capítulo 4. elasticidad lineal - unam

Capítulo 4. Elasticidad Lineal

1

CAPÍTULO 4

ELASTICIDAD LINEAL

Introducción

La elasticidad lineal es la parte de la mecánica de los medios continuos que estudia elcomportamiento de sólidos cuyas propiedades son independientes del tiempo.

Los esfuerzos y las deformaciones están relacionados linealmente y es común asumir que elmaterial es homogéneo (sus propiedades son las mismas en cualquier punto) e isótropo (suspropiedades son independientes de la dirección adoptada), con lo cual las ecuacionesconstitutivas de los materiales elásticos lineales homogéneos e isótropos se simplificanbastante.

En este capítulo se desarrollan las ecuaciones constitutivas de los materiales elásticos lineales,homogéneos e isótropos y se presenta el procedimiento de funciones de esfuerzo para resolverproblemas elásticos.

4.1 Planteamiento matemático para definir las relaciones constitutivas enun continuo cualquiera

Para establecer la relación entre las fuerzas que actúan en un medio continuo y losdesplazamientos que provocan, es necesario seguir la siguiente secuencia:

Re

ij ijFuerzas T E Desplazamientos

laciones Constitutivas

→ ↔ →

↓

Considérese que el estado de esfuerzos y deformaciones de un medio continuo corresponde alestado A o inicial, dado por

0i j AE = ; 0i j A

T =

FIGURA 4.1 Relaciones entre esfuerzos y deformaciones en un medio continuo elástico lineal

Al aplicar las fuerzas { }iF se establece un campo de desplazamientos ui v j wk = + + , el cual

genera en cada punto del medio continuo un tensor deformación i j BE y este a su vez genera

un tensor esfuerzo i j BT .

0i j BE ≠ ; 0i j B

T ≠

Sabemos que:1 1

2 21 1

;2 21 1

2 2

xx yx zx

xx yx zx

i j xy yy zy i j xy yy zy

xz yz zz

xz yz zz

T E

= =

Ya que físicamente existe relación entre los tensores i jE y i jT , se puede escribir:

( )1 , , , , ,xx xx yy zz xy xz yz =

( )2 , , , , ,yy xx yy zz xy xz yz =

( )3 , , , , ,zz xx yy zz xy xz yz = (4.1)

x

z

yt = 0Estado inicial

t = t

P

Q

P'

Q'

"A"Estado final

"B"

F1

2F

FiQδ

δP

3

3

( )1 , , , , ,xy xx yy zz xy xz yz =

( )2 , , , , ,xz xx yy zz xy xz yz =

( )3 , , , , ,yz xx yy zz xy xz yz =

Las ecuaciones (4.1) definen las relaciones constitutivas de los medios continuos, siendo lasfunciones y continuas y derivables.

Las relaciones constitutivas que se seleccionan en la mecánica del medio continuo sonrelaciones probadas experimentalmente, que permiten describir de manera razonable elcomportamiento real de los materiales.

Se considera que el tiempo transcurrido entre el estado A y el estado B es una cantidadpequeña, por lo que sería posible establecer, siguiendo las ideas de continuidad que

xx B = xx xxA

d +

yy B = yy yyA

d +

zz B = xx xxA

d + (4.2)

xy B = xy xyA

d +

xz B = xz xzA

d +

yz B = yz yzA

d +

Desarrollando las diferencias totales de las ecuaciones 4.2, se tiene:

[ ] [ ] 1 1 1 1 1 1xx xx xx yy zz xy xz yzB A

xx yy zz xy xz yz

d d d d d d

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

[ ] 2 2 2 2 2 2yy xx xx yy zz xy xz yzAB

xx yy zz xy xz yz

d d d d d d

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

[ ] [ ] 3 3 3 3 3 3zz xx xx yy zz xy xz yzB A

xx yy zz xy xz yz

d d d d d d

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1 1 1 1 1 1xy xy xx yy zz xy xz yzB A

xx yy zz xy xz yz

d d d d d d

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

[ ] [ ] 2 2 2 2 2 2xz xz xx yy zz xy xz yzB A

xx yy zz xy xz yz

d d d d d d

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

3 3 3 3 3 3yz yz xx yy zz xy xz yzB A

xx yy zz xy xz yz

d d d d d d

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Estas últimas ecuaciones pueden ser escritas como

[ ] [ ] 11 21 31 41 51 61xx xx xx yy zz xy xz yzB AC C C C C C = + + + + + +

12 22 32 42 52 62yy yy xx yy zz xy xz yzB AC C C C C C = + + + + + +

[ ] [ ] 13 23 33 43 53 63zz zz xx yy zz xy xz yzB AC C C C C C = + + + + + + (4.3)

14 24 34 44 54 64xy xy xx yy zz xy xz yzB AC C C C C C = + + + + + +

[ ] [ ] 15 25 35 45 55 65xz xz xx yy zz xy xz yzB AC C C C C C = + + + + + +

16 26 36 46 56 66yz yz xx yy zz xy xz yzB AC C C C C C = + + + + + +

Obsérvese que en las expresiones planteadas (4.3) aparecen 36 operadores diferenciales i jC

que representan las constantes elásticas del material. El desarrollo anterior indica que paradefinir a i j B

T es necesario conocer los tensores i j AT , i j B

E y los 36 operadores

deferenciales i jC .

Estas relaciones indican que es posible seguir la siguiente secuencia:

{ }Rei j i j iB BE laciones Constitutivas T F → → → →

Por lo tanto, para relacionar a los desplazamientos que se generan en el medio continuo esnecesario conocer a 36 operadores diferenciales respecto al tiempo, lo que conduce a definir a

las fuerzas { }iF que provocaron la aparición de .

Para definir a esos 36 operadores es necesario analizar pruebas experimentales en diversosmateriales y observar las características de su respuesta, ésta deberá compararse conformulaciones teóricas para predecir dicha respuesta con suficiente aproximación. Eningeniería es común establecer ciertas hipótesis que permitan simplificar las formulacionesmatemáticas.

Las hipótesis comunes son:

5

5

1° El material que ocupa el continuo es homogéneo (sólo existirán seis relaciones).2° El material es isótropo.3° Las direcciones principales de esfuerzos coinciden con las direcciones principales de

deformación.

Tomando en cuenta las hipótesis anteriores, supongamos que en un punto del medio continuose conocen los tensores esfuerzo y deformación en un sistema de referencia principal:

1

2

3

0 0

0 0

0 0ijT

=

;

1

2

3

0 0

0 0

0 0ijE

=

Para este caso particular, las relaciones constitutivas se reducen a

1 11 1 21 2 31 3C C C = + +

2 12 1 22 2 32 3C C C = + + (4.4)

3 13 1 23 2 33 3C C C = + +

Obsérvese que la tercera hipótesis reduce a nueve el número de operadores diferencialesnecesarios.Cambiando los ejes 2 y 3 por 3' y 2', al aplicar las ecuaciones constitutivas anteriores, setendrá:

1 11 1 21 3' 31 2 'C C C = + + (4.5)

Debido a la indiferencia respecto al marco de referencia, se debe tener que:

' '11 1 21 2 31 3 11 1 21 313 2C C C C C C + + = + +

21 31C C= (4.6)

Por lo anterior, la ecuación (4.5) queda como:

( )1 11 1 21 2 3C C = + +

( ) ( )1 11 21 1 21 1 2 3C C C = − + + + (4.7)

llamando a

11 21 2C C G− = y 21C = (4.8)

y tomando en cuenta que 1 1 2 3J = + + , entonces la ecuación (4.7) queda como:

1 1 12G J = + (4.9)

siendo y G dos constantes elásticas conocidas como constantes de Lamé. Para 2 y 3

se tiene:

2 2 12G J = + (4.10)

3 3 12G J = + (4.11)

Por las hipótesis planteadas, las ecuaciones (4.9) a (4.11) se pueden generalizar como

12n nG J = + (4.12)

De esta manera, el problema de la dinámica de continuos homogéneos, isótropos y concoincidencia de direcciones principales de esfuerzos y deformaciones, se reduce a la búsqueda

de dos operadores diferenciales y G en lugar de 36.

