elasticidad lineal

7/25/2019 Elasticidad Lineal

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Captulo 4

Elasticidad lineal

En anteriores captulos se ha estudiado el equilibrio y la deformacionlocales en los cuerpos deformables. Se vio, en primer lugar que al someterun cuerpo de este tipo a fuerzas exteriores aparecen a nivel local fuerzascuyo valor, por unidad de area, definimos como tensiones. Posteriormente,se estudio que la deformacion puede caracterizarse de forma precisa, tambiena nivel local, a traves del concepto de deformacion. Pues bien, en los cuerpos,las tensiones y las deformaciones en cada punto no son independientes, sinoque (al menos en condiciones isotermas) una siempre acompana a la otra.

La relacion localentre tensiones y deformaciones es el problema centralde la mecanica de solidos. Si bien las ecuaciones de equilibrio y la relaciondesplazamiento-deformacion son resultados matematicos que no son discu-tibles una vez aceptadas las hipotesis de partida, la relacion entre tension ydeformacion, las llamadas leyes constitutivas, dependen del tipo de ma-terial, de los procesos que se quieran modelar, etc. Aunque las relacionesconstitutivas mas sencillas y utiles son bien conocidas y estan descritas entodos los libros, todava se siguen proponiendo otras nuevas que mejor mo-delan el comportamiento de nuevos materiales.

La formulacion de modelos constitutivos es especialmente complejo cuan-do las deformaciones son grandes [6]. En este captulo nos centraremos, sinembargo, en el caso mas sencillo posible, el de la elasticidad lineal. Estemodelo, aparentemente trivial, esta en la base de la mayor parte de calculosen mecanica de solidos y de estructuras. Servira ademas como introduccionpara otros modelos mas complejos que estudiaremos en captulos posteriores.

4.1. Los modelos elasticos

El problema fundamental de la mecanica de solidos es la formulacionde modelos constitutivos, es decir, expresiones funcionales que permitancalcular el valor de la tension en un punto a partir del valor de la defor-macion en ese instantey en todos los anteriores. Por tanto, en general y de

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74 Mecanica de solidos, I. Romero

acuerdo a la experiencia practica, es la historia completa de la deformacion

en un cuerpo la que permite conocer la tension en los puntos del mismo (oviceversa).

Se dice que un material es simple cuando el estado de la tension enun punto depende solo de la historia de la deformacion en ese mismo punto.Ademas, es posible es posible que la tension en un punto x en elinstante de tiempo t solo dependa de la deformacion en ese mismo puntoe instante, es decir,

(x, t) =f((x, t)) . (4.1)

siendof : V2 V2 una funcion que describe el modelo constitutivo. Cuandoesto ocurre, decimos que el comportamiento del material en el punto x es

elastico. La importancia de este tipo de modelos es doble: por un ladoson los mas sencillos y, sobre todo, reflejan muy bien el comportamiento demuchos materiales cuando las deformaciones son pequenas.

Claramente no todos los materiales se comportan elasticamente. Es biensabido, por ejemplo, que las propiedades mecanicas de los metales dependende su proceso de fabricacion (su historia de deformacion y temperatura);tambien la experiencia habitual nos dice que los muchos materiales tienenun comportamiento reologico.

Dentro de todos los materiales elasticos, un subconjunto de ellos consisteen aquellos en los que la funcion fde la ecuacion (4.1) es lineal, es decir

(x, t) = C(x, t) , (4.2)

donde C es un tensor de cuarto orden. Este tipo de modelos, llamados elasti-cos lineales proporciona una aproximacion muy buena al comportamientode muchos materiales cuando la deformacion es pequena y dedicaremos elresto del captulo a su estudio.

Una consecuencia inmediata de la hipotesis de linealidad es lo que seconoce como el principio de superposicion: la tension debida a la super-poscion de dos deformaciones es la suma de las tensiones correspondientes,es decir, que para toda pareja , R

f(1+ 2) =f(1) + f(2) , (4.3)

lo cual se demuestra trivialmente a partir de (4.2).

4.2. Elasticidad lineal isotropa

Estudiamos, en primer lugar, la relacion constitutiva elastica mas sen-cilla que existe, a saber, la de los cuerpos isotropos , aquellos en los quela respuesta no depende de la direccion. La formulacion de las ecuacionesconstitutivas se logra mediante ensayos experimentales en los que se someteun cuerpo a un estado de tension/deformacion homogeneo y se deducen apartir de ah consecuencias puntuales.


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Captulo 4. Elasticidad lineal 75

x

y

z

L0

r0

L

r

Figura 4.1: Esquema del ensayo a traccion.

4.2.1. El ensayo uniaxial de traccionEl unico ensayo que se necesita para caracterizar materiales isotropos

es el de traccion uniaxial. Una barra recta, cilndrica de longitud L0, setracciona aplicando un tension normal en las caras rectas del cilindro y semide la longitud L de la barra deformada (ver figura4.1). Si se coloca unsistema de coordenadas cartesiano con el eje xalineado con el eje de la barra,los estados de tension y deformacion en cualquier punto de misma, son

[] =

xx 0 00 0 00 0 0

, [] =

xx 0 00 yy 00 0 zz

(4.4)

La deformacion longitudinal xse puede calcular mediante la expresion x=(L Lo)/Lo y se define el modulo de Young del material mediante larelacion

E= xx

xx

. (4.5)

De la expresion anterior se deduce que el modulo de Young es la pendientede la recta x vs. x que se obtiene en un ensayo de traccion y que tienedimensiones de presion. En el apendice A se recogen los valores del modulode Young para algunos materiales.

Como se indica en la figura 4.1, al traccionar una barra el alargamientoaxial se ve acompanado de un acortamiento transversal y por tanto, si el

radio original del cilindro era ro, despues de deformarse toma el valorr, quepuede medirse.

En el caso de un solido cilndrico como el de la figura, este acortamientose cuantifica con deformaciones yy e zz en las direcciones transversalescuya valor es yy = zz = (r r0)/r0, y que es negativo. El coeficiente dePoissonse define como

= yy

xx

= zz

xx

, (4.6)

y es por tanto un propiedad del material sin dimensiones. La igualdad enla expresion anterior se debe a la isotropa del material. En el apendiceA


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tambien se recogen valores caractersticos de este coeficiente para distintos

materiales.

4.2.2. Respuesta general

A partir del modulo de Young y el coeficiente de Poisson se puede obtenerla relacion tension-deformacion en un punto sometido a un estado tensio-nal arbitrario, encontrando la llamada ley de Hooke generalizada, puesextiende al continuo la relacion elastica de los resortes.

Para obtener dicha relacion partimos primero de la siguiente observacion:el estado tensional mas complejo que puede ejercerse sobre un diferencialde volumen es un estado triaxial de traccion/compresion. Efectivamente,

cualquier estado tensional puede expresarse, en la base principal de tension,como un estado triaxial de traccion/compresion. En dicho estado las trestensiones normales se denominan 1, 2, 3 y coinciden con las tensionesprincipales.

