mÉtodo de los elementos finitos. elasticidad...

Elasticidadlineal

F. Gabaldon

Introduccion

Formulaciondel problemade contorno

Formulacionesvariacionales

Formulacionde Galerkin

Formulacionde ElementosFinitos

Formulacionmatricial

Elasticidadlineal

Ejemplo: elelemento CST

Elementos iso-parametricos

GM

C

METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS.Elasticidad lineal

Felipe Gabaldon Castillo

Madrid, 30 de Noviembre de 2006

Elasticidadlineal

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Introduccion






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GM

C Indice

1 Introduccion

2 Formulacion del problema de contorno

3 Formulaciones variacionales

4 Formulacion de Galerkin

5 Formulacion de Elementos Finitos

6 Formulacion matricial

7 Elasticidad lineal

8 Ejemplo: el elemento CST

9 Elementos isoparametricos

10 Cuadraturas

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Introduccion






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C Introduccion

Sea σ el tensor de tensiones de Cauchy, u el vectordesplazamiento y b el vector de fuerzas volumetricas.

Consideraremos el tensor de deformaciones infinitesimales,que se define como la parte simetrica del tensor gradientede desplazamientos:

ε = ∇su, εij = u(i ,j) =

1

2

(∂ui

∂xj+∂uj

∂xi

)

(1)

Las componentes del tensor de tensiones se expresan comocombinacion lineal de las componentes del tensor dedeformaciones mediante un tensor de cuarto orden C (Leyde Hooke generalizada), cuyas componentes Cijkl sonconstantes y se denominan “coeficientes elasticos”:

σ = Cε, σij = Cijklεkl (2)

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C Introduccion

El tensor de modulos elasticos tiene las siguientes propiedades:1 Simetrıa mayor:

Cijkl = Cklij (3)

2 Simetrıa menor:

Cijkl = Cjikl Cijkl = Cijlk (4)

3 Es definido positivo:

CijklΦijΦkl ≥ 0 ∀Φij simetrico (5)

CijklΦijΦkl = 0 ⇒ Φij = 0 (6)

Consideraremos un solido elastico definido por un conjuntoabierto Ω ⊂ R

ndim con contorno ∂Ω, tal que:

∂Ω = ∂uiΩ ∪ ∂ti Ω ∅ = ∂ui

Ω ∩ ∂ti Ω (7)

siendo ∂uiΩ la parte del contorno con desplazamientos

impuestos en direccion i , y ∂ti Ω la parte con tensionesimpuestas en direccion i

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C Formulacion fuerte

Sea Ω = Ω∪∂Ω el dominio ocupado por unsolido, cuyo contorno es ∂Ω = ∂uΩ ∪ ∂tΩcon ∂uΩ ∩ ∂tΩ = ∅. La formulacion fuertedel problema se establece en los siguientesterminos:

Ω∂uΩ

∂tΩ

Dados b : Ω → Rn, u : ∂uΩ → R

n, t : ∂tΩ → Rn, encontrar el

campo de desplazamientos u ∈ Rn que cumple:

div σ + b = 0 en Ω (8)

σn = t en ∂tΩ (9)

u = u en ∂uΩ (10)

con σ = ∂W∂ε

y ε = ∇Su

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C Formulacion debil

Dados b : Ω → Rn y las funciones u : ∂uΩ → R

n,t : ∂tΩ → R

n, encontrar el campo de desplazamientosu ∈ δ | ∀δu ∈ V cumple:

∫

Ω

(

σ · ∇Sδu − b · δu)

dΩ −∫

∂tΩt · δu dΓ = 0 (11)

siendo:

δ =u ∈ H1(Ω,Rn) | u(x) = u ∀ x ∈ ∂uΩ

(12)

V =δu ∈ H1(Ω,Rn) | δu(x) = 0 ∀ x ∈ ∂uΩ

(13)

y H1(Ω,Rn) el espacio de Sobolev de orden 1 y grado 2:

H1 =

u : Ω → Rn |

∫

Ω‖u‖2,1 dΩ <∞

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C Equivalencia de ambas formulaciones

Lema 1. Descomposicion euclıdea de un tensor de orden 2

sij = s(ij)︸︷︷︸

simetrico

+ s[ij ]︸︷︷︸

hemisimetrico

; s(ij) =sij + sji

2, s[ij ] =

sij − sji

2

Lema 2. Sea sij un tensor simetrico y tij un tensor nosimetrico. Entonces,

sij tij = sijt(ij)

El lema queda demostrado si sijt[ij ] = 0. En efecto:

sijt[ij ] = −sij t[ji ]

= −sji t[ji ]

= −sij t[ij ]

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Si u es solucion del problema fuerte, entonces u ∈ Ω.Multiplicando (8) por δu ∈ V e integrando en Ω:

0 =

∫

Ω(σij ,j + bi)δuidΩ

=

∫

Ω(σijδui ),jdΩ −

∫

Ωσijδui ,jdΩ +

∫

ΩbiδuidΩ

= −∫

Ωσijδu(i ,j)dΩ +

∫

ΩbiδuidΩ +

∫

∂tiΩ

t iδuidΓ (14)

y por tanto ui es solucion del problema debil

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Sea ui solucion del problema debil. Dado que ui ∈ δi , ui = ui

en ∂uiΩ. De (11):

0 = −∫

Ωσijδui ,jdΩ +

∫

ΩbiδuidΩ +

∫

∂tiΩ

t iδuidΓ

= −∫

Ω(σijδui ),jdΩ +

∫

Ω(σij ,j + bi )δuidΩ +

∫

∂tiΩ

t iδuidΓ

=

∫

Ω(σij ,j + bi)δuidΩ −

∫

∂tiΩ(σijnj − t i)δuidΓ (15)

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Sean:

αi = σij ,j + bi (16)

βi = σijnj − t i (17)

La equivalencia entre ambas formulaciones estara demostradasi se verifica que αi = 0 en Ω y βi = 0 en ∂ti Ω. Sea δui = αiφ,donde:

φ > 0 en Ω

φ = 0 en ∂Ω

φ suave

Con estas condiciones queda garantizado que δui ∈ V.

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Introduccion






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Sustituyendo este δui en (15):

0 =

∫

Ωαi (αi︸︷︷︸

≥0

φ︸︷︷︸

>0

)dΩ ⇒ αi = 0 en Ω (18)

Analogamente, tomemos ahora δui = δi1β1ψ, donde:

ψ > 0 en ∂t1Ω

ψ = 0 en ∂u1Ω

ψ suave

Sustituyendo esta nueva expresion de δui ∈ V en (15):

0 =

∫

∂t1Ωβ1 (β1︸︷︷︸

≥0

ψ︸︷︷︸

>0

)dΩ ⇒ β1 = 0 en ∂t1Ω (19)

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C Formulaciones variacionales

Considerando el funcional de la energıa potencial:

Πp(u) =

∫

Ω(W (x, ε) − b · u) dΩ −

∫

∂tΩt · u dΓ (20)

la ecuacion (11) equivale a establecer la condicion deestacionariedad del funcional (20):

δΠp(u) = 0 (21)

Se dice que (11) es la ecuacion variacional del problema(21), y que las ecuacion (8) es la ecuacion deEuler-Lagrange asociada al problema variacional (21).

Para la ley de Hooke:

W (x, ε) =1

2ε · Cε (22)

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C Formulaciones variacionales

Existen otros principios variacionales diferentes alexpresado en (21), asociado al funcional de la energıa

potencial total (20).

Dichos principios son la base de la formulacion de losdenominados “elementos mixtos”.