4.2 Ecuaciones constitutivas de los materiales elásticos lineales en un marcode referencia principal

Considérese que en un punto de un medio continuo se establece el tensor deformación:

1

2

3

0 0

0 0

0 0ijE

=

(4.13)

El tensor esfuerzo correspondiente, tomando en cuenta la ecuación 4.12, resulta igual a

1 1

1 2

1 3

2 0 0

0 2 0

0 0 2ij

J G

T J G

J G

+ = + +

(4.14)

Estas expresiones pueden ser ligeramente transformadas, descomponiendo los tensores esfuerzoy deformación en sus componentes volumétrica y desviadora, esto es:

1

12

3

0 0 1 0 0

0 0 0 1 03

0 0 10 0ij

JE

= =

11

12

13

0 03

0 03

0 03

J

J

J

−

+ − −

Ahora las componentes del tensor i jT son:

7

7

1

1

1

3 20 0

33 2

0 03

3 20 0

3

ij

GJ

GT J

GJ

+

+ = +

11

12

13

2 0 03

0 2 03

0 0 23

JG

JG

JG

− + − −

Analizando las componentes de ambos tensores, y haciendo ( )3 2 3G K + = se concluye que:

[ ] [ ]3v vT K E= (4.15)

[ ] [ ]2o oT G E= (4.16)

Las ecuaciones (4.15) y (4.16) muestran una relación simple entre las componentes

volumétrica y desviadora de los tensores i jT y i jE , a través de las constantes K y G que

reciben el nombre de módulo volumétrico y módulo de rigidez al cortante, respectivamente.

4.3 Ecuaciones constitutivas de los materiales elásticos linealeshomogéneos e isótropos en un marco de referencia cartesiano

Supongamos que en un punto del medio continuo se establecen los tensores i jE y i jT en un

marco de referencia cartesiano, esto es:

1 1

2 21 1

2 21 1

2 2

xx yx zx

jk xy yy zy

xz yz zz

E

=

;xx yx zx

jk xy yy zy

xz yz zz

T

=

Tratemos de encontrar la forma que adquieren las relaciones constitutivas para relacionar aesos tensores.

Para ello calculemos n y n con objeto de aplicar la relación constitutiva previamente

derivada para materiales isótropos (ecuación 4.12).

Por definición:

n ijt T n =

Desarrollando:

( cos cos cos )n xx yx zxt i = + + ( cos cos cos )xy yy zy j + + +

( cos cos cos )xz yz zz k + + +

(4.17)

El esfuerzo normal se calcula como

2 2 2cos cos cos 2 cos cosn n xx yy zz xyt n = ⋅ = + + +

2 cos cos 2 cos cosyz zx + + (4.18)

De manera análoga, se puede establecer para la deformación normal n

2 2 2cos cos cos cos cosn xx yy zz xy = + + +

cos cos cos cosyz zx + + (4.19)

Aplicando la ecuación (4.12)

1 2n nJ G = + ,

se tiene:

2 2 2cos cos cos 2 cos cosxx yy zz xy + + + 2 cos cos 2 cos cosyz zx + +2 2 2

1(cos cos cos )J = + + 2 2 22 ( cos cos cos cos cosxx yy zz xyG + + + +cos cos cos cos )yz zx + +

Para que exista igualdad se debe cumplir que:

1 2xx xxJ G = + ;xy xyG =

(4.20)1 2yy yyJ G = + ;yz yzG =

1 2zz zzJ G = + ;zx zxG =

Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones constitutivas de los materiales elásticoslineales, homogéneos e isótropos.

Las ecuaciones (4.20) se pueden expresar en forma matricial como

9

9

2 0 0 0

2 0 0 0

2 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

xx xx

yy yy

zz zz

xy xy

yz yz

zx zx

G

G

G

G

G

G

+ + + =

(4.21)

Estas ecuaciones toman la siguiente forma:

[ ] [ ][ ]C = (4.22)

siendo:

[ ] : matriz de esfuerzos

[ ] : matriz de deformaciones

[ ]C : matriz de constantes elásticas del medio

Las ecuaciones (4.21) pueden ser escritas en notación indicial como

2ij ij kk ijG = + (4.23)

Siendo δij la delta de Kronecker (tensor de orden 2).Para expresar las deformaciones en función de los esfuerzos, es necesario invertir la matriz deconstantes elásticas y operar matricialmente, esto es:

[ ] [ ] [ ]1C −= (4.24)

En lugar de buscar invertir la matriz de constantes elásticas se seguirá el siguienteprocedimiento. De la ecuación (4.20), los esfuerzos normales se pueden escribir como

( )2xx xx yy zzG = + + +

( )2yy xx yy zzG = + + + (4.25)

( )2zz xx yy zzG = + + +

Resolviendo el sistema para , ,xx yy zz empleando el método de Cramer, se tiene que el

determinante de la matriz de coeficientes es:

( 2 )( 2 )

( 2 ) 2( 2 )

( 2 )

GG

G GG

G

++

∆ = + = ++

+

( 2 )( )

( 2 )

G

G

++ − +

+

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2G G G G ∆ = + + − − + − + − +

( ) ( )2 3 2 3 3 3 22 4 4 2 2G G G G G ∆ = + + − − + + − −

2 2 2 3 3 2 3 3 3 24 4 8 8 2 2G G G G G G ∆ = + + + − − + + − −

[ ]2 3 212 2 4 3 2G G G G ∆ = + = + (4.26)

En consecuencia:

1( 2 )

( 2 )

xx

xx yy

zz

G

G

= +∆

+

( )( ){ } ( ){ } ( ) ( )( ){ }212 2 2 2xx xx yy zz yy zzG G G G = + + − − + − + − + ∆

( )2 2 2 2 214 4 2 2xx xx yy yy zz yy zz zzG G G G = + − − + + − − ∆

( )( ) ( )14 2xx xx yy zzG G G = + − + ∆

2

(4 )( ) 2( )

(4 )( )4 [3 2 ]xx xx yy zz

G G G

G GG G

+= − + ++

Haciendo:

2

1 (4 )( ) 2;

(4 )( )4 [3 2 ]

G G Gv

E G GG G

+= =++

Simplificando:

11

11

1 ( );

[3 2 ] 2( )

Gv

E G G G

+= =+ +

(4.27)

( )1xx xx yy zzv

E = − + (4.28)

De manera similar, para yy y zz

( )1yy yy xx zzv

E = − + (4.29)

( )1zz zz xx yyv

E = − + (4.30)

Las ecuaciones (4.28), (4.29) y (4.30) son las leyes generalizadas de Hooke para relacionardeformaciones unitarias con esfuerzos normales.