Debido a la hipotesis de linealidad, se puede aplicar el principio de su-perposicion y se puede obtener la respuesta al estado triaxial de tensionsuperponiendo tres estados de traccion/compresion uniaxial. Comenzandopor la traccion/compresion sobre un plano perpendicular a la direccion prin-cipal primera, el estado de tension y deformacion correspondiente es:

[(1)] =

1 0 00 0 0

0 0 0

[(1)] =

1

E 0 0

0 1E

0

0 0

1

E

. (4.7)

Estudiando a continuacion un estado de traccion/compresion uniaxial enla direccion principal de tension segunda obtenemos un nuevo estado dedeformacion

[(2)] =

0 0 00 2 00 0 0

, [(1)] =

2

E 0 0

0 2E

00 0 2

E

. (4.8)

Finalmente, considerando el tercer estado de tension posible se obtiene quela tension y deformacion son

[(3)] =

0 0 00 0 00 0 3

, [(3)] =

3

E 0 0

0 3E

00 0 3

E

. (4.9)

Por el principio de superposicion, la deformacion debida a un estadotensional = (1) + (2) + (3) es la suma = (1) + (2) +(3), o en formade matriz:

[] =

1

E

2

E

3

E 0 0

0 2E

1

E

3

E 0

0 0 3E

1

E

2

E

. (4.10)


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La primera conclusion que se obtiene de (4.10) es que, en un material

elastico isotropo, las bases principales de tension y deformacion coinciden.Sobre todo, esta expresion indica la relacion mas general posible entre ten-sion y deformacion de un material de estas caractersticas cuando estas doscantidades se expresan en componentes de la base principal. Para hallar laexpresion intrnseca, valida para cualquier sistema de coordenadas, no ne-cesariamente cartesiano reformulamos la anterior expresion de la siguientemanera:

[] =1 +

E

1 0 00 2 00 0 3

E(1+ 2+ 3)

1 0 00 1 00 0 1

=1 + E

[]

Etr() [I] .

(4.11)

Esta ultima expresion depende solo de operadores intrnsecos, pues en ningunlugar se hace referencia a componentes o sistemas de coordendas, as quese puede formular de manera completamente general la siguiente ley deHooke generalizada:

=1 +

E

Etr() I (4.12)

Para la resolucion de problemas resulta util recoger la expresion en com-

ponentes cartesianas de (4.12). Definimos para ello el modulo de cortanteo cizallaG= E2(1+) y escribimos

xx= xx

E

E(yy + zz) , xy =

xy

G ,

yy = yy

E

E(zz + xx) , xz =

xz

G ,

zz = zz

E

E(xx+ yy) , yz =

yz

G .

(4.13)

En estas expresiones se puede leer un resultado adicional importante: enlos materiales elasticos isotropos las tensiones normales solo producen defor-

maciones longitudinales (en las tres direcciones debido al efecto Poisson) ylas tensiones cortantes solo produce deformaciones angulares (cada tensioncortante produce una deformacion angular desacoplada del resto).

4.2.3. Las ecuaciones de Lame

La ecuacion (4.12) permite calcular la deformacion en funcion de latension y en esta seccion invertimos esta expresion para encontrar unaformula de la tension en funcion de la deformacion. Para ello, comenzamosamplicando el operador traza a ambos lados de la igualdad (4.12) resul-


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tando en

tr() =1 +E

tr() E

tr() tr(I)

=

1 +

E 3

E

tr()

=1 2

E tr() .

(4.14)

En el captulo3 se escogio el smbolo para indicar la traza de la deforma-cion, as pues

tr() = E

1 2 . (4.15)

Sustituyendo este ultimo resultado en la ecuacion (4.12) obtenemos

=1 +

E

E

E

1 2 I . (4.16)

Despejando el tensor de tension de esta expresion se obtiene

= E

1 ++

E

(1 +)(1 2) I . (4.17)

Para poder escribir esta expresion de forma mas compacta definimos el

primer y segundo coeficiente de Lame

= E

(1 +)(1 2) , =

E

2(1 +) . (4.18)

Ambos coefiecientes de Lame tienen dimensiones de F/L2, como el modu-lo de Young, puesto que son rigideces. Ademas, el segundo coeficiente deLame es igual al modulo de cortante G. Finalmente, escribimos la expre-sion (4.17) como

= 2 + tr()I (4.19)

Esta ultima expresion se conoce como la ecuacion de Lame y permiteobtener la tension a partir de la deformacion. Como se trata de una ecuacionintrnseca es valida en cualquier sistema de coordendas. En particular, si seexpresan todos los tensores en coordendas cartesianas se obtiene

xx= 2 xx+ , xy= xy ,

yy = 2 yy + , xz= xz,

zz = 2 zz + , yz = yz,

= xx+yy +zz.

(4.20)


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4.2.4. Deformaciones y tensiones proporcionales

En un ensayo uniaxial, una tension de traccion provoca una deformacionen direccion de las tensiones aplicadas. En general esto no es as y un puntosometido a un estado tensional experimenta una deformacion que noes proporcional a la tension, es decir, 6= , para ningun escalar . Porejemplo, un punto sometido a traccion uniaxial sufre deformaciones en lasdirecciones perpendiculares a al traccion aplicada debidas al efecto Pois-son. Sin embargo, un punto sometido a un estado de tensi on de cortantepuro solo experimenta deformacion angular y se comprueba facilmente que

= (2)1. Pretendemos estudiar a continuacion cuantos casos existen desolicitaciones que provocan estados de deformacion proporcionales a estos.

Teorema 4.2.1. En un solido elastico isotropo solo los estados de tensionesfericos y los puramente desviadores causan estados de deformacion pro-

porcionales a ellos mismos. En el primer caso, cuando es esferico,

= (3)1 ,

siendo = +23 el modulo de rigidez volumetrica, y en el segundo, cuando es desviador,

= (2)1 .

Demostracion. Supongamos que en para un estado tensional , la deforma-cion provocada en un punto es tal que = . Entonces, por las ecuacionesde Lame,

= 2 + tr()

3 I .

Esta ecuacion se puede reescribir como

(1 2)= tr()

3 I .

Para que esta ecuacion se cumpla para algun escalar solo existen dosposibilidades: o bien = tr(

)3 I, o bien ambos lados de la igualdad se

anulan. En el primer caso la tension es esferica y se cumple

(1 2)tr()

3 I= tr(

)3

I = 1 2= 3 = = (3)1 .

En el segundo caso la tension es desviadora, tr() = 0, y el parentesisen la ecuacion (4.2.4) debe de anularse, para lo cual es necesario que =(2)1.

Usando la definicion de la rigidez volumetrica, las ecuaciones de Lame sepueden escribir tambien de la siguiente manera

= tr()I+ 2 e (4.21)


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Esta expresion muestra que la constante relaciona la respuesta volumetri-

ca con las cargas volumetricas, y la deformacion desviadora (el cambio deforma), con las cargas desviadoras. En otras palabras, las respuestas vo-lumetrica y desviadora de materiales isotroposestan desacopladas.

4.2.5. Restricciones en las constantes elasticas

Las constantes que caracterizan el comportamiento elastico de los cuer-pos isotropos no pueden tener valores aleatorios. Existen algunas restric-ciones que siempre deben de cumplir, unas basadas en argumentos mas omenos f sicos y otras en argumentos de tipo matematico.

