de oscilación (x = A).
La energía potencial elástica almacenada en un resorte, para cualquier deformación x es:
[2.20]
cuya representación gráfica se ve en la figura 2.6(a) en negro. Usando la ecuación 2.4 y el hecho de
que mω2 = k, tenemos:
40
[2.21]
donde la energía potencial es cero en la posición de equilibrio (x = 0) y aumenta a medida que la
partícula se acerca a cualquiera de los extremos de oscilación (x = A), tal como observamos en la
figura 2.6(b).
Al sumar las ecuaciones 2.18 y 2.21 se obtiene la energía mecánica total del MAS
[2.22]
Que es una cantidad constante, dado que la fuerza es conservativa. Por ello, durante una oscilación
existe un intercambio continuo de energía cinética y energía potencial. La energía mecánica total
en el movimiento armónico simple es proporcional al cuadrado de la amplitud. Nótese que este
valor es igual a la máxima energía potencial elástica almacenada en un resorte cuando x = ± A, es
decir, cuando la masa oscilante alcanza los desplazamientos máximos alrededor de la posición de
equilibrio, ya que en esos puntos v = 0 y la energía cinética es cero. Por otro lado, en la posición de
equilibrio, x = 0 y Ep = 0, debido a que en este punto la rapidez es máxima, de tal manera que toda
la energía es energía cinética.
La figura 2.6 (a) representa la gráfica de las funciones de la energía cinética dada por la ecuación
2.17 y la energía potencial dado por la ecuación 2.20, considerando que la fase inicial es cero; en
la gráfica se observa que el periodo de variación de la energía cinética o potencial es dos veces
menor que el periodo de oscilación, ya que en un periodo de oscilación la energía potencial es
máxima dos veces (al pasar por los extremos) al igual que la energía cinética (al pasar por el punto
de equilibrio). La figura 2.6 (b) muestra la variación de la energía potencial (línea negra) y la
energía cinética (línea verde) como función del desplazamiento.
41
La energía potencial dada por la ecuación 2.20, está representada por una parábola con vértice en O
y simétrica al eje de la energía. Para una energía total E dada, indicada por la línea horizontal en
rojo, los límites de oscilación están determinados por las intersecciones de la curva Ep y la recta E.
En cualquier punto x la energía cinética esta dada por la distancia entre la curva Ep y la recta E.
En x = A, E = Ep ya que v = 0 y Ec = 0
En x = 0, E = Ec ya que Ep = 0
Ejemplo 2.4 Oscilación de una masa suspendida de un resorte
Consideremos un pequeño cuerpo de masa m, tratado como una partícula, suspendido verticalmente
de un resorte de masa despreciable y constante k. Vamos a estudiar en primer término la posición
de equilibrio de m y luego su movimiento cuando se suelta desde una cierta posición inicial. El
punto de suspensión del resorte está fijo a un marco inercial ligado a tierra. El sistema mecánico es
la masa m. Elijamos un eje x hacia arriba con origen en la posición de equilibrio. Vamos a dibujar
comparativamente la longitud natural y tres situaciones importantes: la situación de equilibrio, la
situación inicial y una situación general cualquiera, así como los diagramas de fuerzas en equilibrio
y en situación general. Antes de hacerlo, es imperioso recordar que una realización experimental
paralela de este fundamental movimiento es esencial para su comprensión.
En equilibrio, con de : deformación en equilibrio, la fuerza hecha por el resorte, Fe es Fe = k de ,
y entonces, como Σ Fx = 0 ,
k de − mg = 0.
Veamos la ecuación de movimiento de m, segunda ley de Newton en situación general.
Usemos notación simple, es decir ax = a . Con la magnitud de la fuerza elástica igual a k por la
deformación, o sea F = k (de − x), se tiene
Σ Fx = max : k (de − x) − mg = ma ,
que, teniendo en cuenta la ecuación de equilibrio, queda simplemente
− k x = m a .
La fuerza neta, resultante del peso y la fuerza elástica, − k x, es una fuerza recuperadora, dirigida
siempre hacia la posición de equilibrio. La aceleración a es pues
42
Llamemos 2, como es usual, a la constante positiva k/m. Como se comprueba fácilmente la
dimensión de , es T−1.
La ecuación a = = −2 x , o bien
que también se escribe como
es la llamada ecuación diferencial del oscilador armónico, de gran importancia en la física y que
va a aparecer en muchos otros movimientos. Una ecuación diferencial involucra funciones y sus
derivadas. Resolverla es hallar una función que la satisface, cumpliendo además con unas
condiciones iniciales determinadas. Buena parte de las ecuaciones fundamentales de la física son
ecuaciones diferenciales.
Ecuaciones más complejas requerirán métodos especiales, pero con el cálculo elemental podemos
abordar la solución de la ecuación del oscilador, es decir encontrar cual es la función x(t) que
describe el movimiento de la masa m suspendida del resorte. Hagámoslo para unas condiciones
iniciales simples, comunes y prácticas: demos a la masa un desplazamiento desde el equilibrio
igual a xo (> 0) y soltémosla en t = 0. En este caso, vo = 0 y el problema es
43
a = = −2 x. En t = 0 , x = xo y = 0
El problema es hallar x(t), así la aceleración es
luego,
y por tanto
,
en donde hemos tomado la raíz positiva. Como , separando las variables e integrando de
nuevo,
La integral de la izquierda es inmediata si se conocen las derivadas de las funciones
trigonométricas inversas. Si no es así, se puede usar la sustitución x = xo sen φ . El resultado es
o sea
y por tanto
Siendo t un ángulo en radianes, como ya vimos, tiene dimensiones T-1 y se llama frecuencia
angular y su unidad en el SΙ es rad/s .
El movimiento oscilatorio de m es un movimiento periódico muy importante, llamado movimiento
armónico simple. La función coseno tiene período 2 y por tanto
x(t) = xo cos t = xo cos(t + 2)
Así, cuando transcurre un tiempo llamado el período T, T = 2/ el movimiento se repite
idénticamente. Como 2 = k/m, el período es
44
El movimiento es simétrico alrededor de la posición de equilibrio, extendiéndose desde − xo hasta
xo. El desplazamiento máximo desde el equilibrio se llama la amplitud del movimiento, en este caso
xo .
En realizaciones experimentales se miden la masa y el período para hallar k. Sin embargo, con
resortes blandos y masas pequeñas, la idealización que hemos hecho al despreciar la masa del
resorte no es buena. Para buscar cierta precisión es necesario tener en cuenta la masa del resorte. El
problema es arduo y no lo abordaremos, pero el resultado es simple. Si mo es la masa del resorte,
una mejor aproximación al período, con mo < m, es
. [2.23]
Ejemplo 2.5. Si un objeto flotante se introduce ó se saca de un líquido a partir de su posición de
equilibrio, aparece una fuerza restauradora igual al aumento ó disminución del peso del líquido
desplazado. Un ejemplo sencillo es el densímetro, figura 2.8 utilizado
para medir la densidad de líquidos. Se trata de un cuerpo flotante con un
área de sección recta que atraviesa la superficie del líquido. Sea m la
masa del densímetro, A el área de su sección recta y la densidad del
líquido. Si el densímetro está a una distancia y por encima de su nivel de
flotación, el volumen de líquido desplazado es Ay y la ecuación
diferencial de movimiento queda
De donde
Ejemplo 2.6 Un oscilador armónico simple no amortiguado cuya frecuencia natural es de 10 rad/s
se desplaza una distancia de 0.03 m. de su posición de equilibrio y se suelta. Encontrar: a) La
aceleración inicial. b) La amplitud del movimiento resultante. c) La máxima velocidad.