En general se deducen a partir de “funcionalesmulticampo” como, por ejemplo, el de Hu-Washizu:

ΠW (u, ε,σ) =

∫

Ω

(

W (x, ε) − σ · ε + σ · ∇Su − b · u

)

dΩ

−∫

∂tΩt · u dΓ

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C Formulacion de Galerkin

Sean νh y δh aproximaciones de dimension finita de losespacios funcionales ν y δ, respectivamente

Se adopta la descomposicion: uh = vh + uh con vh ∈ νh y

uh = u en ∂uΩ (“aproximadamente”)

Dados b : Ω → Rn y las funciones u : ∂uΩ → R

n,t : ∂tΩ → R

n, encontrar el campo de desplazamientosuh = vh + uh, con δvh ∈ νh, tal que ∀δuh ∈ νh se cumple:

∫

Ω∇

Svh · C∇

Sδuh dΩ =

∫

Ωb · δuh dΩ +

∫

∂tΩt · δuh dΓ

−∫

Ω∇

Su

h · C∇Sδuh dΩ

(23)

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C Formulacion de elementos finitos

El dominio Ω se discretiza en nelm elementos Ωe :

Ω =

nelm⋃

e=1

Ωe Ωi ∩ Ωj = ∅, si i 6= j (24)

El elemento Ωe se transforma en un “cubo unitario”

= [−1, 1] × · · · × [−1, 1]︸︷︷︸

ndim

definido en el espacio isoparametrico de coordenadas ξ:

φ : ξ ∈ → x ∈ Ωe ; x = φ(ξ) =

nenod∑

A=1

xANA(ξ) (25)

siendo xA las coordenadas de los nodos del elemento e

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C Formulacion de elementos finitos

Los subespacios de dimension finita δh y Vh se definenmediante unas funciones de interpolacionNA, A = 1 . . . nnod (polinomicas), que se denominan“funciones de forma”

δh =

u

h ∈ δ | uhi =

∑

A∈η−ηui

uiANA(ξ) +∑

A∈ηui

uiANA(ξ)

Vh =

δuh ∈ V | δuh

i = 0 ∀x ∈ ∂uiΩ; δuh

i =∑

A∈η−ηui

δuiANA

siendo η = 1, 2, . . . , nnumnp el conjunto de numeros delos nnumnp nodos de la malla, ηui

⊂ η el conjunto denodos en los que uh

i = ui , y η − ηuiel conjunto

complementario de ηui

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C Interpolacion del campo de desplazamientos

Si se emplea una formulacion isoparametrica que interpola losdesplazamientos con la misma interpolacion que lascoordenadas (25):

uh =

nenod∑

A=1

dANA(ξ) = NTd

e (26)

siendo de el vector de desplazamientos nodales del elemento e

y N la matriz de funciones de forma del elemento. Por ejemplo,en 2D:

u1(x , y)u2(x , y)

=

(N1 0 N2 0 . . . Nnnod

00 N1 0 N2 . . . 0 Nnnod

)

de

(27)

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C Interpolacion del campo de deformaciones

Con la notacion en que las tensiones y deformaciones seexpresan en forma de vector (por ejemplo en 2D:ε = (εxx , εyy , 2εxy )T ) y derivando (26), la interpolacion delcampo de deformaciones se expresa:

∇Suhij =

nenod∑

A=1

1

2

(Ne

A,idAj + NeA,jdAi

)⇒ ∇

Su

h = Bde (28)

En 2D:

ε =

∂N1

∂x10 ∂N2

∂x10 . . .

∂Nnnod

∂x10

0 ∂N1

∂x20 ∂N2

∂x2. . . 0

∂Nnnod

∂x2

∂N1

∂x2

∂N1

∂x1

∂N2

∂x2

∂N2

∂x1. . .

∂Nnnod

∂x2

∂Nnnod

∂x1

d

e (29)

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C Ecuaciones de elementos finitos

Sustituyendo (26) y (28) en (23) e imponiendo que losdesplazamientos virtuales δu son arbitrarios, despues de operarse obtiene:

Rdef=

nelm

Ae=1

[

fe,ext −

∫

Ωe

BTσh(ε) dΩ

]

= 0 (30)

donde A[·] es el operador de ensamblaje y fe,ext es el vector de

fuerzas externas convencional que se obtiene a partir de laexpresion (23):

fe,ext =

∫

Ωe

NTbdΩ +

∫

∂tΩe

NTtdΓ (31)

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C Observaciones:

La ecuacion (30) esta planteada en forma residual(anulando la diferencia entre las fuerzas externas y lasfuerzas internas), que es la adecuada para problemas nolineales.