Para establecer la relación entre los esfuerzos cortantes y las deformaciones angulares basta recurrir a lo anteriormente establecido.

xyxy G

= (4.31)

yzyz G

= (4.32)

xzxz G

= (4.33)

En notación indicial, las ecuaciones (4.28) a (4.33), quedan representadas de la siguiente

manera:

1

2 (3 2 ) 2ij ij kk ijG G G

= ++

(4.34)

PROBLEMA 4.1

En el continuo que se muestra en la figura (4.2) se establece el tensor:

0 0

0 0 0

0 0 0

xx

ijT

=

a) Calcule los elementos del tensor deformación y de una interpretación física a las constanteselásticas E y ν.

FIGURA 4.2 Interpretación física de las constantes E , v

El tensor de deformaciones unitarias quedará definido por

0 0

0 0

0 0

xx

ij yy

zz

E

=

Aplicando las relaciones constitutivas:

; ;xx xx xxxx yy zzv v

E E E

= = − = −

0 0

0 0

0 0

xx

xxij

xx

E

E vE

vE

= − −

Dado que:1

xx xxE =

y

xz

13

13

y haciendo xx xxx y = ⇒ = ; siendo la pendiente m E=

La constante E representa la pendiente del diagrama esfuerzo-deformación de una barra prismáticasometida a tensión uniaxial y recibe el nombre de módulo de Young. Esta contante elástica es unacaracterística del material y tiene las mismas unidades que un esfuerzo [F/L2].

El módulo E sólo puede ser aplicable cuando se defina la línea recta en el diagrama esfuerzodeformación y éste sea independiente del tiempo. En caso contrario, diremos que el material esinelástico y esto implicará que las relaciones constitutivas del continuo deben involucrar operadoresdiferenciales respecto al tiempo.

Analicemos ahora la interpretación física de v.

Del tensor ijE se tiene que:

;

xx

yy yy zz

xxxx xx xx

vE v v

E

−= = − = − = −

donde v resulta ser la relación entre las deformaciones unitarias transversales y la longitudinal envalor absoluto y recibe el nombre de relación de Poisson. Teóricamente esta constante elástica tomavalores entre 0 y 0.5, siendo el segundo valor el que corresponde a un material incompresible.

Si ; ; ;xx yyx y y vx v = = = − resulta ser constante sólo cuando

la relación entre xx y yy es una constante.

4.4 Energía de deformación elástica para un estado uniaxial de esfuerzos

Supongamos que la curva esfuerzo-deformación para un material elástico lineal, sometido a unestado de esfuerzos uniaxial, es como se muestra en la figura (4.15).

δ

δ

δi

FF

iF

δd

FIGURA 4.15 Definición de energía de deformación elástica

La energía que un cuerpo absorbe como resultado de su deformación bajo cierta carga se llamaenergía de deformación (W). Ésta se puede expresar como

0W Fd

= ∫ (4.49)

La energía de deformación por unidad de volumen o densidad de energía U , se puedeexpresar como

0

1U Fd

V

= ∫ (4.50)

Para una partícula elemental de un medio continuo de volumen dV dxdydz= y asumiendo

que la fuerza se aplica en la dirección x , se tiene:

0 0 0

x xx xxx xxx xx xx xx

F dU d E d

dxdydz

= = =∫ ∫ ∫

Integrando se obtiene:2

2 2xx xx xxU

E

= = (4.51)

El área bajo la parte lineal de la curva uniaxial − es una medida de la capacidad delmaterial para almacenar energía elástica. Esta medida se llama módulo de resiliencia (R) yse puede calcular como

2

0

1

2 2

LE LELE LER d

E

= = =∫ (4.52)

FIGURA 4.16 Definición de módulo de resiliencia

2

1

R2

1RεLE

LEσ

ε

σ

4.5 FUNCIÓN DE ESFUERZOS DE AIRY

15

siendo LE y LE la deformación longitudinal y el esfuerzo normal en el límite elástico,

respectivamente.

4.5 Energía de deformación elástica para un estado triaxial de esfuerzos

Para un estado general de esfuerzos (principales) el trabajo total realizado por los esfuerzos

1 2 3, , será la suma de los trabajos efectuados por cada uno de ellos de manera

independiente (figura 4.17).

FIGURA 4.17 Energía de deformación elástica para un estado general de esfuerzos

Por lo tanto, el trabajo realizado por 1 se calcula como

1 1

1

2dW dV = (4.53)

De esta forma, la densidad de energía resulta:

1 1

1

2

dWU

dV = = (4.54)

Repitiendo el razonamiento para las demás caras de la partícula elemental, se concluye que ladensidad de energía de deformación elástica U almacenada en el material, debido a un estado

de esfuerzos principales 1 2 3, , , es:

1 1 2 2 3 3

1( )

2U = + + (4.55)

tomando en cuenta que

1 1 2 3

1( ( ))v

E = − +

σ1

2σ

σ3

x

y

z

dx

dy

dz

2 2 1 3

1( ( ))v

E = − +

3 3 1 2

1( ( ))v

E = − +

Sustituyendo estas últimas ecuaciones en la ecuación (4.59), se obtiene:

1 1 2 3 2 2 1 3 3 3 1 2

1[ ( ( )) ( ( )) ( ( ))]

2U v v v

E = − + + − + + − +

2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 1

1[ 2 ( )]

2U v

E = + + − + +

21 2 3 1 2 2 3 3 1

1( ) 2(1 )( )

2U v

E = + + − + + +

21 2

12(1 )

2U I v I

E = − + ; Dado que

2(1 )

EG

v=

+

21 21

2

I IU

E G

= −

(4.56)

La densidad de energía se puede descomponer como

V OU U U= + (4.57)

Siendo VU la densidad de energía volumétrica y OU la densidad de energía desviadora o

distorsional.

Asumiendo que existe la siguiente relación:

V VU T↔ ; parte isotrópica (dilatación o compresión)

O OU T↔ ; parte distorsional o desviadora

La energía de deformación volumétrica se puede calcular como

2V V

VU = ; 1 2 3V = + + ; 1 2 3

3V

+ +=

V VK = ;3(1 2 )

EK

v=

−;

2(1 )

EG

v=

+

2 21

2 2 18V V

V V

IU

K K

= = =


17

2 21 1 3(1 2 )

18 18V

I I vU

K E

−= =

21

(1 2 )

6V

vU I

E

−= (4.58)

La energía de deformación desviadora se puede calcular como

UO = U − UV

221 21

1 (1 2 )

2 6O

I I vU I

E G E

−= − −

Desarrollando esta última ecuación, se obtiene:

{ }2 2 21 2 2 3 3 1

1( ) ( ) ( )

12OUG = − + − + − (4.59)

Las densidades de energía volumétrica y desviadora están relacionadas con los esfuerzosnormal y cortante octaédricos mediante las siguientes expresiones, respectivamente:

2 2oct VKU = (4.60)

2 4

3oct OGU = (4.61

4.6 Solución de problemas elásticos haciendo uso de funciones de esfuerzo

Las relaciones constitutivas de los materiales elásticos lineales, homogéneos e isótroposquedaron expresadas en términos de esfuerzos a partir de las ecuaciones (4.20), las cualespodrán ser utilizadas para solucionar problemas elásticos empleando funciones de esfuerzos,conocidas como funciones de Airy.