Un camino fsico consiste en considerar los ensayos mas sencillos: el

de traccion uniaxial, el de cortante puro y el de compresi on volumetrica.En el primero, nuestra experiencia nos dice que al estirar una barra dematerial elastico, esta siempre se alarga, as que concluimos que E > 0.En el segundo ensayo, tambien tenemos la experiencia de que al cizallarun cuerpo, este se deforma en el sentido de la tension, as pues >0. Porultimo, al comprimir (sin cambio de forma) un cuerpo, su volumen disminuyesiempre, as que > 0. A partir de estas tres experiencias y las relacionesentre las constantes elasticas podemos deducir las restricciones de las demasconstantes elasticas. Por ejemplo, a partir de las relaciones

= E

2(1 +) y =

E

3(1 2), (4.22)

se deduce que 1 < < 12

. Si se considera la definicion

= E

(1 2)(1 +) , (4.23)

se concluye que > 0.Existen argumentos mas rigurosos, basados en la existencia de solucion

al problema elastico, o al estudio de la velocidad de propagacion de las ondasen estos materiales, y estos se pueden encontrar en tratados mas avanzadosde elasticidad [3].

4.3. Hiperelasticidad

Como se vera mas adelante, los modelos elasticos mas interesantes des-de el punto de vista termodinamico son los que derivan de un potencial.As definimos:

Definicion 4.3.1. Se dice que un material es hiperel astico cuando existeuna funcion escalar W = W(), llamada la funcion de energa elastica ointerna, tal que

= W()

(4.24)


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W

W

Figura 4.2: Energa elastica y energa elastica complementaria como areasbajo y sobre la curve de tension-deformacion.

En el caso general se sigue que W() = 12 : C y, en particular, para

modelos elasticos isotropos

Wiso() =

2(tr())2 + : =

2(tr())2 + e: e . (4.25)

Cuando la funcion Wes convexa, la relacion (4.24) se puede invertir ydefiniendo la energa elastica complementariaW = W() como latransformada de Legendre de la energa interna, y por tanto se verifica

= W()

(4.26)

Para materiales elasticos isotropos, la energa interna complementaria tienela expresion

W() = tr()2

18 +

1

4s: s=

1 +

2E :

2Etr()2 . (4.27)

En el caso de un material elastico lineal, el valor de W() y W() coincidecuando = C. Esta coincidencia es muy util a la hora de resolver proble-

mas y se aprovecha, sobre todo, en el calculo de estructuras elasticas. Sinembargo, en general, como ilustra la figura 4.2, esto no ocurre.

Ejemplo 4.3.2. Para ilustrar el concepto de energa interna, consideramosel modelo mas sencillo que es el de un resorte elastico de constante K. Segunla ley de Hooke, la fuerza que estira del resorte Ny la elongacion del mismoestan relacionadas por la expresion N= K. La energa elastica asociada espor tanto

W() =

Z

0

N(x) dx =

Z

0

Kxdx =1

2K2 .


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De la misma manera, al energa elastica complementaria se puede calcular

como

W(N) =

Z N

0

(x) dx=

Z N

0

x

Kdx=

1

2KN2 .

4.4. Simetras

En las secciones anteriores estudiamos la respuesta constitutiva de losmateriales isotropos. Muchos materiales son anisotropos y son mas difcilesde caracterizar. A continuacion estudiamos los distintos tipos de simetrasposibles a partir del concepto de simetra material y concluimos las diferentes

simetras que el tensor C puede heredar. Mas detalles sobre los calculosomitidos se pueden encontrar, por ejemplo, en [5].

4.4.1. Simetras menores y mayores

En primer lugar, debe de indicarse, que el tensor C tiene dos simetras,independientemente del tipo de material elastico que modele. Como y son tensores simetricos y = C, CA = CAT, para cualquier tensor A yademas CA = (CA)T, es decir, C solo actua sobre la parte simetrica de untensor y solo devuelve tensores simetricos. Estas son las llamadas simetrasmenoresdel tensor de elasticidades.

Se dice ademas que el tensor de elasticidades tiene simetras mayoressi ACB = B CA, para cualquier pareja de tensores A,B o, en notacion deVoigt, que la matriz [C] es simetrica. Esto ocurre, por ejemplo, siempre queel material sea hiperelastico. Cuando un material tiene todas las simetrasmenores (siempre) y las mayores, de las 81 componentes que tiene el tensorde constantes elasticas, solo 21 de ellas son independientes.

4.4.2. El concepto de simetra material

Consideremos todos los tensores ortogonales Q (las rotaciones y reflexio-nes). Igual que Qa es el vector que resulta de rotar (y/o reflejar) el vector

a, el tensor QQT es el resultado de rotar el tensor de deformaci on. El con-cepto de simetra material esta relacionado con la invarianza de la respuestaconstitutiva en relacion a los efectos de algunas rotaciones.

Definicion 4.4.1. Se dice que el tensor Q ortogonal es una simetra ma-terialen un punto cuando la energa de deformacion Wes invariante frentea la rotacion de la deformacion. Es decir, si definiendo= QQT, se verifica

W() =W() (4.28)

para cualquier deformacion . La coleccion de todas las simetras posiblesen un punto se denomina el grupo de simetradel mismo.


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Figura 4.3: Materiales monoclnicos. En formaciones rocosas estratificadas elcomportamiento es (macroscopicamente) como el de un material monoclni-co, siendo el plano de simetra, en cada punto, el del estrato.

El concepto de simetra material esta definido, por tanto, localmente ypueden existir cuerpos que posean simetras distintas en regiones separadas.Que las simetras en un punto tienen la estructura de grupo se sigue de quesi Q1 y Q2 son dos simetras, tambien lo es Q1Q2, de que Q

1 tambien esuna simetra, y de que el tensor identidad tambien lo es siempre.

4.4.3. Materiales monoclnicos

Un material monoclnico tiene un plano de simetra que suponemos, sin

perder generalidad, que es el perpendicular al eje e3. Por ello, el tensorortogonal Q3= e1e1+e2e2e3e3, que geometricamente representa lareflexion respecto al plano de simetra, debe de estar en el grupo de simetradel punto. Dada una deformacion arbitraria , el resultado de reflejar estetensor con Q3 tiene por matriz

11 12 1321 22 2331 32 33

=

1 0 00 1 00 0 1

T

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 0 00 1 00 0 1

=

11 12 13

21 22 23

31 32 33

. (4.29)

Por definicion de lo que se entiende por ser una simetra, se debe de verificar

C= C . (4.30)

para cualquier deformacion. En componentes,

3Xijkl=1

Cijkl ij kl =3X

ijkl=1

Cijklijkl . (4.31)


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Si suponemos que todas las componentes de la deformacion son nulas excepto

11 y 13 se sigue que

C11131113= C11131113 . (4.32)

Como 11 = 11 y 13 = 13, concluimos que C1113 = 0 y tambien todoslos coeficientes que resultan de las simetras menores y mayores. Repitiendoel mismo proceso para otros combinaciones de deformaciones se sigue que

C1113= C1123= C2213 = C2223= C3313 = C3323= C2312= C1312 = 0,(4.33)

as como todas sus permutaciones. De las 21 constantes independientes quetiene un material elastico anisotropo, se sigue que solo 13 de ellas son inde-pendientes para un material monoclnico.

