elasticidad unmsm
TRANSCRIPT
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
1/35
ELASTICIDAD
Conceptos Básicos Ley de Hooke
Esfuerzo y deformación
Deformaciones axiales
Módulo elástico (de Youn!
Módulo de "iidez
Esfuerzos de #ensión$ Compresión y de Corte
Cur%a Esfuerzo %s& Deformación 'nitaria
Deformaciones trans%ersales& Coecientede )oisson
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
2/35
Esfuerzo de tensión
Esfuerzo "elación de la fuerza perpendicular
aplicada a un o*+eto di%idida para suárea trans%ersal&
'nidad de medida meapascal (M)a!
0
A
F =σ
F
FA
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
3/35
• Normal (Axial load) : la carga es perpendicular a la sección
transversal del material
.
- Tension : los extremos del material son estirados hacia afuera
para alargar al objeto, la carga es conocida como fuera de
tensión. - Compresión : !os extremos del material som empujados para
hacer al material m"s pe#ue$o, la carga es llamada una fuera de
compresión.
Tensión
Compresión
Clasificación de esfuerzos
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
4/35
• %sfuero cortante : carga &angencial
Clasificación
estirando
Presión
Carga
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
5/35
Esfuerzo.
Esfuerzo lonitudinal
Esfuerzo cortante
F F F F
A
σ = F/A
FF/2
F/2
F
F/2
F/2
A
τ = F/(2A)
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
6/35
deformación
Deformación La relación del
cam*io de lonitud
de*ida al esfuerzopara la lonitudoriinal del o*+eto&
Es una cantidadadimensional
oL
eε =
oo
oi
l
l
l
l l ∆=
−=ε
oLLe −=
Elongación
e
L
Lo
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
7/35
Esfuerzo tensionante y
deformación
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
8/35
Máquina hidraulica Baldwin para pruebas de Tension Co!presion
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
9/35
Diagrama Esfuerzo-Deformación
deformación (e/Lo)
"#
$
%
&
E s f
u e r z o
( F / A )
'egión
%lastica
'egión
l"stica
'uptura
ulti!aFuer'a
deTensión
p e n d i e
n t e ) E
(egion Elastica
pendiente) Módulo de *oung
(egión Plastica ulti!a +uer'a de tensión
+ractura
,e+or!ación per!anente
Es+uer'o!á-i!o
.T/σ
σ
εEσ =
ε
σE =
12
ε ε
σ
E−
=
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
10/35
Esfuerzo cortante y deformación
El esfuerzo cortante es usado en a,uelloscasos donde se aplican fuerzas puramentetorsionantes a un o*+eto y se denota porel sim*olo τ& La fórmula de calculo y las unidades
permanecen iuales como en el caso deesfuerzo de tensión&
-e diferencia de el esfuerzo de tensión sólo enla dirección de la fuerza aplicada(paralela paracortante y perpendicular para tensión!
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
11/35
Esfuerzo cortante
Deformación de corte o cizalladura(γ ! es denida como la tanente del
ánulo θ$ y$ en esencia$ determina,ue extensión del plano fuedisplazado&
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
12/35
Relación Esfuerzo-Deformación
Ley de Hooke )ara materiales sometidos a esfuerzos
tensionantes$ a relati%amente *a+o ni%eles$
esfuerzo y deformación son proporcionales
La constante E es conocida como el módulo
de elasticidad$ o módulo de Youn& Es medida en M)a y puede %aler de ./&0x12/ a/2x123 M)a
ε=σ %
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
13/35
Esfuerzo y Deformación
Esfuerzo cortante y la deformaciónse relacionan de manera similar$
pero con una constante deproporcionalidad diferente
La constante G es conocida como elmódulo de corte y relaciona el esfuerzocortante en la reion elastica&
γ =τ *
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
14/35
Coeficiente de Poisson
Cuando un cuerpo es colocado *a+o unesfuerzo tensionante$ se crea unadeformación acompa4ante en la mismadirección&
Como resultado de esta elonación$5a*rá constricciones en las otras dos
direcciones& El coeciente de )oisson$ ν$ es la relación
de las deformaciones lateral para la axial&
z
y
z
x
ε
ε=
ε
ε−= ν
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
15/35
Coeficiente de Poisson
#eoricamente$ los materialesisotropicos tienen un %alor decoeciente de )oisson de 2&60& El maximo %alor de ν es 2&0
no 5ay cam*io de %olumen durante el proceso&
La mayor7a de metales presentan %alores
entre 2&60 y 2&80 -e usa ademas para relacionar los
módulos elástico y de corte
1#2$ ν+= *%
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
16/35
Deformación
La deformación elástica estáalrededor de los 2&220&
Despu9s de este punto$ ocurre ladeformación plástica (no recupera*le!$ yla ley de Hooke no es %álida&
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
17/35
Deformación plstica
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
18/35
Elasticidad
Despu9s de li*erar una cara sometida$ el o*+etorecupera su forma oriinal&
Durante este proceso$ la cur%a traza una l7nearecta de elasticidad
)aralela a la porción elástica de la cur%a
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
19/35
Elasticidad
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
20/35
%jemplo +.