4.6.1 Función de esfuerzos de Airy en coordenadas cartesianas

Airy propone el empleo de una función ( ),x y = , continua y derivable, que permite definir

a los elementos de un tensor cartesiano i jT en el que no existan fuerzas de cuerpo.

Mediante el uso de la mecánica del medio continuo, Airy logra definir las condiciones quedebe satisfacer la funvión para cumplir los requisitos de continuidad y equilibrio. Lasecuencia a seguir es:

Rei j i j

Estática Dinámica Cinemática

T laciones Constitutivas E→ →

→ → →

Para un estado de esfuerzo plano, los elementos del tensor esfuerzo se pueden calcular como

0

0

0 0 0

xx yx

ij xy yyT

=

=

2 2

2

2 2

2

0

0

0 0 0

x yy

x y x

∂ ∂− ∂ ∂∂ ∂ ∂−

∂ ∂ ∂

(4.35)

Veamos qué sucede desde el punto de vista de equilibrio al aceptar esta definición:

Por 0 ; 0yxxx zxx xF f

x y z

∂∂ ∂= + + + =∂ ∂ ∂

Σ2 2

20 0xfx y y x y

∂ ∂ ∂ ∂− + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0xf =

Por 0 ; 0xy yy zyy yF f

x y z

∂ ∂ ∂= + + + =

∂ ∂ ∂Σ

2 2

20 0yf

x x y y x

∂ ∂ ∂ ∂− − + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0yf =

Por 0 ; 0yzxz zzz zF f

x y z

∂∂ ∂= + + + =

∂ ∂ ∂Σ

0zf =

En consecuencia, al aceptar la definición de Airy, el equilibrio de medios continuos sin fuerzas

de cuerpo es automáticamente satisfecho. Así, cuando ( ),x y = es continua y derivable, el

equilibrio en el medio se cumple.

PROBLEMA 4.2

a) Sea2Ax = , con A=constante

Por definición de función de Airy:


19

0 0 0

0 2 0

0 0 0ijT A

=

FIGURA 4.3 Barra prismática sometida a un estado de esfuerzo uniaxial

Por lo tanto, la función2Ax = resuelve el problema de una barra sometida a fuerzas colineales

de magnitud 2Abt

b) Sea la función2By = , con B=constante

Esta función representa la solución de un continuo sometido a dos fuerzas horizontales colineales demagnitud:

2HF Bht=

c) Sea la función2 2Ax By = +

Esta función al ser la suma de las funciones ya analizadas en los incisos a) y b), resuelve elproblema de una barra prismática sometida a estado de esfuerzos biaxial.

h

b t

Fuerza resultante IF I = 2AbtV

t

h

d

FIGURA 4.4 Barra prismática sometida a un estado de esfuerzo biaxial

d) Sea la función Cxy = , con C=constante

Esta función resuelve el estado de cortante puro.

0 0

0 0

0 0 0ij

C

T C

− = −

FIGURA 4.5 Estado de cortante puro

Para buscar los desplazamientos generados en el continuo por un conjunto de fuerzas definidas por

( ),x y = , se sustituyen los elementos del tensor deformación, expresadas en función de

esfuerzos y de las constantes elásticas, en términos de la definición de Airy, esto es,

2 22

2

2 22

2

2

1(1 ) 0

2

1(1 ) 0

2

10 0

v vE y G x y

Eij v vG x y E x

vE

∂ ∂+ − ∇ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − ∇ ∂ ∂ ∂ − ∇

(4.36)

Para afirmar la existencia del campo de desplazamiento , debe comprobarse la compatibilidad de

i jE . La primera ecuación del primer grupo de compatibilidad es:

2 22

2 2

yy xyxx

x yy x

∂ ∂∂+ =

∂ ∂∂ ∂

C

C


21

2 2 2 22 2

2 2 2 2

1 1(1 ) (1 )v v v v

E Ey y x x

∂ ∂ ∂ ∂+ − ∇ + + − ∇ ∂ ∂ ∂ ∂

2 21

G x y x y

∂ ∂= − − ∂ ∂ ∂ ∂

Desarrollando:

4 4 2 2 4

4 4 2 2

2(1 )1(1 )

vv v

E E Ey x x y

+∂ ∂ ∇ ∇ ∂+ + − = − ∂ ∂ ∂ ∂

4 4 2 2 2 2

4 4 2 2 2 2(1 )v v

y x x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

4

2 22(1 )v

x y

∂= − +∂ ∂

De aquí puede escribirse:

4 4 4 4 4

4 4 4 2 2 4(1 ) 2v v

y x x x y y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 4

2 22(1 )v

x y

∂= − +∂ ∂

4 4 4 4 4

4 2 2 4 2 2 2 22 2 2v v

x x y y x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + = − −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

4 4 4

4 2 2 42 0

x x y y

∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂ ∂

Esta última expresión puede escribirse como

2 2( ) 0∇ ∇ = (4.37)

La primera ecuación del primer grupo de ecuaciones de compatibilidad se satisface si es unafunción biarmónica.

Verifiquemos ahora la segunda ecuación del primer grupo.

2 22

2 2

yy yzzz

y zz y

∂ ∂∂+ =

∂ ∂∂ ∂

22

20 0

v

Ey∂ + − ∇ = ∂

En consecuencia:

22

20

v

E y∂− ∇ =

∂

22

20

v

E y

∂− ∇ = ∂ (4.38)

Esta última ecuación se satisface si 0v = , o bien, si

2

2y

∂∂ es una función armónica cuando 0v ≠

La tercera ecuación del primer grupo es:

2 22

2 2xx zxzz

x zx z

∂ ∂∂+ =

∂ ∂∂ ∂2

2

20

v

Ex∂ − ∇ = ∂

22

20

v

E x

∂− ∇ = ∂ (4.39)

La ecuación (4.39) es válida si 0v = , o bien, verificando que2

2x

∂∂

es una función armónica

cuando 0v ≠ .

Revisemos ahora la primera ecuación del segundo grupo:2

2

0 0

yz xyxx xz

y z x x y z

∂ ∂ ∂ ∂∂= − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

=

Segunda ecuación del segundo grupo:

2

2

0 0

yy yz xyxz

x z y x y z

∂ ∂ ∂ ∂∂= − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

=

Tercera ecuación del segundo grupo:

2

2 yz xyzz xz

x y z x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 222

2 0; 0zz v

x y x y E

∂ ∂ = − ∇ = ∂ ∂ ∂ ∂


23

22 0

v

E x y

∂− ∇ = ∂ ∂ (4.40)

La ecuación (4.40) es válida si 0v = , o bien, si

2

x y

∂∂ ∂ es una función armónica cuando 0v ≠ .

En consecuencia, en medios elásticos en equilibrio, existe solución cuando es posible definir a una

función de Airy ( ),x y = con los siguientes requisitos:

a) Si 0v = ; debe ser una función biarmónica.

b) Si 0v ≠ ; debe tener derivadas segundas armónicas, es decir, i jT debe tener a sus elementos

armónicos.

PROBLEMA 4.3

Sea3Cy = − una función continua y derivable, asociada al continuo que se muestra en la figura

(4.6). Matematicamente se puede demostrar que4 0∇ = y

2 0i jT∇ = , por lo tanto es solución

de algún problema elástico, el cual se identifica acontinuación.