En lo sucesivo se considerara el caso de la elasticidadlineal, en el que si denominamos C a la matriz de moduloselasticos (o matriz constitutiva), resulta:

σh(ε) = CBde (32)

entonces la ecuacion (30) se expresa:

nelm

Ae=1

[(∫

Ωe

BTCB dΩ

)]

d =

nelm

Ae=1

fe,ext (33)

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C Ecuaciones de elementos finitos

La matriz de rigidez elemental se define como:

Ke =

∫

Ωe

BTCB dΩ (34)

Ensamblando los vectores de fuerzas elementales y lasmatrices de rigidez elementales:

f =

nelm

Ae=1

fe,ext (35)

K =

nelm

Ae=1

Ke (36)

el sistema (33) se expresa:

Kd = f ⇒ d = K−1

f (37)

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C Ecuaciones de la elasticidad lineal

εx =σx

E− ν

σy

E− ν

σz

E

εy =σy

E− ν

σx

E− ν

σz

E

εz =σz

E− ν

σx

E− ν

σy

E

εxy =τxy2G

εxz =τxz2G

εyz =τyz2G

Modulo de corte:

G =E

2(1 + ν)

Deformacion volumetrica

e = εii

Modulo de def. volumetrica

e =1 − 2ν

Eσii ⇒ p = −ke

k =E

3(1 − 2ν)

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C Elasticidad 2D. Deformacion plana

La condicion de deformacion plana es (εzz = 0)

σxx

σyy

σxy

=

λ+ 2µ λ 0λ λ+ 2µ 00 0 µ

εxxεyyεxy

(38)

σzz = ν(σxx + σyy) (39)

siendo λ y µ los coeficientes de Lame:

λ =νE

(1 + ν)(1 − 2ν)µ =

E

2(1 + ν)(40)

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C Deformacion plana: aplicaciones

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C Deformacion plana: aplicaciones

5.25E-05

1.05E-04

1.57E-04

2.10E-04

2.62E-04

3.15E-04

3.67E-04

4.20E-04

4.72E-04

5.25E-04

5.77E-04

0.00E+00

6.30E-04

_________________ DISPLACEMENT 2

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C Elasticidad 2D. Tension plana

La condicion de tension plana es (σzz = 0)

σxx

σyy

σxy

=

4µ(λ+µ)λ+2µ

2λµλ+2µ 0

2λµλ+2µ

4µ(λ+µ)λ+2µ 0

0 0 µ

εxxεyyεxy

(41)

εzz = − ν

E(σxx + σyy ) (42)

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GM

C Elasticidad 2D. Tension plana

1.61E-01

3.75E-01

5.90E-01

8.04E-01

1.02E+00

1.23E+00

1.45E+00

1.66E+00

1.88E+00

2.09E+00

2.30E+00

-5.32E-02

2.52E+00

_________________ DISPLACEMENT 1

1.62E-01

3.78E-01

5.93E-01

8.09E-01

1.02E+00

1.24E+00

1.46E+00

1.67E+00

1.89E+00

2.10E+00

2.32E+00

-5.36E-02

2.53E+00

_________________ DISPLACEMENT 1

Time = 0.00E+00 Time = 0.00E+00

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C Elasticidad 2D. Problemas axilsimetricos

Se expresa en terminos de las coordenadas cilındricas r

(radial), z (axial) y θ (circunferencial).