45
Solución: a) Como el sistema se estira a partir del reposo 0,03 m y luego se suelta, la aceleración
inicial es:
b) La amplitud del movimiento: A = 0,03 m
c) La máxima velocidad:
Ejemplo 2.7. Un resorte horizontal se estira 4,5 cm con respecto a su posición de equilibrio cuando
actúa sobre él una fuerza de 2,16 N. Se coloca en el extremo del resorte una masa de 0,75 kg y se
estira el resorte 0,2 m a partir de su posición de equilibrio. Al dejar en libertad el sistema, la masa
quedará dotada de un movimiento oscilatorio armónico. Hallar: a) Fuerza que ejerce el resorte
sobre la masa cuando el sistema empieza a oscilar. b) El período de oscilación. c) La máxima
velocidad alcanzada por la masa. d) La máxima aceleración. e) Velocidad, aceleración, energía
cinética y energía potencial de la masa cuando se ha movido una distancia igual a la mitad de la
amplitud a partir de la posición inicial.
Solución: a) La constante recuperadora del resorte será:
y la fuerza ejercida por el resorte sobre la masa F’ = - kx = - 480,2 = - 9,6 N
b) El período de oscilación es
c) La velocidad máxima
d) Aceleración máxima
e) La velocidad en el punto de elongación será
la aceleración
la energía cinética
y la potencial
Ejemplo 2.8. Una masa de 0.5 kg, conectada aun resorte ligero cuya constante de fuerza es 20
N/m, oscila sobre una superficie horizontal y sin fricción.
46
a) Calcular la energía total del sistema y la rapidez máxima de la masa, si la amplitud del
movimiento es 3 cm.
b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando el desplazamiento es igual a 2 cm?
c) Calcular las energías cinética y potencial del sistema, cuando el desplazamiento es igual a 2 cm.
Solución:
a) La energía total es dada por la ecuación 2.22, de donde
La velocidad es máxima cuando la masa pasa por el punto de equilibrio x = 0 por lo que toda la
energía mecánica es energía cinética, luego
, de donde:
a) La velocidad como función de la posición se obtiene usando la ecuación 2.15, así:
donde luego
Los signos positivo y negativo indican que la masa podría estar moviéndose hacia la derecha o
hacia la izquierda, en ese instante.
b) Aplicando el resultado del apartado b), se tiene :
y la energía potencial es:
2.5. EL PÉNDULO SIMPLE
Un péndulo es un cuerpo suspendido verticalmente, que
puede oscilar alrededor de la posición de equilibrio bajo la
acción de la gravedad. El péndulo simple es una idealización
en la cual una masa puntual está suspendida de una cuerda
inextensible y de peso despreciable comparado con la masa
pendular, que oscila en un plano vertical. Una pequeña esfera
masiva atada a una cuerda proporciona una realización práctica
adecuada.
47
Figura 2.7. Representación del péndulo simple y sus compo-
nentes.
Si la masa se desplaza a una posición angular o y luego se suelta, el péndulo comienza a
oscilar. El péndulo describe un arco de circunferencia s de radio L. El sistema mecánico es m y su
diagrama de fuerzas se muestra en el esquema de la figura 2.7. El ángulo de mg con la normal a la
trayectoria es θ y entonces aplicando la segunda ley de Newton al sistema de fuerzas en dirección
tangencial (elegida positiva en dirección de s y θ crecientes), obtenemos:
Por lo tanto la aceleración angular es:
Estudiemos ahora el caso particular llamado péndulo simple de pequeñas amplitudes, en el
cual el péndulo oscila de modo que el máximo valor del ángulo θ es un ángulo pequeño.
Las funciones seno y coseno pueden expresarse en series de potencias así
[2.24]
[2.25]
Si el ángulo θ es pequeño, las potencias θ2, θ3 , … son muy pequeñas y podemos
despreciarlas y la aproximación lineal queda
sen θ ≈ θ , y cos θ ≈ 1 [2.26]
donde θ está en radianes. Con la aproximación para ángulos pequeños sen θ ≈ θ , la aceleración
angular del péndulo queda
, o también
[2.27]
que representa la ecuación del movimiento armónico simple. En analogía con la ecuación 2.3,
[2.28]
siendo ω la frecuencia angular.
48
Si damos al péndulo las siguientes condiciones iniciales: soltamos en t = 0 desde θ = θo, el
problema del movimiento queda entonces
En t = 0, (0) = o y ; se requiere hallar (t).
Este problema es el mismo que ya planteamos al estudiar las oscilaciones de una masa suspendida
de un resorte. Simplemente, en vez de la posición x (t), tenemos ahora la posición angular θ (t). El
péndulo simple de pequeñas amplitudes describe por tanto un movimiento armónico simple
θ(t) = θo cos ω t ,
con amplitud θo y cuyo período, se obtiene usando la ecuación 2.28, de modo que
[2.29]
De acuerdo con la ecuación, cuanto mayor es la longitud del péndulo, mayor es el periodo, y la
frecuencia y el periodo son independientes de la amplitud de la oscilación para amplitudes
pequeñas. En el movimiento armónico simple, el período, es decir el tiempo que tarda una
oscilación completa, no depende de la amplitud de la oscilación. El péndulo de pequeñas
amplitudes, que describe un movimiento armónico simple, tiene esta propiedad y se dice que es
isocrónico. Pero en un péndulo de amplitud cualquiera esto no es cierto, el péndulo no es
isocrónico, es decir el período depende de la amplitud θo.
Para una amplitud θo de unos 15°, el error relativo que se comete al calcular el período con la
expresión que vimos, respecto al período exacto, es de un 0.5%, lo que indica el grado de precisión
al considerar la aproximación de pequeñas amplitudes.
Ejemplo 2.9: Una partícula se desliza hacia delante y hacia atrás entre dos planos inclinados sin
fricción. a) Halle el periodo del movimiento si h es la altura inicial; b) el movimiento ¿es armónico
simple?
Solución: El movimiento de vaivén en la rampa es uniformemente acelerado, por lo que
suponemos que “s” es la distancia que cubre la partícula en un lado del plano inclinado, entonces:
s = (1/2)at2
pero
49
que es el tiempo que tarda en cubrir un lado de la rampa y el tiempo que emplea en ejecutar un
movimiento de vaivén es T = 4t, por lo que
b) De la dinámica del cuerpo se tiene:
F = ma, por lo que - mg sen = m a
de donde
con lo cual, el movimiento no es armónico simple.
2.6. PÉNDULO FÍSICO.
Un cuerpo rígido, que pueda girar libremente alrededor de un eje horizontal que no pase por su
centro de masas, oscilará cuando se desplace de su posición de equilibrio recibiendo este sistema el
nombre de péndulo físico. Consideremos un cuerpo de masa m con un eje de rotación situado a una
distancia D del centro de masas y desplazado de su posición de equilibrio un ángulo , figura 2.9.
El momento de fuerza respecto al eje tiene como módulo mg D sen y aplicando la 2a ley de
Newton
= I, siendo I el momento de inercia respecto al eje y
la aceleración angular obtenemos
De igual forma que en el péndulo simple, el movimiento
no es armónico simple; pero para desplazamientos
angulares pequeños hacemos uso de las ecuaciones 2.26,
donde sen , el movimiento que realiza el cuerpo es
aproximadamente armónico simple con una ecuación de
movimiento dada por
donde es la frecuencia angular del movimiento armónico simple, y en
consecuencia el periodo de oscilación es igual a
50
Figura 2.9. Péndulo físico
[2.30]
En este caso, y a diferencia del péndulo simple, el periodo de oscilación del péndulo físico si
depende de la masa del cuerpo.