4.4.4. Materiales ortotropos

Un punto tiene simetra ortotropa si tiene tres plano ortogonales de si-metra. En terminos de tensores de rotacion, los tensores Q1,Q2,Q3 estanen el grupo de simetra del punto.

Para encontrar las consecuencias de estas simetras, y tomando comoplanos de simetra los perpendiculares a los vectores de la base, podemosrepetir en analisis de los materiales monoclnicos. Ademas de las simetrasidentificadas en la ecuacion (4.33), se pueden identificar como simplificacio-nes adicionales

C1112 = C2212= C3312 = C2313 (4.34)

y todas sus permutaciones menores y mayores. En total, teniendo en cuen-ta la restricciones identificadas, solo puede haber nueveconstantes elasti-cas independientes en los materiales ortotropos. Estas simetras se dan, porejemplo, en las maderas y materiales compuestos.

4.4.5. Materiales transversalmente isotropos

Un punto tiene simetra ortotropa si existe un eje (supongamos que coin-cide con el vector e3) tal que las matrices de la forma

cos

sin

0 sin cos 0

0 0 1

(4.35)

son la expresion matricial de tensores en el grupo de simetra, para cual-quier valor del angulo . En este caso, se puede demostrar que las unicascomponentes del tensor de elasticidades que no son nulas son

C1111 = C2222, C3333, C1122, C1133 = C2233, C2323= C1313, (4.36)

C1212= (C1111 C1122)/2, (4.37)

y como se puede comprobar solo cinco de ellas son independientes.


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4.4.6. Materiales isotropos

Por ultimo, los materiales con el grupo de simetra mas grande son aque-llos en los que cualquier rotacion y/o reflexion es una simetra. Si conside-ramos que estos materiales son aquellos que tienen tres ejes ortogonalesalrededor de los cuales cualquier rotacion es una simetra, el analisis de losmateriales transversalmente isotropos concluye que los terminos no nulos deltensor C son

C1111= C2222 = C3333 , C1122= C1133 = C2233 (4.38)

C2323 = C1313= C1212= (C1111 C1122)/2 , (4.39)

que solo incluye dos constantes independientes. En notacion de Voigt, la

matriz de elasticidades tiene la expresion:

[C]iso=

+ 2 0 0 0 + 2 0 0 0 + 2 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

(4.40)

Como los materiales isotropos se pueden describir mediante dos constan-tes independientes, todas las que hemos descrito estan relacionadas entre s.El cuadro4.1 resume todas estas relaciones.

4.5. Enunciado completo del problema elastico

Combinando los conceptos de equilibrio, deformacion y modelo consti-tutivo se consigue la formulacion completa de un problema de contorno queya tiene solucion y que, aunque puede ser muy difcil de obtener, es unica.En el caso de la elasticidad, el problema completo es:

Un cuerpo elastico deformable es un dominio R3 con contorno =ut. En u el cuerpo esta sujeto, y en t hay unas fuerzas de superficie tconocidas. Todo el cuerpo esta sometido a fuerzas volumetricas f. Si elcuerpo esta en equilibrio, es isotropo y elastico, y solo se consideran pequenasdeformaciones, el desplazamientou: R3, la deformacion y la tensionsatisfacen el siguiente problema de valores de contorno:

div +f= 0 en ,

n=t sobre t,

T = ,

u= 0 sobre u,

= Su ,

= tr()I+ 2 .

(4.41)


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E G k

E, E2(1+)E

(1+)(12)E

3(12)

E, G E2G2G(2GE)GE3G

GE

3(3GE)

E, EA4E3+A

4E+3+A

6

E, k 3kE6k3Ek9kE

3k(3kE)9kE

, G 2G(1 + ) 2G122G(1+)3(12)

, (1+)(12)

(12)

2

(1+)

3

, k 3k(1 2) 3k(12)2(1+)3k1+

G, G(3+2G)

+G

2(+G) + 23G

G, k 9Gk3k+G3k2G6k+2G k

23G

, k 9k(k)

3k

3k32(k )

Cuadro 4.1: Relacion entre todas las constates de los materiales linealesisotropos. La constante A esta definida como A =

E2 + 2E+ 92.

Este sistema de ecuaciones en derivadas parciales es el objeto de la teorade la elasticidad clasica. De hecho, simplemente reemplazando la ultima deestas ecuaciones por una relacion constitutiva mas compleja se define elproblema de la mecanica de solidos deformables en pequenas deformaciones.

4.5.1. El principio de Saint Venant

La experiencia indica que para el estudio de la solucion a un problemade un cuerpo deformable los detalles exactos de c omo estan aplicadas lasfuerzas de superficie no son muy relevantes. Por ejemplo, cuando se realiza

un ensayo de traccion, la forma de las mordazas de la maquina de traccion,aunque no puede ser completamente aleatoria, no afecta el resultado de losensayos. Lo mismo ocurre con las tensiones en el terreno bajo una zapata, oen un piston cuando esta sometido a las presiones de los gases en el interiorde un cilindro.

El principio de Saint Venantestablece que los campos de despla-zamiento, deformacion y tension debidos a dos distribuciones de fuerzas desuperficie estaticamente equivalentes son iguales lejos de la zona de aplica-cion. Esta definicion deja sin definir cuan lejos los efectos de los detallesen la aplicacion de las fuerzas dejan de ser perceptibles, as que resulta un


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poco imprecisa. Como regla general, se puede estimar que esta distancia es

igual a la dimension caracterstica de la zona de aplicacion de las cargas.En cualquier caso, su aceptacion es fundamental en ingeniera y siempre lodaremos como valido.

El principo de Saint Venant data de 1855, aunque con el tiempo se hademostrado que no es un principio como tal sino que puede ser demostra-do. Parte de la dificultad en demostrarlo radica en que su definicion, comose comento anteriormente, es algo imprecisa. La definicion precisa de esteprincipio se suele asociar a Stenberg [?].

4.5.2. Las ecuaciones de Navier

En la formulacion completa del problema elastico (ver ecuaciones (4.41))aparecen como incognitas los campos de desplazamiento u, de deformacion y de tension . Para la resolucion analtica de algunos problemas resultautil plantear el problema de contorno unicamente en funci on del campode desplazamientos. Cuando esto se lleva a cabo para las ecuaciones de laelasticidad lineal se obtienen unas formulas muy compactas que reciben ennombre de ecuaciones de Navier.

Para obtener dichas ecuaciones, basta con sustituir la expresion de la ten-sion en funcion de la deformacion y esta del desplazamiento u resultandoen

div [ div[u] I+ 2 grads[u]] +f = 0 ,

(div[u]I+ 2 grads

[u])n= t , en t,u= 0 , en u.

(4.42)

Simplificando la primera de estas ecuaciones mediante las relaciones

div[div[u] I] = grad[div[u]] ,

div[gradu] = 4u ,

div[gradTu] = grad[div[u]] ,

(4.43)

se demuestra inmediatamente que (4.42) se puede escribir como

( + ) grad[div[u]] + 4u +f = 0 ,

(div[u]I+ 2 grads[u])n= t , en t,

u= 0 , en u.