FIGURA 4.6 Barra prismática sometida a flexión pura

Aplicando la definición de Airy, se obtienen los elementos del tensor esfuerzo:

6 ; 0 ; 0xx yy xyCy = − = =

Por lo tanto i jT resulta igual a :

6 0 0

0 0 0

0 0 0ij

Cy

T

− =

Ahora se analizarán cada una de las caras de la barra para conocer si existe un estado de esfuerzos.

x

z

Lh

b = 1

y

En 0 ;x n i= = −

6 0 0

0 0 0

0 0 0ij

Cy

T

− =

6n ijt T n Cy i = =

6 ; 6n n nt n Cy Cy i = ⋅ = − =

6 6 0n n nt Cyi Cyi = − = − =

FIGURA 4.7 Volumen de esfuerzos normales en 0x =

El volumen de esfuerzos, que se muestra en la figura (4.7), resulta ser un par M alrededor del eje z

En la cara ;x L n i= =6 0 0

0 0 0

0 0 0ij

Cy

T

− =

6n ijt T n Cy i = = −

6n n n Cyi = = −

6 ( 6 )n n nt Cyi Cyi = − = − − −

0n =

3Ch

-3Ch

M

( 6 ) 6n nt n Cy i i Cy i = ⋅ = − ⋅ = −


25

El volumen de esfuerzos mostrado en la figura (4.7), es equivalente a un par M− en la cara x L=

En la cara ;2

hy n j= = :

3 0 0

0 0 0

0 0 0ij

Ch

T

− =

0n ijt T n = = ⇒ la cara se encuentra descargada.

En la cara ;2

hy n j= − = − :

3 0 0

0 0 0

0 0 0ij

Ch

T

=

0n ijt T n = = ⇒ la cara se encuentra descargada.

La función de esfuerzos propuesta resuelve el problema de una barra prismática sometida a flexiónpara cualquier material elástico.

Dado que6 z

MC

I= , entonces n

z

Mt y i

I

=

Esta última ecuación se conoce como fórmula de la escuadría, la cual es de suma importancia enmecánica de materiales.

4.6.2 Función de esfuerzos de Airy en coordenadas cilíndricas

Existen algunos problemas elásticos donde la geometría del medio continuo es tal que elmanejo de los tensores esfuerzo y deformación se facilita mucho si se utiliza un sistema dereferencia diferente al cartesiano, por ejemplo, el cilíndrico o esférico.

En el caso particular de un sistema de referencia cilíndrico, el tensor esfuerzo resulta igual a

rr r zr

ij r z

rz z zz

T

=

Este estado de esfuerzos se representa en un elemento diferencial de volumen en la figura

(4.9).

FIGURA 4.9 Estado de esfuerzos en un elemento diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas

En coordenadas cilíndricas, las ecuaciones de equilibrio se pueden expresar como

1 1( ) 0rrr zr

rr rfr r z r

∂∂ ∂+ + + − + =∂ ∂ ∂

(4.41)

1 20r z

r fr r z r

∂ ∂ ∂+ + + + =

∂ ∂ ∂(4.42)

1 10zrz zz

rz zfr r z r

∂∂ ∂+ + + + =

∂ ∂ ∂(4.43)

Siendo fr , f y fz , las componentes del vector fuerza de cuerpo en coordenadas cilíndricas.

En coordenadas polares, el tensor esfuerzo se reduce a

rr rij

r

T

=

Por lo tanto, las ecuaciones de equilibrio que debe satisfacer la función de Airy para un estadode esfuerzo plano y fuerzas de cuerpo nulas son:

1 1( ) 0rrr

rrr r r

∂∂ + + − =∂ ∂

(4.47)

dz

zz

zr z

rr

r

z

r

rz

drd

r

4.6 FUNCIONES DE ESFUERZOS EN COORDENADAS CILÍNDRICAS

27

1 20r

rr r r

∂ ∂+ + =∂ ∂

(4.44)

La función de Airy en términos de coordenadas polares resulta:

( ),r =

Realizando el cambio de variables, se puede establecer que2

2r ∂=

∂(4.45)

2

2 2

1 1rr r r r

∂ ∂= +∂ ∂

(4.46)

1r r r

∂ ∂ = − ∂ ∂ (4.47)

Para comprobar la compatibilidad de deformaciones, bastará establecer la definición de ∇2 encoordenadas cilíndricas.

2 22

12 2 yy xx rrIx y ∂ ∂∇ = + = + = = +

∂ ∂

2 22

2 2 2

1 1

r r r r

∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂

Siendo:2 2

22 2 2

1 1

r r r r ∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂

(4.48)

Con esta definición se puede revisar la armonía y la biarmonía en problemas específicos.

PROBLEMA 4.5

Sea la función:

( )Pr sen

= −

continua y derivable donde P es una constante.

a) Determine los elementos del tensor esfuerzo i jTb) Identifique el tipo de problema que resuelve la función propuesta.

Cálculo de los elementos del tensor esfuerzo.

0

0

0 0 0

rr r

ij rT

=

Psen

r

∂ = −∂

( )cosP

r sen

∂ = − +∂

2

2cos ( ( 1) cos )

P Prr sen

∂ = − − − +∂

[ 2cos ]Pr

sen

= −

10

r r

∂ ∂ = = ∂ ∂

2[ 2cos ] cosrr

P P Psen sen

r r r

= − + − = −

0; 0r = =

Por lo tanto, los elementos del tensor esfuerzo son:

cos 0 02

0 0 0

0 0 0r

PT

r

= −

En cualquier medio este tensor genera un campo de esfuerzos en el cual 0r zf f f= = = . Ya que

únicamente existe un sólo término rr , calculemos:

2 22

2 2 2

1 1rr rrr rr r

∂ ∂ ∂∇ = + + ∂∂ ∂

2cosrr

P

r

= −

2

2cosrr P

r r

∂ =∂

2srr P

enr

∂ =∂


29

2

2 3

4cosrr P

r r

∂

= −∂

2

2

2cosrr P

r

∂ =∂

23 3 3

4 2 2cos cos cosrr

P P P

r r r

∇ = − + +

2 20 ; 0rr ijT∇ = ∇ =

Por lo tanto, el tensor propuesto es armónico y resuelve problemas elásticos para cualquier mediocon 0v ≠

La función propuesta representa al estado radial simple y corresponde al problema de una placa depequeño espesor sometida a una fuerza horizontal de magnitud P.

0 0

0 0 0

0 0 0

rr

ijT

=

FIGURA 4.10 Estado radial simple

2cosrr

P

r

= −

La fuerza que actúa sobre un elemento dA rd= es rrrd y su componente vertical es

( ) cosrr rd La fuerza resultante vertical es:

2Prπ

θ θdrσrr

dθθr

P

22 2

0 0

42 cos cosv rr

PF rd d

= = −∫ ∫Σ

2

0

4 2

2 4v

P senF P

= − + = − Σ

La figura (4.11) muestra que todos los puntos del semiespacio, excepto los de la frontera superior,contribuyen a soportar la carga P .

La función propuesta ( )P

r sen

= − genera el estado radial simple que aplicado a un

semiespacio elástico conduce a la solución de Flamant.

Variación de rr con constante y r variable.

[ ] [ ]0 0

2;rr rr

Py

r

= == = −

Haciendo2

;P

c r x

− = = ⇒c

yx

= ; la variación de esta última función se muestra en la

figura (4.11).