Ejemplo 2.10. Una barra delgada de longitud L y masa m está suspendida
libremente en O, situado a la distancia L/3 del extremo de la barra. La barra se
desplaza ligeramente a partir del equilibrio y se deja oscilar alrededor de un eje que
pasa por O. Determine la frecuencia angular para pequeñas oscilaciones.
Solución. Como la oscilación depende del punto de suspensión, entonces
= - (mg sen) d
Pero = I = - ( m g sen ) d, expresión que nos lleva a la ecuación diferencial:
Como observamos, el movimiento no es armónico simple; sin embargo para pequeñas oscilaciones
hacemos uso de la ecuación 2.26, sen y entonces
La distancia entre el punto de suspensión y el centro de masa de la barra es d = L/2 – L/3 = L/6
donde el momento de inercia de la barra, de acuerdo con el teorema de Steiner será:
Luego
entonces
Ejemplo 2.11. Un disco pequeño de radio r y masa m, está unido rígidamente a un segundo disco
mas grande de radio R y masa M. El centro del disco pequeño está situado en el borde del disco
grande. El disco grande está montado en su centro sobre un eje sin fricción. El conjunto se hace
girar un pequeño ángulo desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) demuestre que la rapidez
del centro del disco pequeño cuando pasa por la posición de equilibrio es
y que su periodo es:
51
mg
d
O
Solución: (a) Aplicando conservación de energía entre los puntos extremo y medio, se tiene:
Ec = Ep = E:
, despejando v:
(b) Aplicando la dinámica de Newton al sólido, tenemos:
luego,
Donde el momento de inercia, de acuerdo con el teorema de Steiner es
; y al reemplazar en la expresión anterior, tenemos
por tanto: que era lo que queríamos demostrar.
Ejemplo 2.12. Un cilindro macizo de densidad uniforme
y masa total M rueda sin deslizar sobre una superficie
circular cuyo radio es R. Si el radio del cilindro es r,
demuestre que su movimiento es oscilatorio y que para
52
v
pequeñas amplitudes el movimiento es aproximadamente armónico, con frecuencia
Solución: Planteamos la solución del problema por conservación de energía. Sea o la posición
angular a partir de la cual se inicia la rodadura del cilindro. Luego de la figura determinamos:
Hallemos la energía potencial que posee el sistema con respecto a la
posición inicial
Mg (h - ho) = Mg (R – r)(cos - coso)
Y aplicando el principio de conservación de la energía, tenemos:
Pero , es decir, la velocidad tangencial es la misma, luego:
,
Derivando la expresión con respecto al tiempo, tenemos:
Simplificando:
Considerando que es muy pequeño, entonces:
53
2.7. SUPERPOSICIÓN DE DOS MAS DE IGUAL DIRECCIÓN Y FRECUENCIA
Consideremos la superposición ó interferencia
de dos MAS bajo la siguiente hipótesis: la
resultante de dos ó más oscilaciones armónicas
es simplemente la suma de las oscilaciones
aisladas.
Supongamos dos MAS superpuestos de igual
frecuencia y diferente fase que producen el
desplazamiento de la partícula a lo largo de la
misma línea
x1 = A1 cos (ωt + 1)
x2 = A2 cos(ωt + 2)
El desplazamiento resultante de la partícula está dado por la combinación lineal:
x = A1 cos (ωt + 1) + A2 cos(ωt + 2) [2.31]
y es periódico, con periodo T = 2/ω, ya que ambas expresiones tienen el mismo periodo. La
representación gráfica de esta composición es mostrada por la figura 2.10 mediante vectores
rotantes o fasores. Para determinar la amplitud resultante, aplicamos la ley de los cosenos a los
vectores rotantes de la figura 2.10 y obtenemos:
[2.32]
y la constante de fase la obtenemos a partir de las proyecciones sobre los ejes de modo que
[2.33]
de modo que el movimiento resultante es dado por la expresión:
x = A cos (ωt + )
Consideremos dos casos especiales:
54
Figura 2.10. Composición de dos MAS de la misma frecuencia y diferencia de fase
(a) Si = 0, esto es, 2 - 1 = 0, decimos que los dos movimientos están en fase, lo cual significa
que los vectores rotantes son paralelos. Luego el movimiento resultante es
x = (A1 + A2) cos ωt
y muestra que el movimiento resultante también es un MAS con la misma frecuencia angular y con
amplitud
A = A1 + A2 y tg = tg 1,
es decir, los movimientos interfieren constructivamente ya que las amplitudes se suman tal como se
observa en la figura 2.11(a) muestra la representación gráfica de los dos movimientos componentes
dados por los vectores rotantes OP1, OP2 y su resultante OP.
(b) Cuando = 1 - 2 = , tenemos que
x2 = A2 cos(ωt + (1 - )) = - A2 cos (ωt + 1)
se dice que los dos movimientos están en oposición, sus vectores rotantes son antiparalelos de
modo que el movimiento resultante es:
x = (A1 - A2) cos
(ωt + 1)
que nos muestra que el
movimiento resultante es
también armónico
simple, de la misma
frecuencia cuya amplitud
es
A = A1 - A2
y tg = tg 1
La figura 2.11(b)
representa gráficamente
este tipo de composición.
(c) Cuando = 1 - 2 =
/2, es decir, si 2 = 1 -
/2, entonces se dice que
los dos movimientos
están en cuadratura
55
obteniéndose el movimiento armónico simple representado en la figura 2.11(c) y al aplicar la
ecuación 2.32 y la 2.33 se obtiene
y
2.8. SUPERPOSICIÓN DE DOS MAS DE IGUAL DIRECCIÓN Y DIFERENTE
FRECUENCIA
Supongamos 2 MAS de igual dirección y diferente frecuencia descritos por las ecuaciones
x1 = A1 cos ω1t y x2 = A2 cos ω2t
donde por simplicidad se ha considerado que las fases iniciales son cero. El ángulo entre los
vectores rotantes OP1 y OP2 en la figura 2.10(a) es ahora ω1 t - ω2t = (ω1 - ω2)t y depende del
tiempo, por tanto el vector resultante OP no tiene longitud constante y no gira con velocidad
angular constante. Esto implica que el movimiento resultante x1 + x2 no es armónico simple. En la
figura 2.12(a) que representa los vectores rotantes, vemos que la amplitud del movimiento es:
[2.34]
que depende del tiempo, por lo que la amplitud oscila entre los valores
A = A1 + A2 cuando (ω1 –ω2)t = 2n
y A = A1 – A2 cuando (ω1 – ω2)t = (2n+1)
con lo cual se dice que la amplitud está modulada. La frecuencia de la oscilación de la amplitud
está expresada por
[2.35]
y es igual a la diferencia de las frecuencias de los dos movimientos en interferencia. La figura
2.12(b) muestra la variación de A con respecto a t.