θy

xr

z

Condicion de simetrıa axial: todas las variables sonindependientes de θ y ademas: uθ=0, εrθ = εzθ = 0

En todos los integrandos hay que considerar un factor de2πr

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GM


Relacion tension - deformacion

σrr

σzz

σrz

σθθ

=

λ+ 2µ λ 0 λλ λ+ 2µ 0 λ0 0 µ 0λ λ 0 λ+ 2µ

εrrεzzεrzεθθ

(43)

La matriz B ( de interpolacion del campo dedeformaciones) es:

B =

Na,r 00 Na,z

Na,z Na,rNa

r0

a = 1 . . . nnen (44)

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C Elasticidad 3D

Relacion tension - deformacion

σxx

σyy

σzz

σxy

σxz

σyz

=

λ+ 2µ λ λ 0 0 0λ λ+ 2µ λ 0 0 0λ λ λ+ 2µ 0 0 00 0 0 µ 0 00 0 0 0 µ 00 0 0 0 0 µ

εxxεyyεzzεxyεxzεyz

(45)

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C Elasticidad 3D

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C Ejemplo: CST para problemas de tension plana

A continuacion se desarrollaran las ecuaciones a nivel elementaldel triangulo de deformacion constante (CST) para el problemade tension plana. Este elemento presenta las siguientescaracterısticas:

Es un elemento isoparametrico

No es necesario emplear cuadraturas para la integracionnumerica, ya que las integrales se pueden resolver deforma exacta.

Se utiliza en aplicaciones no estructurales por la facilidadpara generar mallas, ya que en analisis estructural susprestaciones son bastante pobres.

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C Geometrıa y sistema de coordenadas

1(x1, y1)

2(x2, y2)

3(x3, y3)2A =det

1 1 1x1 x2 x3

y1 y2 y3

=(x2y3 − x3y2) + (x3y1 − x1y3)+

(x1y2 − x2y1)

Coordenadas triangulares: ξ1, ξ2, ξ3

ξi = cte es una recta paralela al lado opuesto al nodo i

No son independientes: ξ1 + ξ2 + ξ3 = 1

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C Interpolacion lineal

Una funcion lineal f definida en el triangulo se expresa encoordenadas cartesianas:

f (x , y) = a0 + a1x + a2y (46)

determinandose los coeficientes ai a partir de tres condicionesque proporciones los valores f1, f2 y f3 (que en el contexto delMEF se denominan ”valores nodales”).La expresion de f en coordenadas triangulares hace usodirectamente de los valores nodales:

f (ξ1, ξ2, ξ3) = f1ξ1 + f2ξ2 + f3ξ3 = [f1 f2 f3]

ξ1ξ2ξ3

(47)

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GM

C Transformacion de coordenadas

1x

y

=

1 1 1x1 x2 x3

y1 y2 y3

ξ1ξ2ξ3

(48)

ξ1ξ2ξ3

=

1

2A

2A23 y23 x32

2A31 y31 x13

2A12 y12 x21

1x

y

(49)

siendo xjk = xj − xk , xjk = xj − xk y Ajk = 0,5(xjyk − xkyj) esel area encerrada por los nodos j , k y el origen de coordenadas.

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C Derivadas parciales

A partir de las relaciones (48) y (49) es inmediato obtenerlas relaciones:

∂x

∂ξi= xi ,

∂y

∂ξi= yi , 2A

∂ξi∂x

= yjk , 2A∂ξi∂y

= xkj

(50)siendo j y k las permutaciones cıclicas de i .

Las derivadas de f (ξ1, ξ2, ξ3) respecto de las coordenadascartesianas se obtienen mediante la regla de la cadena:

∂f

∂x=

1

2A

(∂f

∂ξ1y23 +

∂f

∂ξ2y31 +

∂f

∂ξ3y12

)

(51)

∂f

∂y=

1

2A

(∂f

∂ξ1x32 +

∂f

∂ξ2x13 +

∂f

∂ξ3x21

)

(52)

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C Formulacion del elemento CST

Funciones de forma: Nj = ξj , j = 1 . . . 3

Interpolacion del campo de desplazamientos:

ux = ux1ξ1 + ux2ξ2 + ux3ξ3 (53)

uy = uy1ξ1 + uy2ξ2 + uy3ξ3 (54)

que en forma matricial se expresa:

ux

uy

ff

=

„

ξ1 0 ξ2 0 ξ3 00 ξ1 0 ξ2 0 ξ3

«

8

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

:

ux1

uy1

ux2

uy2

ux3

uy3

9

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

;