FIGURA 4.11 Variación de rr para cte = = cte. y r variable

Ahora definiremos el lugar geométrico de los puntos del semiespacio con el mismo valor del esfuerzoprincipal.

2rr

P

r

= −

En la relación con la figura (4.12), el punto A que se encuentra sobre la circunferencia tiene comoradio vector:

Py

x

variación hiperbólica

= cte = 0θ


31

cosr D =Por lo tanto, el esfuerzo radial vale:

2 2 cos 2cos

cosrr

P P P

r D D

= − = − = −

En consecuencia, ya que A se encuentra sobre la circunferencia, se debe tener el mismo esfuerzo

radial2

rr

P

D

= − en todos los puntos de la circunferencia, exceptuando al punto de tangencia de

la circunferencia con la frontera superior.

Se llama isobara a la circunferencia de diámetro D correspondiente al esfuerzo2

rr

P

D

= − .

FIGURA 4.12 Lugar geométrico del semiespacio con el mismo valor de rr

En la figura (4.13) se muestra la construcción de isobaras para diferentes valores de rr .

P

D r

A

θDcos θ

σ = rr2PDπ

θrA 1/4D1/2D

3/4DD4σ rr

rrσ

rr4/3σ 2σ rr

P

FIGURA 4.13 Isobaras para el estado radial simple

PROBLEMA 4.6

La función de Airy 2rBrLA n += , es válida para el medio continuo que se muestra en la

figura, siendo A y B dos constantes. El continuo (tubo) está sometido a una presión interna

ip y una presión externa ep .

PePe

aa

b

rrb

PiPi•

alLongitudinCortelTransversaCorte

rr

FIGURA. 4.14 Tubo de sección transversal cilíndrica sometido a una presión interna pi y externa pe. a)corte transversal; b) corte longitudinal.

a) Determine los elementos del tensor esfuerzo i jT

b) Evalúe el valor de las constantes A y B.

Las contantes A y B se evaluarán para dos casos particulares:

a) Suponiendo pi≠0 y pe=0

para;0;

;

=−==−==

err

irr

pbr

par

Cálculo de los elementos del tensor esfuerzo.

2

2

2

2

2;

11

rrrrrr ∂=

∂∂+

∂∂=

;22

Br

Arr +−=

2

1

2

r r r

AB

r

∂ ∂ = − ∂ ∂

= − +


33

0r =

;22

Br

Api +−=− B

b

A20

2+=

Resolviendo para A y B , se tiene:

−

=−

−=12

;

2

2

22

22

a

b

pB

ba

ab

pA ii

Sustituyendo las constantes A y B , en rr y , se tiene:

;

1

1

2

2

2

2

−

−

−=

a

b

r

bpi

rr

2

2

2

2

1

1

i

bp

r

b

a

+ =

−

b) Para el caso en que 0ip ≠ y 0ep ≠ se deja como ejercicio al lector demostrar que los

elementos de tensor esfuerzo jiT están dados por:

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

b

ar

a

p

a

br

b

p eirr

−

−−

−

−−= ;

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

b

ar

a

p

a

br

b

p ei

−

+−

−

+=

0r =

4.7 Ecuaciones de Navier-Cauchy

Las ecuaciones de Navier-Cauchy permiten ligar los desplazamientos y las fuerzas de cuerpo,con las constantes elásticas del material. Para ello partiremos del campo de desplazamientos

kwjviu ++=

Por definición, las deformaciones unitarias quedan definidas por :

y

w

z

v

z

w

x

w

z

u

y

v

x

v

y

u

x

u

yzzz

xzyy

xyxx

∂∂+

∂∂=

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂=

Por otra parte, las ecuaciones constitutivas de los materiales elásticos lineales, homogeneos eisótropos, están dadas por (ecuación 4.20):

1 2 ( ) 2

( ) 2

( ) 2

xx xx

yy

zz

uJ G div G

xv

div Gy

wdiv G

z

∂= + = +∂

∂= +∂∂= +∂

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

zu

xw

Gyw

zv

Gxv

yu

Gzxyzxy ;;

Para definir las fuerzas de cuerpo haremos uso de las ecuaciones de equilibrio del mediocontinuo. Así por suma de fuerzas en x igual a cero, se tiene (ecuación 1.82):

0=+∂

∂+∂

∂+

∂∂

xzxyxxx fzyx

Sustituyendo los esfuerzos en términos de los desplazamientos en la ecuación anterior, setiene:

0

0

0)()()2())((

2

2

222

2

2

2

2

2

2

=+

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂+∇+

∂∂

=+∂∂+

∂∂∂+

∂∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

=+∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

x

x

x

fz

w

y

v

x

u

xGuGdiv

x

fz

wG

zx

wG

yx

vG

y

uG

x

uG

x

uGdiv

x

fz

u

x

wG

zx

v

y

uG

yx

uG

xdiv

x

Por lo tanto la primera ecuación de equilibrio toma la forma

( ) 02=+∇+

∂∂+ xfuGdivx

G (4.49)

De manera similar, sustituyendo los esfuerzos en términos de deformaciones en la ecuación deequilibrio (1.83), se obtiene

( ) 02 =+∇+∂∂+ yfvGdivy

G (4.50)

Finalmente, sustituyendo los esfuerzos en términos de deformaciones en la ecuación deequilibrio (1.84), se llega a

( ) 02 =+∇+∂∂+ zfwGdivz

G (4.51)


35

Multiplicando la ecuación (4.49) por i , la (4.50) por j y la (4.51) por k y sumando miembroa miembro, se obtiene

( )( )[ ] fGdivgradG

fGdivgradG

−=∇++=+∇++

2

2 0

Pero:

( )( )( )

( )( )

211221

21122

−+−Ε+

−+Ε=+ G

( )( ) ( )

212112 −=

−+Ε=+ G

G

Por lo tanto:

G

fdivgrad −=

∇+

−

2

211 (4.52)

Esta última ecuación se conoce como ecuación de Navier-Cauchy y representa un sistema detres ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, donde las incognitas son lascomponentes del vector desplazamiento u, v y w, la cual se puede resolver tomano en cuentalas condiciones de frontera del problema, ya sea que se conozcan los desplazamientos o losesfuerzos en dicha frontera. En la mayoría de los problemas de elasticidad las condiciones defrontera son tales que sobre una parte de la frontera se conocen los desplazamientos en tantoque sobre otra parte se conocen los esfuerzos.

4.8 Solución de problemas elásticos haciendo uso de funciones de

desplazamientos

Las ecuaciones de Navier-Cauchy pueden ser resueltas mediante métodos numéricos, como esel caso del método del elemento finito, que se puede aplicar a una gran variedad de problemascon condiciones de frontera complejas, o bien empleando métodos analíticos para condicionesmuy particulares.

Otra forma de resolver dichas ecuaciones es empleando funciones potenciales escalares yvectoriales, haciendo uso del teorema de Helmholtz, el cual establece que cualquier campovectorial (u,v,w) puede ser expresado como:

grad rot = +

siendo una función potencial escalar y una función potencial vectorial.

4.8.1 Funciones potenciales escalares en términos de desplazamientos(Función de Lamé)

En este problema se define al campo de desplazamientos y se buscan las fuerzas que dieronorigen a ese campo.