3ongitud del cable )#00 ! dia!eter)#40 !Fuer'a longitudinal aplicada)$&5000 6 Elongacion )#40 !
$$$
$
78&401204&r A
ascales 8005%# 78&40
6 0005$&
mm
P m A
F
===
===
π π
σ
cable
Tensión
#1 Encuentre el es+uer'o nor!al4
$1 93a de+or!ación:
1;2 0#40#00
#mm
m
m
L
e
o
===ε
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
21/35
%jemplo .
< .na grua esta al'ando un ob=ecto de $05000 64
< Caracteristicas del cable
diá!etro)#40 !5 longitud pre>ia al al'ado )&0 !
1 78&401 204&r 2A
a "785$& 78&40
0005$0
$$$
$
mm
P m
N
A
F
===
===
π π
σ
#1 ?Es+uer'o 6or!al en el cable:
$1 9,e+or!ación:
0007$840
a #0%&
a "785$&@
=
×
==
P
P
E
σ ε
Pa#0%&
Pa 000570
Pa 0005@0
@
.T
×=
=
=
E
y
σ
σ
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
22/35
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
23/35
E!emplo #
σ = 15.0 Pa
ε = σ/!
= 15.0 Pa/210000 Pa
= 7.14 x 10^"5 mm/mm = 0.0000714 mm/mm
= 0.0000714 m/m
∆L = εL
= (0.0000714 m/m) * 2.50 m = 0.000178 m
= 0.178 mm! = 21 x 10^4 Pa
(#a$%&&a 'e ae$o)
2.50 m
30.0 kg
5.00 mm
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
24/35
E!emplo $
.na barra de #0 !! de diá!etro de un acero al carbono #0"0 2E )$00 - #0 Pa1 es so!etida a una carga de tracción de &0 000 64
Calcule la recuperación elástica que tendra lugar tras retirar la carga
de tracción4
atos:atos: E ) $00 - #0 Pa φo) #0 !! T ) &0 000 6
órmulas:órmulas: σ ) F;A ε) σ;E
esarrollo:esarrollo:
σ ) F;A ) &0 0006; 2π2&-#0
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
25/35
E!emplo %.na barra de #0 !! de diá!etro de un alu!inio 2E ) 70 - #0 Pa1 es
so!etida a una carga de tracción de @ D64 a1 Calcule el diá!etro +inal de
la barra4 b1 calcule de diá!etro +inal de la barra si se so!ete a una carga
de co!presión de @ D64 (elación de Poisson υ ) 04%%4
atos:atos: E ) 70 - #0 Pa φo) #0 !! T ) @ D6
órmulas:órmulas: σ ) F;A ε) σ;E ε) 2d+ do1;do
esarrollo:esarrollo:
a)a) σ ) F;A ) @ 0006; 2π2&-#0
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
26/35
E!emplo &
.na barra de #0 !! de diá!etro de un acero al carbono #0"0 2E )$00 - #0 Pa1 es so!etida a una carga de tracción de &0 000 64
Calcule la recuperación elástica que tendra lugar tras retirar la carga
de tracción4
atos:atos: E ) $00 - #0 Pa φo) #0 !! T ) &0 000 6
órmulas:órmulas: σ ) F;A ε) σ;E
esarrollo:esarrollo:
σ ) F;A ) &0 0006; 2π2&-#0
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
27/35
E!emplo '.na pelota de #& Dg de " c! de radio está suspendida de un punto locali'ado a $4"
! sobre el piso por !edio de un ala!bre de hierro cua longitud es de $48& ! de
diá!etro de 0400 c!5 siendo su !ódulo de *oung de #80 GPa4 /i la pelota se pone a
oscilar de tal !anera que su centro pase por el punto !ás ba=o de su traectoria a & !;s59a quH distancia del piso pasará la pelota:
atos:atos: Ala!bre E) #80 GPa5 φ) 040 c!5 3o ) $48& !