(55)

que es la particularizacion de (27) para el triangulo CST

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GM


Relaciones deformacion–desplazamiento

ε = Bde =

1

2A

0

@

y23 0 y31 0 y12 00 x32 0 x13 0 x21

x32 y23 x13 y31 x21 y12

1

A

8

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

:

ux1

uy1

ux2

uy2

ux3

uy3

9

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

;

(56)

siendo:

B =

0

B

@

∂N1∂x

0 ∂N2∂x

0 ∂N3∂x

0

0 ∂N1∂y

0 ∂N2∂y

0 ∂N3∂y

∂N1∂y

∂N1∂x

∂N2∂y

∂N2∂x

∂N3∂y

∂N3∂x

1

C

A(57)

Observese que las deformaciones son constantes en el elemento

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GM


Relacion tension-deformacion

σ =

σxx

σyy

σxy

=

E

1 − ν2

1 νν 1 0

0 0 1−ν2

εxxεyyεxy

= Cε

(58)

La matriz constitutiva C se supondra constante en elelemento. Por tanto, dado que las deformaciones sonconstantes en el elemento las tensiones tambien los son.

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Matriz de rigidez elementalLa expresion (34) de la matriz de rigidez elemental en estecaso se puede escribir:

Ke = B

TCB

∫

Ωe

hdΩ (59)

siendo h el espesor y Ωe el dominio del triangulo. Si elespesor es constante la matriz de rigidez se expresa enforma cerrada:

Ke =

h

4A

0

B

B

B

B

B

B

@

y23 0 x32

0 x32 y23

y31 0 x13

0 x13 y31

y12 0 x21

0 x21 y12

1

C

C

C

C

C

C

A

C

0

@

y23 0 y31 0 y12 00 x32 0 x13 0 x21

x32 y23 x13 y31 x21 y12

1

A

(60)

Elasticidadlineal

F. Gabaldon

Introduccion






Elasticidadlineal



GM


Vector de fuerzas nodales (volumetricas)

fe =

Z

Ωe

hNbdΩ =

Z

Ωe

h

0

B

B

B

B

B

B

@

ξ1 00 ξ1

ξ2 00 ξ2

ξ3 00 ξ3

1

C

C

C

C

C

C

A

bdΩ (61)

En el caso mas sencillo en que h y b sean constantes en elelemento, y teniendo en cuenta:

Z

Ωe

ξ1dΩ =

Z

Ωe

ξ2dΩ =

Z

Ωe

ξ3dΩ = A/3 (62)

resulta:

(fe)T =Ah

3

`

bx1 by1 bx2 by2 bx3 by3

´

(63)

Elasticidadlineal

F. Gabaldon

Introduccion






Elasticidadlineal



GM

C Elementos isoparametricos

Las relaciones geometricas y la interpolacion del campo dedesplazamientos verifican:

1x

y

ux

uy

=

1 1 . . . 1x1 x2 . . . xne

nod

y1 y2 . . . ynenod

ux1 ux2 . . . uxnenod

uy1 uy2 . . . uynenod

N1

N2...

Nnenod

(64)

El triangulo CST descrito anteriormente se expresa de acuerdocon (64) tomando ne

nod = 3, N1 = ξ1, N2 = ξ2 y N3 = ξ3

Elasticidadlineal

F. Gabaldon

Introduccion






Elasticidadlineal



GM


2

3

1x

y

65

4

ξ2

ξ11

4

6

5

2

3

Triangulo cuadratico de seis nodos

Elasticidadlineal

F. Gabaldon

Introduccion






Elasticidadlineal



GM


Triangulo cuadratico

1x

y

ux

uy

=

1 1 1 1 1 1x1 x2 x3 x4 x5 x6

y1 y2 y3 y4 y5 y6

ux1 ux2 ux3 ux4 ux5 ux6

uy1 uy2 uy3 uy4 uy5 uy6

N1

N2

N3

N4

N5

N6

(65)siendo:

N1 = ξ1(2ξ1 − 1) N2 = ξ2(2ξ2 − 1) N3 = ξ3(2ξ3 − 1) (66)

N4 = 4ξ1ξ2 N5 = 4ξ2ξ3 N6 = 4ξ3ξ1 (67)

Elasticidadlineal

F. Gabaldon

Introduccion






Elasticidadlineal



GM


Elementos cuadrilateros

2

3

4

1x

y

1 2

34

ξ

η

Cuadrilatero bilineal

Elasticidadlineal

F. Gabaldon

Introduccion






Elasticidadlineal



GM


Cuadrilatero bilineal

1x

y

ux

uy

=

1 1 1 1x1 x2 x3 x4

y1 y2 y3 y4

ux1 ux2 ux3 ux4

uy1 uy2 uy3 uy4

N1

N2

N3

N4

(68)

siendo:

N1 =1

4(1 − ξ)(1 − η), N2 =

1

4(1 + ξ)(1 − η) (69)

N3 =1

4(1 + ξ)(1 + η), N4 =

1

4(1 − ξ)(1 + η) (70)

Elasticidadlineal

F. Gabaldon

Introduccion






Elasticidadlineal



GM


2

3

4

1x

y

1 2

34

ξ

η

5

6

7

8

9

5

68

7

Cuadrilatero bicuadratico

Elasticidadlineal

F. Gabaldon

Introduccion






Elasticidadlineal



GM


Cuadrilatero bicuadratico8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

1x

y

ux

uy

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

=

0

B

B

B

B

@

1 1 1 1 1 1 1 1 1x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9

ux1 ux2 ux3 ux4 ux5 ux6 ux7 ux8 ux9

uy1 uy2 uy3 uy4 uy5 uy6 uy7 uy8 uy9

1

C

C

C

C

A

8

>

>

>

<

>

>

>

:

N1

N2

...N9

9

>

>

>

=

>

>

>

;

En este caso las funciones de forma son:

N1 =1

4(1 − ξ)(1 − η)ξη, N2 = −

1

4(1 + ξ)(1 − η)ξη, N3 =

1

4(1 + ξ)(1 + η)ξη

N4 =1

4(1 + ξ)(1 − η)ξη, N5 = −

1

2(1 − ξ2)(1 − η)η, N6 =

1

2(1 + ξ)(1 − η2)ξ

N7 =1

2(1 − ξ2)(1 + η)η, N8 = −

1

2(1 − ξ)(1 − η2)ξ, N9 = (1 − ξ2)(1 − η2)

Elasticidadlineal

F. Gabaldon

Introduccion






Elasticidadlineal



GM


Jacobiano de la transformacion isoparametrica

∂Ni

∂x∂Ni

∂y

=

(∂ξ∂x

∂η∂x

∂ξ∂y

∂η∂y

)∂Ni

∂ξ∂Ni

∂η

= J−1

∂Ni

∂ξ∂Ni

∂η

(71)

J =∂(x , y)

∂(ξ, η)=

(∂x∂ξ

∂y∂ξ

∂x∂η

∂y∂η

)

(72)

La matriz J se denomina matriz Jacobiana de la transformacionisoparametrica

Elasticidadlineal

F. Gabaldon

Introduccion






Elasticidadlineal



GM


Calculo de las derivadas parciales.

∂x

∂ξ=

nenod∑

i=1

xi∂Ni

∂ξ,

∂y

∂ξ=

nenod∑

i=1

yi∂Ni

∂ξ(73)

∂x

∂η=

nenod∑

i=1

xi∂Ni

∂η,

∂y

∂η=

nenod∑

i=1

yi∂Ni

∂η(74)

J = PX =

(∂N1∂ξ

∂N2∂ξ . . . ∂Nn

∂ξ∂N1∂η

∂N2∂η . . . ∂Nn

∂η

)

x1 y1

x2 y2...