(4.44)

4.6. Estados planos de tension y deformacion

El tratamiento analtico de los problemas de cuerpos deformables es,en general, muy complicado. Existen dos casos particulares que simplificanmucho la descripcion matematica del problema y que, ademas, son muyhabituales. Estos son los casos de tension y deformacion plana en los que


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algunas de las componentes de tensor de tension o deformacion son nulas en

todos los puntos del cuerpo. Como se vera a continuacion, esto es el resultadode geometras y cargas muy particulares.

4.6.1. Estados de tension plana

Definicion 4.6.1. Un cuerpo se encuentra en un estado plano de tensioncuando existe un sistema de coordenadas (x1, x2, x3) tal que el tensor detensiones en todo punto del cuerpo tiene la expresion

[] =

11(x1, x2) 12(x1, x2) 0

21(x1, x2) 22(x1, x2) 0

0 0 0

. (4.45)

Este estado de tension aparece, de forma muy aproximada, en cuerposplanos, muy delgados con cargas de superficie y volumen contenidas en dichoplano como, por ejemplo, las membranas.

El tensor de deformacion en estados planos de tension tiene por expresion

[] = 1 +

E []

Etr()[I] =

1122

E

12

G 0

21

G

2211

E 0

0 0 E

(11+ 22)

.

(4.46)Notese que la deformacion 33 no se anula.

4.6.2. Estados de deformacion plana

Definicion 4.6.2. Un cuerpo se encuentra en un estado plano de de-formacioncuando existe un sistema de coordenadas (x1, x2, x3) tal que eltensor de deformacion en todo punto del cuerpo tiene la expresion

[] =

11(x1, x2) 12(x1, x2) 0

21(x1, x2) 22(x1, x2) 0

0 0 0

. (4.47)

Este estado de deformacion aparece, de forma muy aproximada, en cuer-pos con simetra axial y cargas ortogonales a dicho eje de simetra, que ha decoincidir con el eje x3 del sistema de referencia indicado anteriormente. Loscuerpos que se encuentran en un estado plano de deformacion tiene un cam-po de desplazamientos que, empleando el sistema de referencia cartesianoque se menciona, verifica

u= u(x1, x2) , u e3= 0 . (4.48)


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En estos estados de deformacion, el tensor de tensiones tiene por expresion

matricial en la base {e1, e2,e3}

[] = 2 [] + tr()[I] =

211+ 12 021 222+ 0

0 0

. (4.49)

Notese que, en general, la componente 33 no se anula. De hecho, podemosescribir

11+22= 2(11+22) + 2= 2(+ ) . (4.50)

Como + = 2

, la tension en la direccion x3 se puede expresar tambiencomo

33= = 2(+ )= (11+22) . (4.51)

4.6.3. El diagrama de Mohr en estados planos

En un estado plano, la direccion que hemos denominado x3 es principaly la tension asociada es una tension principal (que se anula en el caso detension plana). En el plano x1x2, existen dos tensiones principales que lla-mamosI,IIcon sus direcciones principales correspondientes vI,vII. Noteseque no se correspoden necesariamente con las dos tensiones principales ma-yores en el punto, porque puede que la tension principal= 0 sea la mayorde la tres o la intermedia.

Para continuar, y por simplificar la notacion, supongamos que el sistema

coordenado x1, x2, x3 es el cartesiano x, y,z. Entonces, en cualquiera de losdos tipos de estados planos las tensiones principales I y II son las racesdel polinomio caracterstico

0 =

x xyxy y

1 00 1

=2 (x+y)+xy 2xy . (4.52)Estas se pueden escribir de forma explcita como

=x+y

2

sx y

2

2+2xy . (4.53)

Consideremos ahora las componentes intrnsecas de la tension t

= n

sobre planos de normal n contenida en el plano xy , es decir, tal que n k= 0.En la base principal BP = {vI,vII,k} este vector se puede escribir comon= cos vI+ sin vII, as pues la tension normal sobre dicho plano es

n= n n=

cos sin

0

I 0 00 II 0

0 0 z

cos sin

0

=Icos2 +IIsin

2

=I+ II

2 +

I II

2 cos(2) .

(4.54)


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n

m

III

I+II2

2

Figura 4.4: Diagrama de Mohr para estados planos.

Para calcular la componente tangencial definimos el vector unitario m =

n k. Este vector define, solo para problemas planos la unica direcciontangencial posible sobre el plano de normal n donde puede haber tensiontangencial. Este vector ademas tiene expresion en la base principal m =

sin vI cos vII as que podemos definir la tension tangencial m como laproyeccion t my calcularla explcitamente de la siguiente manera

m= m n=

sin cos

0

I 0 00 II 00 0 z

cos sin

0

= Isin cos IIsin cos

= I II

2 sin(2).

(4.55)

A partir de las expresiones (4.54) y (4.55) se interpreta que las componentesintrnsecas (n, m) de la tension en estados planos recorren un circunfe-

rencia en el plano como se indica en la 4.4. A diferencia del diagrama deMohr para estados de tension tridimensionales, en el caso plano tiene sen-tido representar un crculo completo, puesto que en este caso la tensionestangenciales m s que pueden ser negativas.

4.7. Aplicacion: torsion de ejes no circulares

Estudiamos a continuacion una aplicacion de la teora de la elasticidad li-neal para el estudio de la torsion de ejes con seccion no circular de materialeselasticos lineales isotropos.


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x1

2

(x1, x2)

(x1 + u1, x2 + u2)

S

m

n

Figura 4.5: Seccion transversal de un eje no circular

El caso de ejes de seccion circular maciza o hueca se describe con lateora de Coulomb, y es relativamente sencilla gracias a la simetra de revo-

lucion en la solucion. Como se estudia en cursos basicos de Resistencia deMateriales, un eje circular macizo o hueco sometido a torsion pura de valor

Mt experimenta un giro por unidad de longitud cuyo valor es

= Mt

Io, (4.56)

siendo Io el momento polar de inercia de la seccion respecto de su centro degravedad. Ademas se puede deducir de forma sencilla que las tensiones sobrelas secciones transversales del eje son unicamente tangenciales, en direccionperpendicular a los radios de la misma y de modulo

||= Mt

Ior , (4.57)

siendor la distancia del punto estudiado al centro de gravedad de la seccion.Para ejes no circulares, sin embargo, la solucion es bastante mas compleja

y la propuso Saint Venant. El metodo de obtencion, que se conoce comosemi-implcito, es habitual en teora de elasticidad: se postula una expresionpara los desplazamientos que depende de algunos parametros; se encuentrael valor de los parametros que hace valida esta ecuacion y se compruebafinalmente que ademas esta solucion se corresponde con un estado de torsionpura.


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Para describir las hipotesis de la teora de Saint Venant, supondremos

que la seccion del eje esta contenida en el plano x1, x2 de un sistema decoordenadas x1, x2, x3 con origen en el centro de gravedad de la seccion ycon la direccion x3perpendicular a la misma, como se indica en la figura4.5.Cuando se aplica un estado de torsion purasobre el eje se supondra que:

Las secciones giran y se alabean, pero su proyeccion sobre el plano x1, x2permanece identica a la seccion sin deformar.