Un ejemplo de este comportamiento lo constituyen dos diapasones de frecuencias cercanas
pero diferentes que vibran simultáneamente en lugares cercanos. Se escucha una nota pero con una
fluctuación en la intensidad del sonido llamada pulsación. Una situación interesante ocurre cuando
las dos amplitudes son iguales A1 = A2 que al reemplazarlos en la ecuación 2.34
y usando la identidad trigonométrica 1 + cos = 2 cos2(/2), obtenemos la amplitud total
56
[2.36]
que oscila entre cero y 2A1. El movimiento resultante cuando las amplitudes son iguales es:
x = x1 + x2 = A1 cos ω1t + A2 cos ω2t
= A1 (cos ω1t + cos ω2t)
que también puede expresarse como
donde A está dado por la ecuación 2.36 El movimiento se puede interpretar, como un movimiento
armónico con frecuencia ω = (ω1 + ω2 )/2 y con una amplitud modulada de acuerdo con la
ecuación 2.36 y representada en la figura 2.12(c), donde la línea segmentada representa la
modulación de la amplitud.
Figura 2.12 (a) Composición de dos MAS de igual dirección y diferente frecuencia, (b) Amplitud modulada del movimiento resultante. (c) Modulación cuando las amplitudes son iguales
2.9. SUPERPOSICIÓN DE DOS MAS CON DIRECCIONES PERPENDICULARES
Consideremos ahora el caso de una partícula que se mueve en un plano de tal modo que sus
coordenadas x e y oscilan con MAS de igual frecuencia. El movimiento a lo largo del eje X está
dado por
x = A cos (ωt + 1) [2.37]
y el movimiento a lo largo del eje Y es descrito por:
y = B cos(ωt + 2) [2.38]
Desarrollando las expresiones de los movimientos a lo largo de cada uno de los ejes, tenemos:
57
x = A[ cos ωt cos 1 - sen 1 sen ωt] [2.39]
y = B[cos ωt cos 2 - sen ωt sen 1] [2.40]
Multiplicando la expresión 2.39 por cos2 y 2.40 por cos 1 se tiene:
(x/A) cos 2 = cos ωt cos 1 cos 2 - sen ωt sen 1 cos2 [2.41]
(y/B) cos 1 = cos ωt cos 2 cos 1 - sen ωt sen 1 cos 1 [2.42]
restando 2.42 de 2.41 tenemos:
[2.43]
Multiplicando ahora las expresiones 2.39 por sen 2 y 2.40 por sen 1 se tiene:
(x/A) sen 2 = cos ωt cos 1 sen 2 - sen ωt sen 1 sen 2 [2.44]
(y/B) sen 1 = cos ωt cos 2 sen 1 - sen ωt sen 1 sen 1 [2.45]
Restando la ecuación 2.45 de 2.44 tenemos:
[2.46]
Elevando al cuadrado y sumando las expresiones 2.43 y 2.46 se tiene:
Reduciendo:
[2.47]
Consideremos ahora algunos casos especiales. Si los movimientos componentes están en fase
entonces = 2 - 1 = 0 y la ecuación 2.47 se reduce a:
entonces
58Figura 2.13 Superposición de dos MAS mutuamente perpendiculares
Ésta es la ecuación de la recta PQ de la figura 2.13, y el movimiento resultante es armónico simple
con amplitud
Es decir, el desplazamiento a lo largo de la línea PQ es
r = cos ωt [2.48]
Si los movimientos están en oposición de fase = 2 - 1 = y al reemplazar en la ecuación 2.47
se tiene:
que es la ecuación de la línea RS. El movimiento resultante es armónico simple con amplitud
. Por tanto decimos que cuando = 0 ó = la superposición de dos MAS
perpendiculares de la misma frecuencia tiene como resultado un movimiento armónico rectilíneo, y
da lugar a una polarización rectilínea.
b) Cuando = 2 - 1 = /2 se dice que los movimientos a lo largo de los ejes X e Y están en
cuadratura; en este caso al reemplazar en la ecuación 2.47 se tiene:
que es la ecuación de la elipse mostrada en la figura 2.13 La elipse es recorrida en sentido horario.
Esto puede verificarse si se calcula la velocidad de la partícula en x = +A. Así, en x = +A, partiendo
de la ecuación 2.37 se tiene que x = A cos (ωt + 1) = 1, lo que implica que (ωt + 1) = 2n y la
componente x de la velocidad vx = dx/dt = - Aω sen (ω t + 1) = 0 ya que la fase es múltiplo de
2n. La componente Y es y = B cos (ω t + 1 +/2) = - B sen (ω t + 1) y la componente vy de la
velocidad es vy = - Bω cos (ωt + 1) = - ωB dado que (ωt + 1) = 2n que es paralela al eje Y.
Como es negativa el punto pasa por A, moviéndose hacia abajo, que corresponde a una rotación
horaria.
Se obtiene la misma elipse si 2 - 1 = 3/2 ó - /2, pero en este caso el movimiento es
antihorario. De este modo se puede afirmar que cuando la diferencia de fase 2 - 1 = /2. La
superposición de dos movimientos armónicos simples de la misma frecuencia y direcciones
perpendiculares produce un movimiento elíptico y da lugar a una polarización elíptica. Los ejes de
la elipse son paralelos a las direcciones de los dos movimientos Cuando A = B la elipse se
transforma en un círculo y tenemos una polarización circular.
59
c) Para un valor arbitrario de la diferencia de fase = 2 - 1 la trayectoria es aún una elipse pero
sus ejes están rotados respecto al eje de coordenadas tal y como se muestra en la figura 2.13 para
ciertas diferencias de fase.
Otra situación interesante es la interferencia de 2 MAS perpendiculares de frecuencias diferentes
x = A cos (ω1 t + 1)
y = B cos (ω2 t + 2) [2.49]
La trayectoria depende de la relación ω1/ω2 y de la diferencia de fase = 2 - 1 denominándose
estas curvas figuras de Lissajous. La figura 2.15 muestra estas trayectorias para diferentes
relaciones ω1/ω2 y diferencias de fase = 2 - 1.
Figura 2.14. Composición de 2 MAS perpendiculares y frecuencias iguales para ciertas diferencias
de fase dadas, cuando A = B
2.10. OSCILACIONES AMORTIGUADAS
El estudio de las oscilaciones que hemos desarrollado se ha realizado como si no existiera
rozamiento, es decir, la fuerza que da lugar al movimiento armónico simple es Fx = - kx. Sin
embargo, si el movimiento se realiza en un medio cualquiera, éste ofrecerá cierta resistencia al
movimiento tendiendo a frenarlo. Así, dejado libremente en movimiento vibratorio un muelle ó un
péndulo, su amplitud disminuye gradualmente, hasta que deja finalmente de oscilar, lo que indica
una pérdida de la energía del mismo. Decimos entonces que el movimiento oscilatorio está
amortiguado.