pelota !) #& Dg5 r ) " c! Altura del piso ) $4" !4
órmulas:órmulas: Fc) T !g ⇒ T ) Fc!g ) !g !>$
;( ( ) 3or ∆3 ) $48&040" ∆3) $48 ∆3 ∴ ∆3 ≅0' '
σ) Eε) E ∆3;3 ⇒ ∆3) 3o σ;E) 3oT;EA
⇒ T) #&248#&$;$481 )$77 6
⇒ ∆3) 2$77-$48&1;2π-2"4&-#0
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
28/35
E!emplo (.n ala!bre >ertical de & ! de largo 040088 c!$ de área de sección trans>ersal5 tiene
un !ódulo de *oung E)$00 GPa4 .n ob=eto de $ Dg se su=eta a su e-tre!o alarga el
ala!bre elástica!ente4 /i ahora se tira de ob=eto hacia aba=o un poco se suelta5 el
ob=eto e-peri!entará un MA/ >ertical4 Encuentre el periodo de >ibración4
atos:atos: ala!bre 3o) & !5 A) 04088 c!$5 E ) $00GPa4 !asa !) $ Dg
ormulas:ormulas: 3e de IooDe F ) D4∆3 ⇒D) F; ∆3 σ) Eε⇒ F;A )E 2∆3 ;31
⇒D) AE;3o) 2848-#0
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
29/35
E! l )*
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
30/35
E!emplo )*.na barra de acero 2/ ) #$ - #0@ lb;plg$1 de una pulgada de diá!etro sobresale #4&
pulgadas +uera de la pared4 /i en el e-tre!o de la barra se aplica un es+uer'o cortante
de 8000 libras5 calcular la de+le-ión hacia aba=o4
atos:atos: F) 8000 lb5 φ) # plg5 l ) #4& plg
ormula:ormula: / ) 2F;A1;2d;l1⇒ d)Fl;A/
d ) K28000lb12#4& plg1L;K2π2#plg1
$
-#$-#0
@
lb;plg
$
L
d ) #4$7 - #0
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
31/35
E!emplo )).na gelatina con +or!a de ca=a tiene un área en su base de #& c!$ una altura de % c!4
Cuando se aplica una +uer'a cortante de 04& 6 en la cara superior5 Hsta se despla'a "
!! en relación a la cara in+erior4 9 Cuáles son el es+uer'o cortante5 la de+or!ación al
corte el !ódulo de corte para la gelatina:atos:atos: F) 04& 65 A) #& c!$5 h ) % c!5 ∆-) " !!
ormulas:ormulas: σ/ ) Ft;A ε/)∆-;h / ) σ/ ;ε/
σ/ ) 04& 6;2#& - #0
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
32/35
E!emplo )+En la +igura se !uestra un pun'ón para per+orar placas de acero5 suponga que se usa un
pun'ón con diá!etro de 047& plg para per+orar un agu=ero en una placa de plg co!o
!uestra la >ista de per+il4 /i se requiere una +uer'a P ) $8000 lb 9cuál es el es+uer'o
cortante pro!edio en la placa el es+uer'o de co!presión pro!edio en el pun'ón:
atos:atos: d) 047& plg5 P) $8000 lb5 t ) plg
ormula:ormula: A/) $πrt) πdt ) π2047& plg1204$& plg1) 04&8 plg$
σ/ ) P;A/) $8000lb;04&8 plg$ ) "7&00 lb;plg$
σC ) P;AC) P;2πd$;"1) $8000lb; 2π2047& plg1$;"1) @%"00 lb;plg$
0ódulo volum3trico: elasticidad de volumen0ódulo volum3trico: elasticidad de volumen
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
33/35
0ódulo volum3trico: elasticidad de volumen0ódulo volum3trico: elasticidad de volumen
B ) es+uer'o de >olu!en;de+or!ación de >olu!en
B ) < 2∆F;A1; 2∆N;N1
B ) < ∆P; 2∆N;N1
E!emplo )"
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
34/35
E!emplo )".na es+era sólida de latón 2 B ) @4# - #0 #0 6;!$1 inicial!ente está rodeada de aire5 la
presión del aire e=ercida sobre ella es de # - #0& 6;!$ 2Presión at!os+Hrica14 3a es+era
se su!erge en el ocHano a una pro+undidad a la cual la presión es $ - #07 6;!$4 E3
>olu!en de la es+era en el aire es de 04& !%
4 9 En cuánto ca!biará este >olu!en una>e' que la es+era este su!ergida:
B ) < ∆P; 2∆N;N1 ⇒ ∆N) < ∆P N;B ) < 2$ - #0 7 6;!$1204& !%1; 2@4#- #0 #0 6;!$1
⇒ ∆N)
-
8/16/2019 elasticidad unmsm
35/35
E!emplo )#El !ódulo >olu!Htrico para el agua es $4# GPa4 Calcule la contracción >olu!Htrica de
#00 !l de agua cuando se so!eten a una presión de #4& MPa4
B ) < ∆P; 2∆N;N1 ⇒ ∆N) < ∆P N;B ) < 2#4& - #0 @ 6;!$12#00 !l1; 2$4#- #0 6;!$1
⇒ ∆N)