...xn yn

(75)

Elasticidadlineal

F. Gabaldon

Introduccion






Elasticidadlineal



GM

C Integracion numerica

La integracion numerica es un ingrediente imprescindibleen el calculo de las integrales elementales

Existen diversas cuadraturas: Gauss, Simpson, Lobatto,etc.

Las cuadraturas de Gauss proporcionan mayor exactitudque otras reglas para un determinado numero de puntosde integracion

En cada punto de Gauss se realiza un numero importantede operaciones

Elasticidadlineal

F. Gabaldon

Introduccion






Elasticidadlineal



GM


Cuadraturas de Gauss en una dimension:

∫ 1

−1F (ξ)dξ =

p∑

1

wiF (ξi ) (76)

siendo p el numero de puntos de integracion, ξi lascoordenadas de cada punto i y wi los pesoscorrespondientes.

Algunas cuadraturas:

1 punto:∫ 1

−1 F (ξ)dξ ≈ 2F (0)

2 puntos:∫ 1

−1 F (ξ)dξ ≈ F (−1/√

3) + F (1/√

3)

3 puntos:∫ 1

−1 F (ξ)dξ ≈ 59F (−

√

3/5) + 89F (0) + 5

9F (√

3/5)

4 puntos:∫ 1

−1 F (ξ)dξ ≈ w1F (ξ1) + w2F (ξ2) + w3F (ξ3) + w4F (ξ4

Elasticidadlineal

F. Gabaldon

Introduccion






Elasticidadlineal



GM


Para la regla de 4 puntos:

w1 = w4 =1

2− 1

6

√

5/6, w2 = w3 =1

2+

1

6

√

5/6

ξ1 = −ξ4 = −√

(3 + 2√

6/5)/7, ξ2 = −ξ3 = −√

(3 − 2√

6/5)/7

Las cuatro reglas descritas integran de manera exactapolinomios de hasta grado 1, 3, 5 y 7, respectivamente.

En general, una cuadratura 1D de Gauss con p puntosintegra exactamente polinomios de orden 2p − 1

Elasticidadlineal

F. Gabaldon

Introduccion






Elasticidadlineal



GM


Para calcular la integral de F (x) en el intervalo [a, b] sehace un cambio de variable definiendo ξ en el intervalobiunitario: ∫ b

a

F (x) dx =

∫ 1

−1F (ξ) Jdξ

siendo:

ξ =2

b − a

(

x − 1

2(a + b)

)

, J =dx

dξ=

b − a

2

Las cuadraturas de Gauss de orden mas alto estantabuladas en los libros de calculo numerico (enHandbook of Mathematical Functions.

Abramowitz & Stegun hasta 96 puntos). Noobstante, las cuadraturas de orden superior a 4 no sepueden expresar de manera cerrada.

Elasticidadlineal

F. Gabaldon

Introduccion






Elasticidadlineal



GM


Cuadraturas de Gauss en dos dimensiones

Las cuadraturas de Gauss mas simples se obtienenaplicando las cuadraturas 1D a cada variable. Para ello lasintegrales han de transformarse al cuadrilatero biunitario.

∫ 1

−1

∫ 1

−1F (ξ, η) dξdη =

∫ 1

−1dη

∫ 1

−1F (ξ, η) dξ ≈

p1∑

i=1

p2∑

i=1

wiwjF (ξi , ηj)

siendo p1 y p2 el numero de puntos en cada direccion (queson iguales si las funciones de forma tambien lo son).

Elasticidadlineal

F. Gabaldon

Introduccion






Elasticidadlineal



GM


Cuadraturas de Gauss en dos dimensiones

ξ

η

ξ

η

ξ

η

2/√

3 2p

3/5

1 punto: 2 puntos: 3 puntos:

w1 = 4, w2×2 = 1, w1 = w3 = w7 = w9 =25

81

w2 = w4 = w6 = w8 =40

81

w5 =64

81

mÉtodo de los elementos finitos. elasticidad...

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