Desde el punto de vista mecánico la disipación de energía se puede describir introduciendo una
fuerza complementaria que surge como resultado del propio movimiento y va dirigido en sentido
60
opuesto al movimiento. A velocidades suficientemente pequeñas, esta fuerza o fuerza de
amortiguamiento, es proporcional a la velocidad del cuerpo, y suelen representarse por la expresión
empírica , donde b es una constante positiva que depende del medio y
de la forma del cuerpo. El signo negativo indica que la fuerza Fr tiene sentido contrario al de la
velocidad del objeto por lo que realiza un trabajo negativo y es la causa de que la energía
disminuya. Introduciendo este término en la segunda ley de Newton obtenemos la ecuación
diferencial de movimiento de un sistema amortiguado.
m a = Fx + Fr = - k x – b v
m a + b v + k x = 0 [2.50]
y la ecuación diferencial del movimiento es:
[2.51]
que se puede expresar como:
[2.52]
Esta ecuación describe el comportamiento del oscilador armónico amortiguado. Su movimiento, al
menos cuando el amortiguamiento es pequeño, consiste de una oscilación sinusoidal cuya amplitud
va decreciendo gradualmente, como se verá luego. Esta ecuación se puede simplificar:
[2.53]
donde
Dado que la ecuación diferencial contiene coeficientes constantes, existe siempre una solución de
la forma x = e r t. Para demostrarlo hallamos las derivadas de x respecto al tiempo:
que al reemplazarlas en la ecuación 2.53 tenemos:
Suprimiendo e r t nos da una ecuación algebraica de segundo grado en r cuyas raíces son:
61
[2.54]
Luego, la solución a la ecuación diferencial es:
[2.55]
Dependiendo de los valores de y ωo, podemos distinguir tres casos que son: (a) que > 2 ; (b)
que = 2 y (c) < 2
Caso (a) (Oscilaciones subamortiguadas) cuando > 2 hacemos , donde =
b/2m es el llamado coeficiente de amortiguamiento y es la frecuencia angular natural
del oscilador no amortiguado. Por el doble signo del radical, tenemos dos soluciones en el campo
de los números complejos para r:
[2.56]
Las soluciones son: y
que da como solución general a la ecuación diferencial, la combinación lineal de r1 y r2 , esto es:
[2.57]
y dado que
e i = cos i sen , [2.58]
entonces, x(t) es solución compleja de la ecuación diferencial y por tanto A1 y A2 habrán de ser
también complejos para que x(t) sea la solución general. La solución de un problema físico debe ser
real, por lo que se ha de elegir A1 y A2 de modo tal que x lo sea. Esto se logra haciendo A2
conjugado complejo de A1 así:
y [2.59]
Que al reemplazar en 2.57, tenemos:
62
Aplicando la ecuación 2.58. se tiene:
[2.60]
[2.61]
Multiplicando y dividiendo 2.61 por se tiene:
[2.62]
Que al llevar los coeficientes al plano (figura 2.16) obtenemos
[2.63]
, y [2.64]
Reemplazando 2.63 y 2.64 en 2.62
[2.65]
donde la fase inicial del movimiento, es decir, la separación de la posición de equilibrio en el
instante t = 0. Debido a la presencia del término exponencial, esta ecuación expresa que la amplitud
se va reduciendo a medida que transcurre el tiempo (figura 2.16). Las curvas de trazos de la figura
2.17 corresponden a x = + C y x = - C, donde C viene dado por C = Coe- t y la frecuencia angular
ω del movimiento amortiguado es:
[2.66]
este es un movimiento Infra-amortiguado o
sub-amortiguado. Observamos que la
frecuencia angular del movimiento
amortiguado es menor que la del
movimiento sin amortiguamiento, o dicho de
otra manera, el periodo T del movimiento
amortiguado es mayor que el del
movimiento sin amortiguamiento.
Caso (b) (sobreamortiguamiento) las raíces son reales por tanto la solución es una función real, así:
63
Figura 2.17 Representación del movimiento sub-amortiguado cuya amplitud varía como Aoe- t
C
A
B
Figura 2.16
Ecuación que puede expresarse como
[2.67]
A1 y A2 se determinan de las condiciones iniciales xo y vo. El sistema actúa pesadamente y no vuelve
de modo tan rápido al equilibrio (x = 0); en este caso, se dice que el sistema está sobreamortiguado
y la partícula regresará a la posición de equilibrio sin rebasarla o rebasándola a lo sumo una vez.
Para unas condiciones iniciales dadas (xo,vo), cuanto mayor sea el amortiguamiento más tiempo
empleará el sistema en quedar en reposo en la posición de equilibrio.
Para el caso (c) donde ωo = , (amortiguamiento crítico) se tiene que r = - siendo la solución de
x en este caso:
Pero también es solución la expresión , por tanto, la solución general para el caso
donde ωo = es:
[2.68]
donde A1 y A2 son dos constantes de integración, que pueden expresarse en función de las
condiciones iniciales, esto es, de la posición xo y de la velocidad vo de la partícula en el instante
inicial t = 0. La función decrece exponencialmente con el tiempo a un ritmo comprendido entre - -
ω y - + ω; es decir, la solución [2.67] tiende mas rápidamente a cero (después de un tiempo
suficientemente largo) que la expresión [2.66], excepto en el caso A2 = 0, lo cual significa que el
sistema vuelve a su posición de equilibrio en el tiempo más breve posible sin oscilar, y se dice que
el sistema está amortiguado críticamente.
La figura 2.18 muestra la superposición de los tres casos del movimiento oscilatorio amortiguado.
64
Figura 2.18 Desplazamiento vs tiempo para un movimiento (a) sub-amortiguado (ωo > ), (b) sobre-amortiguado (ωo < ) y (c) críticamente amortiguado (ωo = )
2.11. FACTOR DE CALIDAD
En la ecuación 2.65 obtenida para una oscilación sub-amortiguada, observamos que la amplitud
decrece según la magnitud que determina el grado de disminución de la amplitud. Sea
[2.69]
el tiempo necesario para que la amplitud disminuya e veces. Este tiempo se denomina tiempo de
duración de las oscilaciones. Cuando el amortiguamiento es pequeño, b es pequeño y se supone
grande en comparación con el periodo de las oscilaciones Infra-amortiguadas
[2.70]
es decir, en este tiempo se produce un número n = /T de oscilaciones. La magnitud inversa de n,
se denomina decremento o decrecimiento logarítmico de la oscilación.
Como la energía es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud, entonces es también el
tiempo que tarda la energía en disminuir en el factor 1/e; el oscilador perderá una fracción muy
pequeña de energía durante una fracción de oscilación. Así, en un tiempo dt, la pérdida de energía
del cuerpo será el trabajo realizado por la fuerza de resistencia Fr es: decir, dW = Fr dx, donde el
desplazamiento en un dt es dx = v dt, por lo que
dE = - b v (v dt) = - b v2 dt [2.71]
de donde
65
En nuestra suposición de que la fuerza de resistencia es pequeña, podemos aplicar esta relación a la
pérdida media de energía durante un periodo, reemplazando la energía cinética mv2/2, por su valor
medio <Ec> = E/2. Por lo tanto
[2.72]
De donde , que al integrar nos da:
E = Eo e- 2 t [2.73]
Donde Eo es la energía en t = 0. Así tenemos que la energía de la oscilación disminuye debido al
rozamiento, según una ley exponencial y como la energía es directamente proporcional al cuadrado
de la amplitud C = Coe- t, entonces en el tiempo t = la energía disminuye en un factor 1/e.
En este caso, la pérdida de energía por período (t = T) viene dada por la ecuación
[2.74]
El amortiguamiento de un oscilador sub-amortiguado se describe normalmente mediante la
magnitud adimensional Q denominada factor de calidad o factor Q. Si la energía total es E y la
pérdida en un período es ½E½ se define el factor Q como
[2.75]
Así pues, el factor Q es inversamente proporcional a la pérdida relativa de energía por ciclo:
Utilizando las ecuaciones anteriores podemos relacionar el factor Q con la constante de
amortiguamiento y la constante de tiempo:
[2.76]
En muchas aplicaciones prácticas se usa un amortiguamiento crítico o casi crítico para evitar
oscilaciones y conseguir que el sistema vuelva al equilibrio rápidamente. Un ejemplo es el empleo
de sistemas que absorben choques para amortiguar las oscilaciones de un automóvil sobre sus
muelles. Un sistema como éste se encuentra críticamente amortiguado o sobreamortiguado; puede
verse esto empujando la parte delantera o trasera de un coche y observando que se producen una o
dos oscilaciones antes de que el sistema quede en reposo. También es importante cuando se diseñan
ciertos mecanismos oscilantes como un galvanómetro, en el que se desea que el mecanismo regrese
suave y rápidamente a su posición de equilibrio, o el de las puertas en centros comerciales
climatizados, donde el cliente empuja la puerta y al soltarla, ésta retorna rápidamente a la posición
de equilibrio sin oscilar.