La secuencia a seguir sería:

Función de desplazamientos → → jkE → jkT →Fuerzas

Lamé propuso definir al campo de desplazamientos mediante una función potencial escalar (x,y,z), que llamó la función potencial de desplazamientos, mediante la cual se puedeestablecer:

zGw

yGv

xGu

∂∂=

∂∂=

∂∂=

2;2;2(4.53)

Multiplicando estas últimas ecuaciones por los vectores unitarios i , j y k , respectivamente, ysumándolas, se obtiene:

∇== gradG2 (4.54)

Usando esta definición la ecuación de Navier se simplifica de la siguiente manera:

( ) fG

GG

divgradG −=∇∇+∇+22

2 (4.55)

Dado que 2∇=graddiv , entonces

( ) ( )( ) ( )( )

fG

G

GfG

GfGG

−=∇∇+−=∇∇+

−=∇∇+∇∇+

2

2

22

22

22

2

Para fuerzas de cuerpo nulas, la ecuación anterior se satisface si

( ) 00 22 =∇∇⇒=∇∇ (4.56)

Si se establece que ϕ sea una función armónica, la ecuación de Navier se satisface.

En consecuencia, funciones de Lame ϕ armónicas, resuelven el problema de encontrar elcampo de desplazamientos .

Con la definición anterior, el primer invariante del tensor deformación se puede expresarcomo:


37

[ ] gradG

divdivJ21

1 ==

Así J1 queda como

[ ] 021

21 2

1 =∇== G

graddivG

J(4.57)

Dado que el primer invariante del tensor deformación es cero, la deformación volumétrica esnula, por lo tanto al aplicar la definición de Lamé sólo será posible generar soluciones aproblemas en las cuales únicamente existe componente distorsional.

PROBLEMA 4.7

Sea:

( ) BxyyxA +−= 22 ; una función contínua y derivable.

0222 =−=∇ AA

Tratemos de definir al campo de desplazamientos, su cinemática y los esfuerzos que genera.

Por definición:

( )

( )

( )021

221

21

221

21

Gw

BxAyGyG

v

ByAxGxG

u

=

+−=∂∂=

+=∂∂=

Lo anterior implica que se trata de un campo de deformación plana.

El tensor de deformaciones unitarias es:

−=Ε

000

02

021

G

A

G

BG

B

G

A

jk

Para definir a los esfuerzos se puede establecer que :

02

22

22

2

2

2

2

2

2

=⇒∂∂==

−=⇒∂∂==

=⇒∂∂==

zzzzzz

yyyyyy

xxxxxx

zG

Ay

G

Ax

G

0;0;222

=∂∂

∂==∂∂

∂==∂∂

∂=zxzy

Byx xzyzxy

Por lo tanto el tensor esfuerzo queda como:

+

−=

−=Τ

000

00

00

000

020

002

000

02

02

B

B

A

A

AB

BA

jk

Este tensor esfuerzo representa un estado de cortante puro.

Finalmente para terminar de describir el problema, obtengamos el rotacional del campo .

∂∂

∂−∂∂

∂+

∂∂

∂−∂∂

∂−

∂∂

∂−∂∂

∂=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂=

yxyxzxzxi

zyzyG

zGyGxG

zyx

kji

rot

222222

21

21

21

21

La operación anterior conduce a 0=rot

Por lo tanto, el empleo de la definición de Lamé, únicamente permite resolver un casoparticular de soluciones elásticas: problemas en los cuales no existe componente volumétrica yademás resultan siempre ser problemas irrotacionales.

4.8.2 Funciones potenciales vectoriales; Vectores Galerkin

Galerkin en 1930 propuso seleccionar una función de desplazamientos definida por:kFjFiFF zyx ++= , siendo zyx FFF ,, funciones contínuas de .,, zyx

El campo de desplazamientos se selecciona de tal forma que constituya una solución de laecuación de Navier, por lo que:


39

( )FdivcG ∇−∇= 22 (4.58)

siendo c es una constante que puede ser ajustada para satisfacer la ecuación de Navier:

fdivgradG −=

−+∇

2112 (4.59)

Sustituyendo en la ecuación (4.58) la (4.59), se obtiene:

( ) fFdivcdivgrad 221

1 22 −=∇−∇

−+∇

Haciendo operaciones se llega:

fFdivdivdivc

divc 221

121

224 −=

∇∇

−−∇∇

−+∇∇−∇

Matemáticamente se puede demostrar que:

( ) 0tan

22

=∇∇∇∇=∇∇=∇∇

teconsdivdiv

divdivdivdiv

Por lo que se puede lograr hacer desaparecer estos términos si:

021

12121

121

1 =−

−++−=−

−−

+−

cc

( )−=⇒ 12c (4.60)

Por lo tanto:

( ) ( )−

−=∇⇒−=∇−1

212 44 fFfF

(4.61)

Debe entonces seleccionarse a funciones F que satisfagan la ecuación (4.61) para que elequilibrio y las relaciones constitutivas elásticas sean satisfechas también en el cálculo delcampo de desplazamientos .

Sustituyendo la ecuación (4.60) en la (4.58) se pueden calcular las componentes del vectordesplazamiento como:

( ) Fdivx

FGu x ∂∂−∇−= 2122

(4.62)

( ) Fdivy

FGv y ∂∂−∇−= 2122

(4.63)

( ) Fdivz

FGw z ∂∂−∇−= 2122

(4.64)

Si se deriva la ecuación (4.62) con respecto a x , la (4.63) con respecto y , la (4.64) respecto az y se suman miembro a miembro, se obtiene:

( ) FdivFdivGdiv 22122 ∇−∇−=

( ) FdivGdiv 2212 ∇−= (4.65)

Esta última ecuación muestra una dependencia entre la divergencia del vector de Galerkin y lacomponente volumétrica del tensor deformación dada por div .

A partir de las ecuaciones (4.62) a la (4.64) se pueden definir los elementos del tensordeformación jkΕ y mediante las relaciones constitutivas para los materiales elásticos lineales

homogeneos es isótropos se pueden conocer los elementos de tensor esfuerzo jkΤ .

Puesto que:

xxxx Gdiv 2+=

Siendo ( )

212−

= G y FdivG

div 2

221 ∇−=

Tomando en cuenta que,

( )G

Fdivx

FxGx

uxxx 2

1212

2

22

∂∂−∇

∂∂−=

∂∂=

Sustituyendo en σxx, obtenemos,

( )( ) ( )

( ) Fdivx

Fx

Fdiv

GFdiv

xF

xGGFdiv

G

G

xxx

xxx

2

222

2

222

12

21

212

22

2121

2

∂∂−∇

∂∂−+∇=

∂∂−∇

∂∂−+∇−

−=

Finalmente se obtiene

( ) Fdivx

Fx xxx

∂∂−∇+∇

∂∂−= 2

22212

(4.66)

Procediendo de manera similar para los otros esfuerzos se llega a,

( ) Fdivy

Fy yyy

∂∂−∇+∇

∂∂−= 2

22212

(4.67)


41

( ) Fdivz

Fz zzz

∂∂−∇+∇

∂∂−= 2

22212

(4.68)

( ) Fdivyx

Fx

Fy yxxy ∂∂

∂−

∇

∂∂+∇

∂∂−=

2221

(4.69)

( ) Fdivzy

Fy

Fz zyyz ∂∂

∂−

∇

∂∂+∇

∂∂−=

2221

(4.70)

( ) Fdivxz

Fz

Fx xzzx ∂∂

∂−

∇

∂∂+∇

∂∂−=

2221

(4.71)

a) Análisis de la acción de un vector de Galerkin en un semi espacio

elástico

Sea:

( ) ( )( )

+−+= zRzLnR

PkF

2122

(4.72)

Referido a un sistema de referencia cilíndrico, tal como se muestra en la figura (4.15).Donde:

=P cte= relación de Poisson=z profundidad

[ ] 2/1222 zyxR ++= : magnitud del vector de posición de un punto cualquiera del medio.