El alabeo de todas las secciones es el mismo, y ademas es proporcionalal giro por unidad de longitud .

Como en la teora de Coulomb, el giro de una seccion es proporcional

al giro por unidad de longitud y la distancia a un extremo del eje.

La expresion matematica de las hipotesis es:

u1= r cos(+ ) r cos

u2= r sin(+ ) r sin

u3= (x1, x2)

(4.58)

Si el giro es pequeno, es inmediato comprobar que los desplazamientos sepueden aproximar por las funciones

u1=x2x3 ,

u2= x1x3 ,

u3= (x1, x2) .

(4.59)

A partir del campo de desplazamiento se deduce que las tres deformacioneslongitudinales 11,22y 33son nulas y que las deformaciones angulares son

12= 0 , 13=

2(

,1 x2) , 23=

2(

,2+ x1) . (4.60)

A partir de estas, y empleando las ecuaciones de Lame, se sigue que lastensiones 11, 22 y 33 son nulas y las tensiones tangenciales valen

12= 0 , 13= (,1 x2) , 23= (,2+ x1) . (4.61)

Suponiendo que no existen fuerzas volumetricas sobre el eje, o que suvalor es despreciable, la ecuacion del equilibrio de fuerzas, div= 0, expre-sada en la base escogida implica que se debe satisfacer

(,11+ ,22) = 0 (4.62)

o, equivalentemente,

4= 0 (4.63)


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en todos los puntos del interior de la seccion. Para encontrar la expresion de

la ecuacion del equilibrio de fuerzas en el contorno de la seccion supongamosque este se puede parametrizar con una funcion diferenciable x = x(s),siendo el parametro s la longitud de arco del contorno. En este caso, elvector tangente al contorno es m = x0 y el vector normal n = m e3.Como el contorno de la seccion esta libre de tensiones se sigue que 0= n.Si la normal al contorno se expresa como n = n1e1 +n2e2, entonces lacondicion de contorno implica dos igualdades escalares triviales y ademas

0 = (,1 x2)n1+ (,2+ x1)n2 . (4.64)

La funcion de alabeo es por tanto una funcion armonica que satisface la

identidad anterior en el contorno y el campo de desplazamientos (4.58) esla solucion a un problema elastico.Falta por comprobar que, efectivamente, la solucion encontrada corres-

ponde a un estado de torsion pura. Es sencillo comprobar que no existeninguna fuerza resultante sobre la seccion, as pues no hay sobre ella ni es-fuerzo axial ni de cortante. Ademas, como no hay tensiones normales 33,tampoco existen momentos flectores sobre esta. Sin embargo, el momentoresultante en direccion del eje x3 es

Mt=

ZS

(x123 x213) dS

=ZS

(x2

1+ x2

2+ x1,2 x2,1) dS .

(4.65)

De esta identidad se sigue que la relacion entre el par torsor y el giro porunidad de longitud se puede escribir como

= Mt

It(4.66)

si It, la inercia a torsion de la seccion, se calcula como

It=

ZS

(x21+ x2

2+ x1,2 x2,1) dS . (4.67)

Observaciones:

a) Comparando la expresion (4.66) con (4.56) concluimos que la inerciaa torsion juega el mismo papel que el momento polar de inercia en latorsion de ejes circulares, cuantificando la contribucion geometrica ala rigidez torsional.

b) Ademas, se verifica que si la seccion es circular la funcion de alabeo esidenticamente nula y por tanto It= I0.


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x1

x2

Figura 4.6: Isolneas de nivel de la funcion de Prandtl.

c) Por ultimo, se puede comprobar que para cualquier seccion It Io,siendo cierta la identidad unicamente para las secciones circulares.Esto apunta a que las secciones no circulares sometidas a torsi on sealabean como mecanismo para reducir su rigidez torsional, pero man-teniendo una solucion valida al problema elastico, y as disminuir suenerga potencial.

4.7.1. Teora de Prandtl

Las unicas componentes no nulas del tensor de tensiones, en el sistema dereferencia escogido, son31y 32. Para intentar comprender mejor como sonestas componentes de la tension tangencial sobre el plano de las seccionestransversales del eje supongamos que existe una funcion diferenciable =

(x1, x2), llamada funcion de Prandtl, tal que

13= ,2 , 23= ,1 . (4.68)

En primer lugar se observa que si esta funcion existe, entonces el tensor

de tensiones satisface div = 0, es decir, verifica las ecuaciones de equi-librio. En segundo lugar, utilizando las expresiones (4.61) de las tensionestangenciales se sigue que

13= ,2= (,1 x2) ,

23= ,1= (,2+x1) .(4.69)

Derivando la primera de estas identidades con respecto a x2, la segunda conrespecto a x1 y restando el resultado de ambas operaciones concluimos que

4= 2 . (4.70)


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Finalmente, si como anteriormente suponemos que el contorno de la seccion

viene dado por una curva x= x(s), entonces, la condicion de que el lateraldel eje no esta sometido a tension se expresa como n= 0o tambien

0 =,2n1 ,1n2= ,2x0

2+ ,1x

0

1=

s , (4.71)

es decir, que la funcion es contante a lo largo del contorno de la seccion.El momento torsor se puede calcular como

Mt=

ZS

(x123 x213) dS

=

ZS

(x1,1+ x2,2) dS

=

ZS

grad (x1e1+ x2e2) dS

=

ZS

div(x1e1+ x2e2) dS

ZS

(x1e1+ x2e2) nd .

(4.72)

Si la seccionSno tiene agujeros, podemos fijar arbitrariamente el valor deen el contorno y escogiendo = 0 en S concluimos que

Mt= 2

ZS

dS . (4.73)

Igual que en el caso de la teora de Saint Venant, podemos encontrar la

inercia a torsion a partir de la expresion anterior y la relacion (4.66):

It = 2RS dS

. (4.74)

Ademas de una herramienta para calcular la rigidez a torsi on, la funcionde Prandtl sirve para obtener conclusiones cualitativas sobre la distribucionde tensiones tangenciales en la seccion. Como esta tension es de la forma =13e1+ 23e2= ,2e1 ,1e2 y podemos deducir

||= |grad| , grad= 0 , (4.75)

es decir, que los vectores tension sobre las secciones transversales del ejeson perpendiculares al gradiente de y tiene el mismo modulo que grad.A partir de las curvas de nivel de , podemos deducir que las maximastensiones tangenciales ocurriran all donde estas esten mas juntas, y que sidireccion sera la tangente a las curva de nivel.

4.7.2. Ejemplo: torsion de secciones elpticas

Como ejemplo de aplicacion de la teora de esta seccion calculamos lafuncion de alabeo y la funcion de Prandtl de una seccion elptica con las di-mensiones indicadas en la figura4.7. En primer lugar, buscamos una funcion


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x1

x2

a

b

n

Figura 4.7: Seccion elptica sometida a torsion pura.