66
Ejemplo 2.13. Un objeto de 2 kg oscila con una amplitud inicial de 4 cm con un muelle de
constante k = 512 N/m. Hallar: a) El período; b) La energía inicial total. Si la energía disminuye en
2 % por período, hallar la constante de amortiguamiento b y el factor Q
Solución a) La frecuencia angular
El período es: T = 0,39 s
b) La energía inicial total en el instante inicial es:
Cuando el sistema es amortiguado, la pérdida de energía por período es
El factor de calidad
La constante de amortiguamiento
Ejemplo 2.14. Se tiene un resorte de longitud prácticamente nula cuando está descargado y cuya
constante elástica es 98 N/m. Se estira lentamente bajo la acción de una masa de 5 kg, sometida
a la acción de la gravedad (g = 9.8 m/s2).Hallar: a) Longitud en reposo del resorte estirado por el
peso de dicha masa. b) Si en estas condiciones se hace oscilar la masa verticalmente, calcular la
pulsación y frecuencia de las oscilaciones. c) Se desplaza la masa 1 cm por debajo de su
posición de reposo y se le imprime una velocidad inicial hacia abajo de 2 cm/s. Calcular la
energía total del movimiento armónico. d) Calcular la amplitud del movimiento en cm y la
velocidad máxima en cm/s. e) Calcular la máxima fuerza restauradora y la aceleración máxima
del movimiento en cm/s2. f) El sistema es disipativo y se observa que la amplitud de oscilación al
cabo de 1 minuto es de 1cm. Calcular la constante de tiempo. g) Calcular el tanto por uno de la
energía total que el sistema pierde en cada oscilación. h) Suponiendo que el sistema se considera
detenido cuando su amplitud es menor de 1mm ¿Cuántos minutos tardará en detenerse.
Solución:
a) La fuerza que produce el alargamiento del resorte es mg, luego
b) Sabemos que
y la frecuencia es: f = ω/2 = 0,70 Hz.
67
El período por definición es T = 1/f = 1,419 s
c) La energía total del movimiento armónico así producido es:
d) Dado que la energía total en el MAS es E = kA2/2, entonces
Cuando la masa oscilante pasa por la posición de equilibrio, la velocidad es máxima, luego
por lo tanto
e) Cuando el móvil esté en el punto de máxima elongación estará dotado de la aceleración
máxima y en ese instante la fuerza recuperadora será también máxima; por lo tanto
, luego la aceleración máxima es:
f) La constante de tiempo (tiempo de relajamiento) es el tiempo necesario para que la energía Eo
quede reducida a Eo/e. En este caso la amplitud es de la forma A = Ao e- t luego
Como
cuando t = T = 60 s tendremos
tomando logaritmos de la última expresión 1 – 2 = 0
h) Suponiendo que el sistema se considera detenido cuando su amplitud es menor de 1mm
¿Cuántos minutos tardará en detenerse
68
h) La energía que se pierde en un ciclo es que evaluando en la expresión
2.72
donde 2 T = 21,547510-31,419 = 4.391810-3 , luego 1 – e-00043918 = 4,38010-3
que en porcentaje corresponde al 0,438% por ciclo.
i) Hemos visto que la amplitud Aoe- t en la ecuación 2.65 decrece de manera exponencial
y cuando su valor sea A = 1 mm, se verificará
ii)
t = 1507,127 s = 25,125 min.
2.12. OSCILACIONES FORZADAS.
En el caso de un oscilador amortiguado, la energía disminuye en el tiempo por efecto de la fuerza
disipativa. Se puede compensar esta pérdida y entregar energía al sistema aplicando una fuerza
externa que en cualquier instante actúe en la dirección del movimiento del oscilador, que debe
hacer un trabajo positivo sobre el sistema. La amplitud del movimiento permanecerá constante si la
energía de entrada al sistema en cada ciclo del movimiento es igual a la energía que se pierde por la
fricción.
Un oscilador forzado se puede obtener cuando un oscilador amortiguado es impulsado por una
fuerza externa F = Fo cos ωf t que varia armónicamente en el tiempo, donde ωf es la frecuencia
angular de la fuerza y Fo es una constante. Agregando esta fuerza a la ecuación diferencial del
oscilador amortiguado, se obtiene:
[2.77]
que también puede expresarse en forma compacta como
[2.78]
69
La solución general de esta ecuación diferencial es la combinación de una solución transitoria, que
decrece exponencialmente con el tiempo hasta que deja de ser importante, y una solución
estacionaria que permanece constante en el tiempo, y que corresponde al equilibrio entre la energía
recibida y la disipada por parte del sistema oscilante. Así, después de un tiempo suficientemente
largo, cuando la energía de entrada en cada ciclo es igual a la energía perdida en cada ciclo, se
alcanza la condición de estado estacionario, donde las oscilaciones se producen con amplitud
constante. En esas condiciones (régimen estacionario), la solución de la ecuación es estacionaria,
ya no depende de las condiciones iniciales y se puede expresar como,
[2.79]
donde ωf es la frecuencia de la fuerza impulsora y δ es la fase de la solución estacionaria,
representa el desfase existente entre la fuerza exterior y la respuesta (desplazamiento) del oscilador.
En este caso, tanto la amplitud como la fase dependen de la frecuencia ωf. Al derivar la ecuación
2.79, obtenemos:
La velocidad
v = - ωf A sen (ωf t - ) = ωf A cos (ωf t - + /2) [2.80]
la aceleración
a = - ωf 2A cos (ωf t - ) = ωf 2A cos (ωf t - + ) [2.81]
Tanto el desplazamiento, como la velocidad y la aceleración pueden considerarse como las
proyecciones sobre el eje X de los vectores rotantes cuyas las amplitudes son, A para el
desplazamiento, ωf A para la velocidad y ωf 2A para la aceleración y Fo para la fuerza. Dichos
vectores rotantes giran en sentido antihorario con velocidad angular ωf.
De las ecuaciones 2.79 y 2.80, la velocidad adelanta al desplazamiento de la partícula en /2, la
aceleración en .
Representemos la ecuación 2.78 en un diagrama mediante vectores rotantes. Para ello usamos la
magnitud Fo /m que forma un ángulo ωf t con el eje x. El desplazamiento presenta un retardo de fase
δ respecto a Fext La velocidad con respecto a Fext tiene un desfase /2 - según la ecuación 2.80 y
la aceleración que tiene un desfase de respecto al desplazamiento según la ecuación 2.81.