.

FIGURA 4.15 Vector Galerkin en un punto de un semiespacio elástico lineal

La función propuesta es contínua y derivable en todos los puntos del semiespacio elástico,excepto en el origen del marco de referencia. Su aplicación dará resultados válidos si 0≠R .A partir del vector propuesto se puede obtener el campo de desplazamientos.

( ) ( ) ( )zzrr eweveu ++=

Siguiendo las definiciones del campo de desplazamientos se obtienen:

( )

+−Ρ=

=

+−−Ρ=

2

2

2

124

0

214

R

z

GRw

v

zRR

z

GR

ru

z

r

(4.72)

En el campo sólo existen desplazamientos ,, zr wu siendo ,0=v lo cual implíca una

condición axisimétrica ya que las funciones no dependen de .

Los desplazamientos en la superficie del medio ur, esto es, para z=0, valen:

[ ] ( )[ ] ( )( )[ ]

[ ] ( )( )

−+

ΕΡ−=

−+ΕΡ−=−−Ρ=

=

=

2211

21142

214

0

0

ru

rGru

zr

zr (4.73)

r

[ ]0=zr

u

Figura 4.16 Variación del desplazamiento ur en función de r

Los desplazamientos ru en la superficie varían inversamente proporcionales a su distancia alpolo del marco de referencia y siempre estan dirigidos hacia dicho polo.


43

Figura 4.17 Campo de desplazamientos en la superficie de un semi-espacio elástico lineal

Los desplazamientos verticales en la superficie del semi espacio quedan definidas por:

[ ] ( )[ ] ( )rGr

w zz Ε−Ρ=−Ρ==

2

0

1212

4

(4.74)

A partir del campo de desplazamientos, y siguiendo la secuencia de Galerkin, se obtiene elsiguiente campo de esfuerzo.

( )

( )

5

2

5

3

2

3

2

2

2Pr3

;23

221

2132

R

z

R

z

zR

R

R

z

R

zR

R

R

zr

R

rzzz

rr

−=Ρ−=

+−Ρ−=

+

−+−Ρ=

(4.75)

En la superficie, donde ,0=z se tiene:

[ ] ( )

[ ] ( ) [ ][ ][ ] 0

02

21

212

0

0

020

20

==

−=−−=

−=

=

=

==

=

zrz

zzz

zrrz

zrr

r

Pr

P

(4.76)

En las partículas de la superficie existe un estado de esfuerzo plano, que corresponde a unestado de cortante puro, excepto en ,0=r donde el vector de Galerkin no define al estado deesfuerzos.

En el semi-espacio elástico con2

1= , en la superficie se tienen siempre partículas

descargadas, excepto en .0=r

Si2

1≠ existirá cortante puro en las partículas superficiales.

Analicemos ahora que sucede a una profundidad D bajo la superficie.

22 DrR +=

FIGURA. 4.18 Esfuerzo normal σzz a una profundidad D

[ ] ( )522

3

2

3

Dr

PDDzzz

+==

(4.77)

Simplificando se puede escribir:

[ ]2

52

2

1

23

+

−==

D

rD

PDzzz

(4.78)

Haciendo,

[ ] BDzz ND

P2

−== ; con TanD

r = y

2

52

1

23

+

=

D

r

N B

FIGURA 4.19. Variación de NB con la relación r/D

Conocida la variación de BN se puede representar la variación espacial de los esfuerzos zz .

Los esfuerzos zz varían con el inverso del cuadrado de la profundidad del plano .Dz =

D

r0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

N B


45

La función propuesta conduce a la solución fundamental de Boussinesq, ampliamente utilizadaen la Mecánica de Suelos.

b) Vectores Galerkin para resolver el problema de Mindlin.

Primer caso: Resuelve el problema de una carga concentrada aplicada a una profundidad c ,bajo la superficie de un semi espacio elástico. La carga es normal a la superficie dirigida haciael semi espacio y el origen del marco de referencia coincide con la proyección P del punto deaplicación de la carga sobre la superficie (figura 4.20).

FIGURA 4.20 Carga concentrada en el interior de un semiespacio elástico

El campo de desplazamientos y los esfuerzos quedan definidos por el vector de Galerkin entodos los puntos del semi espacio excepto en el punto de aplicación de la carga, en el cualexiste una discontinuidad y resulta imposible valuar los esfuerzos y desplazamientos.

Segundo caso. Resuelve el problema de una carga paralela a la superficie aplicada a unaprofundidad c , en sentido paralelo al eje de las x .

FIGURA 4.21 Carga puntual horizontal aplicada en el interior de un semiespacio elástico

X

Z

P

R1

R2

Y

Z

C

C

PUNTO “Q”

r

C

Y P

Z

X

lineal

La combinación de ambas soluciones permite resolver el problema de una fuerza cualquieraaplicada en un punto situado a una profundidad c , y en cualquier dirección, mediante elprincipio de superposición.

Problemas propuestos del capítulo

PROBLEMA 4.11

Sea la función3

2

3

4 3

F xyxy

c c

= −

, una función continua y derivable.

a) Calcule los elementos del tensor esfuerzo jiT .

b) Analice el estado de esfuerzos en cada una de las caras del medio continuo que semuestra en la figura y una vez analizado el equilibrio diga qué tipo de problemaresuelve la función propuesta.

Solución

a)

−

−−=

04

3

4

34

3

4

3

2

3

3

2

3

2

3

c

F

c

Fyc

F

c

Fy

c

Fxy

T ji

b) Ya que el tensor no tiene términos armónicos, la solución no es aplicable a medios continuos con

0v ≠ . Obviamente4 0∇ = ; es decir, resuelve el problema en medios elásticos en los

cuales 0v = . La función representa la solución de una ménsula sin fuerzas de cuerpo,sometida a una carga en su extremo libre, tal como se muestra en la figura (4.8).

FIGURA 4.22 Ménsula sometida a una carga puntual en su extremo libre

z

x

y

F

empotramientoL


47

PROBLEMA 4.12

Para la barra que se muestra en la figura se conoce el campo de desplazamientos y está dadopor:

Barra

indeformable

L

x

y

z

Datos de la barra de plomo:

L: Longitud de la barra; n: relación de Poisson: E: Módulo de Elasticidad; γ: peso específicodel material de la barra.

Campo de desplazamientos:

( )2 2 2 2

; ; ;2

z x yxz yzui v j wk u v w

E E E

+ + + +− − = + + = = =

Determinar:

a) El tensor deformación Eij

b) El tensor esfuerzo Tij

Solución:

a) b)

0 0

0 0

0 0

ij

z

Ez

EE

z

E

− = −

0 0 0

0 0 0

0 0ijT

z

=

capítulo 4. elasticidad lineal - unam

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