: S R que satisfaga las ecuaciones (4.63) y (4.64). Para ello, emplea-mos el llamado metodo semi-inverso que consiste en proponer una solucionconocida parcialmente. En este caso, se propone

(x1, x2) =kx1x2 , (4.76)

siendok una constante a determinar. Es inmediato comprobar que esta fun-cion satisface la ecuacion (4.63). Para verificar si cumple la condicion (4.64)en el contorno de la seccion recordamos la ecuacion parametrica de la elipse

x1= a cos , x2 = b sin , (4.77)

y obtenemos a partir de esta la expresion del vector tangente al contornode S, que denominamos my del vector normal n = m e3:

m = (x01e1+x0

2e2)/C= (a sin e1+b cos e2)/C ,

n = (b cos e1+a sin e2)/C= (b

ax1e1+

a

bx2e2)/C ,

(4.78)

siendo C una constante para normalizar el vector tangente y el normal.Sustituyendo la expresion del vector normal en la ecuacion (4.64) se sigue

0 = (kx2 x2) ba

x1+ (kx1+x1) ab

x2

= (k 1)b

ax1x2+ (k+ 1)

a

bx1x2

(4.79)

que se verifica si k = (b2 a2)/(b2 +a2) y por tanto

(x1, x2) =b2 a2

b2 +a2x1x2 . (4.80)

Una vez conocida la funcion de alabeo, podemos calcular la inercia a torsion


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Figura 4.8: Funcion de alabeo para el eje de seccion elptica.

de la seccion empleando la expresion (4.67):

It=

ZS

(x21+x2

2+x1,2 x2,1) dA

=

ZS

(x21

+x22

+kx21 kx2

2) dA

= (1 +k)

ZS

x21dA+ (1 k)

ZS

x22dA

= (1 +k)I2+ (1 k)I1

= (1 +k)

4ab3 + (1 k)

4a3b

= a3b3

a2 +b2 .

(4.81)

Notese que It = Io+ k(I2 I1). Cuando a > b, k es negativo y I2 I1,positivo, as pues It < Io. Cuandoa < b la conclusion es la misma. El unicocaso en el que It = Io es cuando la funcion de alabeo es identicamente nula,es decir, en la seccion circular.

Para calcular la funcion de Prandtl, utilizamos tambien el metodo semi-

inverso y suponemos que esta es de la forma

(x1, x2) =

x21

a2+

x22

b2 1

, (4.82)

siendo una constante cuyo valor determinaremos a continuacion. Las cur-vas de nivel de la funcion son elipses concentricas y esta es evidentementenula en el contorno de la seccion. La relacion (4.70) se satisface si vale

= a2b2

a2 +b2 . (4.83)


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Figura 4.9: Curvas de nivel de la funcion de Prandtl del tubo de seccion

elptica

Figura 4.10: Direccion (izda.) y modulo (dcha.) de los vectores de tensiontangencial en el eje de seccion elptica sometido a torsion pura.

Esta funcion nos indica que la tensiones tangenciales sobre la seccion sontangentes a elipses concentricas y que su modulo es maximo donde los se-miejes cortan la elipse exterior. Dado que el momento torsor y la funci on dePrandtl estan relacionados por la formula (4.73), podemos verificar que lainercia torsional es

It=Mt

=

2RS(x1, x2) dA

=

a3b3

a2 +b2 , (4.84)

que coincide con el resultado obtenido mediante la funcion de alabeo.

4.8. Aplicacion: Ondas planas

Una segunda aplicacion sencilla de la teora de la elasticidad lineal es elestudio de las ondas planas que se propagan en medios elasticos infinitos.


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Estas son campos de desplazamiento de la forma

u(x, t) = sin(ct b x)a , (4.85)

que satisfacen la ecuacion de Navier. El vector a indica la direccion de losdesplazamientos y a veces se llama el vector de polarizacion. El vector b esel vector unitario de propagacionde la onda. La constante c es la velocidadde propagacionde la onda en el medio elastico.

A continuacion estudiamos que valores de a, b y c se pueden dar en unmedio elastico y que relacion guardan entre ellos, asegurando que se cumplala ecuacion del equilibrio dinamico

div

+f=u . (4.86)

Esta ecuacion es similar a la estudiada en el captulo2, pero se ha anadidoun termino inercial igual al producto de la densidad por la aceleracion (lasegunda derivada con respecto al tiempo del campo de desplazamiento u).

En primer lugar obtenemos, derivando dos veces respecto al tiempo laexpresion (4.85):

u(x, t) = c2 sin(ct b x)a . (4.87)

Para hallar la tension obtenemos en primer lugar el gradiente de la defor-macion

gradu(x, t) = sin(ct b x)a b, (4.88)

y su simetrizacion

(x, t) = sin(ct b x)/2(a b + b a) . (4.89)

A partir de este valor y las ecuaciones de Lame se sigue que la tension es

(x, t) = sin(ct b x) ((a b)I+(a b + b a)) , (4.90)

cuya divergencia es

div(x, t) = cos(ct b x) [(+)(a b)b +a] . (4.91)

Sustituyendo (4.87) y en la ecuacion del equilibrio (4.86) se ha de verificar:

c2a= (a b)(+)b +a . (4.92)

Esto solo puede ocurrir en dos casos. En primer lugar, si los vectores a y bson paralelos, entonces esta relacion se satisface y ademas

c= cP =

s+ 2

. (4.93)


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Este tipo de ondas planas en las que la direccion de propagacion coincide

con la de polarizacion se llaman ondas primarias u ondas P. En segun-do lugar, es posible que las direcciones de polarizacion y propagacion seanortogonales y entonces (4.92) tambien se verifica con

c= cS=

r

. (4.94)

Este tipo de ondas se llaman ondas secundarias u ondas S.

En medios elasticos, isotropos, infinitos solo pueden darse los dos tiposde ondas planas encontradas. Ademas cada uno de estos tipos de ondas viajacon su velocidad correspondiente.

4.9. Limitaciones de la teora lineal

En estas notas estudiamos unicamente la teora lineal de los solidos defor-mables y en este captulo hemos descrito el caso particular de la elasticidadlineal, por ser el mas sencillo y el de mas facil aplicacion. Este modelo tie-ne, por un lado, innumerables aplicaciones a la mecanica estructural y demaquinas. Por otro, tambien adolece de graves limitaciones que impiden suuso generalizado para problemas mas complejos, donde la hipotesis de pe-quenas deformaciones es inaceptable. Mencionamos a continuacion algunade estas, dejando para cursos mas avanzados el estudio de la elasticidad no

lineal y de la teora no lineal de solidos deformables ([1,4,2]).

4.9.1. Limitaciones en la estatica

La ecuacion del equilibrio de fuerzas div +f = 0 es estrictamentecierta, incluso aunque las deformaciones sean enormes, siempre que se definacon precision el tensor y las fuerzas volumetricas f. La dificultad aparececuando un cuerpo, debido a su deformacion, cambia significativamente deforma y tamano, de tal manera que las fuerzas por unidad de area inicialy las fuerzas por unidad de area deformada no son parecidas. Entonces, esnecesario especificar a que area hace referencia el tensor de tensiones.

En particular, el tensor de tensiones de Cauchy se define como lafuerza que se hace, por unidad de area deformada a traves de un diferencialde area. El razonamiento para llegar a la ecuacion del equilibrio en la llamadaconfiguracion deformadaes identico al empleado en el Captulo2.