70
Representamos la aceleración resultante en azul y de magnitud Fo/m, que se halla girado ωf t
respecto al eje horizontal. Los vectores rotantes desplazamiento y aceleración en marrón, se hallan
desfasados
entre sí rad donde el desplazamiento tiene un retardo de fase (- ) respecto a la fuerza externa y la
aceleración un adelanto de fase de - respecto a la fuerza externa, de modo que la resultante es
A(ωf 2- ωo 2), donde se ha tenido en cuenta que la aceleración está en oposición de fase con el
desplazamiento. La velocidad con respecto a Fext tiene un desfase - + /2 según la ecuación 2.80 y
que multiplicado por la constante correspondiente tenemos 2 ωf es representado en el gráfico
mediante una línea verde en el gráfico 2.19. Podemos determinar la amplitud de la oscilación
estacionaria a partir de la composición de los vectores rotantes:
donde la amplitud es
[2.82]
con , la frecuencia natural del oscilador no amortiguado. Estas soluciones se justifican,
pues físicamente en estado estacionario el oscilador debe tener la misma frecuencia de la fuerza
externa aplicada.
La constante de fase es: [2.83]
71
Figura 2.19
Composición de los
vectores de rota-
ción, para los casos
ωo > ωf y ωo < ωf
teniendo en cuenta
los coeficientes de
la ecuación 2.76.b
Estas mismas relaciones las podemos obtener si desarrollamos la ecuación 2.79, la derivamos y
reemplazamos en la ecuación 2.78.
2.13. RESONANCIA
En la ecuación 2.78 se observa que el movimiento del oscilador forzado no es amortiguado, ya que
está impulsado por una fuerza externa, pues la condición es que el agente externo entregue la
energía necesaria para compensar la energía que se pierde por fricción. Observar que la masa oscila
con la frecuencia ωf de la fuerza impulsora. Para un amortiguamiento pequeño, la amplitud
aumenta cuando la frecuencia de la fuerza impulsora se aproxima a la frecuencia natural de la
oscilación. El aumento tan significativo de la amplitud cerca de la frecuencia natural se conoce
como resonancia, y el valor de la frecuencia ωf para el cual la amplitud alcanza su máximo valor
se obtiene aplicando la condición de máximos y mínimos a la ecuación 2.82, así:
[2.84]
Que es la frecuencia de resonancia de un oscilador forzado con amortiguamiento ; que también se
puede expresar como
[2.85]
si b es muy pequeño, tanto que 0, entonces la resonancia ocurre cuando la frecuencia de la
fuerza exterior se hace coincidir con la
frecuencia propia del oscilador.
72
Figura 2.20 Curvas de resonancia para diferentes
coeficientes de amortiguación. Observe que
cuanto más grande es b, el pico se ensancha, es
menos agudo y se desplaza hacia frecuencias más
bajas. Si b2 > 2km, desaparece completamente.
En la figura 2.20 se muestra una gráfica de la amplitud como función de la frecuencia para un
oscilador forzado con fuerza de fricción. Se observa que para valores cada vez más pequeños de b,
la amplitud aumenta. Además la curva de resonancia se ensancha al aumentar el amortiguamiento.
En condiciones de estado estacionario, y a cualquier frecuencia de impulso, la energía transferida
es igual a la energía que se pierde por la fuerza de amortiguamiento, por eso la energía total
promedio del oscilador permanece constante. En ausencia de fuerzas de amortiguamiento (b = 0),
de la ecuación 2.82 se observa que, en estado estacionario, A aumenta hasta el infinito cuando ωf →
ωo. Es decir, si no hay pérdidas en el sistema, y se continua impulsando un oscilador que se
encontraba inicialmente en reposo, con una fuerza senoidal que se encuentra en fase con la
velocidad, la amplitud crecerá sin límite. Esto no se produce en la realidad ya que siempre están
presentes las fuerzas de fricción, aunque sean pequeñas, por lo tanto, en la resonancia la amplitud
será grande, pero finita para pequeños amortiguamientos.
La velocidad del oscilador forzado es
Donde la amplitud de la velocidad es:
[2.86]
y corresponde a la fase con que se retrasa la velocidad con respecto a la fuerza (debido al signo
negativo). Reduciendo la expresión 2.84, tenemos:
[2.87]
La variación de la amplitud de la velocidad vo depende de la frecuencia ωf . Al observar la ecuación
2.85, considerando que b es muy pequeño (b 0) concluimos que amplitud de la velocidad alcanza
su valor máximo cuando mωf - k/ωf = 0, por lo que
ωf = ωo = (k/m)1/2
73
y dado que la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud, entonces la energía cinética
también es máxima. En estas condiciones se dice que existe una resonancia de energía, por tanto,
la resonancia de energía ocurre cuando la frecuencia de la fuerza aplicada ωf es igual a la
frecuencia natural ωo del oscilador sin amortiguamiento.
En resonancia, la velocidad está en fase con la fuerza aplicada ( = 0). Como la potencia
transmitida al oscilador por la fuerza aplicada es Fv, esta cantidad siempre es positiva cuando F y v
están en fase, que es por tanto la condición más favorable para la transferencia de energía al
oscilador. Luego, en la resonancia de energía, la fuerza aplicada y la velocidad están en fase y la
transferencia de energía de la fuerza aplicada al oscilador forzado es máxima.
Ejemplo 2.15. Un objeto de 1 kg oscila sobre un muelle de constante de fuerza k = 400 N/m. La
constante de amortiguamiento es b = 2 kg/s. Está impulsada por una fuerza sinusoidal de valor
máximo 12 N y frecuencia angular f = 15 rad/s. a) Calcular la amplitud de las oscilaciones. b)
Si se varía la frecuencia de la fuerza impulsora, ¿a qué frecuencia se producirá la resonancia? c)
Hallar la amplitud de las vibraciones en la resonancia; d) halle la ecuación del movimiento
resultante. e) Halle la potencia media disipada.
a) La frecuencia natural del sistema es:
b) La amplitud de las oscilaciones viene dada por 2.82 donde = 1 s-1 luego
c) El fenómeno de resonancia se obtiene usando la ecuación 2.83., es decir,
d) La ecuación del movimiento resultante es dado por x = A cos(t - ), donde se obtiene usando la ecuación 2.83
,
Luego x(t) = (6,76 cm) cos(15t – 1,50)
d) La potencia disipada es P = fv = (bv)v = bv2 donde la rapidez v es
cm/s
Potencia instantánea
Luego la potencia media disipada es: 1,028 J.
74
Ejemplo 2.16. Un cuerpo de 0.2 kg de masa está unido al extremo de un resorte de constante
elástica K = 5 N/m, que tiene el otro extremo fijo. Se separa el cuerpo a 0,8 m de su posición de
equilibrio y se abandona, comenzando a contar tiempos en ese instante. Hallar: a) La ecuación del
movimiento del cuerpo. b) Las energías cinéticas y potencial del sistema cuando la elongación es
del valor máximo. A continuación se aplica al cuerpo una fuerza de rozamiento FR = -0.2 v y
una fuerza impulsora F = 8 cos 6t. Una vez el sistema alcanza el estado estacionario, hallar: c) La
ecuación del movimiento que resulta. d) La energía disipada por rozamiento en una oscilación. e)
En que condiciones la potencia media aportada es máxima
Solución: a) Puesto que el cuerpo se abandona, la ecuación del movimiento del cuerpo es
b) La velocidad al cuadrado es v2 = 2[A2 – x2] y la energía cinética del sistema es
La energía potencial del sistema para esta condición es
c) La solución estacionaria es dada por la ecuación
donde la frecuencia forzante y son f = 6 rad/s , = 0,5 s-1 .Luego la amplitud es
Y la constante de fase se obtiene de
Por lo tanto:
e) La energía disipada por rozamiento en una oscilación se puede calcular a partir del factor de
calidad donde o
La energía total del sistema es
Luego la energía disipada será
f) La potencia media aportada es máxima en resonancia.