Sin embargo, como la configuracion deformada no es conocida a prioriresulta que para poder definir el tensor de tensiones y expresar la ecuaci ondel equilibrio es necesario haber resuelto el problema con anterioridad. Paraevitar este argumento circular, se proponen otros tensores de tensi on. Porejemplo, el (primer) tensor de Piola-Kirchhoff es el tensor de tensio-nes que expresa las fuerzas que se ejercen sobre un diferencial de area, por


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-2

-1

0

1

2

3

0.5 1 1.5 2 2.5 3

E(m

)

L/Lo

m = 2

m = 0m = 1m = 2

Figura 4.11: Medidas de deformacion uniaxial.

unidad de area sin deformar. Pero este no es el unico tensor de tensionesutil en mecanica de solidos. Al contrario, existen varios mas que son utilesy cuya descripcion se puede encontrar en libros mas avanzados. Como unicaaclaracion, indicamos que la fuerza por unidad de area sin deformar tambiense llama tension nominaly es mas facil de calcular que la tension real.

4.9.2. Limitaciones en la cinematica

Como ya se ha explicado, el tensor de deformaciones infinitesimales solo mide deformaciones de forma exacta cuando estas y los desplazamien-tos son infinitesimales. Cuando no lo son, el tensor solo proporciona unaaproximacion a las autenticas deformaciones.

Los tensores de deformacion validos en cualquier situacion deben de cum-plir, al menos, dos condiciones. La primera es que si el entorno de un punto(deformado o no) sufre un desplazamiento de solido rgido de magnitud ar-bitraria, la deformacion no debe de alterarse. La segunda condicion es quecuando las deformacion y desplazamientos sean muy pequenos, el tensor dedeformaciones coincida con .

Bajo estas dos premisas existen infinitos tensores de deformacion validos.El mas sencillo de comprender, el llamado tensor de deformacion de Green-Lagrange, se define como

E=1

2((I+ gradu)T(I+ gradu) I) , (4.95)

y ya aparecio en el Captulo3en el calculo de las deformaciones longitudina-les, aunque eliminamos el termino cuadratico al suponer que los gradientesgradu eran pequenos.

Para comprender el por que de esta variedad de medidas de deforma-cion sin necesidad de comprender los detalles de la cinematica de medios


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0

L1

L2

01

12

Figura 4.12: Deformacion longitudinal de una barra recta en dos fases.

continuos podemos estudiar la deformacion (unidimensional) de una barrade longitud Lo al ser estirada o comprimida hasta una longitud L. En estecaso, las medidas de deformacion

E(m) =(log LL

o

si m = 0 ,1m

Lm

Lmo

1

si m 6= 0 , (4.96)

son todas ellas validas. En la figura se pueden comparar cuatro medidas dedeformacion del tipo (4.96): la llamada deformacion de Almansi (m =2), la deformacion de Hencky o logartmica (m = 0), la ingenieril(m = 1) y la de Green-Lagrange (m = 2). Se puede observar como paradeformaciones pequenas (L/Lo 1) todas ellas coinciden.

La deformacion de Hencky tiene una propiedad que la hace especial,entre todas. Consideremos, para ver esto, la deformacion longitudinal deuna barra recta de longitudL0 tal y como aparece en la figura4.12. Cuando

la barra se estira hasta alcanzar una longitud L1, la deformacion que estaexperimenta es 01 = (L1L0)/L0. Si la viga se estira mas, hasta alcanzarla longitudL2, la deformacion en este segundo paso es

12 = (L2L1)/L1.Si calculamos la deformacion total 02 = (L2L0)/L0 comprobamos que

01 + 12 6= 02 , (4.97)

es decir, que la deformacion no es aditiva y que por tanto no da igual comose calcule (a menos que la deformacion total sea infinitesimal). Si repetimoseste mismo argumento, empleando esta vez la deformacion logartmica secomprueba que

0

1 + 1

2 = logL

1L0 + log

L2

L1 = logL

2L0 =

0

2, (4.98)

es decir, que s es aditiva. Para comprender mejor esta propiedad, conside-remos la deformacion infinitesimal que aparece cuando se deforma longitu-dinalmente una barra recta de longitudL0 +uhastaL0 +u+ du, tal y comoaparece en la figura4.13. En este caso, se tiene que

d= du

L0+ u . (4.99)

Si sumamos todas las contribuciones diferenciales en una deformacion com-


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32/36


33/36


34/36


35/36


4.8.

x

y

Un solido elastico isotropo se en-cuentra en un estado de tension pla-na. Uno de sus puntos, que denomi-namos P, tiene un estado tensionalque en el sistema de coordenadasxyde la figura (siendo z el eje normalal plano de tension nula) tiene la si-guiente respresentacion matricial:

[]xy=

4 11 2

MPa

a) Dibuja el diagrama de Mohrdel estado plano de tension en el punto P.

b) Calcula las componentesintrnsecas del vector tensionsobre cada una de las carasdel triangulo diferencial de lafigura, si esta centrado en elpunto P.

4.9. Una viga de acero (E= 210 GPa, = 0,3) esta sometida a una traccionpura de 100 MPa. Calcular su deformacion volumetrica.

4.10. El estado tensional en un punto de un s olido de acero, cuando serefiere a una base ortonormal, tiene por expresion

=

30 20 020 10 0

0 0 70

MPa

Calcular la energa interna del punto por unidad de volumen de dos manerasdistintas:

a) Empleando la expresion directa de la energa complementaria y

b) Calculando la deformacion asociada y, a partir de esta, la energa elasti-ca.

4.11. Un material ortotropo tiene la siguiente matriz de elasticidades

[C] =

100 10 15 0 0 010 40 5 0 0 015 5 8 0 0 00 0 0 6 0 00 0 0 0 7 00 0 0 0 0 4

MPa


36/36


Definimos la siguiente ley de Hooke generalizada

11= 11

E11

12

E2222

13

E3333

22= 22

E22

21

E1111

23

E3333

33= 33

E33

31

E1111

32

E2222

23/2 = 23

G23

13/2 = 13

G13

12/2 = 12

G12

,

sabiendo que para que la matriz de flexibilidades [C]1 sea simetrica de-bera verificarse ademas

ij

Ejj=

ji

Eii

para toda pareja i 6=j . Determina el valor de las constantes E11, E22, E33,12, 13, 23, G12, G13, G23.

4.12. Comprueba que, en problemas planos, las ecuaciones de Lame se pue-den escribir como

= tr()I+ 2

siendo

=

deformacion plana ,

2

+ 2 tension plana .

Bibliografa

[1] A E Green and W Zerna. Theoretical elasticity. 1968.

[2] G A Holzapfel. Nonlinear solid mechanics: a continuum approach forengineering. John Wiley & Sons, 2000.

[3] J E Marsden and T J R Hughes. Mathematical foundations of elasticity.Prentice-Hall Englewood Cliffs, 1983.

[4] R W Ogden. Non-linear elastic deformations. 1984.

[5] W S Slaughter. The linearized theory of elasticity. 2002.

[6] C Truesdell and W Noll. The non-linear field theories of mechanics.Springer, second edition, 1992.

elasticidad lineal

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