75
EJERCICIOS
1. El desplazamiento de una partícula está dado por la ecuación x = 4 cos(3πt +π ) , donde x esta
en m y t en s. Calcular: a) la frecuencia y el periodo del movimiento, b) la amplitud del
movimiento, c) la constante de fase, d) la posición de la partícula en t = 0 y 5s, e) la rapidez y
aceleración en cualquier instante, f) la rapidez y aceleración máximas, g) la rapidez y
aceleración en t = 0 y 5 s.
2. Una partícula oscila con un movimiento armónico simple de tal forma que su desplazamiento
varia de acuerdo con la expresión x = 5cos(2t +π / 6) , donde x esta en cm y t en s. Calcular: a)
la frecuencia y el periodo del movimiento, b) la amplitud del movimiento, c) la posición de la
partícula en t = 0, d) la rapidez y aceleración en t = 0.
3. Una partícula que se mueve con movimiento armónico simple recorre una distancia total de 20
cm en cada ciclo, y su máxima aceleración es de 50 m/s2. Calcular: a) la frecuencia angular, b)
su máxima rapidez.
4. De un muelle está colgado un platillo de balanza con pesas. El periodo de las oscilaciones
verticales es 0.5 s. Después de poner en el platillo más pesas, el periodo de las oscilaciones
verticales se hizo igual a 0.6 s. ¿Qué alargamiento provocaron en el muelle las pesas añadidas?
5. El émbolo de un motor oscila con movimiento armónico simple de modo que su posición varía
según la expresión x(t) = 5,0 cos(t + 1/4). Donde x está en cm y t en segundos. En t = 0,5 s,
halle: (a) la posición del émbolo; (b) su velocidad; (c) su aceleración; (d) encuentre la amplitud
y periodo del movimiento; (e) la constante de fase.
6. Cuando una persona de 70 kg de masa entra en su auto de 1200 kg, el centro de masa de éste
baja 0,3 cm. (a) ¿Cuál es la constante elástica de los amortiguadores del auto?; (b) ¿cuál es el
periodo de vibración cuando está vacío y cuando esta la persona dentro de él?
7. Un oscilador armónico simple consiste en una masa de 1,2 kg que está en reposo sobre una
superficie horizontal sin fricción y está unida a un soporte fijo por un resorte ideal horizontal
de constante elástica 180 N/m. El sistema se pone a oscilar, y al tiempo t = 0,16 s se observa
que la elongación es 0,15 m y la velocidad – 0,80 m/s. Determine (a) La frecuencia angular y el
periodo, (b) la amplitud, (c) la constante de fase y la fase del movimiento; (d) la energía
potencial y cinética en t = 2 s, así como la energía total.
8. Una lenteja de un péndulo de 1,0 kg de masa con longitud pendular de 1,0 m, se suelta en t = 0
cuando forma un ángulo de 0,10 rad con la vertical, con una velocidad angular inicial de 0,5
rad/s. Halle la expresión que dé el desplazamiento angular en función del tiempo.
9. Un péndulo simple mide 2 m de largo. Determine el periodo para pequeñas oscilaciones de este
péndulo si está situado en un elevador (a) que acelera hacia arriba a g/5; (b) considere después
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que acelera hacia abajo con aceleración de g/5. c) Suponga ahora que el péndulo está montado
en un camión que acelera horizontalmente a 2 m/s2, ¿Cuál es su periodo?
10. Una bolita de masa m está ligada a dos bandas elásticas de
longitud L, cada una bajo tensión T, como se ve en la figura. La
pelota se desplaza una pequeña distancia vertical y perpendicular
a las bandas elásticas. Suponiendo que la tensión no cambia, demuestre que: (a) la fuerza
restauradora es –(2T/L)y y (b) el sistema oscila con frecuencia angular ω = (2T/mL)1/2
11. Un bloque grande P ejecuta un movimiento armónico simple
horizontal cuando se desliza por una superficie sin fricción con
un frecuencia . El bloque B descansa sobre el primero como
se ve en la figura, y el coeficiente de rozamiento estático entre los dos es s. ¿Cuál es la
máxima amplitud de oscilación que puede tener el sistema si el bloque no debe resbalar?
12. Una partícula de 4 kg se mueve a lo largo del eje x bajo la acción de la fuerza
cuando t = 2 s, la partícula pasa por el origen, y cuando = 4 s, su velocidad
es de 4 m/s (a) Halle la ecuación para el desplazamiento (b) Muestre que la amplitud del
movimiento es de m.
13. Una esfera sólida de radio R, rueda sin deslizar en un canal
cilíndrico de radio 5R, como se ve en la figura. Demuestre que,
para pequeñas oscilaciones desde el equilibrio, la esfera ejecuta un
movimiento armónico simple con periodo
14. Un péndulo simple tiene un periodo e 2 s y una amplitud de 2º. Después de 10 oscilaciones
completas su amplitud se ha reducido a 1,5º. Halle la constante de amortiguamiento .
15. Una esfera pequeña de masa m y radio R está unida al extremo de una varilla de masa 3m y
longitud L que hace pivote a L/4 de la parte superior, calcule el periodo de oscilación para
pequeñas oscilaciones.
16. Un péndulo físico en la forma de un cuerpo plano se mueve con movimiento
armónico simple con una frecuencia de 0,45 Hz. Si el péndulo tiene una masa de 2,20
kg y el pivote está situado a 0,40 m del centro de masa, halle el momento de inercia
del péndulo alrededor del punto pivote.
17. Halle la ecuación de movimiento que resulta de la superposición de dos movimientos
armónicos simples paralelos cuyas ecuaciones son x1 = 2sen(ωt + /3) y x2 = 4sen(ωt
+ /2).
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y
LL
Problema 13
18. Una partícula participa simultáneamente de dos oscilaciones perpendiculares entre sí, dadas por
las ecuaciones: x = 3sent; y = 4cos(t/2). ¿Cuál es la trayectoria del movimiento resultante?
19. Un cuerpo de 0.2 kg de masa está unido al extremo de un resorte de constante elástica k = 5
N/m, que tiene el otro extremo fijo. Se separa el cuerpo a 0,8 m de su posición de equilibrio y
se abandona, comenzando a contar tiempos en ese instante. Hallar: a) La ecuación del
movimiento del cuerpo. b) Las energías cinéticas y potencial del sistema cuando la elongación
es del valor máximo. A continuación se aplica al cuerpo una fuerza de rozamiento FR = -
0.2 v y una fuerza impulsora F = 8 cos 6t. Una vez el sistema alcanza el estado estacionario,
hallar: c) La ecuación del movimiento que resulta. d) La energía disipada por rozamiento en
una oscilación. e) En que condiciones la potencia media aportada es máxima.
20. Una masa de 0.5 kg cuelga de un resorte. La constante del resorte es de 100 N/m, y la constante
de amortiguamiento del sistema es de 1.4 kg/s. La fuerza que excita al sistema es Ff = 2 cos 5t.
a) ¿Cuáles serán los valores estacionarios de las amplitudes de la velocidad y del
desplazamiento y la disipación de potencia promedio? b) ¿Cuál es el ángulo de fase entre la
velocidad y la fuerza? c) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia y cuáles serían, a esta frecuencia,
las amplitudes del desplazamiento y velocidad, y la potencia promedio disipada, si la fuerza
tiene la misma magnitud que en a)? d) ¿Cuál es la Q del sistema, y sobre qué intervalo de
frecuencias la pérdida de potencia será por lo menos 50 por ciento del valor de resonancia?
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